Elektromagnetische Schwingungen und Lenz sche Regel in der Anwendung. Experimentalphysikalisches Seminar II

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1 Elektromagnetische Schwingungen und Lenz sche Regel in der Anwendung Experimentalphysikalisches Seminar II 1

2 1. Elektromagnetischer Schwingkreis 1 In der Elektrizitätslehre gibt es drei Grundelemente: Widerstände, Kondensatoren und Induktionsspulen. Um diese in Schaltungen kenntlich zu machen, werden sie mit den Buchstaben R, C und L bezeichnet. 1.1 Idealisierter Schwingkreis Eine Reihenschaltung bestehend aus einem Kondensator der Kapazität C und einer Spule der Induktivität L wird unter Vernachlässigung der Leitungs- und Eigenwiderstände als idealer elektromagnetischer Schwingkreis bezeichnet. In Abbildung 1 ist die Schaltskizze eines LC-Schwingkreises mit Spannungsquelle U zu sehen. Abbildung 1: Schaltskizze eines idealen el. Schwingkreises Sei nun der Kondensator zum Zeitpunkt t = 0 maximal geladen und die Spannungsquelle durch den Schalter S vom Schwingkreis getrennt. Zu diesem Zeitpunkt befindet sich die gesamte Energie des Schwingkreises im elektrischen Feld des Kondensators, E C = 1 2 CU2. Aufgrund der Potentialdifferenz zwischen den Kondensatorplatten fließt ein Strom durch die Spule, welcher ein Magnetfeld hervorruft. Auf Grund der Lenz'schen Regel wird in der Spule jedoch eine Gegenspannung induziert. Diese wirkt dem Anwachsen des Stromflusses und des Magnetfeldes entgegen, womit diese nur langsam größer werden. Mit wachsendem Stromfluss wird nun die Spannung am Kondensator kleiner. Ist diese auf Null gesunken, wächst der Strom nicht mehr und hat damit sein Maximum erreicht. Zu diesem Zeitpunkt t = 1 T ist der Kondensator vollständig entladen und die 4 gesamte Energie des Schwingkreises im Magnetfeld der Spule gespeichert, E L = 1 2 LI2. Der Strom beginnt nun den Kondensator in Gegenrichtung zu laden, wodurch eine umgekehrte Potentialdifferenz entsteht. Diese wirkt auch dem Stromfluss in der Spule entgegen. Auf Grund der Lenz'schen Regel wird in der Spule eine Gegenspannung erzeugt, welche dem Abbau des Stromflusses und des Magnetfeldes entgegen wirkt. Aus diesem Grund nehmen die beiden Größen zu Beginn nur langsam und später schneller ab. Mit kleiner werdendem Stromfluss nimmt die Ladegeschwindigkeit des Kondensators ab 1 Bilder und Inhalte dieser Anleitung entstammen zum Großteil der wissenschaftlichen Arbeit von Sören Pallmer Demonstrationsversuche zum Elektromagnetismus, KIT,

3 und endet, wenn der Strom in der Spule Null und der Kondensator erneut maximal geladen ist. Dies entspricht dem Zeitpunkt t = 1 T und die Spannung ist betragsmäßig genau so groß wie zu t = 0T, 2 jedoch mit gedrehtem Vorzeichen. Analog zu den bereits erläuterten Schritten beginnt nun derselbe Vorgang in entgegengesetzte Richtung. Folglich ergibt sich für den Verlauf der Spannung über der Zeit eine Sinuskurve. Der Stromverlauf ist um φ = 90 = π 2 verschoben und folgt damit einer Cosinuskurve. Abbildung 2: Theoretischer Verlauf von U und I im Schwingkreis In Abbildung 2Abbildung 2 ist ein solcher Verlauf von Spannung U und Stromstärke I zu sehen. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel ist die Summe aller Potentialänderungen in einer Masche gleich Null. Daraus erhält man aus den Beziehungen für die Kapazität C = Q U C eines Kondensators und der an einer Spule abfallenden Spannung U L = L di untenstehende Beziehung: dt U L + U C = L di dt + Q C = 0 Mit der Annahme, dass I = dq ist, ergibt sich eine Differentialgleichung der Form dt d 2 Q dt 2 + Q LC = 0 Diese Differenzialgleichung hat dieselbe Form, wie die einer ungedämpften mechanischen Schwingung und kann mit Hilfe des Ansatzes Q(t) = Q 0 cos(ωt + Φ) gelöst werden. Aus den oben genannten Anfangsbedingungen erhält man die Kreisfrequenz ω = 1 und der Spannungsverlauf ist U(t) = U 0 cos(ωt). Der Stromfluss durch die Spule ist durch die erste zeitliche Ableitung der Ladung gegeben. Damit erhält man einen maximalen Spurenstrom von I max = ωq Realer Schwingkreis Werden Leitungswiderstand und Innenwiderstände von Kondensator und Spule berücksichtigt oder wird zusätzlich ein Widerstand in der Schaltung verbaut, so ändert sich das physikalische Verhalten des Schwingkreises. Alle vorhandenen Widerstände eines reellen Schwingkreises werden zu einem Scheinwiderstand R zusammengefasst, der letztlich auch die Dämpfung des Systems beschreibt. Ein Schaltplan eines solchen Stromkreises ist in Abbildung 3 veranschaulicht. LC 3

4 Abbildung 3: Ersatz-Schaltskizze eines realen elektromagnetischen Schwingkreises Analog zum idealisierten Schwingkreis wird mittels der Kirchhoffschen Maschenregel eine Differentialgleichung aufgestellt. U L U R + U C = 0 L d2 Q dq + R dt2 dt + Q C = 0 Diese Gleichung kann mit Hilfe eines Ansatzes der Form Q(t) = A e λt gelöst werden. Dabei ist zu beachten, dass sowohl λ als auch A komplexe Werte annehmen können. Die Lösung soll an dieser Stelle nicht ausgeführt werden, hier sei auf die einschlägige Literatur verwiesen. Die Resonanzfrequenz dieses Schwingkreises ergibt sich letztlich zu ω res = 1 LC R2 4L 2 Für einen Widerstand R = 0 erhält man folglich die Resonanzfrequenz des idealisierten Schwingkreises ω 0 = 1. In Abbildung 4 sind die Kurvenverläufe der drei möglichen Fälle schematisch dargestellt, die LC sich aus den Lösungen der obigen Differentialgleichung ergeben. Abbildung 4: Vergleich von aperiodischer Grenzfall (rote Kurve), Kriechfall (starke Dämpfung) und gedämpfte Schwingung (unterkritische Dämpfung) 4

5 2. Anwendungsexperiment: Der Thomson'sche Ringversuch Der Thomson'sche Ringversuch ist ein bekannter Demonstrationsversuch zur Lenz'schen Regel. Dabei wird ein nicht magnetisches (schwach para- oder diamagnetisch), aber bezüglich des elektrischen Stromes leitfähiges, ringförmiges Objekt auf einen Eisenkern gesteckt, der zum kleineren Teil in einer Spule steckt und zum größeren Teil aus ihr herausragt. Der Ring wird so platziert, dass er möglichst nah in der Spulenumgebung sitzt, also idealerweise auf ihr aufliegt. In Abbildung 5 ist die Versuchsanordnung eines solchen Experiments grob skizziert. Abbildung 5: Versuchsskizze des Thomson'schen Ringversuchs (Querschnitt durch den Aufbau) Die Spule ist in Reihe mit einer Kondensatorbank verbunden und bildet mit ihr einen Schwingkreis. Die Kondensatorbank dient als Energiespeicher. Wird die vorher aufgeladene Kondensatorbank entladen, fließt ein elektrischer Strom durch die Spule, welcher eine Magnetfeldänderung db Spule erzeugt. Diese induziert eine Spannung im ringförmigen Geschoss, wodurch wiederum ein Ringstrom fließt. Auf Grund der Lenz'schen Regel muss dieser elektrische Strom seiner Ursache entgegen gerichtet sein. Das durch ihn erzeugte Magnetfeld db Ring überlagert sich mit dem Magnetfeld der Spule. Dadurch wird der Ring weg von der Spule beschleunigt. Dieser Effekt ist unabhängig von der Polung der Spule und wird durch den Eisenkern in der Spule verstärkt. Gefahren der folgenden Versuche: Teilweise hohe Spannungen (bis über 200V!) In den Kondensatoren ist viel Energie gespeichert, daher keine leitenden! Teile berühren, wenn diese geladen sind! 5

6 3. Versuchsaufbauten 3.1 Schwingkreis Der elektromagnetische Schwingkreis besteht, wie vorher beschrieben, aus einer Spule mit Induktivität L und einem Kondensator der Kapazität C. Da in realen Schaltungen durch die Widerstände der Leitungskabel und anderer Bauelemente Leistungsverluste hervorgerufen werden, handelt es sich bei dem verwendeten Schwingkreis um einen gedämpften Schwingkreis. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 6 zu sehen, aufgebaut nach dem Schaltplan in Abbildung 1. Abbildung 6: Versuchsaufbau elektromagnetischer Schwingkreis Zur einfacheren Verifizierung wurden den im Schaltkreis verwendeten Bauelementen Zahlen zugeordnet. Nummer 1 ist die Spannungsquelle, Nummer 2 der Schalter S zum Schließen des Lade- bzw. Schwingkreises, Nummer 3 ist der verwendete Kondensator C mit einer Kapazität von 40µF, Nummer 4 ist die genutzte Spule L mit einer Induktivität von 630H, Nummer 5 ein 10Ω Hilfswiderstand und Nummer 6 ein Oszilloskop. Aufgabe 1: Bauen Sie den Versuch auf (Ladespannung ca. 10V) und zeigen Sie am Oszilloskop den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator (an Kanal 1) sowie der Stromstärke durch die Spule (an Kanal 2). Berechnen Sie außerdem die Schwingungsdauer des Schwingkreises.Verwenden Sie als Lades Hinweis: Da Oszilloskope Stromstärken nicht direkt messen können, wird der Hilfswiderstand R benötigt. Benutzen Sie die Run/Stop -Taste, um das Bild einzufrieren, wenn Sie die Kurve vollständig auf der Anzeige sehen können. Aufgabe 2: Interpretieren Sie die erhaltenen Kurven. Was sagt Ihnen der Verlauf der Kurven, welche Phasenbeziehung haben die Kurven von Spannung und Stromstärke und warum ist das so? 6

7 Aufgabe 3: Verwenden Sie nun statt des Oszilloskops zwei baugleiche Demo-Multimeter. Welche Vor- /Nachteile hat die Verwendung der Multimeter? Hinweis: Da Sie mit den Multimetern auch Ströme messen können, können Sie entweder wie oben jeweils die Spannungen anzeigen oder Sie machen die Strommessung direkt. Rufen Sie vor dem ersten Einschalten von Versuch 3.3 eine/n Betreuer/in und starten Sie das Experiment nicht ohne Aufsicht! Wichtig: Der Ringversuch darf niemals ohne Last betrieben werden (d.h. ohne Ring der Schwingkreis würde nur mit geringer Dämpfung arbeiten und die Elektrolytkondensatoren daher in die falsche Polung überschwingen und kaputt gehen) 3.3 Der Thomson'sche Ringversuch zur Demonstration der Lenz'schen Regel Der Thomson sche Ringversuch stellt mit minimalem technischem Aufwand ein sehr effektvolles Beispiel zur Lenz schen Regel dar. In Abbildung 7 ist die Schaltskizze des verwendeten Schaltkreises zu sehen. 7 Abbildung 7: Schaltskizze für den Ringversuch (gestrichelter Bereich: geschlossene Box) In diesem Aufbau hat man eine Teilung des Doppelschalters S in zwei nicht gekoppelte Schalter S1 und S2. Dies trennt den Ladekreis der Kondensatorbank C (linke Seite über S1) vom Schwingkreis (rechte Seite über S2) und ermöglicht so eine zeitliche Trennung von Laden und Abschießen des Rings. Die Kondensatorbank ist hier der Übersicht halber mit einer Ersatzkapazität C dargestellt. Um den Ladevorgang für die Kondensatoren so schonend wie möglich zu gestalten, wurde der Vorwiderstand R verbaut. Die Kondensatorbank besteht aus zehn parallel geschalteten Elektrolytkondensatoren mit je 330µF, dies ergibt eine Gesamtkapazität C von 3,33mF. Die verwendete Spule hat 120 Windungen in drei Lagen. Eine geladene Kondensatorbank stellt eine potenzielle Gefahrenquelle dar, da die gesamte gespeicherte Energie E = 1 2 CU2 (entspricht 88J bei 230V) mit einem sehr großen Stromfluss in einer sehr kurzen Zeit frei wird. Aus diesem Grund wurden alle Bauelemente in einer speziellen Box verbaut (in Abbildung 7 innerhalb des gestrichelten Rechtecks). Diese Box ist bis 500V gegen Überschlag gesichert und garantiert damit maximale Sicherheit für den Versuchsanwender. Die maximale Betriebsspannung während des Praktikums liegt bei 230V. Ein Foto der Anordnung ist in Abbildung 8 gezeigt. Sie besteht

8 aus einem Gleichspannungsnetzgerät (Nummer 1), einem Oszilloskop (Nummer 2), einem Schalter (Nummer 3), einer Kondensatorbank (Nummer 4), einer Spule mit Eisenkern (Nummer 5) und einem Aluminiumring (Nummer 6). Der Schalter S1 wird mit Laborkabeln sowohl mit der Kondensatorbox als auch mit der Spannungsquelle verbunden. Innerhalb der Box sind der Widerstand R, die Kondensatorbank C und der Schalter S2 fest verlötet. Zusätzlich wurde noch eine BNC-Steckerbuchse, mit deren Hilfe die Kondensatorspannung am Oszilloskop abgelesen werden kann, verbaut. Die Spule L wird wiederum mit Hilfe von Laborkabeln mit der Box verbunden. Abbildung 8: Versuchsanordnung Thomson'scher Ringversuch Hier soll der Ringversuch nur qualitativ und nicht quantitativ auf seine Abhängigkeiten untersucht werden. Ruft man sich seine Funktionsweise wie oben beschrieben in Erinnerung, so gibt es zwei Parameter, welche die Flughöhe des Rings wesentlich beeinflussen können. Diese sind die an der Kondensatorbank anliegende Spannung U und die elektrische Leitfähigkeit des Rings. Aufgabe 1: Bauen Sie den Versuch auf und legen Sie den Ring auf die Abschuss-Spule. Achtung: Rufen Sie vor dem ersten Einschalten eine/n Betreuer/in und starten Sie das Experiment nicht ohne Aufsicht! Laden Sie dann die Kondensatorbank auf nicht mehr als 230V auf, überprüfen Sie den Ladezustand der Kondensatoren immer mit dem Oszilloskop. Hinweis: In der Box ist vor dem BNC-Signalausgang ein 10:1 Spannungsteiler eingebaut, derart, dass am Oszilloskop nur ein Zehntel der tatsächlichen Ladespannung angezeigt wird. Feuern Sie nun den Ring ab. Aufgabe 2: Überprüfen Sie nun die Abhängigkeit der Flughöhe von der Temperatur des Rings ( in Eis kühlen) sowie von der angelegten Ladespannung. Welchen Einfluss hat die Temperatur und warum? 8

9 Aufgabe 3: Schätzen Sie grob die größtmögliche Flughöhe des Rings ab, die Sie im Experiment erreichen können. Berechnen Sie daraus die in potentielle Energie umgesetzte Energie. Berechnen Sie außerdem die theoretische Flughöhe, die der Ring erreichen könnte, falls die gesamte in den Kondensatoren gespeicherte Energie in potentielle Energie umgesetzt werden könnte. Wie groß ist demnach der Wirkungsgrad der Anordnung? 9