Algorithmen zur Visualisierung von Graphen
|
|
- Bertold Heintze
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Algorithmen zr Visalisierng on Graphen Flssmethoden nd Einbettngsprobleme Vorlesng im Wintersemester 2011/
2 Winkelaflösng in geradlinigen Layots
3 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F
4 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f}
5 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A
6 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A
7 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π V
8 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst
9 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst Zeisng on Winkelerten liefert: 1. Knotenbed.: V : f x(, f) = 2π 2. Facettenbed.: f F : f x(, f) = (deg(f) 2)π
10 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst Zeisng on Winkelerten liefert: 1. Knotenbed.: V : f x(, f) = 2π 2. Facettenbed.: f F : f x(, f) = (deg(f) 2)π 1. nd 2. erfüllt: Zeisng lokal konsistent
11 Gegenbeispiel Lokalkonsistenz x 10π 6 π 6 π 6 19π 12 π 6 3π 12 2π 3 2π 3 2π 3 π 12 π 6 21π 12
12 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1
13 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1 Konstrktion in O(n)
14 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1 Konstrktion in O(n) nicht drch Flss erfüllt
15 Untere Schranke Satz (Malitz & Papkostas 92) In einem trianglierten, planar eingebetteten Graph G = (V, E), gibt es im zgehörigen Flssnetzerk N(G) einen Flss x, dessen minimaler Kantenert x min π 3 (deg max (G) 1) ist, obei deg max der maximale Grad eines Knoten in G ist. Ergibt ntere Schranke für obere Schranke der Winkelaflösng
16 Resltate mit fester Einbettng Satz (Tamassia 87) G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettng Orthogonale Zeichnng on G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet erden.
17 Resltate mit fester Einbettng Satz (Tamassia 87) G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettng Orthogonale Zeichnng on G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet erden. Satz (Di Battista, Tamassia 88) Gegeben ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A) mit Einbettng F, f 0. Es kann effizient getestet erden, ob D mit ein hete: Einbettng F nd äßerer Facette f 0 afärtsplanar ist. Ein entsprechendes Layot kann ggf. effizient konstriert erden.
18 Resltate mit ariabler Einbettng Satz (Garg, Tamassia 01) G Maxgrad-4-Graph mit ariabler Einbettng Entscheiden, ob G orthogonale Zeichnng ohne Knicke besitzt ist NP-scher. Minimierng scher af O(n 1 ε ) z approximieren. Satz (Garg, Tamassia 01) D = (V, A) planarer, gerichteter, azyklischer Graph mit ariabler Einbettng. Entscheiden, ob D eine afärtsplanare Zeichnng besitzt ist NP-scher. Satz (Biedl, Kant 94) Jeder planare maxgrad-4 Graph aßer dem Oktaedergraph besitzt orthogonale, planare Zeichnng mit höchstens zei Knicken pro Kante.
19 Variable Einbettngen: SPQR-Bam (Eingeführt on Di Battista, Tamassia 96)
20 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10
21 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10
22 SPQR-Bam (Beispiel) S P R S S 9 10
23 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10
24 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s t
25 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s Maximale Split-Komponente eines Split Pairs {s, t}: Kante st Maximaler Teilgraph on G, für den {s, t} kein split pair ist. s s t s s t t t t
26 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s Maximale Split-Komponente eines Split Pairs {s, t}: Kante st Maximaler Teilgraph on G, für den {s, t} kein split pair ist. s s t s s Skizze on G bezüglich Split pair {s, t}: s t t t t t
27 SPQR-Bam, Fakten: SPQR-Bam für 2-fach zsammenhängenden Graph G: Bam T Blätter entsprechen bijekti den Kanten on G Jeder Knoten µ on T ist mit Mltigraph skel(µ) assoziert Skelett on µ Blätter on T heißen Q-Knoten
28 SPQR-Bam, Fakten: SPQR-Bam für 2-fach zsammenhängenden Graph G: Bam T Blätter entsprechen bijekti den Kanten on G Jeder Knoten µ on T ist mit Mltigraph skel(µ) assoziert Skelett on µ Blätter on T heißen Q-Knoten Skelette on Knoten: Kreis, Menge paralleler Kanten oder 3-fach zshg. Graph Knoten on skel(µ) sind Knoten on G Kante in skel(µ) besagt: {, } ist Split Pair in G Kanten sind enteder irtelle Kanten oder echte Kanten (Kanten as G) Kanten in skel(µ) entsprechen Nachbarn on µ in T
29 SPQR-Bam, Knoten nd Skelette Knoten-Art Q-Knoten (Blätter) Skelett irtelle Kante S-Knoten (Serie) P-Knoten (Parallel) R-Knoten (Rigid)
30 Konstrktion des SPQR-Bams Wähle Referenzkante e = on G Z jedem Zeitpnkt: Geg.: Split-Komponente G, Knotenpaar {, } nd Knoten ν Ges.: Füge Knoten µ, der G entspricht z T als Kind on ν hinz Eingangs: G := G e, {, } := {, }, ν ist Q-Knoten, der e repräsentiert.
31 Konstrktion des SPQR-Bams Wähle Referenzkante e = on G Z jedem Zeitpnkt: Geg.: Split-Komponente G, Knotenpaar {, } nd Knoten ν Ges.: Füge Knoten µ, der G entspricht z T als Kind on ν hinz Eingangs: G := G e, {, } := {, }, ν ist Q-Knoten, der e repräsentiert. Fallnterscheidng gemäß Strktr on G Basisfall: G einzelne Kante T ist einzelner Q-Knoten Serie: G nicht 2-fach zsammenhängend Parallel: {, } Split Pair on G Rigid:... Definiere jeeils entsprechendes Skelett Füge Kante z jedem Skelett hinz (Rest des Graphen)
32 Konstrktion des SPQR-Bams G
33 Konstrktion des SPQR-Bams G
34 Konstrktion des SPQR-Bams G S
35 Konstrktion des SPQR-Bams G S
36 Konstrktion des SPQR-Bams G S
37 Konstrktion des SPQR-Bams G S P
38 Konstrktion des SPQR-Bams G S P
39 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e 2 P d
40 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e 2 P S a e d
41 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e P S a e d
42 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 a 8 11 b 10 c e P S a e d
43 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 b c 1 5 a 8 e 9 7 d R P S a e b a e d
44 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 b c 1 5 a 8 e d R P S a e b a e d
45 Konstrktion des SPQR-Bams 3 S 4 b 10 c R P S a b a d e e
46 Konstrktion des SPQR-Bams 3 S 4 b 10 c R P a S S 9 10 a b d e e
47 Konstrktion des SPQR-Bams G S R P a S S 9 10 a b d e e
48 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern
49 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern {s, t} ist maximal, enn 1. besitzt interne Split-Komponente 2. keine andere maximal interne Splitkomponente bzgl. {s, t } die Knoten s nd t enthält
50 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern {s, t} ist maximal, enn 1. besitzt interne Split-Komponente 2. keine andere maximal interne Splitkomponente bzgl. {s, t } die Knoten s nd t enthält { 1, 1 },..., { k, k } maximale Split Pairs, G i Vereinigng aller inneren maximalen Split-Komponenten on { i, i } Konstrktion on skel(µ): ersetze G i drch Kante e i
51 Verschmelzen on Skeletten Skelette benachbarter Knoten teilen sich gena zei Knoten gena eine irtelle Kante Wrzelng liefert spezielle irtelle Kante für jeden Knoten µ Endknoten heißen Pole on µ Verschmelze zei Skelette: Identifiziere gemeinsame Knoten nd irtelle Kante Entferne gemeinsame irtelle Kante S P
52 Verschmelzen on Skeletten Skelette benachbarter Knoten teilen sich gena zei Knoten gena eine irtelle Kante Wrzelng liefert spezielle irtelle Kante für jeden Knoten µ Endknoten heißen Pole on µ Verschmelze zei Skelette: Identifiziere gemeinsame Knoten nd irtelle Kante Entferne gemeinsame irtelle Kante S P
53 Pertinent Graph nd Allokationsknoten Pertinent Graph pert(µ) entsteht drch skzessies Verschmelzen on µ mit allen Skeletten im Teilbam on µ Pertinent Graph des Wrzelknotens ist G Nützlich für dynamische Programmierng Allokationsknoten eines Knoten as G sind alle Knoten µ, deren Skelett enthält. Bilden Teilbam on T
54 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G
55 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar
56 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar
57 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar Welche Rolle spielt die Wrzel? Referenzkante liegt af äßerer Facette Bette Skelette so ein, dass Referenzkante aßen liegt Ohne Referenzkante: Einbettngen af der Kgel
58 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar Welche Rolle spielt die Wrzel? Referenzkante liegt af äßerer Facette Bette Skelette so ein, dass Referenzkante aßen liegt Ohne Referenzkante: Einbettngen af der Kgel Zentrale Assage: Einbettng on G Einbettngen aller Skelette
59 Bemerkngen (nr für planare Graphen) SPQR-Bam repräsentiert alle planaren Einbettngen on 2- fach zsammenhängenden planaren Graphen SPQR-Bam hat Größe O(n) Berechnng in Linearzeit [Gtenger, Mtzel 00] Ermöglicht Optimierng über alle Einbettngen
60 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität?
61 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0)
62 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0) FLEXDRAW mit positier Flexibilität: flex(e) 1 für e E
63 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0) FLEXDRAW mit positier Flexibilität: flex(e) 1 für e E Satz (Bläsis, Krg, Rtter, Wagner 11) FLEXDRAW mit positier Flexibilität lässt sich in O(n 2 ) Zeit lösen. Skizze für O(n 5/2 )
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Kombinatorische Optimierung mittels Flussmethoden II Vorlesung im Wintersemester 2011/2012 10.11.2011 Orthogonale Zeichnungen II letztes Mal: Satz G Maxgrad-4-Graph
MehrPlanaritätstest von Boyer und Myrvold
Planaritätstest on Boer nd Mrold A I E D C G H J F H K 0..8 Überblick Planare Graphen, Zeichnngen nd Rotationsssteme Algorithms on Boer-Mrold, Walkp, Walkdon Korrektheit Lafzeit O(n) Folgerngen 0..8 Planare
MehrPlanarität und Dualität
Kapitel 3 Planarität nd Dalität Bei der Darstellng on Diagrammen nd bei der Realisierng on Schaltngen af Chips tritt das Problem af, den raphen so darzstellen, dass sich möglichst wenige Kante krezen.
MehrInformatik II, SS 2018
Informatik II - SS 2018 (Algorithmen & Datenstrktren) Vorlesng 11 (30.5.2018) Binäre Schbäme III Fabian Khn Algorithmen nd Komplexität Fabian Khn Bemerkngen z den Übngen Hete m 8:15 hat ein Ttorat stattgefnden.
MehrInformatik II, SS 2016
Informatik II - SS 2016 (Algorithmen & Datenstrktren) Vorlesng 12 (3.6.2016) Binäre Schbäme IV Fabian Khn Algorithmen nd Komplexität Fabian Khn Rot-Scharz-Bäme Ziel: Binäre Schbäme, elche immer balanciert
MehrFlussmethoden: orthogonales Graphenzeichnen
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Tamara Mchedlidze Martin Nöllenburg 04.2.203 Orthogonale Gitterzeichnungen 2 Orthogonale Gitterzeichnungen
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Flussmethoden Knickminimierung in orthogonalen Layouts Vorlesung im Sommersemester 2009 Martin Nöllenburg.05.2009 Lehrstuhl für Algorithmik nstitut für Theoretische
MehrEffizienter Planaritätstest Vorlesung am
Effizienter Planaritätstest Vorlesung am 23.04.2014 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER Satz Gegebenen einen Graphen G = (V, E) mit n Kanten und m Knoten, kann in O(n + m) Zeit
Mehr5 Anwendung Tiefensuche: Starke Zusammenhangskomponenten
55 5 Anwendng Tiefensche: Starke Zsammenhangskomponenten Starke Zsammenhangskomponenten beziehen sich immer nr af gerichtete Graphen. Der Begriff der Zsammenhangskomponente im ngerichteten Graph besagt,
MehrÜbung zur Vorlesung Diskrete Mathematik (MAT.107) Blatt Beispiellösungen Abgabefrist:
Svenja Hüning, Michael Kerber, Hannah Schreiber WS 2016/2017 Übung zur Vorlesung Diskrete Mathematik (MAT.107) Blatt Beispiellösungen Abgabefrist: Hinweise: Dieses Blatt präsentiert Beispiellösungen zu
MehrGraphentheorie. Planarität und Dualität. Planarität und Dualität. Planarität und Dualität. Rainer Schrader. 28. November 2007.
raphentheorie Rainer Schrader Zentrm für Angewandte Informatik Köln 8. Noember 007 1 / 67 / 67 liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität
Mehr3. Übung zur Vorlesung Planare Graphen
3. Übung zur Vorlesung Planare Graphen Übung 20. Mai 14 Andreas Gemsa INSTITUTE OF THEORETICAL INFORMATICS PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen
Gitterlayouts fu r planare Graphen I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK L EHRSTUHL A LGORITHMIK I M ARCUS K RUG KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales Forschungszentrum in der
Mehr4 Tiefensuche in gerichteten Graphen
43 4 Tiefensche in gerichteten Graphen Wir betrachten znächst das folgende Beispiel. Beispiel 4.1: 1/ / / 1/ 2/ / 1/ 2/ / 1/ 2/ / / / x / / / / y z x y z x y z x y (a) (b) (c) (d) / 3/ / 4/ 3/ / z 1/ 2/
MehrTI-1 vom doc - 1 Vorlesungsscript Theoretische Informatik I Erstellt von Marco Kuhrmann,
TI- vom 3.6..doc - Vorlesngsscript Theoretische Informatik I Erstellt von Marco Khrmann, 789 VORESUNGSSCRIPT THEORETISCHE INFORMATIK I Vom 3.6. RÜCKBICK: NERODE-ÄQUIVAENZ... Beispiel... 4.5. MINIMIERUNG
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I cript zr Vorlesng om 090620000 Angefertigt on: Matrikel-Nr: 702781 Woraf rde in dieser Vorlesng eingegangen? 1 Eingehen af die orherigen Vorlesng 1 2 ystematische Konstrktion
Mehr2. November Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37
2. November 2011 Gradfolgen Zusammenhang Kürzeste Wege H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 37 Satz von Erdős und Gallai Eine Partition einer natürlichen Zahl ist genau dann die Gradfolge
MehrNachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz
Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Definition Eigenschaften von Graphen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. 1 Die Nachbarschaftschaft Γ(u) eines Knoten u V ist Γ(u) := {v V {u, v} E}. 2 Der Grad
Mehr3-Färbbarkeit. Korollar: Zu Entscheiden, ob ein Graph k-färbbar ist mit k 3, ist NP-vollständig.
3-Färbbarkeit Wir wissen bereits, dass in polynomieller Zeit entschieden werden kann, ob ein Graph 2-färbbar ist. Satz: Zu Entscheiden, ob ein Graph 3-färbbar ist, ist NPvollständig. Beweis: Reduktion
MehrEinheit 11 - Graphen
Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)
MehrBlatt 14.2: Integralsätze von Gauß und Stokes
Fakltät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 205/6 Dozent: Jan on Delft Übngen: Benedikt Brognolo, Dennis Schimmel, Frake Scharz, Lkas Weidinger http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/5r/
MehrLösungsskizzen zu den Klausuraufgaben zum Kurs 1142 Algorithmische Mathematik
Lösngsskizzen z den Klasrafgaben zm Krs 4 Algorithmische Mathematik 4LN08 Afgabe. Zeigen Sie: a) n + n ist eine gerade Zahl für alle n N. Lösng: Wir zeigen die Behaptng per Indktion. Für n = 0 ist offenbar
MehrKanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz
Kanonische Ordnungen und die Mondshein-Sequenz a.k.a. (2,)-Order 2 8 0 9 5 7 6 2 Überblick Geradlinige Zeichnungen Kanonische Ordnungen + Shift-Algorithmus Erweiterungen durch Ohrendekompositionen Mondshein-Sequenz
Mehrdurch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.
Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Teile & Herrsche-Algorithmen: Bäume und serien-parallele Graphen Vorlesung im Wintersemester 20/202..202 Algorithmen zum Zeichnen von Bäumen Anwendbarkeit Gut
MehrWS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Planare Graphen, Färbung)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Planare Graphen, Färbung) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrAnalysis II für M, LaG/M, Ph
Fachbereich Mathematik Prof Dr M Hieber Robert Haller-Dintelmann Horst Heck TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT ASS 008 195008 Analysis II für M, LaG/M, Ph 7 Übng mit Lösngshinweisen G 1 Grppenübngen Af der
MehrAlgorithmen für Planare Graphen
Algorithmen für Planare Graphen 12. Juni 2018, Übung 4 Lars Gottesbüren, Michael Hamann INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Prüfungstermine
MehrÜbungsaufgaben Graphentheorie, Wintersemester 2011/12
Übungsaufgaben Graphentheorie, Wintersemester 2011/12 Frank Göring 25. Januar 2012 Zusammenfassung Übungsaufgaben zur Graphentheorievorlesung. 1 Bis 19.10.2011 1. Wir hatten einen Graphen G als zusammenhängend
MehrZeichnen von Graphen
von Graphen Fabio Valdés Programmierpraktikum WS 2016/17 Lehrgebiet Datenbanksysteme für neue Anwendungen FernUniversität in Hagen Programmierpraktikum Zeichnen von Graphen 08.10.2016 1 / 28 Gliederung
MehrDiskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008
Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9
MehrGraphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S
Minimale Graphentheorie Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen Lagenlayouts
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Lagenlayouts Marcus Krug Institut für Theoretische Informatik 25.06.2009 1/ 41 E-Mail-Graph der Fakultät für Informatik 2/ 41 E-Mail-Graph der Fakultät für Informatik
MehrRichtig oder falsch? Richtig oder falsch? Richtig oder falsch? Mit dynamischer Programmierung ist das Knapsack- Problem in Polynomialzeit lösbar.
Gegeben sei ein Netzwerk N = (V, A, c, s, t) wie in der Vorlesung. Ein maximaler s-t-fluss kann immer mit Hilfe einer Folge von höchstens A Augmentationsschritten gefunden werden. Wendet man den Dijkstra-Algorithmus
MehrRauten-Mitten-Kegelschnitte zu vier Geraden. Eckart Schmidt. 1. Vorbemerkungen
Raten-Mitten-Kegelschnitte z ier Geraden 1 Vorbemerkngen Eckart chmidt Z ier Geraden g 1, g, g 3, g 4 erden Raten R 1 R R 3 R 4 betrachtet, deren Ecken entsprechend der Indizierng af den orgegebenen Geraden
MehrFreie Bäume und Wälder
(Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Martin Lercher Institut für Informatik Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Teil 9 Graphen Version vom 13. Dezember 2016 1 / 1 Vorlesung Fortsetzung 13. Dezember
MehrFormale Grundlagen. Graphentheorie 2008W. Vorlesung im 2008S
Minimale Formale Grundlagen Graphentheorie Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt Minimale
MehrÜbung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I
Technische Universität München WS 00/0 Institut für Informatik Aufgabenblatt Prof. Dr. J. Csirik. November 00 Brandt & Stein Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Abgabetermin: Tutorübungen am. und.
MehrDieser Graph hat 3 Zusammenhangskomponenten
Vl 2, Informatik B, 19. 04. 02 1.1.3 Definitionen und wichtige Graphen Sei im folgenden G =(V;E) ein schlichter ungerichteter Graph. Definition: Der Grad eines Knoten v in einem ungerichteten Graphen ist
MehrVisualisierung von Graphen
1 Visualisierung von Graphen Geradlinige Zeichnungen planarer Graphen 6. Vorlesung Sommersemester 2013 (basierend auf Folien von Marcus Krug und Tamara Mchedlidze, KIT) 2 Planare Graphen: Charakterisierung,
MehrBlatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes
Fakltät für Physik Jan on Delft, Katharina Stadler, Frake Scharz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 203/4 http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/3t0/ Blatt 2: Satz on Gass, Satz on Stokes
MehrDiskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht)
Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Dr. C. Löh 2. Februar 2010 0 Graphentheorie Grundlagen Definition (Graph, gerichteter Graph). Ein Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge ist (die
MehrGraphentheorie. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Kardinalitätsmatchings. Rainer Schrader. 11. Dezember 2007
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 11. Dezember 2007 1 / 47 2 / 47 wir wenden uns jetzt einem weiteren Optimierungsproblem zu Gliederung Matchings in bipartiten Graphen
MehrIsomorphie von Bäumen
Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................
MehrOptimieren von Schnittplänen
30. Juli, 015 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 4 Worum geht es? Wir wollen möglichst effizient Druckbögen zerschneiden Dazu verwenden wir nur Guillotinen-Schnitte Worum geht es? Wir wollen möglichst effizient
MehrDer Approximationsalgorithmus von Christofides
Der Approximationsalgorithms on Christofides Problem: Traeling Salesman Inpt: Ein Graph G = (V, E) mit einer Distanzfnktion d : E Q 0. Afgabe: Finde eine Tor, die alle Knoten des Graphen G gena einmal
MehrGraphentheorie. Perfekte Graphen. Perfekte Graphen. Perfekte Graphen. Rainer Schrader. 22. Januar 2008
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 22. Januar 2008 1 / 47 2 / 47 eine Clique in G ist ein induzierter vollständiger Teilgraph Gliederung α- und χ-perfektheit Replikation
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrAnordnungstechniken für konvektionsdominante Probleme im Ê 3. Dimensionsunabhängige Verfahren. Algorithmen für planare Graphen. Numerische Beispiele
Anordnungstechniken für konvektionsdominante Probleme im Ê 3 Inhalt: Einführung Dimensionsunabhängige Verfahren Algorithmen für planare Graphen Anordnungen im Ê 3 Numerische Beispiele 2 Einführung betrachtet
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 07..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrInhaltsverzeichnis. Eigenschaften. Eigenschaften. 1 outerplanare Graphen. 2 k-outerplanare Graphen. Outerplanarity. Julie Meißner & Sebastian Sondern
Vortrag zur Vorlesung Graphalgorithmen WS09 & Beispiele 0. November 009 / Inhaltsverzeichnis & Beispiele & Beispiele / - outerplanar (G=(V,E) outerplanar) G planar und & Beispiele / - outerplanar (G=(V,E)
MehrKapitel IV Minimale Spannbäume
Kapitel IV Minimale Spannbäume 1. Grundlagen Ein Graph G = (V, E) besteht aus einer Menge V von Knoten und einer Menge E von Kanten. Wir werden nur endliche Knoten- (und damit auch Kanten-) Mengen betrachten.
MehrVorlesungstermin 2: Graphentheorie II. Markus Püschel David Steurer. Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 2018, ETH Zürich
Vorlesungstermin 2: Graphentheorie II Markus Püschel David Steurer Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 2018, ETH Zürich Wiederholung: Vollständige Induktion Ziel: zeige n N. A(n) für eine Aussage
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08
Mehr5 Graphen. Repräsentationen endlicher Graphen. 5.1 Gerichtete Graphen. 5.2 Ungerichtete Graphen. Ordnung von Graphen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 Grundlagen der Mathematik für Informatiker 5 Graphen 5.1 Gerichtete Graphen Definition 5.1 (V, E) heißt gerichteter Graph (Digraph), wenn V Menge von Knoten
MehrAlgorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum
MehrÜbung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I
Technische Universität München WS 00/03 Institut für Informatik Aufgabenblatt 6 Prof. Dr. J. Csirik 18. November 00 Brandt & Stein Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen I Abgabetermin: Tutorübungen am
MehrGraphen. Definitionen
Graphen Graphen werden häufig als Modell für das Lösen eines Problems aus der Praxis verwendet, wie wir im Kapitel 1 gesehen haben. Der Schweizer Mathematiker Euler hat als erster Graphen verwendet, um
MehrAlgorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck. 10 Matching-Probleme
10 Matching-Probleme 10.1 Definition von Matching-Probleme Definition 21 [2-dimensionales Matching] Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph und E E. E ist ein Matching, wenn für alle Kantenpaare e 1, e
MehrApproximationsalgorithmen
Approximationsalgorithmen 1. Vorlesung Joachim Spoerhase Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Wintersemester 2017/18 Bücher zur Vorlesung Vijay V. Vazirani Approximation Algorithms Springer-Verlag
MehrGraphen und Bäume. A.1 Graphen
Algorithmen und Datenstrukturen 96 A Graphen und Bäume A.1 Graphen Ein gerichteter Graph (auch Digraph) G ist ein Paar (V, E), wobei V eine endliche Menge und E eine Relation auf V ist, d.h. E V V. V heißt
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -
Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8
MehrProgrammiertechnik II
Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind
Mehr\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.
Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )
MehrMaximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen Lagenlayouts Teil 2
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Teil 2 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Tamara Mchedlidze Martin Nöllenburg Ignaz Rutter 18.12.2012 Geg.: gerichteter Graph D = (V,
MehrOverview. Testen von Planarität. Planare Graphen. Beliebige Knotenpositionen. Gerade Linien. Faces
Overview Testen von Planarität Markus Chimani LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Automatisches Zeichnen von Graphen 15 Planarität Grundbegriffe Wie erkennt man Planarität Boyer-Myrvold Überblick
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
MehrBetriebswirtschaftliche Optimierung
Institut für Statistik und OR Uni Graz 1 Approximationsalgorithmen auf metrischen Instanzen Minimum Spanning Tree Definition (Spannbaum) Ein Spannbaum in einem Graphen G = (V,E) ist ein kreisfreier Teilgraph
MehrSeien u, v V, u v. Da G zusammenhängend ist, muss mindestens ein Pfad zwischen u und v existieren.
Beweis: 1. 2. Seien u, v V, u v. Da G zusammenhängend ist, muss mindestens ein Pfad zwischen u und v existieren. Widerspruchsannahme: Es gibt zwei verschiedene Pfade zwischen u und v. Dann gibt es einen
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrPolygontriangulierung
Vorlesung Algorithmische Geometrie Polygone triangulieren LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 26.04.2011 Das Kunstgalerie-Problem
MehrKapitel 9: Lineare Programmierung Gliederung
Gliederung 1. Grundlagen 2. Zahlentheoretische Algorithmen 3. Sortierverfahren 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Dynamisches Programmieren 6. Graphalgorithmen 7. String-Matching 8. Kombinatorische Algorithmen
MehrBetriebliche Optimierung
Betriebliche Optimierung Joachim Schauer Institut für Statistik und OR Uni Graz Joachim Schauer ( Institut für Statistik und OR Uni Graz Betriebliche ) Optimierung 1 / 21 1 Approximationsalgorithmen auf
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrVorlesung 1: Graphentheorie. Markus Püschel David Steurer. Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 2018, ETH Zürich
Vorlesung 1: Graphentheorie Markus Püschel David Steurer Algorithmen und Datenstrukturen, Herbstsemester 2018, ETH Zürich Plan für die ersten Vorlesungen Vorlesungen 1,2: wichtige mathematische Grundlagen;
MehrÜbung Theoretische Grundlagen
Übung Theoretische Grundlagen Komplexitätstheorie Nico Döttling 8. Januar 2010 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in
MehrSchematisierung von Karten
Vorlesung Algorithmische Kartografie Schematisierung von (Straßen-)Karten LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 30.04.2013 Schematische
MehrBäume und Wälder. Definition 1
Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt
MehrÜbungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17
Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr
MehrArbeitsheft zur NP-Vollständigkeit
Arbeitsheft zur NP-Vollständigkeit (BuK / WS 2017 / RWTH Aachen) Gerhard J. Woeginger Dieses Arbeitsheft enthält einige Übungsaufgaben zur NP-Vollständigkeit. Jede Aufgabe besteht im Wesentlichen aus einem
Mehr1 Pfade in azyklischen Graphen
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 5) 17.11.2008 1 1 Pfade in azyklischen Graphen Sei wieder ein gerichteter Graph mit Kantengewichten gegeben, der diesmal aber keine Kreise enthält, also azyklisch ist.
MehrAufgaben zu Kapitel 8
8. Der Kreis lässt sih drh seinen Mittelpnkt nd seinen Radis darstellen. Man benötigt die Distanz om Masklikpnkt zm Kreismittelpnkt. Wenn diese kleiner (oder gleih) dem Radis ist, trifft der Masklikpnkt
MehrArgumentationen zu ermöglichen, verlangen wir, dass diese Eigenschaft auch für induzierte Teilgraphen
Kapitel 9 Perfekte Graphen 9.1 α- und χ-perfektheit Eine Clique in einem Graphen G ist ein induzierter vollstäniger Teilgraph. Die Cliquenzahl ω(g) ist die Kardinalität einer größten in G enthaltene Clique.
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrKlausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik
Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik 11.2.2014 Aufgabe 1 [10 Punkte] Sei G ein ungerichteter Graph, k N und x, y, z V (G). Zeigen Sie: Gibt es k paarweise kantendisjunkte x-y-wege und
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 16 Programm: Einführung
Mehr8. Konvexe Polytope. Tobias Boelter. Mittwoch, 5. März TopMath Frühlingsschule
1 / 31 8. Konvexe Tobias Boelter TopMath Frühlingsschule Mittwoch, 5. März 2014 2 / 31 Es können auch nicht konvexe untersucht werden, wir beschränken uns hier aber auf konvexe. Mit einem Polytop ist hier
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 16. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik
Foliensatz 16 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 45 Graphen TU Ilmenau Seite 2 / 45 Graphen 1 2 3 4 5 6 7 8
MehrWaagbalkenuhr BUCO 1320
Waagbalkenhr BUCO 130 Waagbalkenhr BUCO 130 Berechnng - 1 - Waagbalkenhr BUCO 130 1 INHALTVERZEICHNIS 1 Inhaltverzeichnis... Einleitng...3 3 Berechnngen...4 3.1 Drehbewegng des Waagbalkens...4 1. Schwingngsamplitde...4
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester
MehrKAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN
KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten
MehrProportional Symbol Maps
Proportional Symbol Maps Florian Simon 8. Dezember, 2009 Proportional Symbol Maps Gegeben: Punkte p 1,..., p n R 2 mit zugeordneten Werten w 1,..., w n R Proportional Symbol Maps Gegeben: Punkte p 1,...,
Mehr