8. Hubble-Konstante und Zeitänderung

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1 8. Hubble-Konsane und Zeiänderung Gehen wir von dem Ansaz eines linear wachsenden niversums aus, dann haben wir zwei Möglichkeien, die Einsein schen Feldgleichungen zu lösen. µν µν 8π G µν g = T () c² Zum einen können wir den Ansaz eines saischen, kugelsymmerischen Körpers benuzen, bei dem die Masse der Maerie konsan mi dem adius zunimm und davon die Innenraumlösung berachen. Zum anderen können wir auch weier einen dynamischen Ansaz verwenden und das niversum als isorop annehmen. Dann lieg unsere Posiion näherungsweise im mileren Bereich und wir können den aum als homogen berachen, indem nun nich mehr die Energiediche gleichmäßig vereil is, bei dem aber der aum zwischen den Körpern sich homogen über das ganze niversum bewegen kann. Diese Bewegung bei dieser speziellen Massenvereilung können wir uns dann genauer ansehen. Das heiß, der aum kann sich bewegen, er soll es jez nur nich mehr und dadurch spiel es keine große olle, ob die Bewegung überall gleich aussieh. Ineressan bei diesem Ansaz is, dass wir den Skalenfakor () der dabei eingeführ wird, auch als eine Zeigröße versehen können. Wenn sich nich der aum sondern die Zei mi dem adius änder, dann enfernen sich die Objeke auch voneinander, allerdings jez nich mehr räumlich, sondern zeilich. Vergeh beispielsweise die Zei in großer Enfernung langsamer als bei uns, würde dor ein Mensch langsamer alern und dieser nerschied wäre umso auffälliger, je länger die Zei vergeh. Wir enfernen uns voneinander in der Zei. Die Zei is nich mehr konsan sondern posiionsabhängig. Weier innen vergeh sie schneller, weier außen langsamer. Die Zeigeschwindigkei T nimm also nach außen hin ab. Diese Abnahme soll proporional zur Enfernung sein und dami proporional zum Skalenfakor (). Da er hier als Zeifakor verwende wird, würde die Zeigeschwindigkei mi zunehmender Zeidauer, die das Signal brauch um zu uns zu kommen, langsamer gehen und das proporional T / T = cons (). Denn wenn wir uns näherungsweise bei diesen galakischen Größen im rsprung befinden, dann würde jedes Signal, das geodäisch zu uns komm, genau wie eine

2 Längeneinhei, eine Enfernung aus der -ichung bedeuen, also aus Bereichen, die eine langsamere Zeigeschwindigkei haben. Diese Proporionaliä würde zu einer overschiebung führen, die sich nich von einer scheinbaren Fluchbewegung der Galaxien unerscheiden läss. Eine Bewegung mi einer konsanen Geschwindigkei bedeue eine Zeidehnung und eine Veränderung im dreidimensionalen aum in eine der drei aumrichungen. Bewegung heiß gleich Zeidehnung. Aber auch beschleunige Syseme dehnen die Zei, doch gib es beschleunige Syseme wie solche im Schwerfeld von Massen, die durch elekrische Gegenkräfe, auf der Oberfläche der Körper ruhen. Sie befinden sich im gleichen Sysem und bewegen sich nich. Trozdem geh die Zei dor langsamer. Also können Syseme, die durch Gegenkräfe ausgeglichen sind und ruhen, die Zei dehnen, ohne dass sie sich im aum bewegen. Auf der Erde is das nur auf dem fesen Boden möglich, weil die Graviaionskräfe bei so großen Massen sehr sark sind und die elekrischen Kräfe als einzige eine Gegenkraf aufbauen können. Auf große Dimensionen im niversum berache, wirken auf alle Massen nur anziehende Kräfe, da die Körper insgesam elekrisch neural sind. Folglich müssen sich alle Massen über kurz oder lang anziehen. Anders bei diesem Aufbau. Hier können sich die beiden Ebenen, aus denen die Elemenareilchen zusammengesez sind, zueinander verschieben. Kommen sich die beiden inneren Ebenen näher, dann seig die Masse, sie nehmen Energie auf. mgekehr enfernen sie sich voneinander, so geben sie Energie ab. Aus der Sich der Aome wird die Enfernung zu anderen Teilchen in dieser Verbindungsdimension ewas kleiner oder größer. Die Zei und der aum werden ein wenig gedehn. Dazu muss sich das Teilchen nich zwangsläufig auf das zweie Teilchen zubewegen, es kann auch bei einer überlageren Gegenkraf nur särker in Bewegung sein, zum Beispiel in ungeordneen Zierbewegungen. Das is aber nich die zeibesimmende Größe, die hier gemein is. Neben den räumlichen Enfernungen, die man ausmessen oder in Koordinaensysemen besimmen und feslegen kann gib es noch einen zweien Ablauf der dem ganzen Prozess ers Leben verleih. Einen Zeiprozess, der eine Zeigröße is, die besimm wie of sich pro Zeieinhei zwei räumlich enferne Teilchen ausauschen. Dieser Ausauschprozess häng dann auch mi

3 der Drehung, dem Spin zusammen. Die Ebenen verändern sich in vier Zyklen, wobei jeder Zyklusabschni das immer gleiche Zeimaß ha. Diese Drehgeschwindigkei besimm den Zeiablauf, denn sie is die Zeigröße und sie kann langsamer und schneller gehen. Die Zeiänderung T kann durch eine Bewegung im aum, aber auch durch andere Massen gebrems werden, also langsamer gehen. Ha man einen Massenkörper der aus vielen mieinander verknüpfen einzelnen Teilchen beseh, so wird er durch eine Bewegung des Objekes insgesam in seiner Zei abgebrems. Für alle Teilchen geh dann dieser Zeizyklus langsamer, so dass es beispielsweise einem Menschen in einer sich schnell fliegenden akee gar nich auffäll, da diese Zeidehnung alle Zeiprozesse von allen mibewegen Teilchen beriff. Auf das gekrümme niversum überragen bedeue dies, dass Teilchen Energie abgeben können um im niversums in adiusrichung anseigen zu können oder man müsse Energie in Form einer Zeiänderung hinzufügen, wolle man weier nach innen kommen. Beide ichungen sehen genau im Gleichgewich mi der Anziehungskraf. Sie können sich wie auf der Erde zwar nich im Großen bewegen, ihre milere Geschwindigkei is Null, doch die Zei vergeh ensprechend zur Gesambeschleunigung der schweren Masse weier außen langsamer als weier innen und dass in ewa proporional zur Enfernung. Die overschiebung, könne also bedeuen, dass sich die Galaxien von uns weg bewegen, aber dann müsse sich ein absraker aum dehnen. Sie könne aber genauso bedeuen, dass die Zei langsamer vergeh, je weier man von Zenrum enfern is. Da wir es am and mi neuen Teilchen zu un haben, die ers langsam Konak zueinander aufnehmen, erfahren die Teilchen auch ers verspäe von nach innen wirkenden graviaiven Kräfen. Nehmen wir zunächs den ersen Fall einer saischen kugelsymmerischen Massenvereilung und berachen die zeiunabhängigen Lösungen, dann gil für den allgemeinen Ansaz des Linienelemens ν( r,) ( r,) ds² = e c² d ² e dr ² r ²( dϑ² + sin ² ϑdϕ) (3) Dabei soll ν(,) r = ν() r und (,) r = () r gelen denn es is zum einen kugelsymmerisch und zum anderen saisch. Dami reduzier sich das Linienelemen zu ν( r) ( r) ds² = e c² d ² e dr ² r ²( dϑ² + sin ² ϑdϕ) (4). 3

4 Für den Energie-Impuls Tensor nehmen wir auch den Ansaz für Gase und Flüssigkeien mi isoropem Druck. Dabei soll der Druck p und die Diche ρ zeiunabhängig und kugelsymmerisch sein. µν p µ ν µν T = ( ρ + ) pg (5) c² l dx Wir gehen davon aus, dass sich die Maerie nich beweg, dann is dτ =, also l sind alle = und = dx / dτ. Es gil folg g / ( r) = e ν und wir erhalen = ν ( e / c,,,). ν Mi (5) folg dann T = g( ρc² + p) g p= e ρc² (6). Weier erhalen wir noch von Null verschiedene Terme für ( ) T, T, T = pe (, r², r²sin² ϑ) (7). 33 / = g cund = g c daraus µ Mi T = g T = c² 3p (8) ergeben sich dann für den Tensor µ ρ S = T ( g / ) T (9) mi den als einzige von Null verschiedene µν µν µν Komponenen ( S, S, S, S33) = ( ρc² + 3 pe ) ν,( ρc² pr ) ²,( ρc² pr ) ²sin² ϑ (). Eingesez in die Feldgleichung folg mi der Bedingung, dass alle pariellen Ableiungen nach der Zei Null sind 8π G ² ( ² 3 ) 4 c pe ν + ν ν + ν = ρ + () r c 8π G ² ( ² ) c pe ν + ν ν = ρ () r c ( e ) 8π G ( ² ) c p re ν = ρ (3) r c Das sind die drei Differenialgleichungen die bei einem saischen, kugelsymmerischen Aufbau bei einer nich verschwindenden Diche und 4

5 einem isoropen Druck übrig bleiben. Daraus lassen sich die noch unbekannen ν und besimmen. Zieh man von Gleichung () die Gleichung () ab und lös nach ( re ) auf, dann erhäl man nach der Inegraion e GM () r = (4) cr ² GM [ ( r) + 5 π r³ p/ c²] und dami für ν = cr ² ²[ GM( r) / cr ² ] (5). Das von r> bis r = inegrier und der Bedingung, dass die Merik im unendlichen pseudo- GM euklidisch werden soll, führ uns auf ν ( r) = ln (6). Daraus folg die cr ² als Oppenheimer-Tolman-Volkoff-Gleichung bekanne Gleichung [ + / ² ][ + 4 ³ /( ² )] r² [ GM /( c² r) ] GM ρ p ρc πr ρ c M p () r = die wir hier auf das ganze niversum überragen wollen. (7), Bisher zeig sich, dass bei einem kugelsymmerischen Ansaz, bei dem wir uns nahe beim Zenrum befinden, sich keine Änderungen im Ansaz ergeben. Da allerdings nun nich zu erwaren is, dass bei der ypischen Diche in einem gleichmäßig mi Maerie gefüllen niversum sich ein nennenswerer Druck aufbau häen wir, außer in Sernen, keinen Gleichgewichszusand zu erwaren. Der ursprüngliche Ansaz war, die Feldgleichungen auf Sonnen bis hin zu Neuronensern anzuwenden. Dabei seh der innere Druck durch die Aome und Moleküle der graviaiven Anziehung engegen und führ zu einer Gleichgewichsbedingung, die einen saischen Aufbau ergib. Wollen wir diesen Ansaz auf den exrem ausgedünnen ganzen aum des niversums überragen, dann kann der hydrosaische Druck hier vollsändig vernachlässig werden. Die Teilchen erfahren eine zwar nur schwache Anziehung zum Zenrum hin, die aber in keiner Weise von einem Teilchenbewegungsdruck aufgehalen wird. 5

6 Allerdings zeig sich, dass uner unseren speziellen Bedingungen sich durchaus so ewas wie ein Gegendruck aufbau, weil die Masse zu einer besimmen niversums Sphäre gehör und wir ein Teilchen nur in -ichung zum Zenrum hin bewegen können, wenn wir Energie zuführen. Diese Energie is gleich groß wie die Graviaionsanziehung, jedoch mi umgekehren Vorzeichen. Bezogen auf ein einzelnes Teilchen is die Energieänderung in -ichung, die man brauch um das Teilchen von aus einen e -Schri anzuheben e e E= ( m + m ) c² = cm ² (8). Das Poenial wiederum, dass + e sich erhöh, wenn man sich um einen e -Schri weier vom Zenrum enfern beräg E Po GM ( ) m GM ( ) m GM m + e e + e = = (9) GM ( ) Mi der Grundbedingung, das bei selber gil = und der Bedingung c ² = () sind beide Energien gleich groß aber von engegengesezen e mt M Vorzeichen. Ein weieres beriff den Aufbau der Elemenareilchen selber, den wir hier mi zwei Ebenen der Größe A= e ² ansezen und deren Absand sich für die schweren Teilchen mi zunehmenden niversums adius immer mehr voneinander enfernen. Hier könne man noch einen Schri weier gehen und das elekrische Feld der beiden Ebenen und ihrem Absand zueinander als eine Ar Druck auffassen, der im Gleichgewich zur poeniellen Energie auf der jeweiligen niversums Schale seh. Vom Absand e ausgehend, bedeue ein sich zunehmendes annähern der Ebenen, dass gegen das elekrische Feld Energie aufgewende werden muss. Wir haen schon im anderen Zusammenhang fesgesell, dass das Verhälnis mi dem sich ein Elekron und ein Proon anziehen gleich dem Verhälnis von der Grundmasse M zur jeweiligen Teilchenmasse is. Bei uns wäre das die e² M Masse des Proons. = (). Außerdem soll für den 4πε MM M e 6

7 e Ebenabsand und deren Massen wieder das Verhälnis = () gelen. Sezen wir dies für das elekrische Poenial ein und formen um, so erhalen wir die Beziehung d e M M E el e² GM M GM M M GM M 4πε d d M e e = = = = (3) p P e e Da wir oben das Kraffeld für kugelsymmerische Ladungen verwende haben, müssen wir beim Ebenen Absand ensprechend auch 4π verwenden. Dami lieg die Größe mi der die Ebenen im Proon auseinander gedrück werden in der gleichen Größe, wie die poenielle Energie der gesamen Masse bis zum Or mi der ein einzelnes Teilchen angezogen wird. Kommen wir nun zurück zur TOV-Gleichung und berachen die Druckänderung für ein niversum, bei dem die Masse am and linear seig, dann ergib sich 4π P 3P G ρ r³ 3 + ρc² + ρc² P ( r) = GM r² cr ² (4) Der Nenner verschwinde für r =, also würde die Druckänderung unendlich groß, es sei denn, einer der Zählererme verschwinde auch. Da wir ein P saisches niversum annehmen, müsse dafür + ρc² = oder 3P + = ρc² Mc² werden, es müsse P= ρc² = (5) für den Druck gelen. V Formen wir die Energie, die in jedem Elemenareilchen im Plaenabsand seck um und berechnen die Gesamenergie, die sich daraus ergib E e² M = = (6). P V 4 πε d e M V Darin seh M für die Gesamzahl der Teilchen bis. Sezen wir für e² 4πε d e M die Gleichung () ein so ergib sich zusammen mi () 7

8 P GM M M M c² d M V V e = = (7) Das bedeue, dass die Kraf mi der die beiden geladenen Ebenen zusammengedrück werden, einen Druck oder eine Energiediche darsell, die zum einen im Gleichgewich zum graviaiven Poenial in der Posiion des niversums als Ganzes seh und zum anderen, dass der Druck aller dieser Teilchen immer gleich zur graviaiven Energiediche seh und somi die elekrische Energiediche der Elemenareilchen die graviaive Anziehung kompensier. Der Grundaufbau wäre also saisch. Da in (4) die Diche nun nich mehr als räumlich konsan über das ganze niversum angenommen werden kann, schreiben wir sie in Abhängigkei zur M Posiion auf ρ () r =. Darin änder sich auch die Gesammasse mi dem V adius. Wir haben eine Druckänderung an der Posiion r erhalen, die zum einen vom ganzen niversum, der Gesammasse innerhalb der r-schale beeinfluss wird und die zum anderen von der Gesamdiche abhäng GM P el 3P el r + + e cm ² / V cm ² / V P ( r) = GM r r² c² r e = GM cm ² / (3 V) 3 cm ² / (3 V) r + + e cm ² / V cm ² / V P ( r) = = GM r r² c² r e (8) Das esula is ein unbesimmer Quoien der unabhängig von r is. Dies deck sich mi unserer Annahme, dass am and selber die Teilchen im saischen Gleichgewich sehen sollen und es pass zu dem, dass sie sich hier Außen auch nich lokal bewegen. Enfern sich nun der and von einem neu gebildeen Teilchen, so können sich die Teilchen lokal bewegen, wenn sie im gleichen Maß den Ebenen Absand, also den elekrischen Druck veränder. 8

9 Zudem können sie sich immer mehr vernezen, was alles zusammen dazu führ, dass sich die Zei der Teilchen in endlichen Prozessen beweg. Je weier weg der niversums and von den Teilchen lieg, deso mehr vergeh die Zei. Oder in Abläufen ausgedrück, es können in derselben Zeieinhei mehr Prozesse safinden. Zei, wie wir sie versehen, häng mi der Vernezung zu anderen Teilchen zusammen, die wiederum bewirk eine permanene Bewegung einzelner Teilchen im aum und eine Träghei der Massen, denn die Vernezung führ zu einer Verzögerung der Bewegung, da es Zei dauer, ehe alle Verbindungen von der neuen Grundbewegung erfahren haben. Der unbesimme Term p () r = veränder auch die ichung der Vorsellung. Wir bewegen uns jez nich mehr in einem ruhenden aum-zei-sysem mi endlich ablaufenden Prozessen, sondern wir kommen aus der nendlichkei einer ruhenden Zei und einer aumlosigkei und enwickeln uns langsam, durch die ensehenden Verbindungen, hin zur Endlichkei der Zei und der Wahrnehmbarkei von Größe und Enfernung. Dabei seh diese Vernezung weier als ein Sück von aum- und Zeilosigkei, allein weil sich alles mi Lichgeschwindigkei ausausch, also aus der Sich der Ausauscheilchen zeilos is. Dabei ergib die Summe aller Einzelprozesse wieder ein geschlossenes zei- und raumloses Ganzes. Solange sich alles beweg und mi einander verbunden is erleben wir die Endlichkei, doch je weier wir zum and des niversums kommen, deso weniger Freiheien haben wir und am and selber scheinen die inneren Bewegungen wie aufgelös, so als wären sie nich vorhanden. Hier außen weiß man nichs vom Leben ief im Inneren. Im zweien Ansaz zur Lösung der Einsein schen Feldgleichungen wollen wir nun zulassen, dass der aum eine Grundgröße darsell, die sich dehnen oder sauchen kann. Auch hier benuzen wir einen kugelsymmerischen Ansaz, wobei unsere Lage darin zunächs keine olle spielen soll. Wir berachen also die niversums Kugel von außen und überlegen uns wie die Bewegungen sind, wenn die Massen am and zunehmen. Nehmen wir eine dreidimensionale Hyperfläche die sich im vierdimensionalen aum bewegen kann und schreiben das Linienelemen in Kugelkoordinaen, dann sieh die Friedmann-oberson-Walker-Merik folgendermaßen aus 9

10 ( ) ( ) ( dr) ² ds d r d r d kr ( θ) θ( ϕ) = ( ) + + sin (9). Darin is () wie oben schon erwähn ein Skalenfakor, eine skalare Größe, die nur von der Zei abhäng und die sowohl den Hyperraum als auch das Koordinaensysem skalier. Wächs () an, dann kann es bedeuen, dass das aumgefüge ungeriche größer wird. Zwei Punke darauf würden sich folglich mi der Zei enfernen. Es muss aber nich der aum sein, es kann auch die skalare Zeigröße sein, wir können uns auch zeilich enfernen, wenn in den Zeisysemen die Zeien unerschiedlich verlaufen. Hier wird der Ansaz mi () als aumgröße benuz, doch is das nich eindeuig fesgeleg. Man kann auch sa (), T () = () cnehmen und häe so einen Zeiablauf, der sich mi der Zei enfern. k besimm in Gleichung (9) die Krümmung. Für k= haben wir eine flache Geomerie, bei k= is der aum geschlossen und für k=- offen hyperbolisch. Da wir wieder ein kugelsymmerisches Sysem berachen wird ein Großeil der Komponenen gleich Null. Die nich verschwindenden icci-tensor Komponenen sind = 3 k (3); ii = + + (3) und dem icci ² ² k Skalar = (3). Sezen wir dies in die Einsein schen ² ² Feldgleichungen () zusammen mi dem Energie-Impuls-Tensor, so erhalen wir ² 8 ² + = + ² ² 3 3 kc πg Λc ρ (33) und die Druckgleichung kc² 8 πg Λc² + + = p + ² ² ² 3 3 (34). Zieh man die beiden Gleichungen voneinander ab, so folg daraus 8 π G Λ ² = ( ρc² + 3p) + c ² 3² c 3 (35)

11 Nehmen wir Gleichung (35) und denken uns das niversum als nich beschleunig =. Auch hier verwenden wir den Ansaz, dass der Druck, den die Ebenen aufeinander ausüben, den Dicheerm wie aufheb p= ρc² dann 3 folg daraus, dass die Konsane Λ verschwinde. Gehen wir dami in Gleichung (34) und nehmen mi k= eine flache Krümmung an, dann erhalen wir 8π G = ρ (36) oder umgeform ² 3 4π G M 34 c = = π 3 o e (37) also c = = T u (38). Dann wäre die Hubbelkonsane H =, die als Bewegung der Skalierungsraumgröße im Verhälnis zur Enfernung angesehen wird konsan und gleich dem Aler des niversums, also einer Zeigröße - der maximalen Zeigröße am and des niversums. () wird dabei als eine Geschwindigkei gedeue, eine Bewegung des aums, der Hyperfläche selber. Doch kann dies auch in eine Zeiableiung = T c (39) umgeschrieben werden und da es sich T c T nur um eine skalare Größe handel häen wir mi = = (4) dann aus T Tu der Deuung das sich der aum enfern, eine Lösung, dass die Zei in verschieden großer Enfernung sich unerschiedlich schnell beweg. Je äler Objeke sind, die man mi unserer Zei vergleich, deso weier sind sie in Ihrer Zei zurück, weil die Zei mi zunehmender Enfernung immer langsamer vergeh. Wir häen dann ein saisches sich am and linear vergrößerndes niversum, indem auf den verschiedenen Sphären die Zei unerschiedlich schnell abläuf. Wei enfern komm die Zei nich nur verspäe an, weil die Überragung endlich is, sondern was wir dann sehen sind auch Zeiprozesse, die dor langsamer ablaufen als bei uns.

12 Zwei aufeinanderfolgende Wellenberge des emiieren, enfernen Liches und + δ, sowie zum Zeipunk, wenn es bei uns ankomm und + δ legen die gleiche Enfernung d() zwischen Sender und Empfänger zurück. + δ d d d () = () = () () () (4) + δ Oder mi T() und nach der msellung der Grenzen +δ +δ d d d () = Tc () = Tc () T () T () (4). Änder sich der Skalenfakor nur langsam während der Lichausbreiung so δ δ ergib sich daraus = (43) oder das Wellenlängenverhälnis von T ( ) T ( ) T ( ) = (44) und daraus per Definiion die overschiebung z zu T ( ) z + = = (45) T ( ) T ( ) Nach Taylor gil für den Skalenfakor um enwickel T ( ) T ( ) = + H( ) qh( ) +... (46) mi H = = cons. T ( ) T ( ) dami folg für die overschiebung z H c. Je weier enfern die Galaxien sind, umso mehr sind sie roverschoben, da die Zei dor proporional zur Enfernung langsamer vergeh. Nach (8) sind zwei wei auseinanderliegende Welen im Grundansaz unbesimm, was den dynamischen Gesamdruck beriff, doch is die nbesimmhei in den jeweiligen Bereichen nich gleich. nd so wie sich in der nbesimmhei der Zei, Bewegungen der Maerie enwickeln können, so laufen diese Mechanismen verschieden schnell ab, je nachdem ob T groß oder klein is. Diese Zeiprozesse können auch nur auf die Teilchen lokalisier sein. Die Zei selber kann weier eine absrake Größe bleiben, die sich in den Abläufen der Prozesse spiegel, so wie der aum nun nich mehr eine

13 unabhängige Exisenz haben muss. Wenn Lichquanen aus großer Enfernung bei uns ankommen, dann waren sie in der Zwischenzei für uns nich vorhanden. Für ein Quan is der Anfang und das Ende gleichzeiig und es gib den aum dazwischen nich, darum is es auch nich gealer und man finde auch nich die kleinse Srukur eines gesückelen aumes. Für uns gib es in der Zwischenzei endlos viele Prozesse, die nichs mi diesem Quan zu un haben, die Wel läuf ohne dieses Quan weier. Ers wenn es ankomm is es wieder in unserem wellichen Nezwerk dabei und besimme Energie und Impuls des Sysems mi. 3