7. Periodische Funktionen.

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1 7- Funktionen 7 Periodische Funktionen 7 Periode und Frequenz Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit Periode p, wenn f(x + p) = f(x) für alle x R gilt (dabei sei p eine feste positive Zahl) Dies bedeutet, daß die vertikale Verschiebung um p die Funktion in sich überführt Typische Beispiele periodischer Funktionen sind Sinus und Cosinus (beide mit Periode 2π) In Physik und Biologie arbeitet man häufig mit periodischen Funktionen (zum Beispiel, wenn Vorgänge beschrieben werden, die sich täglich oder jährlich wiederholen ) Statt der Periode p betrachtet man oft den Kehrwert p und nennt ihn die Frequenz (also die Häufigkeit der Wiederholung pro Zeiteinheit ): Ist f(t) eine Funktion mit der Periode 3, gilt also f(t + 3 ) = f(t) für alle t, so ist die Frequenz 3: alles wiederholt sich 3 mal pro Zeiteinheit Die Schwingung f(t) = sin t schwingt pro 2π Sekunden einmal, sie hat also die Frequenz 2π [sec] (und die Periode 2π) Die Standard-Maßeinheit für eine Zeitdauer ist die Sekunde, entsprechend ist die Standard-Maßeinheit für Frequenz die Anzahl pro Sekunde, also sec, statt schreibt man Hz (gesprochen: Hertz), diese Einheit wurde sec nach dem Physiker Heichrich Hertz ( ) benannt Merkregel Ist F die Frequenz (also die Anzahl der Wiederholungen pro Sekunde) und p die Periode (also die Dauer in Sekunden), so gilt F = p und p = F Beispiel : Waschmaschine Dreht sich die Trommel einer Waschmaschine beim Schleudern mal pro Minute, so dreht sie sich 6 mal in der Sekunde Die Frequenz ist demnach 6 Hz = 6, 6 Hz; die Dauer einer Umdrehung erhält man als 6 Kehrwert: sec =,6 sec Beispiel 2 Erdumdrehung Die Erde dreht sich in 24 Stunden einmal um ihre Achse Also ist die Periodendauer 24 h = sek = 86 4 sek Die Frequenz ist demnach Hz =, 57 Hz Beispiel 3 Zweimal pro Woche (Luthers der Woche zween ): Eine Woche hat 7 Tage, jeder Tag 86 4 Sekunden, also hat eine Woche 62 Sekunden, die Frequenz ist also 3, 3 6 Hz

2 Leitfaden 7-2 Beispiel 4 Aktionspotentiale Im Nervensystem dient die Frequenz von kurzen Spannungsimpulsen (Aktionspotentialen) als Maß für die Stärke einer Erregung: Zeit in [ms] Geringe Erregung Zeit in [ms] Starke Erregung Links sieht man durchschnittlich 5 Aktionspotentiale innerhalb eines Zeitraums von ms, also Aktionspotential alle 2 Millisekunden: Die Frequenz ist demnach 2 Hz =, 5 Hz Rechts dagegen zählt man durchscnittlich etwa 6 Aktionspotentiale innerhalb von ms, die Frequenz ist demnach 6 Hz =, 6 Hz Welche Frequenzen spielen eine Rolle? Typische Frequenzen von Sinuskurven Welche Wellenlängen treten auf? Typische Wellenlängen Die einfachste periodische Funktion ist die Sinusfunktion (oder, horizontal verschoben, die Cosinusfunktion) Die Sinusfunktion sin(x) hat bekanntlich die Periode 2π = 6, 28, die Funktion sin(ωx) hat die Periode 2π (dabei sei ω > eine reelle Zahl): ω sin(ωx) x 2π ω Ist die x-achse eine Zeitachse, so nennt man die Periode auch Periodendauer (und ihren Kehrwert Frequenz), ist die x-achse dagegen eine räumliche Achse, so nennt man die Periode Wellenlänge (und den Kehrwert Wellenzahl) Die Antwort auf die Fragen nach üblichen Frequenzen und Wellenlängen ist eher ernüchternd oder auch beeindruckend: Je nach Problemstellung kann man man auf ganz große oder ganz kleine Frequenzen (oder Wellenzahlen) stoßen, entsprechend kann man sagen: es treten ganz kleine, wie auch ganz große (und natürlich auch mittlere) Perioden (oder Wellenlängen) auf Hier einige typische Vorgänge, die durch Sinusfunktionen beschrieben werden, und zwar gibt es jeweils eine räumliche Beschreibung durch Sinusfunktionen wie auch eine zeitliche Beschreibung durch Sinusfunktionen Der Zusammenhang wird durch die Ausbreitungsgeschwindigkeit beschrieben, und zwar gilt: Frequenz = Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle/Wellenlänge Wasserwellen Es gibt ganz kurze Wellen, mit Wellenlänge von mm (solche Wellen kann man durch eine Stimmgabel in einer mit Wasser gefüllten Schale erzeugen), lange Ozeanwellen mit 6 m Wellenlänge, aber auch riesige Brandungswellen (Tsunamis), die durch Erdbeben oder Erdrutsche auf dem Meeresboden ausgelöst werden, wobei Wellenlängen von km und mehr auftreten

3 7-3 Funktionen Schallwellen Dies sind periodische Dichte-Änderungen von Materie, also Schwingungen von Materieteilchen um die jeweilige Ruhelage Derartige Schallwellen hört man, jedenfalls solche mit gewissen Frequenzen: Der Hörbereich liegt zwischen 6 Hz und 2 khz Dabei gilt: Die Frequenz bestimmt die Tonhöhe, die Amplitude die Lautstärke Von Infraschall spricht man bei Frequenzen unter 6 Hz, von Ultraschall bei Frequenzen über 2 khz Ultraschall spielt bei medizinischen Untersuchungen eine wichtige Rolle, und natürlich sei an die Fledermäuse erinnert, die sich mit Hilfe von Ultraschall orientieren Um Fledermausstimmen hörbar zu machen, arbeitet man mit -facher Zeitdehnung (also mit horizontaler Streckung ) Die Schallgeschwindigkeit in der Luft beträgt 343,5 m/s (bei einer Temperatur von 2 C) Elektromagnetische Wellen Hier handelt es sich um die Ausbreitung eines magnetischen Feldes im Raum Diese eletromagnetischen Strahlungen (Radiowellen, Lichtwellen, Röntgenstrahlen,) breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, also mit c = 3 8 m/sec, jedenfalls im Vakuum Typische Frequenzen eletromagnetischer Wellen reichen von Hz bis 24 Hz, die zugehörigen Wellenlängen demnach von 6 m bis 7 m Interessant sind zum Beispiel die Lichtwellen: das sichtbare Licht hat Frequenzen zwischen 4 und 8 nm Die Frequenz einer Lichtwelle bestimmt die Farbe des Lichts, die Amplitude die Lichtstärke Zusammenfassung: Sinus-Funktionen werden benötigt, um eine Fülle von Phänomen beschreiben zu können: Musik und Farben, Wasserwellen und Elektrizität, Tagesrhythmus und jahreszeitliche Schwankungen, Pulsschlag und Vibrationen, 72 Definition von Sinus am Einheitskreis Der Einheitskreis in der reellen Ebene R 2 besteht aus den Punkten (x, y) mit x 2 + y 2 = (implizite Bescheibung), oder auch den Punkten der Form (x, y) = (cost, sin t) mit t R (explizite Beschreibung), dabei ist t der Winkel zwischen der positiven x-achse und dem Strahl {r(x, y) r } Betrachtet man die y-koordinate der Punkte des Einheitskreises in Abhängigkeit vom Winkel t, so erhält man die Sinusfunktion: y t x y t Beachte: Diese Visualisierung liefert eigentlich eine Funktion R R 2, und zwar wird dem Winkel t das Paar (t, sint)

4 Leitfaden 7-4 zugeordnet Aber die Menge dieser Paare (t, sin t) ist nichts anderes als der Graph der Funktion sin Warnung Wenn wir mit der Sinus-Funktion sin(t) arbeiten, so werden wir grundsätzlich davon ausgehen, dass t im Bogenmaß gegeben ist! Bei der Verwendung eines Taschenrechners sollte man also immer prüfen, ob als Eingabe rad oder grad eingestellt ist Rechnertest: Ist sin(8) =, so ist der Rechner auf grad eingestellt, und muss umgestellt werden! Die Sinus-Funktion spielt in ganz verschiedenen Situationen eine wichtige Rolle Beispiel : Tag-Nacht-Rhythmus Siehe zum Beispiel die Übungsaufgabe 3: Körpertemperatur von Ratten Beispiel 2 (Höchststand der Sonne) Betrachte für einen festen Ort den jeweiligen Höchststand h(t) der Sonne (gemessen als Winkel über dem Horizont) in Abhängigkeit vom Kalendertag (Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß jeder Monat 3 Tage hat, unser Jahr hat also 36 Tage und danach zählen wir einfach weiter: im zweiten Jahr läuft t von 36 bis 72, usw) Die Funktion h(t) hängt von der jeweiligen geographischen Breite β des Orts ab, für Bielefeld (β = 52 nördliche Breite) erhält man ungefähr: Kalendertag also eine Sinuskurve h(t) = a sin(b(t t )) + d Zu bestimmen sind die Parameter a, b, d, t Vertikalverschiebung: Es ist d = 9 β = 38 ; dies ist gerade der Höchststand der Sonne zum Frühjahrsbeginn Horizontalverschiebung: Wir rechnen hier mit Monaten mit 3 Tagen, der Frühjahrsbeginn (2März) ist der 8Tag, also ist t = 8 Amplitude: Dies ist die Auslenkung, die Differenz zwischen den Sonnenständen am Sommeranfang und am Frühlingsbeginn Der Sonnenstand am Sommeranfang läßt sich folgendermaßen berechen: 9 β+23 (dabei ist 23 gerade die Neigung der Erdachse, also die Gradzahl der Wendekreise), der Sonnenstand am Frühlingsanfang ist 9 β, also sehen wir: a = 23

5 7-5 Funktionen Frequenz: In unserem Modell hat das Jahr 36 Tage, also ist die Periode 36, demnach ist b = 2π 36 Insgesamt erhalten wir also folgenden Funktionsterm: h(t) = 23 sin ( 2π 36 (t 8)) + 38 = 23 sin (, 74(t 8) ) + 38 Lineares Skalieren der Sinus-Funktion: Die Funktion f(t) = sin(t) beschreibt eine Schwingung in Abhängigkeit von der Zeit t, gemessen in Sekunden Wie wir wissen, erfolgt pro 2π [sec] eine vollständige Schwingung, die Funktion sin(t) hat also die Periode 2π [sec] und die Frequenz 2π [sec] Bei f(t) = sin(ct) erfolgt pro 2π c Sekunden eine volle Schwingung, sin(ct) hat also die Periode 2π c [sec] und die Frequenz c 2π [Hz] Die horizontalen Streckungen und Stauchungen liefern also gerade Änderungen der Frequenz In der Elektrotechnik (aber auch sonst) nennt man zwei Kurven phasenverschoben, wenn sie durch horizontale Verschiebung auseinander hervorgehen Typisches Beispiel: cos(x) = sin(x + π 2 ) Phasenverschobene Funktionen haben natürlich die gleiche Periode 73 Die Additions-Theoreme Satz Es gilt sin(α + β) = sin αcos β + cos αsin β cos(α + β) = cos αcos β sin αsin β Beweis: [fehlt] 74 Sinus und Cosinus: Ableitung Satz Sei f(x) = sin(x) Dann ist f (x) = f(x + π 2 ) = cos(x) Beweis: [fehlt] Folgerung: Sei g(x) = cos(x) Es ist g (x) = sin(x)

6 Leitfaden Überlagerungen verschiedener Funktionen mit gleicher Periode Fourier-Entwicklung Oft überlagern sich periodische Phänome mit verschiedenen Perioden, man arbeitet dann mit Summen von Sinuskurven und Cosinuskurven mit verschiedenen Perioden: Beispiel Jahreszeitliche Schwankungen werden oft überlagert durch Schwankungen, die den Mondphasen oder dem Tagesrhythmus entsprechen Beispiel 2 Wenn mit einem Musik-Instrument ein Ton erzeugt wird, so hört man nicht nur den reinen Ton, sondern auch Obertöne, die zugehörigen Frequenzen sind gerade Vielfache der Frequenz des gegebenen Tons Beispiel 3 Das Licht entsteht durch Überlagerungen von Lichtwellen mit verschiedenen Frequenzen und Amplituden Wie sehen derartige Überlagerungen von Sinusschwingungen aus? Hier ein (ganz willkürliches) Beispiel: sin(t) + 2 sin(2t) Wir zeichnen zuerst getrennt die beiden Funktionen sin(t) und 2 sin(2t) Hier die Summe (zur Verdeutlichung ist punktiert auch sin(t) eingezeichnet): + ṣin(t) 2 sin(2t) Wenn wir nun noch zum Beispiel als dritten Summanden 7 sin(5t) hinzufügen, also die Summe der folgenden drei Funktionen bilden: sin(t) 2 sin(2t) 7 sin(5t) so ändert sich der Graph wieder: wir erhalten neue kleinere Abweichungen! Hier also der Graph der Summenfunktion: sin(t) + 2 sin(2t) + 7 sin(5t)

7 7-7 Funktionen Unter einem trigonometrischen Polynom versteht man eine Funktion der Form f(t) = c + N n= a n sin(nt) + N n= b n cos(nt), dabei sind die Koeffizienten c, a n, b n reelle Zahlen Wichtig: Diese Koeffizienten c, a n, b n sind durch die Funktion f(t) eindeutig bestimmt, sie lassen sich mit Hilfe von Integralen berechnen: c = 2π f(t) dt, a n = π f(t) sin(nt) dt, b n = π f(t) cos(nt) dt [Hier die Beweisidee: Einerseits verwendet man, daß für alle natürlichen Zahlen n gilt sin(nt) dt = und cos(nt) dt = Andererseits braucht man die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, aus denen man ohne Mühe ableitet, daß sin(α) cos(β) = 2 (sin(α + β) + sin(α β)), cos(α) cos(β) = 2 (cos(α + β) + cos(α β)), sin(α) sin(β) = 2 ( cos(α + β) + cos(α β)) für alle α, β R gilt Setzt man α = nt und β = mt, so ergibt sich sin(nt) cos(mt) = 2 (sin((n + m)t) + sin((n m)t)), cos(nt) cos(mt) = (cos((n + m)t) + cos((n m)t)), 2 sin(nt) sin(mt) = 2 ( cos((n + m)t) + cos((n m)t)) Multipliziert man f(t) zum Beispiel mit sin(mt), so erhält man eine Summe von Termen, nämlich als erstes c sin(mt), dann Terme der Form a n sin(nt) sin(mt) und schließlich solche der Form b n cos(nt) sin(mt) Ersetzt man nun diese Produkte mit Hilfe der gerade bewiesenen Gleichungen durch Summen von Sinus- und Cosinusfunktionen, und integriert man über das Intervall [, 2π], so sind fast alle diese Integrale gleich Null: ein einziger Summand bleibt üblich, nämlich derjenige Cosinus-Term mit n = m Dies ist gerade die Behauptung!] Wichtig: Jede (irgendwie vernünftige) periodische Funktion mit Periode 2π läßt sich durch trigonometrische Polynome (also durch Summen von Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen mit entsprechenden Perioden) beliebig genau approximieren (zum Beispiel gilt dies für jede periodische Funktion, die stetig differenzierbar ist, aber auch für viele andere periodische Funktionen) Dies ist der Hauptsatz der sogenannten Fourier-Analyse, man spricht auch von harmonischer Analyse oder auch von Spektral-Analyse Es gibt dabei effektive Verfahren für eine derartige Approximation (und natürlich auch Computer-Programme; früher verwendete man mechanische Geräte zur Bestimmung der Koeffizienten)

8 Leitfaden 7-8 Schreibt man eine periodische Funktion f(t) als trigonometrisches Polynom (oder besser als trigonometrische Reihe ), so nennt man die Zuordnung, die jeder Frequenz die zugehörige Amplitude (also den Koeffizienten a n oder b n ) zuordnet, das Spektrum der Funktion f(t)