Trigonometrische Funktionen
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- Meike Pohl
- vor 5 Jahren
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1 Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. tan Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. cot tan Dr. Gerd Wegener, Hannover Wegener Math/4_SinusCous_k Mittwoch :45:
2 Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. cot Dr. Gerd Wegener, Hannover Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. cot Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 4
3 Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. tan Dr. Gerd Wegener, Hannover Mittelpunkt ausgehend gegen den Uhrzeigern kreisen. tan Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 6
4 Hier d noch einmal alle vier Funktionen als Ganzes dargestellt. tan Dr. Gerd Wegener, Hannover Hier d noch einmal alle vier Funktionen als Ganzes dargestellt. cot tan Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 8
5 Aus dem zweiten Strahlensatz ergibt sich: tan x = x x Aus dem Satz des Pythagoras folgt unmittelbar: x + x = cot x = x x Für einige Argumente des Sinus und Cous ergeben sich leicht zu merkende Werte: 0 = 90 = 0/ = 0 30 = 60 = / = 30 = 6 45 = 45 = / 45 = 4 60 = 30 = 3/ 60 = 3 90 = 0 = 4/ = 90 = 9 Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 tan x = x x cot x = x x Nachfolgend einige Variationen der Frequenz der Sinusfunktion. x/ x/3 x - - x 3x Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 0
6 Der Abstand zwischen zwei Maxima bzw. Minima heißt Wellenlänge, in der Physik nennt man die Anzahl der Wellen pro Sekunde Frequenz. Die Höhe zwischen Wellental und -berg wird Amplitude genannt. Wellenlänge Amplitude Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 Sinus mal und durch x: - - x / x x x x Dr. Gerd Wegener, Hannover 007
7 Sinus mal und durch x: x x x x / x Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 Weitere Zusammenhänge d: x+ -x = - x = x -x = x (x ±x ) = x x ± x x (x ±x ) = x x ± x x tan(x ±x ) = tan x ± tan x ± tan x tan x Aus den bisher genannten Formeln folgt: x = x x x = x - x tan x cot x = 4 Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 tan(x+ = x ±x ) = tan x ± tan x ± tan x tan x
8 Nachfolgend ein paar Varianten mit Quadrierungen. x - - x x Dr. Gerd Wegener, Hannover Die trigonometrische Funktionen haben folgende Umkehrungen: arccot arc arc arctan - - Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 6
9 Eine gedämpfte Schwingung. e -x e -x 8x 8x Dr. Gerd Wegener, Hannover Eine Amplitudenmodulation. 4x 4x + 73x / 3 Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 8
10 Summe zweier Sinusfunktionen, wobei die Wellenlänge der einen Vielfaches der Wellenlänge der anderen ist. Ist es Musik, ändert sich die Höhe des Grundtons nicht, sondern nur der Klang. (Ein harmonischer Akkord.) 4x 3 5 6x 4x + 6x 9 Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 Summe zweier Sinusfunktionen mit ähnlicher Wellenlänge. Die Amplitude verändert sich periodisch. In der Musik hört man so etwas als Schwankungen der Lautstärke (sog. Schwebungen). 7x 3 5 6x 6x + 7x 0 Dr. Gerd Wegener, Hannover 007
11 Mit Summen bzw. Reihen von Sinus- und/oder Cousfunktionen kleiner werdender Wellenlängen lassen sich -in einem begrenzten Intervall- alle Funktionen beschreiben, genauso wie dieses mit Polynomen möglich ist. f n (x) = n 4 k= k- (( k-) x) f f 5 f 0 f - - Dr. Gerd Wegener, Hannover 007 Eine andere Reihe von Sinusfunktionen ist im folgenden dargestellt. Der Grenzwert für n ist erkennbar. Alle Funktionen im Intervall [,] lassen sich als Reihe über Linearkombinationen der Sinus- und Cousfunktion schreiben. f n (x) = n (-)k+ k k= (k x) f f f 5 f0 - - Dr. Gerd Wegener, Hannover 007
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