G r u n d l a g e n d e r P h y s i k I Mechanik

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1 G r u n d l a g e n d e r P h y s i k I Mechanik Vorlesungsskript A. Stampa Universität GH Essen (Version 1999)

2 1 I N H A L T KAPITEL A: Einleitung Seite 1. Was ist Physik? 6 2. Messen, Einheiten 8 a) Größen und Zahlenwerte 8 b) Zugeschnittene Größengleichung 9 c) Grundeinheiten im SI - System 9 3. Bemerkungen zu Fehlern 10 KAPITEL B: Kinematik Die geradlinige Bewegung 12 a) Geschwindigkeit als Ableitung 12 b) Differenziationsregeln 14 c) Beispiel: die harmonische Schwingung 15 d) Ermittlung des Weg - Zeit - Gesetzes durch Integration 17 e) Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung Die krummlinige Bewegung von Teilchen 21 a) Vektoren 21 b) Einige Operationen mit Vektoren 22 c) Realisierung von Vektoraddition: Überlagerung von Bewegungen 22 d) Die Geschwindigkeit bei krummliniger Bewegung 24 e) Produkte von Vektoren 26 f) Beispiele für krummlinige Bewegung 30 α) Der waagerechte Wurf 30 β) Die gleichförmige Kreisbewegung 31 γ) Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor 34 δ) Der schiefe Wurf 35 g) Approximation von Kurven 38 KAPITEL C: Dynamik von Massenpunkten Die Newtonschen Axiome 42 a) Newtons Formulierung der Axiome 42 b) Das Trägheitsprinzip 42 c) Das Aktionsprinzip 43 α) Definition einer Kraftskala 43 β) Zerlegung von Kräften 44 d) Das Reaktionsprinzip 46 e) Historische Randbemerkungen Kräfte 48 a) Die Grundkräfte 48 b) Die Gravitation 49 c) Kraft zwischen ausgedehnten Körpern 52 α) Integration über Massenelemente 52 β) Feldstärke 53 γ) Der Fluß 53 δ) Das Gesetz von Gauß 55

3 2 d) andere Grundkräfte 57 e) Kräfte zwischen makroskopischen Körpern 59 α) Kraft durch elastische Verformung 59 β) Reibungskraft Beispiele für einfache Bewegungen 62 a) In zäher Flüssigkeit fallende Kugel 62 b) Reibungsfreie Bewegung auf einer schiefen Ebene 64 c) Die Atwoodsche Fallmaschine 65 d) Die Rakete 66 e) Dynamik der Kreisbewegung 67 f) Geladenes Teilchen im Magnetfeld 68 g) Kurvenneigung 69 h) Das Geoid Drehimpuls und Drehmoment 70 a) Der Drehimpuls 70 b) Das Drehmoment 71 c) Der Flächensatz Arbeit, Leistung, Energie 74 a) Grundbegriffe 74 b) Berechnung des Integrals F ds 75 c) Die potentielle Energie 77 α) Was ist potentielle Energie? 77 β) Äquipotentialflächen 79 γ) Das Vorzeichen 80 δ) Arbeit im Potentialfeld 80 ε) Das Potential 81 η) Potentialkurven 82 d) Die Kinetische Energie 84 e) Der Energiesatz der Mechanik 86 f) Verschiedene Energieformen 86 g) Anwendung des Energiesatzes 87 α) Der Looping 87 β) Der harmonische Oszillator 88 γ) Das Fadenpendel 90 δ) Anwendung des Energiesatzes bei Anwesenheit von Reibung 91 ε) Leistung in einer Strömung 92 ζ) Ausströmgeschwindigkeit 92 h) Kraft bei mehrdimensionalen Potentialen Das Keplerproblem 94 a) Historisches 94 b) Einige Eigenschaften von Kegelschnitten 97 c) Herleitung der Bahngleichung Scheinkräfte 104 a) Was sind Scheinkräfte 104 b) Scheinkräfte im rotierenden System 106 α) Formale Herleitung 106 β) Die Zentrifugalkraft 109

4 γ) Die Corioliskraft 110 KAPITEL D: Dynamik von Massenpunktsystemen Der Massenmittelpunkt 113 a) Das Hebelgesetz 113 b) Der Schwerpunkt beliebiger Massenpunktsysteme 114 c) Schwerpunkt als Mittelwert 115 d) Schwerpunkt kontinuierlicher Massenverteilungen 116 α) Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Massen 116 β) Das Massenelement 117 γ) Wie berechnet man Volumenintegrale? Bewegung des Schwerpunktes 121 a) Das Aktionsgesetz 121 b) Das Zweikörperproblem, reduzierte Masse Dynamische Hilfsbegriffe 124 a) Der Impuls 124 b) Der Drehimpuls 124 c) Energie Stoßgesetze 129 a) Was ist ein Stoß? 129 b) Grundbegriffe 130 c) Elastischer zentraler Stoß 130 d) Stoß mit seitlicher Impulsänderung 134 e) Der inelastische Stoß 135 KAPITEL E: Mechanik von Flüssigkeiten und Gasen Vorbemerkungen über Gase, Flüssigkeiten und feste Körper Druck in Gasen Hydrostatik 140 a) Das Eigengewicht ist vernachlässigbar 140 b) Druck aufgrund des Eigengewichtes 141 c) Auftrieb 142 d) Die Barometrische Höhenformel 144 e) Die Oberflächenspannung Hydrodynamik 150 a) Das Geschwindigkeitsfeld 150 α) Grundbegriffe 150 β) Der Fluß 150 γ) Die Kontinuitätsgleichung 151 δ) Anzahl der Stromlinien 151 b) Die Bewegungsgleichung 152 c) Der Satz von Bernoulli 153 d) Innere Reibung von Flüssigkeiten 157 α) Was ist Viskosität? 157 β) Die Grenzschicht 158 γ) Die stationäre Rohrströmung 159 δ) Das Stokesche Gesetz 161 ε) Die Reynoldszahl 162 KAPITEL F: Mechanik starrer Körper 164 3

5 1. Das Modell des starren Körpers Statik Grundbegriffe zur Beschreibung einer Rotation 167 a) Das Trägheitsmoment 167 b) Der Drehimpulsvektor 168 c) Berechnung des Trägheitsmomentes Beispiele zur Bewegung starrer Körper 176 a) Achse raum- und körperfest, äußeres Drehmoment konstant 176 b) Achse körperfest, wird bei der Bewegung parallel verschoben 177 c) Achse körperfest, kein äußeres Drehmoment 178 d) Achse körperfest, Drehmoment senkrecht zu L 179 e) Anwendungen der Kreiselgesetze 181 α) Wendeanzeiger 181 β) Der Kreiselkompaß 181 γ) Der Spielkreisel 181 δ) Dynamische Stabilisierung des Fahrrads 182 KAPITEL G: Schwingungen Allgemeines Die harmonische Schwingung 183 a) Darstellung 183 b) Die Kinematik der harmonischen Schwingung 184 c) Schwingung eines Massenpunktes 185 d) Die Schwingung eines ausgedehnten Körpers Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz 191 a) Anwendung der Additionstheoreme 191 b) Zeigerdiagramm 192 c) Beispiele Schwingung als komplexe Zahl 194 a) Komplexe Zahl 194 b) Algebraische Operationen mit komplexen Zahlen 195 c) Satz von Moivre 196 d) Anwendung der komplexen Zahlen auf Schwingungsprobleme Die gedämpfte Schwingung 199 a) Die freie gedämpfte Schwingung 199 b) Die erzwungene Schwingung Überlagerung bei ungleicher Frequenz oder Richtung 205 a) Schwebungen 205 b) Überlagerung von Schwingungen und ihren Oberschwingungen207 c) Überlagerung bei verschiedenen Schwingungsrichtungen 209 KAPITEL H: Spezielle Relativitätstheorie Einleitung 211 a) Womit befaßt sich die Relativitätstheorie? 211 b) Der Äther 212 c) Versuche zur Bewegung der Erde durch den Äther Aufbau der Relativitätstheorie 215 a) Die Grundpostulate 215 b) Direkte Folgerungen der Grundpostulate 215 α) Die Gleichzeitigkeit ist relativ 215 4

6 β) Gleich gebaute Uhren gehen nicht gleich schnell 216 γ) Längen werden unterschiedlich gemessen 217 c) Lorentztransformation 218 α) Herleitung der Transformationsformeln 218 β) Diskussion 220 d) Minkowski Diagramme 227 α) Was sind Minkowski Diagramme? 228 β) Zeitdilatation und Längenkontraktion im Minkowski Diagr. 229 γ) Gegenwart, Vergangenheit, Zukunft 229 δ) Der relativistische Dopplereffekt 231 ε) Ein Zwillingsparadoxon 231 e) Experimente mit Uhren 233 f) Experimente mit Elementarteilchen 234 g) Andere Evidenzen 235 5

7 6 KAPITEL A Einleitung 1. Was Ist Physik? Die Physik beschäftigt sich mit der unbelebten Natur, wobei im Gegensatz zur Chemie Änderungen der Stoffzusammensetzung weniger interessieren. Man erwartet von der Physik, daß sie erklärt, wobei eine "Erklärung" sehr subjektiv ist. Z.B. finden manche Menschen, einen Sachverhalt als gut erklärt, wenn er auf das typische Verhalten von Menschen zurückgeführt wird: Die rollende Kugel kommt zum Stillstand, weil sie erschöpft ist. Andere verlangen eine mechanische Erklärung, etwa die Gravitationskraft als hervorgerufen durch den Stoß vieler kleiner Teilchen. In der Physik soll eine Erklärung ein konsistentes Bild liefern und Ereignisse vorhersagen. Die Anzahl der nicht beweisbaren Annahmen soll möglichst klein sein, und das Gedankengebäude soll schön sein. Aristoteles erklärte den Fall eines Steines, indem er sagte, jeder Körper ist bestrebt, den ihm in der Welt zustehenden Platz einzunehmen. Damit wird der Fall erklärt und das Aufsteigen leichter Gase. Das Verhalten von Mondmaterie auf der Erde wäre wahrscheinlich falsch vorhergesagt worden. Ebenso wurde die Geschwindigkeit beim freien Fall und der waagerechte Wurf falsch vorhergesagt. Der Mangel an Erfolg in der der antiken griechischen Physik liegt wahrscheinlich daran, daß die Kraft des Denkens überschätzt wurde. Die Methode der Erkenntnisfindung in der Physik seit Galilei besteht aus zwei Elementen: Dem Aufbau eines gedanklichen Modells, und der Überprüfung an der Wirklichkeit. Dieses Wechselspiel von Hypothese und Experiment ist ein sehr universelles Verfahren, das alle Lebewesen zum Sammeln von Information über die Welt anwenden: In der Evolution geht man davon aus, daß die Information in der Erbsubstanz codiert ist. Durch Mutation der Erbsubstanz wird als "Hypothese" eine neue Variante der Art vorgeschlagen. Wenn sie sich nicht bewährt, stirbt sie aus. Das Experiment ist negativ ausgefallen. Wenn sie sich bewährt, wird sie sich durchsetzen. Sie enthält im allgemeinen eine bessere Information über die Umwelt. In diesem Fall entscheidet das Experiment über Leben und Tod. Beim Menschen gibt es im täglichen Leben diese "harte" Überprüfung einer Hypothese etwa beim Überholmanöver. In der Mehrheit der Fälle entscheidet die Überprüfung nicht unmittelbar über Leben und Tod, sondern nur über die Richtigkeit der zugrunde gelegten Gesetze und Annahmen. Ein negativer Ausgang eines wichtigen Experimentes läßt erwarten, daß das Weltbild geändert wird.

8 7 Häufig bleibt die ursprüngliche Version des Weltbildes als Näherung des neuen gültig. Ein Experiment, das anders als vorhergesagt verläuft, ist also keine Schande, sondern im allgemeinen ein Erfolg. Man erkennt in der Geschichte der Physik Phasen, in denen die Entwicklung der Physik stark behindert wurde, weil entweder das Experiment (die induktive Methode) oder die Theorie (die deduktive Methode) überbewertet wurde. Ende des 19. Jahrhunderts haben sich die Positivisten mit Ernst Mach als prominenten Vertreter aus der Physik dafür eingesetzt, sich nur mit Dingen zu beschäftigen, die beobachtbar sind. Dadurch ist die Entwicklung der Atomtheorie und Kernphysik in Deutschland behindert worden. Heute scheut man sich nicht, von Quarks als kleinsten Bausteinen der Materie zu sprechen und gleichzeitig zu fordern, daß sie niemals einzeln in Erscheinung treten. Oft wird von der Physik erwartet, daß sie eine Formel bereit hat, mit der es möglich ist, den Lauf der Welt genau zu beschreiben. Dies kann die Physik nicht, denn Man kennt diese Weltformel nicht. Man kennt nur eine näherungsweise Beschreibung der Welt. Nur die Grenze der Ignoranz verschiebt sich. Man kennt den augenblicklichen Zustand der Welt nicht. Im mechanischen Weltbild müßte man Ort und Geschwindigkeit aller Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen, um ihr Verhalten für alle Zeiten vorhersagen zu können. Weniger bekannt ist vielleicht, daß die qualitative Argumentation in der Physik eine wichtige Rolle spielt. Beispiel: Warum sind bei großen Vögeln die Flügel lang und schmal, bei kleinen kurz und breit? Argumentation: Die Auftriebskraft wird proportional der Fläche der Flügel sein, d.h (s. Abb.1) F A A LB

9 8 Abb. 1: Große Vögel haben im allgemeinen im Verhältnis zur Körperlänge lange Flügel Die Gewichtskraft wird proportional zum Volumen des Körpers sein und diese ist bei gleicher Gestalt proportional zu l 3, wenn l die Länge des Körpers ist, also zu B 3. F G V B 3 Da der Auftrieb die Gewichtskraft kompensieren muß, gilt F A = F G, und damit LB ~ B 3, also L B B Qualitative Argumentationen sind Abschätzungen, die helfen, eine Situation besser zu verstehen. 2. Messen, Einheiten a) Größen und Zahlenwerte Die natürliche Wahrnehmung ist unvollkommen. Bei technisch-physikalisch nicht vorbelasteten Menschen löst die Vorstellung, daß es Dinge gibt, die unsere Sinne nicht wahrnehmen, häufig Angstgefühle aus. So ist ein Grund für die emotionale Ablehnung von Kerntechnik, daß man radioaktive Strahlen nicht sieht. In der Physik lernt man, daß tatsächlich nur ein verschwindender Bruchteil der Wirklichkeit durch unsere Sinne wahrgenommen wird: Dem Auge ist im Spektrum nur ein ein kleiner Bereich zugänglich. Optische Täuschungen verzerren die Wirklichkeit. Das Wärmeempfinden ist relativ. Zur Objektivierung von Aussagen werden physikalische Größen gemessen. Dabei ist eine Größe ein Produkt von Zahl und Einheit. Die Masse meines Körpers ist z.b m K = 85 kg. Die Einheit ist [m K ] = kg. 85 ist die Maßzahl und sie ergibt sich aus Größe durch Einheit. 85 = m K / kg

10 9 Verschiedene Einheiten, die ein und dieselbe Eigenschaften messen, werden zu einer Dimension zusammengefaßt. So haben g, kg, Unze, Pfund die Dimension Masse, Meile, Zoll Meter Die Dimension Länge. Wir benutzen SI - Einheiten, die alle Einheiten auf kg, m, s, A, K, mol, cd zurückführen. Man benutzt dann Einheit und Dimension synonym. Stellt man in einer graphischen Darstellung Zahlenwerte von Größen dar, ist die Achsenbezeichnung Größe/Dimension. Zum Umrechnen von Einheiten ersetzt man die alten Einheiten durch die neuen, indem man die Umrechnungsbeziehungen in die Gleichung einsetzt, als handele es sich um algebraische Größen. Abb. 2: In Graphiken werden Zahlenwerte wiedergegeben. Daher wählt man für die Beschriftung der Achsen am besten Größe / Einheit. Beispiel: Umrechnen von 15 km/h in m/s: Umrechnungsbeziehungen: 1 km = 10 3 m 1 h = 3, s also: v = 15 km h = 151km 1h = m 3, s = 15 m 3, 6 s b) Zugeschnittene Größengleichung In der Technik benutzt man häufig Gleichungen, bei denen man Zahlenwerte für bestimmte Einheiten rechts einsetzt und Zahlenwerte für andere Einheiten links erhält. Solche Gleichungen nennt man zugeschnittene Größengleichungen. Beispiel: v = 3, 6 l, wenn [l] = m, [t] = s und [v] = km/h. t Koeffizienten wie hier die 3,6 sorgen dafür, daß die Gleichung trotz der unterschiedlichen Einheiten richtige Ergebnisse liefert. Einem Physiker sind derartige Koeffizienten, die als Zahlenwerte erscheinen suspekt. Er vermeidet sie daher nach Möglichkeit. c) Grundeinheiten im SI - System Das SI - System (Systeme International) führt alle Einheiten auf die 7 Grundeinheiten kg, m, s, A (Ampere, zur Messung der elektrischen Stromstärke), K (Kelvin, zur Messung der Temperatur), cd (Candela, zur Messung der Helligkeit) und mol (zur Messung der Stoffmenge)

11 10 zurück. Die Grundeinheiten werden durch Meßvorschriften festgelegt. Das Kilogramm und das Meter waren ursprünglich die Masse eines Probekörpers, des Urkilogramms, bzw der Abstand zweier Markierungen auf einem anderen Probekörper, dem Urmeter. Die Körper wurden so hergestellt, daß man darauf vertraute, daß sie ihre Eigenschaften beibehalten. Verbesserungen in der Meßtechnik führen dazu, daß Definitionen der Grundgrößen verändert werden. So legt man heute das Meter damit fest, daß man der Lichtgeschwindigkeit einen bestimmten Wert zuordnet (etwa m/s ) und sagt, 1 m ist die Entfernung die das Licht im Vakuum in 1/ s zurücklegt. 1 s kann sehr genau über die Schwingungszeit einer bestimmten Linie des Cäsiumisotops Cs 133 bestimmt werden. Die Messung erfolgt praktisch in einer Atomuhr. Die zurückgelegte Strecke kann über die Resonanz in Hohlräumen sehr genau bestimmt werden. Generell kann man sagen, daß die Grundeinheiten verläßlicher werden, wenn es gelingt, sie an atomare Eigenschaften anzuknüpfen. So kann man sich vorstellen, daß 1 A dadurch definiert wird, daß bei einer Stromstärke von einem Ampere die Ladung 1Coulomb in einer Sekunde durch einen Leiterquerschnitt transportiert wird. 1 Coulomb wäre dann die Ladung die durch einen Überschuß von einer bestimmten Anzahl von Protonen oder elektrisch gleichwertigen Teilchen erzeugt wird. Heute wird 1A über die Kraftwirkung zwischen zwei stromführenden Leitern definiert. Bei unseren Betrachtungen benötigen wir die genauen Definitionen der Grundgrößen nicht. Die Definition der Temperatureinheit werden wir im Teil "Wärmelehre" kennenlernen. 1 mol können wir uns als die Stoffmenge vorstellen, die eine ganz bestimmte Anzahl von Teilchen enthält. Die Helligkeit von Licht werden wir an die Einheit der Leistung in der Mechanik anknüpfen, die mit den mechanischen Grundeinheiten kg, m, s definiert werden kann. Die Anforderungen an die Genauigkeit der Grundeinheiten sind im Laufe der Zeit kontinuierlich gestiegen. Während Heinrich I von England noch eine Elle über seine Armlänge festlegte, benötigt man heute für viele Zwecke eine Genauigkeit von 10 signifikanten Ziffern bei der Festlegung einer Längeneinheit. Oft wurden in der Physik Fortschritte dadurch erzeugt, daß Messungen für extreme Größen entwickelt wurden, die bis dahin einer Messung nicht zugänglich waren. Man sollte sich daher klar machen, wie solche extremen Werte gemessen werden, etwa Längen im astronomischen oder mikroskopischen Maßstab, Zeiten im Femtosekundenbereich oder in geologischen Zeiträumen. 3. Bemerkungen zu Fehlern

12 11 Es gibt keine Messung ohne Fehler. Man unterscheidet absolute Fehler x einer Meßgröße x und relative Fehler x/x. Ein absoluter Fehler x = 2 mm kann eine sehr hohe Genauigkeit bedeuten, etwa bei der Bestimmung des Abstandes zwischen Erde und Mond oder eine sehr geringe Genauigkeit bei der Bestimmung der Größe einer Zelle. Selbst wenn der Stand der Technik eingehalten wurde und systematische Fehler vermieden wurden, bleiben zufällige Fehler. D.h., wenn man eine Messung mehrmals hintereinander mit genügender Genauigkeit ausführt, ergibt jede Einzelmessung im allgemeinen einen etwas unterschiedlichen Wert x i. Trägt man die Anzahl der Messungen N(x i ), die zu dem gleichen Wert x i führen gegen x i auf, ergibt sich bei zufälligen Fehlern eine Gaußverteilung oder Normalverteilung. N(x) = Ce x2 /2s 2 Hierin ist C eine Konstante, x die Abweichung des Meßwertes vom Mittelwert x = x 1 + x x n n = Σ i=n i=1 x i n der Mittelwert, s = 1 die Standardabweichung, n 1 Σ (x i x) 2 s = s der Fehler des Mittelwertes. n s gibt die Breite der Verteilung an. Bei Verteilungen von Größen aus einer Gruppe unterschiedlicher Objekte, etwa der Körpergröße einer Gruppe von Menschen, bleibt s unabhängig von der Anzahl der Messungen. Bei mehreren Messungen an einem Objekt gibt der Mittelwert das eigentliche Resultat an, und der Fehler des Mittelwertes x wird um so kleiner, je mehr Messungen man durchführt. Die Gaußverteilung wird im Teil "Wärmelehre" abgeleitet. Die Behandlung von Fehlern wird in der Physik kultiviert. Geben Sie keinen Zahlenwert in Ziffern an, die nicht signifikant sind, da zu viele Ziffern eine zu hohe Genauigkeit vortäuschen und die Angabe falsch machen. Man schreibt daher in der Physik Zahlenangaben, besonders von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen, als Zahl mit Komma hinter der ersten Ziffer und Zehnerpotenz.

13 12 KAPITEL B Kinematik Die Kinematik befaßt sich mit der Beschreibung einer Bewegung, die im allgemeinen Fall sehr kompliziert sein kann. Man beschreibt eine solche Bewegung durch Koordinaten oder Parameter in Abhängigkeit von der Zeit, etwa die Bewegung eines Punktes im dreidimensionalen Raum durch die kartesischen Koordinaten x(t), y(t), z(t), die Bewegung eines ausgedehnten starren Körpers durch die Lage des Schwerpunktes im Raum und durch Winkel, die seine Drehung angeben. Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten, die zur Beschreibung einer Bewegung notwendig sind, nennt man die Zahl der Freiheitsgrade. Wir betrachten zunächst die Bewegung von Teilchen, d.h. alle Effekte, die mit der Ausdehnung eines Körpers zusammenhängen, werden auf später verschoben. Ein Teilchen hat maximal drei Freiheitsgrade. Zunächst interessiert uns der Zusammenhang von Weg - Zeit - Gesetz, Geschwindigkeit und Beschleunigung. 1. Die geradlinige Bewegung a) Geschwindigkeit als Ableitung Wenn das Teilchen sich nur auf einer Geraden bewegen kann, wird die Bewegung durch die Angabe der Position in Abhängigkeit von der Zeit, d.h. durch das Weg - Zeit - Gesetz x(t) beschrieben. x kann positive oder negative Werte annehmen. Bei konstanter Geschwindigkeit ist x(t) eine Gerade und v ist die Steigung der Geraden. Wenn man den Zeitnullpunkt so wählt, daß bei ihm x = 0 ist, sind Weg und Zeit sogar proportional und v = x(t) t Abb. 3: Das Weg - Zeit - Gesetz bei konstanter Geschwindigkeit Auch v kann positive und negative Werte annehmen. Bei einer beschleunigten Bewegung ist x(t) im allgemeinen eine gekrümmte Kurve.

14 13 v = x(t 2) x(t 1 ) t 2 t 1 Abb. 4: Das Weg - Zeit - Gesetz bei beschleunigter Bewegung nennt man die mittlere Geschwindigkeit zwischen den Zeiten t 1 und t 2. Beachte: Die mittlere Geschwindigkeit einer sinusförmigen Funktion bei Mittelung über ganze Perioden ist Null. Die Momentangeschwindigkeit, d.h. die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt, ist der Grenzwert, den man erhält, wenn man die mittlere Geschwindigkeit in der Umgebung des betrachteten Zeitpunktes ausrechnet und den Grenzwert für verschwindende Zeitintervalle bildet: v(t) = lim x t 0 t = dx dt = x (t) Abb. 5: Das Geschwindigkeits - Zeit - Gesetz bei beschleunigter Bewegung v(t) ist die Steigung der Kurve x(t) an der Stelle t. Im allgemeinen gilt nicht v = x/t. Wenn x(t) numerisch gegeben ist, kann x (t) durch die mittlere Geschwindigkeit für kleine Zeitintervalle angenähert werden. v x/ t. In der Physik ist die Benutzung von x/ t statt x für kleine Zeitintervalle t legitim, da der Grenzübergang t 0 oft physikalisch nicht sinnvoll ist, wenn z. B. Abstände kleiner werden als atomare Abstände. Ist die Funktion x(t) analytisch gegeben, liefert die Mathematik einen Ausdruck für x (t). Beispiel: x = t 2 x = dx dt = lim x t 0 t = lim x(t 2) x(t 1 ) t 0 t 2 t 1 mit t 2 t 1 = t, also t 2 = t 1 + t wird

15 14 x t = (t 1 + t) 2 t 1 t 2 = t tt 1 + t 2 2 t 1 t = 2t 1 + t daraus folgt lim x t 0 t = 2t 1 dy In der Physik schreibt man gerne, denn dx statt y/ (x) α) Die unabhängige Variable, nach der abgeleitet wird, ist zu erkennen. Dies ist wichtig, da man es in der Physik meist mit mehrere unabhängigen Variablen zu tun hat. β) Die Dimension der durch die Ableitung entstehenden Größe ist zu erkennen: dx = dy x y = [x] [y] γ)die Schreibweise suggeriert einen Näherungsausdruck für y / (x): dy dx y x b) Differenziationsregeln Ähnlich wie oben für die Funktion y = t 2 kann man durch Grenzwertbildung für eine Reihe von Funktionen Ausdrücke für die Ableitung finden. Im folgenden werden die Ableitungen für einige elementare Funktionen angegeben. Ausgangsfunktion differenzierte Funktion sinx (x im Bogenmaß: x/x = 2π/360 ) cosx cosx x 2 (1/2)ax 2 -sinx 2x ax x n nx n-1 const 0 e x (e = 2,718...) e x Durch einige Rechenregeln lassen sich Funktionen, die aus den elementaren Funktionen zusammengesetzt sind differezieren: Rechenregeln:

16 15 Linearität: wenn x = x 1 (t) + x 2 (t) folgt Beispiel: x(t) = x 1 (t) + c x (t) = x 1 (t) Produktregel: wenn x(t) = x 1 (t) x 2 (t) folgt Beispiel: x(t) = cx 1 (t) dx dt = cdx 1 dt dx dt = dx 1 + dx 2 dt dt dx dt = dx 1 dt x dx 2 + x 2 1 dt Kettenregel: wenn x = x 1 (x 2 (t)) folgt dx dt = dx 1 dx 2 dx 2 dt Beispiel: x(t) = sin ω t x (t) =ωcos ω t Die Linearität besagt physikalisch, daß sich bei der Überlagerung zweier Bewegungen die Geschwindigkeiten addieren, also, wenn ich in einem Fahrzeug sitze, das mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h fährt, und mich jemand überholt, wobei seine Geschwindigkeit von meinem Fahrzeug aus gemessen 40 km/h beträgt, hat er eine Geschwindigkeit von 120 km/h. In der Relativitätstheorie gilt die lineare Überlagerung der Geschwindigkeiten nicht mehr. Beschleunigung Die mittlere Beschleunigung im Zeitintervall t ist die Geschwindigkeitsänderung in dieser Zeit geteilt durch t: a = v t Die Momentanbeschleunigung ist a = dv dt = v = d2 x dt = d 2 dt d dt x d ist ein Operator. Ein Operator gibt eine Rechenvorschrift an, die auf den dahinter stehen- dt den Ausdruck angewandt werden soll. Der Operator muß als Einheit betrachtet werden, in der z.b. die Größen über und unter dem Bruchstrich nicht gekürzt werden dürfen. c) Beispiel: die harmonische Schwingung Betrachte die Projektion s eines mit konstanter Drehzahl rotierenden Punktes. Nach Abb. 6 gilt

17 16 s. R = sin α Abb. 6: Die harmonische Schwingung kann als die Bewegung aufgefaßt werden, die die Projektion einer Kreisbewegung ausführt. Der Drehwinkel α (im Bogenmaß gemessen) soll proportional zur Zeit anwachsen α=ωt Das Weg - Zeit - Gesetz der Projektion lautet also s = R sin ω t Die Konstante ω nennt man die Winkelgeschwindigkeit. Den Zusammenhang von Winkelgeschwindigkeit und Umlaufperiode findet man, indem man in der Gleichung, mit der ω definiert wurde, die Werte für eine Umdrehung einsetzt: α=2π, t = T T ist die Zeit für einen Umlauf, die Periode. Damit wird die Winkelgeschwindigkeit ω= 2π T s hat sein Maximum, wenn sinωt = 1 ist. Dann ist also s = R. s 0 = R nennt man die Amplitude. Das Weg - Zeit - Gesetz hat also die Form s = s 0 sin ω t Die Geschwindigkeit ergibt sich dann durch Differenziation v = s =ωs 0 cos ω t =v 0 cos ω t

18 17 In der obigen Formel wurde die Größe vor dem Kosinus, d.h. die Amplitude der Geschwindigkeit mit v 0 = ωs 0 abgekürzt. Die Beschleunigung ergibt sich durch nochmalige Differenziation Abb. 7: Der Ort (oben), die Geschwindigkeit (Mitte) und die Beschleunigung (unten) in Abhängigkeit von der Zeit bei der harmonischen Bewegung. a = v = ω 2 s 0 sin ω t = a 0 sin ω Die Amplitude der Beschleunigung ist also a 0 = -ω 2 s 0. Durch Vergleich des Beschleunigungs - Zeit - Gesetzes und des Weg - Zeit - Gesetzes erkennt man, daß s(t) und a(t) bis auf den konstanten Faktor -ω 2 s 0 den gleichen Verlauf haben (s. Abb. 7): a = -ω 2 s. d) Die Ermittlung des Weg - Zeit - Gesetzes durch Integration Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, wie man aus einem bekannten Weg - Zeit - Gesetz x(t) die Geschwindigkeit und die Beschleunigung ermittelt. Im folgenden Abschnitt geht es um die umgekehrte Aufgabe: v(t) sei bekannt und x(t) soll ermittelt werden. Diese Umkehroperation muß bei einer der Grundaufgaben der Mechanik bewältigt werden: bei bekannten Kräften auf einen Körper, seine Bewegung auszurechnen. Da F = ma, ist primär a bekannt und aus a muß v(t) und schließlich x(t) bestimmt werden. Wenn v konstant ist, gilt x = v 0 t. x ist geometrisch die Fläche des durch v und t aufgespannten Rechtecks (Abb. 8 oben). Wenn v nicht konstant ist, teilt man die Gesamtzeit in Zeitintervalle t ein, die so klein sind, daß sich innerhalb von t v genügend wenig ändert. Für jedes Teilintervall gilt x i = v i t. x i entspricht dem schraffierten Flächenstück unter der v(t) -

19 18 Kurve (Abb. 8 unten). Der gesamte zurückgelegte Weg ist geometrisch durch die Fläche gegeben, die durch v(t), die t - Achse und durch die Parallelen zur v - Achse durch t 1 und t 2 begrenzt wird. Man schreibt Abb. 8: Bei konstanter Geschwindigkeit ist s = vt (oben). Daher ist bei variabler Geschwindigkeit s die Fläche unter der Kurve v(t). t 2 x = lim Σv i (t) t = v(t)dt t 0 t1 Die Integration ist die Umkehrung der Differenziation. Man kann also die "Stammfunktion" x(t) aus der Tabelle der Differenziationsformeln ablesen. Dabei ist zu beachten, daß die Stammfunktion nicht eindeutig bestimmbar ist. Wenn v = at ist v = a. Aber, wenn v = at + c, ist ebenfalls v = a, da d Die Integralfunktion ist also nur bis auf eine unbedt c = 0. stimmte Konstante bekannt. Sie heißt deshalb unbestimmtes Integral. Die additive Konstante bestimmt man aus den Anfangsbedingungen. Das bestimmte Integral ist eine Zahl. Sie ergibt sich aus: t 2 t v(t)dt = [x(t)] 2 t t1 = x(t 2 ) x(t 1 ) x(t) (wir schreiben im folgenden auch häufig s(t) ) ist die Stammfunktion von v(t). Analog gilt v = a(t)dt Die wichtigsten Formeln für die Kinematik der geradlinigen Bewegung lauten also:

20 19 v = ds dt, a = dv dt = d2 s 2 s(t) = v(t)dt, v(t) = a(t)dt e) Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung Es soll vorausgesetzt werden: a = const und zur Zeit t = 0 sei v = v 0 und s = s 0. Dann ist v = adt = at + c 1 Durch Einsetzen der Anfangsbedingung für v ergibt sich v 0 = a 0 + c 1, v 0 = c 1 also v = at+v 0 Durch nochmaliges Integrieren ergibt sich s = vdt = (at + v 0)dt = 1 2 at2 +v 0 t + c 2 Durch Einsetzen der Anfangsbedingung für s erhält man die Konstante s 2 s 0 = 1 2 a 02 +v c 2, c 2 = s 0 Das Weg - Zeit - Gesetz lautet damit s = 1 2 at2 +v 0 t + s 0 Sonderfälle α) Freier Fall Hier ist a = g. g ist die Erdbeschleunigung. v 0 und s 0 sollen zur Zeit t = 0 verschwinden. Dann ist der beim Fall zurückgelegte Weg s = 1 2 gt2

21 20 und die Geschwindigkeit nach der Zeit t v = gt β) Bremsvorgang Hier wird für eine Abschätzung a ebenfallsals konstant angesehen. Der Zahlenwert ist negativ. Das hat allerdings auf die formelmäßige Ausrechnung keinerlei Auswirkung. Die Anfangsgeschwindigkeit ist jetzt ungleich Null v = v 0. Der Bremsweg wird von dem Ort an gemessen, an dem sich das Fahrzeug zur Zeit t = 0 befand: s 0 = 0. Das Weg - Zeit - Gesetz heißt also: s = 1 2 at2 + v 0 t Das Geschwindigkeits - Zeit - Gesetz v = at+v 0 t Die Bremszeit ergibt sich aus der Bedingung v(t B ) = 0 t B = v 0 a und mit dieser Zeit der zurückgelegte Weg aus dem Weg - Zeit - Gesetz s B = av 0 a v v a = 1 v 0 2 a Als Anwendung wird die Bremsverzögerung ausgerechnet, die bei der Faustformel aus der Fahrschule vorausgesetzt wird: v 0 s Bm = km/h 10 2 = v 0 3, s 2 3, 6 =v 2 s m m 2 Vergleich mit der Formel für den Bremsweg ergibt 2a = 100 3, 6 2 m s 2 a = 3, 86 m s 2

22 21 2. Die krummlinige Bewegung von Teilchen a) Vektoren α) Vektoren als Zahlentripel Zur Beschreibung der Bewegung eines Teilchens in drei Dimensionen gibt man seine drei Koordinaten, z.b. die Projektionen seines Aufenthaltsortes auf die drei kartesischen Achsen an: x(t), y(t), z(t) (s. Abb. 9). Zur Vereinfachung sagt man, die Position ist gegeben durch den Ortsvektor x. x(t) = x(t) y(t) z(t) Allgemein ist a = a x a y a z a x, a y, a z sind die Komponenten von a. a enthält die Information über den Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung. Dies ist der Betrag des Vektors a = a = a x 2 + a y 2 + a z 2, und die Richtung der Verbindungslinie zwischen Koordinatenursprung und der Position des Punktes. Man kann daher einen Vektor geometrisch als Pfeil darstellen, dessen Schwanz im Koordinatenursprung ruht, während seine Spitze auf den betrachteten Punkt zeigt. Alle physikalischen Größen, für die die Angabe der Richtung wichtig ist, wie s, v, a, F, B werden durch Vektoren dargestellt. v(t) = v x (t) v y (t) v z (t), F = F x F y F z Alle übrigen wie Masse, Energie, Zeit nennt man Skalare.

23 22 Abb. 9: Die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum. b) Einige Operationen mit Vektoren Die Vektorschreibweise kürzt ab. Es bedeutet: a + b = c: a x + b x = c x a y +b y = c y a z +b z = c z b = αa: (α soll ein Skalar sein) b x = αa x b y = αa y b z = αa z v = x v x = v y = v z = x y z x(t) = v(t)dt x = v x (t)dt y = v y (t)dt z = v z (t)dt Es gibt verschiedene Produkte zwischen Vektoren, die bestimmten Erfordernissen in der Physik angepaßt sind (s. Abschnitt e). c) Realisierung von Vektoraddition: Überlagerung von Bewegungen Bewegt sich ein Fahrzeug mit x 0 (t) auf einer Straße und beschreibt man die Bewegung eines Körpers auf dem Fahrzeug relativ zum Fahrzeug mit x rel (t), so ist die Gesamtbewegung des Körpers von der Straße aus gesehen (s. Abb. 10)

24 23 Abb. 10: Überlagerung von Bewegungen, erklärt am eindimensionalen Fall. x ges (t) =x 0 (t) + x rel (t) Durch Differentiation erhält man v ges (t) = v 0 (t) + v rel (t) a ges (t) = a 0 (t) + a rel (t) Geschwindigkeiten und Beschleunigungen addieren sich zur Gesamtgeschwindigkeit bzw. zur Gesamtbeschleunigung. Die Überlagerung von zweidimensionalen Bewegungen ist in Abb. 11 dargestellt. Danach gilt hier: Abb. 11: Addition von Bewegungen in der Ebene. x ges (t) = x 0 (t) + x rel (t) y ges (t) = y 0 (t) + y rel (t) usw. d.h. x ges (t) = x 0 (t) + x rel (t) v ges (t) = v 0 (t) + v rel (t) a ges (t) = a 0 (t) + a rel (t) Geometrisch erhält man also die Vektoraddition, indem man durch Parallelverschiebung einen der Vektoren mit seinem Schwanz an den Kopf des anderen hängt. Der Summenvektor

25 24 ist dann der Pfeil zwischen Schwanz und Kopf des gesamten Gebildes (Abb. 12). Diese Konstruktion ist mit der Parallelogrammkonstruktion äquivalent. Der Differenzvektor ist der Pfeil zwischen den Spitzen der Ausgangsvektoren (Abb. 13). Abb. 12: Vektoraddition nach der Kopf - an Schwanz - Methode Abb. 13: Die Differenz zweier Vektoren d) Die Geschwindigkeit bei krummliniger Bewegung Die Definition der Geschwindigkeit, wie sie oben vorgenommen wurde, weicht von dem Geschwindigkeitsbegriff, wie er im täglichen Leben verwendet wird, ab. In der Physik benötigt man zur Charakterisierung der Geschwindigkeit eines Körpers im Raum drei Zahlen. Im täglichen Leben begnügt man sich mit einer Zahl, etwa der Anzeige des Tachometers im Auto. Von der physikalischen Definition her ist dies der Betrag des Geschwindigkeitsvektors. Man sagt auch die Bahngeschwindigkeit. Um uns den Zusammenhang zwischen dem Vektor der Geschwindigkeit und seinem Betrag zu veranschaulichen, stellen wir uns vor, wir wollten die Bahngeschwindigkeit eines Fisches, der in einem Aquarium auf einer gekrümmten Bahn schwimmt, messen. Dazu nehmen wir mit drei Videokameras, die senkrecht auf drei Außenflächen des Aquariums ausgerichtet sind, den Fisch in gleichen Zeitabständen t auf. In dieser Zeit ändert sich die Position in den drei Koordinatenrichtungen um x, y und z. Der Geschwindigkeitsvektor ist also v = x t y t z t Der Betrag der Geschwindigkeit ist durch den Betrag des zurückgelegten Weges x = x 2 + y 2 + z 2

26 25 geteilt durch t näherungsweise gegeben. (Für den genauen Wert muß man den Grenzwert bilden). Daher ist die Bahngeschwindigkeit näherungsweise v x t = x2 + y 2 + z 2 t = x t y t + z t 2 und exakt nach dem Grenzübergang: v = dx 2 dt + 2 dy + dt dz dt 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 = v Die Bahngeschwindigkeit ist also identisch mit dem Betrag des Geschwindigkeitsvektors. Entsprechendes gilt für den Betrag der Beschleunigung. Beachte: Den Vektor der Beschleunigung erhält man aus der Differentiation des Vektors der Geschwindigkeit, aber den Betrag der Beschleunigung erhält man im allgemeinen Fall nicht aus Differentiation des Betrages der Geschwindigkeit. Dies wird in den unten durchgerechneten Beispielen von krummlinigen Bewegungen (der Kreisbewegung und dem waagerechten Wurf) deutlicher. Man kann es aber jetzt schon anschaulich einsehen. Bei einer Kreibewegung, die mit konstanter Bahngeschwindigkeit verläuft, ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit definitionsgemäß nicht. Die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich aber ununterbrochen. Der Geschwindigkeitsvektor ist also zeitabhängig und der Beschleunigungsvektor ungleich Null. Der Grund dafür, daß man in der Physik einen anderen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsbegriff als im täglichen Leben benutzt, liegt daran, daß man damit die Dynamik einheitlicher formulieren kann. Mit der Vektorschreibweise können wir jetzt Geschwindigkeit und Beschleunigung allgemein definieren: v(t) = lim x(t) = dx(t) t 0 t dt a(t) = lim v(t) = dv(t) t 0 t dt Beispiel für die Überlagerung von Geschwindigkeiten:

27 26 Ein Windsurfer fahre mit der konstanten Geschwindigkeit v 0. Der Wind habe die Geschwindigkeit v wind, von einem ruhenden Bezugssystem aus gemessen. Welche Richtung und welche Stärke hat der Wind, vom Surfer aus gesehen? Abb. 14: Windverhältnisse beim Segeln. Die Verhältnisse sind in Abb. 14 dargestellt. Durch Vergleich mit der Betrachtung in Abb. 11 identifizieren wir v wind mit v ges, und die Windgeschwindigkeit vom Surfer aus gesehen mit v rel. Die quantitative Bestimmung würde über die Berechnung des Dreiecks der Geschwindigkeitsvektoren erfolgen, also z.b. nach dem Kosinussatz 2 v rel 2 = v wind + v 0 2 2v wind v 0 cos α e) Produkte von Vektoren α) Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist definiert durch a b = ab cos α wobei α der Winkel zwischen a und b ist. Bei der Verknüpfung der beiden Vektoren entsteht ein Skalar. Das Skalarprodukt läßt sich aus den Komponenten der Einzelvektoren ermitteln. Dazu stellen wir a und b in der kartesischen Basis e x, e y, e z dar (Abb. 15). Abb. 15: Die Basisvektoren eines kartesischen Koordinatensystems. e x = 1 0 0, e y = 0 1 0, e z = 0 0 1

28 a = a x a y a z = a x a y a z = a xe x + a y e y + a z e z In dieser Darstellung werden a und b multipliziert. a b = (a x e x + a y e y + a z e z) (b x e x + b y e y + b z e z) Die Klammern werden wie gewohnt ausmultipliziert, wobei man beachtet, daß für i k, da es sich um eine kartesische Basis handeln soll, α = 90, cosα = 0 und daher e i e k = 0, für i = k hingegen α = 0, cosα = 1, e i e i = 1 gilt. Man erhält a b = a x b x + a y b y + a z b z Anwendungen des skalaren Produktes i. Ermittlung des Winkels zwischen zwei Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind. Da a b = ab cos α erhält man cos α= a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2 ii. Arbeit, wenn F und s nicht parallel sind (Abb. 16). Abb. 16: Das skalare Produkt erzeugt die Projektion eines Vektors auf eine vorgegebene Richtung. W = F s s = Fs cos α=f s iii. Kosinussatz (Abb. 17) Abb. 17: Der Kosinussatz ist mit dem Skalarprodukt leicht zu beweisen. c = a - b

29 28 c 2 = (a - b) (a - b) = a 2 + b 2-2a b = a 2 + b 2-2 ab cosα β) Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt ordnet zwei Ausgangsvektoren einem Produktvektor zu nach folgender Vorschrift: a b = c. heißt c = ab sinα Abb. 18: Die Korkenzieherregel legt die Richtung des Produktvektors im Vektorprodukt fest. c steht senkrecht auf a und b a, b und c bilden eine Rechtsschraube. Die erste Bedingung legt den Betrag des Produktvektors fest, die zweite die Richtung, wobei das Vorzeichen noch offen bleibt, das dann durch die dritte Bedingung geregelt wird. Diese wird in Abb. 18 erläutert. Man legt den Griff eines Korkenziehers in Richtung des ersten Vektors, hier a, dreht diesen auf dem kürzesten Weg so, daß er parallel zum zweiten Vektor liegt. Der Korkenzieher schraubt sich dann - vorausgesetzt er ist nicht speziell als Sylvesterscherz mit Linksgewinde ausgestattet - in Richtung des Produktvektors. Um die Komponentendarstellung des Vektorproduktes zu erhalten, verfahren wir wie oben beim skalaren Produkt. Die Einzelvektoren werden in einer kartesischen Basis dargestellt unddas Vektorprodukt gebildet: a b = (a x e x + a y e y + a z e z) (b x e x + b y e y + b z e z) Berücksichtigt man jetzt, daß laut Definition des Vekterproduktes und e i e k = 0 für i = k

30 29 e x e y = e z e y e z = e x e z e x = e y sowie die Tatsache, daß aufgrund der Korkenzieherregel das Produkt das Vorzeichen umkehrt, wenn die Reihenfolge der Faktoren umgekehrt wird, so erhält man a b = a y b z a z b y a z b x a x b z a x b y a y b x x, y, z werden in jeder Zeile zyklisch vertauscht. Man kann die Komponentendarstellung formal gewinnen, indem man eine Determinante aus den drei Baisvektoren und den Ausgangsvektoren des Vektorproduktes bildet. a b = e x a x b x e y a y b y e z a z b z Anwendungen des Vektorproduktes i. Flächeninhalt eines Parallelogrammes Nach Abb. 19 ist die Fläche A gegeben durch Abb. 19: Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist durch Grundlinie mal Höhe gegeben. A = a h = absinα Nach der Definition des Vektorproduktes kann man also schreiben A = a b Häufig ordnet man in der Physik einer Fläche einen Vektor A zu, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt der Fläche ist und der senkrecht auf der Fläche steht. Dann gilt für den Vektor der Fläche, die durch die Vetoren a und b aufgespannt wird

31 30 A = a b ii. Anwendungen aus der Physik wir werden im Verlaufe dieses Grundkurses eine Reihe von weiteren Anwendungen des Vektorproduktes kennenlernen. Die wichtigsten sind das Drehmoment M = r F der Drehimpuls L = r p und die Lorentzkraft F = Qv B f) Beispiele für krummlinige Bewegungen α) Der waagerechte Wurf Setzt man voraus, daß ein Fallversuch, den man in einem Wagen ausführt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt, gleich ausfällt, wie ein Fallversuch in einem ruhenden System - vernachlässigbarer Luftwiderstand sei vorausgesetzt - so sieht ein ruhender Beobachter den im Wagen durchgeführten Fallversuch als waagerechten Wurf. Der waagerechte Wurf kann also aufgefaßt werden als Überlagerung einer horizontalen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit - der Bewegung des Wagens - und eines freien Falles. Das Experiment zeigt, daß bei waagerechtem Wurf der Boden gleich schnell erreicht wird wie bei freiem Fall aus gleicher Höhe. Die beiden Bewegungen überlagern sich also ungestört. Bei einer solchen ungestörten Überlagerung sagt man auch, das Galileische Relativitätsprinzip gilt. Die horizontale Bewegung wird also dargestellt durch Abb. 20: Der waagerechte Wurf kann als Überlagerung einer geradlinigen, gleichförmigen waagerechten Bewegung mit dem freien Fall aufgefaßt werden. v x = v 0 x = v 0 t

32 31 die vertikale durch v y = gt y = (1/2)gt 2 Der Ortsvektor x(t) = v 0t 1 2 gt2 ist die Bahnkurve in Parameterdarstellung, d.h., wenn man für t irgend welche positiven Zahlen einsetzt, erhält man für x Punkte der Bahnkurve. Die Bahn in kartesischen Koordinaten folgt hieraus durch Elimination von t. t = x v 0 also y = 1 g 2 v 0 2 x2 v = v 0 gt v = v (gt) 2 Die Wurfbahn ist eine Parabel. β) Die gleichförmige Kreisbewegung Ein Punkt bewege sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einem Kreis. Die geometrischen Verhältnisse sind in Abb. 21 dargestellt. Der Drehwinkel wächst proportional mit der Zeit. Abb. 21: Die geometrischen Verhältnisse bei der gleichförmigen Kreisbewegung. α=ωt

33 ω ist konstant, daher gilt α =ω und ω gibt die Geschwindigkeit an, mit der α wächst. ω wird daher Winkelgeschwindigkeit genannt. Der Zusammenhang mit der Umlaufszeit T ist wie bei der Schwingung 32 ω= 2π T = 2πf f ist die Anzahl der Umläufe pro Sekunde, d.h. die Umlauffrequenz oder Drehzahl. Die zurückgelegte Strecke s ist die Bogenlänge. Um diese auf den Drehwinkel α zurückzuführen, beachten wir, daß s proportional zu α ist: s = cα. Bei einer Umdrehung ist α = 2π und s = 2πR. Daher gilt s =αr s = α R Mit α =ω erhält man v =ωr Da ω und R konstant sind, ist auch v konstant. Der Geschwindigkeitsvektor v ist nicht konstant, da er stetig seine Richtung ändert. v und damit a v zeigt, wie an Abb. 21 zu er- t kennen ist - zumindest im Grenzübergang - zum Kreismittelpunkt. Aus v v = s folgt R, v = a t und s = t a t v = v t RT und damit a = v2 R =ω2 R Die Bewegung ist also beschleunigt, obwohl die Bahngeschwindigkeit v konstant ist. Die oben durch geometrische Betrachtungen gewonnenen Ausdrücke für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung bei der Kreisbewegung lassen sich ganz formal durch Differentiation des vektoriellen Weg - Zeit - Gesetzes finden. Nach Abb. 22 ist x = R cos α

34 33 y = R sin α Mit α=ωtsind also die Komponenten des Ortsvektors des bewegten Punktes gegeben durch Abb. 22: Die Koordinaten des Ortsvektors r x = R cos ωt y = R sin ωt Der Ortsvektor schreibt sich r = R cos ωt R sin ωt Sein Betrg ist r = R 2 cos 2 ωt + R 2 sin 2 ωt =R ( cos 2 α+sin 2 α=1). Differentiation der Komponenten ergibt v x = x = Rωsin ωt v y = y = Rω cos ωt Der Geschwindigkeitsvektor ist v = Rω sin ωt cos ωt Sein Betrag v = v x 2 + v y 2 = Rω r v = R 2 ω( sin ωt cos ωt + cos ωt sin ωt) = 0 v steht also senkrecht auf r. Die Beschleunigung ergibt sich durch Ableitung der Komponenten des Geschwindigkeitsvektors. a x = v x = Rω 2 cos ωt a y = v y = Rω 2 sin ωt a = Rω 2 cos ωt sin ωt

35 34 a = a 2 = Rω 2 Durch Vergleich der Formeln für r und a erhält man a = ω 2 r Der Vektor der Beschleunigung ist also zu jeder Zeit entgegengesetzt zum Ortsvektor gerichtet. Er zeigt also auf den Mittelpunkt des Kreises. Abb. 23: Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen ist nicht vertauschbar. γ) Ergänzung: Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor. Zur Charakterisierung der Winkelgeschwindigkeit ist eine Richtung notwendig, nämlich die Richtung der Drehachse, und ein Betrag. Es liegt daher nahe, auch der Winkelgeschwindigkeit einen Vektor zuzuordnen. Versucht man zunächst die Drehung um einen endlichen Winkel als Vektor aufzufassen, wobei die Hintereinanderausführung zweier Drehungen analog zu der Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen der Addition der Vektoren entspricht, so erleidet man Schiffbruch. Wie Abb. 23 zeigt, hängt das Ergebnis von der Reihenfolge der Operationen ab. Dahingegen sind infinitesimale Drehungen dα Vektoren (s. Abb. 24), da sie in einem Körper lineare Verschiebungen erzeugen, und diese sind durch Vektoren darstellbar. Abb. 24: Eine infinitesimale Drehung führt zu einer infinitesimalen Verschiebung sämtlicher Punkte im Körper. Diese haben Vektorcharakter.

36 35 Da dα Vektorcharakter hat, hat auch ω = dα Vektorcharakter. Man definiert ω so, daß der dt Vektor parallel zur Drehachse ausgerichtet ist und mit der Drehrichtung eine Rechtsschraube bildet (Abb. 25). Außerdem ist ω = ω. Mit Dieser Definition kann man jetzt den Zusammen- hang zwischen v und r bei der Kreisbewegung auch vektoriell schreiben. Abb. 25: Die Winkelgeschwindigkeit als Vektor Betrachte Abb. 25. Aus v = Rω folgt mit R = r sinγ v = rω sinγ. Da v senkrecht zu r und ω, und ω, r, v eine Rechtsschraube bilden, kann man schreiben v =ω r Der Ortsvektor r hat seinen Ursprung auf der Drehachse. Für die Beschleunigung erhält man, wenn ω konstant ist a = dv dt =ω dr dt =ω v =ω (ω r) Abb. 26: Die Vektoren r, v, a bei der gleichförmigen Kreisbewegung. δ) Der schiefe Wurf i. Die Bahn Auch der schiefe Wurf kann als Überlagerung einer waagerechten, gleichförmigen Bewegung und einer senkrechten Bewegung mit konstanter Beschleunigung aufgefaßt werden. Als Unterschied zum waagerechten Wurf gibt es eine senkrechte Anfangsgeschwindigkeit.

37 36 Abb. 27: Die Bahn beim schiefen Wurf. v x (0) =v 0x = v 0 cos α v y (0) =v 0y = v 0 sinα Die Geschwindigkeit ist jetzt also gegeben durch v x = v 0 cos α v y = v 0 sin α gt und damit die Koordinaten des Wurfkörpers x = v 0 t cos α y = v 0 t sin α 1 2 gt2 Dabei wurden als Anfangsbedingungen vorausgesetzt, daß bei t = 0 auch x = 0 und y = 0 sein sollen. Die Bahnkurve in kartesischen Koordinaten ergibt sich dann durch Elimination von t. t = x v 0 cos α eingesetzt y = cos sin α α x 1 g x 2 (1) 2 v 2 cos 2 α Die Bahnkurve ist wie beim waagerechten Wurf eine Parabel, allerdings liegt jetzt der Scheitelpunkt der Parabel nicht im Abwurfpunkt. ii. Bestimmung der Wurfhöhe Die Wurfhöhe ist das Maximum der Wurfparabel. Man erhält es durch die Bedingung dy dy/dx = 0. Wegen der Kettenregel und der Bedingung ist dies gleichbe- dt = dy dx dx dx dt dt 0 deutend mit v y = 0, wie anschaulich sofort zu verstehen ist. Aus v y (t max ) = 0 folgt v y = v 0 sin α gt max = 0 t max = v osin α g

38 37 Einsetzen in y(t) ergibt h = v 2 0sin 2 α g 1 v 2 0 sin 2 α 2 g = v 2 0 2g sin2 α iii. Bestimmung der Wurfweite x w Abwurfhöhe und Auftreffhöhe sollen gleich sein. Aus Gleichung (1) ergibt sich dann für y = 0. 2 sin α cos α x gx w w 2v 2 cos 2 α = 0 2sinα cos α= gx w v 2 Abb. 28: Eine bestimmte Wurfweite kann man mit zwei Abwurfwinkeln erreichen. x w = v 2 0 g sin 2α Die maximale Wurfweite erhält man für sin2α = 1, d.h. α max = 45. x w max = v 2 0 g Vergleich mit h zeigt, daß sie doppelt so groß ist wie die maximal erreichbare Höhe. Wenn die Wurfweite vorgegeben ist, ergeben sich für α 45 zwei Winkel mit α 2 = 90 - α 1. Wenn x und y des Auftreffpunktes vorgegeben sind, läßt sich der Abwurfwinkel aus der Bahngleichung berechnen. cos 2 α= a ± a2 bc 2c mit a = 1 - y/2h, b = (x/2h) 2, c = 1 + (y/x) 2, 2h = v 02 /g

39 38 h ist die Wurfhöhe bei senkrechtem Wurf bei gleichem v 0. g) Approximation von Kurven α) Die Taylorentwicklung Die Taylorentwicklung ermöglicht die Beschreibung des Verlaufs einer Kurve in der Umgebung eines Anfangspunktes, indem nur ihre Eigenschaften in diesem Anfangspunkt ausgenutzt werden. Betrachte z.b. die Preisentwicklung im Laufe der Zeit P(t) (Abb. 29). Abb. 29: Preisanstieg und Änderung der Preisanstiegsrate. Nullte Näherung Man nimmt an, die Preise bleiben konstant P = P(t 0 ). Erste Näherung Die Preise erhöhen sich gemäß der augenblicklichen Preissteigerungsrate P = P(t 0 ) + dp dt (t t 0 ) t P = P 0 + P / (t 0 ) t Zweite Näherung Die Änderung der Preissteigerungsrate wird mit einem quadratischen Ansatz berücksichtigt: P = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 Man bestimmt die Konstanten a 0, a 1 und a 2 so, daß die ursprüngliche Funktion P(t) und das Polynom für t = 0 in der nullten, ersten und zweiten Ableitung übereinstimmen. Nullte Ableitung: P( t) = a 0 +a 1 t + a 2 t 2. Aus t = 0 folgt a 0 = P(t 0 ). Erste Ableitung: P / (t) = a 1 + 2a 2 t. Aus t = 0 folgt a 1 = P / (t 0 ). zweite Ableitung: P // (t) = 2a 2. Aus t = 0 folgt a 2 = (1/2)P // (t 0 )

40 39 Die zweite Näherung lautet also: P = P 0 + P / (t 0 ) t P// (t 0 )( t) 2 Im Prinzip kann man so fortfahren. Diese Entwicklung heißt Taylorentwicklung. Mit ihr läßt sich bei bekannten Ableitungen am Punkt t = t 0 der weitere Verlauf einer analytischen Funktion beliebig genau vorhersagen. Die Approximation ist um so besser, je kleiner t ist. In der Physik begnügt man sich in den allermeisten Fällen mit der Entwicklung bis zur ersten Ordnung. Die zweite Ordnung wird dann allenfalls zur Abschätzung des Fehlers verwendet. Abb. 30: Die Tangente der Kurve r(t) ist durch ihre Ableitung gegeben. β) Approximation von Raumkurven (Bogenlänge, Krümmung und Torsion) Eine Raumkurve sei durch eine Parameterdarstellung r(t) gegeben. Einige Formeln werden besonders übersichtlich, wenn man als Parameter die Bogenlänge s der Kurve vom Anfangspunkt aus wählt. Die Bogenlänge ergibt sich aus v = ds dt = v x 2 + v y 2 + v z 2 s = x 2 + y 2 + z 2 dt i. Lineare Näherung In erster Näherung wird die Kurve r(t) durch die Tangente beschrieben. Die Richtung der Tangente ist gegeben durch v = r. Der Tangenteneinheitsvektor ist daher e t = dr 1. Mit dt v v = ds erhält man e t = dr dt dt dt ds = dr ds

41 40 e t = dr ds Manchmal ist es bequemer mit e t = r v zu rechnen. ii. Quadratische Näherung Für die quadratische Näherung sucht man den Kreis, dessen erste und zweite Ableitung im Berührungspunkt mit den entsprechenden Ableitungen der Kurve gleich ist. Dieser Kreis heißt Schmiegungskreis. Sein Radius R ist der Krümmungsradius der Kurve, κ = 1/R ist die Krümmung. Jede Bewegung auf einer gekrümmten Bahn läßt sich in der Umgebung eines Punktes durch eine Kreisbewegung annähern. In einer ebenen Bewegung liegt der Krümmungskreis in der Bewegungsebene. Zur Angabe der Ausrichtung des Schmiegungskreises in einer allgemeinen Bewegung benötigt man den Normalen Einheitsvektor. Er steht senkrecht auf dem Tangentenvektor und in der Ebene des Schmiegungskreises. Um ihn aus der gegebenen Raumkurve zu berechnen, betrachten wir die Beschleunigung, wobei v(t) mit Hilfe des Tangenten Einheitsvektors dargestellt wird, der selbst zeitabhängig ist. v = v(t) e t (t) dv dt = dv dt e t+v de t dt = dv dt e t + v 2 de t ds (2) a setzt sich zusammen aus der Tangentialbeschleunigung a t = dv dt e t und der Normalbeschleunigung a n =v 2 de t ds Die Bewegung verläuft also in der Ebene, die durch a t und a n aufgespannt wird. Dies ist definitionsgemäß die Schmiegungsebene. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist a t = 0 und a n = v 2 /R. Die obige allgemeine Formel ergibt für a t = 0 man a n = v 2 de t ds. Durch Vergleich erhält