Theoretische Mechanik

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1 Skript zur Vorlesung Theoretische Mechanik Prof. Dr. habil. Wolf Gero Schmidt 8. Mai 2015

2 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik eines Massenpunkts Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung Krummlinige Koordinatensysteme Grundtypen der Bewegung Harmonischer Oszillator Newtonsche Mechanik Die Newtonschen Axiome Das Trägheitsgesetz Das Grundgesetz der Dynamik Das Wechselwirkungsgesetz Superposition von Kräften Bewegte Bezugssysteme Dynamik eines Massenpunktes Bewegungsgleichungen Impulsbilanz Energiebilanz Drehimpulsbilanz Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen Spezielle Probleme Dynamik eines MP-Systems Bewegungsgleichungen Impulsbilanz Energiebilanz Virialsatz Drehimpulsbilanz

3 2.3.6 Spezielle Probleme Lagrangesche Mechanik Das d Alembertsche Prinzip Bedingungsgleichungen Das d Alembertsche Prinzip Bilanzgleichungen Spezielle Probleme Starrer Körper Lagrangesche Gleichungen Lagrangesche Gleichungen 1. Art Lagrangesche Gleichungen 2. Art Erhaltungssätze und Symmetrien Hamiltonsche Mechanik Prinzip der kleinsten Wirkung Hamiltonsche Gleichungen Poisson-Klammern Spezielle Relativitätstheorie Grundlagen Michelson-Experiment - Lorentzkontraktion Zeitdilatation Lorentz-Transformation Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit Meßvorschriften und Gleichzeitigkeit Kausalität von Ereignissen Relativistische Mechanik Masse und Energie

4 5.3.2 Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse

5 1 Kinematik eines Massenpunkts 1.1 Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung Kinematik geometrische Bewegungslehre, interessieren uns zunächst nicht für Ursachen der Bewegung Im kinematischen Sinne ist die Bewegung eines Körpers bestimmt, wenn die Lage des Körpers relativ zu einem anderen Körper zu jedem Zeitpunkt angebbar ist. Wir idealisieren einen Körper zunächst durch einen Massenpunkt. Wir wählen in dem Bezugskörper (z.b. Erde) einen Ausgangspunkt O (Koordinatenursprung), durch den die Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems verlaufen. Die Lage des Massenpunktes P ist durch den Ortsvektor OP r charakterisiert. Die Bewegung des Massenpunktes ist bekannt, wenn der Ortsvektor r als Funktion der Zeit bekannt ist: r = r(t) 5

6 Speziell in kartesischen Koordinaten: r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z Die Funktionen x(t), y(t) und z(t) seien eindeutig und mindestens zweimal differenzierbar. Die Raumkurve r(t) ist die Bahnkurve des Massenpunkts. Zum Zeitpunkt t ist der Massenpunkt bei r(t), nach der Zeitspanne t bei r(t + t) = r + r. Die auf die Zeiteinheit bezogene mittlere Verrückung ist durch den Vektor r t = r(t + t) r(t) t gegeben, der von der Zeit t und der Zeitspanne t abhängt. Den von t unabhängigen Vektor der Geschwindigkeit v(t) findet man als Grenzwert v(t) r(t) d r dt = lim r(t + t) r(t) t 0 t 6

7 Speziell in kartesischen Koordinaten gilt r = ẋ e x + ẏ e y + ż e z Geometrisch ergibt sich der Vektor der Geschwindigkeit als Grenzlage der Sekante durch die Vektoren r(t + t) und r(t) pro Zeitintervall t in der Grenze t 0, d.h. die Richtung der Geschwindigkeit zur Zeit t ist durch die Richtung der Tangente im Punkt P der Bahnkurve r(t) gegeben. v = v T mit T... Tangenteneinheitsvektor und v = v Beweis: Definieren Bogenlänge der Bahnkurve zwischen P und dem zur geeignet gewählten Anfangszeit t 0 zugehörigen P 0 durch t t s = s(t) = ds = t 0 t 0 d r 7

8 Wegen r = r [s(t)] gilt v = d r dt = d r ds }{{} ds }{{} dt T v v(t) wird als Hodograph bezeichnet. Die Beschleunigung a(t) ist definiert als zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors: Speziell in kartesischen Koordinaten a(t) v(t) r(t) d v dt lim t 0 d2 r dt 2 v(t+ t) v(t) t r = ẍ e x + ÿ e y + z e z a = d v dt = d ( vt dt ) = v T + v T gilt dt T = dt = d T ds ds = v d T }{{} dt ds T T = 1 d ( ) T T = 0 ds v 2 T d T ds d T ds T 8

9 Wir definieren den Hauptnormaleneinheitsvektor N = d T ds / d T ds = Rd T ds wobei wir den lokalen Krümmungsradius R eingeführt haben. Der Krümmungsradius R ist der Radius des Kreises, der die Bahnkurve am betrachteten Punkt am besten approximiert, siehe Abbildung unten: Für t 0 gilt offensichtlich: dϕ = ds d R = T d T ds = 1 R R = d T ds 1 Mit R = d T ds 1 erhalten wir für die Beschleunigung a = d v dt = v T + v 2 d T ds = v T }{{} Anteil an Beschleunigung infolge Betragsänderung der Geschwindigkeit + v 2 R N }{{} infolge Richtungsänderung der Geschwindigkeit mit T N 9

10 1.2 Krummlinige Koordinatensysteme In kartesischen Koordinaten sind die Koordinatenlinien Geraden. Oft sind aber auch krummlinige Koordinaten zielführend. Dann ändern die Koordinatenlinien ihre Richtung, so daß die Einheitsvektoren ortsabhängig werden. Stehen die Koordinatenlinien senkrecht aufeinander spricht man von rechtwinkligen (krummlinigen) Koordinaten. Beispiel sind Zylinder- und Kugelkoordinaten. Der allgemeinste Fall sind schiefwinklige krummlinige Koordinaten. Dafür lassen sich zwei Arten von Koordinaten und Basisvektoren definieren. Wir betrachten schiefwinklige Koordinaten x i = x i (x, y, z) i = 1, 2, 3 mit den Umkehrtransformationen x = x ( x 1, x 2, x 3) y = y ( x 1, x 2, x 3) z = z ( x 1, x 2, x 3) Wir definieren kovariante Basisvektoren g i := r ( x x i = x i, y x i, z ) x i und kontravariante Basisvektoren g i := x i = ( ) x i x, xi y, xi z 10

11 Für rechtwinklige Koordinatensysteme gilt: g i g i (Begründung später: weil dann der metrische Fundamentaltensor diagonal ist) Die Skalarprodukte g ik = g i g k = g ki g ik = g i g k = g ki hängen von den gewählten Koordinaten ab, da die Basisvektoren von ihnen abhängen. Invariant sind hingegen Skalarprodukte von kovarianten und kontravarianten Basisvektoren gi k = g i g k = r x i x k = xk x i = δk i 1 k = i mit dem Kroneckersymbol δi k = 0 k i Kovariante und kontravariante Basisvektoren bilden jeweils eine Entwicklungsbasis für einen beliebigen Vektor q: q = q k g k = q k g k (Hier gilt die Einstein sche Summenkonvention: über zwei gleiche ko- und kontravariante Indizes ist zu summieren) Bestimmung der Koeffizienten q k bzw. q k? q = q k g k g i q i = g i q 11

12 analog: q = q k g k g i q i = g i q Ko- und kontravariante Komponenten lassen sich einfach ineinander umrechnen: q i = g i q = g ik q k g k q k analog: q i = g ik q k Skalarprodukt zweier Vektoren q und p? q p = q i p k g i g }{{} k = q i p i δk i g ik q k p i = q i p i g ik q k p i Die Größe g ik heißt metrischer Fundamentaltensor, er bestimmt die Länge des Bogenelements in dem jeweils gewählten Koordinatensystem. Aus der Definition g i := r x i mittels Kettenregel unmittelbar die folgt Metrische Fundamentalgleichung d r = g i dx i = g i dx i deren rechte Seite die dx i einführt. Für das Quadrat des Differentials der Bogenlänge ergibt sich ds 2 = d r d r = g ik dx i dx k = g ik dx i dx k 12

13 Bemerkung: In der "flachen"raum-zeit des Minkowski-Raumes mit Vierervektoren x = (x 0, r) = (ct, x, y, z) gilt für das unter Lorentztransformationen invariante Abstandsquadrate zweier Erreignisse ds 2 = (dx 0 = cdt) 2 (dx 1 = dx) 2 (dx 2 = dy) 2 (dx 3 = dz) 2, entsprechend folgt g 00 = 1, g 11 = g 22 = g 33 = 1, g ij = 0 i j. Anwendungen bei Integration und Differentiation: Als Volumenelement (im dreidimensionalen Raum) kann das von den Vektoren d r 1 = g 1 dx 1 d r 2 = g 2 dx 2 d r 3 = g 3 dx 3 aufgespannte Spatprodukt angesehen werden, d.h. dv = g 1 ( g 2 g 3 ) dx 1 dx 2 dx 3 = (x, y, z) (x 1, x 2, x 3 ) }{{} Betrag der Funktionaldeterminante dx 1 dx 2 dx 3 Entsprechend können die Flächen des vektoriellen Flächenelements angegeben werden d A 1 = g 2 g 3 dx 2 dx 3 usw. Wir können auch Differentialoperatoren in beliebigen Koordinaten angeben. 13

14 Beispiel: Gradient einer Funktion f, nach Definition gilt: df f x i dx i = d r g i dx i f g i dx i f = f x i dxi g i f = f x i g i f = g i f ( x i : g i g ) k = δi k ik f ( ) = g i g x k : q i = g ik q k Anwendung in Mechanik: Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Massenpunkts in beliebigen Koordinaten. Wir starten mit der metrischen Fundamentalgleichung d r = g i dx i d r dt = r dx i = g i dt Geschwindigkeit r = x i g i d dt Beschleunigung r = ẍi g i + x i g i Speziell in rechtwinkligen Koordinaten ist der metrische Fundamentaltensor diagonal g ik = λ 2 i δ ik (keine Summenkonvention) 14

15 Basisvektoren g i und g i sind parallel g i = λ 2 i g i g i (keine Summenkonvention) Die orthogonalen Einheitsvektoren erhalten wir aus e i = g i λ i = λ i g i damit Geschwindigkeit r = 3 x i λ i e i i=1 und Beschleunigung r = 3 i=1 {ẍi λ i e i + x i λ i e i + x } i λ i ei Berechnung von e i aus der Definition e i = g i = 1 r (keine Summenkonvention) λ i λ i xi Beispiel: Zylinderkoordinaten x 1 = ρ x 2 = ϕ x 3 = z 15

16 Umrechnung x = x (ρ, ϕ) = ρ cos ϕ y = y (ρ, ϕ) = ρ sin ϕ z = z bzw. ρ = x 2 + y 2 ϕ = arctan y x z = z g 1 = r = (cos ϕ, sin ϕ, 0) ρ g 2 = r = ( ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, 0) ϕ g 3 = r = (0, 0, 1) z g 1 = ρ = x 2 + y 2 = g 2 = ϕ = arctan y x = ( y x 2 + y 2, g 3 = z = (0, 0, 1) ( ) x x 2 + y, y 2 x 2 + y, 0 = (cos ϕ, sin ϕ, 0) 2 ) ( x x 2 + y 2, 0 = sin ϕ ρ, cos ϕ ρ, 0 ) Der metrische Fundamentaltensor g ik = g i g k = 0 ρ ist, wie für rechtwinklige Koordinaten erwartet, diagonal. g ik = λ 2 i δ ik λ ρ = 1 λ ϕ = ρ Jetzt berechnen wir die orthogonalen Einheitsvektoren. λ z = 1 16

17 e i = g i λ i e ρ = (cos ϕ, sin ϕ, 0) e ϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, 0) e z = (0, 0, 1) Wir können jetzt den Gradienten in Zylinderkoordinaten ausdrücken: f = g i f x i = cos ϕ f sin ϕ f ρ 1 ρ ρ + 1 ρ f z f sin ϕ ϕ f cos ϕ ϕ Diese Gleichung ist noch in kartesischen Komponenten ausgedrückt, zu echter Zylinderkoordinatendarstellung kommen wir durch Projektion auf e ρ, e ϕ und e z. f e ρ = f ρ f e ϕ = 1 f ρ ϕ f e z = f z gradf = f ρ e ρ + 1 f ρ ϕ e ϕ + f z e z Volumenelement in Zylinderkoordinaten dv dxdydz = g 1 ( g 2 g 3 ) dx 1 dx 2 dx 3 = ρdρdϕdz }{{} ρ Geschwindigkeit in Zylinderkoordinaten r = 3 x i λ i e i = ρ e ρ + ϕρ e ϕ + ż e z i=1 17

18 Beschleunigung in Zylinderkoordinaten r = 3 i=1 {ẍi λ i e i + x i λ i e i + x i λ i ei } = ρ e ρ + ρ e ρ + ϕρ e ϕ + ϕ ρ e ϕ + ϕρ e ϕ + z e z + ż e z Wie sehen e ρ, eϕ und e z aus? e ρ = cos ϕ e x + sin ϕ e y e ρ = ϕ sin ϕ e x + ϕ cos ϕ e y = ϕ e ϕ e ϕ = sin ϕ e x + cos ϕ e y e ϕ = ϕ cos ϕ e x ϕ sin ϕ e y = ϕ e ρ e z = e z e z = 0 Damit r = e ρ ( ρ ρ ϕ 2 ) + e ϕ (ρ ϕ + 2 ρ ϕ) + z e z Beispiel: Kugelkoordinaten x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ 18

19 Offensichtlich (Beweis Übung) gilt: g ik = 0 r r 2 sin 2 θ e r = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) e θ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ) e ϕ = ( sin ϕ, cos ϕ, 0) r = r = ṙ e r + θr e θ + ϕr sin θ e ϕ ( r θ ) [ 1 2 r ϕ 2 r sin 2 d θ e r + r dt 1.3 Grundtypen der Bewegung ( ) θr 2 ϕ 2 r sin θ cos θ] e θ + 1 r sin θ d ( ϕr 2 sin 2 θ ) e ϕ dt Die einfachste Bewegung eines Massenpunktes ist die geradlinige gleichförmige Bewegung, für die r = v = const. gilt. r = 0 19

20 Die Bahnkurve folgt offensichtlich einer Geraden, deren Richtung durch v bestimmt wird: r(t) = v(t t 0 ) + r 0 Die gleichförmig beschleunigte Bewegung ist durch r = a = const. definiert. v = r = at + b Bahnkurve: r(t) = 1 2 at2 + bt + c mit beliebigen Vektoren b und c. Für die Anfangsbedingungen t = t 0 r(t 0 ) = r 0 r(t0 ) = v 0 gilt offensichtlich r(t 0 ) = v 0 = at 0 + b b = v 0 at 0 r(t 0 ) = r 0 = 1 2 at2 0 + bt 0 + c v 0 at 0 c = r at2 0 v 0 t 0 20

21 Damit ergibt sich für die Bahnkurve: r(t) = 1 2 at2 + v 0 t at 0 t + r at2 0 v 0 t 0 = 1 2 (t t 0) 2 a + (t t 0 ) v 0 + r 0 D.h. die Bahnkurve liegt in einer durch a und v 0 aufgespannten Ebene, die gleichförmig beschleunigte Bewegung ist somit eine ebene Bewegung: Die Bewegung setzt sich zusammen aus einer geradlinig gleichförmigen Bewegung und einer geradlinig gleichförmig beschleunigten Bewegung. Ohne Verlust an Allgemeinheit liegen a und v o in der x-y-ebene, es gelte a = a e y v 0 = v 0x e x + v 0y e y dann gilt x x 0 = v 0x (t t 0 ) y y 0 = 1 2 a(t t 0) 2 + v 0y (t t 0 ) 21

22 Durch Eliminierung der Zeit erhält man die Bahngleichung: y y 0 = 1 2 a v 2 0x (x x 0 ) 2 + v 0y v 0x (x x 0 ) Parabel, deren Achse parallel zur Beschleunigungsrichtung (d.h. e y ) ist. Falls v 0 parallel zu a ist oder v 0 = 0, entartet die Bewegung in eine geradlinige Bewegung. Beispiel: Wurf im Schwerefeld Die y-achse zeige nach oben, d.h. a = g e y v 0x = v 0 cos α v 0y = v 0 sin α Für x 0 = y 0 = 0 = t 0 gilt dann: x = v 0 t cos α y = v 0 t sin α 1 2 gt2 Wurfparabel ergibt sich zu y = x tan α g 2v 2 0 cos2 α x2 22

23 Steigzeit ergibt sich aus ẏ! = 0 v 0 sin α gt s = 0 t s = v 0 sin α g Wurfdauer y! = 0 v 0 t d sin α 1 2 gt2 d = 0 t d = 2v 0 sin α g = 2t s (y! = h falls der Wurf aus der Höhe h erfolgt) Wurfhöhe y(t s ) = v2 0 sin2 α g 1 2 g v2 0 sin2 α g 2 = 1 v0 2 sin2 α 2 g Wurfweite x(t d ) = v 0 cos α 2v 0 sin α g = v2 0 sin(2α) g ( : sin(2α) = 2 sin α cos α) maximale Wurfweite für α = 45, kleinere Weiten können im Steilwurf und im Flachwurf erzielt werden. 23

24 Ein Massenpunkt führt eine gleichförmige Kreisbewegung aus, wenn er sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit v = v = const. auf einem Kreis mit festem Radius R = const. bewegt. Beschreibung mit ebenen Polarkoordinaten x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ vgl. Zylinderkoordinaten (1.2) r = ρ e ρ + ϕρ }{{} e ϕ v ρ = 0 v ϕ = ωr = v = const. wobei ω = ϕ die Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. ϕ = ω = v R = const. ϕ(t) = ω(t t o) + ϕ 0 früher (1.2) r = ( ρ ρ ϕ 2) e ρ + (ρ ϕ + 2 ρ ϕ) e ϕ d.h. a ρ = ρ ϕ 2 ρ = ω 2 R = v2 R a ϕ = ρ ϕ ϕ ρ =

25 Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt des Kreises (Radialbeschleunigung) und hat den Betrag ω 2 R a = ω 2 R e ρ = v2 R e ρ betrachten Zeitabhängigkeit ϕ = ω(t t 0 ) + ϕ 0 ϕ = ω t! = 2π Mit t = T (Umlaufzeit) ergibt sich: ω = 2π T = 2πν mit Frequenz ν = 1 T Die Winkelgeschwindigkeit ω wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet. In kartesischen Koordinaten gilt: x = ρ cos ϕ x(t) = R cos (ωt + α) y = ρ sin ϕ x(t) = R sin (ωt + α) = R cos ( ωt + α π ) 2 (mit α = ϕ 0 ωt 0 ) Die Projektionen der Kreisbewegung auf die x- und y-achse sind harmonische Schwingungen. Genauer: Die gleichförmige Kreisbewegung kann als Überlagerung zweier zueinander senkrecht stehender harmonischer Schwingungen angesehen werden, deren Phasendifferenz π 2 ist. 25

26 1.4 Harmonischer Oszillator Wir betrachten eine periodische, lineare Bewegung eines Massenpunktes längs der x- Achse um den Ursprung. x(t + T ) = x(t) mit Periodendauer T. Die periodische Bewegung ist eine harmonische Schwingung, wenn die Auslenkung aus dem Ursprung eine Kosinus- oder Sinusfunktion der Zeit ist. x(t) = A cos(ωt + α) A... Amplitude, α... Phase, Kreisfrequenz ω = 2π T, Frequenz ν = 1 T Offensichtlich gilt: ẋ(t) = ωa sin(ωt + α) ẋ(t) ist maximal für ωt + α = (2n+1)π 2, d.h. bei den Durchgängen x(t) = 0. ẋ(t) = 0 für ωt + α = nπ, d.h. bei maximaler Auslenkung. ẍ(t) = ω 2 A cos(ωt + α) = ω 2 x(t) Die Beschleunigung ist proportional zur Auslenkung und ist ihr entgegengesetzt gerichtet. 26

27 Die Auslenkung einer harmonischen Schwingung genügt der Differentialgleichung ẍ + ω 2 x = 0 Die Umkehrung gilt ebenfalls: Falls für die Bewegung eines Massenpunktes die Differentialgleichung oben gilt, dann führt der Massenpunkt eine harmonische Schwingung aus, da x(t) = A cos(ωt + α) = A 1 sin(ωt) + A 2 cos(ωt) die allgemeine Lösung dieser DGL ist. Oft ist die komplexe Schreibweise zweckmäßig x(t) = Ae iωt, A = A e iα wobei der Realteil die physikalische Schwingung repräsentiert. Überlagerung harmonischer Schwingungen Sei x 1 (t) = A 1 e iωt, A 1 = A 1 e iα 1 x 2 (t) = A 2 e iωt, A 2 = A 2 e iα 2 x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = (A 1 + A 2 ) e iωt = Ae iωt }{{} A Die Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Richtung und Frequenz ω ist wieder eine harmonische Schwingung mit Frequenz ω. 27

28 A = A e iα ergibt sich aus den Rechenregeln für komplexe Zahlen A = A A A 1 A 2 cos (α 2 α 1 ) tan α = A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2 Die Amplitude A hängt für festes A 1 und A 2 von der Phasendifferenz δ = α 2 α 1 ab. δ = 2nπ A = A 1 + A 2 maximaler Wert, konstruktive Interferenz δ = (2n + 1)π A = A 1 A 2 minimaler Wert, destruktive Interferenz Für die Überlagerung von Schwingungen gleicher Richtung, aber unterschiedlicher Frequenz ist x(t) = A 1 e iω 1t + A 2 e iω 2t keine harmonische Schwingung, sondern ein komplizierterer Vorgang. Falls ω 1 ω 2 = m n mit m, n N, dann liegt ein periodischer Vorgang vor, dessen Kreisfre- 28

29 quenz ω durch ω 1 = mω, ω 2 = nω bestimmt ist: x(t) = A 1 e imωt + A 2 e inωt x(t + T )! = x(t) T = 2π ω Für A 1 = A 2, ω 1 ω 2 ergibt sich ein wichtiger Spezialfall: A 1 = A 1 e iα 1 A 2 = A 1 e iα 2 x(t) = A 1 [e ] i(ω 1t+α 1 ) + e i(ω 2t+α 2 ) [ = A 1 e i[(ω 1 ω 2 )t+α 1 α 2 ]/2 e i[(ω 1+ω 2 )t+α 1 +α 2 ]/ ]... + e i[(ω 1 ω 2 )t+α 1 α 2 ]/2 e i[(ω 1+ω 2 )t+α 1 +α 2 ]/2 x(t) = 2 A 1 cos[( ω 1 ω 2 )t + ( α 1 α 2 }{{ 2 }}{{ 2 } =: ω =: α = 2 A 1 cos( ωt + α)e i(ωt+α) =:2ω {}}{ )]e i[( =:2α {}}{ ω 1 + ω 2 )t+ α 1 + α 2 ]/2 Für ω 1 ω 2 ist ω ω und es liegt eine sogenannte Schwebung vor. 29

30 Harmonische Schwingungsanalyse Oft liegen periodische Vorgänge vor, die nicht in einige wenige harmonische Schwingungen zerlegt werden können. Hier ist eine Fourierzerlegung oft hilfreich. x(t) sei eine periodische Funktion mit x(t + T ) = x(t), T = 2π ω mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitsstellen. x(t) kann in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: x(t) = A n e inωt n= Bestimmung der Fourierkoeffizienten A n? 1 T t 0 +T t 0 x(t)e imωt dt = A n = 1 T n= T A n 1 T t 0 +T t 0 x(t)e inωt dt e i(n m)ωt dt } {{ } δ nm Oft nähern die Grundschwingung e iωt und wenige Oberschwingungen e inωt, n > 1 eine periodische Funktion bereits gut an. Für T geht die Fourier-Reihe in ein Fourier-Integral über x(t) = q(ω)e iωt dω mit q(ω) = 1 2π x(t)e iωt dt 30

31 Senkrecht zueinander stehende harmonische Schwingungen Sei x(t) = A cos(ωt + α) Mit cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y folgt: y(t) = B cos(ωt + β) = B cos(ωt + α + }{{} δ ) β α y(t) = B(cos(ωt + α) cos δ sin(ωt + α) sin δ) }{{}}{{} x(t) A 1 x(t)2 A 2 ( y B x ) ) 2 A cos δ = (1 x2 A 2 sin 2 δ x 2 A 2 + y2 B 2 2xy AB cos δ = sin2 δ Der resultierende Vektor [x(t), y(t)] beschreibt eine Ellipse. Spezialfälle: δ = 0, π ( x A y B ) 2 = 0 y(t) = ± B A x(t) Ellipse geht in Gerade über δ = π 2, 3π 2 und A = B x 2 + y 2 = A 2 elliptische Schwingung geht in Kreisschwingung über 31

32 Für A = B entstehen folgende Figuren: y x Senkrecht zueinander stehende harmonische Schwingungen verschiedener Frequenz geben Anlaß zu sogenannten Lissajous-Figuren. Die Bewegung ist dabei nur dann streng periodisch und die Bahnkurve nur dann geschlossen, wenn das Frequenzverhältnis ω 1 ω 2 rationale Zahl ist, siehe Beispiele unten: eine 32

33 2 Newtonsche Mechanik 2.1 Die Newtonschen Axiome Die Newtonschen Axiome sind keine mathematisch beweisbaren Sätze, sondern Erfahrungstatsachen, aus denen alle weiteren Sätze über die Dynamik (Bewegung von Körpern unter Einfluß von Kräften) abgeleitet werden können Das Trägheitsgesetz = 1. Newtonsches Axiom: Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. Bemerkungen: ist Extraktion vieler Erfahrungen für einen idealen Grenzfall Ist nicht unmittelbar experimentell überprüfbar, da wir einwirkende Kräfte nicht vollständig abschirmen können Axiom hat nur dann einen Sinn, wenn es ein Bezugssystem gibt, in dem das Trägheitsgesetz gilt Ein solches Bezugssystem heißt Inertialsystem Erfahrungsgemäß kann ein im Fixsternhimmel befestigtes Bezugssystem als Inertialsystem betrachtet werden 33

34 2.1.2 Das Grundgesetz der Dynamik = 2. Newtonsches Axiom Es sei m die träge Masse und F die Kraft auf einen Körper. Dann gilt: Die auf einen Massenpunkt wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Massenpunkts m r = F Die ursprüngliche Formulierung von Newton ist etwas anders, für den Impuls p = m r gilt: Die Änderung des Impulses ist der einwirkenden Kraft proportional und geschieht in Kraftrichtung p = F Die beiden Formulierungen sind identisch, falls sich die Masse m während der Bewegung nicht ändert p = d dt ( m r ) = m r = F Für sehr große Geschwindigkeiten (v c) gilt dies nicht mehr, dann m = m 0 1 v2 c 2 mit m 0... Ruhemasse (Masse für v = 0) In diesem Fall m r F, p = F bleibt gültig. Auch für nichtrelativistische Probleme kann m veränderlich sein (Bsp. Rakete) und m r F, so dass p = F zur Anwendung kommt. 34

35 Dynamische Kraft- und Massenmessung Wir lassen die gleiche Kraft auf zwei Massenpunkte wirken m 1 r1 = m 2 r2 r 2 m 1 m 2 = r 1 Aus dem Verhältnis der gemessenen Beschleunigungen kann auf das Massenverhältnis geschlossen werden. Wir wählen eine Referenzmasse (z.b. das Pariser Urkilogramm). Wir können jede Masse eindeutig bestimmen. Mit der Masseneinheit wird über das Grundgesetz dann die Krafteinheit festgelegt. 1 Newton ist die Kraft, die der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 ms 2 erteilt. 1 N = 1 kg m s 2 Statische Kraft- und Massenmessung Erfahrungsgemäß ist an einem festen Ort die Fallbeschleunigung r = g für jeden Körper die gleiche, g 9, 81 m. s 2 Das Gewicht eines Körpers der Masse m ist gegeben durch F = m g Das Gewicht des Urkilogramms an dem Ort, wo g = 9, 81 m s 2 ist, wird als Kilopond (kp) gewählt 1 kp = 9, 81 N 35

36 Wenn man (mit Hilfe einer beliebigen Waage) bei einer statischen Kraftmessung feststellt, daß die Gewichte zweier Körper an einem Ort gleich groß sind, dann sind die Massen ebenfalls gleich m 1 g = m 2 g m 1 = m 2 Bei dieser Messung spielt die Trägheit des Körpers keine Rolle, sondern die Schwere ist entscheidend. Wir können zwischen schwerer Masse und träger Masse unterscheiden Nichttriviale Erfahrungstatsache: beide Arten der Massenbestimmung ergeben dasselbe Resultat, d.h. schwere Masse = träge Masse. Bemerkung: Grundgesetz der Mechanik gibt Meßvorschrift für Kraft und Masse. Wir können Kraft- und Massemessungen auf Beschleunigungsmessungen, d.h. Längen- und Zeitmessungen zurückführen. Wir können bei bekannter Bahnkurve r(t) durch zweimaliges Differenzieren nach der Zeit für bekannte Masse die wirkende Kraft bestimmen F = m r Wir können umgekehrt aus bekannter Kraft F die Beschleunigung des Massenpunktes r und damit die Bahnkurve gewinnen. typisches Problem der theoretischen und auch der technischen Mechanik 36

37 2.1.3 Das Wechselwirkungsgesetz = 3. Newtonsches Axiom (actio=reactio) Kraftwirkungen sind immer gegenseitig, genau gilt Die von einem Massenpunkt auf einen zweiten Massenpunkt ausgeübte Kraft gleich groß und entgegengesetzt der Kraft F21 ist F12, die der zweite Massenpunkt auf den ersten Massenpunkt ausübt F 12 = F Superposition von Kräften Eine weitere wesentliche Erfahrungstatsache ist der Sachverhalt, daß sich Kräfte vektoriell addieren. Kräfte F 1, F 2,... auf einen Massenpunkt können durch die Einzelkraft F = F 1 + F ersetzt werden, d.h. m r = F 1 + F Bewegte Bezugssysteme Die Grundgleichung m r = F ist zunächst in einem Inertialsystem Σ gültig. Welche Form nimmt die Grundgleichung in einem Bezugssystem Σ an, das sich bezüglich Σ bewegt? 37

38 Es gilt: mit r d r dt r = r 0 + r x e x + y e y + z e z r = d dt r = d r 0 dt + d e x x dt + d e y y dt + d e z z dt + dx e dt x + dy e dt y + dz e dt z }{{} r als Geschwindigkeit des Massenpunktes für einen Beobachter in Σ, für den die Achsenrichtungen fest scheinen d r dt Differentiation in Σ bei fester Lage der Koordinatenachsen. v d r dt... Absolutgeschwindigkeit v d r dt... Relativgeschwindigkeit v tr d r 0... Translationsgeschwindigkeit, Geschwindigkeit von O in Σ dt Die zeitliche Änderung der Basisvektoren e x, e y und e z resultiert aus einer möglichen Drehung des Systems Σ um eine Achse durch O. 38

39 Wir betrachten die Drehung um eine Achse: d AB #» = CB #» dϕ = AB #» sin θdϕ d AB #» dt = AB #» sin θ dϕ dt ω ω... momentane Winkelgeschwindigkeit Wir definieren den Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω durch die Richtung der Achse einer Rechtsschraube und den Betrag ω = ω = ϕ. Damit gilt d #» AB dt = ω #» AB Speziell folgt d e x dt = ω e x, d e y dt = ω e y, d e z dt = ω e z 39

40 und damit x d e x dt + y d e y dt + z d e z dt = ω r Das bedeutet für die Geschwindigkeit d r dt = d r dt + d r 0 dt + ω r ( ) }{{} Führungsgeschwindigkeit gilt r r 0 = r d r dt = d r dt + ω r ( ) Offensichtlich gilt obige Beziehung für jeden Vektor b = b x e x + b y e y + b z e z in Σ d.h. d b dt = d b dt + ω b ( ) Speziell für b = ω gilt dann d ω dt = d ω dt d.h. der Vektor der Winkelgeschwindigkeit spielt eine besondere Rolle, seine zeitliche Änderung ist in beiden Bezugssystemen die gleiche. Wir berechnen jetzt die Beschleunigung durch Differentiation von ( ): d v dt = d v dt + d dt v tr + ω d r dt + d ω dt r Mit d v dt ( ) = b= v d v dt + ω v 40

41 und ergibt sich d r dt ( ) = d r }{{} dt v + ω r d v dt = d v dt + ω v + d dt v tr + ω v + ω ( ω r ) + d ω dt r d.h. d v dt = d v dt + d dt v tr + d ω dt r + ω ( ω r ) + 2 ω v ( ) dv tr dt... Translationsbeschleunigung dv tr dt + d ω dt r + ω ( ω r )... Führungsbeschleunigung (ist gerade die zeitliche Ableitung der Führungsgeschwindigkeit für verschwindende Relativgeschwindigkeit v = 0) 2 ω v... Coriolisbeschleunigung ω ( ω r )... Zentrifugalbeschleunigung In Σ gilt die Grundgleichung der Mechanik m r = F. r = d v dt haben wir gerade berechnet ( ). In Σ messen wir die Beschleunigung r = d v dt, dafür gilt nach ( ) eine modifizierte Grundgleichung: m r = F m r 0 m ω r m ω ( ω r ) 2m ω r }{{} 4 Trägheitskräfte Ist speziell F = 0 so wird mittels der Trägheitskräfte gerade der Effekt der Trägheit eines Massenpunkts beschrieben, wonach ein sich selbst überlassener Massenpunkt sich (im Inertialsystem Σ) beschleunigungsfrei bewegt. 41

42 Die Grundgleichung der Mechanik kann in jedem Bezugssystem angewendet werden, wenn zu der Kraft, die am Massenpunkt im Inertialsystem angreift, die Trägheitskräfte addiert werden. Beispiele Zentrifugalkraft Corioliskraft 42

43 Trägheitskräfte sind nicht wirkliche Kräfte in dem Sinne, daß sie von umgebenden materiellen Körpern ausgehen, sondern sind durch die Wahl des Bezugssystems bestimmt. Sie werden daher auch als Scheinkräfte bezeichnet, im Unterschied zu den als eingeprägte Kräfte bezeichneten wirklichen Kräften. In Σ sind Scheinkräfte genauso meßbar wie eingeprägte Kräfte. Sei speziell Σ ein Inertialsystem und Σ führe bezüglich Σ eine gleichförmig geradlinige Bewegung aus, d.h. r = r 0 + r, r0 = const., ω = 0 (G) Dann verschwinden offensichtlich die Trägheitskräfte und es gilt in Σ : m r = F in Σ : m r = F D.h. Σ ist ebenfalls ein Inertialsystem. Weiters ist jedes System Σ, das relativ zu Σ eine unbeschleunigte Translationsbewegung ausführt, ein Inertialsystem. Mit keinem mechanischen Experiment kann zwischen Σ und Σ unterschieden werden. Wir können keine absolute Ruhe und keine absolute Geschwindigkeit feststellen. Die zwischen Σ und Σ vermittelnde Transformation (G) wird als Galilei-Transformation bezeichnet und der obige Sachverhalt als Galilei sches Relativitätsprinzip: Die Grundgleichung der Mechanik ist unter Galilei-Transformationen beim Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen forminvariant. Bemerkung: Charakteristisch für die Galilei-Transformation ist, daß die Zeit nicht transformiert wird (t = t ) Diese Forderung ist nicht trivial und auch nicht universell gültig, gilt nur solange die Translationsgeschwindigkeit v tr c... Lichtgeschwindigkeit 43

44 2.2 Dynamik eines Massenpunktes Bewegungsgleichungen Die Masse m des Massenpunktes und die auf ihn wirkende Gesamtkraft F seien bekannt, die gesuchte Bahnkurve genügt der Grundgleichung m r = F ( r, r, t) (Die Kraft F ist im Allgemeinen eine Funktion von Ort, Geschwindigkeit und Zeit) In Komponenten zerlegt ergeben sich die Bewegungsgleichungen des Massenpunktes mẍ = F x (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) mÿ = F y (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) m z = F z (x, y, z, ẋ, ẏ, ż, t) D.h. es ergeben sich 3 gekoppelte Differentialgleichungen. Die allgemeine Lösung enthält 6 Integrationskonstanten. Diese können z.b. durch Anfangsbedingungen r 0 = r(t 0 ), v 0 = r(t 0 ) festgelegt werden. Bei bekanntem Kraftgesetz F = F ( r, r, t) und bekannten Anfangsbedingungen ist der Ablauf der Bewegung des Massenpunktes eindeutig bestimmt. Kausalität im mechanischen Geschehen Die Integration der Bewegungsgleichungen kann durch die Einführung geeigneter Größen wie Impuls, Drehimpuls, Energie und den dafür geltenden Erhaltungssätzen erleichtert werden. 44

45 2.2.2 Impulsbilanz Impuls des Massenpunktes: p = m r d dt p = m r = F Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der einwirkenden Kraft. F = 0 d p dt = 0 p = const. Bereits bekanntes Ergebnis: Ein kräftefreier Massenpunkt ruht oder bewegt sich gleichförmig entlang einer Geraden. Bemerkung: Für Systeme aus mehreren Massenpunkten ist die Impulsbilanz nicht trivial Energiebilanz Für eine hinreichend kleine Verschiebung ist die infinitesimale Arbeit dw definiert als dw = F d r = F d r cos ϕ 45

46 Die gesamte Arbeit W, die von F bei Verschiebung eines Massenpunktes längs der Kurve C von P 1 nach P 2 zu verrichten ist, hängt i.a. von Anfangs- und Endpunkt sowie der Wegführung ab: W = C F d r Die Leistung P ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit: P = dw dt = d( F r) dt = F r Wir multiplizieren die Bewegungsgleichung m r = F mit r: d dt m r r = F r ( 1 2 m r r) P mit 1 2 m r r = 1 2 m r 2 := T T... Bewegungsenergie oder kinetische Energie. Damit erhalten wir die Bilanzgleichung für die kinetische Energie: dt dt = P Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie ist gleich der Leistung der einwirkenden Kraft. Integration der Bilanzgleichung 2 dt 1 T 2 T 1 = 2 1 P dt = F }{{} rdt = F d r = W d r 1 46

47 Konservative Kraftfelder Eine Kraft heißt konservativ, wenn F = F ( r) ist und es eine skalare Funktion U( r) gibt, so daß gilt F = U( r) d.h. (vgl. 1.2) U( r) = U x i g i, F = Fi g i F i = U x i Speziell in kartesischen Koordinaten F x = U x, F y = U y, F z = U z Für konservative Kraftfelder gilt also für die Leistung P = F r = U r = U dx i x i dt = du dt dt dt d (T + U) = 0 dt Damit erhalten wir den Energieerhaltungssatz T + U = 1 2 m r 2 + U( r) =: E = const. U heißt potentielle Energie oder auch Potential und E ist als Summe aus kinetischer und potentieller Energie die mechanische Gesamtenergie des Massenpunktes. 47

48 Wann besitzt eine Kraft ein Potential? F = U( r) F = U = 0 F = 0, d.h. die Wirbelfreiheit des Kraftfelds ist notwendige Bedingung für die Existenz eines Potentials. Falls F = U gilt P 2 P 1 F d r = P 2 P 1 P 2 U d r = P 1 du = U 1 U 2 (U i = U(P i )) d.h. die Arbeit ist wegunabhängig. Speziell für eine geschlossene Kurve gilt C F d r = F d r = 0 Nun gilt für einfach zusammenhängende Gebiete der Stokes sche Satz C F d r = A ( F ) d A wobei A eine beliebige, von C umrandete Fläche bedeutet. 48

49 D.h. Unabhängigkeit des Wegintegrals der Kraft von der durchlaufenen Kurve (und damit die Existenz eines Potentials) ist äquivalent zur Wirbelfreiheit der Kraft. Die Wirbelfreiheit der Kraft ist notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Potentials. Wir bestimmen U( r) aus dem Wegintegral der Kraft Zu zeigen, daß dann U( r) = F ( r) gilt. P U( r) = U( r 0 ) F ( r ) dr P 0 Beweis: Wir können wegen der Wegunabhängigkeit des Integrals eine spezielle Streckenführung wählen (C C ): U(x, y, z) = U(x 0, y 0, z 0 ) x x 0 U x = F x(x, y 0, z 0 ) y F x (x, y 0, z 0 )dx y y 0 y 0 F y (x, y, z 0 ) x } {{ } Fx(x,y,z 0 ) y z F y (x, y, z 0 )dy z dy z 0 F z (x, y, z ) x } {{ } Fx(x,y,z ) z z 0 F z (x, y, z )dz (Die Ausdrücke unter den geschweiften Klammern ergeben sich mit F = 0) dz U x = F x(x, y 0, z 0 ) F x (x, y, z 0 ) +F x (x, y 0, z 0 ) F x (x, y, z)+f x (x, y, z 0 ) = F x (x, y, z) 49

50 Analog läßt sich zeigen U y = F y(x, y, z) U z = F z(x, y, z) d.h. U( r) = F ( r) Damit haben wir eine Rechenvorschrift für das Potential gefunden. Das Potential ist nur bis auf eine Konstante bestimmt, wir setzen U( r 0 )! = 0 und erhalten P U( r) = F ( r ) dr = P 0 P 0 häufig P 0 = P ( r 0 ) = P ( ) P F ( r ) d r Äquipotentialflächen = Flächen gleichen Potentials U = const. du = 0 d r U U d r d.h. der Gradient U steht senkrecht auf der Äquipotentialfläche, es gibt keine Kraftkomponenten in dieser Fläche. auf Äquipotentialflächen bewegt sich der Massenpunkt kräftefrei Wir betrachten speziell eine Kraft F, die orthogonal zu r steht: P = F r = 0 T = const. dt dt 50

51 Hier ist die potentielle Energie ebenfalls konstant, da die Ortsänderung senkrecht zur Kraft, d.h. der Potentialänderung verläuft. Typisches Beispiel: Lorentzkraft auf elektrische Ladung q im Magnetfeld B. F = q r B F r = 0 nichtkonservative Kräfte Sei F ein zeitabhängiges Kraftfeld, F = F ( r, t) Sei F ( r, t) = 0 t wir finden ein zeitabhängiges Potential U( r, t) mit F ( r, t) = U( r, t) Ist das Kraftfeld energieerhaltend? Wir untersuchen dt dt = F r = U r = U dx i x i dt U t } {{ } du dt d U (T + U) = dt t + U t d.h. die zeitliche Änderung der mechanischen Energie ist bestimmt durch die Zeitableitung von U. Kräfte, die die Energie eines Massenpunktes nicht erhalten, werden als dissipative Kräfte bezeichnet Kräfte, die von Zeit oder Geschwindigkeit abhängen ortsabhängige Kräfte, die nicht wirbelfrei sind 51

52 Im Allgemeinen unterliegen Massenpunkte sowohl konservativen als auch dissipativen Kräften F = F (cons) ( r) + F }{{} (diss) ( r, r, t) U( r) und es gilt die verallgemeinerte Energiebilanz d dt (T + U) = P (diss) = F (diss) r die z.b. die Umwandlung mechanischer Energie in Reibungswärme umfaßt. Beispiel: Schwerkraft Oberflächennah ist das Gravitationsfeld der Erde homogen F = mg e z z zugehöriges Potential: U(x, y, z) = 0 dz F z (x, y, z ) = z 0 dz mg = mgz damit Energieerhaltung 1 2 mv2 + mgz = E = const. ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 Bewegt sich der Massenpunkt in Luft, kommt noch eine dissipative Reibungskraft F (diss) hinzu, approximativ gilt F (diss) = γ r γ... Reibungs-, Dämpfungskoeffizient 52

53 dann gilt für die mechanische Energie E = 1 2 mv2 + mgz die Bilanzgleichung de dt = γv2 Die mechanische Energie nimmt ständig ab, wird in Wärme umgewandelt. Beispiel: Linearer harmonischer Oszillator Für kleine Auslenkungen gilt für die rücktreibende Kraft F = kx e x k > 0... Federkonstante Damit folgt die Bewegungsgleichung mẍ = kx ẍ + ω 2 x = 0 mit ω 2 = k m (Die Differentialgleichung wurde in 1.4 bereits gelöst) x U(x) = dx kx = 1 2 kx2, 0 konservative Kraft 53

54 damit Energieerhaltung 1 2 mẋ kx2 = E = const. Für eine reale Feder kommt es zu dissipativen Effekten (innere Reibung) F (diss) = γẋ e x damit Bewegungsgleichung mẍ = kx γẋ und Bilanzgleichung de dt = γẋ2 d.h. das System kommt zur Ruhe. Verallgemeinerung auf einen isotropen 3D-Oszillator: F = k r m r = k r U( r) = 1 2 k r 2 = 1 2 kr Drehimpulsbilanz Wir starten von der Bewegungsgleichung folgt m r = F m r r = r F, d m r r dt }{{} =: L = r F }{{} =: M r wegen d ( r dt r ) = r }{{} r + r r 0 54

55 L... Drehimpuls M... Drehmoment Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem einwirkenden Drehmoment d L dt = M Für M = 0 gilt die Drehimpulserhaltung d L dt = 0 L = const. M = 0 gilt offensichtlich immer für den trivialen Fall F = 0 für F 0, falls F und r parallel oder antiparallel stehen, derartige Kräfte heißen Zentralkräfte, in allgemeinster Form F = f( r, r, t) r r Die Drehimpulserhaltung gilt also genau dann, wenn sich der Massenpunkt unter dem Einfluß einer Zentralkraft bewegt. Betrachten Bewegung eines Massenpunktes entlang einer Bahnkurve: Die zeitliche Änderung der Flächengeschwindigkeit d A dt ist proportional zum Dre- 55

56 himpuls. L = const. d A dt = const. (bekannt als Flächensatz ) D.h. für einen Massenpunkt unter Wirkung einer Zentralkraft gilt: die Bewegung erfolgt in einer Ebene senkrecht zum Drehimpuls der Radiusvektor ( Fahrstrahl ) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen Sei L = m r r = L e z, d.h. die Bewegung vollziehe sich in der x-y-ebene. Dann ist L = m(xẏ yẋ) e z und für die Drehimpulserhaltung gilt xẏ yẋ = const. Wir gehen über zu Polarkoordinaten r = ρ e ρ r = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ (vgl. 1.2) L = m r r = mρ 2 ϕ e z 56

57 Flächengeschwindigkeit d A dt = 1 L 2m = 1 2 ρ2 ϕ = const. Bemerkung: Als Zentralkräfte im engeren Sinne bezeichnet man Kräfte der Form F = f(r) r r Ein solches Zentralkraftfeld ist konservativ und besitzt das Potential r U(r) = dr f(r ) r 0 Speziell für f(r) = α r 2 (Gravitations-, Coulombkraft) lautet das Potential (r 0 ) U(r) = α r Für die Bewegung eines Massenpunktes unter dem Einfluß einer Zentralkraft im engeren Sinne gelten Drehimpuls- und Energieerhaltung Erhaltungssätze und Integration der Bewegungsgleichungen Wir betrachten zunächst eine eindimensionale Bewegung entlang x. Offensichtlich gilt L = 0 ( L = m r r). Für eine konservative Kraft F = F (x) e x gilt die Energieerhaltung 1 2 mẋ2 + U(x) = E = const. 57

58 x mit U(x) = dx F (x ) x 0 ẋ 2 = 2 [E U(x)] m ẋ = dx 2 dt = dt = [E U(x)] m dx 2[E U(x)]/m t = dx 2[E U(x)]/m + const. Energie und Integrationskonstante bestimmen die beiden freien Konstanten in der Bewegungsgleichung mẍ = F (x). Die Gleichung oben liefert t(x), deren Umkehrung x(t). Wegen ẋ 2 0 muss E U(x) 0 gelten, d.h. Bewegung nur in solchen Gebieten, wo U(x) E Für Punkte, in denen U(x) = E gilt, kehrt die Geschwindigkeit ihr Vorzeichen um. Umkehrpunkte, hier x 1, x 2, x 3 Wenn das erlaubte Gebiet durch Umkehrpunkte begrenzt wird, ist die Bewegung finit. 58

59 Oben erfolgt eine finite Bewegung zwischen x 1 und x 2. Dort findet eine periodische, aber im Allgemeinen nicht harmonische Bewegung statt. Im Bereich x > x 3 ist die Bewegung infinit, der Massenpunkt kommt aus dem Unendichen, wird bei x 3 reflektiert und läuft wieder ins Unendliche. Mögliche Ruhelagen sind die Stellen, wo keine Kraft auf den Massenpunkt wirkt du dx = 0, also die Extrema des Potentials. Minimum von U stabile Ruhelage Maximum von U labile Ruhelage Wir betrachten jetzt eine dreidimensionale Bewegung im Zentralkraftfeld Drehimpulserhaltung und Energieerhaltung F = f(r) r r Die vektorielle Bewegungsgleichung lautet: m r = f(r) r r Das Potential erhalten wir aus r U(r) = r 0 dr f(r ) (vgl ) 59

60 Für L = const. erfolgt eine Bewegung in einer Ebene. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit verlaufe die Bewegung in der x-y-ebene, wir gehen dort zu Polarkoordinaten über r = ρ e ρ r = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ (vgl. 1.2) Die Erhaltungssätze liefern mρ 2 ϕ = L 1 2 m ( ρ 2 + ρ 2 ϕ 2) + U(ρ) = E damit 1 2 m ρ2 + ϕ = L mρ 2 L 2 2mρ 2 + U(ρ) }{{} U eff... effektives Potential Damit erhalten wir eine analoge Gleichung wie vorhin für die eindimensionale Bewegung (x ρ) = E E = 1 2 m ρ2 + U eff (ρ) ρ 2 = 2 m [E U eff(ρ)] ρ = dρ 2 dt = m [E U eff(ρ)] dρ dt = 2 [E Ueff (ρ)] /m ( ) 60

61 t = dρ 2 [E Ueff (ρ)] /m + const. aus t(ρ) erhalten wir die Umkehrfunktion ρ(t) und daraus ϕ(t) wie folgt: Wegen ρ = ρ[ϕ(t)] gilt dρ dt = dρ dϕ dϕ dt = dρ L dϕ mρ 2 dρ dϕ = mρ2 dρ = mρ2 2 L dt L m [E U eff(ρ)] dϕ = L dρ mρ 2 2[E Ueff (ρ)]/m ϕ = L m dρ ρ 2 2[E U eff (ρ)]/m + const. ϕ(ρ) ϕ(t) ρ(t) Damit sind die Bewegungsgleichungen in allgemeiner Form gelöst. ϕ ändert sich monoton mit der Zeit, da ϕ = L mρ 2 niemals das Vorzeichen wechselt. für L = 0 ϕ = 0 Spezialfall einer eindimensionalen Bewegung Der Radialteil der Bewegung kann immer als eindimensionale Bewegung im effektiven Potential L2 2mρ 2 U eff (ρ) = U(ρ) + }{{} Zentrifugalenergie, Zentrifugalbarriere aufgefaßt werden. 61

62 Die Grenzen des Bewegungsbereichs sind bestimmt durch ρ = 0 U eff (ρ) = U(ρ) + L2 2mρ 2 = E Dort ist die radiale Geschwindigkeit ρ = 0, aber der Massenpunkt hält nicht an, da ϕ = L mρ 2 0 für L 0 Falls der Bewegungsbereich durch ρ min und ρ max eingeschränkt ist, ist die Bewegung finit, die Bahn verläuft in einem ringförmigen Gebiet. 62

63 Die Bahn muß nicht geschlossen sein! Es gibt nur 2 Typen von Zentralfeldern, in denen alle Bahnen finiter Bewegungen geschlossen sind, nämlich U(ρ) 1 ρ U(ρ) ρ 2 Falls der zulässige ρ-bereich U eff (ρ) E nur durch ρ ρ min eingeschränkt wird, ist die Bewegung des Massenpunktes infinit. Der Massenpunkt kommt aus dem Unendlichen und geht wieder ins Unendliche Spezielle Probleme A) Bewegung auf der rotierenden Erde Im rotierenden Bezugssystem wirken auf Massenpunkte zusätzlich zur eingeprägten Kraft noch die Zentrifugalkraft F cen = m ω ( ω r) und Corioliskraft F cor = 2m ω r (vgl ) Dabei ist ω die Winkelgeschwindigkeit der Erde gegenüber dem Fixsternhimmel ω = ω = 2π s 1 Wir betrachten einen Körper, auf den im Inertialsystem nur die Gravitation der Erde wirkt. Für den irdischen Beobachter wirkt die Schwerkraft, die die Gravitationskraft der Erde und die Zentrifugalkraft zusammenfaßt. 63

64 Wir müssen noch die Corioliskraft separat berücksichtigen, damit m r = m g + 2m r ω g enthält den Einfluß der Zentrifugalkraft: Offensichtlich ändert sich g infolge der Zentrifugalkraft mit der geographischen Breite θ Äquator g = 9, 78 ms 2 Pol g = 9, 83 ms 2 Bemerkung: Es existieren weitere Einflüsse auf g infolge der Asymmetrie der Erde, der inhomogenen Dichte der Erde und anderer Himmelskörper. 64

65 Wir wählen als Bezugssystem ein kartesisches Koordinatensystem bei der geographischen Breite θ In diesem Koordinatensystem gilt g = g e z (näherungsweise) r = ẋ e x + ẏ e y + ż e z ω = ω cos θ e x + ω sin θ e z aus m r = m g + 2m r ω wird ẍ = 2ω sin θẏ ÿ = 2ω sin θẋ 2ω cos θż z = g + 2ω cos θẏ Wir lösen diese Gleichungen jetzt für den freien Fall. Anfangsbedingungen: t = 0, x = y = 0, z = h, ẋ = ẏ = ż = 0 65

66 ẋ ẏ ω ω wegen ω klein können wir Terme quadratisch in ω vernachlässigen d.h. ẍ ω 2 0 ÿ 2ω cos θż z g Jetzt mit den Anfangsbedingungen: x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = 0, ẍ = 0 x(t) = 0 z(t = 0) = h, ż(t = 0) = 0, z = g ż = gt z = h 1 2 gt2 damit in ÿ = 2ω cos θż = 2gtω cos θ mit ẏ(t = 0) = 0 ẏ = gt 2 ω cos θ mit y(t = 0) = 0 y = 1 3 gt3 ω cos θ y zeigt nach Osten, d.h. der fallende Körper erfährt eine Ostabweichung. Die Ostablenkung ist eine Folge der höheren Rotationsgeschwindigkeit der Erde in der Abwurfhöhe gegenüber der Rotationsgeschwindigkeit an der Erdoberfläche. Mit entsprechenden Fallexperimenten kann ab etwa 1800 die Drehung der Erde um ihre eigene Achse empirisch nachgewiesen werden. 66

67 Wirkung der Corioliskraft Wir zerlegen den Vektor der Winkelgeschwindigkeit in Vertikal- und Horizontalkomponenten Bewegt sich ein Körper horizontal, so gibt ω v Anlaß zu einer horizontalen Kraft orthogonal zu v F cor = 2m ω v (Rechte-Hand-Regel anwenden) Bahnabweichung nach rechts/links auf nördlicher/südlicher Halbkugel Weiters gibt ω h Anlaß zu einer Kraft, die bei horizontaler Bewegung nach oben oder unten zeigt Gewichtsänderung des Körpers (Eötvös-Effekt). Dieser Effekt wurde von Baron Roland von Eötvös um 1900 bei der Auswertung von Gravitationsmessungen mittels bewegter Schiffe im Atlantik festgestellt und erklärt. 67

68 B) Kepler-Problem Wir betrachten die Bewegung einer Punktmasse m im Gravitationsfeld einer als raumfest angenommenen Punktmasse M (Approximation der Planetenbewegung um die Sonne). Die Gravitationskraft bestimmt die Bewegungsgleichung m r = F = γ mm r 3 r γ... Gravitationskonstante, γ = 6, F... konservativ, Zentralkraft Energie- und Drehimpulserhaltung m3 kgs 2 U eff = γ mm r + L2 (vgl ) 2mr2 Wir suchen das Minimum von U eff : du eff dr = 0 = γ mm r=r0 r 2 0 L2 mr 3 0 = 1 r 2 0 (γmm L2 mr 0 ) r 0 k = L2 γm 2 M 68

69 U eff (r = k) = γ mm L 2 γm 2 M + L2 2mL 4 γ2 m 4 M 2 = γ2 m 3 M 2 2L 2 finite Bewegung für U eff (k) E < 0 γ2 m 3 M 2 2L 2 E < 0 mit L 2 = kγm 2 M γmm 2k E < 0 1 2Ek γmm < 0 (*) infinite Bewegung für 0 E Die Umkehrpunkte erhalten wir aus U eff (r) E = 0 d.h. 1 r k L 2 2mr 2 γmm r 1 r 2 2 γm2 M } L {{ 2 } 1 k r 1 k 2 k L 2 γm 2 M }{{} k 1 r k r 1 k 2 E = 0 1 r 2mE L 2 = 0 2mE L 2 = 0 2Ek γmm = 0 ( ) 1 r = 1 k ± 1 k Ek k 2 γmm = 1 1 ± 1 + 2Ek k γmm ɛ := 1 + 2Ek γmm mit (*): finite Bewegung für 0 ɛ < 1 infinite Bewegung für E 0, d.h. ɛ 1 69

70 Umkehrpunkte 1 = 1 + ɛ r min k 1 = 1 ɛ r max k (ɛ < 1) für ɛ 1 r max Bahngleichung r(ϕ)? Erinnerung 2.2.5: ṙ 2 = 2 m {E U eff(r)} ṙ = dr 2 dt = m {E U eff(r)} r ist abhängig vom Bahnwinkel ϕ: r = r(ϕ(t)) dr dt = dr dϕ dϕ dt = dr L dϕ mr 2 (mit L = mr 2 ϕ (2.2.4)) dr dϕ = mr2 dr L dt = mr2 2 L m {E U eff(r)} dϕ = L mr 2 ϕ = L m dr 2{E Ueff (r)}/m dr r 2 2{E U eff (r)}/m + const. spezielle Anfangsbedingung: ϕ = 0 für r = r min, damit ϕ = L m r r min dr r 2 2{E U eff (r )}/m = r r min dr r 2 2m{E U L 2 eff (r )} Wir ersetzen L und E durch ɛ und k ɛ = 1 + 2Ek γmm ɛ2 1 k 2 = 2E γmmk = 2E γm 2 M γmm L 2 70

71 D.h. ɛ2 1 k 2 = 2mE. Damit: L 2 2m L 2 {E U eff(r )} = ɛ2 1 k 2 + 2m γmm } L 2 {{ r 2m L 2 } L 2 2mr 2 }{{} 2 kr 1 r 2 = ɛ2 1 k k r 1 r 2 ( = ɛ2 1 k 2 r 1 ) 2 k { [ ( = ɛ2 k 1 k 2 1 ɛ r 1 )] } 2 k damit ϕ = r r min Variablensubstitution dr r 2 ɛ k 1 [ ( k 1 ɛ r 1 )] = k 2 ɛ k r r min { dr [ ( k 1 r 2 1 ɛ r 1 )] } k ( k 1 ɛ r 1 ) = z dz k 1 r 2 dr = k ɛ dr r 2 = ɛ k dz damit ϕ = z(r min ) = k ɛ k ɛ ( 1 r k) 1 1 ( 1 r }{{} min 1+ɛ k 1 ) = 1 k dz 1 z 2 = arccos [ k ɛ cos ϕ = k ɛ ( 1 r 1 ) k ( 1 r 1 )] k 1 r = 1 (1 + ɛ cos ϕ) k Kegelschnittgleichung 71

72 Kreis ɛ = 0 E = γ mm 2k Ellipse 0 < ɛ < 1 γ mm 2k < E < 0 Parabel ɛ = 1 E = 0 Hyperbel ɛ > 1 E > 0 Bahnkurve r(t)? Wir kennen die Bahngleichung r = r(ϕ) = k 1 + ɛ cos ϕ. Mit L = mr 2 ϕ = mr 2 dϕ dt 72

73 folgt dt = m L r2 dϕ t t 0 = m dϕ r 2 (ϕ ) L ϕ 0 d.h. t = t(ϕ) Umkehrfunktion ϕ = ϕ(t). Damit r = r[ϕ(t)], d.h. r = r(t) zugänglich! Problem im Prinzip gelöst. ϕ Keplersche Gesetze Wenden wir diese Ergebnisse auf die Planetenbewegung an, erhalten wir eine Ellipse. k = b2 a... Scheitelkrümmungsradius a ɛ = 2 b 2... numerische Exzentrizität a e = a 2 b 2... lineare Exzentrizität damit (1 ɛ 2 )a = (1 a2 b 2 ) a = b2 a = k a = a 2 k 1 ɛ 2 = k 1 1 2Ek γmm = γmm 2E = a 73

74 Für gegebene Massen ist die große Halbachse nur durch die Energie bestimmt! b 2 = a k = γmm 2E L 2 γm 2 M = L2 2mE d.h. b = L 2mE Die kleine Halbachse ist durch Drehimpuls und Energie bestimmt A {}}{ πab T = da dt = L 2m (Flächensatz, 2.2.4) T... Periodendauer, Umlaufzeit T = 2mπab L = 2πm γmm L L 2E 2mE = πγm M( E) 2 / 2 Bei gegebenen Massen ist die Periodendauer nur durch die Energie bestimmt. Die große Halbachse ist ebenfalls durch die Energie festgelegt, damit T = πγm 3 ( ) 3 2 M 2a 2 1 = 2π 2 γmm γm a 3 2 T 2 = 4π2 γm a3 D.h. für zwei Planeten (m 1 und m 2 ), die um die Sonne (M) umlaufen, gilt ( T1 ) 2 = ( ) 3 a1 T 2 a 2 74

75 Damit wurden die Keplerschen Gesetze abgeleitet: 1. Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. ( Ti T j ) 2 = ( ai a j ) 3 Die historische Reihenfolge ist umgekehrt: Keplersche Gesetze empirisch gefunden (Astronomie) Gravitationsgesetz (Newton); allgemeiner, höhere Stufe der Erkenntnis Wir skizzieren die historische Ableitung: Kepler (2.) Drehimpulserhaltung Die Kraft ist eine Zentralkraft, sie hat nur eine radiale Komponente, d.h. F = F r e r mit F r = m( r r ϕ 2 ) (vgl. 1.2) L = mr 2 ϕ = const. Kepler (1.) Ellipsengleichung 1 r = 1 (1 + ɛ cos ϕ) k d dt d dt ( ) 1 = ṙ r r 2 = ɛ k ϕ sin ϕ = ṙ = ɛl km sin ϕ ϕ = d.h. r = ɛl km ϕ cos ϕ = ϕ = ɛl kmr 2 sin ϕ L mr 2 ɛl 2 km 2 cos ϕ ( ) r2 L mr 2 75

76 ( ɛl 2 F r = m km 2 r 2 cos ϕ damit in F r = m( r ( ) ) ( L2 m 2 r 3 = L2 ɛ mr 2 r ϕ 2 ) ( L mr 2 ) 2 ) k cos ϕ 1 r }{{} 1 k = L2 kmr 2 ( ) Kepler (2.) da = const. = L }{{} dt 2m πab T π 2 a 2 b 2 = L2 4m 2 T 2 T 2 a 3 = 4π2 m2 b 2 L 2 a = 4π 2 m2 k L 2 b 2 = ka Kepler (3.) T 2 i a 3 i = const. für alle Planeten i L2 m 2 k := σ = const., kann nur noch von Sonnenmasse abhängen damit in ( ) F r = L2 kmr 2 = σm r 2 3. Newtonsches Axiom: F r M σ = γm F r = γ mm r 2 Das Gravitationsgesetz ist aus der Planentenbeobachtung abgeleitet! 76

77 Kosmische Geschwindigkeiten Wir wollen einen Satelliten in die Umlaufbahn bringen, ausgehend von einem Punkt mit Abstand R vom Erdmittelpunkt. Die Umlaufbahn r(t) soll außerhalb der Entfernung R liegen. d.h. R r min = vorhin k 1 + ɛ = k = L2 γm 2 M L 2 γm 2 M(1 + ɛ) L 2 = m 2 R 4 ϕ 2 = m 2 R 2 v 2 ϕ γm 2 MR(1 + ɛ) v 2 ϕ (1 + ɛ) γm R Für einen Kreis, d.h. ɛ = 0 gilt v 2 ϕ γm R Andererseits soll die Bewegung finit sein, d.h. E 1 2 mv2 γmm R < 0 v 2 v 2 ϕ + v 2 r < 2γM R 77

78 graphische Veranschaulichung: γm R = R E 1. kosmische Geschwindigkeit v I = = 7, 9 km R E s 2γM 2. kosmische Geschwindigkeit v II = = 11, 2 km s R E 78

79 2.3 Dynamik eines MP-Systems Bewegungsgleichungen Wir betrachten N diskrete Körper, approximiert als frei bewegliche Massenpunkte. Bewegungsgleichungen des MP-Systems m ν rν = F ν (ν = 1, 2,..., N) Wir klassifizieren die Kräfte auf die Massenpunkte in äußere Kräfte, stammen von außerhalb des MP-Systems innere Kräfte, wirken zwischen den MP des Systems F ν = Fν (ext) }{{} Resultante aller äußeren Kräfte auf MP ν + N µ=1 µ ν F νµ }{{} Kraft vom MP µ auf MP ν innerhalb des Systems 3. Newtonsches Axiom F νµ = F µν damit Bewegungsgleichungen m ν rν = F ν (ext) + N Annahme: innere Kräfte sind Zentralkräfte µ=1 µ ν F νµ F νµ F = ± r ν r µ r νµ ν r µ (plausibel für punktförmige Körper) 79

80 2.3.2 Impulsbilanz Wir summieren über die Bewegungsgleichungen N N m ν rν = ν=1 ν=1 F ν (ext) + N N ν=1 µ=1 µ ν F νµ } {{ } =0 ( F νµ= F µν) = N ν=1 F ν (ext) Mit dem Gesamtimpuls des Systems N N p = p ν = m ν rν ν=1 ν=1 und der Resultante aller äußeren Kräfte F (ext) = N ν=1 F ν (ext) Impulsbilanz des Gesamtsystems d p dt = F (ext) Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines MP-Systems ist gleich der Resultante der äußeren Kräfte. abgeschlossenes System F ν (ext) = 0 F (ext) = 0 d p dt = 0, d.h. p = const. Für ein abgeschlossenes System gilt die Erhaltung des Gesamtimpulses. Wir definieren den Massenmittelpunkt: r c = 1 m N m ν r ν mit m = N ν=1 ν=1 m ν 80

81 Offensichtlich gilt N p = m ν rν = m r c ν=1 d.h. m r c = F (ext) Der Massenmittelpunkt bewegt sich so, als ob in ihm die gesamte Masse des Systems vereinigt wäre und an ihm die Resultante aller äußeren Kräfte wirkte. F (ext) = 0 d p dt = 0 = r c = 0 r c = const. Bei fehlender äußeren Kraft ruht der Massenmittelpunkt des Systems oder vollführt eine gleichförmig geradlinige Bewegung. Bemerkungen: Die Bewegungsgleichung für den Massenmittelpunkt ist die nachträgliche Rechtfertigung für das Modell des Massenpunktes. Innere Kräfte spielen keine Rolle für die Bewegung des Massenmittelpunktes. Beispiel: explodierendes Geschoß; der Massenmittelpunkt der Splitter setzt die Flugbahn fort. Der Massenmittelpunkt wird oft als Schwerpunkt bezeichnet: Wenn sich die Massenpunkte im homogenen Schwerefeld der Erde befinden, gilt F (ext) = m r ν=1 c N m ν g = m g r c = g D.h. der Massenmittelpunkt (oder Schwerpunkt) bewegt sich wie ein Massenpunkt der Masse m unter dem Einfluß der Erdbeschleunigung g. 81

82 Für Körper mit kontinuierlicher Masseverteilung kommt es zum Grenzübergang von der Summation zur Integration: r c = 1 r ν m ν r c = 1 rdm m m ν m = m ν m = dm ν Falls ρ( r) die Massendichte des Körpers ist, gilt: dm = ρd 3 r, damit folgt r c = 1 m d 3 r ρ( r) r mit m = d 3 r ρ( r) Energiebilanz Bewegungsgleichung für den ν-ten Massenpunkt m ν rν = F ν r ν ( ) d 1 dt 2 m r ν r ν }{{} T ν T ν... kinetische Energie des ν-ten Massenpunkts P ν... am ν-ten Massenpunkt umgesetzte Leistung Durch Summation über ν erhalten wir: = r ν F ν }{{} P ν dt dt = P ( ) Die zeitliche Änderung der kinetischen Energie des Massenpunktsystems ist gleich der Gesamtleistung. 82

83 mit der kinetischen Energie des Gesamtsystems T = N T ν = ν=1 N ν=1 1 2 mν r ν 2 und der am Gesamtsystem erbrachten Leistung N N P = P ν = ν=1 ν=1 r ν F ν F ν, ν = 1, 2,..., N seien konservative Kräfte, d.h. F ν = F ν ( r 1, r 2,..., r N ) F ν ( r µ ) und ν F ν = 0. Dann existiert ein Potential U = U ( r 1, r 2,..., r N ) U( r µ ), so daß F ν = ν U. Damit ergibt sich für die Gesamtleistung N N P = P ν = ν=1 ν=1 F ν r N ν = ν U r N U ν = ν=1 ν=1 i x i ν dxi ν dt = du dt Damit wird aus der Bilanzgleichung ( ) d (T + U) = 0 dt Für konservative Systeme gilt die Erhaltung der Gesamtenergie T + U = E = const. Im Allgemeinen unterliegt ein Massenpunkt konservativen und dissipativen Kräften F ν = F ν (cons) ( rµ ) + F ν (diss) ( rµ, r µ, t) 83

84 Dann nimmt die mechanische Energiebilanz die Form d (diss) (T + U) = P dt an, wobei P (diss) = N ν=1 F ν (diss) rν die Gesamtleistung der dissipativen Kräfte ist. Erinnerung 2.3.1: Kräfte auf Massenpunkte können in innere und äußere Kräfte klassifiziert werden, innere Kräfte sind Zentralkräfte. Oft hängen die inneren Kräfte nur vom gegenseitigen Abstand ab F νµ = f νµ (r νµ ) rνµ r νµ mit r νµ = r ν r µ, r νµ = r νµ Dann haben die inneren Kräfte ein Potential U νµ = U νµ (r νµ ) = r νµ drf νµ (r) = U µν (r µν ) f νµ(r) = f µν(r) F νµ = ν U νµ (r νµ ) = µ U νµ (r νµ ) = µ U µν (r µν ) = F µν Das Gesamtpotential der inneren Kräfte lautet dann U (int) = 1 2 N U νµ (r νµ ) ν,µ=1 ν µ 84

85 Beweis: Wir berechnen die Kraft auf den Massenpunkt ν ν U (int) = 1 2 = N ν U νµ (r νµ ) 1 2 µ=1 N ν U νµ (r νµ ) = µ=1 Sind die äußeren Kräfte konservativ N µ=1 µ ν N µ=1 F νµ ν U µν (r µν ) }{{} U νµ(r νµ) F ν (ext) = Fν (ext) (rν ) = ν U ν ( r ν ) so existiert ein Gesamtpotential der äußeren Kräfte Damit ist das Gesamtpotential U = 1 2 U (ext) = N U ν ( r ν ) ν=1 N U νµ (r νµ ) + ν,µ=1 ν µ N U ν ( r ν ) ν=1 Bemerkung: Für abgeschlossene Systeme gibt es nur innere Kräfte, die in der Regel als konservativ angesehen werden können. Für abgeschlossene Systeme gilt also erfahrungsgemäß der Energieerhaltungssatz. 85

86 2.3.4 Virialsatz Bewegungen in Massenpunktsystemen sind ständig mit einer Umwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie verbunden. Wie groß sind im zeitlichen Mittel die Beiträge von kinetischer und potentieller Energie zur Gesamtenergie? Bewegungsgleichung für einen Massenpunkt: m ν rν = F ν r ν m ν r ν r ν = F ν r ν d dt (m ν r ν r ν ) m ν r ν 2 = r ν F ν Σ N d dt (m ν r ν r N ν ) m ν r N ν 2 = r ν F ν ν=1 Die Kräfte sollen ein Potential besitzen ν=1 ν=1 r ν F ν = r ν ν U damit N ν=1 d dt (m ν r ν r ν ) N m ν r N ν 2 = r ν ν U ν=1 ν=1 Wir definieren den zeitlichen Mittelwert einer Funktion f(t) als 1 f(t) = lim T T t+ T 2 t T 2 dt f(t ) Wir mitteln jetzt obige Gleichung N N d dt (m ν r ν r N ν ) = m ν r ν 2 r ν ν U ν=1 ν=1 ν=1 }{{}}{{}}{{} =0 (s.u.) 2 T Virial des MP-Systems 86

87 N d dt (m ν r ν r 1 N ν ) = lim m ν r ν T T r ν ν=1 ν=1 }{{} endlich für fin. Bew. T = 1 N r ν 2 ν U ν=1 t+ T 2 t T 2 Der zeitliche Mittelwert der kinetischen Energie ist gleich dem halben Virial des MP- Systems. Oft hängt das Potential homogen von den Auslenkungen ab. Dann ist eine weitere Vereinfachung möglich. Einschub: Eine Funktion mehrerer Variablen mit der Eigenschaft f(λx 1,..., λx N ) = λ m f(x 1,..., x N ) heißt homogene Funktion m-ten Grades. Für solche Funktionen gilt N i=1 x i f x i = mf (Satz von Euler) Beweis: d dλ N i=1 x i f x i (λx 1,..., λx N ) = mλ m 1 f(x 1,..., x N ) speziell λ = 1 Anwendung im Falle z.b. des harmonischen Oszillators: Jetzt ist die potentielle Energie eine homogene Funktion zweiten Grades in den { r ν }, und entsprechend gilt N r ν ν U = 2U ν=1 87

88 d.h. der Virialsatz nimmt die Form T = U an. In diesem Fall stimmen die Zeitmittel von potentieller und kinetischer Energie überein! Bem.: Für Probleme der Himmelsmechanik ist das Gravitationspotential relevant, es ist homogen vom Grad 1, entsprechend gilt 2 T = U. Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden Drehimpulsbilanz Bewegungsgleichung für den ν-ten Massenpunkt: m ν rν = F ν r ν m ν r ν r ν = r ν F ν }{{} M ν mit r ν r ν = 0 gilt m ν r ν r ν = d dt (m ν r ν r ν ) } {{ } = r ν p ν= L ν 88

89 damit d L ν dt = M ν ν N ν=1 d L ν dt = N ν=1 d L dt = M M ν mit Gesamtdrehimpuls L = ν L ν = ν r ν p ν und Gesamtdrehmoment M = ν M ν = ν r ν F ν = ν ( ) (ext) r ν F ν + F νµ µ Es gilt r ν F νµ = 1 ( r ν F 2 νµ + r µ ) F µν ν,µ ν,µ 1 ( = r ν F 2 νµ r µ F ) νµ 3. NA ν,µ = 1 ( r ν r µ ) F 2 νµ ν,µ Die inneren Kräfte sind Zentralkräfte, d.h. F µν F µν r ν r µ r ν r µ damit ν,µ ( r ν r µ ) F νµ = 0 d.h. M N = r ν F (ext) ν = M (ext) ν=1 89

90 Damit ergibt sich die Drehimpulsbilanz d L dt = M (ext) Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses eines MP-Systems ist gleich dem Gesamtdrehmoment der äußeren Kräfte, wenn die inneren Kräfte Zentralkräfte sind (praktisch immer erfüllt). M (ext) = 0 d L dt = 0 L = const. D.h. für abgeschlossene Systeme gilt die Drehimpulserhaltung. Drehung um eine feste Achse Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir eine Drehung um die z-achse. L z = ν m ν (x ν ẏ ν y ν ẋ ν ) kartesische Koord. = m ν ρ 2 ν ϕ ν vgl ν Zylinderkoord. Für M z = 0 gilt L z = const.. Falls die Massenpunkte untereinander starr verbunden sind (starrer Körper), besitzen alle Massenpunkte die gleiche Winkelgeschwindigkeit ϕ ν = ϕ = ω ν 90

91 damit L z = ω m ν ρ 2 ν ν }{{} θ L z = θω θ... Trägheitsmoment des Systems bezüglich der z-achse Grenzübergang für einen ausgedehnten Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung: θ = ν m ν ρ 2 ν dm ρ 2 = d 3 r n( r)ρ 2 mit Massendichte n( r) = dm( r) dv Bei konstantem L z kann die Winkelgeschwindigkeit durch Änderung von θ variiert werden (Bsp. Eiskunstlauf). Rolle des Bezugspunkts Der Drehimpuls hängt von der Wahl des Bezugspunkts ab. O und O seien zwei Bezugspunkte. r ν = r 0 + r ν Sei r0 = 0 91

92 L = ν m ν r ν r ν = ν m ν ( r ν r 0 ) r ν = ν m ν r ν r ν r 0 m ν rν ν }{{} m r c= p (2.3.2) d.h. L = L r 0 p Der Drehimpuls ist also von der Wahl des ruhenden Bezugspunkts O dann unabhängig, wenn der Massenmittelpunkt ruht ( p = 0). Jetzt bewege sich O bzgl. O, r 0 = r 0 (t). L = ν m ν ( r ν r 0 ) ( r ν r 0 ) = ν m ν r ν r ν ν m ν r 0 r ν ν m ν r ν r 0 + ν m ν r 0 r 0 = L r 0 p m( r c r 0 ) r 0 woraus d L dt = d L dt r 0 p r 0 d p dt m( r c r 0 ) r 0 m( r c r 0 ) }{{} r 0 p r 0, da r 0 r 0 =0 d.h. d L dt = d L dt r 0 d p dt m( r c r 0 ) r 0 Für das Gesamtdrehmoment gilt andererseits M = M (ext) = ν r ν F ν (ext) = ν ( r ν r 0 ) F ν (ext) = M (ext) r 0 d p dt 92

93 damit d L dt = d L dt M (ext) r 0 d p dt } {{ } M (ext) m( r c r 0 ) r 0 d L dt = M (ext) m( r c r 0 ) r 0 d.h. d L dt = M (ext) gilt für r 0 = 0, d.h. O ruht oder bewegt sich gleichförmig r c (t) = r 0 (t), d.h. O ist der Massenmittelpunkt Spezielle Probleme A) Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen m 1 r1 = f(r 21 ) r 21 r 21 ( ) m 2 r2 = f(r 21 ) r 21 r 21 ( ) Transformation auf Massenmittelpunktsvektor und Abstandsvektor m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 = r c r 1 = r 1 r c = m 2 r 1 m 2 r 2 m 1 + m 2 = m 2 m 1 + m 2 r 21 r 2 = r 2 r c = m 1 r 2 m 1 r 1 m 1 + m 2 = m 1 m 1 + m 2 r 21 93

94 ( ) m 2 + ( ) m 1 m 1 m 2 ( r 2 r { } r 1 ) = f(r 21 ) m 21 r 2 }{{} r 21 + m 21 1 r 21 r 21 m 1 m 2 r 21 = f(r 21 ) r 21 m 1 + m r 21 }{{ 2 } µ...reduzierte Masse Damit ist das Zweikörperproblem auf ein Einkörperproblem reduziert, die Bewegung der beiden Massen relativ zueinander ist äquivalent zur Bewegung eines Massenpunktes mit Masse µ im konservativen Zentralfeld f(r) r r. Aus r 21 (t) und dem Massenmittelpunkt r c können dann r 1 (t) und r 2 (t) bestimmt werden. Wegen der Impulserhaltung gilt für den Massenmittelpunkt r c = 0 r c (t) = c 1 t + c 2 (gleichförmig geradlinig bewegt oder in Ruhe) Bemerkung: Das Kepler-Problem ist eigentlich ein Zweikörperproblem, da die Sonne nicht raumfest ist. Sowohl die Sonne als auch die Erde bewegen sich auf Ellipsen. Die Ellipse der Sonne / Erde ist m M + m m M kleiner / M M + m 1 größer als die in berechnete Ellipse. Die Sonnenmasse beträgt etwa das

95 fache der Erdmasse, so daß die Korrektur klein ist. Anders sieht es beim Mond aus, dessen Masse ist immerhin 1/80 der Erdmasse. B)Raketengleichung Besonderheit bei einer Rakete: Es handelt sich um die Bewegung eines Körpers mit veränderlicher Masse. Bilanzgleichung für den Gesamtimpuls: Rakete + ausgestoßene Masse = MP-System Massenerhaltung p = F (ext) Impuls zur Zeit t: p = m v Impuls zur Zeit t + t: p + p = [m + m][ v + v] + [ m][ v + v + u] = }{{} m v +m v m u p 95

96 p = m v m u p F (ext) = m v ṁ u 1 t, lim t 0 Raketengleichung m v = F (ext) + ṁ u Impulsbilanz für Rakete d dt (m v) = F (ext) + ṁ( v + u) }{{} Schubkraft Eine Änderung des Raketenimpulses erfolgt durch eine äußere Kraft und die Schubkraft. Bsp.: geradliniger Aufstieg einer Rakete im homogenen Schwerefeld der Erde v = ż e z u = u e z F (ext) = mg e z Damit ergibt sich die Raketengleichung Speziell für u = const. folgt z = g ṁ m u mit ṁ < 0 t ż = g(t t 0 ) dt ṁ m u Raketengeschw., ż(t 0) = 0 t 0 z(t) = 1 2 g(t t 0) 2 t dt t dt ṁ m u Bahnkurve t 0 t 0 ż = g(t t 0 ) + u ln [ ] m(t0 ) m(t) 96

97 Ist für t = t f der Treibstoff verbraucht, hat die Rakete die Geschwindigkeit v f = g(t f t 0 ) + u ln [ ] m(t0 ) m(t f ) und für t > t f unterliegt sie den Gesetzen des senkrechten Wurfes ż = g(t t f ) + v f u ln [ ] m(t0 ) m(t f )... Endgeschwindigkeit ohne äußere Kraft, hängt vom Massenverhältnis ab. Bei festem Massenverhältnis ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit umso größer, je schneller die Masse ausströmt. 97

98 3 Lagrangesche Mechanik 3.1 Das d Alembertsche Prinzip Bedingungsgleichungen Vom mechanischen Standpunkt kann man die Welt als Massenpunktsystem auffassen, mit Kräften zwischen den MP. Das ist praktisch nicht durchführbar, da makroskopische Systeme typischerweise Teilchen besitzen. Wir versuchen daher, das Gesamtsystem näherungsweise als Objekt + Umgebung zu beschreiben. Beispiel: Körper, der eine schiefe Ebene hinabgleitet Die Umgebung (der schiefen Ebene) kann durch eine Zwangskraft beschrieben werden, die den Körper zwingt, sich ausschließlich auf der schiefen Ebene zu bewegen. Der Körper kann sich nicht frei bewegen, sondern nur gebunden bzw. eingeschränkt. Die Einschränkung der Bewegung kann in Form von Bedingungsgleichungen formuliert werden. Im Fall der schiefen Ebene ist die Bedingungsgleichung x(t) sin α z(t) cos α = 0 Für komplexere Systeme aus mehreren (N) Massenpunkten verwenden wir im Folgenden die Notation von 3N kartesischen Koordinaten und 3N Kraftkomponenten. Ebenfalls betrachten wir 3N Massen, wobei die Massen, die zu einem MP gehören, jeweils gleich sind. 98

99 Damit lauten die Newtonschen Bewegungsgleichungen: m i ẍ i = F i (i = 1, 2,..., 3N) Bindungen zwischen den MP (innere Bindungen) bzw. Bindungen an feste Kurven oder Flächen im Raum (äußere Bindungen) formulieren wir als Nebenbedingungen. Wir unterscheiden 4 Typen von Nebenbedingungen Holonome NB lassen sich in Form von Gleichungen folgender Art formulieren: f k (x j, t) = 0 (k = 1, 2,..., r) [f k (x j, t) f k (x 1, x 2,..., x 3N, t)] bzw. in der Form 3N i=1 3N i=1 f k x i + f k x i t = 0 f k x i dx i + f k t dt = 0 r... Anzahl der Nebenbedingungen, r 3N f = 3N r... Anzahl der Freiheitsgrade des Systems Anholonome NB lassen sich nur in Form von Differentialgleichungen formulieren 3N i=1 3N i=1 f ki (x j, t) x i + f k0 (x j, t) = 0 f ki (x j, t)dx i + f k0 (x j, t)dt = 0 99

100 wobei der obige Ausdruck kein vollständiges Differential ist, im Unterschied zu holonomen Nebenbedingungen. Beispiel: Bewegung eines Schlittschuhs auf der Eisfläche (x-y-ebene) Die Bewegung kann nur in Richtung der Schneide erfolgen, d.h. ẏ tan ϕẋ = 0 Die Bedingung ist anholonom, da sie nicht als vollständiges Differential von f(x, y, ϕ) formulierbar ist. dy tan ϕdx + 0dϕ = 0 }{{} df Zu den anholonomen Bedingungen werden auch Bedingungen in Form von Ungleichungen gezählt. Beispiel: Massenpunkt, der in einem bestimmten Volumen gebunden ist: (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 R 2 100

101 Skleronome NB hängen nicht explizit von der Zeit ab, d.h. für holonome Bedingungen f k t = 0 und für anholonome Bedingungen f ki t f k0 = 0 = 0 (i = 1, 2,..., 3N) Rheonome NB sind explizit zeitabhängige Bedingungen. Für Systeme, die mehreren NB genügen, können diese unterschiedlicher Art sein, holonom, anholonom, teils skleronom, teils rheonom Das d Alembertsche Prinzip Ein System von N MP unterliege r Nebenbedingungen, z.b. holonom 3N i=1 f k x i dx i + f k t dt = 0 Diese Nebenbedingungen haben zur Folge, daß die Massenpunkte nicht nur den eingeprägten Kräften F i ausgesetzt sind, sondern auch noch Zwangskräften F i, die die Bewegungsfreiheit der Massenpunkte einschränken. Damit ergeben sich modifizierte Bewegungsgleichungen m i ẍ i = F i + F i (i = 1, 2,..., 3N) 101

102 Wie können die Zwangskräfte durch die Nebenbedingungen ausgedrückt werden? Wir betrachten zunächst virtuelle Verrückungen δx i (i = 1, 2,..., 3N), d.h. infinitesimal kleine Auslenkungen des Systems, die mit den Nebenbedingungen vereinbar sind und momentan geschehen sollen, d.h. δt = 0. D.h. für holonome Bedingungen 3N i=1 f k x i dx i + f k t dt = 0 sind virtuelle Verrückungen solche, die folgende Gleichung erfüllen: 3N i=1 f k x i δx i = 0 Analog gilt für virtuelle Verrückungen unter anholonomen Bedingungen 3N i=1 f ki δx i = 0 Für bilaterale Bindungen (d.h. Bindungen, die durch Gleichungen - im Unterschied zu Ungleichungen - beschrieben werden) lautet das d Alembertsche Prinzip 3N i=1 F i δx i = 0 Zwangskräfte leisten bei virtuellen Verrückungen keine Arbeit. D.h. die Zwangskräfte stehen senkrecht auf den erlaubten Bewegungsrichtungen. Hierbei handelt es sich um eine Erfahrungstatsache, es kann nicht bewiesen werden. 102

103 Aus F i = m i ẍ i F i folgt 3N i=1 (m i ẍ i F i )δx i = 0 Für unilaterale Bindungen, d.h. einseitige Bindungen, wo z.b. Massenpunkte auf ein bestimmtes Volumen eingeschränkt sind, zeigt die Zwangskraft auf die Seite, in der die Massenpunkte sich bewegen können. D.h. dann gilt 3N i=1 F i δx i 0 3N i=1 (m i ẍ i F i )δx i 0 Im mechanischen Gleichgewicht sind die Massenpunkte in Ruhe, d.h. ẍ i = 0 i Dann gilt das Prinzip der virtuellen Arbeit 3N i=1 F i δx i 0 Ein MP-System ist dann und nur dann im Gleichgewicht, wenn die gesamte virtuelle Arbeit der am System angreifenden eingeprägten Kräfte verschwindet bzw. nicht positiv ist. 103

104 Beispiel: Hebel im Schwerefeld der Erde Einzig mögliche virtuelle Verrückung ist eine kleine Drehung Gleichgewichtsbedingung virtuelle Arbeit F (a) aδϕ F (b) bδϕ = 0 (F (a) a F (b) b)δϕ = 0 beliebig F (a) a = F (b) b (Hebelgesetz) Bilanzgleichungen Die Bilanzgleichungen für MP-Systeme aus 2.3.2, und bleiben natürlich gültig, wenn alle wirkenden Kräfte, d.h. eingeprägte und Zwangskräfte berücksichtigt werden. Wir können auch die Zwangskräfte in innere und äußere Zwangskräfte einteilen F ν = F (ext) ν + N µ=1 F νµ Die Impulsbilanz lautet dann d p dt = F (ext) + F (ext) 104

105 Entsprechend lautet die Drehimpulsbilanz d L dt = M (ext) + M (ext) Für die kinetische Energie gilt dt dt = P + P P + P... Leistung aller am System angreifenden eingeprägten und Zwangskräfte Wir betrachten speziell skleronome Bedingungen der Form 3N i=1 f ki dx i = 0 Dann gibt es keinen Unterschied zwischen virtuellen und realen Verrückungen dx i = δx i und das d Alembertsche Prinzip lautet 3N F i δx i = 3N F i dx i = 0 i=1 i=1 Dann gilt für P = 3N i=1 F i x i = 0 und die Bilanzgleichung für T geht in die Bilanzgleichung für freie Systeme über dt dt = P d.h. die mechanische Energiebilanz ist durch die eingeprägten Kräfte bestimmt. 105

106 Falls diese ein Potential besitzen F i = U x i gilt wie für freie Systeme d U (T + U) = dt t (vgl ) U t = 0 für konservative Systeme Spezielle Probleme A) Massenpunkt auf schiefer Ebene Ein Massenpunkt bewege sich reibungsfrei unter Einfluß der Schwerkraft eingeprägte Kraft: F = mg e z Nebenbedingung: z = x tan α bzw. δz = δx tan α 1 Teilchen, 1 Nebenbedingung 3 1 = 2 Freiheitsgrade 106

107 d Alembertsches Prinzip 3N i=1 (m i ẍ i F i )δx i = 0 mẍδx + mÿδy + (m z + mg)δz = 0 δx tan α [ẍ + ( z + g) tan α] δx + ÿδy = 0 δx und δy sind frei wählbar ẍ + ( z + g) tan α = 0 ( ) ÿ = 0 Die Bewegung in y ist geradlinig gleichförmig. Es ergeben sich 2 Gleichungen, die zusammen mit der Nebenbedingung z = x tan α zu lösen sind. z = ẍ tan α ( ) ẍ (1 + tan 2 α) +g tan α = 0 }{{} 1 cos 2 α ẍ = g sin α cos α Die Bewegung in x ist gleichförmig beschleunigt. Für s = s = g sin α = F m x cos α gilt Die Bewegung längs der s-achse erfolgt unter Einfluß der Projektion der Schwerkraft auf diese Achse. 107

108 Die Zwangskraft F = m r F lautet in Komponenten F x = mẍ = mg sin α cos α = F sin α F y = mÿ = 0 F z = m z + mg = m(ẍ tan α + g) = mg (sin 2 α 1) = F }{{} cos α cos 2 α D.h. F = F, die Zwangskraft ist entgegengesetzt gleich der Komponente der Schwerkraft, die orthogonal zur schiefen Ebene wirkt. B) Mathematisches Pendel Ein Massenpunkt befindet sich an einer massenlosen, drehbar aufgehängten Stange. Eingeprägte Kraft: F = mg e x = mg cos ϕ e ρ mg sin ϕ e ϕ Nebenbedingungen: z = 0, ρ = l bzw. δz = 0, δρ = 0 1 Teilchen, 2 Nebenbedingungen 3 2 = 1 Freiheitsgrad 108

109 virtuelle Verrückung d Alembertsches Prinzip: δ r = δρ 0 e ρ + ρδϕ e ϕ + δz e z = ρδϕ e ϕ 0 0 = (m r F ) δ r = (m r e ϕ F e ϕ )ρδϕ = m(ρ ϕ + 2 ρ ϕ + g sin ϕ)ρδϕ r in Zylinderkoord. (1.2) Da δϕ frei wählbar ist, folgt ρ ϕ + 2 ρ ϕ = g sin ϕ Diese Gleichung ist zusammen mit den Nebenbedingungen zu lösen: ρ = l, d.h. ρ = 0 ϕ = g l sin ϕ Für kleine Auslenkungen (ϕ 1) gilt sin ϕ ϕ Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung für eine harmonische Schwingung (vgl. 1.4) ϕ + ω 2 ϕ = 0 mit ω = g l T = 2π ω = 2π l g Z.B. erfolgt die Eichung von Pendeluhren über die Pendellänge. 109

110 Jetzt betrachten wir beliebige Auslenkungen Wir nutzen die Energieerhaltung bei skleronomen Bedingungen aus: T = 1 2 m r 2 = 1 2m( ρ2 0 T + U = E = const. + ρ 2 ϕ 2 + ż 2 ) = 1 2 ml2 ϕ 2 0 U = mgρ cos ϕ = mgl cos ϕ E = 1 2 ml2 ϕ 2 mgl cos ϕ E }{{} ml 2 = 1 2 ϕ2 g cos ϕ l =:ɛ ω 2 ɛ = 1 2 ϕ2 ω 2 cos ϕ ( ) dϕ 2 = 2(ɛ + ω 2 cos ϕ) dt dϕ t = 2(ɛ + ω 2 cos ϕ) + const. Wir betrachten U(ϕ) = ω 2 cos ϕ 110

111 Die Bewegung ist finit für ω 2 < ɛ < ω 2. Die Umkehrpunkte ( ϕ = 0) folgen aus U(ϕ 0 ) = ω 2 cos ϕ 0 = ɛ Wir integrieren für eine finite Bewegung mit den Anfangsbedingungen t = 0, ϕ = 0 ϕ ωt = dϕ 0 2(cos ϕ cos ϕ }{{} 0 ) ɛ ω Wir integrieren numerisch bis ϕ = ϕ 2 0, dann offensichtlich t = T 4 T 2π l g ( ) 1 + ϕ Für ϕ 0 0 ergibt sich wieder ein harmonischer Oszillator, für ϕ 0 > 0 hängt die Schwingungsdauer auch von der Amplitude ϕ 0 ab. Die Zwangskraft F = m r F lautet in Komponenten F ρ = m( ρ ρ ϕ 2 ) F ρ }{{} ml ϕ 2 ml ϕ mg cos ϕ F ϕ = m(ρ ϕ + 2 ρ ϕ) F ϕ }{{} F z = m z F z = mg sin ϕ D.h. die Zwangskraft hat nur eine Komponente = ml( ϕ 2 + ω 2 cos ϕ) = ml ( ϕ + ω 2 sin ϕ) }{{} =0 (Bewegungsgl.) = 0 F = ml( ϕ 2 + ω 2 cos ϕ) e ρ Diese muß die ρ-komponente der Schwerkraft kompensieren und die Radialkraft realisieren, die die Kreisbewegung erzwingt. 111

112 3.1.5 Starrer Körper Ein starrer Körper entspricht einem System von Massenpunkten m ν, deren Abstände sich nicht ändern sollen. Die festen Abstände reduzieren die Freiheitsgrade des Systems auf typischerweise 6: Drehachse d Alembertsches Prinzip: N (m ν rν F ν )δ r ν = 0 ν=1 Nebenbedingungen: r ν = r 1 + r ν δ r ν = δ r 1 + δ r ν wobei δ r ν = 0 wobei m 1 ein willkürlich herausgegriffener Massenpunkt ist. 112

113 Für einen festen Abstand δ r ν = 0 kann der Massenpunkt m ν nur eine Drehung um eine Achse durch den Massenpunkt m 1 ausführen: δ r ν = δ ϕ ν r ν (vergleiche Drehung um eine Achse in 2.1.5) damit δ r ν = δ r 1 + δ ϕ ν r ν Bei einem starren Körper müssen bei einer Drehung alle Winkel gleich sein, d.h. δ ϕ ν = δ ϕ damit δ r ν = δ r 1 + δ ϕ r ν r ν = r 1 + ω r ν Die beliebig wählbaren δ r 1 und δ ϕ sind die 6 Freiheitsgrade des starren Körpers (3 Translationen, 3 Rotationen). Jetzt mit δ r ν ins d Alembertsche Prinzip: N δ r 1 (m ν rν F N ν ) + δ ϕ r ν (m ν rν F ν ) = 0 ν=1 ν=1 }{{} δ ϕ N (m ν r ν r ν r ν F ν) ν=1 113

114 Anmerkung: Für das Spatprodukt gilt ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b Beweis über Komponentendarstellung ( a b) i = ε ijk a j b k (Summenkonvention) wobei für das Permutationssymbol gilt +1 (i, j, k) gerade Permutation von 1, 2, 3 ε ijk = 1 (i, j, k) ungerade Permutation von 1, 2, 3 0 mindestens zwei Indizes gleich Wichtige Rechenregel ε ijk ε imn = δ jm δ kn δ jn δ km ε ijk ε ijn = 2δ kn ε ijk ε ijk = 6 (Summenkonvention) Wegen r ν = r ν r 1 folgt weiters δ r 1 N (m ν rν F ν ) + δ ϕ ν=1 N ν=1 [ m ν r ν r ν r ν F ν r 1 (m ν rν F ] ν ) = 0 114

115 Da δ r 1 und δ ϕ frei wählbar sind, folgt: N N m ν rν = F ν ν=1 N m ν r ν r ν = Das entspricht gerade der Impulsbilanz ν=1 ν=1 ν=1 N r ν F ν d p dt = F = F (ext) und der Drehimpulsbilanz d L dt = M = M (ext) Gesamtkraft und Gesamtdrehmoment sind nur durch die eingeprägten äußeren Kräfte bestimmt, da die Zwangskräfte als innere Kräfte keinen Beitrag leisten. Ist der starre Körper nicht frei beweglich, sondern durch Nebenbedingungen eingeschränkt, so treten noch äußere Zwangskräfte und Zwangsdrehmomente auf. Dann gilt d p dt = F (ext) + F (ext) ; d L dt = M (ext) + M (ext) 115

116 Beispiel: Um feste Achse drehbarer Körper o.b.d.a entspreche die Drehachse der z-achse, r 1 fixiere einen Punkt auf der Achse. Damit δ r 1 = 0, δ ϕ = δϕ e z und es gilt die Drehimpulsbilanz für die z-komponente dl z dt (vgl ) L z = θ ϕ mit θ = = M z = M (ext) z N m ν ρ 2 ν = ν=1 dmρ 2 wobei θ das Trägheitsmoment des starren Körpers bezogen auf die Drehachse (z-achse) ist. ρ ist dabei der senkrechte Abstand des jeweiligen Massenpunktes von der Drehachse. Damit lautet die Bewegungsgleichung θ ϕ = M Für skleronome Bedingungen gehen in die Energiebilanz nur eingeprägte Kräfte ein. Falls diese ein Potential besitzen gilt d U (T + U) = dt t hier ist U = U(ϕ, t) T = N ν=1 1 2 m ν r ν 2 = N 1 2 m ν( ν=1 ρ ν ρ 2 2 νϕ ν ϕ 2 + z ν 2 0 ) = N ν=1 1 2 m νρ 2 ν ϕ 2 = 1 2 θ ϕ2 116

117 Damit lautet die Energiebilanz [ ] d 1 dt 2 θ ϕ2 + U(ϕ, t) = U(ϕ, t) t θ ϕ ϕ + U ϕ U ϕ + t = U t θ ϕ = U }{{} ϕ M M = U ϕ D.h. die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse ist analog zur eindimensionalen Translationsbewegung mit den Entsprechungen x ϕ m θ F M Gilt die Energieerhaltung, d.h. U t = 0, können wir die Bewegungsgleichung integrieren θ ϕ = M t = dϕ 2[E U(ϕ)]/θ (analog zum Vorgehen in mit den oben genannten Ersetzungen) 117

118 Steinerscher Satz Das Trägheitsmoment ist abhängig von der Wahl der Achse θ = = N m ν ρ 2 ν = ν=1 N ν=1 m ν ρ 2 ν } {{ } θ c N ν=1 +mρ 2 c 2ρ c m ν (ρ 2 ν + ρ 2 c 2ρ c ρ ν cos ϑ ν) N ν=1 m ν ρ ν cos ϑ ν } {{ } mx c=0 θ = θ c + mρ 2 c Ist das Trägheitsmoment bezüglich der durch den Massenmittelpunkt gehenden Achse bekannt, so ist es (bei bekannter Gesamtmasse) bezüglich jeder dazu um ρ c parallel verschobenen Achse bekannt. 118

119 Freie Achsen Die Zwangskräfte und Zwangsdrehmomente sind gegeben durch F (ext) = d p dt F (ext) M (ext) = d L dt M (ext) (wichtig für die Fixierung der Drehachsen) Wir betrachten einen Körper, der im Schwerefeld der Erde um eine Achse, welche senkrecht auf der Erdoberfläche steht, rotiert. Dafür gilt: F (ext) = m r c + mg e z = mρ c ϕ 2 e ρ + mg e z ρ = 0 = ϕ M (ext) = L + mg rc e z = ( L x + mgy c ) e x + ( L y mgx c ) e y (Annahme: Mz (ext) = 0, d.h. Lz ändert sich nicht) Die Zwangskraft F (ext) ist gerade die Kraft, die den Körper (Massenmittelpunkt) auf eine Kreisbahn vom Radius ρ c in fester Höhe über der Erdoberfläche zwingt. M (ext) ist das zur Achsenfixierung nötige Zwangsdrehmoment, wir betrachten die entsprechenden Drehimpulskomponenten: Für eine Kreisbewegung gilt: x ν = ρ ν cos ϕ y ν = ρ ν sin ϕ x ν = ϕy ν y ν = ϕx ν ẍ ν = ϕ y ν ϕ y ν = ϕ 2 x ν 0 gleichförmige Bewegung ÿ ν = ϕ x ν + ϕ x ν = ϕ 2 y ν 0 119

120 damit mit dem L x = d dt L x = d dt N ν=1 N ν=1 m ν (y ν z ν 0 z ν y ν ) = m ν (z ν x ν x ν z ν ) = 0 ν=1 N m ν z ν ÿ ν = ν=1 Deviationsmoment (auch dynamische Unwucht ) N m ν z ν ϕ 2 y ν ν=1 N N m ν z ν ẍ ν = m ν z ν ϕ 2 x ν ν=1 N θ ij = m ν (x ν ) i (x ν ) j ν=1 i j ergibt sich L x = ϕ 2 θ yz L y = ϕ 2 θ xz Anstelle zeitabhängige Deviationsmomente zu benutzen ist es oft sinnvoll, in ein körperfestes Koordinatensystem zu wechseln. (x und y sind körperfest) 120

121 es gilt x ν = x ν cos ϕ y ν sin ϕ y ν = x ν sin ϕ + y ν cos ϕ z ν = z ν damit ergibt sich θ xz = θ x z cos ϕ θ y z sin ϕ θ yz = θ x z sin ϕ + θ y z cos ϕ wobei die körper- und achsenspezifischen Deviationsmomente θ x z und θ y z jetzt zeitunabhängig sind. Verschwinden für eine gewählte, durch den Massenmittelpunkt des Körpers gehende Drehachse die Deviationsmomente, so ist kein Zwangsdrehmoment notwendig, um ein Kippen der Drehachse zu verhindern. Ein um eine solche Achse nach einem Anstoß in Drehung versetzter Körper kann um diese Achse frei weiterrotieren, da die Achse ihre Lage beibehält. Eine solche Achse wird freie Achse genannt, bzw. Hauptträgheitsachse oder Hauptachse. Hauptachsen verlaufen durch den Massenmittelpunkt und sind Symmetrieachsen. 121

122 Physisches Pendel Das physische Pendel entspricht einem starren Körper, der um eine Achse parallel zur Erdoberfläche frei beweglich ist. Die Bewegungsgleichung lautet θ ϕ = M z = y c F x = ρ c sin ϕ mg ϕ = ρ cmg θ sin ϕ analog zur Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels (3.1.3): ϕ = g l sin ϕ Wir definieren eine reduzierte Pendellänge l = θ ρ c m und können alle Ergebnisse aus übertragen. 122

123 Mit dem Steinerschen Satz θ = θ c + mρ 2 c erhalten wir l = θ ( c ρ c m + ρ c = ρ c 1 + θ ) c ρ 2 cm d.h. für ein festes l (bzw. für eine vorgegebene Schwingungsdauer) gibt es zwei mögliche ρ c, d.h. zwei mögliche Aufhängungspunkte. D.h. speziell für die Wahl des Schwingungsmittelpunkts zum Aufhängungspunkt ergibt sich die selbe Schwingungsdauer (Beweis: Übung). Die minimale Pendellänge ergibt sich aus dl dρ c = 0 θc ρ 2 cm + 1 = 0 ρ c = diese gibt Anlaß zur kleinstmöglichen Schwingungsdauer. θ c m 123

124 3.2 Lagrangesche Gleichungen Lagrangesche Gleichungen 1. Art Wir starten vom d Alembertschen Prinzip 3N i=1 (m i ẍ i F i )δx i = 0 mit bilateralen, anholonomen Bedingungen 3N i=1 f ki dx i + f k0 dt = 0 (k = 1, 2,..., r) (für holonome Bedingungen f ki f k x i, f k0 f k t ) Wir multiplizieren die k-te Bedingung für dt = 0 mit λ k und summieren über k: r 3N k=1 i=1 λ k f ki δx i = 0 Wir subtrahieren das Ergebnis vom d Alembertschen Prinzip 3N ( m i ẍ i F i i=1 k=1 ) r λ k f ki δx i = 0 Von 3N virtuellen Verrückungen δx i sind 3N r = f frei wählbar, r sind durch Nebenbedingungen festgelegt. Wir wählen die Lagrangeschen Multiplikatoren λ k so, daß für die nicht frei wählbaren δx i (i = 1,..., r) die Vorfaktoren ( ) r m i ẍ i F i λ k f ki k=1 124

125 verschwinden (r Gleichungen für r Unbekannte λ k ). Für die verbleibenden f virtuellen Verrückungen δx i (i = r + 1,..., 3N) verschwinden die Vorfaktoren automatisch, da diese frei wählbar sind, und die Gesamtsumme nach Konstruktion verschwinden muß Damit erhalten wir die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art r m i ẍ i = F i + λ k f ki k=1 i = 1, 2,..., 3N (3N Gleichungen) die zusammen mit den r Nebenbedingungen 3N i=1 f ki x i + f k0 = 0 k = 1, 2,..., r zu lösen sind. D.h. wir haben 3N + r Gleichungen zur Bestimmung von 3N Koordinaten x i und r Lagrangeschen Multiplikatoren λ k. Aus den Lagrangeschen Gleichungen 1. Art liest man unmittelbar die Zwangskräfte F r i = λ k f ki k=1 ab. Speziell für holonome Bedingungen gilt: F i = r k=1 λ k f k x i 125

126 Lösungsstrategie: (i) ẍ i aus LG 1. Art in die nach der Zeit differenzierten Nebenbedingungen einsetzen (ii) aus diesen r Gleichungen erhält man die λ k (iii) λ k in die LG 1. Art einsetzen (iv) resultierende Bewegungsgleichungen lösen x i = x i (t) Beispiel: Massenpunkt auf schiefer Ebene (vgl ) eingeprägte Kraft: F = mg e z Nebenbedingung: f(x, y, z) = z x tan α = 0 f x = tan α f z = 1 Lagrangesche Gleichungen 1. Art: mẍ = λ tan α mÿ = 0 m z = mg + λ 126

127 (i) Wir differenzieren die Nebenbedingung nach der Zeit: z ẍ tan α = 0 und setzen die ẍ i aus den LG 1. Art ein: g + λ + λ }{{ m } m tan α tan α = 0 }{{} z ẍ (ii) λ bestimmen: λ m (1 + tan2 α) = g }{{} 1 cos 2 α λ = mg cos 2 α (iii) λ in LG 1. Art eliminieren ẍ = g sin α cos α ÿ = 0 z = g( 1 + cos 2 α) = g sin 2 α (iv) Resultierende Bewegungsgleichungen lösen: x = s cos α s = ẍ = g sin α cos α (bekanntes Ergebnis aus 3.1.3) Zwangskraft für holonome Bedingungen: F i = r k=1 λ k f k x i F = λ f = mg cos 2 α (z x tan α) 127

128 Komponentenweise ausgedrückt: F x = mg cos 2 α( tan α) = mg sin α cos α F y = 0 F z = mg cos 2 α (bekanntes Ergebnis aus 3.1.3) Bemerkung: F f bringt unmittelbar zum Ausdruck, daß die Zwangskraft senkrecht auf der schiefen Ebene steht. Energiebilanz Aus wissen wir dt dt = P + P wobei P = 3N i=1 F i x i die Leistung der Zwangskräfte ist. Mit r F i = λ k f ki k=1 folgt P = r 3N λ k f ki x i k=1 i=1 Wobei für die Nebenbedingungen 3N i=1 f ki x i + f k0 = 0 gilt. 128

129 Damit r P = λ k f k0 k=1 und die Energiebilanz lautet dt dt = P r λ k f k0 k=1 Speziell für holonome Bedingungen gilt dt dt = P r k=1 λ k f k t Besitzen die eingeprägten Kräfte ein Potential, so gilt (vgl ) d U (T + U) = dt t r λ k f k0 k=1 bzw. speziell für holonome Bedingungen d U (T + U) = dt t r k=1 λ k f k t D.h. die aus rheonomen Bindungen resultierenden Zwangskräfte tragen i.a. zur Leistung bei und verändern die Energie des MP-Systems. Ist das System konservativ und skleronom, so gilt die Energieerhaltung. 129

130 3.2.2 Lagrangesche Gleichungen 2. Art Für Systeme mit vielen Massenpunkten und vielen Nebenbedingungen sind die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art oft nicht wirklich zielführend, da 3N +r Gleichungen zu lösen sind. Effizienter wäre es ein Verfahren zu benutzen, das von vornherein auf die f = 3N r Freiheitsgrade abstellt. Wir betrachten N Massenpunkte mit r Nebenbedingungen der Form f k (x j, t) = f k (x 1, x 2,..., x 3N, t) = 0 k = 1, 2,..., r Diese r Nebenbedingungen bilden ein Gleichungssystem in den x j, das für r < 3N unterbestimmt ist, d.h. f = 3N r Koordinaten bleiben unbestimmt. Wir können die x i als Funktion der Freiheitsgrade x j darstellen x i = x i (x j1,..., x jf, t) i = 1,..., 3N j = 1,..., f Die Koordinaten x j sind dann durch keine Nebenbedingungen mehr eingeschränkt. Anstelle der beliebig wählbaren f Koordinaten x j können auch f beliebig wählbare (linear unabhängige) Kombinationen dieser Koordinaten verwendet werden q α = q α (x j1,..., x jf, t) α = 1,..., f die dem System eventuell besser angepaßt sind. Wir schreiben allgemein x i = x i (q α, t) x i (q 1, q 2,..., q f, t) i = 1, 2,..., 3N α = 1, 2,..., f wobei die keinerlei Nebenbedingungen unterworfenen Koordinaten q α als generalisierte Koordinaten bezeichnet werden. 130

131 Durch Zeitableitung ergeben sich die generalisierten Geschwindigkeiten q α. Es gilt x i = f α=1 x i q α + x i q α t q α x i = x i q α q α x i = x i (q α, t), daraus folgt für die virtuellen Verrückungen δx i = f α=1 x i q α δq α Dieses setzen wir in das d Alembertsche Prinzip ein: 3N i=1 [ f 3N α=1 3N i=1 (m i ẍ i F i ) i=1 (m i ẍ i F i )δx i = 0 f x i δq α = 0 bzw. q α ] α=1 (m i ẍ i F i ) x i q α Da die δq α frei wählbar sind, muß folgendes gelten δq α = 0 3N i=1 (m i ẍ i F i ) x i q α = 0 α = 1, 2,..., f 131

132 Wir schreiben diese Bewegungsgleichung noch etwas um. Es gilt: 3N i=1 m i ẍ i x i q α = d dt = d dt 3N i=1 3N i=1 = d dt q α x i m i x i q α x i q α x i m i x i q α 3N 1 2 m 2 ix i i=1 }{{} T 3N i=1 3N i=1 q α x i m i x i q α x i m i x i q α 3N 1 2 m 2 ix i i=1 }{{} T d.h. 3N i=1 x i m i ẍ i = d T T q α dt q α q α wobei die kinetische Energie als Funktion der generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten angesehen wird T = T (q α, q α, t) 3N i=1 x i F i =: Φ α (q α, q α, t)... generalisierte Kraft q α Damit lauten die Bewegungsgleichungen d T T = Φ α dt q α q α α = 1, 2,..., f Besitzen die eingeprägten Kräfte F i ein Potential U = U(x i, t) F i = U x i 132

133 folgt für Φ α Φ α = 3N i=1 x i 3N U x i F i = = U q α x i=1 i q α q α wobei die potentielle Energie als Funktion der generalisierten Koordinaten und der Zeit angesehen wird: U = U(q α, t) U = 0 q α Wir können daher schreiben Φ α = U + d U q α dt q }{{ α } 0 Wir definieren die Lagrange-Funktion des Systems L = L(q α, q α, t) = T U und finden damit eine kompakte Notation für die Bewegungsgleichung in generalisierten Koordinaten. Lagrangesche Gleichungen 2. Art d L L = 0 dt q α q α α = 1, 2,..., f Wir haben jetzt f gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung zur Bestimmung der q α (t). Die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade. Die Nebenbedingungen treten nicht mehr explizit auf. 133

134 Lösungsstrategie: (i) formuliere die Zwangsbedingungen (ii) finde die verallgemeinerten Koordinaten (iii) stelle die Lagrange-Funktion L = T U auf (iv) leite die Lagrange-Gleichungen 2. Art ab und löse sie (v) transformiere zurück auf die ursprünglichen (anschaulichen) Koordinaten (der letzte Schritt ist nicht immer notwendig und nicht immer möglich) Beispiel: Rollpendel m 1 bewege sich reibungsfrei entlang x. Welche Bahnen beschreiben m 1 und m 2 unter dem Einfluß der Schwerefeldes? (i) 4 holonom-skleronome Zwangsbedingungen z 1 = z 2 = 0 y 1 = 0 (x 1 x 2 ) 2 + y 2 2 R 2 = 0 damit verbleiben 6 4 = 2 Freiheitsgrade 134

135 (ii) generalisierte Koordinaten: x 1 und ϕ Transformationsformeln x 2 = x 1 + R sin ϕ x 2 = x 1 + ϕr cos ϕ y 2 = R cos ϕ y 2 = ϕr sin ϕ (iii) Lagrange-Funktion T = 1 2 m 1x m 2( x y 2 2 ) = 1 2 (m 1 + m 2 ) x m 2 2 (R2 ϕ 2 + 2Rx 1 ϕ cos ϕ) U = m 2 gr cos ϕ L = T U = m 1 + m 2 2 x m 2 2 (R2 ϕ 2 + 2Rx 1 ϕ cos ϕ) + m 2 gr cos ϕ (iv) LG 2. Art lösen L x 1 d L dt x 1 L x 1 0 (Gesamtimpuls des Systems in x-richtung) = 0 =: p 1 = (m 1 + m 2 ) x 1 + m 2 R ϕ cos ϕ = const. p 1... verallgemeinerter Impuls zur Koordinate x 1 Wir lösen nach x 1 auf: x 1 = p 1 m 1 +m 2 m 2 m 1 +m 2 R ϕ cos ϕ x 1 (t) = x 1 (0) + p 1 m 1 +m 2 t m 2 m 1 +m 2 R(sin ϕ(t) sin ϕ(0)) t 0 dt 135

136 Wir wählen die Anfangsbedingungen x 1 (0) = 0, x 1 (0) = m 2 Rω 0 m 1 + m 2 ϕ(0) = 0, ϕ(0) = ω 0 }{{} p 1 =0 damit x 1 (t) = m 2 m 1 + m 2 R sin ϕ(t) D.h. der erste Massenpunkt schwingt um seine Ruhelage. Aus den Transformationsformeln folgt für den zweiten Massenpunkt x 2 (t) = x 1 (t) + R sin ϕ(t) = y 2 (t) = R cos ϕ(t) m 1 m 1 + m 2 R sin ϕ(t) Es gilt x 2 (t) 2 y 2 (t) 2 ( ) 2 + m1 R R 2 = 1 m 1 +m 2 D.h. der zweite Massenpunkt bewegt sich auf einer Ellipse mit horizontaler Halbachse a = m 1R m 1 + m 2 und vertikaler Halbachse b = R > a 136

137 Das Problem ist noch nicht vollständig gelöst. Wir erhalten die Zeitabhängigkeit von ϕ(t) aus d L dt ϕ L ϕ = 0 L ϕ = m 2R 2 ϕ + m 2 Rx 1 cos ϕ d L dt ϕ = m 2R 2 ϕ + m 2 Rẍ 1 cos ϕ m 2 Rx 1 ϕ sin ϕ L ϕ = m 2Rx 1 ϕ sin ϕ m 2 gr sin ϕ R ϕ + ẍ 1 cos ϕ + g sin ϕ = 0 Näherung für kleine Winkel: cos ϕ 1, sin ϕ ϕ. x 1 (t) = m 2 m 1 + m 2 R sin ϕ(t) x 1 (t) = m 2 R cos ϕ(t) ϕ m 1 + m 2 ẍ 1 (t) = m 2 m 1 + m 2 R( ϕ cos ϕ ϕ 2 sin ϕ) m 2 m 1 + m 2 R ϕ Damit gilt näherungsweise m 2 R ϕ R ϕ + gϕ = 0 m 1 + m 2 m 1 ϕ R + gϕ = 0 m 1 + m 2 ϕ + g R m 1 + m 2 m 1 ϕ = 0 (Differentialgleichung des harmonischen Oszillators, vgl. 1.4) Schwingungsfrequenz ω = g m 1 + m 2 R m 1 137

138 Die gewählten Anfangsbedingungen führen auf ϕ(t) = ω 0 ω sin ωt Generalisierter Impuls Generalisierte Impulse sind definiert durch p α := L = T q α q α Nach den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art d L L = 0 dt q α q α folgt p α = L = T + Φ α q α q α generalisierte Kräfte Sei speziell ein freies System gegeben durch L = 3N i=1 m i 2 x i 2 U(x 1,..., x 3N, t) L = m i x i = p i x i d.h. die generalisierten Impulse stimmen mit den gewöhnlichen Impulsen überein und Φ i = U x i = F i die generalisierten Kräfte entsprechen den gewöhnlichen Kräften. 138

139 Die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art d L L = p i F i = 0 dt x i x i ergeben die bekannten Newtonschen Bewegungsgleichungen des freien Systems mẍ i = F i Erhaltungssätze und Symmetrien Erhaltungssätze für physikalische Größen sind Ausdruck von Symmetrien Energieerhaltung Homogenität der Zeit Die Lagrange-Funktion eines abgeschlossenen Systems L = L(q α, q α, t) ist invariant gegenüber einer zeitlichen Transformation t t + δt, d.h. L(q α, q α, t + δt) = L(q α, q α, t) + δl mit δl = L t δt wobei wegen der Homogenität der Zeit L t = 0 gilt. 139

140 Was bedeutet das physikalisch? dl dt = f α=1 ( ) = d dt d dt f α=1 ( L q α + L q α q α f α=1 ( f L q α + L q α t α=1 L q α L q α q α ) ) L q α L = const. q α + L t ( ) : = L t 0 d L = L dt q α q α Nur die kinetische Energie hängt von der Geschwindigkeit ab, d.h. f α=1 L q α = q α f α=1 T q α q α Für skleronome Bedingungen ist die kinetische Energie eine homogene Funktion 2. Grades in den q α : T (q α, λq α ) = λ 2 T (q α, q α ) Nach dem Eulerschen Theorem über homogene Funktionen gilt (vgl ) f α=1 T q α = 2T q α damit f α=1 L q α L = 2T (T U) = T + U = E = const. q α D.h. die Energieerhaltung ist Ausdruck der Invarianz der Lagrange-Funktion gegenüber zeitlicher Transformationen, d.h. Ausdruck der Homogenität der Zeit. 140

141 Impuls Homogenität des Raumes Die Lagrange-Funktion eines abgeschlossenen Systems hängt von den Abständen der Massenpunkte, aber nicht von deren absoluten Koordinaten ab. L ist invariant unter räumlichen Translationen. r ν r ν + δ r L L + δl mit δl = N δ r rν L ν=1 Wegen der Homogenität des Raumes ist δl = 0 N rν L = 0 ν=1 Wir betrachten die Translationsvariable r als generalisierte Koordinate L r = d dt N ν=1 L L = r r = r L = rν L ( ) = N rν L = 0 ν=1 L = const. r N rν T = ν=1 N m ν rν = ν=1 N p ν = p ν=1 ( ): in L hängt nur T von r ν ab. Hieraus folgt die Erhaltung des Gesamtimpulses des Systems. p = const. ist Ausdruck der Homogenität des Raumes. 141

142 Drehimpulserhaltung Isotropie des Raumes Isotropie des Raumes bedeutet, daß sich die Physik eines abgeschlossenen Systems bei einer Drehung nicht ändert, d.h. unter der Transformation r ν r ν + δ r ν, δ r ν = δ ϕ r ν L L + δl soll die Lagrange-Funktion unverändert bleiben, also δl = 0. N δl = δ r ν N rν L = δ ϕ r ν rν L = 0 ν=1 ν=1 Wir betrachten für eine gewählte feste Achse den Drehwinkel ϕ als generalisierte Koordinate auf 0 = L ϕ = d L dt ϕ L ϕ = const. Differential von L unter der Transformation: dl = = N d r ν rν L + ν=1 N d r ν rν L +... ν=1 N (d ϕ r ν ) rν L + ν=1 = d ϕ N (d ϕ r ν ) rν L +... ν=1 N r ν rν L + d ϕ ν=1 N ν=1 r ν p ν s.o. d.h. L ϕ = e ω N r ν p ν = e ω ν=1 N ν=1 L ν = e ω L = const. Die Invarianz der Lagrange-Funktion unter Drehung um eine beliebige Achse bedeutet also die Erhaltung des Gesamtdrehimpulses. 142

143 Zyklische Koordinaten Systemangepaßte generalisierte Koordinaten q α Transformation: q α q α + δq α L L + δl = L + L q α δq α falls δl = 0 L q α Erhaltungssatz d L dt q α = 0 L = const. q α Generalisierte Koordinaten, von denen die Lagrange-Funktion nicht abhängt, heißen zyklische Koordinaten. Sie stellen Symmetriekoordinaten des Systems dar und geben Anlaß zu Erhaltungssätzen. Erinnerung: Rollpendel in 3.2.2; x 1 war zyklische Variable, entsprach Erhaltung des Gesamtimpulses p 1 Beispiel: Zwei-Körper-Problem (vgl ) Zwei Massenpunkte, die über eine abstandsabhängige Zentralkraft miteinander wechselwirken L = 1 2 m 1 r m 2 r 2 2 U( r 2 r 1 ) 143

144 Wir führen Relativ- und Massenmittelpunktskoordinaten ein r = r 2 r 1 m r c = m 1 r 1 + m 2 r 2 (m = m 1 + m 2 ) r 1 = r c m 2 r (vgl ) m r 2 = r c + m 1 m r damit r 1 2 = r c 2 + m2 2 m 2 r 2 2 m 2 m r c r r 2 2 = r c 2 + m2 1 m 2 r m 1 m r c r µ... reduzierte Masse m 1 2 r m 2 2 r 2 2 = 1 2 m r c Damit nimmt die Lagrange-Funktion die Form m 1 m m 2m 2 1 (m 1 + m 2 ) }{{ 2 r 2 } m 1 m 2 (m 1 +m 2 ) (m 1 +m 2 )(m 1 +m 2 ) =µ L = 1 2 m r c µ r 2 U( r ) an, ist additiv in Massenmittelpunkts- und Relativbewegung. Die Massenmittelpunktskoordinate ist zyklisch Impulserhaltungssatz 144

145 4 Hamiltonsche Mechanik 4.1 Prinzip der kleinsten Wirkung Bisher gelangten wir mit den Newtonschen Bewegungsgleichungen und dem d Alembertschen Prinzip zu den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art. Man kann jedoch zeigen, daß den Lagrangeschen Gleichungen ein fundamentales Prinzip, das Hamiltonsche Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung zugrunde liegt, das von allgemeiner und zentraler Bedeutung für die Physik ist. Wir betrachten die Bahnkurve eines Massenpunktsystems mit f Freiheitsgraden im f-dimensionalen Konfigurationsraum der generalisierten Koordinaten q α q α = q α (t) Wir ordnen jedem Punkt P auf q α (t) einen infinitesimal benachbarten Punkt P so zu, daß P und P jeweils zum gleichen Zeitpunkt gehören. q α = q α (t) q α = q α(t) δq α (t) = q α(t) q α (t), δt = 0 d.h. die Variationen der generalisierten Koordinaten sind virtuelle Verrückungen. 145

146 d dt δq α(t) = q α(t) q α (t) = δq α (t) Wir betrachten die Funktion L(q α, q α, t) und deren Variation, d.h. die Differenz der Funktion auf der wirklichen Bahn und der variierten Bahn. δl = L(q α, q α, t) L(q α, q α, t) = L(q α + δq α, q α + δq α, t) L(q α, q α, t) Für kleine Variationen δq α und δq α folgt dann δl = f ( L δq α + L ) δq α q α q α α=1 Erinnerung 3.2.2, aus dem d Alembertschen Prinzip 3N i=1 (m i ẍ i F i )δx i = f ( d L L ) δq α = 0 dt q α q α α=1 folgten die Lagrangeschen Gleichungen, da die δq α frei wählbar sind. Es gilt ( d L dt q α ) δq α = d ( ) L δq α dt q α L q α d dt δq α }{{} δ q α d.h. α=1 f ( ) d L f ( ) δq α = d L dt q α δq α + L δq α α=1 dt q α q α }{{} L qα f ( L = δq α + L ) δq α q α=1 α q α }{{} δl(siehe oben) 146

147 D.h. die einer Variation der Bahnkurve entsprechende Variation der Lagrange-Funktion ist δl = f α=1 ( ) d L δq α dt q α t 2 t 1 dt t 2 t 1 dtδl = f α=1 L δq α q α t 2 t 1 Wir wählen die Vergleichsbahn so, daß Anfangs- und Endpunkte mit der wirklichen Bahnkurve übereinstimmen: δq α (t 1 ) = δq α (t 2 ) = 0 damit t 2 t 1 t 2 dtδl = δ dtl = 0 t 1 Wir definieren Wirkung S = t 2 dtl t 1 und erhalten δs = 0 Hamiltonsches Prinzip oder Prinzip der kleinsten Wirkung Die von einem MP-System im Konfigurationsraum tatsächlich durchlaufene Bahnkurve zeichnet sich gegenüber den zugelassenen Vergleichsbahnen dadurch aus, daß für sie die 147

148 Wirkung einen Extremwert - meistens ein Minimum - annimmt. Bemerkung: Hamiltonsches Prinzip in der Optik: Fermatsches Prinzip s 2 s 1 ds n(s) = Extremum Brechzahl Wir können umgekehrt auch vom Hamiltonschen Prinzip starten und daraus die Lagrangeschen Gleichungen ableiten: t 2 0 = δs = δ dtl = t 1 = = t 2 t 1 t 2 t 1 dt dt f α=1 t 2 t 1 [ f ( L dt δq α + L ) ] δq α q α q α α=1 [ L q α δq α + d dt f ( L d L q α dt α=1 Da die δq α frei wählbar sind, folgt q α ( ) ( L d δq α q α dt ) δq α + f α=1 L q α δq α ) ] L δq α q α t 2 t 1 } {{ } 0 L d L = 0 q α dt q α α = 1, 2,..., f Bemerkungen: Mathematisch formuliert sind die Lagrange-Gleichungen die Lösung der Euler- Lagrangeschen Variationsaufgabe. Falls keine holonomen Nebenbedingungen gegeben sind, erhalten wir gegebenenfalls andere Bewegungsgleichungen: Legen wir z.b. die ursprünglichen 3N Koordinaten des Systems zugrunde, so folgt 148

149 für das Variationsproblem t 2 [ 3N ( L dt d ) ] L δx i = 0 x i dt t i=1 1 x i bzw. t 2 [ 3N ] dt (F i m i ẍ i )δx i = 0 t i=1 1 wobei nun die δx i nicht mehr frei wählbar sind, sondern gemäß 3N i=1 f ki δx i = 0 k = 1, 2,..., r mit den z.b. anholonomen Nebenbedingungen verträglich sein müssen. Wir können daher zunächst nur auf das d Alembertsche Prinzip 3N i=1 (F i m i ẍ i )δx i = 0 schließen. 4.2 Hamiltonsche Gleichungen Die Lagrange-Gleichungen liefern uns Bewegungsgleichungen des Systems in der Form von f gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Manchmal ist es zweckmäßiger, stattdessen mit 2f gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung zu rechnen. Erinnerung 3.2.2: generalisierte Impulse p β := L β = 1, 2,..., f q β d.h. aus L = L(q α, q α, t) folgen die generalisierten Impulse p β = p β (q α, q α, t) Umstellen liefert q α = q α (q β, p β, t). 149

150 Wir untersuchen jetzt das totale Differential der Lagrange-Funktion dl = = = f ( α=1 L q }{{} α = d L dt qα = pα dq α + L q }{{} α p α f ( p α dq α + p α dq α ) + L t dt α=1 ) dq α + L t dt f [ p α dq α + d(p α q α ) q α dp α ] + L t dt α=1 d.h. d ( f α=1 p α q α L ) } {{ } H = f α=1 ( p α dq α + q α dp α ) L t dt Offensichtlich hängt H von q α, p α und t ab, d.h. wir sind durch eine sogenannte Legendre- Transformation zu einer neuen Funktion mit neuen Variablen gekommen, das ist die Hamilton-Funktion des Systems H = H(q α, p α, t) = f α=1 p α q α L Bemerkung: Erinnerung 3.2.3, dort wurde bereits gezeigt, daß für skleronome Bedingungen H gerade die Energie des Systems darstellt. 150

151 Das vollständige Differential der Hamilton-Funktion ist gegeben durch dh = f α=1 ( H dq α + H ) dp α + H q α p α t dt Koeffizientenvergleich liefert p α = H, q α q α = H p α Hamiltonsche oder kanonische Gleichungen H t = L t D.h. wir haben jetzt 2f gewöhnliche DGL 1. Ordnung als Bewegungsgleichungen für die 2f unbekannten Funktionen q α (t) und p α (t). Energieerhaltung: dh dt = = f ( H α=1 α=1 q α p α dq α dt + H p α qα f ( p α q α + q α p α ) + H }{{} t 0 dp ) α + H dt t Hängt die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit ab, ist sie Erhaltungsgröße. H t = 0 dh dt = 0 H = E = const. (3.2.3) 151

152 Lösungsstrategie (i) formuliere die Zwangsbedingungen (ii) finde die verallgemeinerten Koordinaten (iii) drücke T und V durch die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten aus (iv) bestimme die generalisierten Impulse p j = T q j (v) eliminiere damit die q j und bilde die Hamilton-Funktion H(q 1,..., q f, p 1,..., p f ) = T + V (vi) identifiziere eventuelle zyklische Koordinaten, die zugehörigen (zeitlich konstanten) Impulse können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden (vii) stelle für alle (nicht zyklischen) Variablen die Bewegungsgleichungen auf H = p j, q j H p j = q j und löse sie (viii) transformiere zurück auf die ursprünglichen (anschaulichen) Koordinaten 152

153 Beispiel: Gleiten auf schräger Schiene im Schwerefeld der Erde (i) y = 0, Nebenbedingung: z + x tan α = 0 (ii) generalisierte Variable: Weg s des Massenpunktes. Es gilt: x = s cos α, y = 0, z = s sin α (iii) ẋ = ṡ cos α, ẏ = 0, ż = ṡ sin α T = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) = m 2 (ṡ2 cos 2 α + ṡ 2 sin 2 α) = m 2 ṡ2 V = mgz = mgs sin α (iv) generalisierter Impuls p = T ṡ = mṡ (v) Hamilton-Funktion H = T + V = p2 mgs sin α 2m (vi) In diesem Beispiel gibt es keine zyklischen Koordinaten, d.h. es gibt keine zeitlich konstanten Impulse 153

154 (vii) Bewegungsgleichungen H = ṗ mg sin α = ṗ s H p = ṡ p m = ṡ Integration liefert: p(t) = p 0 + (mg sin α)t t s(t) = s p(t ) m dt = s 0 + p 0 m t + (g sin α)t2 2 Wir wählen die Anfangsbedingungen p 0 = s 0 = 0, damit erhalten wir die Bahnkurve durch Rücktransformation r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (cos α, 0, sin α)(g sin α) t2 2 Bemerkung: Es gilt die Energieerhaltung H = p2 mgs sin α 2m mit p = (mg sin α)t s = (g sin α) t2 2 (Spezielle Anfangsbedingungen) 154

155 gilt H = m2 g 2 sin 2 α t 2 mg 2 sin 2 α t2 2m 2 = 0 = const. 4.3 Poisson-Klammern Wir betrachten eine physikalische Größe A = A(q α, p α, t), wobei für q α, p α die kanonischen Gleichungen q α = H, p α p α = H q α gelten, dann gilt: da dt = = f α=1 f α=1 ( A q α + A ) p α + A q α p α t ( A H A ) H + A q α p α p α q α t Wir definieren die Poisson-Klammer {A, B} zweier Größen A und B durch {A, B} = f α=1 ( A B A ) B q α p α p α q α damit lautet die Bewegungsgleichung für A da dt = {A, H} + A t Speziell für A = q α bzw. A = p α gilt dann offensichtlich p α = {p α, H}, q α = {q α, H} kanonische Gleichungen in symmetrischer Form 155

156 Für die Poisson-Klammern gelten folgende Regeln {A, B} = {B, A} {(A + B), C} = {A, C} + {B, C} {AB, C} = A {B, C} + {A, C} B {A, p α } = A q α, {A, q α } = A p α {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0 (Jacobi-Identität) {q α, p β } = δ αβ {q α, q β } = {p α, p β } = 0 (Beweis: Übung) Falls A Erhaltungsgröße ist, gilt 0 = da dt = {A, H} + A t D.h. falls A nicht explizit von der Zeit abhängt, ist A Erhaltungsgröße, wenn {A, H} = 0. Wir betrachten d dt {A, B} = {{A, B}, H} + {A, B} t 156

157 mit {{A, B}, H} + {{H, A}, B} + {{B, H}, A} = 0 Jacobi folgt {{A, B}, H} = {A, {B, H}} + {B, {H, A}} = {A, {B, H}} + {{A, H}, B} ferner gilt { } { A {A, B} = t t, B + A, B } t so daß insgesamt Daraus folgt das { } { d A {A, B} = {A, {B, H}} + {{A, H}, B} + dt t, B + A, B } t { } { } ( = {A, H} + A ) (, B + A, {B, H} + B ) }{{ t }}{{ t } da db dt dt Poisson-Theorem { } { d da {A, B} = dt dt, B + A, db } dt D.h. falls A und B Erhaltungsgrößen sind da dt = db dt = 0 gilt dies auch für die Poisson-Klammer von A und B d {A, B} = 0 {A, B} = const. dt Damit kann man gegebenenfalls neue Bewegungsintegrale für ein System finden. 157

158 5 Spezielle Relativitätstheorie 5.1 Grundlagen Michelson-Experiment - Lorentzkontraktion 1864: theoretisches Fundament des Elektromagnetismus = Maxwell-Gleichungen, diese verknüpfen im Vakuum das elektrische Feld E mit dem Magnetfeld B, der elektrischen Ladungsdichte ρ sowie der elektrischen Stromdichte j: B = 0 E + B = 0 E = 1 ɛ 0 ρ B 1 c 2 E = µ 0 j wobei µ 0 = 4π 10 7 V s Am, ɛ 0 = 8, As V m, ɛ 0 µ 0 = 1 mit c = m c 2 s. Bemerkungen: Die Maxwell-Gleichungen enthalten die Lichtgeschwindigkeit c als Naturkonstante! spezielle Lösung der Maxwell-Gleichungen: elektromagnetische Wellen (Lichtwellen), die sich im Vakuum mit c ausbreiten 158

159 Probleme: Nach der Galilei-Transformation sollten sich Geschwindigkeiten linear addieren: t = t r = r vt r = r v v v v... Geschwindigkeit des gestrichenen Systems v... Geschwindigkeit im gestrichenen System v... Geschwindigkeit um ungestrichenen System d.h. der Beobachter sollte die Lichtgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Bewegungszustand der Lichtquelle messen können Medium, in dem sich Lichtquellen ausbreiten? (z.b. Schallwellen = Druckschwankungen) Hypothese: Licht breitet sich im Äther aus, eine Substanz die den leeren Raum sowie andere Materie ausfüllt und durchdringt. 159

160 Bewegung der Erde relativ zum Äther? 1881 Michelson-Experiment in Potsdam (später genauer in den Zeiss-Werken in Jena) Zeit, die das Licht von P zu S 1 braucht: t 1 = l 1 + x c In dieser Zeit bewegt sich das Interferometer um x (mit v) t 1 = x v x v = l 1 + x c ( c ) x v 1 = l 1 x = l 1 v c 1 v c 160

161 Beim Rückweg kommt P dem Licht um die Strecke x entgegen t 1 = l 1 x c t 1 = x v l 1 v c x = 1 + v c Gesamtweg des Lichts: L 1 = l 1 + x + l 1 x l 1 v c = 2l 1 + l 1 v c 1 v c 1 + v c ( ) ( ) ( ) 2l 1 1 v2 + l v c 2 1 c + v2 l v c 2 1 c v2 c 2 = = 2l 1 1 v2 c 2 Strahlengang senkrecht zu v: 1 v2 c 2 Die Zeit, die das Licht von P zu S 2 braucht t 2 = l y 2 c ist gleich der Flugzeit des Spiegels t 2 = y v 161

162 l2 2 + y2 ( c 2 1 y 2 c 2 1 ) v 2 y 2 = = y2 v 2 = l2 2 c 2 y = l 2 l2 2 c ( ) v 2 c 2 v c 1 v2 c 2 Das Problem ist symmetrisch, d.h. der Gesamtweg lautet: L 2 = 2 l2 2 + y2 = 2 l l2 2 Damit ergibt sich die Wegdifferenz v 2 c 2 1 = 2l 2 1 v2 c 2 1 v2 c 2 S = L L = L 1 L 2 = 2l 1 1 v2 c 2 2l 2 1 v2 c 2 Einschub: Taylorentwicklung Satz von Taylor: Eine Funktion f sei in (x 0 α, x 0 +α), α > 0 (n+1)-mal differenzierbar. Dann gilt für x (x 0 α, x 0 + α) f(x) = n i=0 f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i + R n (x) i! mit R n (x) = f (n+1) (x 0 + β(x x 0 )) (x x 0 ) n+1 β (0, 1) (n + 1)! 162

163 Beispiele: f(x) = 1 x 0 = x f 1 (x 0 ) = (1 + x) 2 = 1 x=x0 f(x) = f (0) (x 0 )x 0 + f (1) (x 0 )x 1 + σ(x 2 ) = 1 x + σ(x 2 ) d.h. für x 1 gilt x 1 x 1 f(x) = x 0 = x f (x 0 ) = 1 2 (1 + x) 3 2 = 1 x=x0 2 f(x) = f (0) (x 0 )x 0 + f (1) (x 0 )x 1 + σ(x 2 ) = x + σ(x2 ) d.h. für x 1 gilt x 1 x 2 Anwendung hier: 1 1 v2 c v2 c 2 1 v2 c v 2 2 c 2 für v c für v c S = 2l 1 1 v2 c 2 2l 2 v 2 2(l 1 l 2 ) + 2l 1 1 v2 c 2 l 2 c 2 v 2 c 2 163

164 Wir rotieren den Versuchsaufbau um 90 (l 1 l 2 ) L 1 2l 2 L 2 2l 1 1 v2 c 2 1 v2 c 2 S = L L = L 2 L 1 2l 1 = 1 v2 c 2 2l 2 1 v2 c 2 2(l 1 l 2 ) 2l 2 v 2 c 2 + l 1 v 2 c 2 (, bezogen auf Lichtwellen) ( S) = S S l 1 v 2 c 2 + l 2 v 2 c 2 Für v > 0 sollte daher eine orientierungsabhängige Interferenz auftreten. Problem: Das Experiment findet keine Orientierungsabhängigkeit! Lösungsmöglichkeiten: a) Erde nimmt Äther mit (Michelson) widerspricht der Fixsternaberration (damals mit Äther erklärt): Wir müssen ein Fernrohr um α = arctan l L = arctan vt ct gegen die Senkrechte drehen, um einen Fixstern zu sehen. Nach einem halben Jahr: v v α α 164

165 b) Geschosshypothese: c c ± v widerlegt durch Doppelsternbeobachtung c) Kontraktion jedes Körpers in Bewegungsrichtung um einen Faktor x ( v ) 2 l = 1 (Lorentz 1892) c L 1 = 2l 1 1 v2 c 2 2l 1 1 v2 c 2 1 v2 c 2 = 2l 1 1 v2 c 2 damit S = L 1 L 2 2l 1 1 v2 c 2 2l 2 1 v2 c 2 S = L 2 (l 1 ) L 1 (l 2 ) 2l 1 1 v2 c 2 ( S) = S S = 0 2l 2 1 v2 c 2 Übereinstimmung mit dem Experiment! D.h. wir können das Konzept des Äthers beibehalten, wenn wir die Lorentzsche Kontraktionshypothese akzeptieren. Das Michelson-Experiment zeigt, dass die Messung einer absoluten Geschwindigkeit, d.h. der Bewegung relativ zum absoluten System des Äthers nicht möglich ist. Die Ätherhypothese kann (muss aber nicht) fallengelassen werden! Relativitätsprinzip (Einstein 1905) Alle Naturgesetze behalten ihre Gültigkeit in beliebigen Inertialsystemen. (hier: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, d.h. Maxwell-Gleichungen) 165

166 5.1.2 Zeitdilatation Die Galilei-Transformation r = r vt gilt nicht wegen der Lorentzkontraktion. Was ist mit t = t? Ist die Zeit absolut? Lichtpulsuhr: jetzt bewegt sich die Uhr mit v: Zeit, die das Licht von S 1 zu S 2 braucht: t = L 2 + y 2 c in dieser Zeit bewegt sich der Spiegel um y t = y v 166

167 Periode der bewegten Uhr y2 v 2 = L2 + y 2 ( c 2 1 y 2 v 2 1 ) c 2 = L2 c 2 y = L v c 1 v2 c 2 τ = 2t = 2y v = 2L c }{{} τ Eine bewegte Uhr läuft langsamer! 1 = 1 v2 c 2 τ 1 v2 c 2 Gilt das auch für andere Bewegungsrichtungen? Wir untersuchen eine parallel bewegte Uhr: Lorentz-Kontraktion L = L 1 v2 c 2 < L Lichtweg von S 1 zu S 2 S = L + x 167

168 Zeit für Hinweg t = L + x = x ( c v 1 x c 1 ) = L v c x = L 1 c v = L v c 1 v c Der Rückweg von S 2 zu S 1 verkürzt S = L x Zeit für Rückweg t = L x ( c 1 x v + 1 ) = L c c x = L 1 + c v = x v = L v c 1 + v c Der Gesamtweg beträgt: S = 2L + x x = L 1 v2 = L c 2 1 v2 c 2 2 = L 1 v2 c 2 τ = s c = 2L c }{{} τ ( 2 + v c 1 v c ( ) 2 1 v2 + v c 2 c 1 = 1 v2 c 2 v ) c 1 + v c ( 1 + v c 1 v2 c 2 τ 1 v2 c 2 ) v c ( ) 1 v c 168

169 Bemerkungen: Die Zeitdilatation ist unabhängig von der Bewegungsrichtung! Die Lorentz-Kontraktion ist essentiell für die konsistente Beschreibung der bewegten Uhr Zwillingsparadoxon Welcher Zwilling altert schneller, der auf der Erde oder einer im Raumschiff? Antwort: der auf der Erde (Achtung: Beschleunigung, ART) Ist der Effekt im Flugzeug meßbar? v 1000 km h v c 10 6 τ τ = 1 1 ( v ) v2 2 c c 2 Der Effekt ist mit einer Atomuhr leicht meßbar! Problem: Durch die Flughöhe kommt es zu einer veränderten Gravitation, wir brauchen daher die Allgemeine Relativitätstheorie. Abschätzung: E pot = mgh =! E kin = 1 2 mv2 1 ( v ) 2 gh = 2 c c h 10 km Die gravitative Zeitdilatation ist von gleicher Größenordnung wie die durch die Bewegung verursachte. 169

170 Höhenstrahlung Die Lebensdauer eines Myons beträgt ca. 2, s. Das entspricht einer Fluglänge von maximal s = c τ 660 m. Der Nachweis erfolgt daher nur aufgrund der Zeitdilatation! Lorentz-Transformation Die Lorentz-Kontraktion und die Zeitdilatation sind Ausdruck desselben Effekts! Beispiel: Myonenzerfall Im System der Erde ist die Fluglänge durch die Zeitdilatation verlängert: 1 x x = x 1 v2 c 2 Im (bewegten) Ruhesystem des Myons ist x durch die Lorentzkontraktion verkürzt: x x 1 v2 c 2 = x = x Wir suchen eine Transformation, die konsistent vom bewegten ins ruhende Bezugssystem transformiert. 170

171 Forderungen an die Transformation: a) Homogenität und Isotropie des Raumes b) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c) Relativitätsprinzip Homogenität des Raumes: Falls ein Körper in S die konstante Geschwindigkeit u hat, ist u in S ebenfalls konstant. D.h. die Transformation ist linear: x = a 11 x + a 12 t + c 1 t = a 21 x + a 22 t + c 2 y = y z = z o.b.d.a. wegen v e x Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelten außerdem t 0 = t 0 = 0 x 0 = x 0 = 0 c 1 = c 2 = 0 171

172 Damit x = a 11 x + a 12 t t = a 21 y + a 22 t Speziell für die Bewegung des Koordinatenursprungs von S ergibt sich: x = 0 = a 11 x + a 12 t a 12 a 11 = x t = v a 12 = a 11 v x = a 11 (v)x a 11 (v) v t = a 11 (v)(x v t) ( ) Relativitätsprinzip: Wir können auch annehmen, daß S in Ruhe ist und sich S mit v bewegt. Daher muß in Analogie gelten x = a 11 ( v)(x ( v)t ) ( ) Zeitspiegelung in S t t ändert v = d x dt v v läßt x unverändert x x d.h. x = a 11 (v)x + a 12 (v)t t = a 21 (v)x + a 22 (v)t x = a 11 ( v)x a 12 ( v)t t = a 21 ( v)x a 22 ( v)t 172

173 Mit x = x, t = t (Zeitspiegelung in S ) folgt: a 11 ( v) = a 11 (v) a 12 ( v) = a 12 (v) a 21 ( v) = a 21 (v) a 22 ( v) = a 22 (v) a 11 = a 11 (v 2 ), hängt nicht vom Vorzeichen von v ab. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: t = t = 0, S fällt mit S zusammen. Wir senden einen Lichtblitz aus. Dieser erreicht in S zum Zeitpunkt t den Ort x x = ct und in S zum Zeitpunkt t den Ort x x = ct Damit in ( ) x = a 11 (v 2 )(x vt) = a 11 (v 2 )x x c ( 1 v ) c und in ( ) ( x = a 11 (v 2 )(x + vt ) = a 11 (v 2 )x 1 + v ) c x c ( = a 11 (v 2 )a 11 (v 2 )x 1 + v ) ( 1 v ) c c 173

174 a 2 11 = 1 1 v2 c 2 d.h. a 11 = v a 12 = a 11 v = 1 v2 c v2 c 2 x = x vt 1 v2 c 2 Damit in ( ) x = a 11 x + vt d.h. t = 1 ( ) x x v a 11 = 1 v = 1 v ( 1 v2 c 2 x 1 v2 c 2 ) x x + vt 1 v2 c 2 x vt 1 v2 c 2 t = t v x c 2 1 v2 c 2 Lorentz-Transformation mit v = v e x x = x vt 1 v2 c 2 t = t v x c 2 1 v2 c 2 y = y, z = z x = x + vt 1 v2 c 2 t = t + v x c 2 1 v2 c 2 y = y, z = z 174

175 nichtrelativistischer Grenzfall v c: v2 2 c c 2 es ergibt sich die Galilei-Transformation: v 2 v 4 c } {{ } 0 x = x vt t = t y = y, z = z Addition von Geschwindigkeiten? In S gilt: x = ut ( ) In S gilt mit x = x vt 1 v2 c 2 und t = t v c 2 x : 1 v2 c 2 u = x t = x vt t v c 2 x 175

176 Additionstheorem der Geschwindigkeiten u ( ) = u v 1 vu c 2 Bemerkungen: speziell u = c: u = c v 1 v c = c d.h. c ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit (Ergebnis ändert sich nicht bei v v!) speziell v c: u = u v (Galilei-Transformation) 5.2 Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit Meßvorschriften und Gleichzeitigkeit Galilei/Newton: absolute Zeit, wir können Gleichzeitigkeit festlegen mittels eines idealen starren Körpers (unendlich große Signalgeschwindigkeit) SRT: Lorentz-Transformation verknüpft Raum und Zeit Zeitpunkte Raumpunkte Ereignispunkte in der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit Es ist daher eine sorgfältige Definition von Meßvorschriften und des Begriffs Gleichzeitigkeit erforderlich. 176

177 (i) Zeitmessung Wir betrachten eine bewegte Uhr, der Beobachter ruht in S. cot ϑ = v c ϑ = arccot v c Wir betrachten das System S 0, in dem die Uhr ruht. Die t 0 -Achse ist daher parallel zur Weltlinie der Uhr. Lorentz-Transformation: t 0 = t v x c 2 1 v2 c 2 Die x 0 -Achse ist definiert durch t 0 = 0 ct = v c x tan ϕ = v c ϕ = arctan v c 177

178 Wir betrachten Ereignisse in S und S 0, z.b. zweimaliges Schlagen der Uhr (E 1, E 2 ) Die Zeitdifferenz zwischen E 1 und E 2 hängt vom Bezugssystem und von der Meßvorschrift ab. Annahme: synchronisierte Uhren bei x E1 und x E2 ruhen in S. LT: t E1 = t 0,E 1 + v x c 2 0,E 1 v2 c 2 t E2 = t 0,E 2 + v x c 2 0,E 1 v2 c 2 t E2 t E1 = t 0,E 2 t 0,E1 1 v2 c 2 ( ) Zeitdilatation 178

179 Annahme: Rückmeldung von E 2 bei x E2 an x E1 ist erforderlich Die Signallaufzeit t = x E 2 x E1 c muß addiert werden. LT: x E1 = x 0,E + vt 0,E1 1 v2 c 2 x E2 = x 0,E + vt 0,E2 1 v2 c 2 t 0,E2 t 0,E1 t = v c 1 v2 c 2 Damit ergibt sich die Zeitdifferenz für einen bei x E1 ruhenden Beobachter τ E2 E 1 = t E2 t E1 + t ( ) = (t 0,E2 t 0,E1 ) 1 + v c }{{} τ 0,E2 1 v2 E 1 c 2 = τ 0,E2 E v c 1 v c ( ) Bemerkung: Wir betrachten eine Frequenz f 0 = 1 τ 0,E2 E 1 f = 1 τ E2 E 1 f = τ 0,E 2 E 1 τ E2 E 1 f 0 relativistischer Dopplereffekt f = 1 v c 1 + v f 0 c f 0... Frequenz der ruhenden Quelle f... Frequenz, die dem Beobachter erscheint, wenn die Quelle sich mit v fortbewegt. 179

180 Beispiel: Rotverschiebung der Spektren von Sternen, die sich von der Erde entfernen Wir betrachten den nichtrelativistischen Grenzfall: f v c 1 ( 1 1 v 2 c 1 v c 1 1 v 2 c v c ) 2 f 0 ( 1 1 v 2 c v c v 2 c 2 }{{} 0 ) f 0 Nichtrelativistische Ableitung: f = v f 0 c Längenmessung (1D, Länge l) Beobachter ruht in S Körper bewegt sich mit v in S, ruht in S 0 Variante a) Der Körper leuchtet kurz bei t 0,E auf, d.h. die Messung ist gleichzeitig in S 0, aber nicht gleichzeitig in S. E 1, E 2... Endpunkte des Körpers 180

181 LT: l 0 = 1 v2 c 2 l l 0 < l Die gleichzeitig gemessene Länge ist kürzer. Variante b) Der Körper leuchtet ständig und wird im System S fotografiert, d.h. die Messung ist gleichzeitig in S, aber nicht gleichzeitig in S 0. LT: l 0 = 1 l 1 v2 c 2 l 0 > l Die gleichzeitig gemessene Länge ist kürzer. 181

182 Variante c) Der Körper wird mit einem Lichtblitz aus S angestrahlt und wir messen das gestreute Licht, d.h. die Messung ist weder in S noch in S 0 gleichzeitig. Der Lichtblitz erreicht Anfangs- und Endpunkt des Körpers zu verschiedenen Zeiten. LT: l 0 = 1 v c 1 + v l c l 0 < l Die gemessene Länge l ist von der Meßvorschrift abhängig! 182

183 5.2.2 Kausalität von Ereignissen Wir entsenden einen Lichtblitz bei x = 0, t = 0. (i) Bereich der Raum-Zeit, den wir beeinflussen können (ii) Ereignispunkte, von denen wir Nachrichten empfangen können (iii) Ereignispunkte, mit denen wir nicht kommunizieren können Der kausale Bereich wird beschrieben durch s 2... Abstand in der Raum-Zeit s 2 Lorentz-transformiert: c 2 t 2 x }{{} 2 > 0 t > 0 =:s 2 o.b.d.a Lorentz-Transformation in x-richtung (sonst Rotation des Koordinatensystems) s 2 = c 2 t 2 x 2 183

184 mit x = x vt 1 v2 c 2 und t = t v c 2 x 1 v2 c 2 folgt s 2 = c 2 t 2 x 2 = c2 t 2 2tvx + v2 x 2 c 2 1 v2 c 2 = ( ) (c 2 v 2 )t 2 x 2 1 v2 c 2 1 v2 c 2 = c 2 t 2 x 2 = s 2 x2 2tvx + v2t2 1 v2 c 2 s 2 ist Lorentz-invariant. Der kausale Bereich ist Lorentz-invariant. Die Kausalität der Welt wird durch die SRT nicht in Frage gestellt! 5.3 Relativistische Mechanik Masse und Energie Wir betrachten ein Atom im angeregten Zustand: Es geht durch Emission von 2 Photonen (Annahme: kein Impulsübertrag auf das Atom) in den Grundzustand über. 184

185 Energien der Photonen: L 0 1 = ω 1 L 0 2 = ω 2 ω... Kreisfrequenz... Plancksches Wirkungsquantum ( = 1, Js) Im Ruhesystem des Atoms gelte ω 1 = ω 2 = ω Die Energiebilanz lautet daher: E 0 = E 0 + 2L 0 mit L 0 = ω E 0... Energie des angeregten Atoms E 0... Energie des Atoms im Grundzustand Bis jetzt haben wir das Ruhesystem des Atoms betrachtet. Betrachten wir nun das Atom aus Sicht eines bewegten Beobachters: Der Beobachter sieht die Dopplerverschiebung ω ± = 1 ± v c ω 1 v2 c 2 L ± = ω ± = }{{} ω 1 ± v c = L 0 1 ± v c L 0 1 v2 1 v2 c 2 c 2 185

186 Für einen bewegten Beobachter lautet die Energiebilanz: E (v) = E(v) + L + + L = E(v) v c + 1 v c L 0 1 v2 c 2 E (v) E(v) = 2L 0 1 v2 c 2 wir subtrahieren E 0 E 0 = 2L 0 (E (v) E0) (E(v) E 0 ) }{{}}{{} Ekin (v) E kin (v) = 2L 0 Ekin (v)... kinetische Energie des angeregten Atoms E kin (v)... kinetische Energie des Atoms im Grundzustand E kin (v) E kin(v) = 2L v2 c v2 c 2 Die kinetische Energie ändert sich durch Emission der Photonen, trotz verschwindendem Impulsübertrag. Für v c 1 gilt: E kin 1 2 m 0v 2 E kin 1 2 m 0v v v2 2 c 2 c 2 damit 1 2 v2 (m 0 m 0 ) }{{} m = 2L 0 1 v 2 2 c 2 186

187 m = 2L 0 c 2 = E 0 E 0 c 2 = E 0 c 2 Interpretation als: E 0 = m 0 c 2... Energieinhalt des ruhenden Systems vorhin Taylorentwicklung: E (v) E(v) = 2L 0 1 v2 E (v) = = c 2 2L 0 = mc 2 m 0 c2 m 0 c 2 1 v2 c 2 m 0 c2 1 v2 c 2 E(v) = 1 1 v 2 = v2 2 c v 4 ( ) v 6 8 c 4 + σ c 6 c 2 m 0 c 2 1 v2 c 2 E(v) = m 0 c m 0v m v 4 0 c m 0 c 2... Ruheenergie 1 2 m 0v 2... nichtrelativistische kinetische Energie 3 8 m 0 v4 c relativistische Korrekturen 187

188 5.3.2 Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse vorhin: E(v) = m 0c 2 = m(v)c 2 mit m(v) := 1 v2 c 2 m 0 1 v2 c 2 Ist die Interpretation von m(v) als geschwindigkeitsabhängige träge Masse sinnvoll? de = dw = F dx = IV.1 dp dt F = dp dt dx = dpdx dt = dp v E = mc 2 = p v c2 ( ) de (= dp v) p v EdE = c 2 p v vdp = c2 pdp Integration liefert E 2 = c 2 p 2 + E 2 0 E 0... Integrationskonstante mit p = Ev c 2 ( ) E 2 = E2 v 2 c 2 + E 2 0 ( ) E 2 1 v2 c 2 = E0 2 d.h. E(v) = mc 2 m(v) = E 0 1 v2 c 2 E 0 c 2 1 v2 c 2 188

189 speziell m(v = 0) = m 0 = E 0 c 2 : geschwindigkeitsabhängige, träge Masse m(v) = m 0 1 v2 c 2 189