Funktionen und Gleichungssysteme

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1 4.6 Die Umkehrfunktion 4.6. Die Funktion und ihre Umkehrung AD 4.98 Stelle die Funktion f: = 5 3 im Intervall [ 3; 5] grafisch dar. Ermittle die Gleichung der Umkehrfunktion f. Erkläre anhand einer grafischen Darstellung den Zusammenhang der beiden Funktionen f und f. Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du den egriff der Umkehrfunktion kennen. Ist ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen als Funktion f gegeben, kann man der unabhängigen Variablen immer eindeutig einen Funktionswert f zuordnen. Vertauscht man die f() f abhängigen und unabhängigen Variablen, dann besteht bei linearen D W W D Funktionen wieder eine eindeutige Zuordnung. Funktion f Umkehrfunktion f Die so entstandene Funktion heißt Umkehrfunktion und wird mit f bezeichnet. Die Funktion f: D W mit = f() ordnet jedem D eindeutig ein W zu. Vertauscht man W mit D und kann jedem eindeutig ein zugeordnet werden, so entsteht die Umkehrfunktion f von f. Man kann die Umkehrfunktion aus der Funktionsgleichung berechnen.. Schritt: wird eplizit ausgedrückt (dh. wird frei gestellt). Man erhält die Gleichung der Umkehrfunktion: f : = Schritt: Hat man es nur mit den Koordinaten von Punkten zu tun und nicht mit Größen aus Alltag, Naturwissenschaft oder Wirtschaft, dann ändert man die Achsenbeschriftung im 4 Koordinatensstem nicht, sondern vertauscht die 3. Mediane Variablen und in der Gleichung der Umkehrfunktion. f f : = Dies hat den Vorteil, dass man beide f Funktionsgraphen in ein gleich bezeichnetes Koordinatensstem zeichnen kann. Man kann an der grafischen Darstellung beider Funktionen erkennen, dass die Umkehrfunktion die Spiegelung der Funktion an der ersten Mediane ( = ) ist Das Vertauschen von und entspricht im Koordinatensstem einer Spiegelung des Graphen an der. Mediane, die durch die Gleichung = beschrieben wird. 44 Funktionale Zusammenhänge

2 4.99 Zeichne die Funktion f: = _ 3 + in ein Koordinatensstem. a) erechne die Gleichung der Umkehrfunktion und stelle sie grafisch im gleichen Koordinatensstem dar. b) Zeichne die. Mediane ebenfalls in dieses Koordinatensstem ein. c) Lies den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen ab. Was fällt dir auf? Lösung: N P -7-8 F a) = ( ) 3 = 3 6 Es handelt sich um Punkte im Koordinatensstem, daher gilt: f : = 3 6 grafisch: grüne Gerade b). Mediane: rot strichlierte Linie. c) Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (3 3). Dieser Punkt liegt auf der. Mediane, weil und den gleichen Wert haben. Es fällt auf, dass der Graph der Umkehrfunktion eine Spiegelung des Funktionsgraphen an der. Mediane ist. AC 4. Untersuche, ob im Intervall [ ; ] zur Funktion f() = eine Umkehrfunktion eistiert. D Um die Aufgabe zu lösen, erstellen wir eine Wertetabelle im angegebenen Intervall Der gespiegelte Graph stellt keine Funktion dar, da zu jedem > zwei -Werte eistieren. Wenn wir den Definitions bereich von = auf R + beschränken, dann liegt eine Funktion vor, da zu jedem genau ein -Wert eistiert. Der an der. Mediane gespiegelte Graph von f stellt nur dann eine Funktion dar, wenn der Definitionsbereich von f so eingeschränkt wird, dass einem -Wert nicht unterschiedliche -Werte zugeordnet werden können Spiegle den gegebenen Graphen an der. Mediane. Argumentiere, ob die Umkehrung eine Funktion ist. Gib die Gleichungen beider Graphen an. a) b) D Funktionale Zusammenhänge 45

3 AD AD Aufgaben : Stelle jeweils die Funktion und deren Umkehrung in einem gemeinsamen Koordinatensstem grafisch dar. eurteile, ob eine Umkehrfunktion vorliegt; wenn ja, gib deren Funktionsgleichung an. 4. a) = 5 b) = c) = + d) = a) = + b) = 3 c) = _ d) = Anwendung der linearen Umkehrfunktion: die Nachfragefunktion AC 4.4 Die Preis-Funktion der Nachfrage für Eprouvetten beschreibt den Stückpreis in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge durch die Funktion p() = 4... Absatzmenge in Stück p()... Stückpreis bei einem Absatz von Stück in Euro ( ). a) Stelle die Funktion und die Umkehrfunktion grafisch jeweils in einem passend skalierten Koordinatensstem dar. Lies die Gleichung der Umkehrfunktion N (p) aus der Grafik ab. b) erechne die Gleichung der Umkehrfunktion. c) eschreibe in Worten, welchen Zusammenhang diese Umkehrfunktion angibt. Was musst du wissen, um diese Aufgabe lösen zu können? Die Preisfunktion der Nachfrage p beschreibt die Abhängigkeit des Preises für eine Mengeneinheit einer Ware, wobei die Ware billiger wird, je mehr abgesetzt wird. Die Umkehrung dieser Funktion ordnet dem Stückpreis die dabei zu erwartende Absatzmenge zu und ergibt die so genannte Nachfragefunktion N = p. Um diesen Sachverhalt deutlich auszudrücken, stellt man die beiden Funktionen besser getrennt mit vertauschten Achsen dar. Erstelle für die gegebene Gleichung im eingangs gewählten eispiel eine Wertetabelle mit beliebigen -Werten für die Funktion p: 5 5 p() 4 3 a) Wenn wir die Elemente vertauschen, dann erhält man die Umkehrfunktion p. p 4 3 N (p) N (p) in Stück N = p Die Umkehrfunktion lässt sich grafisch in einem Koordinatensstem darstellen. Ablesen der Umkehrfunktion d =, k = = _ p : N (p) =,5p + p in /Stück Man unterscheidet in der Wirtschaft zwischen der Preisfunktion p N der Nachfrage der Konsumenten und der Preisfunktion p A des Angebots der Produzenten. In diesem uch behandeln wir ausschließlich die Preisfunktion der Nachfrage, daher verzichten wir bei p auf den Inde N. Den Inde N verwenden wir aber bei der Umkehrfunktion N, damit auf die Nachfragemenge als abhängige Variable hingewiesen wird. 46 Funktionale Zusammenhänge

4 b) Man kann die Umkehrfunktion aus der Funktionsgleichung berechnen, dh. in unserem Fall die Nachfragefunktion aus der Preisfunktion der Nachfrage ermitteln. wird eplizit ausgedrückt, dh. wird frei gestellt und mit N bezeichnet. Man erhält die Gleichung der Umkehrfunktion: p : N = p 4 =,5p + c) Die Umkehrfunktion (= Nachfragefunktion) gibt die nachgefragte Absatzmenge N in Mengeneinheiten (ME) als abhängige Variable bei einem Stückpreis von p in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) an. 4.5 Es werden Kilogramm (kg) eines Rohstoffs gekauft. Der Preis pro kg ändert sich linear in Abhängigkeit von der Verkaufsmenge. Zu eginn bei = beträgt der Preis je kg 5. ei einer Verkaufsmenge von kg beträgt der Preis je kg 43. Stelle die Gleichungen der Preisfunktion der Nachfrage und die ihrer Umkehrfunktion auf. Zeichne den Graphen der Nachfragefunktion in ein passend skaliertes Koordinatensstem. 4.6 Es werden Liter (l) einer Flüssigkeit gekauft. Der Preis pro l ändert sich linear in Abhängigkeit von der Verkaufsmenge. ei einem Preis von werden 5 l des Produkts nachgefragt. ei einem Preis von 8 können 7,5 l abgesetzt werden. Stelle die Gleichungen der Nachfragefunktion und ihrer Umkehrfunktion auf. Zeichne den Graphen der Preisfunktion der Nachfrage in ein passend skaliertes Koordinatensstem. ACD ACD Die Nachfragefunktion und daher auch die Preisfunktion der Nachfrage haben zwei besondere Stellen. Der Preis, bei dem der Käufer nicht mehr bereit ist, die Ware zu kaufen, wird als Höchstpreis p H bezeichnet. Er lässt sich z beim Schnittpunkt der Nachfragefunktion mit der p-achse ablesen. erechnen kann man den Höchstpreis über die Nullstelle der Nachfragefunktion N (p) = oder als Wert der Preisfunktion der Nachfrage mit p(). Die höchste Menge, die abgesetzt werden kann, wird durch die volle Sättigung des edarfs festgelegt und heißt Sättigungsmenge S. Sie ist die Nullstelle der Preisfunktion der Nachfrage oder kann auch als Wert N () der Nachfragefunktion verstanden werden. Die beiden Skizzen verdeutlichen den Zusammenhang. 4 p () in GE/ME Höchstpreis 4 N (p) in ME 3 3 p Sättigungsmenge in ME 3 Sättigungsmenge N = p Höchstpreis p in GE/ME Funktionale Zusammenhänge 47

5 ACD 4.7 Die Nachfrage N nach einem bestimmten Produkt hat die Sättigungsmenge S bei 5 Mengeneinheiten (ME). Der höchste Preis pro ME (Preis bei = ) beträgt 6 Geldeinheiten (GE). a) Stelle die Funktion N grafisch dar und ermittle mithilfe des Steigungsdreiecks die Funktionsgleichung. b) erechne die Gleichung der Preisfunktion der Nachfrage und berechne daraus deren Umkehrfunktion N. Vergleiche mit der Ablesung in a). Lösung:... nachgefragte Menge in ME p()... Preis der Nachfrage pro ME in GE/ME a) 5 4 N (p) in ME 4,5 3 k =,35; d = 5 N (p) =,35p + 5 b) p() = k + d k = 6 : 5 = 3, d = 6 p() = 3, + 6 p in GE/ME Durch Umformung erhält man: N (p) =,35p + 5 Man erhält durch Ablesung und erechnung das gleiche Ergebnis für N (p). AC 4.8 erechne die Sättigungsmenge der Nachfrage, bei der der Preis null wird. Stelle die gegebene Funktion p grafisch dar und zeichne die Sättigungsmenge ein. estimme die Gleichung der Nachfragefunktion. a) p() = _ b) p() =,5 c) p() = + 4 d) p() =,5 + 5 e) p() = f) p() = Funktionale Zusammenhänge

6 4.7 Der Schnittpunkt von zwei Funktionsgraphen isher haben wir den Schnittpunkt zweier Graphen stets aus der Zeichnung abgelesen. Nun suchen wir eine Methode, wie man ihn berechnen kann Gleichsetzungsverfahren 4.9 Ton und Jim kaufen je ein gebrauchtes Motorrad. Tons Motorrad kostet.5 und hat einen Spritverbrauch von 5 Liter pro km. Jims Motorrad kostet.9 und hat einen Spritverbrauch von 6 Liter pro km. Liter enzin kostet,4. Vergleiche mithilfe einer Grafik die Kosten für das Motorrad und den Spritverbrauch bei Ton und Jim für Fahrten bis 5 km. erechne, bis zu welcher Strecke Jim mit dem billigeren Motorrad trotz des höheren Spritverbrauchs preislich günstiger, gleich und weniger günstig als Ton abschneidet. AC Du stellst am besten die Funktionsgleichungen der Kosten für beide Motorräder auf.... Fahrstrecke in Kilometer (km) f(), g()... Kosten für km in Euro ( ) 4 f(), g() in Ton: f() = 5 +,5,4 = 5 +,7 Jim: g() = 9 +,6,4 = 9 +,84 Die Grafik ergibt, dass Jim bis ungefähr 5 km günstiger ist, bei ca. 5 km sind beide gleich, nach 5 km wird es für Ton günstiger. ei 5 km beträgt der Kostenunterschied ungefähr 5. Die Ablesung des Schnittpunkts aus der Grafik ist ungenau. Darum berechnen wir den Schnittpunkt der beiden Geraden, die wir in Normalform dargestellt haben: f: = 5 +,7 g: = 9 +, Jim Ton in km 5 5 Es liegt ein Gleichungssstem mit Variablen vor. Für den Schnittpunkt gilt, dass die Funktionswerte beider Funktionen übereinstimmen müssen. Daher kann man beide -Terme einander gleichsetzen. Dieses Verfahren heißt Gleichsetzungsverfahren oder Komparationsmethode. 5 +,7 = 9 +,84,7 9 6 =,4 = 4 85, ,7 f(4 85,7) = g(4 85,7) = 55 Die Kosten betragen für Ton und Jim gleich viel, nämlich.55, wenn beide Motorräder ca. 4 85,7 km zurückgelegt haben. Funktionale Zusammenhänge 49

7 Lösung des Gleichungssstems mittels Technologieeinsatz: Grafisches Verfahren: I: = 5 +,7 II: = 9 +,84 TI_Nspire: eide Funktionsgleichungen im Grafikfenster eingeben. MENU/ graphs/6 Grafik analsieren/ 4 Schnittpunkt/enter/ untere Grenze und obere Grenze eingeben/ enter. Die Anleitung für die Lösung von Gleichungssstemen bei TI8-84, Ecel und Geogebra-CAS siehe (Schulbuch Plus für Schüler/innen) Eine lineare Gleichung mit Unbekannten kann als Gleichung einer linearen Funktion (bzw. einer Geraden) interpretiert werden. Werden für zwei Variablen zwei edingungen formuliert, so erhält man in mathematischer Schreibweise zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Sie bilden gemeinsam ein Gleichungssstem. Die Gleichungen werden oft mit I und II gekennzeichnet. Gibt es für ein lineares Gleichungssstem mit zwei Variablen ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt, so nennt man es Lösung des Gleichungssstems. Die lineare Gleichung, die man durch das Gleichsetzen der beiden Funktionsterme erhält, hat 3 unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten: Eine eindeutige Lösung: Die Graphen beider Funktionen schneiden einander. Keine Lösung: Die Graphen der beiden Funktionen liegen parallel zueinander. Alle Zahlen der Definitionsmenge sind Lösungen: Die beiden Graphen sind ident. AC 4. Ermittle grafisch den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen von: a) g () = + b) g () = + c) g () = + g () = 3 g () = + 3 g () = + Lösung: a) b) c) g II : = - 3 S(5 I 7) 5 5 g I : = - eindeutige Lösung: keine Lösung Alle Zahlen der = 5, = 7 Definitionsmenge sind Lösungen. + für alle D 5 Funktionale Zusammenhänge 4 3 g II 3 4 g I 4 3 g I = g II 3 4

8 Aufgaben 4. 4.: Der Graph der linearen Funktion f geht durch die Punkte A und. a) Ermittle die Schnittpunkte dieser Geraden mit beiden Koordinatenachsen. b) Ermittle die Gleichung jener Geraden, die durch den Ursprung und durch P( ) geht. c) Stelle die beiden Geraden grafisch dar und lies den Schnittpunkt ab. d) erechne den Schnittpunkt der beiden Geraden und überprüfe anhand der Grafik. 4. A( 4 5), (4 ) 4. A( 7), (5 ) 4.3 Zeichne die beiden Geraden und berechne ihren Schnittpunkt. a) I: = + b) I: = _ 4 II: = + 7 II: = Die Telefongesellschaft TWO bietet zwei verschiedene Tarife an. Tarif : Monatliche Grundgebühr 9, Gesprächsminute 9 Cent Tarif : Monatliche Grundgebühr 5, Gesprächsminute 5 Cent a) Erstelle die beiden annähernd linearen Tarif-Funktionen für ein Monat. b) Zeichne die beiden Funktionsgraphen. Lies aus der Grafik ab, wie viel Euro mehr jemand bezahlt, wenn er in einem Monat 6 Stunden telefoniert und den ungünstigeren Tarif gewählt hat. c) Interpretiere, was der Schnittpunkt im Sachzusammenhang aussagt. 4.5 Auf einer Kartbahn werden Tarife angeboten. Tarif : Minuten kosten inklusive Leihgebühr für den Helm und den Anzug. Tarif : Minuten kosten 9, die Leihgebühr für Helm und Anzug beträgt 4. a) Erstelle die Kostenfunktionen und zeichne sie. b) Ermittle durch erechnung und durch Ablesen aus der Grafik, für welche Fahrzeit welcher Tarif günstiger ist, wenn man Helm und Anzug benötigt. A A AC AC 4.7. Weitere Lösungsmethoden für ein Gleichungssstem Die Gleichsetzmethode und das grafische Verfahren sind nicht alle Möglichkeiten, wie man lineare Gleichungsssteme lösen kann. Die Lösungsverfahren durch Einsetzen und durch Eliminieren einer Variablen werden häufig benützt. Aber auch das algebraische Lösen des Gleichungssstems mittels Technologieeinsatz auch mit mehr als mit zwei Variablen ist hilfreich. Wir beschäftigen uns nun mit diesen drei Methoden für Gleichungsssteme mit Variablen. Einsetzungsverfahren (Substitutionsmethode) Eine Gleichung wird nach einer Unbekannten umgeformt. Der erhaltene Term wird in die andere Gleichung anstelle dieser Unbekannten eingesetzt. Dieses Verfahren eignet sich gut, wenn eine Variable einer Gleichung den Koeffizienten hat. Funktionale Zusammenhänge 5

9 4.6 Löse das Gleichungssstem mithilfe des Einsetzungsverfahrens. Führe die Probe durch. I: + 7 = 6 II: 4 = 3 Lösung: I*: = 6 7 In II: (6 7) 4 = = 3 8 = 8 = In I*: = 6 7 ( ) = 3 Lösung: = 3, = Probe: I: LS: ( ) = 6 II: LS: 3 4 ( ) = 3 Wir formen Gleichung I nach der Variablen auf die Gleichung I* um. In Gleichung II wird durch den Rechtsterm von I* ersetzt (substituiert). Wir erhalten eine lineare Gleichung mit der Variablen, deren Lösung wir berechnen. Um zu erhalten, wird die Lösung für in I* eingesetzt. LS = RS LS = RS Additions- oder Subtraktionsverfahren (Eliminationsmethode) Die Gleichungen werden mit geeigneten Zahlen so multipliziert, dass die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen sind. Anschließend werden sie addiert. Man kann auch so multiplizieren, dass die Koeffizienten einer Variablen gleich sind und die Gleichungen anschließend subtrahieren. 4.7 Löse das Gleichungssstem mittels Additionsverfahren. Führe die Probe durch. I: 4 3 = II: 3 + = 7 Lösung: I* = 3 I: 9 = 6 II* = 4 II: 8 = 8 I* + II*: 7 = = 6 In I: = = 5 Lösung: = 5, = 6 + Probe: I: LS: = LS = RS II: LS: = 7 LS = RS Es soll z wegfallen. Gleichung I wird mit 3 und Gleichung II mit ( 4) multipliziert, sodass die Koeffizienten und ( ), also Gegenzahlen sind. Die neuen Gleichungen werden addiert. Nun kann berechnet werden. Um zu erhalten, wird die Lösung für zum eispiel in Gleichung I eingesetzt. Das Rechenverfahren mit Technologieeinsatz I: 4 3 = II: 3 + = 7 TI-Nspire: Die Gleichungen werden im Calculator mit solve in eine Vorlage eingegeben. MENU/3 Algebra/ 7 Gleichungssstem lösen/ lineares G/Anzahl, Variablen,/OK 5 Funktionale Zusammenhänge

10 Falls das Sstem keine Lösung hat, dann erscheint die Meldung: keine Lösung gefunden Falls unendlich viele Lösungen vorliegen, dann erscheint die Lösung mit einer Formvariablen c. Es sind beliebige Zahlen einsetzbar! Lösen von Gleichungssstemen bei TI8-84, Ecel und Geogebra siehe (Schulbuch Plus für Schüler/innen) 4.8 Löse grafisch. a) I: = + b) I: = _ c) I: = 3 4 II: = + 7 II: = + II: = Zeige, wie man das folgende Gleichungssstem verändern müsste, damit es ) keine, ) unendlich viele Lösungen hat. Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: 3 + = 5 b) I: 6 4 = c) I: + = 3 II: = 5 II: 3 + = II: = 4. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: = 4 b) I: = c) I: 4 = 36 II: + = 4 II: 9 3 = 33 II: + 3 = 3 4. Löse mit dem Einsetzungsverfahren. Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: + = 8 b) I: 6r 5s = 7 c) I: 5t 3u = 3 II: 3 3 = 9 II: 3r + 4s = 6 II: t_ 8 + u_ = 4. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: + = b) I: 3 + = c) I: 6r + s = II: + = 7 II: = II: r + s = 3 d) I: v + s = 6 e) I: + = 3 f) I: 5a 3a = 4 II: 4v + 6s = 3 II: 3 = 6 II: a + a = Löse mit der Eliminationsmethode. Kontrolliere anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: 5a 6b = 7 b) I: + 8 = c) I: = II: a + 4b = II: = 6 II: 5 = 6 d) I: = 59 e) I: a + 7b = 79 f) I: 4 3 = 6 II: = 7 II: 33a 4b = 4 II: + = 7 AD Funktionale Zusammenhänge 53

11 CD CD CD 4.4 Überprüfe, ob das Gleichungssstem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat. Entscheide dies, bevor du das Gleichungssstem löst. egründe deine Vermutung. Löse das Gleichungssstem anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: 3 + = 7 b) I: + = c) I: 3 5 = II: _ 3 = _ II: 4 + = 3 II: _ Argumentiere, welches Lösungsverfahren jeweils das günstigste ist. Löse das Gleichungssstem danach mithilfe von Technologieeinsatz. a) I: = + 4 b) I: u : v = 3 : c) I: 3a + b = II: = 3 + II: u + 5v = _ II: 7a b = 3 d) I: 3 _ 4 + = e) I: = f) I: t = t II: 6 = 8 II: = + II: t = t 4.6 Gegeben sind die Geraden g und h. Trage in die Tabelle ein, welche Werte die Koeffizienten c und d in der Geradengleichung von h annehmen müssen, um die jeweils angegebene edingung zu erfüllen. g: _ 3 = h: 3 + c = d edingung c d g h = S, das heißt g und h schneiden einander. g h = { }, das heißt g und h sind parallel zueinander. g h = g = h, das heißt g und h sind ident. g h, das heißt g steht normal auf h Gleichungsssteme mit mehr als zwei Variablen Gleichungsssteme mit mehr als zwei Variablen kommen in der Prais vor, wenn man z die Lagebeziehung von Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreibt oder wenn Funktionen von mehr als einer Variablen abhängen, wie z die Temperatur eines Gases vom Volumen und vom Druck. Auch wenn man die Koeffizienten von Funktionen bestimmen muss oder Tete in Mathematik übersetzt, ergibt sich meist ein Gleichungssstem mit mehr als zwei Variablen. In solchen Fällen werden die Gleichungsssteme besser mit Technologieeinsatz gelöst. AC 4.7 ei einem Turnier erhalten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer, die die drei ersten Plätze einnehmen, Geldpreise. Alle drei Geldpreise machen zusammen 6. aus, der zweite und der dritte Preis zusammen 8. sowie der erste und der dritte Preis zusammen.. erechne, wie hoch der Geldpreis jeweils für den ersten, zweiten und dritten Platz dotiert ist. Zunächst werden die Variablen festgelegt: Im. Schritt werden die Gleichungen aufgestellt: Geldpreis für den. Platz, + + z = 6 Geldpreis für den. Platz, + z = 8 z Geldpreis für den 3. Platz + z = 54 Funktionale Zusammenhänge

12 Wir haben es mit einem Gleichungssstem mit drei Variablen zu tun und geben die Gleichungen in das Rechengerät ein, obwohl man diese Aufgabe im Prinzip im Kopf rechnen könnte: TI-Nspire: Calculator/3 Algebra /7 Gleichungssstem lösen/ Sstem lin Gl / Die Lösung:. Platz ist mit 8. sowie der. und der 3. Platz mit je 4. dotiert. Anleitung für die Eingabe von Gleichungssstemen bei TI8-84, Ecel und Geogebra-CAS siehe (Schulbuch Plus für Schüler/innen) erechne die folgenden Gleichungsssteme mithilfe von Technologieeinsatz. edenke, dass auch hier die drei unterschiedlichen Lösungsfälle (eine eindeutige Lösung, keine oder unendlich viele Lösungen) auftreten können und auch wie im vorherigen Abschnitt beschrieben angezeigt werden. 4.8 a) I: + = b) I: 3m n = 9 c) I: w + + z = 7 d) I: a c + d = 9 II: z = 5 II: k + m 4n = 6 II: + 5z = 3 II: 3b + e = III: z = 4 III: l m = 3 III: 3w 4z = III: c 5d = IV: k + 3l = 4 IV: w 3z = IV: a + e = V: b + 5d = 4.9 a) I: z = 4 b) I: 8,a 4,6b +,8c =, II: 6 + 3z = 58 II: 3,8a + 8,8b c = 4,8 III: z = 4 III:,76a,5b 7,9c =, Eine Firma verkauft adehosen, Sonnenhüte S und Liegen L. Nebenstehende Tabelle zeigt die Verkaufszahlen und Einnahmen von drei Monaten. S L Einnahmen Mai 5.876,9 Erstelle ein Gleichungssstem zur erechnung, wie viel jedes dieser Produkte kostet. erechne die Kosten pro Artikel. Juni Juli ,.64,5 4.3 Drei agger, und 3 werden eingesetzt, um drei gleich große augruben auszuheben. agger und agger brauchen 4 Tage, um die erste augrube auszuheben. ei der zweiten augrube wird agger zwei Tage allein und weitere vier Tage gemeinsam mit agger 3 eingesetzt, um die augrube auszuheben. ei der dritten augrube beginnen und, nach zwei Tagen werden sie durch 3 ersetzt und dieser hat nach vier weiteren Tagen die Aushubarbeiten beendet. Erstelle ein Gleichungssstem zur erechnung, wie lang jeder agger allein für das Ausheben einer augrube benötigt. Löse das Gleichungssstem. A A Funktionale Zusammenhänge 55