Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics. 10. Shadows. Sonja Barth & Martin Siebenborn. Proseminar Numerik

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1 Mathematics for 3D Game Programming & Computer Graphics 1. Shadows Sonja Barth & Martin Siebenborn Proseminar Numerik Prof. Schul

2 Übersicht 1. Verschiedene Techniken 2. Algorithmus Übersicht 3. Berechnung der Silhouette 4. Konstruktion des Schattenvolumens 5. Rendering 6. Notwendigkeit von Caps 7. Scissor Optimiation

3 1.Verschiedene Techniken light mapping: Schatten werden in Teturen gespeichert nur für statische Senen geeignet shadow mapping (1978): 2 Durchläufe Erstellung von shadow maps Vergleich mit Tiefenwerten der Senen neben stencil shadows wichtigste Methode, aber Aliasing- Probleme, nur direktionales Licht, Spotlights (Bsp. Toy Story) stencil shadow -Technik (1977)

4 Stencil shadows Grundidee: Jedes Objekt ereugt Schattenvolumen

5 Stencil buffer Verwendung des stencil buffers als Maskierungsmechanismus: Schnitt mit der Vorderseite des Schattenvolumens stencil buffer um 1 erhöht; bei Schnitt mit der Rückseite um 1 erniedrigt Beleuchtete Punkte haben Wert im stencil buffer, schattierte Punkte Wert ungleich

6 Mögliche Probleme (1) Endliches Schattenvolumen erreicht nicht alle Objekte der Sene bw. wird bei normaler Projektionsmatri durch bei normaler Projektionsmatri durch die far plane abgeschnitten erweitern Entfernung f ur far plane ins Unendliche und erhalten neue Projektionsmatri b t n l r l r l r n b t n l r l r l r n M frustum n f fn n f f b n t b t b t n lim M M frustum infinite n b t b t b t n f

7 Mögliche Probleme (2) Falsche Werte im stencil buffer wenn Kamera im Schattenvolumen oder Schattenvolumen durch die near plane abgeschnitten Hinufügen von Caps um geschlossene Oberfläche u ereugen Front Cap: unveränderte Scheitelpunkte dem Licht ugewandter Dreiecke; Back Cap: Verlängerung der Scheitelpunkte dem Licht abgewandter Dreiecke Schnitt mit Rückseite: +1 Schnitt mit Vorderseite: -1 teurere Technik, daher Test auf Notwendigkeit durchführen ( 5.)

8 2.Der Algorithmus 1. Wiedergabe der Sene ohne Berücksichtigung möglicher Schatten 2. Wahl der Lichtquellen und Bestimmung der Schatten werfenden Objekte 3. Berechnung der Silhouette 4. Konstruktion des Schattenvolumens 5. Zeichnen des Schattenvolumens in den Stencil Buffer 6. Wiedergabe der schattierten Bereiche der Sene

9 3.Berechnung der Silhouette Objektoberfläche soll aus geschlossenem Dreiecksnet bestehen Dreieck: 3 Eckpunkte, 3 Kanten jede Kante von mindestens 2 Dreiecken geteilt Beschreibe Eckpunkte durch Integerwerte i1, i2, i3 die bei Reihenfolge gegen Uhreigersinn um Normalenvektor des Dreiecks angeordnet sind Erstelle Liste von allen Dreiecken: 1.Durchlauf: Ermitteln aller Kanten 2.Durchlauf: finde passende Dreiecke, die eine Kante teilen Prüfe dann, welche Dreiecke dem Licht ugewandt und welche dem Licht abgewandt sind

10 Berechnung der Silhouette Normalenvektor des N ( V ) ( ) Dreiecks gegeben durch: i V 2 i V 1 i V 3 i1 Zugehörige Ebene wird dann definiert durch: F N, N y, N, N Vi 1 Sei L Position der Lichtquelle Dreieck ist dem Licht ugewandt wenn F L > Summe der Kanten, die je von einem dem Licht ugewandten und einem dem Licht abgewandten Dreieck geteilt werden, entspricht der Silhouette eines Objektes

11 4.Konstruktion des Schattenvolumens Schattenvolumen wird ereugt durch Verlängerung der Silhouetten-Kanten in die dem Licht entgegengesette Richtung Punktlicht: Schattenvolumen besteht aus Quadraten Direktionales Licht: Schattenvolumen besteht aus Dreiecken; Punkte mit 4.Koordinate w werden verlängert, w1 bleiben unverändert

12 Konstruktion des Schattenvolumens Silhouetten-Kante E mit Endpunkten A und B direktionales Licht Punktlicht Licht ugewandt: V 1 B,By,B,1 V 1 B,By,B V2 A,Ay,A,1 V 2 A,Ay,A, 1 V 3,,, V 3 A,Ay,A, V 4 B,By,B,,1 Licht abgewandt: V1 A,Ay,A,1 V 1 A,Ay,A, 1 V2 B,By,B,1 V 2 B,By,B, 1 V 3,,, V 3 B,By,B, V 4 A,Ay,A, Etrudieren der Punkte: Punktlicht: V V L w + V L,V y L y,v L, Unendliches Licht: V Vw ( V + L) L

13 Objektorientiertes OpenGl Programmieren - An die Stelle von Verte Arrays treten komplee aber intuitive Datenstrukturen - Durch Verkapselung fallen lange Proedurauflistungen weg - Mehr Übersichtlichkeit aber schwächeres Speichermanagement

14 Klassenübersicht Punkt (Vektor) double, y, Koordinaten des Punktes multmatri (Matri3d m) Multiplikation mit Transformationsmatri subtract (Punkt p) Bildet Differen weier Vektoren

15 Edge Punkt p1, p2 Eckpunkte der Kante equals (Edge e) Überprüft Gleichheit weier Kanten

16 Plane Punkt Punkt p, p1, p2 normal Normalen Vektor boolean Edge Plane facelight e, e1, e2 p, p1, p2

17 generatenormal () berechnet Normalen Vektor crossproduct (Punkt p1, p2) dotproduct (Punkt p1, p2) facinglight (double[] lightposition, boolean islocal) Entscheidet in Abhängigkeit der Position des Lichtes, ob die Fläche um Licht gerichtet ist

18 Matri3d double[][] values setidentity () multmatri (Matri3d m) multvector (Punkt p1) rotation (char ais, double angel) ereugt aus dieser Matri eine Rotationsmatri scale (double factor) ereugt aus dieser Matri eine Skalierungsmatri

19 Object3d LinkedList Points, Planes, Silhouette int Infinite 1^7 draw (GL gl) mutate (Matri3d m) translate (Punkt p) updatenormals () setneighbours ()

20 constructsilhouette (Punkt lightposition, boolean islocal) drawshadowinfintevolume (GL gl, Punkt LP) drawshadowlocalvolume (GL gl, Punkt LP)

21 Konstruktion der Silhouette Silhouette.clear(); für alle Flächen p end p's Status aktualisieren; für alle Flächen p finden; end end end für alle Nachbarn von p als p_n wenn entweder p oder p_n u LQ gerichtet ist gemeinsame Kante von p und p_n als k überprüfen ob k schon in Silhouette; wenn nicht end Silhouette.add(k);

22 Schatten Volumen eichnen (direktional) für alle Kanten k in Silhouette eichne ein GL_QUAD aus 1. k.punkt1 2. k.punkt1 - INFINITE * LQ 3. k.punkt2 - INFINITE *LQ 4. k.punkt2 end end

23 Schatten Volumen eichnen (lokal) für alle Kanten k in Silhouette eichne ein GL_QUAD aus 1. k.punkt1 2. INFINITE * (k.punkt1 - LQ) 3. INFINITE * (k.punkt2 - LQ) 4. k.punkt2 end end

24 6.Notwendigkeit von Caps Hinufügen von Caps, wenn Kamera innerhalb des Schattenvolumens liegt oder wenn Schattenvolumen durch near plane abgeschnitten wird Verwendung von Caps teuer Test auf Notwendigkeit! Konstruiere near-clip volume mithilfe Ebenen, die near plane mit der Lichtquelle verbinden nur Punkt innerhalb kann Schattenvolumen verursachen, das near rectangle schneidet bw. durch die near plane abgeschnitten wird!

25 Notwendigkeit von Caps Wir unterscheiden 3 Fälle, wenn Abstand wischen Lichtquelle und near plane bestimmt wird durch: d (W -1 L),, 1, n 1.) Lichtquelle liegt in der near plane, wenn d < δ, mit δ > 2.) Lichtquelle liegt vor der near plane, wenn d > δ 3.) Lichtquelle liegt hinter der near plane, wenn d < -δ

26 Notwendigkeit von Caps 1.Fall: Lichtquelle in der near-plane: (degeneriertes) near-clip volume definiert durch 2 Ebenen K K 1,, 1,-n,, 1,n Sonst: Berechnung des near rectangle mit den Eckpunkten R R 1 n/ e,an/ e, n n/ e,an/ e, n R 2 R 3 2.Fall: Lichtquelle liegt vor der Kamera Normalen mit R i WR i i n / e, an/ e, n n/ e, an / e, n ( R - R ) ( L, L L L R ) N, i ( i 1) mod 4 y w i ( i 3 )

27 Notwendigkeit von Caps Zugehörigene Ebenen, die near-clip volume begrenen: 1 K i ( Ni ),( Ni ),( Ni ),N y i R i N i ( i 3) Hinufügen einer 5.Ebene, die mit near plane übereinstimmt: ( -1) T,, 1 n K 4 W, 3.Fall: Lichtquelle liegt hinter der near plane und werden negiert, die anderen beibehalten K 4 N i ( i 3)

28 Notwendigkeit von Caps Testen ob Objekt außerhalb des near-clip volume liegt: Grenvolumen des Objekts sei Kugel mit Mittelpunkt C und Radius r Schattenvolumen ohne Caps wiedergeben wenn K i C < - r Bei Punktlichtquellen: Hinufügen einer weiteren Ebene 1 5 ( N5 ),( N5 ),( N5 ),N L y N 5 mit ( -1 N W ) T,, n, 1 L K 5 5 um Fehler u vermeiden, wenn Grenvolumen nicht komplett auf negativer Seite der Grenebenen des near-clip volumes liegt!

29 7.Scissor Optimiation Ziel: keine unnötige/doppelte Wiedergabe von Bereichen Tritt ein bei abgeschwächten Lichtquellen definiere Weite r hinter der die Lichtquelle nicht mehr ur Erleuchtung beiträgt Finde 4 Ebenen (2 parallel ur -Achse, 2 parallel ur y-achse), die durch Kamera- Position laufen und die Grenkugel der Lichtquelle berühren dann finde Schnittpunkt mit Bildebene, um Grenen der Projektion der Lichtquelle u finden

30 Scissor Optimiation 1.)ur y-achse parallele Ebenen können dargestellt werden durch: T N,, N, N Wollen N und so berechnen dass N N 1 umformen: T L r N und L r T L r ( 1 N ) L r 2rN L + N L ( L L ) N + ( 2rL ) N + r L N (+) L nach auflösen ergibt Diskriminante N D [ r L ( L + L )( r L )] D L + L r Grenkugel füllt das gane Sichtfeld, stop!

31 Scissor Optimiation D> Lösen Gleichung (+) und erhalten Werte N 2rL 2 ( 2 2 ) 2 2 L L L + L ± + D rl ± D / 4 und N r N L L Erhalten Punkt P als Berührpunkt von T mit dem Lichtkegel durch P L rn L rn,, L rn,1 nur Ebenen betrachten deren Berührpunkt mit dem Lichtkegel vor Kamera liegt P < können scissor rectangle verkleinern, brauchen Schnittpunkte von T mit der Bildebene

32 Scissor Optimiation Punkt Q in Bildebene hat Koordinaten Q, y, e wenn Q in Tangentialebene ur Lichtquelle liegt gilt nach auflösen ergibt N e N N Q in Koordinaten der Bildebene l w P < linksseitige Grene L P > L rechtsseitige Grene Berechnen linke/rechte Kante des scissor rectangles durch: leftma(, l) bw. rightmin(, l+w)

33 Scissor Optimiation 2.) 2 Ebenen parallel ur -Achse analog, d.h. diese dargestellt durch 4D-Vektor, N y, N,, wobei N r N L Berührpunkt y L y und Wenn < dann gilt y bw. P N y rl P, Ly rn y, L rn,1 y ± r 2 L 2 y L 2 y ( L + L )( r L ) N e y +1 y b + h N a 2 + y L 2 P < y untere Grene; y L y P y > L y y obere Grene, und bottomma( y,b) bw. topmin( y,b+h)