Bsp.: Darstellung der Temperatur durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ

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1 3. Fuzzy-Systeme 3.1 Fuzzy-Logik Einführung in die Denkweise 1. Unscharfe Mengen (Fuzzy-Sets) Fuzzy-Systeme kodieren direkt strukturiertes Wissen (Regeln) in numerischer Form. Die "Fuzzy-Set-Theorie" wurde 1965 von Prof. Zadeh (Uni Berkeley, Kalifornien) eingeführt. Prof. Zadeh stellte fest: "Herkömmliche (Computer-) Logik kennt keine Manipulation von Daten, die vage oder subjektive Konzepte repräsentieren. (z.b. Es ist ziemlich kalt, eine schöne Frau). Die Fuzzy-Set-Theorie geht von der Annahme aus, daß alle Dinge nur zu einem gewissen Grad zutreffen und reduziert die herkömmliche Logik auf einen Sonderfall. Gerade der Mangel an Präzision ermöglicht: Das Treffen von Entscheidungen, selbst in Situationen, in denen unvollständige oder teilweise widersprüchliche Informationen vorliegen. Bsp.: Darstellung der Temperatur durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ 1. (klassische) scharfe Menge "1": zugehörig "0": nicht zugehörig µ( T) T Abb : Darstellung der Temperatur als scharfe Menge Werte der Zugehörigkeitsfunktion sind nicht nur Null oder Eins sondern beliebige Werte zwischen 0 und 1. 1

2 µ( T) T Abb : Darstellung der Tempeartur als unscharfe Menge Ein Fuzzy-Set wird durch die Zugehörigkeitsfunktion immer eindeutig dargestellt. Eine Zugehörigkeitsfunktion kann beliebige Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Dadurch werden beliebig feine Abstufungen zwischen "gehört dazu" und "gehört definitiv nicht dazu" vorgenommen 2. Funktionstyp Hinsichtlich des Funktionstyps von Zugehörigkeitsfunktionen haben sich einige Standardformen herausgbildet: Trapeze und Dreiecke werden am häufigsten eingesetzt. Für derartige Fuzzy-Sets spricht die geringe Anzahl von Parametern (4 bzw. 3 Punkte sind festzulegen) und der geringe Rechenaufwand (Vorteil bei zeitkritischen Anwendungen). Daneben gibt es Fuzzy-Sets mit S-kurvenförmigen Flanken oder in Form der Normalverteilungsfunktion (Einsatz bei Datenanalyse und Mustererkennung). Mathematisch läßt sich ein Fuzzy-Set beschreiben als eine geordnete Menge von Paaren: A = {(x,µ A ( x) x X } µ A ( x): Zugehörigkeitsfunktion (Untermenge der reellen Zahlen) 3. Operatoren auf Fuzzy-Mengen Informationen werden gewöhnlich durch "UND" und "ODER" miteinander verknüpft. Die Verknüpfung zweier unscharfer Informationen durch UND und ODER müssen auch eine Ableitung auf Fuzzy-Mengen besitzen, wenn eine Fuzzy-Modellierung einen Sinn haben soll. Analog zu den Operatoren der Booleschen Algebra UND, ODER und NICHT hat die "Fuzzy Logik" neue Operatoren entwickelt: Wahrheitsgrad 2er Aussagen, die durch ODER verknüpft sind (Maximumoperator für die Vereinigung zweier Fuzzy-Sets C = A B) 2

3 µ C ( x)=max{µ A ( X), µ B ( X)} x X Wahrheitsgrad 2er Aussagen, die durch UND verknüpft sind (Minimumoperator für den Durchschnitt zweier Fuzzy-Sets C = A B) µ C ( x)=min{µ A ( X), µ B ( X)} x X Wahrheitsgrad der Negation (Komplement C eines Fuzzy-Set A) µ C ( x)=1-µ A ( X) x X Bsp.: Die folgende Darstellung beschreibt die Fuzzy Sets "Warm" bzw. "Heiss": µ( T) warm heiss Temperatur [ C] Abb.: Darstellung der Fuzzy Sets Warm bzw. Heiss a) Zeichne in die vorstehende Darstellung das Fuzzy-Set "heiss und warm" ein. b) Zeichne in die vorstehende Darstellung das "Fuzzy-Set "heiss oder warm" ein. c) Zeichne in die vorstehende Darstellung das Ergebnis der Komplementbildung aus dem Fuzzy-Set "heiss" (Resultat Fuzzy-Set "nicht heiss") ein. 4. Linguistische Variable Derartige Variable umfassen Werte, die durch Wörter wie "heiß" oder "kalt" repräsentiert werden. Die einzelnen Werte einer linguistischen Variable werden durch Fuzzy-Sets ausgedrückt: Bsp.: Die linguistische Variable Raumtemperatur Die Raumtemperatur kann als linguistische Variable mit den Termen kalt, warm und heiß aufgefaßt werden. Jeder Term wird als Fuzzy-Set modelliert: 3

4 0.8 kalt warm heiß Temperatur ( C) Abb : Darstellung der linguistischen Variablen Raumtemperatur 5. Fuzzy-Regeln Zur Formulierung von menschlichem Erfahrungswissen werden Fuzzy-Regeln verwendet: Bsp.: Regeln beim Autofahren - Wenn der Abstand zum vorderen Auto klein ist und die Geschwindigkeit groß, dann bremse mit großer Kraft - Wenn der Abstand zum vorderen Auto mittel ist und die Geschwindigkeit groß, dann bremse mit mittlerer Kraft. Die linguistischen Variablen Abstand (D), Geschwindigkeit (V) und Bremskraft (F) lassen sich so darstellen: µ( T) [m] [%] [km/h] Abstand Bremskraft Geschwindigkeit Abb : Darstellung der Regeln, Abstand, Bremskraft, Geschwindigkeit 4

5 Für jede linguistische Variable wurden 3 dreieckige Fuzzy-Sets (klein (PS), mittel () und groß () ) gewählt. Die beiden Regeln sind: Wenn (D = PS) und (V = ), dann (F = ) Wenn (D = ) und (V = ), dann F = ) Abstand Geschwindigkeit Bremskraft Regel 1 PS Regel 2 Regeln können in eine Regeltabelle folgender Gestalt eingetragen werden: NB NM NS PS PB NB NM NS PS PB Ein unscharfe Variable kann offensichtlich eine Reihe unscharfer Werte annehmen: NB (Negative Big) bzw. NL (Negative Large) NM (Negative Medium) NS (Negative Small) ZE (Zeroe) PS (Positive Small) (Positive Medium) PB (Positive Big) bzw. (Positive Large) Die Regeltabelle zeigt: Fuzzy-Systeme speichern und verarbeiten unscharfe Regeln parallel. Fuzzy-Systeme assoziieren Ausgangs-Fuzzy-Sets mit Eingangs-Fuzzy-Sets und verhalten sich wie "quasi" assoziative Speicher. 6. Unscharfe Relationen Neben unscharfen Mengen sind unscharfe Relationen ein wichtiges Teilgebiet der Fuzzy-Set-Theorie. Unscharfe Relationen bilden die theoretische Basis für die Realisierung unscharfer Regler und Expertensystemen. Eine unscharfe (binäre) Relation über dem Produktraum X R={(( x, y), µ ( x, y) ( x, y) X Y } R 5 Y ist definiert durch Falls X und Y diskrete Mengen sind, dann können X und Y durch Matrizen definiert werden, z.b.:

6 X = {grün, gelb, rot} beschreibt die Farbe einer Frucht Y = {unreif, halbreif, reif} beschreibt den Reifegrad einer Frucht. Die Paare, die zueinander passen, sind dann R 1 ={(grün,unreif),(gelb,halbreif),(rot,reif)} und können in einer Tabelle zusammengefaßt werden: X \ Y unreif halbreif reif grün gelb rot Die in der Tabelle zusammengestellten Paare entsprechen den folgenden (auf Erfahrung beruhenden) Regeln: WENN eine Frucht grün ist DANN ist sie unreif WENN eine Frucht gelb ist DANN ist sie halbreif WENN eine Frucht rot ist DANN ist sie reif Daraus folgt: Relationen eignen sich zur Modellierung von WENN... DANN...- Regeln. Da die Relationsmatrix nur Nullen und Einsen enthält, handelt es sich noch nicht um eine wirkliche Fuzzy-Relation. Man weiß aber, daß diese Erfahrungsregeln nur ungefähr stimmen. Eine Fuzzy-Relation R 2 ist dann: X \ Y unreif halbreif reif grün gelb rot Fuzzy-Mengen können auf einfachen Grundmengen (G1, G2,..) durch Operatoren wie bspw. den min-operator für die die UND-Verknüpfung zu Fuzzy-Relationen auf der Kreuzproduktmenge der zugrundliegenden Grundmengen verbunden werden. Bsp.: Junger UND großer Mann Gegeben sind die Fuzzy-Mengen für "Junger Mann" und "Großer Mann". 6

7 µ 1 µ Alter Groesse Abb : Die Fuzzy-Mengen junger bzw. großer Mann Ein "junger" UND "großer" Mann ist eine Fuzzy-Relation auf den beiden Grundmengen "Alter" und "Größe": µ ( Alter, Größe) min( µ ( Alter ), µ ( Größe)) R = 1 2 Falls die Grundmengen auf 5 äquidistante Stützstellen beschränkt werden, ergibt sich folgende Tabellendarstellung der Relationsmatrix: Alter\Größe Eine Relation "Junger ODER Großer Mann" kann auf analoge Weise gebildet werden, indem der min-operator durch den max-operator ersetzt wird. Der Ausdruck µ R ( x, y ) = min( µ ( x ), µ ( y 1 2 )) heißt Kreuzprodukt oder cartesisches Produkt der Fuzzy-Mengen. Auch Fuzzy-Relationen mit derselben Produktmenge lassen sich miteinander verknüpfen: Falls R 1 und R 2 zweistellige Fuzzy-Relationen sind, dann gilt für den Durchschnitt von R 1 und R 2 (UND-Verknüpfung) µ ( x, y) min( µ ( x, y), µ ( x, y)) R R = R R und für die Vereinigung (ODER-Verknüpfung) µ ( x, y) max( µ ( x, y), µ ( x, y)) R R = R R

8 3.1.2 Verarbeitung in Fuzzy-Systemen: Fuzzy-Inferenz Fuzzy-Inferenz bedeutet: Fuzzy-logisches Schließen auf unscharfen Informationen. Eine Inferenz besteht aus einer oder mehreren Regeln (Implikationen), einem Faktum (aktueller Zustand, aktuelles Ereignis) und einer Schlußfolgerung. Sie ersetzt das Faktum unter Berücksichtigung der Implikation(en) durch ein neues Faktum. 1. Ein einführendes Beispiel Grundlage der Verarbeitung unscharfer Mengen mit Fuzzy Logik ist die Produktionsregel. Ein einführendes Beispiel aus der Prozeßregeltechnik umfaßt die folgenden Regeln: Regel (1) WENN Temperatur = sehr hoch ODER Kammerdruck = übernormal DANN Ventil gedrosselt Regel (2) WENN Temperatur = hoch UND Kammerdruck = normal DANN Ventil = halb offen. Die Abarbeitung derartiger Regeln (linguistische Regeln) unterscheidet sich allerdings von der Regelbehandlung in einem Expertensystem. In einem Expertensystem könnte man den Zusammenhang von Regel (1) so beschrieben: "WENN Temperatur >= 870 C und Kammerdruck >= 40 bar DANN Ventil = 0.3". Diese Produktionsregel entspricht nicht genau der linguistischen Regel. Die Definition einer festen (scharf definierten) Schwelle, ab der eine Temperatur als sehr hoch angesehen wird, ist willkürlich. Die Vorbedingung der Regel ist genau dann erfüllt, wenn die Bedingungen für Temperatur und Druck gleichzeitig erfüllt sind. Die Abarbeitung linguistischer Regeln zeigen die folgende Arbeitsschritte, die zur Beantwortung der Frage " Wie ist die erforderliche Stellung eines Ventils bei einer Temperatur von 910 C und einem Kammerdruck von 40.7 bar?" anfallen: Fuzzyfizierung Darunter versteht man: Die linguistische Interpretation technischer Größen Die technische Größe "Temperatur" wird so interpretiert: 8

9 Abb : Temperatur in der Kammer Im vorliegenden Fall gilt bspw. für die Tempeartur 910 C: sehr hoch 0.8 hoch 0.3 mittel niedrig Die technische Größe "Druck" wird so interpretiert: Temperatur ( C) Druck (bar) Abb : Druck in der Kammer 9

10 Im vorliegenden Fall gilt für den Druck 40.5 bar: unter normal normal 0.5 über normal 0.5 Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Vorbedingungen zu Regeln Die Vorbedingungen zu Regel (1) bzw. Regel(2) des einführenden Beispiels lassen sich berechnen: Regel (1): max(0.8, 0.3) = 0.8 Regel (2): min(0.3, 0.5) =

11 Zurückführung der Resultate der Regeln Auch für die Stellung des Ventils wird eine linguistische Variable eingeführt: Durchfluß Abb : Ventil Die linguistische Variable Ventil beschreibt die einem Brennofen zuzuführende Menge an Brennstoffen (als Reaktion auf den in einer Brennkammer herrschenden Druck und Temperatur). Zur Zurückführung der Resultate der Regeln auf deren Definition gibt es in der Fuzzy-Logik 2 alternative Methoden: - die Max-Min-Inferenz - die Max-Prod-Inferenz Max-Min-Inferenz Die unscharfe Menge der Terme der linguistischen Variablen "Ventil" werden jeweils auf den Wahrheitsgrad der Vorbedingung begrenzt (Minimum). Die so erhaltenen Mengen werden zu einer einzigen zusammengefaßt (Maximum). Diese unscharfe Menge ist das Resultat der Inferenz. 11

12 Durchfluß Abb : Max-Min-Inferenz Max-Prod-Inferenz Es wird ein Produkt aus unscharfer Menge des Terms der Schlußfolgerung und des Wahrheitsgrads der Vorbedingung gebildet Durchfluß Abb : Max-Prod-Inferenz Als Ergebnis erhält man für die Stellung des Methanventils der beiden Methoden eine unscharfe Menge. 12

13 Defuzzifizierung Es gibt hierfür verschiedene Methoden. Am häufigsten wird benutzt: Berechnung der technischen Größe aus dem Flächenschwerpunkt der unscharfen Menge Durchfluß Abb : Ermitteln des Flächenschwerpunkts Im angegebenen Beispiel ergibt sich die Stellung des Ventils zu 2.7 m 3 /h 2. Fuzzy-Inferenzschema Eine Fuzzy-Inferenz ist eine Verarbeitungsvorschrift für WENN.. DANN.. -Regeln bzw, für ganze Gruppen von Regeln für unscharfe Aussagen. In der Fuzzy-Linguistik kann zur Modellierung von WENN.. DANN.. -Regeln der min-operator benutzt werden. Bsp.: Erhitzen von Wasser Regel: WENN Temperatur T = niedrig DANN Wärmezufuhr hoch Zugehörigkeitsfunktion für die linguistische Terme Tempeartur und Wärmezufuhr: 13

14 µ T µ W niedrig hoch T ( C) Relationsmatrix (ermittelt über das Kreuzprodukt): µ ( T, W) = min( µ ( T), µ ( W)) W T R T W W (%) Die gebräuchlichste Art einer Inferenz 1 ist die Max-Min-Komposition. So ergibt sich bspw. für das aktuelle Faktum T = 20 C das folgende Inferenzergebnis: µ Whoch' ( W) = µ R ( T = 20 C, W) = min( µ Tniedrig( 20 C), µ Whoch ( W)) µ R ist die über das Kreuzprodukt von Prämissen- und Konklusions-Fuzzy-Mengen gewonnene Fuzzy-Relation der Regel. Aus der Relationsmatrix kann abgelesen werden: µ Whoch' ( W) = ( 0, 0. 5, 0. 5, 0. 5, 0) Grafisch kann der Inferenzvorgang so dargestellt werden: µ T µ W niedrig hoch µ W hoch' T ( C) W (%) Abb : Darstellung des Inferenzvorgangs Die Eingangsgröße ist ein scharfer Temperaturwert von 20 C und somit als Singleton µ Whoch' auf der Grundmenge G 1 = {10,20,30,40,50} der Temperatur 1 Eine Inferenz ist eine Verarbeitungsvorschrift für WENN... DANN... Regeln unter Berücksichtigung eines aktuellen Faktums (Ereignisses). Sie hat eine Schlußfolgerung als Ergebnis 14

15 darstellbar. Das Inferenzergebnis erhält man dann auch über die Relationsmatrix durch: µ Whoch' = ( ) = ( ) Verarbeitungsvorschrift zur Ermittlung der Fuzzy-Ergebnismenge Das Max-Min-Inferenzschema liefert bei einer Regel WENN A DANN B mit dem linguistischen Term µ A ( x) in der Prämisse und dem Term µ B ( y) in der Konklusion bei Vorliegen einer scharfen Eingangsgröße x' eine Ergebnis-Fuzzy-Menge µ ( B ' y ). Diese kann in der zu x' zugehörgen Zeile µ R ( x', y) der über das Kreuzprodukt gebildeten Relationsmatrix der Regel unmittelbar abgelesen oder grafisch ermittelt werden, indem man die Fuzzy-Menge µ B ( y) der Konklusion in der Höhe des Erfüllungsgrads µ A ( x') abschneidet. Verhalten bei mehreren Regeln Für jede weitere Regel kommt eine entsprechende Relationsmatrix hinzu. Die Regeln innerhalb des Systems von Regeln sind i.a. ODER verknüpft. Die Relationsmatrizen werden daher über den "Max"-Operator verbunden. Ergebnis ist eine einzige Relationsmatrix, die alle Regeln enthält und wie im Falle einer Regel ausgewertet werden kann. Alternativ dazu kann man die Regeln zunächst getrennt voneinander auswerten und im Abschluß daran deren Ergebnis-Fuzzy-Mengen mit dem Max-Operator überlagern. Bsp.: Erhitzen von Wasser Regelbasis R 1 : WENN T = sehr_niedrig DANN W = sehr_hoch R 2 : WENN T = niedrig DANN W = hoch R 3 : WENN T = mittel DANN W = mittel R 4 : WENNT = hoch DANN W = niedrig R 5 : WENN T = sehr_hoch DANN W = sehr_niedrig Linguistische Variable für Temperatur T und Wärmezufuhr W 15

16 µ T sehr niedrig niedrig mittel hoch sehr hoch T( C) µ W sehr niedrig niedrig mittel hoch sehr hoch Abb : Linguistische Terme für Temperatur und Wärmezufuhr W(%) Ziel: Ermitteln einer geeigneten Wärmezufur für einen scharfen Temperaturwert T = 45 C. Lösungsschema: 1) Fuzzifizierung der scharfen Eingangsgröße µ µ µ µ µ Tsehr _ niedrig Tniedrig Tmittel Thoch Tsehr _ hoch ( T) 0 ( T) ( T) = ( T) 0 ( T) 0 16

17 2) Ermitteln der aktiven Regeln Eine Überprüfung der Regelbasis zeigt, daß lediglich die Regeln R 2 und R 3 aktiv sind, d.h. einen Erfüllungsgrad größer als Null besitzen: - Der WENN-Teil von R 2 ist zu µ Tniedrig ( T) = erfüllt - Der WENN-Teil von R 3 ist zu µ Tmittel ( T) = erfüllt bzw. - R 2 besitzt den Erfüllungsgrad H 2 = R 3 besitzt den Erfüllungsgrad H 3 =0.75 3) Ermittlung der einzeln Ausgangs-Fuzzy-Mengen Die Anwendung jeder aktiven Regel liefert auf der Basis des Inferenzschemas die resultierende Ausgangs-Fuzzy-Menge, indem man den Erfüllungsgrad der Regel auf die jeweilige Fuzzy-Menge in der Schlußfolgerung überträgt. Dazu wird das Minimum von Erfüllungsgrad und Ausgangs-Fuzzy-Menge min( H, µ ( W)) gebildet, d.h. Die Ausgangs-Fuzzy-Menge in der Höhe H i abgeschnitten. i W i µ T µ W niedrig hoch H T( C) W(%) µ T µ W mittel mittel T( C) W(%) Abb : Auswertung der Regeln 4) Überlagerung der einzelnen Ausgangs-Fuzzy-Mengen Da die einzelnen Regeln implizit ODER-Verknüpfungen sind, müssen die zugehörigen Ergebnis-Fuzzy-Mengen über den Max-Operator zur resultierenden Ausgangs-Fuzzy-Menge µ ( W) = max(min( H, µ ( W))) vereinigt werden. Wres i W i 17

18 µ W W(%) Abb : Überlagerung der Fuzzy-Mengen 5) Defuzzifizierung Aus der resultierenden Ergebnis-Fuzzy-Menge muß in den meisten Fällen ein scharfer Ausgangswert bestimmt werden. 3. Anwendung Aufgabe: Ein Fahrzeug ist auf dem Gipfel eines Berges zu halten. Problem: Durch die Schwerkraft wird das Fahrzeug immer bestrebt sein. den Berg auf der anderen Seite hinabzurollen. Zusätzlich können Störkräfte (Rauschkomponenten) und Handsteuerkräfte vom Bediener (über Cursor-Tasten simuliert) vorkommen. Hangabtriebskraft Rauschkraft Handsteuerkraft Bewegungssimulation des Fuzzy-Mobils v x Fuzzy-Kraft Fuzzy-Steuerung Abb : Block-Diagramm der Fuzzy-Steuerung 18

19 Lösung: Zur Lösung des Problems wird ein Prozeß simuliert, der als Meßwerte die aktuelle Geschwindigkeit v und Position x liefert und der durch eine Anzahl von Kraftkomponenten beeinflußt wird, die als Stör- und Steuergrößen wirken. das Simulationsprogramm muß Bewegungssimulation und Fuzzy-Steuerung realisieren 2. physikalisches Grundwissen: (1) K = m b = m d v m v dt t Falls die Zeitdifferenz klein genug gewählt wird und die Kraft sich im betrachteten Zeitraum nicht oder nur unwesentlich ändert, kann man die Differentiale durch Differenzen ersetzen und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t berechnen. K( t) (2) v( t + 1) = v( t) + t v( t) k R m In (2) ist noch eine geschwindigkeitsabhängige Kraftkomponente mit dem Reibungskoeffizienten k R eingeführt. Die Geschwindigkeit ist die 1. Ableitung des Weges x nach der Zeit. Man kann die neue Position zum Zeitpunkt t+1 aus der Position zum Zeitpunkt t berechnen: (3) x( t + 1) = x( t) + v( t) t Zur Berechnung der Bewegung fehlt in (2) noch die Kraft. Sie setzt sich zusammen aus der Hangabtriebskraft K H, Rauschkraft KR, Handsteuerkraft KS : Steuerkraft K F (4) K( t) = K ( t) + K ( t) + K ( t) + K ( t) H R S F und der Fuzzy- Die Handsteuerkraft wird durch Tastenbetätigung festgelegt, die Rauschkraft wird als Zufallswert zwischen 0 und einer definierten Maximalkraft bestimmt. α Geländefunktion P(x) K G K H Abb : Kräfte in Abhängigkeit vom Bodenprofil 2 Auch in der Praxis wird so verfahren: Zuerst möglichst exakte Prozeßsimulation, danach Kopplung mit Fuzzy-Steuerung und Test 19

20 In Abhängigkeit vom Winkel des Gefälles zerlegt sich die Gewichtskraft K G in K H (läuft parallel zum Hintergrund) und eine zu K H rechtwinklige Komponente. Die Bewegung ist im wesentlichen eindimensional. Auf die Vektordarstellung kann daher verzichtet werden. Unter Anwendnung einiger geometrischer Beziehungen ergibt sich folgende Gleichung: (5) K H ( x) = K G sin α( x) Der Winkel hängt vom Bodenprofil ab. Für die Berechnung des Winkels gilt die Gleichung: (6) α( x) = arctan( P'( x)) Ersetzt man α in Gleichung (5) durch Gleichung (6) erhält man: P'( x) (7) KG = 2 1+ ( P'( x)) Mit Gleichung (7) wird die Hangabtriebskraft berechnet und mit mit den verbleibenden Kräften zur Gesamtkraft überlagert. Mit dieser Kraft und Gleichung (2) wird die Änderung der Geschwindigkeit berechnet. Über Gleichung (3) wird die neue Position ermittelt. Regeln: Das Fuzzy-System erhält vom Simulationsmodell die Daten der momentanen Geschwindigkeit v und der Position x. Das Steuersystem hat die Zielvorgabe, das Fahrzeug bei der Position x=0 mit der Geschwingkeit v=0 zu halten. Sieben Fuzzy-Regeln 3 mit den Ausgangspunkten Betrag und Richtung der Geschwindigkeit und der Position sollen eine linguistische Verknüpfung mit der Steuerkraft erreichen: (A) Wenn die Position positiv mittel () ist, und die Geschwindikeit ist nahezu Null (), dann ist die Kraft negativ mittel (NM). (B) Wenn die Position positiv klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist positiv klein (PS), dann ist die Kraft negativ klein (NS). (C) Wenn die Position positiv klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist negativ klein (NS), dann ist die Kraft nahezu Null (). (D) Wenn die Position negativ mittel (NM) ist, und die Geschwindigkeit ist nahezu Null (), dann ist die Kraft positiv mittel (). (E) Wenn die Position negativ klein (NS) ist, und die Geschwindigkeit ist negativ klein (PS), dann ist die Kraft positiv klein (PS). (F) Wenn die Position negativ klein (PS) ist, und die Geschwindigkeit ist positiv klein (NS), dann ist die Kraft nahezu Null (). (G) Wenn die Position nahezu Null () ist, und die Geschwindigkeit ist nahezu Null (), dann ist die Kraft nahezu Null (). Geschw. Position NB NM NS PS 3 Die Regeln werden aus dem Wissen über den Prozeß festgelegt 20

21 NM (D) NS (E) PS (F) (G) PS (C) (B) NS (A) NM PB Zugehörigkeitsfunktionen: Diese Funktionen für Position, Geschwindigkeit und Kraft sind einfache lineare Funktionen. Regel (E) Wegverteilung Geschwindigkeitswert Kraftverteilung NM NS PS NS PS NM NS PS Regel (G) Wegverteilung Geschwindigkeitswert Kraftverteilung NM NS PS NS PS NM NS PS Wegverteilung Geschwindigkeitswert Kraftverteilung NM NS PS NM NS PS

22 Abb : Darstellung zur Ermittling der Kraftverteilung Ermittlung der Fuzzy-Kraft: Das Steuersystem soll bspw. vom Prozeß den Geschwindigkeitswert v = -0.6 (m/s) und die Position x = -0.2 (m) übergeben. Mit Hilfe der Fuzzy-Regeln und den Zugehörigkeitsfunktionen sind dann die Wahrheitswerte für Geschwindigkeit und Position auszurechnen. Berechnung des Schwerpunkts: Generell gilt für diese Berechnung einer beliebigen Funktion in x-richtung: (8) S x = dx x f ( x( dx f ( x) Da die vorliegende Fläche aus mehreren Teilstücken besteht, müssen die Einzelstücke getrennt aufsummiert werden: (9) S x = k k dx x f dx f k k ( x) ( x) Die Fläche setzt sich aus linearen Funktionsabschnitten zusammen (, die der Beziehung f(x) = ax + b entsprechen). Das führt, in (9) eingesetzt, zu: (10) S x = k k 2 dx ( a x + b x) k dx ( a x + b) k k Die Integration dieses Ausdrucks und Eingabe der Grenzen für die einzelnen Funktionsabschnitte (, dabei soll für das Teilstück f k (x) der Anfangspunkt (P Ak (x Ak,y Ak ) und der Endpunkt P Ek (X Ek,y Ek ) gelten,) führt zu: (11) S x = k k 2 b k x Ek a k x Ek + x Ak a k 2 / 3 / b k x Ek a k x Ek + x Ak a k 2 / 2 / b k 2 b k 2 In (11) fehlen noch die Koeffizienten ak und bk für die einzelnen Funktionsabschnitte (Berechnung aus den Anfangs- und Endpunkten der einzelnen Teilstücke): a k = y x Ek Ek y x Ak Ak b k = y Ak a k x Ak 22

23 3.1.3 Regelbasierte Systeme 1. Fuzzy-Logik regelbasierter Systeme Ein regelbasiertes System besteht aus einem System von Inferenzregeln und einem Inferenzschema, das die Verarbeitungsvorschrift enthält, nach der (scharfe) Eingangsgrößen x i mit Hilfe der Inferenzregeln zu (scharfen) Ausgangsgrößen y j verarbeitet werden. x 1... x n Regelbasiertes System y Abb : Regelbasiertes System mit n Eingangsgrößen und einer Ausgangsgröße: Regelbasis: R 1 : WENN x 1 = A UND x i = A 1i... UND x n = A 1n DANN y = B 1... R j : WENN x 1 = A j1... UND x i = A ji... UND x n = A jn DANN y = B j R m : WENN x 1 = A m1... UND x i = A mi... UND x n = A mn DANN y = B m x 1, x 2,..., x n : Eingangsfrößen A 1i, A 2i, A 3i,..., A mi : linguistische Terme der Eingangsgröße x i y: Ausgangsgröße B 1, B 2,..., B m : linguistische Terme der Ausgangsgröße resultierede Fuzzy-Menge Einem aktuellen Satz von Eingangsgrößen wird mit Hilfe des Inferenzschemas (unter Beachtung der Regelbasis) eine Fuzzy-Menge zugeordnet, die aus den Ergebnissen aller Regeln zusammnegesetzt ist: ' ' R 1 : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) = µ ( y) n n B1 B' 1 ' ' R j : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) µ ( y)... j1 1 jn n Bj = B' j ' ' R m : min( µ ( x ),..., µ ( x ), µ ( y)) µ ( y) m1 1 mn n Bm = B' m 23

24 Verbunden durch den ODER-Operator max entsteht die resultierende Fuzzy-Menge: µ = max( µ ( y),..., µ ( y)) res B' i B' m Aufgabe der Fuzzy-Control (Defuzzifizierung) ist das Finden einer scharfen Ausgangsgröße y: x 1... x n Fuzzifizierer Regelbasis Inferenzschema Defuzzifizierer y Abb : Komponenten eines regelbasierten System 2. Defuzzifizierung a) Maximum-Methode Nur die Regel mit dem höchsten Erfüllungsgrad bei einer vorgegebenen Eingangsgröße wird betrachtet. Das Maximum der zugehörigen Ausgangs-Fuzzy- Menge bestimmt die scharfe Ausgangsgröße. Die Maximum-Methode wird bei der Fuzzy-Modellierung am besten dadurch vorbereitet, daß die Ausgangsmenge jeder Regel einzeln vorgegeben wird. Es muß bei der Modellierung darauf geachtet werden, daß immer mindestens eine Regel aktiv ist, da sonst keine Entscheidung gefällt wird. Die Methode ist besonders geeignet für Probleme der Mustererkennung. b) Maximum-Mittel-Methode Sie gleicht zunächst der Maximum-Methode. Falls mehr als eine Regel maximalen Erfüllungsgrad hat, werden zu dieser Regel gehörende scharfe Ausgangsgrößen arithmetisch gemittelt. c) Akkumulationsmethode Auch hier wird zunächst ein Inferenzverfahren nach der unter a) beschriebenen Mustererkennungsmethode gebildet. Zu jeder Regel wird in Gestalt eines Singletons ein scharfer Ausgangswert angegeben, der von einem vorhandenen (aktuellen) Wert abzuziehen ist oder zu ihm hinzuaddiert werden muß, falls die Regel maximalen Erfüllungsgrad hat. d) Schwerpunktmethode Der Flächenschwerpunkt der aus allen Ergebnis-Fuzzy-Mengen von Regeln nach dem Inferenzschema resultierenden Ausgangs-Fuzzy-Menge wird über der Ausgangsgröße gebildet und seine Abszisse als scharfe Ausgangsgröße y res bestimmt: 24

25 y res = y µ 0 0 µ res res ( y) dy ( y) dy 3. Anwendung Aufgabe: Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Stab, der über ein Pendelgelenk auf einem Wagen befestigt ist. Durch Vor- und Rückbewegen des Wagens soll der Stab aufrechtstehend gehalten werden. K Z 2L m g Θ K V M g K V Θ : M g Winkel : Gewicht des Wagens m : Gewicht des Pendels g x : Gewicht des Pendels 2L : Länge des Pendels KH K : vertikale Kraft am Gelenk V K H : horizontale Kraft am Gelenk K : ziehende Kraft am Wagen g I Z : Fallbeschleunigung : Trägheitsmoment des Stabs. Abb : Modell des kopstehenden Pendels Mathematisches Modell: Die Steuerung der Bewegungsrichtung und der Richtung des Wagens kann über das folgende Differentialgleichungssystem beschrieben werden: (1) I Θ'' = KV sin Θ KH L cosθ (2) K m V g = m L ( Θ '' sin Θ + Θ ' 2 cos Θ ) (3) K = m H x'' + m L( Θ '' cos Θ Θ ' 2 sin Θ ) (4) KZ KH = M x'' Θ : Winkel, 2 L: Länge des Pendel, x: Position des Wagens,m: Masse des Pendels, M: Masse des Wagens, x: Position des Wagen, K V : vertikale Kraft am Gelenk, K H : m horizontale Kraft am Gelenk, K Z : ziehende Kraft am Wagen, g = s 2 25

26 Fallbeschleunigung, I Drehgelenk 1 = m L 2 : Trägheitsmoment des Stabs in Bezug auf das 3 Lösungsmöglichkeiten: 1. Man könnte dieses Differentialgleichungssystem in ein Differenzengleichungssystem verwandeln und für die jeweils gegebenen Anfangsbedingungen die Lösung mit Computerberechnung bestimmen. Dieses Verfahren ist aber sehr rechenaufwendig und daher nicht in der Lage, die zur Steuerung des Wagens benötigten Ergebnisse rechtzeitig zu liefern.. 2. Man vereinfacht das Problem durch Annahme zusätzlicher Restriktionen. Yamakawa 4 schlägt die Annahme Θ << 1( rad ) 5 vor. Unter dieser Annahme läßt sich das Differentialgleichungssystem (1) - (4) zu einem linearen Gleichungssystem vereinfachen: 2 (5) ( I + m L ) Θ'' + m L x'' m L Θ = 0 (6) m L Θ'' + ( m+ M) x'' = K Z A. Wenn Θ gleich und Θ' gleich, dann wähle x' gleich B. Wenn Θ gleich PS und Θ' gleich PS, dann wähle x' gleich PS C. Wenn Θ gleich PS und Θ' gleich NS, dann wähle x' gleich D. Wenn Θ gleich NM und Θ' gleich dann wähle x' gleich NM E. Wenn Θ gleich NS und Θ' gleich NS, dann wähle x' gleich NS F. Wenn Θ gleich NS und Θ' gleich PS, dann wähle x' gleich G. Wenn Θ gleich und Θ' gleich, dann wähle x' gleich Diese Regeln lassen sich abgekürzt in der folgenden Tabelle darstellen: Θ Θ' NL NM NS PS PS PS NM NS NS NM NL Aus dieser Tabelle folgt: Bei jeweils 7 Ausprägungen je Fuzzy-Simulationsmodell sind Zustände 7 2 = 49 möglich. Von Yamakawa wurden aber nur die Regeln zu 7 möglichen Zuständen in den Regelblock aufgenommen, da diese zur Steuerung des Pendel ausreichen. Die linguistischen Variablen für Θ, Θ' und x' lassen sich über die sog. tringularen Fuzzy-Zahlen mit linearen Referenzfunktionen beschreiben: 4 auf ihn geht die Fuzzy-Control-Steuerung dieses Beispiels zurück 5 1 rad = 360 / 2 π = 57,

27 NL NM NS PS Abb : Darstelling der linguistischen Ausprägungen Θ, Θ' und x' Wird eine konkrete Situation betrachtet, so muß überprüft werden, ob die beobachtete Situation mit einer oder mehreren in dem Regelblock beschriebenen Situationen übereinstimmt. Aus den Erfüllungsgraden für die einzelnen Zustandsvariablen wird dann mit Hilfe des Minimumoperators der Erfüllungsgrad der Regel bestimmt. Treffen mehrere Regeln für eine konkrete Situation zu, dann bezeichnet man über die Max-Min-Inferenz die unscharfe Vereinigungsmenge aller unscharfen Aktionen. Eine konkret ausführbare Aktion bestimmt man im Defuzzifizierungsschritt aus dem Flächenschwerpunktverfahren. 27

28 A NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS B NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS C NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS G NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS F NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS E NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS D NL NM NS PS NL NM NS PS NL NM NS PS Θ Θ' x' Abb : Bestimmen des Grads der Erfüllung für eine konkrete Situation 28

29 3.2 Regelungssysteme Klassische Regelungssysteme 1. Begriffe aus der Regelungstechnik Aufbau eines Regelkreises Ein Regelkreis besteht aus einer Regeleinrichtung und einer Regelstrecke Störgrößen Führungsgröße w Regelabweichung x w = x-w Regler- und Steuereinrichtung y Strecke Regelgröße gemessene Regelgröße Meßeinrichtung Abb : Die Aufgabe eines Regelkreises ist: Der Ausgangswert (Istwert) soll dynamisch möglichst genau, schnell und schwingungsfrei dem Eingangswert (Sollwert) folgen. Die Eingangsgröße ist die Führungsgröße des Regelkreises, die Ausgangsgröße ist die Regelgröße. Zur Anpassung der Regelgröße an die Führungsgröße wird ein Istwert gemessen und mit dem Sollwert verglichen. Die Differenz ist der Eingangswert der Regeleinrichtung. Sie wird durch den Regler beeinflußt und am Reglerausgang der Strecke als Stellgröße zur Verfügung gestellt. Wesentliches Merkmal einer Regelung im Unterschied zu einer Steuerung ( oder einem Stellglied) ist ein geschlossener Wirkungskreislauf, der ein automatisches Nachführen des Istwerts gemäß dem Sollwert ermöglicht. Kaskadenregelkreise (unterlagerte Regelkreise) Es liegen hier ineinander geschachtelte Regelkreise vor, die jeweils einen Teil der in geeigneter Weise aufgesplitteten Regelkreis beinhalten. 29

30 Regelstrecke Regler Regler 2 Teilstrecke 1 Teilstrecke 2 Abb : Kaskadenregelkreis Zustandsregler Ihnen stehen mehrere, im Idealfall alle Zustandsgrößen der Regelstrecke zur Verfügung. Hierdurch kann u.a. ein wesentlich verbesserte Regelverhalten erzielt werden. Der Preis dafür ist der erhöhte Meßaufwand für die Ermittlung der Zustandsgrößen. Bsp.: Das sog. "Inverse Pendel" m Θ, Θ ' l i M Abb : Inverses Pendel Es besteht aus einem fest montierten Motor der bei Aufprägung eines Ankerstroms i ein Drehmoment M auf das Pendel mit der Masse m ausübt. Das System besitzt 2 Zustandsgrößen: Die Winkelauslegung Θ und die Winkelgeschwindigkeit Θ'. Die Regelungsaufgabe besteht darin, das Pendel in seiner Ruhelage zu halten bzw. dorthin zurückzuführen, wenn es durch eine äußere Störung ausgelenkt wird. Die Regelungsaufgabe besteht darin, das Pendel in seiner Ruhelage zu halten bzw. dorthin zurückzuführen, wenn es durch eine äußere Störung ausgelenkt wird. 30

31 2. Beschreibungsmöglichkeiten (für dynamische Systeme) a) Beschreibung im Zeitbereich (in Form einer Differentialgleichung) Bsp.: Einfaches RC-Netzwerk u ( t ) e u ( t ) a Abb : Ein Widerstand und ein Kondensator sind in Reihe geschaltet und an beide Bauelemente eine Eingangsspannung ue ( t) gelegt. Die Ausgangsspannung u ( t) a läßt sich als Funktion der Eingangsspannung beschreiben: u e ( t) = R i( t) + u a ( t) du a ( t) 1 = dt C i ( t ) Durch Einsetzen erhält man eine Differentialgleichung erster Ordnung: R C du t a ( ) + u a ( t) = u e ( t) dt Für diese Differentialgleichung ist die Lösung mit den Randbedingungen u ( e t < 0) = 0 und u ( t 0) = u : e 0 t/ R C u ( t) = u ( e ) a 0 1 Vorgegeben wird eine sprunghafte Anregung der Höhe u 0. Das Verhalten der Ausgangsgröße ist die Sprungantwort. u(t) u e (t) u a (t) t Abb : 31

32 Darstellung des Zeitverhaltens durch die Übergangsfunktion Die übliche grafische Darstellung eines Regelungsblocks in einem Strukturbild ist eine skizzierte Abbildung seiner Sprungantwort in einem Rechteck u e (t) t u e (t) u a (t) u a (t) t Abb : Den Verlauf, den die Ausgangsgröße nach einer sprungartigen Eingangsänderung hat, bezeichnet man als Übergangsfunktion. Kennzeichnung von Regelstrecken Es gilt: Die Regelstrecke hat als Eingangsgröße die Stellgliedanordnung y(t) und als Ausgangsgröße die Regelgröße x(t). Für lineare Übertrager kann man das Zeitverhalten einer Regelstrecke durch die allgemeine Differentialgleichung 2 n ''' '' ' dx '' d x Sn x S3 x + S2 x + S1 x + S0 x = y mit x =, x =, usw. beschreiben. 2 dt dt Die höchste Ableitung der beschreibenden Gleichung kennzeichnet die Ordnung der Regelstrecke. Man spricht von einer Regelstrecke n-ter Ordnung, wenn ihr Zeitverhalten exakt oder wenigstens mit guter Näherung durch eine Differentialgleichung n-ter Ordnung dargestellt werden kann. Weiterhin unterscheidet man - Regelstrecken mit Ausgleich - Regelstrecken ohne Ausgleich Regelstrecken mit Ausgleich: Hier strebt die Regelgröße nach z.b. sprungartiger Stellgliedsverstellung für t einen neuen Beharrungszustand an. Für t 32

33 verschwinden alle Ableitungen x, x,... und der Endwert ist die Größe x = 1. Der S0 einfachste Fall ist eine Strecke der Ordnung 0 mit der Gleichung S 0 x = y. Die meisten Regelstrecken zeigen Verzögerungen, d.h. die Ausgangsgröße folgt nicht unmittelbar einer sprungartigen Eingangsgröße, sondern mit einer zeitlichen Verzögerung. Die einfachste verzögerte Regelstrecke ist die Regelstrecke 1. S Ordnung mit der Gleichung S1 x' + S0 x = y bzw. TS x' + x = VS y mit T und S S = 1 0 V = 1 S S0. Die Lösung dieser Gleichung bei einer Sprungfunktion ist bekanntlich: t/ T x = V ( 1 e S ) S x T S V S t Abb : Eine Regelstrecke 2. Ordnung wird durch die Differentialgleichung S x'' + S x' + S x = y beschrieben. Das ist die bekannte Schwingungsgleichung, die bspw. in der Mechanik das Verhalten eines Feder-Masse-Systems mit Dämpfung beschreibt. Die Übergangsfunktion eines solchen Systems zeigt ein oszillatorisches Verhalten Regelstrecken ohne Ausgleich: Bei einer sprungartigen Änderung der Eingangsgröße wird die Ausgangsgröße vom vorliegenden Beharrunszustand weglaufen, ohne wieder einen neuen Beharrungszustand in dem Bereich der Ausgangsgröße anzunehmen. b) Beschreibung im Frequenzgangbereich Führt man aufwendigere Regelstrukturen auf Differentialgleichungen im Zeitbereich zurück, so sind diese sehr schnell unhandlich und unübersichtlich. Deshalb ist es günstiger, eine Transformation in den Frequenzbereich vorzunehmen (sog. Laplace- Transformation). Speist man ein Übertragungsglied mit einer sinusförmigen Eingangsgröße, so ist das Übertragungsverhalten als Funktion der Frequenz die j t Darstellung im Frequenzbereich. Ist bspw. u ( t) = U e ω, dann gilt: a 0 33

34 du a ( t) = j t j ω U ω 0 e dt Wählt man für die Spannung die komplexe Darstellung mit der abkürzenden Schreibweise jω = p, so ergibt sich für das Beispiel des RC-Netzwerks: p T u ( p) + u ( p) = u ( p) mit T=RC) oder a a e u a ( p) = F( p) u e ( p) mit F ( p ) = T p Definition des Frequenzgangs Der Frequenzgang eines Übertragers ist eine Funktion, die das Amplitudenverhältnis und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz beschreibt. Ein Übertrager wird durch die allgemeine Differentialgleichung m a x a x'' + a x' + a x = e x + e x ' e x m ( ) ( n) a 0 e 1 e n in seinem Zeitverhalten beschrieben. Ist die Eingangsgröße eine Sinusschwingung mit der Amplitude x e0, so kann diese in komplexer Schreibweise in der Form x = x e e e0 jwt dargestellt werden. Im eingeschwungenen Zustand ist die Ausgangsgröße eine Schwingung gleicher Frequenz, jedoch mit einer Phasenverschiebung. x = x e a a0 Dann ist: j( ωt+ α) jwt x '= jω x 0 e x '= j x e e e a ω jwt a0 ω 2 a0 ω 3 a0 jwt x '' = ( jω) 2 x 0 e x '' = ( j ) x e e e jwt x e ''' = ( jω) 3 x e0 e x a ''' = ( j ) x e ( n) n jwt ( m) m x = ( jω) x 0 e x = ( j ) x e e e a a ω a0 Durch Einsetzen in die allgemeine Differentialgleichung, die das Zeitverhalten eines Übertragers beschreibt, ergibt sich: jwt jwt jwt m 2 j t n { m ( ω)... ( ω) 1 ω 0} e0 { n ( ω)... 1 ω 0} j t x e ( ω + α ) ω a j + + a j + a j + a = x e e j + + e j + e a0 2 Der Frequenzgang F() erhält man, indem man das Verhältnis Ausgangsgröße zu Eingangsgröße bildet: 34

35 F( jω) = j x a0 e x e e0 ( ωt+ α) jωt x a0 jα = e = x e0 n e n ( jω) e jω + e m a ( jω) a jω + a m Man kann den Frequenzgang unmittelbar aus der gegebenen Differentialgleichung heraus berechnen, z.b.: 2 T x'' + T x' + x = y x( p)( T p + T1 p + 1) = y( p) x( p) 1 F( p) = = y( p) + T p + T p Wichtige lineare Übertragungsglieder der Regelungstechnik Glied 1. Ordnung Ein Verzögerungsglied 1. Ordnung (Tiefpaß) ist das im vorstehenden Beispiel behandelte RC-Netzwerk Proportionalglied Wird der Kondensator in das RC-Netzwerk durch einen ohmschen Widerstand ersetzt, so ergibt sich das Übertragungsverhalten eines Proportionalglieds, d.h.: Die Ausgangsgröße ist nicht mehr frequenzabhängig und direkt proportional zur Eingangsgröße. Das Verhältnis zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße ist der Verstärkungsfaktor oder Proportional-Beiwert. Integralglied Die Ausgangsgröße ist das Integral der Eingangsgröße über der Zeit. Umgekehrt könnte man auch sagen: Das Eingangssignal ist die Ableitung (Steigung) des Ausgangssignals. Ist der Wert der Eingangsgröße 0, so ändert sich der Ausgangswert des Integrators nicht. Wurde ein konstanter Wert ungleich 0 angelegt, ändert sich die Ausgangsgröße mit konstanter Steigung (also linear). Vergrößert man den Eingangswert gleichförmig, so ändert sich der Ausgangswert immer schneller. In der Elektrotechnik kann damit das Verhalten eines Spannungsabfalls über einem Kondensator als Funktion seines Ladestroms beschrieben werden. In der Mechanik ist es bspw. der zurückgelegte Weg eines Körpers als Funktion seiner geschwindigkeit. 35

36 P Symbol Übertragungsfunktion Realisierungsbeispiel I D PT1 PT1 PT2 F( p) = T p 2 2 V + 2DTp

37 3.2.2 Fuzzy-Regelungssysteme 1. Struktur Analog zum konventionellen Regler kann ein Fuzzy-Controller interpretiert werden. Es ist ein Übertragungsverhalten mit Eingangsgrößen, die die über den Zustand des Prozesses bzw. der Regelstrecke zur Verfügung stehenden Informationen darstellen, sowie die Ausgangsgrößen für den Prozeß. X 1 Y 1 Fuzzy-Controller... X n Y m Abb.: Fuzzy-Controller mit den Eingangsgrößen X i und der Stellgröße Y j Von außen betrachtet, zeigt der Regler keinerlei Unschärfe, d.h.: Sowohl Eingangsals auch Ausgangsgrößen sind scharfe Werte. Die Unschärfe liegt im Innenleben des Reglers. Eingangsgrößen X... 1 WENN... UND... DANN... WENN... UND... DANN... WENN... UND... DANN Stellgröße Y X n Fuzzyfizierung Inferenz Defuzzifizierung Abb.: Logische Struktur eines Fuzzy-Controllers Eingangs- und Stellgrößen sind linguistische Variable und durch Fuzzy-Mengen charakterisiert. Durch Fuzzifizierung werden die scharfen Eingangsgrößen in unscharfe Größen überführt. Die Inferenzmaschine generiert im 2. Schritt mit Hilfe des vorgegebenen Regelwerks an den fuzzifizierten Eingangsgrößen eine unscharfe 37

38 Stellgröße. Diese wird schließlich durch Defuzzufizierung wieder in ein scharfes Signal zurückverwandelt. Die Umsetzung der 3 Arbeitsschritte kann in der on line Berechnung der Stellgröße für die aktuelle Kombination der Eingangsgrößen bestehen. Dazu geht am folgendermaßen vor: (1) Bestimmen des Erfüllungsgrads jeder Regel - Ermitteln des Erfüllungsgrads für die einzelnen Prämissen (WENN-Teile) der Regeln - Verknüpfen der einzelnen Erfüllungsgrade über den UND- oder ODER- Operator (z.b. MIN- bzw. MAX-Operator) (2) Ermitteln der zugehörigen Stellgrößen-Fuzzy-Mengen für alle aktiven Regeln (3) Ermitteln der resultierenden Fuzzy-Menge durch Überladen aller Stellgrößen- Fuzzy-Sets (4) Ermitteln der scharfen Stellgröße durch Defuzzifizierung Bsp.: Fuzzy-Controller mit den Eingangsgrößen x 1 (= 0.25) und x 2 (= -0.3). 2 Regeln sind aktiv R 1 : WENN x 1 = PS UND x 2 = DANN y = PS R 2 : WENN x 1 = UND x 2 = NS DANN y = x 1 = 0.25 x 2 = y (Stellgröße) Abb.: 38

39 Fuzzy-Regelungssysteme zeigen die gleichen Strukturen wie klassische Regelungssysteme: Regelbasis - Fuzzifizierung Inferenzmechanismus Defuzzyfizierung Strecke FC Abb.: Einschleifiger Regelkreis mit Fuzzy-Controller 2. Fuzzy-Entwurfsschritte (1) Wahl der Meßgrößen mit den daraus abgeleiteten Größen als Eingangsgrößen des Fuzzy-Controller sowie der Stellgröße als Ausgangsgröße (2) Festlegung der möglichen Wertebereiche für die Ein- und Ausgangsgrößen (Skalierung der linguistischen Variablen) (3) Definition der linguistischen Terme und ihre Zugehörigkeitsfunktionen (Fuzzy Sets) für alle linguistischen Variablen (4) Aufstellen der Regelbasis (5) Festlegen der Inferenzmaschine (Operatoren, Inferenzmethode, Datentyp, Defuzzifizierungsmethode) (6) Simulation des Regelkreises, falls ein Modell der Regelstrecke vorhanden ist. Das Modell muß nicht ein exaktes Modell sein, sondern kann ebenfalls mit einem Fuzzy-System verbal beschrieben werden. (7) Optimierung (8) Stabilitätsanalyse über offline- oder online-prüfverfahren oder über mathematische Verfahren 39