Wissenschaftliche Nachrichten: Vol. 127/2005, Der Wert von Optionen NORBERT BRUNNER

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1 Wissenschaftliche achrichten: Vol. 17/ Der Wert von Optionen OBET BUE Finanzderivate sollen gegen unverhoffte Kursschwankungen versichern. Wir geben einen kurzen Überblick über die vor ca. 30 Jahren entwickelten Grundlagen ihrer Bewertung mit der Formel von Black und Scholes sowie dem binomischen Modell. Im Folgenden betrachten wir die europäischen Optionen für Aktien ohne Dividenden näher: Ihr Inhaber hat das echt das zu Grunde liegende Wertpapier zum vereinbarten Zeitpunkt T zum festen Kurs K zu verkaufen (Put-Option) bzw. zu kaufen (Call-Option). Wird das echt nicht ausgeübt dann verfällt die Option. Wenn S(t) der Kurs des Wertpapiers zum Zeitpunkt t ist dann ist der Wert P(T) der Put-Option bzw. C(T) der Call-Option zum Zeitpunkt T (1) PT ( ) = max { K ST ( )0} und CT ( ) = max { ST ( ) K0} Was ist Wert der Option zum Kaufzeitpunkt t = 0? Bekannt sind bei t = 0 die historische Kursentwicklung der Aktie insbesondere S = S(0) > 0 der Ausübungskurs K und der Termin T > 0. Weiter soll der Diskontsatz r > 0 (stetige Verzinsung) zur Abzinsung zukünftiger Geldflüsse feststehen. 1. Basismodell. Wir wollen zunächst annehmen dass wir in einer einfachen Welt leben von der wir wissen dass wir zum Zeitpunkt T nur mit zwei Möglichkeiten konfrontiert sein werden. Beim günstigen Szenario erlebt die Aktie eine Wertsteigerung auf S(T) = u S im ungünstigen Fall erleidet sie einen Wertverlust auf S/u. Dabei ist u > 1 zunächst beliebig. Wenn die Anleger die Wahrscheinlichkeit p für die Wertsteigerung der Aktie auf u S kennen wird sich ihre Kaufentscheidung am Erwartungswert der gewählten Investition orientieren (risikoneutrales Verhalten). Demnach wäre der gegenwärtige Kurs S der abgezinste zukünftige Erwartungswert () der Aktie. Der Abzinsungsfaktor nach T Zeiteinheiten ist = e rt. Aus Gleichung () kann man p nach (3) berechnen. 1 (1 p) () S= pus + S u u 1 (3) p = u 1 Damit das Modell sinnvoll ist und p zwischen 0 und 1 liegt muss zwischen 1/u und u sein. Aus p lässt sich der Wert einer Option berechnen die allgemein zum Zeitpunkt T den Wert A hat wenn der Aktienkurs steigt (Wahrscheinlichkeit p) und B wenn er sinkt. Der Kaufpreis ist ihr abgezinster Erwartungswert zum Ausübungszeitpunkt T also 1 (4) E = ( p A+ ( 1 p) B) Beispiel. Bei einer Put-Option mit dem Ausübungspreis K zwischen S/u und u S ist A = 0 und B = K S/u; analog die anderen Fälle für K. Mit (4) folgt daraus für den Wert: Für K < S/u ist E = 0 (die Option ist zum Zeitpunkt T sicher wertlos) und für K > u S ist E = K/ S (der Preis für das echt die Aktie heute schon zum K entsprechenden höheren Kurs zu verkaufen). Dazwischen ist E eine lineare Funktion von K. Da Anleger nicht risikoneutral sind ist die in () definierte risikoneutrale Wahrscheinlichkeit p i.a. nicht die unbekannte wirkliche Wahrscheinlichkeit π > p für einen Kursanstieg: Darin ist noch eine isikoprämie für den Anleger enthalten der sonst statt der Aktie eine sichere

2 Wissenschaftliche achrichten 17 März/April 005 S Anlage mit demselben erwarteten Ertrag wählt. Man schätzt π aus der vergangenen Kursentwicklung über die mittlere (nicht diskontierte) Zuwachsrate Q ab: Der wirkliche Erwartungswert von S(T) ist Q S und es gilt Gleichung (5) mit der Lösung (6). (1 π ) (5) Q S = π u S + S u uq 1 (6) π = u 1. Ein ökonomisches Argument. Bei der Bewertung der Option wäre es unfair in (4) mit π statt mit p zu rechnen weil dann der Optionsnehmer das isiko abwälzt aber die isikoprämie behält. Black und Scholes haben für die Begründung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit folgende alternative Überlegung entwickelt: 1 Die Wertentwicklung der Option wird mit einer Mischung aus einer sicheren Anlage und dem ursprünglichen Wertpapier nachgebildet. Eine davon abweichende Bemessung ermöglicht über die achbildung des Portfolios (und Kauf bzw. Verkauf der Option) Arbitrage-Geschäfte bei denen zum Zeitpunkt T ein sicherer Gewinn auf Kosten desjenigen winkt der sich im Wert der Option irrt (weil er z.b. nicht mit p rechnet). Angenommen wird dass eine sichere Anlage im Veranlagungszeitraum die Wertsteigerung = e rt mit der gleichen und im Veranlagungszeitraum konstanten ate r für Guthaben und Kredite hat. Der Optionsgeber veranlagt den Erlös von W aus dem Optionsverkauf spesenfrei in x sichere Anlagen und y Stück Aktien. (egative Werte sind Kredite bzw. Leerverkäufe.) Der Wert der Option ist demnach (7) W = x + y S Dieses Portfolio wird so gewählt dass zum Zeitpunkt T die Verpflichtungen aus der Option erfüllt werden können. Für x und y gelten daher die Gleichungen (8) mit den Lösungen (9): (8) x + y u S = A und x + y S/u = B. 1 Bu A u A B (9) x = und y = u 1 S u 1 In (7) eingesetzt und nach A und B zusammen gefasst erhalten wir wieder mit p von (3) den Wert W = E. Das ist dasselbe Ergebnis wie (4) aber mit einer anderen Interpretation: 3. Binomisches Modell. Wir erweitern jetzt das einfache zweistufige Modell. Untersucht wird die Kursbewegung für gleich lange Zeitschritte zwischen t = 0 und T; zur Vereinfachung sei = T und somit t = 1. Beim Übergang von t nach t+1 behalten wir die Annahmen des einfachen Modells bei: Der Kurs kann immer nur zufällig um den Faktor u steigen oder um 1/u sinken. Dadurch treten die zukünftige Szenarien für den Wert der Aktie in der regelmäßigen Form von Tabelle 1 auf: Zum Zeitpunkt t = n gibt es für den Kurs S(n) die n+1 Szenarien n k (10) Snk = S u mit k = 0... n. Die Kursentwicklung wird durch einen Zufallspfad durch diese Tabelle modelliert. Von S n k kann man S n+1 k = u S n k und S n+1 k+1 = S n k / u erreichen. Die Übergangswahrscheinlichkeiten ergeben sich aus dem Modellzweck: Will man den wirklichen Kursverlauf modellieren verwendet man π von (6). Bei der Optionsberechnung verwendet man die risikoneutrale Gelöscht: 1 Black F. und Scholes M.: The pricing of options and corporate liabilities. In: Journal of Political Economy. Jg. 81 (1973) S Cox J. und oss S.: The valuation of options for alternative stochastic processes. In: Journal of Financial Economics. Jg. 3 (1976) S

3 Wissenschaftliche achrichten 17 März/April 005 S Wahrscheinlichkeit p von (3) zum Faktor = e r pro Zeitschritt: S n+1 k erreicht man mit der Wahrscheinlichkeit p und S n+1 k+1 mit der Wahrscheinlichkeit 1 p. Tabelle 1. Mögliche Wertentwicklungen einer Aktie. n= S(n) = S S u 1 S u S u 3 S u 1 S u 0 S u 1 S u S u 1 S u 3 Ein Pfad wird dabei mit folgendem Experiment identifiziert: Aus einer Urne mit einem Anteil von p grünen und 1 p roten Kugeln wird zu den Zeitpunkten t = je 1 Kugel mit Zurücklegen entnommen. Der Kurs bewegt sich entsprechend der Farbe der Kugeln bei grün nach oben und bei der rot nach unten. Zum Kurswert S(T) = S k kommt man dann mit k Aufwärtsbewegungen (grün) und k Abwärtsbewegungen (rot). Die Wahrscheinlichkeit für eine solche Ziehung beträgt k k (11) pk = p ( 1 p) k Der Wert der Option zum Zeitpunkt t = 0 ist dann der mit diskontierte Erwartungswert des Werts zum Zeitpunkt T = also bei einer Call- bzw. Put-Option zum Ausübungskurs K: (1) C = pk max{ 0 Sk K} k = 0 (13) P = pk max{ 0 K Sk } k = 0 Eine Vereinfachung ergibt sich wenn man die Summe (1) abbricht bei ln ( KS) 1 (14) a= ln( u) Das ist die größte Zahl k bei der noch S k K gilt. Die eckige Klammer entspricht der Excel- Funktion ABUDE(Zahl; 0) auf 0 Kommastellen. Somit lässt sich (1) zerlegen in a a S k K (15) C = pk u p k k= 0 k= 0 Zur Abkürzung für den zweiten Summanden setzen wir (16) bin( a 1 p) p a = k = 0 k Diesen Ausdruck berechnet Excel als BIOMVET(a; ; 1 p; 1). Er ist die kumulative (wegen 1 am Schluss) Wahrscheinlichkeit von 0 bis a Abwärtsbewegungen bei unabhängigen Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit 1 p zur Abwärtsbewegung. Den ersten Summanden in (15) kann man ebenfalls weiter vereinfachen wenn man setzt u p (17) q = Damit wird q k wie in (11) mit q (statt mit p) definiert. Wegen u > und (3) ist 0 q 1 und k k pk u 1 p (18) = 1 = qk u u p Insgesamt erhalten wir daraus K (19) C= S bin( a 1 q) bin( a 1 p) 3

4 Wissenschaftliche achrichten 17 März/April 005 S Ganz analog rechnet man mit einer Put-Option; die Summe (13) beginnt mit a +1. Man erhält: K (0) P= ( 1 bin( a 1 p) ) S ( 1 bin( a 1 q) ) 4. Kalibrierung. Mit (19) (0) lässt sich in Excel der Wert einer Option aus S K und dem Parameter u einfach berechnen. Um jedoch Optionen für reale Aktien mit dem binomischen Modell zu bewerten muss man u an die realen Daten anpassen. Hier verwendet man das binomische Modell mit der wirklichen Wahrscheinlichkeit π eines Kursanstiegs und wählt u und π so dass die mittlere Zuwachsrate Q und die Volatilität den beobachteten Daten entsprechen. Der Wert einer Option wird dann mit diesem u berechnet aber mit p statt mit π. Zur Beurteilung der Volatilität betrachtet man die Logarithmen der Zuwachsraten des Wertpapiers (also die Zinssätze pro Zeiteinheit bei stetiger Verzinsung) und ermittelt ihre Varianz σ pro Zeiteinheit. 3 Beim binomischen Modell verändert sich der logarithmische Zuwachs pro Periode um ± ln( u) mit der Wahrscheinlichkeit π bzw. 1 π. Die Varianz V im Modell ist somit pro Periode (1) V = 4 ln( u) π (1 π) Setzt man für π Formel (6) mit der beobachteten mittleren Zuwachsrate Q ein so erhält man (1). Damit wird die Gleichung V = σ nach u gelöst. In Excel verwendet man dazu den Solver. Bei genügend vielen Zeitschritten gibt es auch einen äherungswert (3) mit dem man das Modell ohne Bezug auf Q aufstellen kann: ( Qu 1) u ( u Q) () V = 4 ln( u) u 1 (3) u = e σ ( ) Beispiel. Wir berechnen den Wert einer Option auf die Aktie der Austrian Airlines. Die Aktie hat zum Kaufzeitpunkt den Kurs S = Gesucht ist der Wert einer Call- Option zum Ausübungskurs K = 11 für den Ausübungszeitraum T von 30 Tagen. Wir verwenden das binomische Modell mit täglichen Zeitschritten d.h. = 30. Aus den Tageskursen vom bis erhält man für die Streuung der logarithmischen Zuwachsrate pro Tag: 4 σ = Den Diskontsatz setzen wir an mit 5% p.a. Tabelle. Auswertung einer Call-Option mit dem binomischen Modell. A B C D E 1 S K T in d σ Zinssatz pa % 3 u p q a put(k) call(k) In Excel werten wir diese Formeln wie in Tabelle aus: In A bis E tragen wir die Ausgangsdaten ein. In A4 berechnen wir den Abzinsungsfaktor pro Tag in B4 ermitteln wir 3 Meist sind tägliche Kurswerte verfügbar. Daraus schätzt Excel σ mit VAIAZ. 4 Historische Börsenkurse findet man z.b. bei Yahoo ( Unter Adj. Schlusskurse liegen sie in der für die Berechnung der Zuwachsraten benötigten Form vor (fiktive Aktie ohne Dividenden bzw. Splits). 4

5 Wissenschaftliche achrichten 17 März/April 005 S u mit der äherungsformel (3) in C4 D4 sind p und q mit Formel (3) und (17) in E4 steht Formel (14). Insgesamt stehen in der 4. Zeile folgende Einträge: = (1 + E)^(1/365) = EXP(D) = (B4*A4 1)/(B4^ 1) = B4*C4/A4 = ABUDE((C L(B/A)/L(B4))/; 0) In Zelle B5 und D5 steht das esultat der Formeln (0) und (19): = B*(1 BIOMVET(E4; C;1 C4; 1))/A4^C A*(1 BIOMVET(E4; C; 1 D4; 1)) = A*BIOMVET(E4; C; 1 D4; 1) B*BIOMVET(E4; C;1 C4; 1)/A4^C Der Wert der Call-Option ist demnach 831 Cent. 5 (Berechnet man u mit Q aus den Daten als Lösung von Gleichung 0 dann erhält man als Wert 835 Cent.) 5. Black-Scholes Modell. Als weitere Vereinfachung des binomischen Modells untersuchen wir Unterteilungen von T in immer kürzere Zeitintervalle t 0. Wir behandeln also den Grenzfall von folgenden binomischen Modellen: Periodenlänge t = T/ Abzinsungsfaktor = exp( rt ) und u = exp( σ T ) nach (3) entsprechend der Varianz σ T/ des Zeitintervalls t. Die Formeln (19) (0) für den diskontierten Erwartungswert von Optionen gehen dann mit der bekannten Approximation der binomischen Verteilung (16) durch die ormalverteilung über in die Black-Scholes Formeln rt C= S d ( ) Ke d σ T (4) ( ) rt (5) P = K e ( σ T d) S ( d) Bei diesen Formeln ist (x) die Verteilungsfunktion der ormalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1 (sie ist in Excel als STADOMVET(x) programmiert) und 1 ln ( SK) + T ( r+ σ ) (6) d = σ T Tabelle 3. Auswertung der Black-Scholes Formeln. A B C D E 1 S K T in d σ Zinssatz pa % 3 r d put(k) call(k) In Excel werten wir dies wie in Tabelle 3 aus: In A bis E sind die Ausgangsdaten in A4 berechnen wir den täglichen Zinsfuß r und in B4 bis D4 die Formeln (6) (5) und (4) also: = L(1 + E)/365 = (L(A/B) + C*(A4 + D^/))/(D*C^05) = B*EXP( A4*C)*STADOMVET(D*C^05 B4) A*STADOMVET( B4) = A*STADOMVET(B4) 5 Am Ausübungstag war der Endkurs 135 d.h. C(30) = 5 und P(30) = 0. Im Vergleich zu 15% Gewinn beim Aktienkauf hätte eine Spekulation mit Optionen 170% Gewinn bzw. 100% Verlust gebracht. 5

6 Wissenschaftliche achrichten 17 März/April 005 S B*EXP( A4*C)*STADOMVET(B4 D*C^05) Im Fall der Call-Option erhält man den Wert von Cent. Mit (4) (5) kann man qualitative Aussagen über das Verhalten von Optionen treffen z.b.: Der Wert vergrößert sich bei einer höheren Volatilität und einer längeren Laufzeit. Vor der konkreten Anwendung muss man sich allerdings im Klaren darüber sein dass der Grenzwert von binomischen Modellen den Kursverlauf noch nicht korrekt wiedergibt. Die Logarithmen der Zuwachsraten wären im Grenzwert nämlich normalverteilt wovon z.b. die Zuwachsraten der AUA-Aktie im Beobachtungszeitraum signifikant abweichen. Die Ermittlung genauerer Modelle ist ein Thema der Finanzmathematik. Anschrift: a.o. Univ. Prof. Dr. orbert Brunner Department für integrative Biologie Univ. BOKU Peter Jordan Str Wien norbert.brunner@boku.ac.at 6