Vorlesungsskript Grundlagen der Physik IIIb Elektrizitätslehre Diplom Physik Diplom Wirtschaftsphysik Lehramt Physik

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1 Vorlesungsskript Grundlagen der Physik IIIb Elektrizitätslehre Diplom Physik Diplom Wirtschaftsphysik Lehramt Physik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Universität Ulm 19. Dezember 2010

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3 «Auskünfte aus erster Hand gibt nur die Natur selbst. Sie ist also zu befragen, will man nicht zeitlebends am Krückstock von Autoritäten humpelnd lernen.» Roger Bacon, Mönch zu Oxford, 13. Jh.

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5 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Dank Literaturhinweise Begriffe Elektrostatik Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz Das elektrische Feld Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz Dipole in elektrischen Feldern Elektrische Felder von Leitern Influenz und Bildladung Elektrostatisches Potential Poisson-Gleichung Kapazität: eine geometrische Eigenschaft Energie des elektrischen Feldes Elektrische Eigenschaften der Materie Dielektrika Elektrische Phänomene Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik Elektrische Ströme Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes Das Ohmsche Gesetz Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme RC-Stromkreise Magnetfeld und Lorentzkraft Die magnetische Kraft Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme Relativistische Berechnung Eigenschaften des B-Feldes Das Ampèresche Durchflutungsgesetz Quellenfreiheit Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung Hall-Effekt Die Lorentz-Transformation der Felder E und B Zusammenfassung: Ströme Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder Das Faradaysche Induktionsgesetz Eine bewegte Leiterschleife in einem stationären B-Feld... 99

6 Inhaltsverzeichnis Der magnetische Fluss Induktionsgesetz von Faraday, Integral- und Differentialform Wirbelströme Transformator Kirchhoffsche Gesetze Wechselstromkreise, Impedanzen Elektromotoren Betatron Skin-Effekt Energie des Magnetfeldes Magnetische Eigenschaften der Materie Kugeln im inhomogenen Magnetfeld Der Satz von Larmor Diamagnetismus Magnetisierung Das magnetische Moment des Elektrons: Spin Paramagnetismus Ferromagnetismus Zusammenfassung: Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder Die Maxwellschen Gleichungen Elektromagnetische Wellen Die Wellengleichung im Vakuum Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem Wellenwiderstand Stehende Wellen Poynting-Vektor und Energiefluss Elektromagnetische Wellen im Raum Zusammenfassung A. Mathematische Sätze 157 A.1. Satz von Gauss A.2. Satz von Green A.3. Satz von Stokes B. Berechnung elektrischer Felder 159 B.1. In der Nähe eines Leiterstückes B.2. Auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe B.3. Innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche B.4. In allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter Abbildungsverzeichnis 165 Tabellenverzeichnis 168 Stichwortverzeichnis c Ulm University, Othmar Marti

7 1. Einleitung 1.1. Dank Ich habe mich über alle Kommentare und Anregungen zu diesem Skript vor allem von Studierenden gefreut. Ich bin Herrn Nils Tobias Krämer sehr dankbar für das sorgfältige Durchlesen des Skripts Literaturhinweise Die Vorlesung orientiert sich an den Werken von Tipler[TM04], Physik, Leisi[Lei98], Klassische Physik, Alonso-Finn[AF00], Gerthsen/Vogel[Mes06], Physik und, als leichtere Einführung das Buch von Halliday[HRW03]. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne74] Repetitorium der Physik empfohlen werden. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im Bronstein[BSMM00] zusammengefasst. Dieses Skript gibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site. Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R. Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath Begriffe Symbol Name Einheit Bemerkungen f Mittelung über f C α atomare Polarisierbarkeit F m 2 = Asm2 V 2 m = Cm2 = N V α Winkel (z.b. zwischen 1 Geschwindigkeit und der Oberflächennormalen der Referenzfläche a Abstand einer Ladung m zur Oberfläche, Radius a Dicke eines Dielektrikums m a Länge einer Leiterschlaufe m in einem Motor da Oberflächenelement in m 2 Integralen m a Beschleunigung s 2 = N kg

8 Einleitung 8 Symbol Name Einheit Bemerkungen A Fläche m 2 A Fläche des Plattenkondensators m 2 A Vektorpotential T m = N A = mkg = V s As 2 m β reduzierte Geschwindigkeit 1 β = v c b Breite eines Dielektrikums m b Breite einer Leiterschlaufe m in einem Motor h Breite des Leiters in einer m Hall-Anordnung B magnetische Induktion T = N Am = kg As m 2 s = V s m 2 c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum C Kapazität F = C V = As J V 2 = C2 J C Curie-Konstante AK T m = A2 K Am K V s V = N = c ij Kapazität zwischen den Körpern i und j F 1 δ(t) Delta-Funktion für die s Zeit 1 δ(x) Delta-Funktion für den m Ort δx Längenelement m andere Schreibweise zu dx Laplace-Operator 1 m 2 f = 2 f x f y f z 2 da Flächenelement m 2 d Abstand m d Abstand der Platten im Plattenkondensator m 1 div Divergenz-Operator m div f = x y z f x + fy x y f x f y f z + fz z = 8 c Ulm University, Othmar Marti

9 9 1.3 Begriffe Symbol Name Einheit Bemerkungen C D Dielektrische Verschiebung = C = N m 2 Nm V m e Elementarladung C e = C e Basis des natürlichen Logarithmus ɛ relative Dielektrizitätszahl 1 e = Im Allgemeinen ist ɛ ein Tensor. (heisst auch relative Dielektrizitätskonstante) ɛ 0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums N E(r) elektrisches Feld = V C m E lokal lokales elektrisches Feld N C = V m E 0 elektrisches Feld ohne Dielektrikum C 2 = C = Nm 2 V m J V 2 m N C = V m 12 C2 ɛ 0 = Nm 2 Verwendet bei Berechnungen mit dielektrischen Materialien E pot potentielle Energie J = Nm E t spezifische Haftenergie J m 2 φ eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten 1 Winkel gemessen von der x-achse in der xy- Ebene (Längengrad) J ϕ elektrostatisches Potential = V C ϕ Phase 1 Φ Fluss eines Vektorfeldes F Nm 2 In diesem Falle, Einheit hängt vom Vektorfeld ab Φ B magnetischer Fluss 1W b = T m 2 = Nm = kgm2 = A As 2 V s f(x) Funktion x ist ein Platzhalter F Kraft N F L Lorentzkraft N F M magnetische Kraft N F V Kraftdichte N m 3 F F V = lim V V 0 V c Ulm University, Othmar Marti 9

10 Einleitung 10 Symbol Name Einheit Bemerkungen γ relativistischer Korrekturfaktor 1 γ = ( ) 1/2 1 v2 c 2 1 grad Gradienten-Operator grad f = m G Leitwert S = A V = 1 Ω G Gravitationskonstante m 3 kg s 2 h Höhe der Mantelfläche m x y z f = f x f y f z h Höhe des Leiters in einer Hall-Anordnung m h Plancksches Wirkungsquantum Js reduziertes Plancksches Js Wirkungsquantum A H Magnetfeld m i Stromdichte A m 2 I Strom A h = Js h Js I eff effektiver Strom A I rms RMS-Strom A Leistungsgewichteter Strom, Root Mean Square -Strom j lineare Stromdichte A m k Federkonstante N m k beliebige, auch komplexe Zahl 1 J k B Boltzmann-Konstante K K Vorfaktor 1 I( y) j = lim y 0 y λ mittlere freie Weglänge m λ Linienladungsdichte C m l Abstand von q zu +q im Dipol l Drehimpuls m m 2 kg s L Länge m 10 c Ulm University, Othmar Marti

11 Begriffe Symbol Name Einheit Bemerkungen L Selbstinduktion oder H = W b = A Selbstinduktivität einer T m 2 = Nm = A A Spule 2 kgm 2 A 2 s 2 = V s = Ωs A Ns µ 0 Induktionskonstante 2 = N = H µ C 2 A 2 m 0 = 4π 10 7 N A 2 m Masse kg m magnetisches Moment Am 2 m z magnetisches Moment in Am 2 z-richtung M Gesamtmasse aller Ionen kg M 12 Gegeninduktivität zwischen zwei Spulen M Mol Molmasse H = W b A = T m 2 = Nm A A 2 = kgm 2 A 2 s 2 kg = V s A = Ωs Mol A M makroskopische Magnetisierung m M Drehmoment N m ν Frequenz Hz = 1 s n Ladungsträgerdichte 1 m 2 1 n spezifische Windungszahl einer Spule m n = N l n Normalenvektor auf ein Flächenelement 1 1 N Dichte der induzierten m 3 Dipole N Windungszahl einer 1 Spule 1 N A Avogadrozahl N Mol A = Mol p Dipolmoment Cm p Impuls (mechanisch) kgm s = Ns p ind induziertes Dipolmoment 2 V Cm = Asm = Nm P Leistung W = J = Nm s m 2 kg s 3 P Polarisation C m 2 = As m 2 s = = N V m P M Leistung des Motors W = Nm s = m 2 kg s 3 z.b. Verlustleistung am Widerstand c Ulm University, Othmar Marti 11

12 Einleitung 12 Symbol Name Einheit Bemerkungen q Ladung C = As = Nm V Q Ladung C = As = Nm V andere Schreibweise für q ρ Massedichte kg m 3 ρ el elektrische Ladungsdichte C m 3 = P a V Siehe auch Gleichung (2.9) ρ spezifischer Widerstand Ωm = V m A = m S ρ Abstand m r Abstand, Ortsvektor m r 0 Referenzradius m 1 rot Rotations-Operator rot f = m R Widerstand Ω = V A x y z f y fz z y f z fx x z f x y fy x f x f y f z = R Wellenwiderstand Ω = V A R Radius m σ Oberflächenladungsdichte C m 2 σ Influenzladungsdichte an der Oberfläche σ (spezifische) Leitfähigkeit C m 2 S m = A V m = 1 Ωm Im Allgemeinen ist die Leitfähigkeit ein Tensor σ Maxwell Maxwellspannung (mechanische Spannung) s Schlaufe, ein Weg m N m 2 F σ Maxwell = lim A 0 A s Spin Js ds Längenelement m S S Bezugssystem für relativistische Rechnung Bezugssystem für relativistische Rechnung 12 c Ulm University, Othmar Marti

13 Begriffe Symbol Name Einheit Bemerkungen S + Bezugssystem für relativistische Rechnung S Bezugssystem für relativistische Rechnung S Poynting-Vektor J m 2 s ms Θ eine der Koordinaten bei Kugelkoordinaten τ Mittlere Zeit zwischen s zwei Stössen, Relaxationszeit τ Abklingzeitkonstante eines s RC-Gliedes τ Zeit unter Integralen s t Zeit s t kleine Zeitdifferenz s T Periodendauer einer periodischen s grösse T Temperatur K J U Spannung, auch elektrostatisches Potential = V C J U grav Gravitationspotential = m2 kg s 2 U C Spannung am Kondensator V = Nm As U eff effektive Spannung V 1 Winkel gemessen von der z-achse (Breitengrad, von Norden gemessen) U rms RMS-Spannung V Leistungsgewichtete Spannung, Root Mean Square -Spannung U EMK elektromotorische Kraft V = Nm As U Hall Hallspannung V = Nm As U R Spannung am Widerstand V = Nm As m v j Geschwindigkeit des j- s ten Ladungsträgers m v s Abziehgeschwindigkeit s Klebestreifen V Hilfsvektorpotential T m = N = A mkg As 2 = V s m c Ulm University, Othmar Marti 13

14 Einleitung 14 Symbol Name Einheit Bemerkungen dv Volumenelement m 3 ω Kreisfrequenz 1 s ω = 2πν Ω 1 Larmorwinkelgeschwindigkeit s J w el elektrische Energiedichte = N m 3 m 2 J w B Energiedichte des Magnetfeldes = N m 3 m 2 W Arbeit J = Nm W el elektrische Arbeit J = Nm W mech mechanische Arbeit J = Nm W Batt Arbeit der Batterie J = Nm ξ χ e Ersatz für x in Integralen dielektrische Suszeptibilität m 1 Im Allgemeinen ist χ e ein Tensor X C X L x Ortsvektor m x Koordinate im kartesischen m Koordinatensys- tem Impedanz der Kapazität Ω oder kapazitiver Widerstand Impedanz der Spule oder Ω induktiver Widerstand y Koordinate im kartesischen m Koordinatensys- tem z Koordinate im kartesischen m Koordinatensys- tem Z Kernladungszahl 1 14 c Ulm University, Othmar Marti

15 2. Elektrostatik Elektrostatik wird benötigt, um die Wirkung von Klebestreifen, die Ladungstrennung beim Ausgiessen, die Funktion von Elektronenröhren, die Funktion der Braunschen Röhre und die Funktion des Kondensators beschreiben. Versuch zur Vorlesung: Entfernen eines Klebestreifens von einem Elektrometer Versuch zur Vorlesung: Ladungstrennung (Versuchskarte ES-24) Versuch zur Vorlesung: Ladungstrennung (Versuchskarte ES-25) Die Elektrostatik befasst sich mit der Wechselwirkung elektrisch geladener Körper. Seit dem Altertum ist bekannt, dass Körper sich durch reiben aufladen können. Wo haben Sie sich schon aufgeladen? Staub oder kleine Teilchen bleiben an aufgeladenen Körpern hängen. Sie werden auch gegen die Gravitationskraft angezogen. Die Kraft zwischen Ladungen kann stärker als die Gravitationskraft sein. Es gibt auch Situationen, wo sich durch Reibung geladene Teilchen abstossen. Es gibt mindestens zwei Arten von Ladungen! Versuch zur Vorlesung:

16 Elektrostatik 16 Reibungselektrizität (Versuchskarte ES-15) Genaue Untersuchungen haben gezeigt, dass es genau zwei Arten von Ladungen gibt. Lichtenberg benannte die Ladungen so, dass Ladungen auf geriebenen Glasstäben positiv genannt werden und Ladungen auf geriebenem Bernstein negativ. Zwei Ladungen ziehen sich an, wenn sie verschiedener Art sind (positiv und negativ oder negativ und positiv) Zwei Ladungen stossen sich ab, wenn sie gleichnamig sind (positiv und positiv oder negativ und negativ) Ladung ist eine extensive Grösse, das heisst, sie skaliert mit der Grösse des Systems. Versuch zur Vorlesung: Ladungen löffeln (Versuchskarte ES-13) Genaue Messungen zeigen, dass für Elektronen die elektrostatischen Kräfte etwa mal stärker als die Gravitationskräfte sind 12. Die Gravitationskräfte können also nur beobachtet werden, da die Ladungen sich im Mittel sehr genau kompensieren Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 617]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 189]) 1 Gravitation: F G (r) = G m2 e r 2 2 Elektrostatische Kraft: F E (r) = 1 4πɛ 0 q 2 e r 2 = 1 = Nm 2 r Nm2 ( = kg) 2 kg 2 r = Nm 2 r π C2 Nm 2 r 2 ( C) 2 16 c Ulm University, Othmar Marti

17 Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz Abbildung 2.1.: Auslenkung zweier mit identischer Ladung q geladener Kugeln. Wenn zwei Kugeln mit der gleichen Ladung q geladen sind, werden sie nach aussen abgestossen. Wird die Ladung verändert, ändert sich die Kraft proportional. q 1 q 2 = F 1 F 2 (2.1) Dabei wird angenommen, dass die Ladungen Punktladungen sind. Ladungen werden in Coulomb, abgekürzt, C, angegeben. Eine Messung der Kräfte mit einer Drehwaage (nach Cavendish) ergibt das folgende Gesetz F (r) = K q 1 q 2 r 2 12 r 12 r 12 (2.2) wobei die Konstante vom Masssystem abhängt und im SI-System K = 1 4πɛ 0 (2.3) ist. Die Konstante ɛ 0 heisst Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Ihre Grösse ist ɛ 0 = C 2 N m 2 (2.4) Indem man ɛ 0 festlegt, legt man die Grösse der Ladungseinheit fest. Im SI-System wurde K = 10 7 c 2 = gesetzt, damit die elektrischen Grössen einen handhabbaren Zahlenwert haben. Mit dieser Definition folgt der Wert von ɛ 0. Dieses Gesetz kann durch folgende Überlegung erraten werden: F (r) ist ein Vektorfeld. Der mathematische Fluss dieses Vektorfeldes durch ein Flächenelement da ist dφ(r) = da F (r), wobei die Richtung von A die Richtung der Normalen zu diesem Flächenelement ist. Der gesamte Fluss durch die Kugeloberfläche A(r) = 4πr 2 ist durch Φ(r) = dφ(r) = F (r)da gegeben. A A c Ulm University, Othmar Marti 17

18 Elektrostatik 18 Da das Problem kugelsymmetrisch ist, kann F (r) nicht von der Richtung abhängen und muss radial sein. Damit kann die Kraft vor das Integral genommen werden. Φ(r) = F (r) A da = 4πr 2 F (r) Wenn der Fluss des Vektorfeldes F unabhängig von r sein soll, so muss die Kraft umgekehrt proportional zu r 2 sein. Versuch zur Vorlesung: Coulomb-Gesetz (Versuchskarte ES-31) Das Coulombsche Gesetz lautet F (r) = 1 q 1 q 2 r 12 4πɛ 0 r12 2 (2.5) r 12 Das Coulombsche Gesetz ist mathematisch äquivalent zum Gravitationsgesetz. Alle Aussagen über die Gravitation gelten auch für Ladungen, mit der Abweichung, dass Ladungen zwei Vorzeichen haben können. Elektrostatische Kräfte sind additiv. Ladungen sind nicht beliebig teilbar. Versuche von Millikan ergaben, dass die kleinste beobachtbare Ladung den Betrag C hat. Diese Ladung ist auf Elektronen q = e = C (Masse: m e = kg) und Protonen q = e = C (Masse: m p = kg) zu finden. e heisst die Elementarladung. In Kernbauteilen, den Quarks, gibt es Ladungen vom Betrage e/3. Diese Ladungen sind aber nicht frei zu beobachten. Ladungen können nur paarweise entstehen (jeweils die gleiche negative und positive Ladung). Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System ist konstant. 18 c Ulm University, Othmar Marti

19 Das elektrische Feld 2.2. Das elektrische Feld Wir wollen eine Formulierung finden, die die Stärke der elektrostatischen Kraft als eine Feldgrösse mal die Ladung der Testladung beschreibt, also F = qe. Damit haben wir eine Beschreibung der Elektrostatik, die unabhängig von der Testladung ist. Genauer formuliert hat man E(r) = lim q 0 F (r) q (2.6) Wir definieren Das elektrische Feld der Ladung Q ist durch gegeben. E(r) = 1 Q r 12 4πɛ 0 r12 2 (2.7) r 12 E ist das elektrische Feld und somit auch der Feldvektor des elektrischen Feldes 3. Die Einheit von E ist [E] = N/C = V/m. 4 E/ N = V C m Stromleitung in Wohnhäusern 10 2 Radiowellen 10 1 Atmosphäre 10 2 Sonnenlicht 10 3 Unter einer Gewitterwolke 10 4 In einer Röntgenröhre 10 6 Laser bis Am Ort des Elektrons im Wasserstoffatom Auf der Oberfläche eines Urankerns Tabelle 2.1.: Elektrische Felder in der Natur Eine Verteilung von N + 1 Ladungen q i (r i ) hat das elektrische Feld E(r) = N i=0 E(r r i ) = 1 4πɛ 0 N i=0 q i r r i 2 r r i r r i (2.8) Die obige Gleichung gilt für alle r i r, i = 0... N. Für kontinuierliche Ladungsverteilungen führt man eine Ladungsdichte Q(r) ρ el (r) = lim V 0 V (2.9) 3 g ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes 4 Es ist V A = W = Nm/s sowie C/s = A. Also ist CV = AsV = Nm und damit C = Nm/V. c Ulm University, Othmar Marti 19

20 Elektrostatik 20 ein. Das resultierende elektrische Feld ist dann E(r 0 ) = 1 4πɛ 0 ρ el (r) r 0 r dv (2.10) r 0 r 2 r 0 r Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4) Feldlinien dienen zur Visualisierung des elektrischen Feldes. Formal konstruiert man eine Feldlinie, indem man von einem Ausgangspunkt aus den Vektor des elektrischen Feldes abträgt und dann vom neuen Startpunkt aus wieder gleich verfährt. Zeichnet man quer zu den Feldlinien eine Linie und zählt, wie viele Feldlinien man pro Längeneinheit hat, ist dies ein Mass für die Feldstärke. Das Konzept der Feldlinien stammen von Michael Faraday. Feldlinien laufen von der positiven Ladung zu der negativen Ladung. Abbildung 2.2.: Feldlinien. Links von einer positiven Ladung, rechts von einer negativen Ladung. Die Feldlinien zeigen von der positiven Ladung zu der negativen Ladung. Versuch zur Vorlesung: Applet: elektrostatische Felder (Versuchskarte ) Link zur Vorlesung:(Applet: elektrostatische Felder) 20 c Ulm University, Othmar Marti

21 Das elektrische Feld Abbildung 2.3.: Feldlinien bei zwei gleichen positiven Ladungen. 1. Elektrische Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen. 2. Um eine einzelne Punktladung herum sind alle Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt 3. Die Anzahl der Feldlinien, die von positiven Ladungen ausgehen, oder auf negativen Ladungen enden, ist proportional zu der Grösse der Ladung. 4. An jedem Punkt des Raumes ist die Feldliniendichte proportional zur Feldstärke in diesem Punkt. 5. In grosser Entfernung wirkt ein System von Ladungen wie eine einzige Punktladung, deren Grösse der Gesamtladung des Systems entspricht. 6. Feldlinien schneiden sich nicht. c Ulm University, Othmar Marti 21

22 Elektrostatik 22 Abbildung 2.4.: Feldlinien bei einer positiven Ladung und einer vom Betrage her gleich grossen negativen Ladung. Wenn das elektrische Feld die einzige Ursache der Beschleunigung ist, dann gilt a = q m E (2.11) Ladungen, die aus der Ruhe durch ein elektrisches Feld beschleunigt werden, folgen den Feldlinien. Elektrische Felder, die eine Ladung q mit der Masse m ablenken, erlauben q/m zu bestimmen Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz Nach der Gleichung (2.9) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch Q = V (A) ρ el (r)dv (2.12) ausgedrückt werden. Abbildung 2.5.: Ladung in einem Raumgebiet Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir 22 c Ulm University, Othmar Marti

23 Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz definieren den Normalenvektor am Ort r als n = r/ r = r/r. Das Oberflächenelement da ist da = r 2 sin ΘdΘdϕ. Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist E(r) = Q 4πɛ 0 r r 3 (2.13) Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz Kugeloberfläche Q r E nda = 4πɛ 0 r r 3 r r2 sin ΘdΘdϕ Kugel = Q sin ΘdΘdϕ 4πɛ 0 Kugeloberfläche = Q ɛ 0 (2.14) Die Grösse Φ = Oberfläche E da ist der Fluss des Vektorfeldes E durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht werden, indem wir die dielektrische Verschiebung D(r) = ɛ 0 E(r) (2.15) einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist [D] = C/m 2 = As/m 2. Weiter ist Kugeloberfläche D da = Kugeloberfläche D nda = Q (2.16) Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das Volumen V (S) einschliesst. Abbildung 2.6.: Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung durch Punktladungen. c Ulm University, Othmar Marti 23

24 Elektrostatik 24 A D(r) da(r) = A = Q in A = V (A) D(r) n(r)da(r) (2.17) ρ el (r)dv Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (A.1) ) kann die Gleichung umgeschrieben werden in D(r) da(r) = div D(r)dV = ρ el (r)dv (2.18) A V (A) V (A) Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein div D(r) = ρ el (r) (2.19) Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes. Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.19) : div D(r) = 0. Diese Gleichung ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld v(r) gilt nämlich div v(r) = Dipole in elektrischen Feldern Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung q im Abstand l von einer positiven Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment p = ql (2.20) Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = Cm. Der Vektor des Dipols zeigt von q nach +q. 24 c Ulm University, Othmar Marti

25 Elektrische Felder von Leitern Abbildung 2.7.: Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld. Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft F und auf die negative Ladung F. Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment M = l F = (ql) (F /q) = p E (2.21) Versuch zur Vorlesung: Drehmoment auf elektrischen Dipol (Versuchskarte ES-30) 2.4. Elektrische Felder von Leitern (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 645]) Versuch zur Vorlesung: Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4) Die elektrischen Felder in der Nähe eines ausgedehnten Leiters auf der Symmetrieachse eines Kreisrings auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche in allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter werden im Anhang berechnet. Versuch zur Vorlesung: Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9) c Ulm University, Othmar Marti 25

26 Elektrostatik 26 Versuch zur Vorlesung: Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21) Versuch zur Vorlesung: Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19) Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale. Abbildung 2.8.: Felder innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale. Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius r > R ist Q ges = ɛ 0 E r da = E r 4πr 2 (2.22) Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche Q ist, haben wir Q ɛ 0 = E r 4πr 2 (2.23) Damit ist für r > R E r (r) = 1 4πɛ 0 Q r 2 (2.24) Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für r < R ist die eingeschlossene Ladung Q = 0. Damit ist auch Φ ges = E r 4πr 2 = 0 und folglich für r < R E r = 0 (2.25) 26 c Ulm University, Othmar Marti

27 Elektrische Felder von Leitern E-Feld einer Kugelschale 2 E(x) 1.5 E 1 E r = 0 E r = Q/(4π ε 0 r 2 ) Abbildung 2.9.: Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale. r Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R wird analog berechnet. Ausserhalb der Kugel für r > R ist wie oben Φ ges = E r 4πr 2 = Q/ɛ 0. Also ist für r > R E r (r) = 1 4πɛ 0 Q r 2 (2.26) Wenn die Ladungsdichte ρ el = Q/V = Q/( 4π 3 R3 ) ist, ist die von einer zur homogen geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < R umschlossene Ladung Q = ρ el V (r) = ρ el 4π 3 r3 Q(r) = Q 4π 4π 3 R3 3 r3 = Q r3 (2.27) R 3 Weiter haben wir E r 4πɛ 0 r 2 = Q. Also ist für r < R E r (r) = 1 4πɛ 0 Qr R 3 (2.28) E-Feld einer homogen geladenen Kugel 2 E r = Qr/(4π ε 0 R 2 ) Ek(x) 1.5 E 1 E r = Q/(4π ε 0 r 2 ) Abbildung 2.10.: Feldverteilung einer homogen geladenen Kugel. r c Ulm University, Othmar Marti 27

28 Elektrostatik 28 Abbildung 2.11.: Berechnung der Feldverteilung einer homogen geladenen Platte. Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet werden. Da wir Translationsinvarianz für jede Richtung in der Plattenebene haben, muss das elektrische Feld senkrecht auf der Platte stehen. Die elektrischen Felder auf den beiden gegenüberliegenden Seiten der Platte müssen entgegengesetzt gerichtet sein, da die Platte eine Ebene mit Spiegelsymmetrie darstellt. Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche parallel zur Platte. Die Seitenflächen können beliebig hoch sein, da die Symmetrieüberlegungen besagen, dass sie keinen Beitrag zum Fluss liefern. Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist σa = Φ = ɛ 0 E n da = 2AE n (2.29) da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern. Also ist E r = σ 2ɛ 0 (2.30) homogen im Raum. 28 c Ulm University, Othmar Marti

29 Elektrische Felder von Leitern Abbildung 2.12.: Elektrisches Feld um eine endliche Platte. Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung l. Wir können drei Fälle unterscheiden: r l Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar. r l Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand. R l Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt nicht unterscheidbar. Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring[Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von E t = J/m 2 haben. Die Definition von E t ist E t = v s A F (t)dt v sf t A wobei v s = 0.01m/s die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen wird und A die Kontaktfläche ist. t = 0.1s ist die Loslösezeit. Die Haftkraft rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte σ ist E = σ/ɛ 0. Die Kraft auf eine Flächenladungsdichte σ ist dann F/A = σ 2 /ɛ 0. Mit den Daten von Herrn Döring erhalten wir und daraus die Flächenladungsdichte F A = σ2 ɛ 0 = E t v s t σ = e d 2 = ɛ0 E t v s t c Ulm University, Othmar Marti 29

30 Elektrostatik 30 Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen e im Abstand d angebracht sind. d ist dann vs t d = e ɛ 0 E t Wenn wir E t einsetzen erhalten wir d 10nm... 18nm. Dieser Abstand korreliert gut mit den bekannten Moleküldurchmessern. Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die elektrische Feldstärke wird E = σ/ɛ 0. Abbildung 2.13.: Kondensator: entgegengesetzt gleich geladene Platten Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum E = σ/ɛ 0. Abbildung 2.14.: Kondensator: gleich geladene Platten. Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder. Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können. 30 c Ulm University, Othmar Marti

31 Elektrische Felder von Leitern Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche des Leiters ist. Abbildung 2.15.: Berechnung des elektrischen Flusses Der gesamte Fluss ist Φ ges = E n da = Q ɛ 0 (2.31) da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir E n da = E n obere Fläche da = E n A = 1 ɛ 0 Aσ (2.32) und E n = σ ɛ 0 (2.33) Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen: Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche. Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse E r = σ/ɛ 0 c Ulm University, Othmar Marti 31

32 Elektrostatik Influenz und Bildladung Abbildung 2.16.: Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden. Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ(r), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine Bildladung q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet. Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft F (a) = 1 4πɛ 0 q 2 4a 2 (2.34) angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (z-komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche Damit ist die Oberflächenladungsdichte E z (r, a) = 2 qa (2.35) 4πɛ 0 (r 2 + a 2 ) 3/2 σ(r) = 1 qa (2.36) 2π (r 2 + a 2 ) 3/2 Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden Elektrostatisches Potential (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 681]) Die Arbeit ist durch W (r 1 r 2 ) = 5 Auch bei Dielektrikas gibt es Bildladungen r 2 r 1 F (r) dr (2.37) 32 c Ulm University, Othmar Marti

33 Elektrostatisches Potential definiert. Die potentielle Energie eines Kraftfeldes F (x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft. Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist F ext = F. Also x 2 E pot (x 2 ) = E pot (x 1 ) + F ext (x) dx (2.38) x 1 x 2 = E pot (x 1 ) F (x) dx = E pot (x 1 ) W (x 1 x 2 ) (2.39) x 1 Eine potentielle Energie existiert, wenn Die Arbeit W (r 1 r 2 ) unabhängig vom Weg ist. Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen). rot F (r) = 0 für alle r Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist E pot (r 2 ) = E pot (r 1 ) r 2 1 qq r 4πɛ 0 r 2 r r 1 dr (2.40) Abbildung 2.17.: Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist E ds = 0, entlang der radialen Teile ist E ds = E(r)ds. Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit r = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen. E pot (r 2 ) = E pot (r 1 ) qq 4πɛ 0 = E pot (r 1 ) qq 4πɛ 0 r 2 r 1 dr (2.41) r 2 ( 1 r ) r2 r 1 = E pot (r 1 ) + qq 4πɛ 0 Üblicherweise setzt man E pot (r = ) = 0. Damit wird E pot (r) = qq 1 4πɛ 0 r ( 1 r2 1 r1 ) (2.42) c Ulm University, Othmar Marti 33

34 Elektrostatik 34 Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten F (r) = grad E pot (r) (2.43) berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir ( ) F ( qq 1 r ) = grad = qq grad 1 4πɛ 0 r 4πɛ 0 r = qq ( 1 ) grad r 4πɛ 0 r 2 = qq r (2.44) 4πɛ 0 r 3 In Komponenten ist r = x 2 + y 2 + z 2 und = ( ; ; ) x y z Also grad ( 1 r ) = x y z 1 x2 + y 2 + z 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 x y z 2x 2y 2z ( x 2 + y 2 + z 2) = 1 r 3 r (2.45) Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt. E (r) = Q 4πɛ 0 r r 3 (2.46) Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1 ist das elektrische Potential ϕ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar. Wichtig ist die Beziehung ϕ(r) = U (r) = Q 1 4πɛ 0 r = E pot (r) q (2.47) E pot (r) = qu (r) = qϕ (r) (2.48) Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht, wird das elektrische Feld mit berechnet. Folgende Relationen gelten E = grad U = grad ϕ (2.49) 34 c Ulm University, Othmar Marti

35 Elektrostatisches Potential F (r) lim /q q 0 E (r) lim q q 0 F dr Edr grad E pot grad U E pot (r) lim /q q 0 U (r) = U (r) lim q q 0 (2.50) Wir merken uns U (r 2 ) = U (r 1 ) r 2 r 1 E (r) dr (2.51) analog zur potentiellen Energie. Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist 1 V olt = 1 Joule Coulomb = 1 J A s = 1W A Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor E, bei der Gravitation g Das Gravitationspotential ist U grav (r) = G m. r Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen q i an den Orten r i ist also U(r) = N i=0 U(r i ) = 1 4πɛ 0 N i=0 q i r r i Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρ el (r) ist das Potential U(r) = 1 ρel (r i ) 4πɛ 0 r r i dv = 1 4πɛ 0 dq(r i ) r r i (2.52) (2.53) Versuch zur Vorlesung: Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8) Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden, dass c Ulm University, Othmar Marti 35

36 Elektrostatik 36 ist, mit Wir erhalten du(x) = 1 4πɛ 0 1 r dq 2π 0 dq = Q U(x) = 1 4πɛ 0 2π 0 dq r = 1 4πɛ 0 2π 0 dq x2 + R = 1 2 4πɛ 0 Q x2 + R 2 (2.54) Kreisring: Potential entlang der Symmetrieachse U(x) 0.4 U x Abbildung 2.18.: Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine positive Ladung Q = 4πɛ 0 und dem Radius R = 2. Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe sei σ = Q/(πR 2 ). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda und erzeugt dann das Potential du(a, x) = 1 dq (2.55) 4πɛ 0 x2 + a 2 Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir U(x) = 1 R 4πɛ 0 0 2πaσda x2 + a = σ R 2 2ɛ 0 0 Dieses Integral ergibt nach Bronstein[BSMM00, Seite 309, Nr. 193] U(x) = σ x2 + a 2ɛ 2 0 R 0 a da x2 + a 2 (2.56) = σ 2ɛ 0 ( x2 + R 2 x ) (2.57) 36 c Ulm University, Othmar Marti

37 Elektrostatisches Potential Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x wie das Potential einer Punktladung, da U(x) = σ x 1 + R2 2ɛ 0 x x σ ( ) x + R2 2 2ɛ 0 2x x = σ R 2 4ɛ 0 x Kreis: Potential entlang der Symmetrieachse 2 U(x) 1.5 U x Abbildung 2.19.: Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2ɛ 0. Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ/(2ɛ 0 ). Das elektrostatische Potential eines Punktes P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren. U(x) = U(0) x 0 Edξ = U(0) σ x dξ = U(0) σ x für x > 0 (2.58) 2ɛ 0 2ɛ 0 0 Für x < 0 berechnet man U(x) = U(0) ( σ ) x = U(0) + σ x für x < 0 (2.59) 2ɛ 0 2ɛ 0 c Ulm University, Othmar Marti 37

38 Elektrostatik 38 2 Homogen geladene Ebene: Potential U(x) 1 0 U x Abbildung 2.20.: Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U 0 = 2 und σ = 2ɛ 0. Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld berechnet. Das radiale elektrische Feld ist E r (r) = 1 Q 4πɛ 0. Damit ist das Potential r 2 U(r) = U( ) r = U( ) Q 4πɛ 0 = U( ) Q 4πɛ 0 1 4πɛ 0 Q r 2 dr r dr r 2 ( 1 ) r r = U( ) + Q 1 4πɛ 0 r (2.60) Oder mit U( ) = 0 U(r) = Q 1 4πɛ 0 r für r > R (2.61) Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant. U(r) = Q 1 4πɛ 0 R für r < R (2.62) 38 c Ulm University, Othmar Marti

39 Elektrostatisches Potential Homogen geladene Kugelschale: Potential 2 U(x) 1.5 U x Abbildung 2.21.: Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und Q = 8πɛ 0. Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische Feld ist E = λ/(2πɛ 0 x). Das Potential ist dann U(r) = U(r 0 ) r r 0 λ dx 2πɛ 0 x = U(r 0) λ ( ) r ln 2πɛ 0 r 0 (2.63) Wir setzen U(r 0 ) = 0 und erhalten U(r) = λ ( ) r ln 2πɛ 0 r 0 (2.64) 2 Homogene Linienladung: Potential U(x) 1 0 U Abbildung 2.22.: Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung mit r 0 = 1 und λ = 2πɛ 0. x c Ulm University, Othmar Marti 39

40 Elektrostatik Poisson-Gleichung (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 197]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 703]) Wir hatten in Gleichung (2.19) gesehen, dass ist. Gleichung (2.51) besagt, dass div D (r) = ρ el (r) (2.65) E (r) = grad U (r) (2.66) ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung D = ɛ 0 E erhalten wir die Poisson- Gleichung. ɛ 0 div grad U (r) = ρ el (r) = ɛ 0 U (r) (2.67) oder U (r) = ρ el (r) ɛ 0 (2.68) Dabei haben wir den Laplace-Operator = div grad verwendet. In Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies ( x y z ) ( x y z ) = 2 x y z 2 (2.69) Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von Ladungsverteilungen. Beispiel: Bei einer geladenen Ebene ist ρ el (x, y, z) = δ (z) σ(x, y). Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in x und y zu U = 2 (z) U = σδ (2.70) z2 ɛ 0 Daraus folgt, dass U = const 0 für z 0. z Bei z = 0 haben wir einen Sprung der Grösse σ 0 ɛ 0 der symmetrisch von + σ 0 2ɛ 0 bis reichen muss. Nochmals integrieren ergibt σ 0 2ɛ 0 { U0 + σ 0 2ɛ U (z) = 0 z für z < 0 U 0 σ (2.71) 0 2ɛ 0 z für z > 0 U 0 ist eine frei wählbare Integrationskonstante. Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen sich frei bewegen können. Da Feldlinien de senkrecht zu einer Metalloberfläche, die immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen. An Luft kann man nicht beliebige Potentialunterschied aufrechterhalten. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft unter Normalbedingungen muss E < V m (2.72) sein. 40 c Ulm University, Othmar Marti

41 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft 2.7. Kapazität: eine geometrische Eigenschaft (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 202]) Versuch zur Vorlesung: Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27) Wir wollen das folgende Problem lösen: Wieviel Ladung kann auf einer Leiteranordnung gespeichert werden? Wir wissen: Im Inneren der Leiter ist U = const und ρ el = 0 An der Oberfläche sind die E-Felder senkrecht zur Oberfläche Zwischen den Leitern ist ρ el = 0, also U = 0 Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten. Abbildung 2.23.: Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum. Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden s Eds = q eingeschlossen ɛ 0 (2.73) Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen Beitrag geben, ist ɛ 0 E = σ (2.74) Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann Q = σda = ɛ 0 E da ɛ 0 E A (2.75) A A c Ulm University, Othmar Marti 41

42 Elektrostatik 42 A repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[jac75, 48]. Wenn wir die Leiter 1, 2,... n betrachten, ist U j U i = Q C ji = U ji = ϕ ij (2.76) mit U j dem Potential auf dem Leiter j und U i dem Potential auf dem Leiter i. C ji ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j. Da die Nummerierung in der Gleichung (2.76) willkürlich ist, muss C ij = C ji gelten. Die Einheit der Kapazität ist 1 F arad = 1 F = 1 C V = 1As V Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator (2.77) Abbildung 2.24.: Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist. Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen Flächenladung konstant E Ebene = σ 2ɛ 0 ist (Gleichung (2.29) ). Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q = Aσ = 2ɛ 0 E Ebene A. Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also ist E = 2E Ebene (2.78) Also ist Q = Aσ = ɛ 0 EA. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte gemessen von der ersten Platte U 2,1 = E d = 2E Ebene d = 2 σ 2ɛ 0 d = σd ɛ 0 (2.79) Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte Spannung U = σd ɛ 0 = Qd Aɛ 0 (2.80) 42 c Ulm University, Othmar Marti

43 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft oder Q U = ɛ A 0 d = C (2.81) Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen. Abbildung 2.25.: Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich. Beispiel: Ein Kondensator mit d = 0.1µm, A = 1m 2 und U = 10V Dann ist C = 88.5µF, Q = 0.885mC, σ = Q mc = und E = 10 8 V/m A m 2 Aus der Additivität des elektrischen Feldes folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren. Versuch zur Vorlesung: Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48) Abbildung 2.26.: Parallelschaltung von Kondensatoren. Q 1 = C 1 U Q 2 = C 2 U Q 3 = C 3 U (2.82) Q ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 = (C 1 + C 2 + C 3 )U (2.83) c Ulm University, Othmar Marti 43

44 Elektrostatik 44 oder Q ges U = C ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 U = C 1 + C 2 + C 3 (2.84) bei Parallelschaltung C = n C i (2.85) i=1 Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung U auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt. Abbildung 2.27.: Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren. Auf den Kondensatoren sind die Ladungen Q = Q 1 = (U U 1 ) C 1 = Q 2 = (U 1 U 2 ) C 2 = Q 3 = U 2 C 3 gespeichert, da in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet werden können. Also ist oder Q C 1 = U U 1 Q C 2 = U 1 U 2 Q C 3 = U 2 (2.86) U = Q + Q + Q ( 1 = Q ) = Q (2.87) C 1 C 2 C 3 C1 C2 C3 C ges. Für die Reihenschaltung gilt 1 C ges = n i=1 1 C i (2.88) 2.8. Energie des elektrischen Feldes (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne74, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 729]) 44 c Ulm University, Othmar Marti

45 Energie des elektrischen Feldes Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = Q C aufgeladen. Wir transportieren die Ladung Q von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist W (Q; Q + Q) = U Q = Q Q (2.89) C Dabei haben wir die Ladung Q über die Potentialdifferenz U transportiert. also W (0; Q) = Q 0 QdQ C = Q2 2C (2.90) oder mit C = ɛ 0A d oder mit Q = U C E pot (C) = Q2 2C E pot (d) = Q2 d 2ɛ 0 A (2.91) (2.92) E pot (U) = U 2 C 2 oder mit Q = EAɛ 0 und A d = V (das Volumen) E oder mit w el = lim pot V 0 V E pot = E2 A d ɛ 0 2 = E2 V ɛ 0 2 = E D V 2 der Energiedichte des elektrischen Feldes w el = ɛ 0E 2 = E D 2 2 Die Kraft F V auf ein Volumenelement V wird durch (2.93) (2.94) (2.95) beschrieben, da F V (r) F V (r) = lim V 0 V = ρ el (r) E (r) (2.96) F V (r) = E (r) Q = E (r) ρ el V (2.97) Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus F (r) n σ Maxwell = lim (2.98) A 0 A Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes. n ist der Normalenvektor der Oberfläche. Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes. Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet: E pot = Q2. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + d zu bringen ist. 2C c Ulm University, Othmar Marti 45

46 Elektrostatik 46 W (d, d + d) = F d = E pot (d + d) E pot (d) = Q2 2ɛ 0 A (d + d) Q2 d 2ɛ 0 A = Q2 d 2ɛ 0 A = Q2 A 2 da 2ɛ 0 = σ 2 da 2ɛ 0 = ɛ 2 0E 2 A d 2ɛ 0 = ɛ 0 2 E2 A d (2.99) und damit σ Maxwell = F A = ɛ 0 2 E2 = D E 2 (2.100) Beispiel: In einem Laser können Felder von V/m auftreten. Dies entspricht einer Maxwell-Spannung von P a bar. Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck. Versuch zur Vorlesung: Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16) 2.9. Elektrische Eigenschaften der Materie Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und einer Elektronenwolke der Ladung Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. 46 c Ulm University, Othmar Marti

47 Elektrische Eigenschaften der Materie Abbildung 2.28.: Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle. Das Kräftegleichgewicht lautet: Das induzierte Dipolmoment ist und damit F = ZeE = k( x) = kx (2.101) p ind = Zex (2.102) p ind = (Ze)2 k E = αe (2.103) Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit [α] = F m 2 = Cm2 V = Asm2 V ). Atom oder Molekül α/ ( ) 40 Asm2 10 V He 0.2 Li Ne 0.4 K Xe 3.5 O 3.5 CCL 4 10 CL 4 I 7 Tabelle 2.2.: gefüllte Elektronenschale Atom oder Molekül α/ ( ) 40 Asm2 10 V H 0.7 Li 13 K 38 Cs 46 Tabelle 2.3.: nicht gefüllte Elektronenschale c Ulm University, Othmar Marti 47

48 Elektrostatik 48 Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld E ist da E pot = α 2 E2 = p2 ind 2α = 1 2 Ep ind (2.104) und damit E pot = W (p, p + p) = QE x = E p = p p (2.105) α E pot = p 0 p p2 dp = α 2α (2.106) Dielektrika Versuch zur Vorlesung: Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3) Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen wurde. Dann gilt D = ɛ 0 E (2.107) Abbildung 2.29.: Isolatoren in einem Kondensatoren Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist E = U d (2.108) unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials. Andererseits ist D = ɛ 0 E = ɛ 0U d = ɛ 0Q Cd = ɛ 0Q ɛ 0 A d d = Q A (2.109) 48 c Ulm University, Othmar Marti

49 Elektrische Eigenschaften der Materie abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden. In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig. D = ɛɛ 0 E = (1 + χ e ) ɛ 0 E (2.110) mit ɛ 1 und χ e 0 ɛ heisst die Dielektrizitätskonstante, χ e die dielektrische Suszeptibilität. Im allgemeinen sind ɛ und χ e Tensoren. Material ɛ Vakuum 1 Luft Paraffin 2.1 Glas 5-9 Wasser(291k, 0Hz) 81 Wasser (291k, 1PHz 1,77 Tabelle 2.4.: Dielektrizitätskonstanten Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika angewandt werden, indem ɛ o durch ɛɛ 0 ersetzt wird. Woher rührt ɛ > 1? Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen. Abbildung 2.30.: Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld. Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation. c Ulm University, Othmar Marti 49