Mathematik für die Wirtschaftsschule

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1 Manfred Hoffmann Mathematik für die Wirtschaftsschule Band 1 1. Auflage Bestellnummer 40072

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße 2, Troisdorf ISBN Copyright 2009*: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort Das Lehrbuch Mathematik für die Wirtschaftsschule Band 1 berücksichtigt den neuen Lehrplan für die Wirtschaftsschulen in Bayern. Die im Lehrplan empfohlenen Anwendungsbezüge, vor allem aus dem Fachgebiet Wirtschaft, wurden weitgehend berücksichtigt. Allerdings nur so weit, dass das methodische Grundkonzept der Mathematik sich noch erkennbar zeigt. Das Lehrbuch enthält eine große Anzahl von Aufgaben in einem ausgewogenen Verhältnis zwischen Routineaufgaben und angewandten problemlösenden Aufgaben, wobei bei letzteren darauf geachtet wurde, dass die Probleme vom Schüler leicht erkannt werden können und damit für ihn auch lösbar sind. Für keine der Aufgaben werden Kenntnisse vorausgesetzt, die erst in nachfolgenden Kapiteln behandelt werden. An einigen Stellen sind vollständig vorgerechnete Musteraufgaben aufgeführt. Den Lehrkräften wird es freigestellt zu entscheiden, welche Aufgaben auf dem Papier und welche mit dem Taschenrechner gelöst werden sollen. Man könnte beispielsweise in der Klasse zwei Gruppen bilden: eine Rechengruppe, welche die Aufgaben schriftlich zu lösen hat und eine Kontrollgruppe, welche die Ergebnisse der Rechengruppe mit dem Taschenrechner überprüft. Bei der Bezeichnung von mathematischen Elementen sollte auf die Unterscheidung zwischen geometrischen Elementen (Punkten, Geraden, Flächen usw.) und Variablen bzw. Größen (sie enthalten Zahlenwerte) großer Wert gelegt werden. Erstere wurden mit Buchstaben in gerader Schrift ausgezeichnet, letztere mit Buchstaben in kursiver Schrift. Die farbige Gestaltung der einzelnen Elemente erleichtert das Lernen mit dem Buch: Definitionen (gelb), Beispiele (blau), Begriffe (grün), Regeln und Merksätze (ocker) sind sofort erkennbar und unterscheidbar. Die Fotos zu Beginn eines jeden Kapitels und im Text sollen das Gelesene bildhaft untermalen und hierdurch den Zugang zum Inhalt der Kapitel erleichtern. Autor und Verlag 3

4 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen 1.1 Mengen von Dingen, die wir sehen Mengen von Dingen innerhalb unseres Denkens Was ist eine Menge und was nicht? Angaben von Mengen Aufzählende Form Kennzeichnende Form Venn-Diagramm Wichtige Zahlenmengen Teilmengen Einführende Beispiele Definition der Teilmenge Anzahl von Teilmengen einer Menge Gleiche Mengen Schnittmenge, Vereinigungsmenge Einführende Beispiele Definitionen Differenz- oder Restmenge Einführende Beispiele Definition Grundmenge, Ergänzungsmenge Rechnen mit natürlichen Zahlen 2.1 Definition der natürlichen Zahlen Beispiele Zahlenstrahl Addition von natürlichen Zahlen Subtraktion von natürlichen Zahlen Multiplikation von natürlichen Zahlen Potenzen Division von natürlichen Zahlen Variable (Platzhalter)

5 Inhaltsverzeichnis 3 Rechnen mit ganzen Zahlen 3.1 Einführendes Beispiel Definition von ganzen Zahlen Addition von ganzen Zahlen Subtraktion von ganzen Zahlen Zusammenfassende Regel bei der Addition und Subtraktion Multiplikation von ganzen Zahlen Division von ganzen Zahlen Rechenregeln für ganze Zahlen Klammer mal Klammer Faktorisieren Binomische Formeln Rechnen mit rationalen Zahlen 4.1 Einführende Beispiele Bruchzahlen (Brüche) Die Menge der rationalen Zahlen Erweitern und Kürzen von Brüchen Dezimalbrüche Einführende Beispiele Definition des Dezimalbruchs Formen von Dezimalbrüchen Runden Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch Division von Brüchen Verwandlung eines gemischt periodischen Dezimalbruchs in eine Bruchzahl Größen Begriffe Wichtige Einheiten Rechnen mit Größen Lineare Gleichungen und Ungleichungen 5.1 Aussagen und Aussageformen Einführende Beispiele Definitionen Verknüpfungen mit und bzw. oder

6 Inhaltsverzeichnis 5.2 Bestimmungsgleichungen Gleichungen und Ungleichungen Bestimmungsgleichungen, Bestimmungsungleichungen Äquivalente Umformungen von Bestimmungsgleichungen Äquivalente Umformungen von Bestimmungsungleichungen Bestimmung der Lösungsmenge Direkte Proportionen Einführende Beispiele Definitionen Verhältnisgleichungen Indirekte Proportionen Einführende Beispiele Definitionen Grundelemente der Geometrie 6.1 Punkt Linien Lagebeziehungen Beziehungen zwischen Punkt und Gerade Beziehungen zwischen zwei Geraden Beziehungen zwischen drei Geraden in der Zeichenebene Geradlinig begrenzte Flächenstücke Kreislinie, Kreisfläche Definitionen Begriffe und ihre Definitionen Beziehungen zwischen zwei Kreisen Konzentrische Kreise Zwei Kreislinien schneiden sich in einem Punkt, k 1 k 2 {P} Zwei Kreislinien schneiden sich nicht, k 1 k Zwei Kreislinien schneiden sich in zwei Punkten P und Q Koordinatensystem Einführende Beispiele Das kartesische Koordinatensystem Winkel Einführende Beispiele Definition Winkelmaße Mittelpunktswinkel eines Kreissektors Scheitel- und Nebenwinkel Stufenwinkel und Wechselwinkel Achsenspiegelung 7.1 Einführende Beispiele Definition

7 Inhaltsverzeichnis 7.3 Spiegelung von Punkten und Figuren Achsenspiegelung als Abbildung Fundamentalkonstruktionen Halbieren einer Strecke [AB], Konstruktion der Mittelsenkrechten von [AB] Lot errichten Lot fällen Winkel halbieren Punktspiegelung 8.1 Einführende Beispiele Definition Eigenschaften der Punktspiegelung Dreiecke 9.1 Bezeichnungen am Dreieck, Innen- und Außenwinkel Dreiecksformen Spitz- und stumpfwinklige Dreiecke Rechtwinkliges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Gleichseitiges Dreieck Konstruktionen von Dreiecken Geometrische Ortslinien (GO) Konstruktion eines Dreiecks aus den drei Seiten Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und einem eingeschlossenen Winkel Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite Konstruktion eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Gegenwinkel der kleineren Seite Dreieckstransversalen Mittelsenkrechten im Dreieck Höhen eines Dreiecks Winkelhalbierende eines Dreiecks Seitenhalbierende eines Dreiecks Konstruktionen mithilfe von Teildreiecken Flächenberechnung bei Rechteck, Quadrat und Dreieck Sachwortverzeichnis Bildquellenverzeichnis

8 Mengen 1 2. Gegeben sind folgende Mengen in der kennzeichnenden Form. Wandle sie in die aufzählende Form um. a) A ={x s sind die Ziffern unseres Dezimalsystems} b) B ={y y sind die ersten zehn Quadratzahlen} c) C ={z z sind die Reste, wenn man eine Zahl durch 4 teilt} d) D ={x x sind die Regierungsbezirke von Bayern} e) E ={y y sind die Namen der Lehrer deiner Schule} f) F ={u u ist die Menge aller ungeraden Zahlen} 3. Zeichne von den folgenden Mengen ein Venn-Diagramm. a) U ={u, v, w, x, y, z} b) B ={x x ist die Menge aller Primzahlen unter 15} c) C ={y y ist die Menge von fünf verschiedenen Brotsorten} d) D ={z z ist die Menge der Spektralfarben des weißen Lichts} e) E ={x x ist die Menge aller durch 3 und durch 6 teilbaren Zahlen} 4. Schreibe folgende Zahlenmengen in der aufzählenden Form. Die ersten 6 Elemente genügen: n 0, z, z, q, q 5. Schreibe alle Teilmengen von folgenden Mengen auf. a) A = {0, 1, 2} b) B = {Zahl, Wappen} 6. Zeichne alle Mengen in ein einziges Diagramm. A ={a, b, c, d, e, f }, B ={a, b, c, d}, C ={c, d, e, f } 7. Wie viele Teilmengen haben folgenden Mengen? a) A = {Rom, Mailand, Florenz, Neapel, Bozen, Bologna} b) B ={p p ist Primzahl kleiner als 10} 8. Welche Mengen sind gleich, welche sind gleichmächtig? A ={2 2,2 3 }, B = {4, 8}, C = {1, 2, 3, 4}, D ={ Ω, }, E = {10, 100, 1 000}, F ={x x ist eine natürliche Zahl ohne 0 und kleiner als 5}, G = {Rechteck, Kreis}. 9. Übertrage die Aufgabe in dein Heft und schreibe die Symbole oder in die freien Plätze. a) 4 n b) 0 z c) 3 Z d) 0 e) 40 q f) 0,5 q g) 6 {p p ist Primzahl kleiner als 10} h) 81 {y y sind die ersten zehn Quadratzahlen} 17

9 1 Mengen 1.8 Schnittmenge, Vereinigungsmenge Einführende Beispiele Einführende Beispiele a) Im Kindergarten spielt ein Kind mit vielen roten und grünen Bauklötzen. Die Bauklötze sind verschieden geformt, einige von ihnen sind kleine Würfel. Das Kind erhält den Auftrag die Bauklötze nach ihrer Farbe zu trennen und alle Würfel unabhängig von ihrer Farbe in die Mitte zu legen. Dabei löst das Kind, ohne es zu wissen, folgende mathematische Aufgabe: Bilden der Menge P der roten Steine, Bilden der Menge Q der grünen Steine, Bilden der Schnittmenge von P und Q. Ein Kind bildet spielerisch eine Schnittmenge Veranschaulichung im Venn-Diagramm b) Eine größere Firma beschäftigt zwölf Fremdsprachenkorrespondentinnen. Acht davon beherrschen nur die englische Sprache, zwei nur die französische Sprache und zwei beherrschen beide Sprachen. Im Sinne der Mengenlehre kann man dabei folgende Aufteilung machen: Die Menge A bilden die Sekretärinnen, welche die Briefe in englischer Sprache bearbeiten können, die Menge B alle Sekretärinnen, die die Briefe in französischer Sprache erledigen. Sowohl in A als auch in B ist die Menge A B derjenigen Sekretärinnen, die beide Sprachen beherrschen. A B nennt man die Schnittmenge der Mengen A und B. (8) (2) (2) A (englisch) B (französisch) Veranschaulichung der Schnittmenge zweier Mengen 18

10 Mengen 1 c) Bei einer Umfrage in Haushalten ergab sich, dass 47 Familien die Illustrierte X, 83 Familien die Illustrierte Y und 20 Familien beide Illustrierten abonniert haben. Wie viele der befragten Familien haben mindestens eine der Illustrierten abonniert? Um diese Frage zu beantworten, führen wir folgende Mengen und ihre Mächtigkeiten ein: A ={x x bezieht die Illustrierte X} mit A =47 B ={y y bezieht die Illustrierte Y} mit B =83 A B ={u u bezieht die Illustrierten X und Y} A B ={v v bezieht mindestens eine der Illustrierten X, Y} A B Veranschaulichung im Venn-Diagramm: Anstelle der Elemente werden die Mächtigkeiten angezeigt Aus der Zeichnung entnehmen wir die Berechnung der Mächtigkeit von A B: A B = = Hausalte beziehen mindestens eine der Illustrierten Definitionen Definition Die Menge aller Elemente, die sowohl zu P als auch zu Q gehören, heißt Schnittmenge der Mengen P und Q, symbolisch P Q (lies: P geschnitten Q). Die Menge aller Objekte, die mindestens zu einer Menge P und Q gehören, heißt Vereinigungsmenge der Mengen P und Q, symbolisch P Q (lies: P vereinigt mit Q). P Q P P Q Q Venn-Diagramm zur Schnittmenge und zur Vereinigungsmenge Sind die beiden Mengen P und Q elementfremd, so ist die Schnittmenge die leere Menge. Die Schnittmenge zwischen einer Menge P und der leeren Menge ist die leere Menge, die Vereinigungsmenge von einer Menge P und der leeren Menge ist die Menge P. 19

11 1 Mengen Ist P eine Teilmenge von Q, dann gilt P Q = P und P Q = Q. Q P P ist eine Teilmenge von Q In der beschreibenden Form drückt das Bindewort und (Zeichen: ) eine Schnittmenge und das Bindewort oder (Zeichen: ) eine Vereinigungsmenge aus. Definition P ={p p ist Element der Menge P}, Q ={q q ist Element der Menge Q} P Q ={r r ist Element der Menge P und der Menge Q}, symbolisch P Q ={r r P r Q} P Q ={s s ist Element der Menge P oder der Menge Q}, symbolisch P Q ={s s P s Q} Beispiele a) Gegeben sind die Mengen P ={a, b, c, d} und Q ={b, c, x, y, z}. Die Schnittmenge ist: P Q ={b, c}, die Vereinigungsmenge ist: P Q ={a, b, c, d, x, y, z} b) Die Menge der gemeinsamen Teiler von 12 und 15 ist die Schnittmenge der Menge der Teiler von 12 und der Menge der Teiler von 15. T 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} und T 15 = {1, 3, 5, 15}, T 12 T 15 = {1, 3} c) P ={a 1, a 2, a 3, a 4 }, Q ={a 1, a 3, a 5 }, P Q ={a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } P Q ={a 1, a 3 } d) n = {0, 1, 2, 3, }, z ={ 1, 2, 3, }, n z = z, n z = e) A ={P PM = 3 cm} (Die Menge A besteht aus allen Punkten, die von einem Punkt M 3 cm entfernt sind, also auf einem Kreis um M liegen.) B ={Q QD = QC} (Die Menge B enthält alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten C und D gleichweit entfernt sind, also auf der Mittelsenkrechten der Strecke [CD] liegen.) Q M C D P Veranschaulichung zum Beispiel e) 20

12 Mengen 1 Aufgaben 1. Gegeben sind die Mengen A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} und B = {4, 5, 6}. Gib folgende Mengen in der aufzählenden Form an: A B, A B, A, B. 2. Gib A B und A B in der aufzählenden Form an und zeichne jeweils das Venn-Diagramm dazu. a) A = {3, 6, 8}, B = {4, 5, 6, 7} b) A = {10, 15, 20}, B = {5, 10, 15, 20} c) A ={a, c, e, g}, B ={b, d, f } d) A ={u, v, w, x, y}, B ={u, w, z} e) A = z, B = z 3. Gegeben sind die Mengen A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {1, 3, 5, 7}. Gib in der aufzählenden Form folgende Verknüpfungen an: A B C, A B C, (A B) C, A (B C), (A B) C. 4. Gegeben sind die Mengen P ={x 8 x 15 und x ist natürliche Zahl}, Q ={x 2 x 10 und x ist natürliche Zahl}. Gib P Q und P Q in der aufzählenden Form an. 5. A ={x x 3 und x ist natürliche Zahl}, B ={x 2 x 6 und x ist natürliche Zahl}, C ={x x 4 und x ist natürliche Zahl} Gib in der aufzählenden Form an: A B, A B, A C, A B C, A C, A B C 6. Gegeben sind die Mengen P = {1, 2, 4, 8, 16, 32} und Q = {1, 3, 9, 27, 81}. Gib P Q und P Q in der aufzählenden Form an. 7. Gib die folgenden Gleichungen in Worten wieder: a) A = A b) B = c) = d) A B = 8. a) A ={x x ist Teiler von 18}, B ={x x ist Teiler von 24}. Gib die Menge der gemeinsamen Teiler von 18 und 24 an. b) A ={x x ist Teiler von 36}, B ={x x ist Teiler von 54}. Gib die Menge der gemeinsamen Teiler von 36 und 54 an. c) A ={x x ist Teiler von 60}, B ={x x ist Teiler von 90}. Gib die Menge der gemeinsamen Teiler von 60 und 90 an. 21

13 1 Mengen 9. Bei einer Untersuchung von Schulkindern durch das Gesundheitsamt stellte sich heraus, dass 25 Kinder Haltungsschäden, 18 Kinder Karies und 9 Kinder Karies und Haltungsschäden hatten. Ermittle durch ein Venn-Diagramm wie viele Kinder mindestens einen der Mängel hatten. 10. In einem Warenlager befinden sich 120 Elektronikgeräte. Darunter sind 26 DVD- Player mit Netzanschluss, von denen 10 auch mit Batterie betrieben werden können, 28 DVD-Player können nur mit Batterie betrieben werden. a) Wie viele Elektronikgeräte sind keine DVD-Player? b) Zeichne ein Venn-Diagramm und gib die Mächtigkeiten aller Mengen an. c) Wie viele DVD-Player können mit Batterie betrieben werden? 11. Von den Schülern einer Klasse wählen 15 das Wahlfach Französisch und 6 das Wahlfach Italienisch. Unter diesen Schülern sind jedoch 4, die an beiden Wahlfächern teilnehmen. 8 Schüler der Klasse nehmen an keinem dieser Wahlfächer teil. Aus wie vielen Schülern besteht die Klasse? Zeichne ein Venn-Diagramm. 1.9 Differenz- oder Restmenge Einführende Beispiele Einführende Beispiele a) In einer Lostrommel befinden sich 20 Lose. Jedes Los ist mit einer Nummer von 1 bis 20 versehen. Aus der Menge von den 20 Losen wurden bereits die Lose mit den Nummern 2, 5, 6, 8, 11, 13, 19 entnommen. Die Frage, welche Losnummern noch in der Trommel sind, klären wir durch eine Mengenoperation: P ={x x ist Losnummer von 1 bis 20} Q = {2, 5, 6, 8, 11, 13, 19} PaQ = {1, 3, 4, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20} PaQ nennt man Restmenge P/Q Q P Venn-Diagramm zur Bildung einer Restmenge 22