TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik o. Prof. Dr. Tim Lüth. Bewegungstechnik. Dr. F.

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik o. Prof. Dr. Tim Lüth Bewegungstechnik Dr. F. Irlinger rriflex 435 ES Filmschaltwerk, entwickelt am FGB Bemerkungen zur Vorlesung Herausgegeben vom Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik der TU München 009

2 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite II Inhaltsverzeichnis 0 Systematik Pole 3. Drehpole 3. Momentanpole 3.3 Polkonfigurationen 4.4 Polkurven 4 Geschwindigkeiten 6. Momentandrehung 6. Vektorplan 6.3 Die Sätze von Burmester und Mehmke 7.4 Winkelgeschwindigkeiten 7 3 Beschleunigungen 7 3. Vektorgleichung 7 3. Maßstäbe Vektorpläne Die Sätze von Burmester und Mehmke Polbeschleunigung und Beschleunigungspol 3.6 Winkelbeschleunigungen 4 Polbewegungen 4. Relativgeschwindigkeit 4. Polwechselgeschwindigkeit 4.3 Polbeschleunigung Coriolisbeschleunigung 3 5 Bahnkrümmung 4 5. Konstruktion nach Hartmann 4 5. Gleichung von Euler-Savary Wendekreis und Rückkehrkreis Ro-Kurven Satz von Bobiller 8 8 Hüllkurve h b und Hüllbahn h d 0 6. Verzahnungen 6. Cyclogetriebe 6.3 Kinematische Umkehr Erzatzgetriebe 4

3 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite III 7 Freiheitsgrade 5 7. Grübler--Tschebyschew 6 7. Sonderabmessungen Differentiale F > utomatikgetriebe 8 8 Kurvengetriebe Zapfenerweiterung Bauformen Bewegungsgesetzte Konstruktion der Kontur 3 9 Wälzhebelgetriebe Bestimmungsgleichungen Konstruktion der Kontur 33 0 Gelenkgetriebe Umlaufbedingung Bauformen Koppelkurven Satz von Roberts Massenreduktion 36

4 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 0 Systematik Die Klassifizierung von Getrieben kann anhand verschiedenster Merkmale durchgeführt werden. So lassen sich Getriebe in gleichförmig und ungleichförmig übersetzende Bauformen unterteilen. Jeder dieser Typen kann entweder ein ebenes (alle Drehachsen parallel), sphärisches (alle Drehachsen schneiden sich in einem Punkt) oder ein allgemein räumliches (Drehachsen windschief) Getriebe sein. bb. : Getriebetypen klassifiziert nach Lage der Drehachsen Eine weitere Unterscheidung kann bezüglich des Gelenktyps erfolgen: Merkmal Beispiel Form der Relativbewegung Dreh-, Schub- oder Schraubgelenk Bewegungsverhalten an der Berührstelle Gleiten, Wäzen, Rollen und Kombin. nzahl der möglichen Einzelbewegungen F = oder F = usw. Lage der Drehachsen am Gelenk Ebenes oder räumliches Gelenk Berührungsart der Gelenkelemente Flächen-, Linien- oder Punktberüng rt und Paarung der Gelenkelemente Gelenk mit Kraft- oder Formpaarung Die rt der Gelenke geben oftmals Getrieben ihre Namen wie Zahnradgetriebe, Zugmittelgetriebe, Kurvengetriebe usw.

5 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite bb. : Getriebetypen klassifiziert nach den Gelenktypen Weitere Unterscheidungsmerkmale sind die nzahl der Freiheitsgrade. Sie geben an wieviele ntriebe notwendig sind um die Stellung aller Getriebeglieder eindeutig zu bestimmen. Ist der Freiheitsgrad größer spricht man von Differentialen, ist er 0 von Fachwerken und bei Werten kleiner 0 von überbestimmten Mechanismen. Die Getriebelehre beschäftigt sich mit der Systematik, nalyse, Synthese und dem dynamischen Verhalten von Getrieben. Eingesetzt werden Sie zur Lösung von Bewegungsaufgaben.

6 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 3 Pole. Drehpole Wird eine Ebene, repräsentiert durch zwei Punkte, von einer Lage in eine endlich benachbarte übergeführt, so gibt es einen Punkt in der ruhenden Ebene der als Mittelpunkt einer Drehung beide Lagen ineinander überführen kann. Dieser Punkt wird als Drehpol bezeichnet. ( P = Ms x MsB BB ) bb. 3: Zwei Lagen einer Ebene und zugehöriger Drehpol. Momentanpole Rücken die beiden Lagen infinitesimal nah zusammen (, und, B, BB werden zu bzw. B, wird aus dem Drehpohl der Momentanpol. Er wird durch den Schnitt der beiden Mittelsenkrechten auf die jeweiligen Bahntangenten gefunden. Die Bahntangenten verlaufen dabei jeweils in Richtung der momentanen Geschwindigkeitsvektoren. d bb. 4: Momentanpol

7 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 4.3 Polkonfigurationen Bei einem n-gliedrigen Getriebe gibt es z=(n (n-))/ Pole. Sie werden gemäß folgender Beziehung gefunden: P = P ab P ad x P cb P cd Zu der Kombination P. b P. d wird somit jeweils ein gemeinsamer Index angegeben. Diese Formel gilt sinngemäß für beliebige Gliedkombinationen im Getriebe. Betrachtet man die vier Glieder eines Viergelenks als vier Ebenen, so hat jede Ebene mit jeder anderen Ebene einen Pol. Insgesamt sind es sechs Pole. Vier davon sind Gelenke oder konstantane Pole, zwei weitere ergeben sich als Schnittpunkte der Geraden, auf denen die Pole mit verwandten Indices liegen bb. 5: Polkonfiguration am Viergelenk.4 Polkurven Verfolgt man den Momentanpol P während eines Umlaufs des Viergelenks, so erhält man die ruhende Polkurve k d. In der älteren Literatur heißt sie Rastpolbahn. Je nach dem Typ des Viergelenks hat sie einen Doppelpunkt in einem der Gelenke im Gestell. Sie ist eine geschlossene Kurve, die aber bis ins Unendliche reichen kann. Wenn der ntrieb um Punkt o voll umlauffähig ist, besitzt die Polkurve einen Doppelpunkt im Punkt B o. Markiert man den Momentanpol P in der bewegten Ebene, so erhält man die bewegte Polkurve k b oder Gangpolbahn. Wenn man das Viergelenk bewegt, so rollt die bewegte Polkurve k b auf der ruhenden Polkurve k d ab ohne zu gleiten. Jeweils am momentanen Berührpunkt der beiden Kurven befindet sich der Momentanpol, an dem sich die bewegte Ebene um die ruhende dreht. Gefunden wird die bewegte Polbahn in der Lage i, indem etwa der Pol P n in die i Lage i zurückübertragen wird. Er wird dann P n (Pol P n in Lage i) genannt. Gefunden wird er, indem das Δ n BBnP n auf i B ib gelegt wird.

8 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 5 bb. 6: Rast- und Gangpolbahn beim Viergelenk

9 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 6 Geschwindigkeiten Sind von einer, gegenüber der ruhenden Ebene d, bewegten Ebene b der Momentanpol P und die Winkelgeschwindigkeit ω (von b gegenüber d) bekannt, so ist der Geschwindigkeitszustand dieser Ebene vollständig beschrieben.. Momentandrehung Da die Geschwindigkeitsvektoren tangential der Bahnkurve verlaufen, kann der Momentanpol durch Schnitt von Senkrechten auf zwei Geschwindigkeitsvektoren von beliebigen Punkten des betrachteten Gliedes gefunden werden. Die Bahngeschwindigkeit eines Punktes der Ebene b ist :. Vektorplan v = ω Da diese Beziehung für jeden Punkt dieser Ebene gilt, kann sie z.b. auch für den Punkt B aufgestellt werden. Subtrahiert man die Geschwindigkeiten von zwei Punkten eines Gliedes, so ergibt sich: v B - v = ω v B = ω x r x [ r Damit zeigt sich, daß sich die Geschwindigkeit v B ebenfalls durch die Winkelgeschwindigkeit des gemeinsamen Gliedes ausdrücken läßt. Weiterhin läßt sich für beliebige zwei Punkte eines Gliedes folgende Beziehung aufstellen: v B = v Die Geschwindigkeit des Punktes B ist also gleich der vektoriellen Summe der Geschwindigkeit von und der Geschwindigkeit von B um. Die Geschwindigkeit von B steht senkrecht auf der Strecke B o B, die Geschwindigkeit von B um steht senkrecht auf der Strecke B. Damit ist ein Vektor nach Größe und Richtung vorgegeben. Von den beiden anderen ist die Richtung bekannt. Damit ist das Vektordreieck im Vektorplan bestimmt. Nachdem die Winkelgeschwindigkeit ω in der bewegten Ebene überall gleich ist, kann man, wenn die Geschwindigkeit eines Punktes und der Momentanpol P bekannt sind, die Geschwindigkeiten aller übrigen Punkte der bewegten Ebene über die Methode der gedrehten Geschwindigkeiten ermitteln. Man dreht den Vektorpfeil der Geschwindigkeit um 90 auf den Polstrahl, verbindet den Endpunkt am Polstrahl über eine Parallele zur Koppel mit dem Polstrahl des nächsten Punktes und dreht den bschnitt am Polstrahl des neuen Punktes um 90 zurück. Verbindet man die Pfeilspitzen der Geschwindigkeiten mit dem Pol P, so bilden sich die Winkelgeschwindigkeiten ω in Form von gleichen P P x r + v B B B - r P ]

10 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 7 Winkeln ab..3 Die Sätze von Burmester und Mehmke Überträgt man die Geschwindigkeitsvektoren der Punkte in einen Vektorplan, so entsteht ein gleichsinnig ähnliches bbild der nordnung der Punkte als Endpunkte der Vektorpfeile. Man kann die Pfeilspitzen der Vektoren mit den gleichen Buchstaben bezeichnen und durch einem Strich kennzeichnen. (Satz von Burmester) Δ BC Δ ' B ' C ' uch in der Getriebeskizze bilden die Pfeilspitzen der Geschwindigkeitsvektoren eine gleichsinnig ähnliche Figur. Die Pfeilspitzen kennzeichnet man mit überstrichenen Buchstaben. (Sätze von Burmester und Mehmke für die Geschwindigkeiten). Δ BC Δ ' B ' C ' Δ B C Damit kann man, sobald zwei Geschwindigkeiten einer bewegten Ebene bekannt sind, die Geschwindigkeiten von weiteren Punkten einfach bestimmen. bb. 7: Ähnliche Dreiecke in Lage- und Geschwindigkeitsplan.4 Winkelgeschwindigkeiten Für die Winkelgeschwindigkeit zwischen zwei Gliedern gilt: ω ab = -ω ba. Sind in einer kinematischen Kette die Glieder a,b und c hintereinander angeordnet, so gilt weiterhin: ω ca = ωc b + ω b a 3 Beschleunigungen 3. Vektorgleichung Um auf die Gleichungen für die Beschleunigungen zu gelangen, wird die Gleichung v B = v + v B nach der Zeit abgeleitet:

11 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 8 Wird der usdruckb b B genauer betrachtet, so ergibt sich gemäß der Kettenregel: b = b + [ ω x r ] + [ ω x r ] B B B v B ε Die Beträge der einzelnen Komponenten von b B berechnen sich zu: bnb = ω B= v B / B ; btb = ε B Wird auch die Beschleunigung des Punktes durch die Normal- und die Tangentialbeschleunigung ausgedrückt so erhält man für b B, B b nb +b tb = b n +b t +b nb +b tb v B v b v v v B v B wobei sich die Beträge von b n und b t wiederum zu b n = ω ad o = v / o ; b t = ε ad o ; ergeben. Diese Gleichungen gelten, wie auch bei den Geschwindigkeiten, für beliebige zwei Punkte eines Gliedes. 3. Maßstäbe Der Zeichnungsmaßstab M z ist das Verhältnis von Längen in der Zeichnung zu wahren Längen M z =r z /r [cm/m]. Wird der Geschwindigkeitsmaßstab M v =v z /v [cm/m s - ] gemäß M v =M z /ω xd gewählt, so sind die Geschwindigkeitspfeile aller Punkte der Ebene x in der Länge gleich ihrem bstand vom Drehpol P xd. Der Beschleunigungsmaßstab M b =b z /b [cm/m s - ] wird zur Vereinfachung der Konstruktion der Normalbeschleunigung über den Höhensatz meist mit M b =M v/m z angegeben. Es kann dann die Beziehung h =p q im rechtwinkligen Dreieck zur Konstruktion von b n gemäß v = o b n benutzt werden. 3.3 Vektorpläne Durch Verwendung der Vektorgleichungen lassen sich im Vektorplan Beschleu-

12 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 9 nigungen, etwa b B, bestimmen. Die Beschleunigung des ntriebs wird durch die Tangentialbeschleunigung b t beschrieben. Sie ist parallel zur Geschwindigkeit v des Punktes. Wird der Punkt weiter beschleunigt, so weist sie in die gleiche Richtung. Wird er verzögert, weist sie in die entgegengesetzte Richtung. Die Normalbeschleunigungen können bei bekannten Krümmungsmittelpunkten und geeigneter Wahl des Beschleunigungsmaßstabs über den Höhensatz konstruiert werden. Die Richtungen der Tangentialbeschleunigungen sind jeweils senkrecht auf den zugehörigen Normalbeschleunigungen. Damit lässt sich der Vektorzug schließen und die gesuchte Beschleunigung bestimmen 3.4 Die Sätze von Burmester und Mehmke In nalogie zu den Geschwindigkeiten gelten auch für die Beschleunigungen die Sätze von Burmester und Mehmke. So ist das Dreieck ΔBC in der Getriebeskizze dem Δ''B''C'' im Beschleunigungsplan ebenso gleichsinnig ähnlich, wie dem Dreieck welches durch die Spitzen der Beschleunigungspfeile in der Getriebeskizze gebildet wird. Sie werden durch zwei Querstriche über dem Gelenknamen gekennzeichnet.

13 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 0 bb. 8: Satz von Burmester und Mehmke

14 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 3.5 Polbeschleunigung und Beschleunigungspol Die Beschleunigung des Punktes der bewegten Ebene, etwa der Koppelebene b, der momentan Pol ist, kann über den Satz von Burmester gemäß ΔP B ~ ΔP ''''B'' leicht gefunden werden. Der Punkt Q einer Ebene der momentan keine Beschleunigung besitzt (keine ussage über die Geschwindigkeit!) kann ebenfalls über die Beziehung ΔQ''''B'' ~ ΔQB über ähnliche Dreiecke konstruiert werden. 3.6 Winkelbeschleunigungen Wie bei den Winkelgeschwindigkeiten gilt auch für die Winkelbeschleunigungen zwischen zwei Gliedern: ε ab = ε- ba. Sind in einer kinematischen Kette die Glieder a,b und c hintereinander angeordnet, so gilt weiterhin: ε ca = ε cb + ε ba

15 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 4 Polbewegungen 4. Relativgeschwindigkeit Ist eine Ebene c nicht über ein Drehgelenk mit einer Ebene b verbunden, sondern kann sie sich ihr gegenüber in einer Führung bewegen, so gilt: v B = v Dabei ist B der Punkt der Ebene c, welcher in der Führung gleitet und (B) der Punkt der Führung auf b, welcher momentan vom Punkt B berührt wird. (B) +v r 4. Polwechselgeschwindigkeit Wird die Konstruktion des Momentanpols getriebetechnisch nachvollzogen, indem ein als Zapfen ausgebildetes Glied e im Kreuzungspunkt zweier Gabeln, die immer in Verlängerung von o (Glied a) und B o B (Glied c) bewegt werden, geführt wird, so ergibt sich für die Geschwindigkeit eines Punktes E auf e, und damit für die Geschwindigkeit des Momentanpols in der ruhenden Ebene: v E = v (E)a + v ra und v E = v (E)c + v rc Durch Gleichsetzen der beiden Beziehungen, welche jeweils die Relativgeschwindigkeit von E gegenüber einem der im Gestell angelenkten Gliedern entspricht, läßt sich die Polwechselgeschwindigkeit bestimmen. Die Geschwindigkeiten v (E)a und v (E)c lassen sich als Geschwindigkeiten der Punkte von a und c, die momentan im Kreuzungspunkt der Gabeln liegen, über die zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten ω ad und ω cd leicht konstruieren. ußerdem sind die Richtungen von v ra und v rc, welche entlang den Gabeln verlaufen, bekannt.

16 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 3 bb. 9: Konstruktion der Polwechselgeschwindigkeit 4.3 Polbeschleunigung Wird der Punkt der bewegten Ebene der zum Zeitpunkt t Momentanpol war, und demzufolge die Geschwindigkeit v =0 hatte, zum Zeitpunkt t=t betrachtet so ist seine Geschwindigkeit v = u dt x ω. Die Polbeschleunigung ergibt sich so zu: b P = u x ω Sie steht also senkrecht zur Poltangente. 4.4 Coriolisbeschleunigung Wird die Beschleunigung eines Punktes, der seinerseits gegenüber einer bewegten Ebene seine Lage ändert, betrachtet, so kann dies an einem Ersatzgetriebe für ein Viergelenk wie folgt beschrieben werden:

17 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 4 ω ad x ( ω ad x r b nb o +b tb )+ ε = b ad x r n + b o t + ω +b nb x ( ω +b tb x r = B )+ ε x r B = mit ω = ωba + ωad und nach ausmultiplizieren folgt : - ω ad ( r o + r B )+ ε ad x ( r o + r B )+ ω ad x ( ωba x r B ) - ω ba r B + ε ba x r B = b B = b (B) + b cor +b r ; b B = b n(b) + b t(b) + b cor +b nr + b tr b cor = ω Es kommt somit zu dem nteil der Führungsbeschleunigung und der Beschleunigung der Relativbewegung selbst, ein weiterer nteil hinzu, der Coriolisbeschleunigung genannt wird. Er ist abhängig von der Winkelgeschwindigkeit des Führungssystems und der Relativgeschwindigkeit gegenüber diesem, und steht auf beiden dieser Vektoren senkrecht. ad x v r 5 Bahnkrümmung 5. Konstruktion nach Hartmann Ist von einer Ebene nicht nur der Momentanpol und die Winkelgeschwindigkeit bekannt sondern auch die Polwechselgeschwindigkeit, so sind neben den Geschwindigkeitsverhältnissen auch die Krümmungsverhältnisse der Ebene gegeben. Die Polwechselgeschwindigkeit zeigt in Richtung der Poltangente. Zur Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes eines Punktes C der bewegten Ebene muß nur noch dessen Geschwindigkeit v C bekannt sein. Danach läßt sich die Konstruktion von u umkehren und der nteil von u in Richtung von v C (u c ) finden. Der Krümmungsmittelpunkt C o ergibt sich als Schnitt des Polstrahls P C und der Verbindung der Pfeilspitzen von u C und v C.

18 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 5 bb. 0: Konstruktion des Krümmungsmittelpunkts nach Hartmann Eine weitere Methode zur Bestimmung von Krümmungsmittelpunkten stellt die Umkehrung des Höhensatzes dar. Sind von einem Punkt der Ebene die Geschwindigkeit und die Beschleunigung bekannt, so kann der momentane Krümmungsmittelpunkt seiner Bahnkurve angegeben werden. Der Beschleunigungsvektor wird dazu in Tangential- und Normalbeschleunigung (parallel und senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit) zerlegt. Wird die Normalbeschleunigung mit der Pfeilspitze zum Punkt hin angetragen, kann der Krümmungsmittelpunkt, der ja auf dem Polstrahl senkrecht zur Geschwindigkeit liegen muß, gefunden werden, indem in der Pfeilspitze des Geschwindigkeitsvektors ein rechter Winkel errichtet wird. Seine Schenkel schneiden den Polstrahl im nfang der Normalbeschleunigung und im Krümmungsmittelpunkt. 5. Gleichung von Euler-Savary Die Gleichung von Euler-Savary stellt einen Zusammenhang zwischen Krümmungen von Bahnkurven beliebiger Punkte der bewegten Ebene mit ihrer Winkelgeschwindigkeit und der Polwechselgeschwindigkeit her. Es sei: r = bstand Pol Punkt ; r o ρ ψ = bstand Pol Krümmungsmittelpunkt o = r o - r = Winkel zwischen Polstrahl und Tangente T R R o = bstand Pol Krümmungsmittelpunkt der bewegten Polbahn = bstand Pol Krümmungsmittelpunkt der ruhenden Polbahn

19 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 6 bb. : Krümmungsverhältnisse einer bewegten Ebene δ ψ ω ω ψ = r - r = u r - r r = r u r - r r = v u a a o o o o o sin sin _ Die bstände vom Pol aus müssen vorzeichenbehaftet eingesetzt werden. Dabei kann jeder Halbebene, die durch die Poltangente gebildet werden, ein beliebiges Vorzeichen zugeordnet werden. Speziell für die Polbahnen gilt: R - R = = u o δ ω 5.3 Wendekreis und Rückkehrkreis Setzt man für die Entfernung des Krümmungsmittelpunkts unendlich, so ergibt sich die Gleichung des Wendekreises auf dem alle Koppelpunkte liegen deren Krümmungsmittelpunkte sich im Unendlichen befinden.

20 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 7 Für r _ = sinψ δ r oder r = δ sinψ Mit r = y δ δ x + y und sinψ = folgt x + y - = x + y Für r folgt die Gleichung des Kreises auf dem alle Krümmungsmittelpunkte liegen deren Koppelpunkte im Unendlichen sind, und der Rückkehrkreis genannt wird. Er besitzt den gleichen Durchmesser wie der Wendekreis, liegt aber spieglbildlich zur Poltangenten. 5.4 Ro-Kurven Mit der Gleichung von Euler-Savary kann man den Lagenort aller Punkte bestimmen, die gleiche Krümmung haben. Man nennt sie Ro-Kurven: r = ρ / ( ± + (4 δ / ρ) sinψ ), Die Kurven auf denen die zugehörigen Krümmungsmittelpunkte der Punkte mit gleicher Krümmung liegen nennt man Ro-Null- Kurven. r0 = ρ / ( ± (4 δ / ρ) sinψ ), bb. : Ro-Kurven eines Viergelenks

21 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Satz von Bobiller Der Satz von Bobiller stellt ohne Kenntnisse von Geschwindigkeiten Beziehungen zwischen Punkten und Krümmungsmittelpunkten der bewegten Ebene und deren Poltangente auf. Dabei wird als Deviationspunkt der Schnittpunkt bezeichnet der sich ergibt wenn die Verbindung zweier Punkte der bewegten Ebene mit der Verbindung der zugeordneten Krümmungsmittelpunkte zum Schnitt gebracht wird. Weiterhin wird als Kollineationsachse die Gerade verstanden auf welcher der entsprechende Deviationspunkt und der Momentanpol liegt. Satz von Bobbiler: Von zwei Polstrahlen gehen entgegengerichtete gleichgroße Winkel zur zugehörigen Kollineationsachse und zur Poltangente Δ P D B P D sin( α + β ) = = cosα + cot β sinα r sin β Δ P D B o P r D sin( α + γ ) = = cosα + cotγ sinα sin γ o ls Differenz ergibt sich: P D B - r a r o = cot β sinα - cotγ sinα mit - r r o = δ sinψ folgt : P P D B = δ sinψ sinα ( cot β - cotγ ) D B = δ sinψ sin( α + ψ -ψ )( cot β - cotγ ) B B Beim Gleichsetzten der rechten Seiten sieht man, daß die entstehende Gleichung nur für α = ψ B erfüllt wird.

22 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 9 P = 0 x B 0 B D B = 0 BB0 x B D B P = BP T D B P = D BC P C 0 C = D BC B x C 0 P bb. 3: Satz von Bobiller uch wenn die im Gestell angelenkten Glieder sich in einer Stellung paralell zueinander befinden, kann der Satz von Bobiller angewendet werden. Dabei muß nur beachtet werden, daß Winkel zu Strecken werden welche, wie die Winkel auch, in der entsprechenden Richtung angetragen werden müssen. bb. 4: Satz von Bobiller

23 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 0 8 Hüllkurve h b und Hüllbahn h d Wird eine Kurve mit der bewegten Ebene fest verbunden und mitbewegt, so wird in der ruhenden Ebene eine Bahn dieser Kurve sichtbar wenn sie etwa als Fräser ausgebildet in die ruhende Ebene eingreift. Die erzeugende Kurve heißt Hüllkurve h b. Die erzeugenden Punkte auf ihr haben momentan einen Polstrahl, der gerade senkrecht auf die Tangente an die Hüllkurve in diesem Punkt ist. Für die Krümmung der entstehenden Bahn ist der Krümmungsmittelpunkt H der Hüllkurve entscheidend. Der Krümmungsmittelpunkt H o der Bahnkurve von H ist gleichzeitig Krümmungsmittelpunkt der Hüllbahn h d. h d bb. 5: Hüllkurve h b (erzeugend) und Hüllbahn h d

24 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Wird eine Gerade als Hüllkurve betrachtet, so liegt nur ein erzeugender Punkt in der Zeichenebene (Gerade als Kreis mit dem Radius unendlich). Er ist das Lot auf die Gerade durch den Momentanpol. Da der Krümmungsmittelpunkt H der erzeugenden Geraden im Unendlichen liegt, liegt der Krümmungsmittelpunkt H o der entstehenden Hüllbahn auf dem Rückkehrkreis der bewegten Ebene. Es ist der Punkt in dem das Lot durch den erzeugenden Punkt den Rückkehrkreis schneidet. bb. 6: Gerade als Hüllbahn

25 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 6. Verzahnungen Die Grundlage der Evolventenverzahnung bildet eine auf dem Grundkreis abrollende Gerade die als Hüllkurve die Zahnflanke (Hüllbahn) erzeugt. bb. 7: Erzeugung der Zahnflanke 6. Cyclogetriebe Eine sehr interessante Verzahnung wird im sogenannten Cyclogetriebe benutzt. Sie ergibt sehr flache Zahnformen bei denen immer mehrere Zähne das Drehmoment übertragen. Die Verzahnung entsteht durch brollen eines Hohlzylinders auf einem kleineren feststehenden Kreis. Erzeugende sind fest mit dem Hohlzylinder verbundene Kreise h bn.

26 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 3 bb. 8: Zycloverzahnung

27 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Kinematische Umkehr Wird die ruhende Ebene als Bezugspunkt mit der bewegten vertauscht, so geht ineinander über: C C o Punkt - Krümmungsmittelpunkt k b k d bewegte - ruhende Polbahn W p R p Wendepol - Rückkehrpol k w k r Wendekreis - Rückkehrkreis h b h d Hüllkurve - Hüllbahn H H o Kr.Mi.PU von h b - Kr.Mi.PU von h d 6.5 Erzatzgetriebe Für drei unendlich benachbarte Lagen lassen sich sowohl für kompliziertere Bauformen von Gelenkgetrieben wie auch für Kurvengetriebe Ersatzgetriebe angeben, welche eine leichtere Bestimmung von Beschleunigungen oder Krümmungen erlauben. Oftmals kann dadurch die Bestimmung von Coriolisbeschleunigungen umgangen werden. Man verwendet dabei momentane Krümmungsmittelpunkte von Kurvenflanken oder Bahnkurven. bb. 9: Ersatzgetriebe

28 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 5 7 Freiheitsgrade Der Freiheitsgrad F einer nordnung gibt uskunft ob diese statisch bestimmt (F=0), überbestimmt (F<0) oder unterbestimmt (F>0) ist. Bei unterbestimmten Systemen können noch Bewegungen eingeleitet werden. Die Koordinaten von Systempunkten sind dann Funktionen des ntriebs, deren nzahl gleich der Größe des Freiheitsgrades sein darf. Beim Freiheitsgrad F= sind damit alle Gliedlagen oder Punktkoordinaten bestimmt, wenn der ntrieb als Funktion der Zeit bekannt ist. Ein Körper im Raum hat 6 Freiheitsgrade. Es sind dies drei rotatorische und drei translatorische. Gelenke, über die der Körper mit einem anderen Glied (etwa dem Gestell) verbunden werden kann, unterbinden Freiheiten. Die Beweglichkeit eines Gelenks ist identisch mit der nzahl verbleibender Freiheitsgrade des Körpers. bb. 0: Gelenkfreiheitsgrade

29 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 6 7. Grübler--Tschebyschew Den Zusammenhang zwischen nzahl der Glieder und Gelenke, der Summe der Gelenkfreiheitsgrade und des Freiheitsgrad der Gesamtanordnung gibt die Formel von Grübler an. F = 6 (n - - g)+ b i nschaulich gedeutet beschreibt die Formel, daß jedes Glied (bis auf das Gestell, deshalb '-') sechs Freiheitsgrade besitzt, und jedes Gelenk sechs Freiheitsgrade nimmt (minus seinen Beweglichkeiten). Deshalb werden zuerst 6 g Freiheitsgrade abgezogen und dann die Summe der Gelenkfreiheitsgrade dazuaddiert. bb. : Beispiel einer Freiheitsgradberechnung

30 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 7 Für ebene Mechanismen gilt, wegen der in der Ebene vorhandenen drei Freiheitsgrade (zwei translatorische, ein rotatorischer): F = 3 (n - - g)+ bi 7. Sonderabmessungen Wenn Mechanismen aufgrund der Grübler-Formel einen Freiheitsgrad kleiner besitzen, das heißt unbeweglich sein müßten, aber trotzdem eine Beweglichkeit aufweisen, dann liegen Sonderabmessungen vor. Dabei ist zu unterscheiden, ob diese während der Bewegung erhalten bleiben oder nur für zwei oder drei unendlich benachbarte Lagen erfüllt sind. Sonderabmessungen können über den ganzen Umlauf etwa parallele Gliedlagen sein, oder für drei Lagen die Fesselung eines Koppelpunkts mittels eines Lenkers in seinem Krümmungsmittelpunkt. Die Verbindung über einen Lenker der auf dem Polstrahl des Koppelpunktes fest ist, stellt eine Sonderabmessung für zwei unendlich benachbarte Lagen dar. Bei einer Verzahnung, die im Wälzpunkt reines Rollen gewährleistet, stellt die Bedingung, daß der chsabstand gleich der Summe der beiden Radien sein muß ebenfalls eine Sonderabmessung dar. Um diesen häufigeren Fall beim rbeiten mit der Grübler-Formel zu umgehen, wird einer Verzahnung oder einer Reibradpaarung die Beweglichkeit zwei zugeordnet, was das rbeiten mit Sonderabmessungen umgeht. 7.3 Differentiale F > bb. : Stirnraddifferential

31 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 8 ls Differentiale werden allgemein Getriebe mit einem Freiheitsgrad größer bezeichnet. Bei einem Stirnraddifferential etwa hängt die Drehzahl der btriebswelle ω c von der Drehzahl des ersten Zahnrads ω a und der des Stegs ω s ab. Durch einen, mit Sicherheit zulässigen linearen nsatz, ergibt sich für das Übersetzungsverhältnis: ωc = ω a + - ω s i i Das gleiche Übersetzungsverhältnis gilt auch für ein Kegelraddifferential. Für die Momente am Differential gilt: M i = 0 ; M s = - (- ) M i c ; M a = - M i c Durch Hintereinanderschalten oder auch durch eine parallele nordnung können am usgang verschiedenste Drehzahlen realisiert werden. 7.4 utomatikgetriebe Sollen mit einem utomatikgetriebe 3 Vorwärtsgänge, Leerlauf und ein Rückwärtsgang realisiert werden, reicht ein Differential mit Eingängen und einem usgang nicht aus. Nötig ist ein höheres Differential mit 3 Eingängen und usgang. Es läßt sich aus einfachen Differentialen entweder durch Hintereinander- oder Parallelschaltung kombinieren. Im Vordergrund steht dann die Minimierung der Zahl von Kupplungen und Bremsen. bb. 3: Möglichkeiten der Kombination von Differentialen und gewählte nordnung

32 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 9 Durch geeignete Betätigung der Kupplungen und Bremsen ergeben sich die gewünschten Gesamtübersetzungen. Die Übersetzungen der beiden Differential D und D können dabei geeignet gewählt werden. K K BB BB3 Gang ω /ω an ω /ω an ω /ω an ω ab /ω an /(i-ij+j) /i R 0 /j Die Gestaltung des Getriebes stellt dabei hohe nsprüche an die konstruktive usführung. In der Praxis wird ein utomatikgetriebe mit einem Drehmomentwandler kombiniert, welcher das Motormoment erhöht und so die nzahl der notwendigen Gänge verringert. bb. 4: Schema eines utomatikgetriebes

33 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 30 bb. 5: Konstruktive usführung eines utomatikgetriebes 8 Kurvengetriebe 8. Zapfenerweiterung Vergrößert man bei einem Gelenkgetriebe das Lager im Gelenk zwischen den Gliedern a und b soweit, daß auch der Punkt o eingeschlossen wird, so gelangt man durch diese Zapfenerweiterung zu einem Kurvengetriebe, welches durch eine Rolle mit Mittelpunkt B eine Kurvenscheibe die sich um o dreht, abtastet. Der Krümmungsmittelpunkt des Berührpunktes zwischen Rolle und Kurvenscheibe ist. Geht man diesen Weg rückwärts, so gewinnt man zu jedem Kurvengetriebe ein Gelenkgetriebe welches als Ersatzgetriebe für die betrachtete Stellung die gleichen Werte für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen wie das Kurvengetriebe liefert. 8. Bauformen Das btasten einer Kurvenscheibe mittels einer Rolle, kann durch Kraftschluß, indem sie mittels einer Feder auf die Kontur gezogen wird, oder durch Formschluß erfolgen. Beim Formschluß über eine Nutkurve kommt es zu Toleranzproblemen und oftmaligen Drehrichtungsänderungen der btastrolle. Die bessere aber aufwendigere Lösung ist das gleichzeitige btasten einer komplementären Kurvenscheibe.

34 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Bewegungsgesetzte Charakteristisch für jede Kurvenscheibe ist die Übertragungsfunktion zwischen dem Drehwinkel der Kurvenscheibe und dem Hub oder Drehwinkel des btastgliedes. Diese Übertragungsfunktion wird auch das Bewegungsgesetz der Kurvenscheibe genannt. Im Wesentlichen gibt es dabei Übergänge zwischen Rasten oder Bereichen konstanter Geschwindigkeit und Umkehrpunkten. Wesentlich ist dabei, daß bei Übergängen weder im Geschwindigkeits- noch im Beschleunigungsverlauf Sprünge und nach Möglichkeit auch keine Knicke im Verlauf auftreten. Dies ist bei der höheren Sinuide und dem trigonometrischen Polynom der Fall, da hier auch in der zweiten bleitung keine Sprünge vorkommen. Normierte Übergänge, Rast - Rast Gerade Funktion: y = x für 0 < x <;. bleitung: y =. bleitung: y = 0 Maxima in:. bleitung:. bleitung: 0 y 0 x y 0 x y 0 - Stoß x Parabolischer Übergang Funktion: y = x für 0 < x < ½ ;. bleitung: y = 4x. bleitung: y = 4 Maxima in:. bleitung:. bleitung: 4 y 0 y x 0 x y Ruck x Einfache Sinoide Funktion: y = ½ ½ cos (πx). bleitung: y = π/ sin(πx). bleitung: y = π/ cos(πx) Maxima in:. bleitung:,57. bleitung: 4,93 y 0 x y 0 x y x

35 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 3 Geneigte Sinoide Funktion: y = x /(π) sin(πx). bleitung: y = cos(πx). bleitung: y = π sin(πx) y y y 6 0 x Maxima in:. bleitung:. bleitung: 6,8 0 x 0 x -6 Trigonometrisches Polynom y = ½ - 9/6 cos(πx) + /6 cos (3πx) y = 9/6 πsin(πx) 3/6 πsin(3πx) y = 9/6 π cos(πx) 9/6 π cos(3πx) Maxima in:. bleitung:,36. bleitung: 8,55 y 0 x y 0 x y x 8.4 Konstruktion der Kontur Ist der bstand der beiden gestellfesten Gelenke, der Durchmesser der btastrolle und weiterhin die Übertragungsfunktion zwischen Kurvenscheibe und btastschwinge bekannt, so kann die Kontur der Kurvenscheibe konstruiert werden. Dazu wird die Kurvenscheibe als ruhendes Glied betrachtet und vom ntriebsgelenk aus die Gestellänge unter dem vorgeschriebenen Kurvenscheibenwinkel φ angetragen. Von diesem nlenkpunkt aus wird unter dem Schwingenwinkel ψ die Schwingenlänge angetragen, um so zum Mittelpunkt der btastrolle zu gelangen. Wird dies für alle Zuordnungen die sich von φ und ψ ergeben wiederholt, ergibt sich als Einhüllende für alle Stellungen die btastrolle.

36 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 33 9 Wälzhebelgetriebe Wünscht man eine Bewegungsübertragung mit einem sich ändernden Übersetzungsverhältnis, wobei weiterhin nur reines Rollen auftritt, so kommen Wälzhebelgetriebe in Frage. Es handelt sich dabei um die gleichen Bewegungsverhältnisse wie beim brollen von zwei Polbahnen. Der Berührpunkt beider Wälzhebel liegt dabei immer auf der Verbindung der beider Hebelanlenkpunkte. 9. Bestimmungsgleichungen Für das Übersetzungsverhältnis gilt: r - r = a ; d α ω= ; dt d α ω = dt ω r d α i = = = ; ω r d α d tan r d = r ψ = ; r d α r d α r= a + r= a +i r ; r = r - a = a - i - a ; r r = = a - i ia - i bb. 6: Zusammenhänge beim Wälzhebelgetriebe 9. Konstruktion der Kontur Wird ein Übersetzungsverhältniß vorgegeben so können beide Wälzhebelkonturen punktweise konstruiert werden, indem für α, α, r und r Werte berechnet werden. Kritisch wird die Kraftübertragung, wenn die Tangente an beide Konturen senkrecht zur Verbindung der beiden Wälzhebeldrehpunkte steht. Dann liegen Verhältnisse wie bei einem Reibradgetriebe vor. Weiterhin läßt sich zu jeder beliebigen Kontur ein Wälzhebel konstruieren der ohne zu gleiten auf diesen abrollt. Durch die Kenntnis der beiden Krümmungsmittelpunkte und damit der Lage des Berührpunktes, kann über die Bedingung, daß auf beiden Konturen gleich Strecken abwälzen, der entsprechende Punkt der Gegenkontur gefunden werden.

37 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite 34 0 Gelenkgetriebe 0. Umlaufbedingung Wesentlich für die Umlauffähigkeit eines Gliedes in einem Viergelenkgetriebe ist das Größenverhältnis der Glieder untereinander. Dabei gilt nach der von Grashof gefundenen Beziehung: Das kleinste Glied läuft nur um, wenn die Summe aus größtem plus kleinstem Glied kleiner als die Summe der beiden anderen Gliedlängen ist. +l <l +l lmin max Bauformen Je nach Lage des Gestells ergeben sich damit verschiedene Bauformen, die nach den Umlaufeigenschaften der im Gestell angelenkten Glieder benannt werden. Im wesentlichen sind dies Kurbelschwinge, Doppelkurbel und Doppelschwinge. Viergelenkgetriebe mit einem Glied unendlicher Länge (Schubgelenk) werden demgemäß als Schubkurbel oder Kurbelschleife bezeichnet, wobei weiterhin unterschieden wird, ob die Geradführung durch den gestellfesten Gelenkpunkt (zentrische Schubkurbel) geht oder nicht (exzentrische Schubkurbel). 0.3 Koppelkurven Die Bahnkurven der bewegten Koppelebene nennt man Koppelkurven. Die Koppelkurven sind trizirkulare Kurven 6. Ordnung mit drei Brennpunkten. f [( x d)² + y²] ( x² + y² + e² a²)² fe[( x² + y² dx) cosγ + + dy sin γ ] ( x² + y² + e² a²) [( x d)² + y² + f ² c²] + + e²( x² + y²) [ x d)² + y² + f ² c²]² 4 f ² e² [( x² + y² dx)sin γ dy cosγ ]² = 0 Der Punkt X liegt im Koordinatenursprung, der Punkt Y auf der x-chse. Der Winkel γ ist der Winkel zwischen e und f im Punkt C.

38 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Satz von Roberts bb. 7: Koppelkurve eines Viergelenk Nach dem Satz von Roberts kann jede Koppelkurve von drei verschiedenen Viergelenken erzeugt werden. Wenn ein Viergelenk bekannt ist, findet man die anderen beiden durch eine einfache Konstruktion. Man dreht die Glieder a und c auf die Gerade B und ergänzt die Figur durch Parallelen zu den Seiten des Koppeldreiecks. Damit sind die bmessungen der beiden anderen Viergelenke bereits bestimmt, man muss sie nur noch in die richtige Lage drehen. bb. 8: Satz von Roberts

39 Lehrstuhl für Mikrotechnik und Medizingerätetechnik Bewegungstechnik Seite Massenreduktion Um die uswirkungen von Massen und Massenträgheitsmomenten aller im Getriebe vorhandenen Glieder auf die notwendige ntriebsleistung bestimmen zu können, werden deren Einflüsse auf die ntriebskurbel reduziert. Es wird dann mit einer rotierenden Kurbel, deren Masse sich im Kurbelendpunkt konzentriert, verglichen. Für die kinetische Energie eines beliebigen Gliedes gilt: mi J Si Ekin i = vsi + ωid ; (S = Schwerpunkt); Für das Ersatzsystem gilt : * m v a = n i=0 mi v Si J Si + ωid Betrachtet man ein Viergelenkgetriebe, so ergibt sich: * m v a J = a o ω ad J + cb o ω cd J bs + ω m + b v s * J a m = a o J + a cb o ωcd J + ωad a bs ω + m ωad b v v s Da sich aber die Winkelgeschwindigkeiten über den Kurbelwinkel ändern, ist die reduzierte Masse eine Funktion der Zeit: v * * m + dm = m * F * a a ( ) - ds v + dv Für die reduzierte Kraft, die am Hebelarm a angreift, gilt: F * = m * b t * + dm ds v Damit kann das notwendige Motormoment berechnet werden, wenn am Viergelenk keine zusätzliche äußere Kraft angreift! Ein Massenausgleich ist mit diesen Informationen natürlich auch noch nicht realisierbar.