Logikrätsel Klasse 5+6/2

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1 Logikrätsel Klasse 5+6/2 auch unter dem Namen Logicals bekannt gegebene Hinweise liefern Schlussfolgerungen, es gibt zuordnende, verneinende und einschränkende Hinweise Vorgehensweise zum Lösen eines Logicals 1. Tabelle zeichnen 2. Alle Hinweise durchlesen!!! (Oft schon im Einleitungstext erste Informationen) 3. Zuordnende Hinweise auswerten (mit ) 4. Verneinende Hinweise auswerten (mit X) 5. Einschränkende Hinweise (größer als, früher als, etc. 6. Schlussfolgerungen ziehen 7. Prüfen der gewonnen Ergebnisse anhand der Hinweise 1. Aufgabe Beim Schulfest möchte der 12-jährige Valentin auf der Bühne Sketche aufführen. Dazu braucht er noch eine weibliche Partnerin. Die ersten Mädchen, die er fragt, reagieren jedoch recht schroff auf sein Anliegen. Erst die 4. Kandidatin willigt ein. In welcher Reihenfolge fragt Valentin welche Klassenkameradin und mit welcher Antwort reagieren sie? Hinweise: 1. Der Ausruf Es hackt wohl, kommt nicht von der Schülerin, die Valentin als Zweite fragt. 2. Sina antwortet auf Valentins Frage mit den Worten: Spinnst du? 3. Ariane, die Valentin direkt nach Emma fragt, reagiert mit: Geht s noch? Lösung: (E) wegen Einleitung (1) (3) wegen Hinweisen 1-3 (5) Ariane Meinetwegen = 4. (6) Sina Meinetwegen = 4. (7) Lisa = 4. als einziges übrig (8) Emma = Es hackt wohl als einziges übrig (9) Geht s noch = Ariane 1. (10) Es hackt wohl = Emma 2. (11) Ariane direkt nach Emma gefragt, Emma 2 Ariane 3. (12) Ariane = 2. als einziges übrig (13) wegen (11) (14) übrig Aufgabe 2:

2 Ganz Deutschland steht Kopf wegen der bevorstehenden Fußball Weltmeisterschaft. So diskutieren im Mathelager ein paar Jungen eifrig, welche Mannschaft wohl Weltmeister wird. Als die jungen Fußballfans dabei auf ihre Lieblingsspieler zu sprechen kommen, geraten sie vollends ins Schwärmen. Wer (Vorname und Alter) lebt in welcher Stadt und welcher Fußballstar ist sein jeweiliger Lieblingsspieler? Hinweise: 1. Der Fan des Portugiesen Christiano Ronaldo wohnt in Leipzig. 2. Benjamin, der jünger ist als der Junge aus Jena, schwärmt für den Brasilianer Kaká. 3. Der 12-jährige Junge lebt in Erfurt und Thomas in Ilmenau. 4. Weder der 10-jährige Joseph noch Adam schwärmen für den Argentinier Lionel Messi. Der Junge, für den Messi der Größte ist, ist nicht 14 Jahre alt. 5. Der 9-jährige Fußballfan, dessen Lieblingsspieler Didier Drogba von der Elfenbeinküste ist, wohnt nicht in Dresden. 6. Matthias ist nicht 11 Jahre alt. (1) (6) gemäß Hinweisen 1-6 (7) Leipzig = Ronaldo Drogba = 9 Jahre (8) übrig (9) Benjamin = Kaká Drogba = 9 Jahre (10) Thomas = Ilmenau Leipzig = Ronaldo (11) Ilmenau = Thomas = 9 Jahre = Drogba (12) Altersabschätzung in Hinweis 2 (13) übrig (14) Joseph = 10 9; 12; 14 = Ilmenau, Erfurt, Jena (15) übrig (16) gemäß Hinweis 4 (17) übrig (18) Adam = 14 Jahre = Jena (19) Benjamin = 11 Jahre = Kaká Bereits an dieser Stelle ist das Logical gelöst: Thomas 9 Jahre Ilmenau Drogba Adam 14 Jahre Jena Rooney Matthias 12 Jahre Erfurt Messi

3 Joseph 10 Jahre Leipzig Ronaldo Benjamin 11 Jahre Dresden Kaká Lösung der Klausuraufgabe zu diesem Thema: Aufgabe 8 Während der Olympiade in Ilmenau unterhalten sich die Betreuer Peter, Anke und Maria über ihre Schüler unter ihnen auch die nette Juliette und der neugierige Franz und deren Lieblingsthemen im Mathelager. Welches Kind (Name, Eigenschaft) mag welches Fach? Gib zusätzlich zur unten stehenden Tabelle eine Zusammenfassung an und begründe deine Überlegungen! Hinweise: 1. Julia, die nicht ruhig ist, mag Wurzelziehen besonders. 2. Das Kind, das Aussagenlogik toll findet, ist weder neugierig noch quirlig. 3. Georg mag Logicals, aber der quirlige Till keine Graphentheorie. 4. Das stets fröhliche Kind findet Magische Quadrate super, das freche Kind, das nicht Lorenz ist, mag Kryptogramme. 5. Die Betreuer erzählen auch von Tom. Ein Kind ist ehrgeizig. Ein Kind mag Wahrscheinlichkeitsrechnung. Lösung: (E) gemäß Einleitung (1)-(4) entsprechend den Hinweisen 1-4 (5) Till = quirlig fröhlich; frech = Mag. Quadrate, Kryptogramme (6) übrig (7) Julia = Wurzelziehen Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech (8) übrig (9) Georg = Logicals Kryptogramme; Mag. Quadrate = fröhlich; frech (10) übrig

4 (11) übrig Bereits an dieser Stelle lässt sich die Lösung aus der Tabelle ablesen: quirliger Till Wahrscheinlichkeitsrechnung ehrgeizige Julia Wurzelziehen frecher Tom Kryptogramme ruhiger Georg Logicals nette Juliett Aussagenlogik neugieriger Franz Graphentheorie fröhlicher Lorenz Magische Quadrate

5 Wahrscheinlichkeitsrechnung Klasse 5 umfasst nicht nur Schulstoff (z.b. Würfel, Münzen), sondern auch relevant in der Forschung Gibt Antwort auf Fragen wie: Wie groß ist die Chance im Lotto zu gewinnen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfle ich nachdem ich schon zweimal eine 6 gewürfelt habe, wieder eine? aus aktuellem Anlass: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass min. zwei der 120 Kinder im Mathelager am selben Tag des Jahres Geburtstag haben? Betrachte zum Lösen das Gegenereignis: keine zwei Kinder haben am selben Tag des Jahres Geburtstag 1. Kind: an einem beliebigen Tag des Jahres (366 Tage) Geburtstag 2. Kind: an einem der 365 verbleibenden Tage Geburtstag 3. Kind: an einem der 364 verbleibenden Tage Geburtstag 120. Kind: an einem der 247 verbleibenden Tage Geburtstag Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses = < 0, Somit Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mathelagerkinder am gleichen Tag Geburtstag haben: =1 > 0,999764=99,9764% Wichtige Begriffe: Zufallsversuch: Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen X 1, X 2,, X n Ergebnismenge: Menge aller möglichen Ergebnisse (Ω) Ereignis: Teilmenge der Ergebnismenge sicheres E.: Ereignis, das bei jeder Versuchsdurchführung eintritt (E= Ω) unmögliches E.:Ereignis, das bei keiner Versuchsdurchführung eintritt (E=Ø) Elementare.: Ereignis mit genau einem Ergebnis X Gegenereignis Ē: Komplementärmenge von E (Ereignis, das genau dann eintritt, wenn E nicht eintritt) abs. Häufigkeit H n (E): Anzahl d. Eintretens des Ereignisses E bei n Versuchsdurchführungen rel. Häufigkeit: h = Bernoulli Versuch: Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ergebnissen Laplace Versuch: Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Für E Ω gilt: =.. ü.. ü... ö. Anhand der durchgeführten Experimente Festigung der Begriffe: Wurf dreier Münzen: - Ω = {KKK, KKZ, KZZ, ZZZ}

6 - sicheres Ereignis: Würfeln von (KKK),(KKZ),(KZZ) oder (ZZZ) - unmögliches Ereignis: (KKKK), da nur 3 Münzen - Elementarereignisse: (KKK), (KKZ), (KZZ), (ZZZ) - Gegenereignis zum Ereignis 3mal Zahl: {(KKK),(KKZ),(KZZ)} - absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte - relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche - Bernoulli Versuch: Nein, denn 4 Elementarereignisse - Laplace Versuch: Nein, denn (ZZZ),(KKK) sind unwahrscheinlicher als (KZZ),(ZKK) 2 Würfel werfen: - Ω = { (1,1),(1,2), (6,6)} - sicheres Ereignis: Augenzahlsumme zwischen 2 und 12 - unmögliches Ereignis: Augenzahlsumme 1 oder 13 - Elementarereignisse: (1,1), (1,2),, (6,6) - Gegenereignis zum Ereignis Pasch: alle Ereignisse (x,y) mit x,y=1,2,,6 und x y - absolute Häufigkeit: Anzahl Striche in Tabelle in entsprechender Spalte - relative Häufigkeit: Anzahl Striche durch Anzahl Gesamtversuche - Bernoulli Versuch: Nein, denn mehr als 2Elementarereignisse - Laplace Versuch: Ja, denn alle Elementarereignisse (1,1),,(6,6) gleichwahrscheinlich, damit lässt sich Wahrscheinlichkeit für eine Summe 7 berechnen: Ereignisse, die 7 ergeben: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1) = 6 Ereignisse insgesamt: 36 Ereignisse, damit folgt: 7 = 19,4% Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema: Aufgabe 4 Was ist ein Bernoulli Experiment? Ist das Ziehen aus einem Behälter mit 3 schwarzen und 2 weißen Kugeln ein Bernoulli Experiment? Begründe! Lösung: Ein Bernoulli Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ereignissen, deswegen ist das Ziehen aus dem Behälter mit schwarzen und weißen Kugeln ein Bernoulli Experiment, denn dass das Ziehen einer schwarzen Kugel wahrscheinlicher ist, spielt keine Rolle, sondern nur, dass es bloß die beiden Ereignisse schwarz und weiß gibt. Aufgabe sehr locker gewertet, viele haben Laplace und Bernoulli Versuch verwechselt, trotzdem volle Punktzahl vergeben. Aufgabe 5 Zwei Münzen werden gleichzeitig geworfen. Was ist das Gegenereignis Ᾱ zum Ereignis A, dass beide Münzen Kopf zeigen? Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(Ᾱ)! Lösung: A = {(KK)} Ᾱ = {(KZ),(ZZ)}

7 = =1 = Denn ein günstiges Ereignis (KK) und insgesamt 4 Ereignisse: (KK), (KZ), (ZK), (ZZ). Dabei kann man (KZ) und (ZK) aufgrund des gleichzeitigen Werfens zwar nicht unterscheiden, muss aber theoretisch unterschieden werden, weil (KZ)=(ZK) somit doppelt so wahrscheinlich ist wie (KK) oder (ZZ).

8 Wurzelziehen und irrationale Zahlen bekannt sind Quadratzahlen: 0, 1, 4, 9, Umkehroperation zum Quadrieren: (Quadrat-)Wurzelziehen, zum Beispiel: 64 =8 121=11 Quadrieren Spezialfall des Potenzierens, Quadratwurzelziehen Spezialfall des Radizierens, dabei schreibt man für häufig einfach obige Beispiele durch Kennen der Quadratzahlen gelöst, aber wie, wenn man 6241 sucht? Oder 3 mit dem Wissen, dass 3 keine Quadratzahl ist? Ergebnis von 3=? ist keine rationale Zahl, sondern eine irrationale Zahl irrationale Zahlen charakterisiert durch: 1. unendlich viele Nachkommastellen 2. keine Periodizität der Nachkommastellen 2. liefert Unterschied zu rationalen Zahlen, denn: 2=1, =0, =0,6 damit uns bekannter Zahlenbereich auf Menge der reellen Zahlen (rationale und irrationale Zahlen) erweitert: mit: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen R Reelle Zahlen im Folgenden zwei Methoden zum Bestimmen der Wurzel einer Zahl vorgestellt : Intervallmethode geeignet für Wurzeln von relativ kleinen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind beruht auf Vergleich mit bekannten Quadratzahlen und verkleinern des möglichen Intervalls, in dem die Wurzel liegt, erklärt am Beispiel 2 suche zunächst die nächstgrößere und die nächstkleinere Quadratzahl zur Zahl unter der Wurzel (hier die 2), offensichtlich gilt dann: 1= 1< 2< 4=2 2 (1,2) Bestimme nun das Quadrat der Zahl in der Mitte des Intervalls (hier: 1,5) und vergleiche wieder: 1,5 2 = 2,25

9 1= 1< 2< 2,25=1,5 2 (1;1,5) gleiche Vorgehensweise für neues Intervall (1;1,5): 1,25 2 = 1,5625 1,25= 1,5625< 2< 2,25=1,5 2 (1,25;1,5) um Rechnen zu erleichtern, kann gegen irgendeine Zahl des aktuellen Intervalls abgeschätzt werden, denn 1,375 2 rechnet sich viel schwerer, als z.b. 1,3 2 =1,69 und somit: 1,3= 1,69< 2< 2,25=1,5 2 (1,3;1,5) Näherungsverfahren, das heißt, Intervalle müssten unendlich oft verkleinert werden, um exaktes Ergebnis zu erhalten Taschenrechner nutzt dieses Verfahren zum Bestimmen von Wurzeln schematisch sieht Verfahren folgendermaßen aus: Schriftliches Wurzelziehen Verfahren ähnlich dem schriftlichen Dividieren, Schritte an Beispiel erläutert: Anweisung 1 Zerlege die Zahl von rechts beginnend in Zweiergruppen 2 Bestimme größte Quadratzahl, die kleiner gleich der linken Zweiergruppe ist, subtrahiere diese und schreibe Wurzel dieser Quadratzahl als erste Ziffer des Ergbnisses 3 Ziehe nachfolgende Ziffer runter Beispiel:

10 4 1. NR: nach Ziffer herunterziehen entstandene Zahl durch doppeltes des bisherigen Ergebnisses teilen, Rechnung mit Rest 5 Ergebnis der 1. NR ist nächste Ziffer der Wurzel und geht in 2. NR ein: Produkt aus (Ergebnis 1. NR) (Zahl aus Ziffern des Dividenden und Ergebnis 1. NR) bilden 6 Ergebnis in Hauptrechnung abziehen, nachdem weitere Ziffer heruntergezogen wurde 7 Wiederhole ab Schritt 3 Bemerkungen: zu 1): enthält die Zahl ein Komma (oder fügt man,0000 an), so werden die Zweiergruppen vom Komma ausgehend nach links und rechts gebildet zu 4): erhält man als Ergebnis der 1.NR eine Zahl >9, verwendet man in den weiteren Schritten einfach die 9 zu 6): erhält man nach Subtraktion ein negatives Ergebnis geht man zurück zu Schritt 4, verringert das Ergebnis der 1. NR um Eins und rechnet mit dieser Zahl weiter, eventuell muss Ergebnis aus Schritt 4 mehrmals verringert werden Im Unterricht behandelte Aufgaben:

11 Lösungen der Klausuraufgaben zu diesem Thema: Aufgabe 1 Klasse 5: Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens 7396! Lösung: Aufgabe 1 Klasse 6: Berechne mit der Methode des schriftlichen Wurzelziehens 26896! Lösung: Aufgabe 2 Begründe, warum keine rationale Zahl sein kann! (Argumentieren, nicht ausrechnen!) Lösung: ist nur dann eine rationale Zahl, wenn eine Quadratzahl ist. Allerdings endet auf 3 und es ist schnell gezeigt, dass Quadratzahlen nie auf 3 enden können, denn: ( 0) 2 = 0 ( 5) 2 = 5 ( 1) 2 = 1 ( 6) 2 = 6 ( 2) 2 = 4 ( 7) 2 = 9 ( 3) 2 = 9 ( 8) 2 = 4 ( 4) 2 = 6 ( 9) 2 = 1 mit = beliebige Ziffern Quadratzahlen enden also immer auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, aber nie auf 3. Somit ist keine Quadratzahl und folglich keine rationale Zahl, sondern eine irrationale.

12 Aufgabe 3 Benutze die Intervallmethode um 13 zu nähern. Gib eine Nachkommastelle des Ergebnisses an! Lösung: Vergleich mit umgebenden Quadratzahlen liefert 1. Intervall: 3= 9< 13< 16=4 13 (3;4) Quadrat der Intervallmitte bestimmen, vergleichen: 3,5 2 = 12,25 3,5= 12,25< 13< 16=4 13 (3,5;4) Quadrate von 3,6; 3,7 (gegebenenfalls 3,8; 3,9) bestimmen und vergleichen: 3,6 2 = 12,96 3,7 2 = 13,69: 13=3,6 3,6= 12,96< 13< 16=4 3,6= 12,96< 13< 13,96=3,7 13 (3,6;4) 13 (3,6;3,7)