Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 1 Aufgabenkatalog Kontinuumsmechanik

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1 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 1 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik Auf den fogenden Seiten ist der Aufgabenkataog für Kontinuumsmechanik abgedruckt, aus dem jede Woche Aufgaben für die Große Übung, die Tutorien und das eigenständige Arbeiten ausgewäht werden. Lösungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungefähr eine Woche nach Bearbeitung veröffenticht. Leider scheichen sich manchma in die veröffentichten Lösungen Feher ein. Wir bemühen uns, diese mögichst zügig zu beseitigen. Jeder Student ist aber in erster Linie sebst verantwortich. Darum sebständig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterösungen) rechnen möchte, sei auf die breite Auswah an Aufgabenbüchern verwiesen. Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfoge des Kataogs abgearbeitet. Inhatsverzeichnis 1 Kontinuumsschwingungen Weengeichung, Ansatz von d Aembert Ansatz von Bernoui erzwungene Schwingungen Grundagen der Hydromechanik Hydrostatik Bernouische Geichung Impussatz Reibungsbehaftete Strömungen Literatur [1] Gross, Dietmar, Werner Hauger, Water Schne und Peter Wriggers: Technische Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Eemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer, 2. Aufage, (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammung: 5Lh381. [2] Gummert, Peter und Kar-August Recking: Mechanik. Vieweg, 2. Aufage, In der Lehrbuchsammung: 5Lh296. [3] Gummert, Peter und Kar-August Recking: Mechanik. Science Pubications, Hamburg, vierte Aufage, (Ätere Ausgabe) in der Lehrbuchsammung: 5Lh296. [4] Schne, Water, Dietmar Gross und Werner Hauger: Technische Mechanik, Band 2 Eastostatik. Springer, 6. Aufage, (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammung: 5Lh379.

2 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 2 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 1 Kontinuumsschwingungen 1.1 Weengeichung, Ansatz von d Aembert 1. (a) Gegeben sei eine Funktion f(t,) = acos( + ct). Bestimme die partieen Abeitungen f t, f, 2 f t 2, 2 f t, 2 f t, 2 f 2! (b) Gegeben sei eine Funktion w(,y) = ae 2 y 2, mit = sin y. Berechne die fogenden Abeitungen: w, w y, dw dy! 2. (a) Bestimme die partieen Abeitungen f t, f, 2 f t 2, f(,t) = 2t k + ωt 2 f t, 2 f t, 2 f der Funktion 2 (b) Bestimme für den Fa, daß = v 0 t ist, die Abeitung df dt einma durch Einsetzen von = v 0 t in f und anschießendes Abeiten nach t und einma durch Anwenden der Forme df dt = f t + f t (c) Für die Koordinaten u und v beschreibe die Funktion g uv eine Fedgröße G: (u,v) g uv (u,v) := u 2 + πv 3 Das geiche Fed G wird für die Koordinaten und y beschrieben durch die (bisher nicht bekannte) Funktion g y : (,y) g y (,y) = g uv ( u(,y),v(,y) ) Zwischen den Koordinaten (u,v) und (,y) geten mit den bekannten Konstanten α und β die Transformationsbeziehungen u(,y) = α + βy und v(,y) = α βy Bestimme zuerst die partieen Abeitungen nach den Koordinaten u und v: guv g uv v. Bestimme anschießend unter Verwendung von guv u der Jakobimatri u g y gy und y, u y, v und v y (in den dazu passenden Koordinaten)! u und guv und v und mit den Komponenten die Abeitungen nach den Koordinaten und y: Literatur: In der physikaischen und technischen Literatur wird oft für die beiden Funktionen g y und g uv und für die Fedgröße G ein und dassebe Symbo verwendet, z.b. in [1] Abschnitt S. 200.

3 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 3 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik Das widerspricht der in der Mathematik übichen Lesart: Z.B. widersprechen sich die beiden Geichungen (4.4) und (4.5) in [1, S. 200], wenn man sie as Definition einer Funktion w zweier Argumente iest. Hier wird w demzufoge as eine Fedgröße interpretiert, die an verschiedenen Steen im Raum- Zeit-Kontinuum bestimmte Werte annimmt. Die Stee kann entweder durch die Koordinaten (,t) oder durch die Koordinaten (ξ,η) identifiziert werden. Diese vom Standard in der Mathemaik abweichende Bedeutung sote beachtet werden, wenn mathematische Sätze wie die Kettenrege angewendet werden soen. 3. Betrachtet wird die beidseitig eingespannte mit der Seikraft S 0 vorgespannte Saite (Dichte ρ, Querschnittsfäche A 0 ). Sie kann transversae Schwingungen ausführen. Mit dem Lösungsansatz von d Aembert so die Lösung zu fogenden Anfangsbedingungen bestimmt werden: ẇ(,t = 0) = 0 { 2 L w(,t = 0) = ( w 0) für 0 < L L w 0 für L 2 L w L S 0 Geg.: ρ, A 0, S 0, L, w 0 (a) Weche Geichung beschreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die agemeine Lösung nach d Aembert? (c) Bestimme die Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen. (d) Skizziere die Ausenkung der Saite für die fogenden Zeitpunkte: t 0 = 0, t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8 T, t 4 = 1 2 T, t 5 = 5 8 T mit T = 2L c und c 2 = S 0 ρa Betrachtet wird eine unendich ange Saite, die transversae Schwingungen ausführen kann. Der Querschnitt der Saite sei A, die Dichte ρ. Sie ist vorgespannt mit der Seikraft S. Mit dem Lösungsansatz von d Aembert so die Lösung zu fogenden Anfangsbedingungen bestimmt werden: w(,t = 0) = 0, ẇ(,t = 0) = ẇ 0 () = Geg.: ρ, A, S,, v 0 { v0 für < < 0 sonst (a) Weche Geichung beschreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die agemeine Lösung nach d Aembert? (c) Bestimme die Lösung für die gegebenen Anfangsbedingungen. (Das Integra muß nicht aufgeöst werden.) (d) Skizziere die Ausenkung der Saite im Interva 3 3 für die Zeitpunkte τ 0 = 0, τ 1 = 1 4, τ 2 = 1 2, τ 3 = 1, τ 4 = 3 2 und τ 5 = 2! Dabei ist τ = 1 S ρa t. 2 ẇ v 0

4 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 4 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 5. Eine Saite der Länge wird mit mit der Kraft N vorgespannt und trägt die Masse pro Länge µ. Die Seite wird zur Zeit t = { 0 wie dargestet mit w0 für w(,t = 0) = sonst ausgeenkt. Die Anfangsgeschwindigkeit ist Nu. Berechnen Sie die Bewegung der Saite w(,t) mit dem Ansatz nach d Aembert. Benutzen Sie das gegebene Koordinatensystem. N /2 0 w(, t) Geg.: N, µ,, c 2 = N w µ, w(,t = 0), t (,t=0) = 0 6. Es wird ein Stab aus inear eastischem Materia untersucht, der am rechten Ende E, ρ,, A d ( = 0) über einen viskosen Dämpfer an die Umgebung gekoppet ist. Am inken Ende ( = ) wird eine Verschiebung s (t) vorgegeben. s Aufgrund der vorgegebenen Verschiebung s (t) kommt es zur Ausbreitung von Ween in dem Stab. Beginnt man mit dem Zustand der Ruhe, breiten sich anfangs Ween nur in negative - Richtung aus. Es so untersucht werden, ob es eine Dämpfung d gibt, so daß eine Refeion der Ween am rechten Rand voständig unterbunden werden kann. 7. Eine Masse m trifft zum Zeitpunkt t = 0 auf das freie Ende eines einseitig fest eingespannten geraden Stabes (Länge, Dichte ρ, Dehnsteifigkeit EA). Unmittebar vor dem Stoß hat die Masse die Geschwindigkeit v 0 und der Stab ist unverformt und in Ruhe. w 0 0 /2 N (a) Für das Zeitinterva 0 t < 2 c ist der zeitiche Verauf der Kontaktkraft zwischen der Masse und dem Stab zu berechnen. (b) Kann die Masse im betrachteten Zeitinterva vom Stab abheben? 8. Eine beidseitig eingespannte Saite der w h Länge (Dichte ρ, Querschnittsfäche A) ist um die Kraft S vorgespannt. Nach Eineitung der fogenden Anfangsbedingungen führt sie freie, ungedämpfte, rein 4 transversae Schwingungen aus: m v 0 EA, ρ S 1 ẇ(,t = 0) = 0 { 4 h w(,t = 0) = ( ) für 0 < h für 4 Geg.: ρ, A, S,, h

5 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 5 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Bestimmen Sie die d Aembertsche Lösung der Weengeichung, und zeichnen Sie die Ausenkungen der Saite zu den Zeitpunkten: t 0 = 0, t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8T,... über eine voe Periode T. (b) Lösen Sie die Weengeichung mit Hife des Produktansatzes von Bernoui. Passen Sie die Lösung an die Rand- und Anfangsbedingungen an. (c) Zeichnen Sie die ersten vier Eigenschwingungsformen und die Ausenkung der Saite aus der gewichteten Überagerung dieser vier Eigenformen für den Zeitpunkt t = 0. (d) Zeigen Sie, dass die Lösung nach Bernoui die Fourierdarsteung der d Aembertschen Lösung ist. 9. Eine Saite der Länge wird mit S vorgespannt und trägt die Masse pro Länge µ. Die Seite wird zur Zeit t = 0 wie dargestet mit w A () ausgeenkt. Die Anfangsgeschwindigkeit ist Nu. Berechnen Sie die Bewegung der Saite w(,t) sowoh mit dem Produktansatz von Bernoui as auch mit dem Ansatz nach d Aembert. Benutzen Sie das gegebene Koordinatensystem, und gehen Sie wie fogt vor: I. Ansatz nach d Aembert: w(, t) w A () = w 0 sin π (a) Wie autet der Ansatz nach d Aembert? (b) Leiten Sie den Ansatz nach der Zeit ab und setzen Sie die Anfangsbedingungen ein. Lösen Sie die beiden Geichungen für den Zeitpunkt t = 0. (c) Wie auten die Randbedingungen des Probems? Wie müssen entsprechend die Teiween fortgesetzt werden, damit eine Lösung den Randbedingungen genügt? (d) Geben Sie die Gesamtösung des Probems, aso w(,t), an. II. Ansatz nach Bernoui: (a) Wie autet die das Probem beschreibende Differentiageichung? (b) Verwenden Sie für die weitere Berechnung den Produktansatz von Bernoui w() = X() T(t) und formen Sie die partiee Differentiageichung derart um, daß zwei gewöhniche ineare Differentiageichungen entstehen. Für die weitere Berechnung benutzen Sie bitte die Lösungsansätze X() = Asin(λ) + B cos(λ) und T(t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (c) Wie auten die Randbedingungen des Probems? (d) Setzen Sie den Lösungsansatz in die Randbedingungen ein und berechnen Sie die Frequenzgeichung. Bestimmen Sie die Lösung der Frequenzgeichung und damit die Eigenkreisfrequenzen. (e) Werten Sie nun auch die Anfangsbedingungen mit Hife der Orthogonaitätsreationen der Eigenfunktionen aus. Geg.: S, µ,, c 2 = S µ, w(,t = 0) = w 0 sin π, w t (,t=0) = 0

6 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 6 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 1.2 Ansatz von Bernoui 10. S, µ, γ S Betrachtet wird eine Saite (Länge, Spannkraft S und Massebeegung µ) mit eastischer Bettung. Hinweis: Die Bettungssteifigkeit γ ist die Steifigkeit der Bettung bezogen auf die Länge. Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt. (a) Leite an einem infinitesimaen Stück der Saite die Bewegungsdifferentiageichung für das untersuchte System her. Die transversae Ausenkung der Saite sei mit w(, t) bezeichnet. (b) Wie auten die Randbedingungen? (c) Nutze einen geeigneten Separationsansatz für die Ausenkung w(, t) und überführe die hergeeitete partiee Differentiageichung in zwei gewöhniche Differentiageichungen. (d) Gib die Randbedingungen für die Ortsfunktion an. Literatur: [1] Abschnitt 4.1 S.198 [3] Abschnitt S Eine Saite (Dichte ρ, Querschnittsfäche A, Länge ) ist inks ( = 0) über ein Losager geagert und rechts ( = ) an einem vertika geführten Körper (Masse m) befestigt. Der starre Körper wird durch eine Feder wie skizziert gestützt. Die Feder ist in der gezeichneten Lage entspannt. Die äußere Kraft N ist zeitich konstant (und wirke immer genau waagerecht). N ρ, A, m k (a) Bestimme die Eigenwertgeichung. (b) Zeige, daß sich für den Fa k = 4ρA+πm πn die erste Eigenfrequenz ω 16ρA 2 1 = πc 4 ergibt. Geg.:, m, k, N, ρ, A 12. Betrachtet werden die Transversaschwingungen einer Saite (Massebeegung µ). Die Saite ist am oberen Ende fest eingespannt und trägt am unteren Ende eine Punktmasse m. (a) Leiten Sie an einem infinitesimaen Stück der Saite die Bewegungsdifferentiageichung für das skizzierte System her. Die transversae Ausenkung der Saite sei mit w(, t) bezeichnet. Hinweis: Die Verschiebungen in -Richtung werden vernachässigt. Die Spannkraft ist über die Länge nicht konstant. g w (b) Nutzen Sie einen geeigneten Separationsansatz für die Ausenkung w(,t), und überführen Sie die partiee Differentiageichung 2 w = [ t 2 Q g] 2 w g w 2 (Q bekannt und konstant) in zwei gewöhniche Differentiageichungen. m µ Geg.:, µ, m, g

7 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 7 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 13. Betrachtet wird eine unter der Vorspannkraft S eingespannte Gitarrensaite der ängenbezogenen Masse µ = ρa. Die Saite werde an der Stee ξ mit der Ampitude h ausgeenkt (gezupft) und osgeassen. Die Anfangsausenkung (AB 1) und Anfangsgeschwindigkeit (AB 2) sind gegeben: w(,t = 0) = w t { h ξ h( ) ξ für 0 < ξ für ξ (AB 1) = 0,t=0 (AB 2) Die Differentiageichung, die das Probem beschreibt, autet: 2 w(,t) t 2 = c 2 2 w(,t) 2 mit c 2 = S µ w(, t) (a) Überführe die partiee Differentiageichung mittes Produktansatz in zwei gewöhniche Differentiageichungen. Verwende dabei die Abkürzung ω, so dass fogende Ansätze die gewöhnichen Differentiageichungen erfüen: T(t) = Acos ωt + B sin ωt und X() = C cos( ω c ) + D sin(ω c ) (b) Bestimme die Konstanten der Ortsfunktion X() durch Auswertung zweier geometrischer Randbedingungen. Zeige, dass die agemeine Lösung des Randwertprobems autet: w(,t) = k=1 (A k cos k π c t + B k sin k π c t )sin k π. (c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonaitätsreationen der Eigenfunktionen, dass die Funktion w(,t) = 2 h 2 π 2 ξ ( ξ) k=1 1 sin k π ξ k 2 sin k π cos k π c t die Lösung des gegebenen Anfangswertprobems ist. 14. Betrachtet wird eine eingespannte Kaviersaite der Länge, Weenausbreitungsgeschwindigkeit c. Die Saite werde an der Stee ξ vom Hammer der Breite d getroffen. Die Saite werde dabei initia nicht ausgeenkt (AB 1) und genüge zum Anfangszeitpunkt der skizzierten Geschwindigkeitsverteiung (AB 2): w(,t = 0) = 0 (AB 1) w { v0 cos π( ξ) = d für ξ d 2 ξ+ d 2 t,t=0 0 sonst (AB 2) w(, t) (a) Wie autet die das Probem beschreibende Differentiageichung? (b) Zeige mit dem Produktansatz nach Bernoui, daß die Lösung des Randwertprobems durch fogende Geichung beschrieben wird: ( w(,t) = A k sin k π ct + B k cos k π ct ) sin k π k=1 ξ ξ h d v 0 S S

8 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 8 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonaitätsreationen der Eigenfunktionen, dass die Funktion w(,t) = 4v 0 d π 2 c k=1 1 sin k π ξ k 1 ( kd cos k π d 2 ) 2 sin k π die Lösung des gegebenen Anfangsrandwertprobems ist. Hinweise zur Lösung: ξ+ d 2 ξ d 2 cos 0 π( ξ) d sin 2 kπ d = 2 sin kπ d = k N sin k π ct 2d 2 kπd π( 2 d 2 k 2 cos sin kπξ ) Für den skizzierten homogenen Dehnstab (Dichte ρ, Querschnittfäche A, Eastizitätsmodu E) ermitte man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen der Longitudinaschwingungen. Geg.: ρ, A, E,,u Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S Gegeben ist ein beidseitig eingespannter Stab der Länge, Masse pro Länge µ und Dehnsteifigkeit EA.,u µ,ea (a) Geben Sie die Fedgeichung und die Randbedingungen für Stabängsschwingungen an (ohne Hereitung). Wie groß ist die Weenausbreitungsgeschwindigkeit? (b) Bestimmen Sie über einen Produktansatz u(, t) = U() p(t) die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenformen des Stabes und skizzieren Sie U() für die ersten drei Eigenformen. Geg.: µ, EA, 17. Für den homogenen skizzierten Dehnstab (Masse m, Querschnittfäche A, Eastizitätsmodu E) ermitte man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen der Longitudinaschwingungen. Geg.: m, A, E,,u Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S Der abgebidete Stab (Länge, Querschnittsfäche A, Massebeegung µ) führt ausschießich Längsschwingungen u(, t) aus. Der Stab ist aus viskoeastischem Materia, das dem fogenden Materiagesetz gehorcht. σ = E(ε + τ ε) µ, A, E, τ m

9 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 9 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Leite an einem infinitesimaen Stück des Stabes die Bewegungsdifferentiageichung für die Längsschwingungen u(,t) her. Hinweis: Beachte das oben angegebene Werkstoffgesetz. (b) Überführe die partiee Differentiageichung in zwei gewöhniche Differentiageichungen. Benutze dazu einen geeigneten Separationsansatz für die Ausenkung u(,t). (c) Wie auten die Randbedingungen für das System? Fogende Konstanten sind gegeben:, µ, A, m, E, τ Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S Ein mit Masse beegter Stab ist an einem Ende unverschiebich geagert, an dem anderen mit einer Feder befestigt. Der Stab schwingt nach geeigneten Anfangsbedingungen ängs. (a) Wie autet die Differentiageichung, die die Schwingung für keine Ausenkungen beschreibt? (b) Forme die partiee Differentiageichung um in zwei gewöhniche Differentiageichungen. (c) Wie auten die agemeinen Lösungen dieser gewöhnichen Differentiageichungen? (d) Formuiere die geometrischen und dynamischen Rand- und Übergangsbedingungen. (e) Stee die Frequenzgeichung auf, und öse sie grafisch. c E,A,ρ Gegeben seien die Größen:, c, E, A, ρ. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S Ein mit Masse beegter Stab ist an einem Ende unverschiebich geagert, an dem anderen Ende ist eine Einzemasse befestigt. Der Stab schwingt nach geeigneten Anfangsbedingungen ängs. Gegeben seien die Größen:, m, E, A, ρ und 2 u t 2 = c 2 L 2 u 2 mit c 2 L = E ρ E,A,ρ (a) Wähe einen geeigneten Ansatz, um die partiee Differentiageichung in zwei gewöhniche Differentiageichungen zu überführen. Begründe und diskutiere dein weiteres Vorgehen bei der Lösung. (b) Wie auten die agemeinen Lösungen dieser gewöhnichen Differentiageichungen? (c) Formuiere die geometrischen und dynamischen Rand- und Übergangsbedingungen. (d) Stee die Frequenzgeichung auf, und öse sie grafisch. m

10 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 10 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (e) Eräutere den Zusammenhang zwischen den Lösungen der Frequenzgeichung und den Eigenformen. 21. Für den dargesteen am einen Ende eingespannten Stab im Schwerefed (E, A, ρ gegeben) soen die Eigenschwingungen untersucht werden. Zur Anfangszeit t = 0 sind Längsverschiebung und Geschwindigkeit vorgegeben as u(,t = 0) = g c 2( L) + u 0 sin π 2L u t,t=0 = 0 L,u,ũ E,A,ρ Die Differentiageichung, die das Probem beschreibt, autet 2 u t 2 = u c g mit c2 = E ρ (a) Geben Sie ae Randbedingungen für u an. (b) Bestimmen Sie die statische Ruheage u stat, d.h. diejenige Längsverschiebung, die sich einsteen würde, wenn das System in Ruhe wäre. Benutzen Sie die Randbedingungen. (c) Wie autet die Differentiageichung für ũ, und wie auten die Randbedingungen für ũ, wenn man ũ = u u stat definiert? (d) Ein Produktansatz iefert nach Einsetzen die agemeine Lösung ũ(,t) = (A k cos ω k c + B k sin ω k c )(C k cos ω k t + D k sin ω k t) k=1 Bestimmen Sie die unendich vieen Eigenfrequenzen ω k mithife der Randbedingungen für ũ. (e) Zur weiteren Anpassung (und zur Lösung des Anfangs-Randwertprobems) betrachten Sie nun die modifizierten Anfangsbedingungen: Wie groß ist ũ(, t = 0)? Und wie groß ist ũ t,t=0? Bestimmen Sie die ũ(,t) durch Anpassen an die Anfangsbedingungen. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S.631 g 22. Zwei Stäbe (Längen L 1, L 2 Querschnittsfächen A 1, A 2, E- Modun E 1, E 2 und Dichten ρ 1, ρ 2 ) sind wie skizziert miteinander verbunden und inks fest eingespannt. Das System schwingt ausschießich in Längsrichtung. 1 2 E 1, A 1, ρ 1, L 1 E 2, A 2, ρ 2, L 2 (a) Wie auten die Bewegungsdifferentiageichungen sowie die Rand- und Übergangsbedingungen für die Stabängsschwingungen? Benutze die eingezeichneten Koordinaten 1 und 2. Hinweis: Beachte, daß die Stäbe unterschiediche Dehnsteifigkeiten haben. (b) Löse die partieen Differentiageichungen jeweis mit einem Separationsansatz und formuiere das Eigenwertprobem. Hinweis: Eine Hereitung der gewöhnichen Differentiageichungen ist nicht notwendig.

11 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 11 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (c) Wie autet die Frequenzgeichung? Hinweis: Die Frequenzgeichung braucht nicht geöst zu werden. (d) Zeige, daß man bei Aneinanderkoppung zweier identischer Stäbe auf das bekannte Ergebnis ω 1 = πc 2L kommt, wobei L = L 1 + L 2 und c die Weenausbreitungsgeschwindigkeit ist. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S Es so das Eigenschwingverhaten des Systems Förderkorb/Sei einer Schachtanage untersucht werden. Sei und Förderkorb schwingen in guter Näherung nur in vertikaer Richtung. (a) Stee das zweite Newtonsche Gesetz für ein infinitesimaes Seistück auf. Die okae Verschiebung des Seis in -Richtung sei u(,t). Leite dann mit dem Hookeschen Materiagesetz N = EA u die Bewegungsdifferentiageichung für das dargestete System her. g,u L (b) Gib die Randbedingungen für das System an! (Hinweis: Endmasse freischneiden.) EA, ρ (c) Bestimme die statische Ruheage u 0 () des Systems! (d) Wie auten die Differentiageichung und die Randbedingungen mit der neuen Variaben ũ = u u 0? m (e) Wie groß ist die erste Eigenfrequenz des Systems, wenn der Förderkorb in Schwingung gerät? Verwende die Geichungen aus Tei (d)! Geg.: L, E, A, ρ, m, g Literatur: [2, S. 631], [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen 24. Im fogenden soen die Längsschwingungen eines einseitig eingespannten Stabes untersucht werden. Die Querschnitte sind kreisförmig, der Radius r veräuft inear. Es seien ineareastisches Materia, ein eindimensionaer Spannungszustand, über die Stabänge konstante Dichte ρ und E-Modu E vorausgesetzt. Für die Radien r 0 = r( = 0) und r 1 = r( = ) gete die Beziehung r 1 = 2 3 r 0. Zudem git r. (a) Leite die (partiee) Bewegungsdifferentiageichung her! (b) Bestimme daraus mit einem geeigneten Ansatz die (gewöhniche) Differentiageichung für die Ampitudenfunktion und gib die dazugehörigen Randbedingungen an! (c) Bestimme die Eigenfrequenzen mit einem Produktansatz. (d) Bestimme die erste Eigenfrequenz näherungsweise mit dem Verfahren von Ritz. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt Freie Longitudinaschwingungen, [3] Bewegungsgeichung der freien, ungedämpften Schwingung Kap Abs. 3a) Longitudinaschwingungen S.624, Lösung nach Bernoui Kap S.631 r()

12 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 12 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 25. Ein kreiszyindrischer Draht mit dem Radius r und der Dichte ρ sei wie skizziert eingespannt und mit einer Scheibe mit dem Massenträgheitsmoment J verbunden. Ermitte die Frequenzgeichung! G,ρ 2r a Geg.: G, ρ, J, a, b, r. 26. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisförmigem Querschnitt trägt an seinem Ende eine Einzemasse. Geeignete Anfangsbedingungen assen den Stab um seine Längsachse schwingen. Geg.:, m, G, I p, A, ρ, r (a) Leiten Sie die Weengeichung (Bewegungsdifferentiageichung) für die freien Torsionsschwingungen her. J G,I p,a,ρ G,ρ (b) Formen Sie die Weengeichung in 2 gewöhniche Differentiageichungen um. (c) Wie auten die agemeinen Lösungen dieser gewöhnichen Differentiageichungen? Wie autet die Lösung der partieen Differentiageichung? (d) Formuieren Sie die geometrischen und dynamischen Randbedingungen. (e) Steen Sie die Frequenzgeichung auf und ösen Sie sie grafisch. y z ϑ() r b m Literatur: [1, S ] 27. Der skizzierte massebehaftete Baken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Biegeschwingungen versetzt. Gegeben: A, EI, ρ, EI,ρ,A z,w (a) Wie autet die das System beschreibende partiee Differentiageichung? Hinweis: Keine Hereitung notwendig. (b) Formen Sie diese partiee Differentiageichung mit einem Produktansatz in zwei gewöhniche Differentiageichungen um und geben Sie deren Lösungen an. (c) Formuieren Sie die geometrischen und physikaischen Randbedingungen. (d) Steen Sie die Frequenzgeichung auf und geben Sie Näherungsösungen an. 28. Der skizzierte massebehaftete Baken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Transversaschwingungen versetzt.

13 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 13 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Wie autet die das System beschreibende partiee Differentiageichung? Hinweis: Keine Hereitung notwendig. (b) Formen Sie diese partiee Differentiageichung in zwei gewöhniche um und geben Sie deren Lösungen an. z,w,u EI,ρ,A (c) Formuieren Sie die geometrischen und physikaischen Randbedingungen. (d) Steen Sie die Frequenzgeichung auf und geben sie näherungsweise die erste von Nu verschiedene Eigenkreisfrequenz an. Geg.: A, EI, ρ, 29. Ein Baken (Länge, Massebeegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist bei A geenkig geagert und bei B in eine Hüse gesteckt, die dem Baken dort eine horizontae Tangente aufzwingt. Die Hüse (Masse m) kann auf einer starren Stange in vertikaer Richtung reibungsfrei geiten. Der Baken schwingt ausschießich in Querrichtung. A w EI, µ gatt, starr B m (a) Wie auten die Bewegungsdifferentiageichung und die zugehörigen Randbedingungen? Hinweis: Keine Hereitung notwendig. (b) Wie autet die Frequenzgeichung? Hinweis: Die Frequenzgeichung braucht nicht geöst zu werden. Geg.: EI, µ,, m 30. Das skizzierte System zweier mit einer Drehfeder gekoppeter ängshomogener schubstarrer Baken (Massenbeag m, Biegesteifigkeit K B ) so hinsichtich seines transversaen Eigenschwingungsverhatens untersucht werden. Verwenden Sie bitte den Bernoui- bzw. Produktansatz! (a) Geben Sie ae Rand- und Übergangsbedingungen des Systems an! (b) Formuieren Sie die Bedingungen an die Ortsfunktion X α ( α ) (α = 1, 2) für die unter (a) ermitteten Beziehungen! m,k B (c) Steen Sie das Gesamtgeichungssystem für die Konstanten C i (i = 1...8) auf. Geg.: m, m, K B, k, k, Die Federn sind in der skizzierten Lage spannungsos. 1 1 k 2 2 m,k B m k

14 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 14 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 31. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter Baken trägt am freien Ende eine Einzemasse. Geeignete Anfangsbedingungen assen den Baken quer schwingen. Gegeben seien die Größen:, m, E, I, A, ρ E,I,A,ρ m (a) Zeige an einem differentieen Masseneement, dass git: 2 w t 2 = c 2 Q 4 w 4 mit c 2 Q = EI ρa! (b) Forme die partiee Differentiageichung um in zwei gewöhniche Differentiageichungen. (c) Bestimme die agemeine Lösung mit einem für gewöhniche ineare Differentiageichungen agemeingütigen Ansatz der Form X() = Ae λ! (d) Formuiere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen. (e) Stee die Frequenzgeichung auf! 32. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter Baken trägt am freien Ende eine Einzemasse und ist dort mit einer Feder abgestützt. Geeignete Anfangsbedingungen assen den Baken quer schwingen. (a) Forme die partiee Differentiageichung 2 w = c 2 t 2 Q 4 w 4 mit c 2 Q = EI ρa um in zwei gewöhniche Differentiageichungen! (b) Bestimme die agemeine Lösung der Ortsfunktion mit einem Eponentiaansatz! (c) Formuiere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen! (d) Stee die Frequenzgeichung auf, und gib eine Bestimmungsgeichung für die Eigenformen an! E,I,A,ρ m c Gegeben seien die Größen:, m, c, E, I, A, ρ 33. Ein Baken sei inks fest eingespannt und rechts durch ein Lager mit der Wand verbunden, das zwar Biegemomente, aber keine Querkräfte übertragen kann. Die zugeordnete Differentiageichung 2 w(,t) = c 2 4 w(,t) wird mit λ = t 2 4 Ω c, c2 = B µ von fogendem Ansatz erfüt: ( w(,t) = B 1 cosh(λ) + B 2 sinh(λ) + B 3 cos(λ) + B 4 sin(λ) w µ = ρa,b = EI )( ) A 1 cos(ωt) + A 2 sin(ωt). Bei der Lösung der fogenden Aufgaben ist fogende Kurzschreibweise nützich: cosh (.) = ch (.) sinh (.) = sh (.) cos (.) = c (.) sin(.) = s (.) tan (.) = t (.) tanh (.) = th (.). (a) Geben Sie 2 Bedingungen an, die am inken Rand zu jeder Zeit erfüt sind. Wecher Zusammenhang git zwischen B 1 und B 3? Wecher Zusammenhang git zwischen B 2 und B 4? (b) Geben Sie nun 2 Bedingungen (Geichungen) an, die am rechten Rand zu jeder Zeit erfüt sind. Ersetzen Sie darin B 3 und B 4 durch B 1 und B 2. Berechnen Sie die Summe und die Differenz der beiden Geichungen. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte fogender Geichung genügen: tan(λ) + tanh(λ) = 0.

15 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 15 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (c) Die Lösung des Randwertprobems (RWP) autet in mit den oben erkärten Kurzschreibweise: w(,t) = k=1 {( )( B1k ch λk + B 2k sh λk + B 3k c λk + B 4k s λk A1k c Ωk t + A 2k s Ωk t)} Wähen Sie B 1k = α (für ae k), und bestimmen Sie damit B 2k,B 3k und B 4k abhängig von α und λ k. Bestimmen Sie nun die Eigenformen E k (λ k,) so, dass die Lösung des RWP geschrieben werden kann as: w(,t) = k=1 { ( )} E k (λ k,) αa 1k cos(ω k t) + αa 2k sin(ω k t) 34. Es soen die Eigenfrequenzen des skizzierten Systems bestimmt werden. Dabei soen nur Schwingungsformen in der zwischen den Baken aufgespannten senkrechten Ebene berücksichtigt werden. Sowoh die Baken as auch das Sei soen as massebehaftet und eastisch angesehen werden. Gib die anzuwendenden Bewegungsdifferentiageichungen sowie die zugehörigen Rand- und Übergangsbedinungen an! Ein Baken (Länge, Biegesteifigkeit EI, Massebeegung µ) ist bei A geenkig geagert und bei B mitw einem starren Körper (Masse m) verbunden. Eine A starre, masseose Pendestütze DC (Länge ) hät die Masse waagerecht. EI, µ, D starr, masseos (a) Gib die partiee Differentiageichung und die Randbedingungen für keine Biegeschwingungen w(,t) des Bakens an. (b) Stee die Frequenzgeichung für das Systems auf. B C m (c) Bestimme numerisch die erste Eigenfrequenz für den Fa, das der starre Körper gerade 10 ma schwerer ist as der Baken. Geg.:, EI, µ, m

16 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 16 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 1.3 erzwungene Schwingungen 36. Gegeben ist die wie skizziert geagerte Saite (Masse pro Länge µ, Länge, Vorspannkraft T) die durch eine Streckenast q(,t) = q 0 sin ( ) π 2 cos Ωt angeregt wird. Es ist eine Partikuärösung mit dem Ansatz w(,t) = W()cos Ωt zu bestimmen. T w(, t) (a) Geben Sie die Fedgeichung und ae Randbedingungen an. q(,t) = q 0 sin ( ) π 2 cos Ωt (b) Bestimmen Sie W() indem Sie den Ansatz für w(,t) in die Fedgeichung einsetzen und für W() einen Ansatz vom Typ der rechten Seite aufsteen. Zeigen Sie, dass die Lösung die Randbedingungen erfüt. (c) Für weches Ω krit tritt Resonanz auf? Geg.: T, µ,, Ω, q(,t) = q 0 sin ( ) π 2 cos Ωt 37. Gegeben ist die wie skizziert geagerte Saite (Masse pro Länge µ, Länge, Vorspannkraft T) die durch eine Streckenast q(,t) =q 0 sin( π )cos(ωt) angeregt wird. Es ist eine Partikuärösung mit dem Ansatz w(,t) = W()cos Ωt zu bestimmen. w(, t) (a) Geben Sie die Fedgeichung und ae Randbedingungen an. µ µ q(,t) = q 0 sin π cos Ωt (b) Bestimmen Sie W() indem Sie den Ansatz für w(,t) in die Fedgeichung einsetzen und für W() einen Ansatz vom Typ der rechten Seite aufsteen. Biden Sie w(, t) und zeigen Sie, dass die Lösung die Randbedingungen erfüt. (c) Für weches Ω krit tritt Resonanz auf? Geg.: T, µ,, Ω, q(,t) = q 0 sin π cos(ωt) 38. Ein Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Massebeegung µ = ρa, Länge ) stützt sich an seinen beiden Enden ( = 2 und = 2 ) über Federn (Federsteifigkeit k) an der Umgebung ab. In der Ruheage sind die Federn entspannt. An den Punkten P und Q greifen entgegengesetzt wirkende Kräfte mit dem Betrag F(t) = F 0 cos Ωt an. Die Längsschwingungen u(,t) des Stabes im eingeschwungenen Zustand sind zu untersuchen. T

17 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 17 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Wie autet die die Längsschwingungen beschreibende partiee Differentiageichung? Hinweis: Keine Hereitung notwendig. F(t) k P EA, µ gatt Q k F(t) (b) Wie auten die Randbedingungen? Beachten Sie bitte den Ursprung der Koordinate! (c) Bestimmen Sie nun die Lösung u(,t) im eingeschwungenen Zustand! (d) Für weche Erregerkreisfrequenzen Ω bewegt sich der Punkt Q nicht? Geg.: F 0, Ω, EA, µ, 39. Ein Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Massebeegung µ, Länge ) stützt sich an seinen beiden Enden ( = 0 und = ) über Federn (Federsteifigkeit k) an der Umgebung ab. In der Ruheage sind die Federn entspannt. Am Punkt P greift eine Kraft F(t) = F 0 cos Ωt an. Die Längsschwingungen u(, t) des Stabes im eingeschwungenen Zustand sind in den fogenden Schritten zu untersuchen. (a) Wie autet die die Längsschwingungen beschreibende partiee Differentiageichung? Hinweis: Keine Hereitung notwendig. (b) Wie auten die Randbedingungen? (c) Bestimmen Sie nun die Lösung u(,t) im eingeschwungenen Zustand! (d) Für weche Erregerfrequenzen Ω bewegt sich der Punkt P nicht? Setzen Sie hier große Erregerfrequenzen Ω voraus und geben Sie Näherungsösungen an. k EA, µ gatt P k F 0 cos Ωt Geg.: F 0, Ω, EA, µ, 40. Ein einseitig eingespannter massebehafteter Stab (Dehnsteifigkeit EA, Dichte ρ, Länge ) im Schwerefed trägt an seinem Ende eine Einzemasse m. An dieser greift eine harmonische Erregerkraft F(t) = F 0 cos Ωt an, die den Stab in erzwungene Longitudinaschwingungen versetzt.

18 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 18 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Leite die das System beschreibende partiee Differentiageichung durch Freischnitt eines infinitesimaen Masseneementes her.,u g (b) Durch eine Transformation auf die statische Ruheage äßt sich die Differentiageichung auf die fogende bekannte Form überführen: EA, ρ 2 ũ t 2 (,t) = 2 ũ c2 2(,t) mit c2 = E ρ Ausgehend von dieser homogenen partieen Differentiageichung soen die Längsschwingungen ũ p (,t) im eingeschwungenen Zustand bestimmt werden. m F(t) Geg.: F 0, Ω, EA, ρ,, m, g 41. Ein schwingungsfähiges System wird durch das skizzierte Mode aus zwei Dehnstäben (Dehnsteifigkeit EA, Massenbeag ρa) mit Massenpunkten (Masse m 1, m 2 ) und einer ideaen Feder (Steifigkeit k) beschrieben. Geg.: L, k, m 1, m 2, E, ρ, A k,u m 1 m L 1 2 L (a) Geben Sie die Bewegungsgeichung(en) des skizzierten Systems und die dazugehörigen Rand- und Übergangsbedingungen an. Im fogenden wird ein Speziafa betrachtet, der auf fogende Bewegungsdifferentiageichung und Randbedingungen führt: ü(,t) = c 2 u (,t), u( = 0,t) = 0, u ( = L,t) = 0 (b) Was für ein Speziafa ist das? Wechen Werten müssen die Massen der zwei Massenpunkte für diesen Speziafa zustreben? (Der Wert für k so hierbei nicht eingegrenzt werden.) Geben Sie c in gegebenen Größen an! (c) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen für den Speziafa. (d) Das System (Speziafa) so am rechten Ende ( = L) mit einer Kraft angeregt werden. Die Ampitude der Kraft beträgt ˆF, die Schwingungsperiode T. Berechnen Sie die Schwingungen u(,t) im eingeschwungenen Zustand! 42. Erzwungene Schwingungen eines Bakens Ein einseitig eingespannter Baken (Länge, Biegesteifigkeit EI, Massebeegung µ) werde dadurch in erzwungene Schwingungen versetzt, daß die Einspannung eine harmonische Auf- und Abbewegung mit der Frequenz Ω durchführt. Die Durchbiegung w(,t) des Bakens im eingeschwungenen Zustand ist in den fogenden Schritten zu bestimmen. EI, µ, ŵ sinωt (a) Wie autet die die Transversaschwingungen beschreibende partiee Differentiageichung? Hinweis: Keine Hereitung notwendig.

19 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 19 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (b) Wie auten die Randbedingungen? (c) Wecher Produktansatz ist zu wähen, um die Ausenkung im eingeschwungenen Zustand zu berechnen? Die Ortsfunktion sei mit X() bezeichnet. (d) Der Produktansatz führt bekanntich auf Wie wurde demnach λ definiert? X() = Asinhλ + B cosh λ + C sin λ + D cos λ (e) Bestimme davon ausgehend die Durchbiegung im eingeschwungenen Zustand! 43. Ein Kragbaken wird wie abgebidet durch ein Moment am rechten Rand beastet. Man berechne die Übertragungsfunktion des Systems an der Stee, wo das Moment angreift. Eingangsgröße: M E ( =,t) = M 0 cos(ωt), Ausgangsgröße: w ( =,t) K B,m, M E (,t) z,w(,t) Geg.: K B,m,,M Ein Baken ist inks und rechts geenkig geagert, am rechten Ende ( = L) greift ein periodisches Moment an: M(t) = M 0 cos Ωt. (a) Gib die das Probem beschreibende partiee Differentiageichung und die dazugehörigen Randbedingungen an! L EI, A, ρ M(t) (b) Bestimme die Schwingungsform im eingeschwungenen Zustand! Geg.: M 0, Ω, L, EI, A, ρ 45. Ein beidseitig geenkig geagerter Baken (Länge, Biegesteifigkeit EI, Massebeegung µ) werde dadurch in erzwungene Schwingungen versetzt, daß am rechten Lager eine harmonische Drehbewegung mit der Frequenz Ω vorgegeben ist. Geben Sie die Durchbiegung w(,t) im eingeschwungenen Zustand an. Geg.:, EI, µ, α(t) = ˆαsin Ωt, Ω, ˆα A EI, µ α(t) B

20 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 20 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 46. Ein eastischer, massebehafteter Baken (Biegesteifigkeit EI, Länge 2L, Querschnittsfäche M(t) A und Dichte ρ) ist inks und rechts geenkig geagert. An beiden Enden greift ein periodisches Moment M(t) = M 0 cos Ωt an. Unter Vernachässigung der Dämpfung so die Ampitude im eingeschwungenen Zustand bestimmt werden. Gehen Sie dabei wie fogt vor: A L EI, A, ρ L M(t) B (a) Geben Sie die das Probem beschreibende partiee Differentiageichung an. (b) Wie auten die Randbedingungen? Beachten Sie die eingezeichnete -Koordinate. (c) Bestimmen Sie die Ampitude im eingeschwungenen Zustand. (d) Gibt es eine Phasenverschiebung zwischen Fremderregung und Systemantwort. Begründen Sie Ihre Antwort. Geg.: M 0, Ω, L, EI, A, ρ 47. Ein Baken (Länge 2, Massebeegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist an beiden Enden an Federn (Steifigkeit k) aufgehängt. An den Endpunkten werden die Bewegungen s(t) = ŝ cos Ωt durch geeignete Kräfte F(t) erzwungen. (a) Gib die partiee Differentiageichung und die Randbedin- gungen für keine Biegeschwingungen w(,t) des Bakens an. k k (b) Bestimme die Bakenschwingungen w(, t) im eingeschwungenen Zustand. s(t) µ,ei s(t) Geg.: µ, EI,, k, ŝ, Ω 48. Eine Kompanie Sodaten marschiert im Geichschritt über eine freitragende Brücke. Es wird nur die Abweichung von der statischen Ruheage betrachtet. Das Probem wird as ein Baken unter räumich konstanter und zeitich periodischer Streckenast betrachtet. F(t) Geg.: L, EI, m, q(t) = q 0 sin Ωt (a) Gib die das Probem beschreibende partiee Differentiageichung an! L q(t) F(t) EI, m 00 11

21 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 21 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (b) Bestimme die Schwingungsform im eingeschwungenen Zustand! (c) Bestimme die Ampitude der Brückenschwingung in Abhängigkeit von der Schrittfrequenz im eingeschwungenen Zustand!

22 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 22 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 2 Grundagen der Hydromechanik 2.1 Hydrostatik 49. Ein Wasserauf wird durch ein schräg iegendes Kappenwehr begrenzt. Die Wehrkappe ist in ihrem Schwerpunkt S drehbar geagert. Die Breite der Wehrkappe (senkrecht zur Bidebene) ist b. Bei einem bestimmten Wasserstand kappt das Wehr sebständig auf. (a) Berechnen Sie die resutierende Kraft auf die Wehrkappe und das Moment bezügich der Wehrachse infoge des Wasserdruckes! (b) Berechnen Sie den Wasserstand z 0, bei dem das Wehr sebständig öffnet! (c) Berechnen Sie das maimae Moment, das erforderich ist, um das Wehr zu öffnen! ρ α S h z 0 Geg.: ρ, h, α,, g 50. Zwei mit (inkompressiben) Füssigkeiten der Dichten ρ A bzw. ρ B gefüte Behäter sind in der skizzierten Weise über ein U-Rohr- Manometer verbunden. Die Dichte der Manometerfüssigkeit ist ρ C. z h 2 h 2 Wie groß ist die Druckdifferenz p A p B in Abhängigkeit vom Manometerausschag h? h A ρ A h B Geg.: h A, h B, h, ρ A, ρ B, ρ C ρ C ρ B 51. Zwei Füssigkeitsbehäter sind nach nebenstehender Skizze durch ein Rohrsystem miteinander verbunden. Über der Füssigkeit in beiden Behätern befindet sich Luft. In den Behätern und dem Rohrsystem befinden sich drei verschiedene Füssigkeiten mit den Dichten ρ 1, ρ 2 und ρ 3. Die Druckdifferenz zwischen den beiden Behätern beträgt p a p b = p. Wie groß ist die Dichte ρ 3 der dritten Füssigkeit? Geg.: p, h 1, h 2, h 3, h 4, ρ 1, ρ 2, g p A g p B p a ρ 3 p b ρ 1 ρ h 2 1 h 2 h 3 h 4

23 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 23 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 52. EULERsches Fuid: EULERsches Grundgesetz für ρ = const. ω g Ein Becher sei mit einem reibungsfreien, inkompressiben Fuid (ρ = const) gefüt und rotiere mit der konstanten Winkegeschwindigkeit ω im Schwerefed der Erde. In einer mitgewegten Basis git das EU- LERsche Grundgesetz der Hydrostatik in bekannten Form (ohne Beweis). z z 0 (a) Berechnen Sie mit der Vorgabe f = ω 2 re r ge z ein Potentia U in Zyinderkoordinaten, aus dem sich f berechnen äßt aus f = gradu. Hinweis: Der Gradient von U hat in der mitbewegten Basis < e r e ϕ e z > die (physikaischen) Komponenten [ U r, 1 U r ϕ, U z ]. (b) Setzen Sie f = gradu in das EULERsche Grundgesetz der Hydrostatik ein. Was können Sie über U + p ρ sagen? Steen Sie p as Funktion von z,r mit den Parametern,z 0 dar. (c) Weche Form nimmt die Oberfäche der Füssigkeit an? 53. Eine senkrechte Trennwand der Breite b, die ein Wasserreservoir der Wassertiefe h 2 gegen ein anderes der Tiefe h 1 abschießt, so vor Überastung geschützt werden. Bei Überschreiten einer bestimmten Wassertiefe h 2 so der Ventikörper der Masse m abheben, damit das Wasser vom Behäter 2 in den Behäter 1 fießen kann. (a) Ab wechem Wasserstand h 2,krit überschreitet das resutierende Moment M res um den Punkt B den kritischen Wert M krit = 9, Nm? (b) Wie groß muß die Ventifäche A sein, damit das Venti bei Erreichen des Wasserstandes h 2,krit öffnet? Geg.: h 1 = h 3 = 1m, = 1bar, g = 9,81 m, m = 1000kg, M s 2 krit = 9, Nm, b = 2m 54. Eine transportabe Hochwassersperre sei viertezyinderförmig mit dem Radius R und der Breite b senkrecht zur Zeichenebene ausgeführt. Sie besteht aus homogenem Materia der Dichte ρ S = 3 ρ W. Die Sperre iegt ose auf dem Grund. Es sei angenommen, daß zwischen Sperre und Grund kein Wasser eindringt und daß dort der Haftreibungskoeffizient µ 0 wirksam ist. Es so der höchste Wasserstand h 0 = R betrachtet werden. (a) Wie groß ist die Horizontakraft F des Wassers auf die Sperre? (b) Wie groß ist die Vertikakraft F y des Wassers auf die Sperre? (c) Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ 0 mindestens sein, damit die Sperre nicht wegrutscht? (d) Wie veräuft die Wirkungsinie der resutierenden Wasserast? Gib einen Punkt und die Neigung an. y ρ W h 2 2 M res h 0 B g ρ S A 1 m R g h 1 h 3 Geg.: ρ W, R, b, g

24 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 24 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 55. Eine in einem Wasserbehäter eingebaute Kappe der Höhe h und der Breite b ist im Punkt D um eine horizontae Achse drehbar geagert. (a) Wie groß ist die resutierende Wasserast F auf die Kappe in Abhängigkeit von der Höhe des Wasserspieges? (b) Bei wecher Höhe des Wasserspieges öffnet sich die Kappe durch die Wasserast sebsttätig? Steen Sie Ihr Ergebnis in einem Diagramm dar. h D d (c) Berechnen Sie nun mit den gegebenen Zahenwerten, bei wecher Wasserhöhe sich die Kappe öffnet. Geg.: h = 1m, d = 0,45m, b = 1m, g = 9,81 m, ρ s 2 H2 O = 10 3 kg m 3 Literatur: [1, S. 2-8, 18-24] 56. Die Öffnung einer Behäterwand wird durch eine Kappe K mit der Breite b (senkrecht zum Bid) und der Höhe h verschossen. Sie ist über einen um O drehbaren und masseosen Winkehebe mit einem zyindrischen masseosen Schwimmer S (Durchmesser d, Breite b) verbunden. Der Auftrieb des Hebes werde vernachässigt. Geg.:,s,h,b,ρ,g,d S g d ρ a O K s h (a) Bestimmen Sie die Auftriebskraft des Schwimmers, wenn der Wasserspiege auf der Höhe des Drehpunkts O iegt. (b) Bestimmen Sie die Druckverteiung innen an der Kappe und die Kraft, die aufgrund des Wasserdrucks von innen auf die Kappe wirkt. (c) Wie groß muss a sein, damit die Kappe öffnet, wenn der Wasserspiege bis zur Höhe des Drehpunkts O gestiegen ist? ρ a (H) 57. Korb und Hüe eines Heißuftbaons haben zusammen die ρ Masse m. Im Innern befindet sich erwärmte Luft. Der Baon ist in der Höhe h im Geichgewicht. Nun wird Ba- (h) T a T i ρ i (H) T ast der Masse m ab abgeworfen, und der Baon steigt aus ρ i (h) der Höhe h in die Höhe H. Luft werde innen wie außen as ideaes Gas unter isothermer Zustandsänderung angesehen. m m ab Das Baonvoumen V sei konstant. Das Gewicht g m der während des Aufstiegs ausströmenden Luft sowie der Auftrieb des Baonkorbes werden vernachässigt. z Geg.: V,m,g,R,T i,t a,m,h,h. Für ideae Gase unter isothermer Zustandsänderung git: ρ(z) = ρ(z 0 )ep ( g M RT (z z 0) ) h. m ab H (a) Wie autet die Bedingung, die das Geichgewicht zwischen Auftrieb und Gesamtgewicht des Baons (einschießich Luftfüung) in der Höhe h beschreibt? Wie autet die entsprechende Geichgewichtsbedingung in der Höhe H? Es so davon ausgegangen werden,

25 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 25 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik dass es zur Ermittung des Auftriebs ausreicht, mit konstanter Dichte im Baon und in der Baonumgebung zu rechnen. (b) Wecher Zusammenhang git zwischen ρ a (H) und ρ a (h), und wecher zwischen ρ i (H) und ρ i (h)? (c) Bestimmen Sie nun die Baastmasse m ab, die näherungsweise nötig ist, um den Baon aus der Höhe h in die Höhe H zu bringen unter der zusätzichen Annahme, dass T i T a (dass aso die Dichteänderungen mit der Höhe innen und außen fast geich sind). 2.2 Bernouische Geichung 58. Das abgebidete System so mit Mitten der Stromfadentheorie untersucht werden. Es so angenommen werden, daß die Rohrreibungsveruste vernachässigt werden können. h A h B A B C D h D h C Es werden Zustände untersucht, bei denen die Kappe zwischen den beiden Wasserbehätern geschossen ist. (a) Zeigen Sie, daß bei der Höhe h B =... des Wasserstandes im rechten Behäter der minimae Druck in der Rohreitung gerade p k ist. Die Dichte des Wasser sei ρ. (b) Weche Masse m K muß die Kappe haben, damit sie sich gerade dann beginnt zu öffnen, wenn der minimae Druck in der Rohreitung p k ist. Die Querschnittsfäche der Kappe sei A. Geg.:, g, h A, h C, h D, A, ρ

26 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 26 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 59. Dargestet ist ein Kesse mit 4 Duschen. Der Umgebungsdruck sei. Der Kessedruck sei p K. Die p K g A D ρ Querschnittsfäche der Ausässe der Duschen sei A D, die Querschnittsfäche der Zueitung sei A Z. Der Wasserspiege im Kesse werde auf konstanter Höhe H gehaten. H A Z h Hinweis: Entang einer Strominie git: p ρ + v2 2 + gz = const. (BERNOUL- LIsche Geichung) (a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeiten v 1, v 2, v 3 und v 4 der Duschen. (b) Wir groß muss die Druckdifferenz p := p K sein, damit ein bestimmter Voumenstrom V (der sich auf ae 4 Duschen verteit) entnommen werden kann? (c) Wie ändern sich die unter a) und b) berechneten Größen, wenn bei demseben Voumenstrom nur 2 Duschen aufgedreht sind? 60. Ein dreigeschossiges Wohnhaus werde aus einem Kesse versorgt. Die Fühöhe H im Kesse sei konstant. Der Luftdruck im Kesse sei p i. Der Austrittsquerschnitt F 1 und die Höhen der Austritte h α (α = 1,2,3) seien gegeben. Die Strömung sei stationär. Das Fuid sei inkompressibe und reibungsfrei. Der Umgebungsdruck betrage = 1 6 p i. H p i ρ g z F 3 F 2 F 1 h 3 h 2 h 1 Hinweis: Entang einer Strominie git: p ρ + v2 2 +gz = const. (BERNOULLIsche Geichung) (a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeiten v 1, v 2 und v 3 abhängig von den gegebenen Größen,ρ,g,H,h 1,h 2,h 3. (b) Wie groß müssen die Fächen F 2 und F 3 sein, damit übera dersebe Massentrom Ṁ abfießt? (c) In wecher maimaen Höhe über dem Boden z ma könnte gerade noch Wasser entnommen werden?

27 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 27 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik 61. Auf einem Podest der Höhe H = 0,5m steht ein großes Gefäß (Durchmesser D = 1m), weches bis zu Höhe H = 1m mit Wasser gefüt ist (vg. nebenstehende Skizze). Dieses Gefäß wird mit Hife eines Schauches (Durchmesser d = 1cm) nach dem Heberprinzip enteert. (a) Wie groß ist bei reibungsoser Strömung die Wasseraustrittsgeschwindigkeit v A = f(h) am Schauchende in Abhänigkeit von der veränderichen Wasserhöhe h im Behäter? (b) Wie groß ist bei reibungsoser Strömung die Enteerungszeit T des Behäters? 62. Wassereitung/BERNOULLIsche Geichung Bestimme für das dargestete System unter der Voraussetzung stationärer Verhätnisse des Druck- (a) den Innendruck p i behäters D, (b) die maima mögiche Anzah von Entnahmesteen W unter der Bedingung, daß an keiner Stee der Leitungen L 1 und L 2 Kavitation auftreten so (p! > p D )! D ρ A 1 (2) (1) L 1 (0) p i (3) A 3 L 2 A 3 h 1 h 3 (4) W Geg.: h 0, h 1, h 3, h 4, A 1, A 3, A 4, ρ, Umgebungsdruck, Dampfdruck p D, mit h 4 < h 1 < h 3 < h 0 und A 1 2 = A 3 = 10A 4, Erdbescheunigung g. 63. Ein Hochofengebäse drückt Luft (Dichte L) mit dem Druck p 1 in eine Rohreitung vom Durchmesser d 1. Der Voumenstrom Q so durch eine einfache Druckabesung kontroiert werden. Zu diesem Zweck ist in die Leitung eine Verengung mit einem U-Rohr-Manometer eingebaut (Dichte der Füssigkeit W). A 4 h 4 h 0

28 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 28 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Berechnen Sie den Voumenstrom Q as Funktion der im Manometer angezeigten Höhendifferenz h m bei vorgegebenen Durchmessern d 1 und d 2. (b) Berechnen Sie die Empfindichkeit S Q = dh m dq für das untersuchte Voumenstrommeßgerät. Zeichnen Sie die Empfindichkeit S Q unter Berücksichtigung charakteristischer Werte in einem Diagramm as Funktion des Voumenstroms Q. L p 1 d 1 d v p 2 v A h m B W Gegeben: W, L, p 1, d 1, d 2, g, reibungsfreie, inkompressibe Strömung 64. Eine Rohreitung unter einem Wasserbehäter mündet ins Freie (Umgebungsdruck ). Mit Hife einer düsenförmigen Verengung und einem Saugrohr so aus einem unteren Reservoir Wasser gefördert werden (Höhendifferenz zur Düse h).

29 Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Seite 29 Aufgabenkataog Kontinuumsmechanik (a) Wie groß ist der Druck p 2 an der Stee 2 zwischen Saugrohr und Düse, wenn das Saugrohr mit stehendem (aso ruhendem) Wasser gefüt ist? (b) Wecher Zusammenhang muss zwischen dem Druck p 1 und dem eben berechneten Druck p 2 geten, damit das Wasser aus dem Saugrohr sogar in die Düse hineingesaugt wird? (Annahme d < < h) (c) Berechnen Sie mithife der Bernoui-Geichung ρv p + ρgz = const. zwischen 1 und 3 den Druck p 1 an der Stee 1 abhängig von v 1 und v 3. (d) Wie ist der Zusammenhang zwischen v 1 und v 3? (Massenbianz, Kontinuitätsgeichung zwischen 1 und 3 ) (e) Formuieren Sie die Bernoui- Geichung nun noch zwischen 0 und 3. (f) Bestimmen Sie die Querschnittsfäche der Düse A 1, so dass Wasser angesaugt werden kann. Kontroieren Sie die Einheiten in Ihrem Ergebnis. Geg.: H, h, ρ, g,, A 3. A 1 H h 0 Saugrohr Reservoir Behäter 1,A 1 2 d << h 65. Zwei Scheusenkammern h (Wasserspie- A 2 gefächen A 1 und g A 2 ) sind durch einen z 1 Kana (Querschnittsfäche A) miteinander A v B z 2 verbunden. Die Höhen NN der Wasserspiege über dem Nuniveau betragen z 1, K 1 bzw. z 2. A K 2 (a) [1 Punkt] Bestimmen Sie die Drücke bei NN in Kammer 1 und in Kammer 2. Gehen Sie von Hydrostatik aus. (b) [2 P.] Ein Teichen bewegt sich von A in Kammer 1 nach B in Kammer 2 auf 4 g 3,A 3