Mikroökonomik I Sommersemester 2005

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1 Prof. Dr. Robert Schwager Georg-August-Universität Göttingen Volkswirtschaftliches Seminar Mikroökonomik I Sommersemester 005 Termin und Ort Vorlesung Donnerstag, :5-3:45 (ZHG 00) erster Termin: Do, 4. Aril 005, Mittwoch, 6:5-7:45 (ZHG 0), nur am 0. Aril, 7. Aril,. Mai, 8. Mai, 5. Mai, 0. Juni Tutorien siehe Aushang / UniVIS, Beginn: Anfang Mai 005. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

2 Mikroökonomik I: Einzelwirtschaftliche Entscheidungen. Einführung in die wirtschaftstheoretische Methode: Der Wohnungsmarkt Varian (003), Ka. A. Theorie des Haushalts. Das Budget Varian (003), Ka. 3. Präferenzen und Nutzenfunktion Varian (003), Ka. 3, 4 Feess (000), Ka Nutzenmaimierung und Ausgabenminimierung Varian (003), Ka. 5 Feess (000), Ka Einkommens- und Preisänderungen Varian (003), Ka. 6, 8 Feess (000), Ka Arbeitsangebot Varian (003), Ka. 9 Feess (000), Ka. 0 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

3 B. Theorie des Unternehmens 7. Technologie und Produktionsfunktion Varian (003), Ka. 8 Feess (000), Ka , Gewinnmaimierung Varian (003), Ka. 9 Feess (000), Ka Kostenminimierung Varian (003), Ka. 0 Feess (000), Ka. 3.6, Kostenkurven Varian (003), Ka. Feess (000), Ka. 4. Der Wettbewerbsmarkt Varian (003), Ka., 3, 6 Feess (000), Ka. 5, 3 Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 3

4 Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten C. Wettbewerbsmärkte. Wettbewerb und Monool auf einem einzelnen Markt 3. Allgemeines Gleichgewicht 4. Ersarnis und Investition 5. Risiko und Versicherung D. Sieltheorie und oligoolistische Märkte 6. Siele in Normalform 7. Sequenzielle Entscheidungen 8. Oligooltheorie 9. Asymmetrische Information Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 4

5 Literatur Bergstrom, T. und H. Varian (003): Workouts in intermediate microeconomics, 6. Aufl., New York: Norton. Böhm, V. (995): Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band I, 3. Aufl., Berlin: Sringer. Böhm, V. (993): Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band II,. Aufl., Berlin: Sringer. Chiang, A. (984): Fundamental methods of mathematical economics, 3. Aufl., New York: McGraw-Hill. Feess, E. (000): Mikröokonomie: eine sieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung,. Aufl., Marburg: Metroolis. Kres, D. (990): A course in microeconomic theory, New York: Harvester Wheatsheaf. Varian, H. (003): Intermediate microeconomics: a modern aroach, 6. Aufl., New York: Norton. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 5

6 . Einführung in die wirtschaftstheoretische Methode: Der Wohnungsmarkt Die Wirtschaftstheorie entwickelt Modelle sozialer Phänomene. Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung der Wirklichkeit. Beisiel: Der Preis von Wohnungen Annahmen: es gibt nur zwei Arten von Wohnungen. Die einen sind nahe der Universität gelegen (innerer Ring), die anderen sind weiter entfernt (äußerer Ring). Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 6

7 Es gibt mehr Interessenten für die inneren Wohnungen als solche Wohnungen vorhanden sind. der Preis der Wohnungen im äußeren Ring, das Einkommen der Wohnungssuchenden, die Anzahl der Wohnungen im inneren Ring sind eogen. D.h. diese Größen werden nicht durch das Modell erklärt. Fragen Wie hoch ist die Miete im inneren Ring? Wer wohnt in den Wohnungen im inneren Ring? (Allokation) Wie wünschenswert sind unterschiedliche Verfahren zur Zuteilung der Wohnungen? Preis und Allokation sind endogen, d.h. sie werden durch das Modell erklärt. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 7

8 Die ökonomische Methode: Prinziien der Erklärung menschlichen Verhaltens Das Otimierungsrinzi: Jeder Mensch wählt die beste der ihm zur Verfügung stehenden Möglichkeiten. Das Gleichgewichtsrinzi: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar sein. Die Nachfrage Vorbehaltsreis: Maimale Zahlungsbereitschaft einer Person Zahlungsbereitschaft Möglichkeiten: Einkommen, Preise der Wohnungen im äußeren Ring,... Wünsche: Präferenzen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 8

9 Nachfragekurve: Beschreibt die nachgefragte Menge zu jedem möglichen Preis. Konstruktion der Nachfragekurve: absteigend geordnete Liste aller Vorbehaltsreise, z.b. eine Person mit Vorbehaltsreis 400 eine Person mit Vorbehaltsreis 390 zwei Personen mit Vorbehaltsreis 380 usw. Miete [ ] Anzahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 9

10 Nachfragekurve bei vielen Nachfragern Miete Nachfrage Anzahl von Wohnungen Bei vielen Nachfragern sind die Srünge zwischen den Preisen klein. Stetige Nachfragekurve Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 0

11 Das Angebot (die Vermieter) Angebotskurve: Beschreibt die zu jedem der möglichen Preise angebotene Menge. Konstruktion der Angebotskurve Annahmen: Die Vermieter sind daran interessiert, ihre Wohnungen zum höchstmöglichen Preis zu vermieten. Die Zahl der Wohnungen ist kurzfristig fest. Wettbewerb (Konkurrenz): jeder Vermieter handelt im eigenen Interesse, keine Preisabsrachen, Vermieter sind Preisnehmer. Miete Angebot Anzahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

12 Marktgleichgewicht Behautung: Der Preis aller Wohnungen im inneren Ring muß einheitlich sein. Beweis durch Widerlegung des Gegenteils: Mieter A zahlt h, Mieter B zahlt l < h. Mieter A kann dem Vermieter von B für B s Wohnung eine Miete zwischen l und h bieten. Das lohnt sich für A und den Vermieter; sie werden einen Mietvertrag über die Wohnung abschließen. Widersruch zum Gleichgewichtsrinzi. Gleichgewichtsreis *: Der Preis, bei dem die nachgefragte Anzahl von Wohnungen gleich der angebotenen ist. Allokation im Gleichgewicht: Personen mit einem Vorbehaltsreis über * werden im inneren Ring und solche mit einem Vorbehaltsreis unter * werden im äußeren Ring wohnen. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

13 Das Wettbewerbsgleichgewicht Miete Angebot * Nachfrage Anzahl an Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 3

14 Komarative Statik Wie ändert sich das Gleichgewicht, wenn sich eogene Größen ändern? Vergleich zwischen zwei Gleichgewichtszuständen Beisiel: Erhöhung des Wohnungsangebots Miete altes Angebot neues Angebot altes * neues P* Nachfrage Anzahl an Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 4

15 Beisiel: Umwandlung mehrerer Mietwohnungen in Eigentumswohnungen. Effekt: Das Angebot an Mietwohnungen sinkt.. Effekt: Da einige Mieter von Wohnungen sich nun entschließen könnten, die neuen Eigentumswohnungen zu kaufen, sinkt die Nachfrage nach Mietwohnungen ebenfalls. Wenn sich Nachfrage und Angebot in gleichem Ausmaß nach links verschieben, bleibt der Gleichgewichtsreis unverändert. Miete neues Angebot altes Angebot altes * alte Nachfrage neue Nachfrage Anzahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 5

16 Beisiel: Grundsteuer Jeder Vermieter muß 50 ro Monat für jede seiner Wohnungen zahlen. Die Angebotskurve ändert sich nicht, da die Zahl der Wohnungen unverändert bleibt. Die Nachfragekurve ändert sich auch nicht. Folgerung: Der Gleichgewichtsreis ändert sich nicht. Die Vermieter tragen die Steuer. Anwendung: Wer rofitiert vom Wohngeld? Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 6

17 Andere Verfahren der Allokation von Wohnungen. Der Konkurrenzmarkt wie in vorheriger Analyse. Der diskriminierende Monoolist besitzt alle Wohnungen kennt alle Vorbehaltsreise kann Untervermietung verhindern Gleichgewicht: Jeder Mieter zahlt seinen Vorbehaltsreis Die Interessenten, deren Zahlungsbereitschaft größer ist als *, erhalten die Wohnungen im inneren Ring. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 7

18 3. Der (gewöhnliche) Monoolist besitzt alle Wohnungen kennt die Nachfragekurve muß von allen Mietern die gleiche Miete verlangen. Angebotssteigerung Umsatz steigt Preis sinkt Umsatz sinkt Ein Monoolist wird nicht alle Wohnungen vermieten. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 8

19 4. Mietenbegrenzung _ < * als höchste zulässige Miete Rationierung der Nachfrager i.d.r. erhalten nicht die Nachfrager mit den größten Zahlungsbereitschaften die inneren Wohnungen. Miete Angebot _ Nachfrage Überschußnachfrage Anzahl an Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 9

20 Vergleich unterschiedlicher Arten der Allokation von Wohnungen Welches der Allokationsverfahren Konkurrenzmarkt diskriminierender Monoolist gewöhnlicher Monoolist Mietenkontrolle ist das beste? Pareto-Effizienz: Eine Situation ist Pareto-effizient, wenn es keine Möglichkeit gibt, jemanden besser zu stellen, ohne jemand anderen dadurch schlechter zu stellen. Pareto-Verbesserung: Eine Veränderung der Situation, so daß es einer Person besser geht, aber niemandem schlechter. In einer Pareto-effizienten Situation gibt es keinetauschmöglichkeiten mehr, die sich für beide Partner lohnen. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 0

21 Pareto-Effizienz der 4 Allokationen Monool: Die Vermietung einer leeren Wohnung zu einem beliebigen ositiven Preis ist eine Pareto-Verbesserung. Mietenbegrenzung: Es gibt Personen, die im äußeren Ring wohnen und bereit sind, mehr zu zahlen als Personen mit einer Wohnung im inneren Ring, so dass es ein Potential für Tauschgewinne gibt. Kriterium für Pareto-Effizienz in diesem Modell: Alle Wohnungen sind vermietet. Die Personen mit den größten Zahlungsbereitschaften wohnen im inneren Ring. Pareto-effiziente Allokationen: Wettbewerbsmarkt Diskriminierender Monoolist Nicht Pareto-effiziente (ineffiziente) Allokationen: Monoolist Mietenbegrenzung Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

22 Langfristiges Gleichgewicht Neubau Angebot hängt vom Preis ab: Je höher die Miete, desto mehr Wohnungen werden gebaut. Die Angebotskurve verläuft steigend. Die Gleichgewichtsmenge ist endogen. Miete Angebot * Nachfrage Gleichgewichtsmenge Zahl der Wohnungen Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt

23 Zusammenfassung In der Wirtschaftswissenschaft werden Modelle sozialer Phänomene erstellt, die vereinfachte Darstellungen der Wirklichkeit sind. Dabei werden zwei methodische Prinziien beachtet: Das Otimierungsrinzi: Jeder Mensch wählt die beste der ihm zur Verfügung stehenden Möglichkeiten. Das Gleichgewichtsrinzi: Die Entscheidungen müssen alle zugleich durchführbar sein. Die Nachfragekurve gibt für jeden Preis an, wieviel die Käufer zu diesem Preis nachfragen wollen, die Angebotskurve gibt für jeden Preis an, wieviel die Verkäufer zu diesem Preis anbieten wollen. Bei einem Gleichgewichtsreis sind Angebots- und Nachfragemenge gleich groß. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 3

24 Komarative Statik untersucht, wie sich das Gleichgewicht verändert, wenn sich eine der zugrundeliegenden Bedingungen verändert. Eine Situation ist Pareto-effizient, wenn keine Möglichkeit besteht, jemanden besser zu stellen, ohne gleichzeitig jemand anderen schlechter zu stellen. Mikroökonomik I: Der Wohnungsmarkt 4

25 A. Theorie des Haushalts Der rivate Haushalt... konsumiert Güter... bietet Güter und Faktorleistungen an. Güter und Faktorangebote werden in der Regel als Stromgrößen gemessen, z.b.: 0 Pizzas ro Monat ½ Liter Bier ro Tag die Nutzung eines Autos während eines Monats 40 Arbeitsstunden ro Woche Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 5

26 Der Konsum während eines Zeitabschnitts wird durch einen Vektor dargestellt, der die konsumierten Mengen aller Güter darstellt. Ein solcher Vektor heißt Güterbündel (Konsumlan, Konsumbündel) = (,,..., k ). Wünsche: Präferenzen Kaitel 3 Möglichkeiten: Die Konsummenge X enthält alle hysisch konsumierbaren Güterbündel. Die Budgetmenge B enthält alle bezahlbaren Güterbündel. Kaitel Otimierung: Der Haushalt konsumiert das Güterbündel, das ihm von allen hysisch konsumierbaren, bezahlbaren Güterbündeln am liebsten ist. Kaitel 4-6 Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 6

27 . Das Budget Güterbündel, die der Haushalt sich leisten kann, erfüllen die Budgetbeschränkung. Alle diese Bündel zusammen bilden die Budgetmenge. Die Güterreise,,..., k sind eogen. Der Preis eines Gutes gibt an, wie viele Geldeinheiten man für eine Mengeneinheit dieses Gutes bezahlen muß. Z.B. Dimension des Preises : Zwei Varianten der Budgetmenge: Der Haushalt erhält ein eogenes Einkommen in Höhe von m > 0 Geldeinheiten ( Kaitel -5): k i= i i m Ausgaben Einnahmen ME Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 7

28 Der Haushalt besitzt eine Anfangsausstattung von Gütern, die er verkaufen kann. Der Wert der Anfangsausstattung ist sein Einkommen. Beisiele: Bestände an Konsumgütern, Faktorausstattungen (Arbeit, Kaital, Boden) Kaitel 6 und 3-5 in Mikroökonomik II Budgetgleichung + = m m Budgetgerade = / ist der Relativreis (das Preisverhältnis). Wenn der Haushalt Einheit weniger von Gut kauft, dann kann er / zusätzliche Einheiten von Gut kaufen. Dimension: ME ME = ME ME Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 8

29 Komarative Statik Ein Preis steigt, z.b. von auf > m ' m ' m Das Einkommen steigt von m auf m m'/ m / m / m'/ Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 9

30 Das Einkommen und alle Preise steigen um den selben Faktor t >0. Es gilt also m =tm, = t und = t. Die Budgetgleichung + = m wird zu + = m also t + t = tm, d.h. + = m Die Budgetmenge ändert sich nicht, wenn alle Preise und das Einkommen roortional steigen. Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 30

31 Zusammenfassung Ein Güterbündel ist eine Liste von Mengen von Konsumgütern. Die Budgetbeschränkung gibt an, welche Güterbündel sich ein Haushalt leisten kann. Das Preisverhältnis / gibt an, auf wie viele Einheiten des Gutes man verzichten muß, um sich eine zusätzliche Einheit des Gutes kaufen zu können. Wenn ein Preis sich verändert, dann dreht sich die Budgetgerade. Wenn das Einkommen sich verändert, dann verschiebt sich die Budgetgerade arallel. Die Budgetbeschränkung ändert sich nicht, wenn alle Preise und das Einkommen um denselben Faktor steigen. Mikroökonomik I: Budgetbeschränkung 3

32 3 Präferenzen und Nutzenfunktion Die Präferenzrelation (Präferenzordnung)! drückt die Wünsche des Konsumenten aus, ordnet jeweils zwei konsumierbare Güterbündel und y.! y bedeutet: Der Haushalt findet das Güterbündel mindestens so gut wie das Güterbündel y. Andere Srechweisen: Der Haushalt zieht das Güterbündel dem Güterbündel y schwach vor. Der Haushalt räferiert das Güterbündel schwach gegenüber dem Güterbündel y. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 3

33 Abgeleitete Relationen Strenge Präferenz!! y! y, aber nicht y!. ist strikt besser als y. Indifferenz y! y und y!. ist genauso gut wie y; der Haushalt ist indifferent zwischen und y. Die Indifferenzkurve zum Güterbündel besteht aus allen Güterbündeln y, die genauso gut sind wie, d.h. für die ~ y gilt. Die Bessermenge zu enthält alle Bündel y, die mindestens so gut sind wie, d.h. für die y! gilt. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 33

34 Menge Gut Bessermenge zu Indifferenzkurve zu Menge Gut Standard-Annahmen über Präferenzen Vollständigkeit Für alle, y gilt:! y oder y!. Refleivität Für alle gilt:! Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 34

35 Transitivität Für alle, y, z gilt: Wenn! y dann! z. und y! z, Nur wenn Präferenzen transitiv sind, ist es sinnvoll, nach einem besten Güterbündel zu suchen. Vollständigkeit, Refleivität und Transitivität sind Grundanforderungen an rationales Verhalten. Beisiel für eine nicht-transitive strenge Präferenzordnung! A: Veltins! Warsteiner + B: Warsteiner! Jever + C: Jever! Veltins + Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 35

36 Weitere Eigenschaften von Präferenzrelationen Monotonie Wenn y und y dann ist (, )! (y, y ). gilt, Mehr ist besser. mindestens so gut wie Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 36

37 Strenge Monotonie Wenn y und y und dabei mindestens einmal > gilt, dann ist (, )! (y, y ). Sättigung ist ein Sättigungsunkt, wenn mindestens so gut ist wie alle konsumierbaren Güterbündel y, d.h. wenn! y für alle y gilt. Kann eine streng monotone Präferenzrelation einen Sättigungsunkt haben? Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 37

38 Konveität Der gewogene Durchschnitt zweier gleich guter Güterbündel ist mindestens so gut wie diese Güterbündel. Beisiel: Der Haushalt sei indifferent zwischen den Güterbündeln und y mit y = 4, = 8 =, y = 4 t = 0,75 Gewichtungsfaktor Ist das Güterbündel z = t + (-t)y, d.h. z = 0, , 5 = 6 und z = 0, , 5 4 = 7 besser oder schlechter als die Bündel und y? Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 38

39 Menge Gut 8 7 (, ) (z, z ) 4 (y, y ) 4 6 Menge Gut Wenn die Präferenzrelation konve ist, gilt z Die Indifferenzkurve verläuft unterhalb der Verbindungsgeraden von (, ) nach (y,y ).! y Interretation: Abwechslung erfreut. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 39

40 Definition: Eine Präferenzrelation ist konve, wenn für alle, y mit ~ y und für beliebiges 0 t gilt: t + (- t) y!. Bessermenge zu t + (- t) y y Indifferenzkurve zu Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 40

41 Beisiele für Präferenzrelationen Vollkommene Substitute z.b. Nahrungsmittel, bei denen nur die Kalorienanzahl zählt. Gut hat a Kalorien/kg, Gut hat b Kalorien/kg. (, )! (y, y ), wenn a + + b ay by -a/b Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 4

42 Vollkommene Komlemente z.b. rechte und linke Schuhe Standard-Präferenzen konve, streng monoton Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 4

43 Nutzenfunktion Es ist sinnvoll, eine Präferenzrelation durch eine Funktion darzustellen (z.b., damit man damit rechnen kann). Eine solche Funktion heißt Nutzenfunktion. Definition: Die Funktion u ist Nutzenfunktion zur (strikten) Präferenzrelation!, wenn für alle, y gilt:! y genau dann, wenn u() > u(y).! wird durch u reräsentiert, dargestellt. u = 6 u = 8 u = u = 4 Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 43

44 Kardinaler Nutzen Das Nutzenniveau und Nutzendifferenzen sind von Bedeutung. Nutzen kann zwischen verschiedenen Personen verglichen werden. Ordinaler Nutzen Die Nutzenfunktion macht keine Aussagen darüber, um wieviel ein Güterbündel besser ist als ein anderes. Das Niveau des Nutzens und Nutzendifferenzen haben keine Bedeutung.... genügt, um Entscheidungen zu beschreiben. Gegeben sei eine ositiv monotone Transformation f, (d.h. f >0). Dann gilt: Wenn u () die Präferenzrelation! darstellt, dann stellt auch v () = f (u ()) die Präferenzrelation! dar. Beisiel: u(, f ( u) = u ) = f ( u) = ln u v( v(,, ) = ) = ln + ln Diese drei Nutzenfunktionen reräsentieren alle dieselbe Präferenzrelation. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 44

45 Grenznutzen Wie verändert sich der Nutzen, wenn der Haushalt von einem Gut eine zusätzliche Einheit konsumiert? =, u =? u (endlicher) Grenznutzen des Gutes ; er gibt den zusätzlichen Nutzen je Einheit zusätzlichen Konsums des Gutes an. Beisiel: Vollkommene Substitute u (, ) = + u unverändert, also =. = u = u Nutzenfunktion u Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 45

46 Grenznutzen bei gekrümmter Nutzenfunktion u u u Nutzenfunktion Der (infinitesimale) Grenznutzen des Gutes : u (, ) u ( +, ) u (, ) = lim 0 gibt den Grenznutzen für sehr kleine Änderungen der konsumierten Menge an. Analog: u(, ) u(, + ) u(, ) = lim 0 Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 46

47 Grenzrate der Substitution Die Grenzrate der Substitution MRS sagt aus, wieviele zusätzliche Einheiten des Gutes der Haushalt benötigt, um für den Verlust von einer Einheit des Gutes entschädigt zu werden. Wieviele Einheiten des Gutes würde der Haushalt hergeben, um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten? Grenzzahlungsbereitschaft für Gut, ausgedrückt in Einheiten des Gutes. Beisiel: Vollkommene Substitute u (, ) = +. Wenn um = sinkt und um = steigt, bleibt u unverändert. Grenzrate der Substitution: = MRS(, ) Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 47

48 Indifferenzkurve MRS = - MRS mit gekrümmter Indifferenzkurve d d (infinitesimale) MRS = Steigung der Indifferenzkurve d d Indifferenzkurve Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 48

49 Berechnung der MRS d, d Änderungen der Gütermengen dy Änderung des Nutzens Totales Differential der Nutzenfunktion: u(, ) u(, ) du = d + d. Entlang einer Indifferenzkurve ist du = 0, also u(, ) u(, ) 0 = d + d d u(, )/ MRS(, ) = = d u(, )/ MRS d d = = Grenznutzen des Gutes Grenznutzen des Gutes Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 49

50 Fallende Grenzrate der Substitution Der Betrag der Grenzrate der Substitution, MRS, wird geringer, wenn man bei unverändertem Nutzen mehr von Gut konsumiert. Die Indifferenzkurve wird flacher, wenn man sich an ihr entlang nach rechts bewegt. Interretation: Die Zahlungsbereitschaft für Gut wird geringer, wenn man mehr davon hat. Fallende MRS konvee Präferenzen A B Im Punkt B ist die MRS geringer als im Punkt A. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 50

51 Fallender Grenznutzen Wenn mehr von Gut konsumiert wird, dann sinkt der Nutzenzuwachs, der durch eine weitere Erhöhung des Konsums dieses Gutes ausgelöst wird. Fallender Grenznutzen sagt bei ordinaler Nutzenfunktion nichts aus, denn dies hängt nicht nur von der Präferenzrelation ab, sondern auch von der gewählten Form der Nutzenfunktion. Beisiel:, ) / u ( = Grenznutzen: u(, u(, ) ) = = 4 / / / 3/ / < 0 4 (, ) = [ u(, )] Die Nutzenfunktion v = stellt die selbe Präferenzrelation dar. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 5

52 Grenznutzen: v(, v(, ) = ) = > 0 Dieselbe Präferenzrelation hätte einmal steigenden, einmal fallenden Grenznutzen. Fallende MRS ist dagegen auch bei ordinaler Nutzenfunktion ein sinnvoller Begriff, denn die MRS ändert sich nicht, wenn die Nutzenfunktion monoton transformiert wird. Es sei v, ) = f ( u(, )), mit f ' > ( 0. Dann ist die MRS der Nutzenfunktion v: d v/ f '( u) u/ u/ d = = = = d v/ f '( u) u/ u/ d v u Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 5

53 Soziale Präferenzen In den meisten Anwendungen (und bis auf diesen Abschnitt überall in Mikroökonomik I) wird angenommen, daß Menschen nur an ihrem eigenen materiellen Wohlergehen interessiert sind. Interesse am Wohlergehen anderer Menschen kann jedoch ebenfalls mittels einer Nutzenfunktion abgebildet werden. Modell Die Gesellschaft besteht aus Haushalten A und B. Es gibt nur ein Gut ( Geld ). A B Konsum = Einkommen des Haushalts A Konsum = Einkommen des Haushalts B u A ( A, B ) Nutzenfunktion des Haushalts A u B ( A, B ) Nutzenfunktion des Haushalts B Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 53

54 Beisiele u A ( A, B ) = A + a B Es gilt ua( A, B) B = a Altruismus, Nächstenliebe, wenn a > 0 Schadenfreude, Nächstenhaß, wenn a < 0 u A ( A, B ) = A -ama{ B - A ; 0} - b ma{ A - B ; 0} Hier gilt ua( A, B) a wenn A < B = B b wenn A > B Mitgefühl, wenn A > B Neid, wenn A < B Ungleichheitsaversion Für Haushalt A ist nicht nur sein eigenes Einkommen, sondern auch seine relative Einkommensosition wichtig. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 54

55 Zusammenfassung Die Präferenzrelation drückt die Wünsche des Konsumenten aus. Rationales Verhalten wird durch eine vollständige, refleive und transitive Präferenzrelation beschrieben. Eine Funktion, die bei besseren Güterbündeln höhere Werte annimmt, ist eine Nutzenfunktion. Nutzen wird meist ordinal angegeben; dann haben Nutzendifferenzen keine Bedeutung. Der Grenznutzen eines Gutes gibt an, wie viel zusätzlichen Nutzen eine weitere Einheit des Konsums dieses Gutes bringt. Die Grenzrate der Substitution drückt die Grenzzahlungsbereitschaft für ein Gut in Einheiten des anderen Gutes aus. Mikroökonomik I: 3 Präferenzen und Nutzenfunktion 55

56 4 Nutzenmaimierung und Ausgabenminimierung Der Haushalt wählt das beste Güterbündel, das er sich leisten kann. m Indifferenzkurven * B * m Otimierung: Suche die höchste Indifferenzkurve, die mit der Budgetmenge noch einen Punkt gemeinsam hat. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 56

57 Eigenschaften des otimalen Güterbündels: Es liegt auf der Budgetgeraden. Das Einkommen wird vollständig ausgegeben. Budgetgerade und Indifferenzkurve tangieren sich. Es gilt: d d = MRS = Interretation: MRS gibt an, wie viele Einheiten des Gutes der Haushalt hergeben will, um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten. / gibt an, wie viele Einheiten des Gutes der Haushalt hergeben muß, um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu erhalten. Wenn MRS > / ist, dann lohnt es sich, etwas weniger von Gut zu konsumieren und das eingesarte Geld für Gut zu verwenden. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 57

58 Probleme mit der Bedingung MRS =. Die Nutzenfunktion ist nicht differenzierbar. z.b. vollkommene Komlemente u = min{ ; } * - / * Die Indifferenzkurve ist links von ( *, *) steiler als die Budgetgerade, rechts davon flacher. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 58

59 . Randlösung *=0 oder *=0. * * = 0 MRS u(0, *) / = u(0, *) / Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 59

60 3. Mehrere nutzenmaimierende Güterbündel A B Alle Güterbündel zwischen A und B sind gleich gut und maimieren den Nutzen unter Einhaltung der Budgetbeschränkung. Alle diese Punkte erfüllen MRS = - /. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 60

61 4. Lokales, aber kein globales Nutzenmaimum * * 5. Nutzenminimum * * Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 6

62 Hinreichende Bedingungen Die Präferenzrelation ist konve und monoton, und das Güterbündel (, ) erfüllt MRS = - / und + = m (, ) maimiert den Nutzen unter der Budgetbeschränkung. Notwendige Bedingungen (, ) maimiert den Nutzen unter der Budgetbeschränkung; u ist differenzierbar; die Präferenzen sind monoton und es gilt > 0, > 0 (, ) erfüllt MRS = - / und + = m. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 6

63 Analytische Lösung ma u (, ) (, ) u.d.b. + = m Zielfunktion Nebenbedingung Lösungen: * = (,, m) (Marshallsche) Nachfragefunktion nach Gut * = (,, m) (Marshallsche) Nachfragefunktion nach Gut Einsetzen der Marshallschen Nachfrage-funktionen in die Nutzenfunktion liefert die Indirekte Nutzenfunktion v (,, m) = u( (,, m), (,, m)) Die Marshallschen Nachfragefunktionen und die indirekte Nutzenfunktion sind Ergebnis des otimierenden Verhaltens des Haushalts. hängen von den Preisen und dem Einkommen ab. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 63

64 Otimierung unter Nebenbedingungen Lagrangefunktion L(,, λ) = u(, ) λ( + m λ ist die Lagrangevariable. Durch den Term λ( + m) wird eine Verletzungen der Nebenbedingung bestraft. Eine Lösung erfüllt L u = λ = L u = λ = + m= Aus () und () folgt 0 () 0 () 0 (3) u/ u/ λ = und λ = ) Durch Gleichsetzen lässt sich λ eliminieren. Es folgt u/ = u/ also MRS = Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 64

65 Interretation der Lagrangevariablen Für alle, und m gilt: ( ) v(,, m) = u (,, m), (,, m) Differenzieren nach m liefert : v(,, m) u (,, m) u (,, m) = + m m m (4) Zudem gilt die Budgetbeschränkung (3) für alle, und m: (,, m) + (,, m) = m Differenzieren nach m liefert : (,, m) (,, m) + = m m (5) Ersetze in (4) u/ und u/ gemäß den Bedingungen () und () durch u/ =λ bzw. u/ =λ. Es folgt: Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 65

66 v (,, m ) (,, ) (,, ) m m λ = + m m m (6) Mit (5) folgt aus (6): v(,, m) m = λ λ ist der Grenznutzen des Einkommens. Die Lagrangevariable gibt an, um wieviel der maimal erreichbare Nutzen steigt, wenn eine zusätzliche Geldeinheit an Einkommen zur Verfügung steht. Allgemein: Die Lagrangevariable gibt an, um wieviel sich der otimale Wert der Zielfunktion verbessert, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 66

67 Ausgabenminimierung Wie viel muß der Haushalt bei gegebenen Preisen (, ) mindestens ausgeben, um ein vorgegebenes Nutzenniveau u zu erreichen? min (, ) + u.d.b. u (, ) = u Lösungen: * = h (,, u) (Hickssche) Nachfragefunktion nach Gut * = h (,, u) (Hickssche) Nachfragefunktion nach Gut e (,, u) = h (,, u) + h (,, u) Ausgabenfunktion Die Hicksschen Nachfragefunktionen und die Ausgabenfunktion hängen von den Preisen und dem Nutzen ab. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 67

68 * u * Otimierung: Suche die niedrigste Budgetgerade, die mit der Indifferenzkurve zu u noch einen Punkt gemeinsam hat. Die Hickssche Nachfragefunktion heißt auch komensierte Nachfragefunktion. Sie gibt an, wie sich die Nachfrage in Abhängigkeit von den Preisen verhält, wenn das Einkommen so angeaßt wird, daß der Nutzen konstant bleibt. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 68

69 Shehards Lemma e(, e(,, u), u) = = h (, h (,, u), u) Begründung: Es sei ( *, *) dasjenige Güterbündel, mit dem bei den Preisen *, * der Nutzen u* mit den geringsten Ausgaben erreicht wird. Die Passive Ausgabengerade drückt aus, wie die Ausgaben auf eine Änderung des Preises reagieren würden, wenn der Haushalt seine Entscheidung nicht an die veränderten Preise anassen würde. Die durch die Ausgabenfunktion ausgedrückten otimalen Ausgaben sind höchstens so groß. e = + * * * ( * *,, ) e u Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 69

70 Ausgaben e( *, *,u*) Passive Ausgabengerade * Ausgabenfunktion * * * Ausgabenfunktion und assive Ausgabengerade haben die gleiche Steigung. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 70

71 Dualität Der Zusammenhang zwischen Ausgabenminimierung und Nutzenmaimierung u* e(,,u*) * v(,,m*) m* * Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 7

72 Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 7 ( *, *) maimiert den Nutzen beim Einkommen m*. u* = v(,,m*) ist der maimale Nutzen zu m*. ( *, *) minimiert die Ausgaben, wenn der Nutzen u* erreicht werden soll. m* = e(,,u*) sind die minimalen Ausgaben, mit denen u* erreicht werden kann. Identitäten Für alle,, m, u gilt: )),, (,, ( ),, ( (4) )),, (,, ( ),, ( (3) )),, (,, ( () )),, (,, ( () u e u h m v h m u u e v m m v e i i i i = = = =

73 Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 73 Roys Identität Beweis: Differenzieren der Identität () nach liefert mit Identität (): m m v m v m i i = ),, ( ),, ( ),, ( 0 ),, ( ),, ( ),, ( = + u e m m v m v ),, ( u h m m v m v m u h = = ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( Wegen der Identität (4) folgt: Für i =, gilt

74 Zusammenfassung An einem nutzenmaimierenden Güterbündel ist die Grenzrate der Substitution gleich dem negativen Preisverhältnis. Bei Nutzenmaimierung wird das Einkommen vollständig ausgegeben. Die Marshallschen Nachfragefunktionen geben das nutzenmaimierende Güterbündel in Abhängigkeit von den Preisen und dem Einkommen an. Die Hickssche (komensierte) Nachfrage beschreibt das Güterbündel, mit dem ein vorgegebenes Nutzenniveau mit den geringsten Ausgaben erzielt werden kann. Mikroökonomik I: 4 Nutzenmaimierung 74

75 5 Einkommens- und Preisänderungen Komarative Statik: Wie ändern sich die otimalen Entscheidungen, wenn sich eogene Größen ändern? Hier: Wie ändern sich die Marshallschen Nachfragen, wenn die Preise oder das Einkommen sich ändern? m' '/ m' / Einkommensänderungen EKK m / m m' m'' Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 75

76 Die Einkommenskonsumkurve (EKK) enthält alle Konsumbündel, die bei unveränderten Preisen für irgendein Einkommen nutzenmaimierend sind. Die Engelkurve stellt den Konsum eines Gutes in Abhängigkeit vom Einkommen dar. Definition: ε, m i i = m m m i m Einkommenselastizität der Nachfrage nach Gut i. Um wie viel % verändert sich die Nachfrage nach Gut i, wenn das Einkommen um % steigt? Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 76

77 ε 0 < ε ε, m i, m i >, m i < 0 < Luusgut Notwendiges Gut Inferiores Gut Normales Gut Definition: m Gut ist für Einkommen m > m inferior. _ m m Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 77

78 Beisiel: Quasilineare Nutzenfunktion u, ) = w( ) + ; w' > 0, w'' < ( 0 Falls, > 0, dann gilt für die otimale Entscheidung: u( u( w'(,, ) = ) / ) / Diese Bedingung hängt nicht von Lösung dieser Gleichung sei. =, ab. Die ergibt sich aus der Budgetbeschränkung: m = Falls das ositiv ist, ist die otimale Nachfrage Sonst gilt: * =, * m = m * =, * = 0. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 78

79 EKK Falls dann m > = 0, m m = Falls dann m<, = = 0 m m Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 79

80 Preisänderungen Der Preis fällt, und das Einkommen m bleiben konstant. > ' > '' m/ Preiskonsumkurve m m ' m '' Die Preiskonsumkurve enthält alle Konsumbündel, die bei gegebenem Preis und Einkommen m zu irgendeinem Preis nutzenmaimierend sind. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 80

81 Giffen-Gut m/ m _ Für < nimmt die Nachfrage nach Gut ab, wenn der Preis dieses Gutes sinkt. Definition: Gut i ist ein Giffen-Gut (für,, m), wenn gilt: i (,, m) > i 0. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 8

82 (Direkte) Preiselastizität der Nachfrage nach Gut : ε =, Um wie viel % ändert sich die Nachfrage nach Gut, wenn der Preis des Gutes um % steigt? Kreuzreiselastizität der Nachfrage nach Gut : ε =, Um wie viel % ändert sich die Nachfrage nach Gut, wenn der Preis des Gutes um % steigt? Bei einem Giffen-Gut ist die direkte Preiselastizität ositiv. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 8

83 Einkommens- und Substitutionseffekt Eine Preiserhöhung hat zwei Effekte:. Das betreffende Gut verteuert sich relativ zu anderen Gütern. Substitutionseffekt. Die Kaufkraft des Haushalts sinkt. Einkommenseffekt Die beiden Effekte können analytisch getrennt werden mit Hilfe der Slutzky-Gleichung. Slutzky-Gleichung Für i, j =, gilt: j i = h j i i j m Gesamter Preiseffekt Substitu- = + tions- effekt Einkommenseffekt Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 83

84 GE = SE + EE Änderung der Marshall- Nachfrage nach Gut j auf Grund einer Erhöhung des Preises i Änderung der Hicks- Nachfrage nach Gut j auf Grund einer Erhöhung des Preises i (dh für unveränderten Nutzen) Änderung der Marshall- Nachfrage nach Gut j auf Grund des Kaufkraftverlustes, der durch eine Erhöhung des Preises i entsteht. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 84

85 Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 85 Beweis der Slutzky-Gleichung Es gilt für alle Preise i (Identität 4 der Dualitäts- Beziehungen, Kaitel 4): i j i j i j u e m m m u h + = ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( i i u h = ),, ( )),, (,, ( ),, ( u e u h j j = Ableiten dieser Gleichung nach i liefert, bei Verwendung von m = e(,, u): Auflösen der Gleichung nach führt auf die Slutzky-Gleichung. j i m / ),, (

86 Grahische Zerlegung des Preiseffekts (nach Hicks) A B C m m ' Gut wird billiger: Der Preis sinkt von auf. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 86

87 Die Preissenkung führt zu einer Veränderung der Nachfrage von A nach B: Gesamteffekt. Der Substitutionseffekt gibt an, wie sich die Nachfrage verändert, wenn sich der Preis ändert, aber das Einkommen gleichzeitig so angeaßt wird, daß der Haushalt den ursrünglichen Nutzen wieder erreicht: Bewegung von A nach C. Der Einkommenseffekt gibt an, wie sich die Nachfrage bei unverändertem Preisverhältnis, alleine auf Grund des Kaufkraftzuwachses, verändert: Bewegung von C nach B. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 87

88 Komarative Statik der Hicksschen Nachfragefunktion Der direkte Substitutionseffekt ist nicht ositiv: h i i 0 Begründung für Güter: Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 88

89 Slutzky-Zerlegung und Giffen-Gut Slutzky-Gleichung für den eigenen Preiseffekt ( i = j) i i = h i i i i m 0 Wenn i i dann muß > 0 ist (Definition Giffen-Gut), i > 0 i i sein, also < 0. m m Folgerung: Jedes Giffen-Gut ist inferior. Aber: Nicht jedes inferiore Gut ist ein Giffen-Gut. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 89

90 Die Nachfrage nach Gut i steigt nach einer Erhöhung von i, falls i inferior ist und der Einkommenseffekt stark genug ist, um den Substitutionseffekt zu überwiegen. i SE EE Gesamteffekt i i normal: i i i inferior: SE überwiegt Gut i ist tyisch, gewöhnlich i EE überwiegt i Giffen-Gut Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 90

91 Substitutions- und Einkommenseffekt bei einem Giffen-Gut (grahisch) C SE A EE B GE steigt Gesamteffekt GE: von A nach B, steigt, Substitutionseffekt SE: von A nach C, sinkt, Einkommenseffekt EE: von C nach B, steigt. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 9

92 Grahische Zerlegung des Preiseffekts (nach Slutzky) Alternative Definition des Substitutionseffekts: Welche Nachfrageänderung tritt ein, wenn das Einkommen so angeaßt wird, daß das alte Konsumbündel trotz der Preisänderung bezahlbar bleibt? fällt. GE: von A nach B SE (nach Slutzky): von A nach C EE (nach Slutzky): von C nach B A B C Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 9

93 Zusammenfassung Die Einkommenskonsumkurve beschreibt die nutzenmaimierenden Güterbündel, die sich bei gegebenem Relativreis ergeben, wenn das Einkommen variiert. Die Nachfrage nach einem inferioren Gut sinkt, wenn der Haushalt wohlhabender wird. Die Preiskonsumkurve beschreibt die nutzenmaimierenden Güterbündel, die sich bei gegebenem Einkommen ergeben, wenn ein Preis sich verändert. Die Nachfrage nach einem Giffen-Gut steigt, wenn es teurer wird. Eine Preiserhöhung verändert die Nachfrage durch den Substitutionseffekt und durch den Einkommenseffekt. Der eigene Substitutionseffekt ist negativ. Ein Giffen-Gut ist ein inferiores Gut, dessen Einkommenseffekt den Substitutionseffekt überwiegt. Mikroökonomik I: 5 Einkommens- und Preisänderungen 93

94 6 Das Arbeitsangebot Woher stammt das Einkommen des Haushalts? Kaufen und Verkaufen ( ω, ω ) Anfangsausstattung des Haushalts, die er verkaufen oder konsumieren kann. ma u (, ) (, ) u.d.b. + = ω + ω Die Lösungen sind die Marshallschen Nachfragefunktionen ( (,,, ω +, ω + ω Das Einkommen hängt von den Preisen ab. Eine Preisänderung ändert den Wert der Anfangsausstattung. ω ) ) Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 94

95 Überschußnachfrage nach Gut, Kauf von Gut * ω * ω Überschußangebot, Verkauf von Gut Preisänderungen Preiskonsumkurve ω Indifferenzkurve durch die Ausstattung ω Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 95

96 Arbeitsangebot Der Haushalt konsumiert zwei Güter: ein Konsumgut, der Konsum c Freizeit f u (c, f ) Nutzenfunktion u( c, c u( c, f f ) f ) > 0 > 0 Freizeit ist ein Gut. T gesamte zur Verfügung stehende Zeit = Anfangsausstattung des Gutes Freizeit. l Arbeitszeit = Verkauf der Zeit T = f + l Zeitbudget T wird z.b. gemessen in Stunden ro Tag, Tage ro Jahr. Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 96

97 w Lohnsatz ro Zeiteinheit Arbeit Preis für Konsum ma uc (, f) ( c, f, l) u.d.b. c = wl, T = l + f ma uc (, f) ( c, f ) u.d.b. c + wf = wt ma uct (, l) ( cl, ) u.d.b. c = wl Notwendige Bedingung für ein Nutzenmaimum mit c*, f*, l* > 0: u( c*, u( c*, f *) / f = f *) / c MRS = w w Reallohn Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 97

98 MRS gibt an, wie viel zusätzlichen Konsum der Haushalt für eine zusätzliche Arbeitseinheit verlangt. MRS = Grenzzahlungsbereitschaft für Freizeit, Vorbehaltslohnsatz w/ gibt an, wie viel zusätzlichen Konsum der Haushalt für eine zusätzliche Arbeitseinheit erhält. Wenn w/ > MRS ist, dann lohnt es sich, mehr zu arbeiten. c Grahische Lösung wt / c* f* w T f l* = T f* Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 98

99 Lohnerhöhung und Arbeitsangebot Bietet der Haushalt mehr Arbeit an, wenn der Lohnsatz steigt? Differenziere die Marshallsche Freizeitnachfragefunktion f (, w, wt ) nach dem Lohnsatz w: df (, w, wt ) f(, w, wt) f ( wwt,, ) = + T dw w m Gesamte Änderung der Freizeitnachfrage auf Grund einer Lohnerhöhung Wirkung einer Lohnerhöhung bei unverändertem Wert der Zeitausstattung Wirkung einer Lohnerhöhung auf Grund der Änderung des Wertes der Zeitausstattung = Austattungseinkommenseffekt Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 99

100 Nach der Slutzky-Gleichung gilt f(, w, wt ) hwu (,, ) f ( wwt,, ) = w w m f mit h(, w, u) als Hicks-Nachfragefunktion nach Freizeit. Ersetzen von f / w liefert df (, w, wt ) hwu (,, ) f (, w, wt ) = + ( T f ) dw w m Substitutioneffekt Gesamter Einkommenseffekt Da das Arbeitsangebot l = T - f ist, gilt d l /d w = d (T f )/d w = - d f /d w also dl h(, w, u) f (, w, wt ) = l dw w m 0, da SE 0 > 0, wenn Freizeit inferior ist < 0, wenn Freizeit normal ist Folgerung: Eine Lohnerhöhung kann zu einer Senkung des Arbeitsangebotes führen, wenn Freizeit ein normales Gut ist. Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 00

101 Arbeitsangebot mit Nicht- Arbeitseinkommen Einkommen m 0 > 0 resultiert nicht aus Arbeit. Budgetgleichung c = wl + m 0 oder c + wf = wt + m 0 Zusätzliche Nebenbedingung, da man nicht mehr als T Zeiteinheiten Freizeit konsumieren kann: f T bzw. l 0. (wt + m 0 ) / c m 0 / w T f Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 0

102 Es ergibt sich eine Randlösung l* = 0, f* = T, c* = m 0 /, falls MRS = m0 u, T / f m0 u, T / c c w (wt + m 0 ) / c* = m 0 / w f* = T f Der Haushalt würde gerne einen Teil seines Einkommens m 0 verwenden, um über T hinaus noch Freizeit dazuzukaufen. Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 0

103 Zusammenfassung Das Einkommen eines Haushalts entsteht durch den Verkauf von Anfangsausstattungen. Der Wert der Anfangsausstattung hängt von den Güterreisen ab. Das Überschußangebot eines Haushalts gibt an, wieviel er von seiner Ausstattung verkaufen will. Die Überschußnachfrage gibt an, wieviel er zu seiner Ausstattung dazu kaufen will. Ein Haushalt wählt sein Arbeitsangebot so, daß die Grenzzahlungsbereitschaft für Freizeit gleich dem Reallohnsatz ist. Falls Freizeit ein inferiores Gut ist, steigt das Arbeitsangebot, wenn der Lohnsatz zunimmt. Falls Freizeit ein normales Gut ist, kann eine Lohnerhöhung auch zu einem Rückgang des Arbeitsangebotes führen. Mikroökonomik I: 6 Das Arbeitsangebot 03

104 B. Theorie des Unternehmens Das Grundmodell des Unternehmens Ziel: Gewinnmaimierung Gewinn = Erlös - Kosten π = m i= i y i n i= w i i Entscheidungsmöglichkeiten: y i Menge, die von jedem Erzeugnis (Outut) i =,,...,m hergestellt wird i Menge, die von jedem Einsatzstoff (Inut, Produktionsfaktor) i =,,...,n verwendet wird Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 04

105 Beschränkungen der Entscheidungsmöglichkeiten eines Unternehmens Technische Beschränkungen Nur technisch durchführbare Inut-/ Oututkombinationen können gewählt werden Marktbeschränkungen Bei Konkurrenz können Oututreise = (,,..., m ) und Inutreise w = (w,w,..., w n ) vom Unternehmen nicht verändert werden. Es ist Preisnehmer. i Preis des Oututs i w i Preis des Inuts i Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 05

106 7 Technologie und Produktionsfunktion Produktionslan = Liste aller Inutmengen, die eingesetzt werden und aller Oututmengen, die hergestellt werden. Inuts und Oututs werden meist als Stromgrößen gemessen, z.b. 00 Arbeitsstunden ro Tag 5 MWh ro Tag PkWs ro Jahr mathematische Darstellung von Produktionslänen durch Vektoren = y = (,,..., n ( y, y,..., y ) m ) Inutmengen Oututmengen (, y) Produktionslan Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 06

107 Einroduktunternehmen: m = (,,..., n,y) bzw. (,,y) Produktionslan Produktionsmöglichkeitenmenge (Technologiemenge) Y = Menge aller technisch durchführbaren Produktionsläne Die Produktionsfunktion y = f (,,..., n ) gibt den maimal möglichen Outut an, den man mit der Inutkombination (,,..., n ) erzielen kann. y = Outut y = f () = Produktionsfunktion Produktionsmöglichkeitenmenge = Inut Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 07

108 Die Isoquante zum Oututniveau y ist die Menge aller möglichen Kombinationen der Inuts und, die gerade ausreichen, um die Menge y des Oututs zu erzeugen. Isoquante Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 08

109 Eigenschaften der Technologie Monotonie Es ist immer möglich, von einem Inut mehr einzusetzen oder von einem Outut weniger herzustellen. Wenn mit (, ) der Outut y hergestellt werden kann, dann kann auch mit (, ) der Outut y hergestellt werden, falls gilt: ', ', y' y. (, ) (, ) Bei monotoner Technologie gilt für alle (, ) im grünen Bereich f ( ', ') f (, ) Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 09

110 Konveität Der gewogene Durchschnitt zweier durchführbarer Produktionsläne ist selbst durchführbar. Beisiel: = 00, = 00 ' = 300, ' y = 00 = 00 t = 0,75 Gewichtungsfaktor Kann man mit '' = 0, ,5 300 = 50 '' = 0, ,5 00 = 75 und auch den Outut y=00 herstellen? Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 0

111 (, ) (, ) 00 (, ) Wenn die Technologie konve ist, gilt f '', ''). ( y Die Isoquante verläuft unterhalb der Verbindungsgeraden von (, ) nach (, ). Konveität im Inut-Outut-Diagramm y Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion

112 Beisiele für Technologien Limtationale Produktionsfunktion (festes Faktoreinsatzverhältnis) f (, ) = min{, }. Lineare Produktionsfunktion (Vollkommene Substitute) f (, ) = +. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion

113 Cobb-Douglas Produktionsfunktion f (, ) = A a b mit A > 0, 0 < a, b <. seziell: A=, a+b=. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 3

114 Das Grenzrodukt Wie verändert sich der Outut, wenn von einem Inut eine Einheit zusätzlich eingesetzt wird? =, y =? y (endliches) Grenzrodukt des Faktors ; es gibt die zusätzliche Menge des Oututs je Einheit zusätzlichen Inuts an. Beisiel: f (, ) = + y unverändert, also =. = y = y y Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 4

115 Grenzrodukt des Inuts i Produktionsfunktion bei gekrümmter y f i y i i Das (infinitesimale) Grenzrodukt des Faktors : f ( f, ) ( +, ) (, ) = lim 0 gibt das Grenzrodukt für sehr kleine Inutänderungen an. f Das Grenzrodukt des Faktors ist entsrechend definiert. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 5

116 Abnehmendes Grenzrodukt Wie verändert sich das Grenzrodukt eines Inuts, wenn von diesem Inut mehr eingesetzt wird? Outut y y i = f() i Durchschnittsrodukt i Inut i Ertragsgesetz: Ab einem bestimmtem Inutniveau sinkt das Grenzrodukt jedes Faktors. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 6

117 Skalenerträge Wie steigt der Outut, wenn alle Faktoren roortional erhöht werden? Beisiel: y = f (, ) = a + b. Verdoelung der beiden Inuts führt zum Outut f (, ) = a = y, also zur Verdoelung des Oututs. = ( a + b + b ) Allgemein: Führt eine Erhöhung der Inutmengen auf das t-fache (t>) zu einer Erhöhung des Oututs um mehr oder weniger als das t-fache? Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 7

118 Die Produktionsfunktion hat Konstante Skalenerträge, wenn für alle t 0 gilt: f ( t, t) = tf (, ), Zunehmende Skalenerträge, wenn für alle t > gilt: f ( t, t) > tf (, ), Abnehmende Skalenerträge, wenn für alle t > gilt: f ( t, t) < tf (, ). Abnehmende Skalenerträge treten auf, wenn ein Produktionsfaktor nicht vermehrt eingesetzt werden kann. Beisiel: Landwirtschaft mit Inuts Arbeit ( ), Kaital ( ) und Boden (z). f (, ) hat abnehmende Skalenerträge F(,,z) hat konstante Skalenerträge. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 8

119 Die technische Rate der Substitution Kann man einen Inut durch den anderen ersetzen, ohne den Outut zu verringern? Beisiel: Lineare Technologie f (, ) = +. Wenn um = sinkt und um = steigt, bleibt f () unverändert. = TRS(, ) Technische Rate der Substitution. Sie mißt das Austauschverhältnis zwischen zwei Inuts in der Produktion bei einem konstanten Oututniveau. TRS = - Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 9

120 TRS mit gekrümmter Isoquante d d d d (infinitesimale) TRS = Steigung der Isoquante Berechnung der TRS: d, d Änderungen der Inutmengen dy Änderung der Oututmenge Totales Differential der Produktionsfunktion: dy = f (, ) f (, ) d + d. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 0

121 Entlang einer Isoquante ist dy = 0, also f ( 0 = d, ) f (, ) d + d f (, )/ TRS(, ) = =. d f (, )/ Abnehmende TRS Wie ändert sich TRS, wenn man sich entlang einer Isoquante nach rechts bewegt? Wenn die Technologie konve ist, nimmt TRS ab bzw. steigt nicht. A B Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion

122 Zusammenfassung Die technologischen Beschränkungen eines Unternehmens werden durch die Menge der Produktionsmöglichkeiten beschrieben, die alle technologisch durchführbaren Kombinationen von Inuts und Oututs darstellt, und durch die Produktionsfunktion, die den maimalen Outut für jede vorgegebene Menge der Inuts angibt. Eine Isoquante gibt alle jene Kombinationen von Inuts an, die ein vorgegebenes Oututniveau roduzieren können. Im allgemeinen wird angenommen, dass die Technologie konve und monoton ist. Das Grenzrodukt mißt den zusätzlichen Outut je zusätzlicher Einheit eines Inuts bei Konstanz aller anderen Inuts. Tyischerweise wird angenommen, dass das Grenzrodukt eines Inuts fällt, wenn immer mehr von diesem Inut verwendet wird. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion

123 Die technische Rate der Substitution (TRS) mißt die Steigung einer Isoquante. Es wird allgemeinen angenommen, dass die TRS sinkt, wenn man sich entlang einer Isoquante bewegt. Skalenerträge beschreiben, wie stark der Outut steigt, wenn alle Inuts gleichmäßig erhöht werden. Konstante Skalenerträge liegen vor, wenn eine Erhöhung aller Inutmengen auf das t-fache zu einer Steigerung des Oututs auf das t-fache führt. Wenn der Outut auf mehr als das t-fache zunimmt, dann haben wir steigende Skalenerträge; und wenn er um weniger als das t-fache ansteigt, dann haben wir abnehmende Skalenerträge. Mikroökonomik I: 7 Technologie und Produktionsfunktion 3

124 8 Gewinnmaimierung Ein-Produkt-Unternehmen mit zwei Faktoren y = f(, ) π = f (, ) w w Kurzfristige Gewinnmaimierung Die Einsatzmenge des Faktors fi. Sie ist auf festgelegt. sei kurzfristig Beisiele: langfristige Mietverträge für Immobilien, Kündigungsschutz für Arbeitnehmer, Kaitalbestand Mikroökonomik I: 8 Gewinnmaimierung 4

125 Otimierung des Unternehmens maπ = f (, ) w w Notwendige Bedingung für ein Gewinn- Maimum: π = 0 Wenn π > 0 π < 0 π bzw. = 0 wäre, dann könnte das Unternehmen den Gewinn erhöhen, indem es mehr weniger vom Inut einsetzt. Die otimale Menge * ist die (kurzfristige) Faktornachfrage. Der damit roduzierte otimale Outut ist das (kurzfristige) Angebot. π = f (, ) w = 0 Mikroökonomik I: 8 Gewinnmaimierung 5

126 f (, ) = w Wertgrenzrodukt des Faktors... gibt an, um wieviel der Erlös steigt, wenn eine Einheit des Faktors zusätzlich eingesetzt wird. = Preis des Faktors... gibt an, um wieviel die Kosten steigen, wenn eine Einheit des Faktors zusätzlich eingesetzt wird. Beisiel: Faktor = Arbeit l Faktor = Kaital k f ( l, k) l = w Grenzrodukt der Arbeit = Reallohn Mikroökonomik I: 8 Gewinnmaimierung 6

127 Grahische Lösung Gewinn: π = y w w Isogewinnlinie: y π + w w = + Die Isogewinnlinie enthält alle Kombinationen von Inutmenge und Oututmenge, die ein konstantes Gewinnniveau π ergeben. Zu jedem Gewinn π gehört eine andere Isogewinnlinie. Je höher π, desto höher liegt die zugehörige Isogewinnlinie. Suche die höchste Isogewinnlinie, die mit der Produktionsfunktion einen Punkt gemeinsam hat. Mikroökonomik I: 8 Gewinnmaimierung 7

128 y Isogewinnlinien Steigung = w / f (, ) y* π +w ( * )/ * Anwendung: Wie verändert sich der Gewinn, wenn das Unternehmen mehr Beschäftigte einstellen muß, als es eigentlich will? Mikroökonomik I: 8 Gewinnmaimierung 8