Formelsammlung Mathematik

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1 Formelsammlung Mathematik Änderungshistorie:..5 Erste Version; Logarithmen; Vektoren 3..5 Vektoren: Skalarprodukt, Richtungswinkel, Vektorprodukt 7..5 Korrekturen, Spatprodukt, Geraden, Abstand Punkt-Gerade 9..5 Korrekturen, Ebenen (Parameterdarst., (Hesse-)Normalform), Abstand Ebene- Ursprung, Abstand Punkt-Ebene, Abstand Gerade-Gerade 5..5 Vektorraum, Lineare Abhängigkeit, Basis 7..5 Matrizen, Transponieren, Matrixmultiplikation, Falk-Schema 9..5 Inhaltsverzeichnis, Koordinatentransformation mit Matrizen, Determinanten (Sarrus, Laplace), Dreiecksmatrix, Elementaroperationen 3..5 Rang einer Matrix 5..5 Potenzen, Wurzeln, Trigonometrie Grundlagen 6..5 Inverse Matrix..5 Lineare Gleichungssysteme, Cramer'sche Regel, Gauß'sches Eliminationsverfahren..6 Komplexe Zahlen, Inverses Element, Darstellungsformen, Umformungen, Rechnen in der Normalform..6 Rechnen in der Polarform, Potenzen, Wurzeln 5..6 Korrekturen Polynome (Nullstellen) Formelsammlung Mathematik ET5 Seite

2 Inhalt Änderungshistorie:... Inhalt... Potenzen...3 Wurzeln...3 Logarithmen...3 Trigonometrie Grundlagen...3 Vektoren...4 Geraden...7 Ebenen...8 Vektorraum... Matrizen... Determinanten...4 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...5 Komplexe Zahlen...7 Polynome (Nullstellen)... Formelsammlung Mathematik ET5 Seite

3 Potenzen a, b, x, y R und a,b a x a y =a x y a x a y=ax y a b x =a x b x a x y =a x y a = a x = a x a n = a n Wurzeln m, n N und a,b R n a b= n a n b n a n b = a n b m a= n m n a Logarithmen Logarithmen mit gleicher Basis (hier für Basis e ) ln aln b=ln a b ln a lnb=ln a b ln b = lnb ln a = lna Allgemein a log a x =x lna n =n ln a lna=ln a = lna Trigonometrie Grundlagen Rechtwinkliges Dreieck sin = g h tan = g a Sinussatz sin sin sin = = a b c cos= a h cot = a g a= Ankathete, g= Gegenkathete, h= Hypothenuse h =a g Konsinussatz (Satz des Pythagoras) a =b c bc cos b =a c ac cos c =a b ab cos Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 3

4 Vektoren Betrag eines Vektors (seine Länge) a =a a a 3 a= 3 a = 3 =4 Vektor normieren (Einheitsvektor) (Länge auf verkürzen unter Beibehaltung der Richtung) a = a a a= 3 a = 3 4 Gleichheit zweier Vektoren Zwei Vektoren gelten dann als gleich, wenn Betrag und Richtung identisch sind. Die absolute Position ist kein Kriterium. Ortsvektor Zeigt vom Nullpunkt (oder ) auf einen bestimmten Punkt (gegeben durch absolute Koordinaten) a=p=r P Strecke zwischen zwei Punkten (Abstand zwischen zwei Punkten) A=a a B=b b a 3, 3 b AB=b a b a 3 b 3 a Der Abstand ist der Betrag dieses Vektors! Vektor-Addition a b=c a=a a 3, a b=b b 3 b c=ab a b a 3 b 3 Skalare Multiplikation (ein Vektor mit einer reellen Zahl multiplizieren) b= a b = a b= a a a a 3= a 3 a Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 4

5 Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine reelle Zahl. a b=a a b a 3 b b 3=a b a b a 3 b 3 = a b cos arccos a b a b a b (=9 ) wenn a b=! a b 9 a b 9 a a= a Richtungswinkel Winkel, die ein Vektor zusammen mit der x- oder y-achse einschließt (ohne Drehsinn, d.h. es wird immer der Kleinere angegeben). x arccos a a y y arccos a a z arccos a y 3 a x x cos x cos x = (Ebene) cos x cos x cos z = (Raum) a Projektion eines Vektors auf einen anderen b a hat die selbe Richtung wie a. b a = cos b = a b a b b a = b a a = a b a a b a a Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 5

6 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Unter dem Vektorprodukt c=a b versteht man einen Eindeutig bestimmten Vektor, der auf a und b orthogonal steht ( c a c b bzw. c a= c b= ). Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Fläche A des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten genauso wenig, wie es neutrale oder inverse Elemente gibt. c = a b sin a, b [,8 ] a=a a 3, a b=b b 3 b b 3 a 3 b a b=a a 3 b a b 3 a b a b c= a b b A= a b a Rechenregeln: a, b,c sind Vektoren im Raum, R. a b= b a. a b=a b=a b 3. ab c=a cb c 4. a b= a, b sind kollinear (einer ist Vielfaches des anderen) 5. a b = a b a b Spatprodukt Das Spatprodukt entspricht der Determinante von a, b,c (in dieser Reihenfolge!). Ein Spat ist ein Parallelogramm im Raum. det a, b,c=a b c det a, b,c Rechtssystem Linkssystem = a, b, c liegen in Ebene, sind komplanar, linear abhängig ) det a,b,c=det c, a,b=det b,c,a= det b,a,c= det c,b,a= det a,c,b ) det a d, b, c=det a, b,cdet d, b,c 3) det a, b,c= det a, b,c 4) det e, e, e 3 = G= b c h = a b c = a b c b c V =G h V = det a, b,c h a c G b Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 6

7 Geraden Punkt-Richtungsform (Parameter-Darstellung) (gegeben sind ein Punkt P und ein Vektor a ) g :q=p a, R P a q Q p Zwei-Punkt-Form (gegeben sind zwei Punkte P und P ) P P P P g :q=p p p, R p p Verhalten zweier Geraden zueinander g :q= p a, R g :q= p a, R ) gleich a, a und p p sind kollinear ) parallel a und a sind kollinear 3) sich in einem Punkt schneiden p a = p a 4) windschief ), ) und 3) gelten nicht Abstand: Punkt Gerade Gegeben sind eine gerade g :q=p a sowie ein Punkt P. a und p p spannen ein Parallelogramm auf, dessen Höhe d ist. d=a p p d = a p p a P p p p a p P d g Abstand: Gerade Gerade (gegeben sind zwei Geraden: g :q= p a und g :q= p a ) Geraden sind parallel: ( a linear abhängig von a ) Geraden sind windschief: d = a p p a d = det a, a, p p a a Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 7

8 Ebenen Punkt-Richtungs-Form (Parameter-Darstellung) (gegeben sind ein Punkt P ( p = Ortsvektor) und zwei nicht kollineare Vektoren a und b ( a, b = Richtungsvektoren)) P b a E :q=pa b,, R p Drei-Punkt-Form (Parameter-Darstellung) (gegeben sind drei Punkte P, P, P 3, die nicht auf einer Gerade liegen) p p P E :q= p p p p 3 p,, R P p 3 p p P 3 Normalform (gegeben ist ein Punkt P und ein Vektor n, zu dem die Ebene senkrecht verlaufen soll) E :q n p n= Hesse-Normalform (statt n (Normalenvektor) n (Normaleinheitsvektor)) E :q n p n = : E x n y n z n 3 p p n p 3 n n 3 = p q P n Q q p E :n xn yn 3 z n p n p n 3 p 3 = p n entspricht dem Abstand zum Ursprung. Umwandlung: Normalform Parameterdarstellung Für x und y werte annehmen und Ebenengleichung nach z umformen. Damit ist ein Punkt P auf der Ebene bestimmt. Das gleiche für P 3 wiederholen. a= p p, b= p 3 p Umwandlung: Parameterdarstellung Normalform n durch a b bzw. p p p 3 p bestimmen (bei Hesse-NF normieren). P entspricht dem P bzw. dem P auf der Parameterdarstellung. Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 8

9 Abstand: Ebene Ursprung Der Abstand d ist eine Projektion von p auf n. n d= p n = p n n n P d = p n Aus Parameterdarstellung: d = p n = p a b d p Abstand: Punkt Ebene Es wird eine gedachte parallele Ebene konstruiert. Die Differenz der Abstände der beiden Ebenen zum Ursprung entspricht dem Abstand des Punktes P zur Ebene. d = p n p n P P d p p Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 9

10 Vektorraum R n ={ x R n x i R ;i=,,n}= { x,,x n x i R ;i=,,n} x n In diesem Raum sind definiert ( a,, a k R n ;,, k R ): Linearkombination (Addition und skalare Multiplikation): b= a a k a k Skalarprodukt: a n b= a i b i i = Betrag: a = i = Winkel: a, b=arccos a b a b n a i Gerade und Ebene in Parameter-/Koordinatendarstellung Nicht mehr möglich ist sind Vektorprodukt sowie die Normalform einer Ebene! Gilt a,, a k =R n, so heißt { a,, a k } Erzeugendensystem von des R n. Lineare Abhängigkeit k Vektoren a,, a k R heißen linear abhängig (l.a.) :,, k R, die nicht alle gleich Null sind, sodass a k a k =. Andernfalls heißen sie linear unabhängig (l.u.). Zwei Vektoren sind l.a., wenn sich einer durch die skalare Multiplikation eines anderen erzeugen lässt. Drei Vektoren im R 3 sind dann l.u., wenn det a, b,c Basis Man braucht n unabhängige Vektoren um R n zu erzeugen. { e,, e n } ist eine Basis des R n, die sogenannte kanonische Basis Die Basis eines Vektorraums ist nicht eindeutig, aber ihre Mächtigkeit. Sie bestimmt die Dimension des Raums. Beispiel (rechts): a= und b= R. x= 4 4 =! bilden die Basis des soll in diesem Raum dargestellt werden. =4 = =3 = x= 3 a b x= 4 Formelsammlung Mathematik ET5 Seite

11 Matrizen A= A a ik =a a ak an a a a k a n a i a i a ik a in a m a m a mk a mn Eine Matrix vom Typ m n ist ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten. Die Zahlen a ik R heißen Elemente von A. Wenn alle Diagonalen-Elemente sind, nennt man dies Einheitsmatrix E ; z.b.: E= Rang einer Matrix Der Rang RgA der Matrix A M m,n ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten. Er ändert sich nicht, wenn elementare Zeilen- oder Spaltenoperationen auf die Matrix angewandt werden. ) RgA minm,n ) RgA= RgA T 3) RgE n =n (Einheitsmatrix hat immer vollen Rang ) 4) det A= RgA= A= 3, RgA= B= 4, RgB= A= = z z z 3 z z 4 z z 5 z = z 3 z z 4 z z 5 3z RgA= Transponieren Vertauschen von Zeilen und Spalten. Wenn A T = A, heißt A symmetrisch. A= a a a a, A = T a a a a Matrixmultiplikation Die Multiplikation ist nur dann definiert, wenn Spaltenzahl_A = Zeilenzahl_B ( m n n p ). Wichtig: A B B A! A= a a a a, B= b b b b A B= a b a b a b a b a b a b a b a b Rechenregeln: ) A B C = A B C ) A E =E A= A 3) A BC = A B A C (auf Reihenfolge achten!) 4) A = ; A= 5) A B T =B T A T Formelsammlung Mathematik ET5 Seite

12 Falk-Schema Das Falk-Schema ist eine optische Vereinfachung der Matrixmultiplikation. Die Zeilen von A, die sich mit den Spalten von B schneiden werden elementweise miteinander multipliziert. A= 3 4, B= 3 A B B A Koordinatentransformation mit Matrizen Gegeben seien: = { e, e, e 3 } { a, a, a 3 } mit a, a =, a = 3, 3 x= 5 Welche Koordinaten habe die alten Basisvektoren bezüglich der neuen Basis? (Mit welchen Faktoren muss man die neuen Basisvektoren multiplizieren, um damit jeweils den alten zu erzeugen?) e = a a a 3 e = a a a 3 e 3 = a a a 3 A= (Achtung: Hier werden Spalten nun zu Zeilen!) Nun können die Koordinaten des Vektors x berechnet werden: A x= 3 5 = 7 Inverse Matrix Die Inverse A ist quasi der Faktor, der mit A multipliziert wieder das neutrale Element E ergibt (bei reellen Zahlen ). Sie kann nur von quadratischen Matrizen A M n,n mit vollem Rang RgA=n gebildet werden; ist dies möglich nennt man A regulär, ansonsten singulär. ) A = A ) A T = A T 3) A B =B A 4) A n = A n 5) A = A 6) A = A Formelsammlung Mathematik ET5 Seite

13 Mit inversen Matrizen kann man nun Matrizengleichungen auflösen: ) A X =B A A X = A B X = A B Achtung: X A=B X =B A ) A X X =B AE X =B X = AE B Achtung: X A X =B X =B AE Bildung inverser Matrizen Mit elementaren Zeilen- bzw. Spaltenoperationen (nicht mischen!) muss die Ausgangsmatrix schrittweise der entsprechenden Einheitsmatrix angenähert werden: A E E A. Zeilenoperationen werden von links, Spaltenoperationen von rechts durchgeführt. Wird bei der Überführung mind. eine Zeile komplett Null, so ist die Matrix singulär und es gibt keine Inverse. C= = C E 3 4 = = = 5 9 = C = = Bildung inverser Matrizen mit Determinanten (Inversenformel) A = A i j A ij T (gilt natürlich nur, wenn A regulär ist) a3 a 3 a a 3 a 3 a 33 A 33 a a 3 a 3 a 33 = a a 3 a 3 a 33 a a 3 a 3 a 33 a a 3 a a 3 a a 3 a a 3 A=a a a 3 a a a 3 A a a a a 3 a 3 T a 3 a a a a 3 a a a Der Einfachheit halber wurde A nicht ausmultipliziert (einfach Determinante von A nehmen). Transponieren nicht vergessen! Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 3

14 Determinanten Determinanten können nur von quadratischen Matrizen M n,n berechnet werden! ) A = A T ) A B = A B 3) A B A B (!) n = A= a a a a A = a a a a =a a a a n = 3 (nach Sarrus) det a, b c b,c= a a b c 3 a a 3 b 3 c n allgemein (nach Laplace) b a b a 3 b 3 =a b c 3 b c a 3 c a b 3 a 3 b c b 3 c a c 3 a b Durch Streichen von je einer Zeile sowie einer Spalte werden Unterdeterminanten gebildet (sog. Adjunken). Deren Ergebnisse werden jeweils mit dem Matrix-Element multipliziert, in dem sich die gedachten Streichlinien kreuzen (eingezeichnet für a 3 ). a a a3 a4 a3 a4 a3 a4 a a4 a a3 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a a a 3 a 33 a 4 a a 3 a 33 a 4 3 a a 3 a 3 a 4 4 a a 3 a 3 a 33 4 a a 4 a 4 a 43 a 4 a 43 a 44 a a 4 a 43 a 44 a a 4 a 4 a 44 a a 4 a 4 a 44 =a 43 Ob die Unterdeterminanten addiert oder subtrahiert werden, wird nach folgendem Muster festgelegt: Berechnung mit Dreiecksmatrix A =a a a n a a a 3 a a 3 a a 33 a 33 =a Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen Zeilen und Spaltenoperationen nicht mischen! Beachen, dass zum Beispiel beim Vertauschen zweier Zeilen die gesamte Determinante negiert werden muss! ) Multiplikation einer Zeile/Spalte mit : B = A ) Vertauschen zweier Zeilen/Spalten: B = A 3) Addieren eines Vielfaches einer Zeile/Spalte zu einer Zeile/Spalte: B = A Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 4

15 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Ein LGS vom Typ m n sieht folgendermaßen aus: m : Anzahl der Gleichungen n: Anzahl der Unbekannten In Matrixschreibweise: A x= b A : Koeffizientenmatrix x : Lösungsvektor b : rechte Seite a a n x A=a a m a m a mn x= n x a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m b b= m b LGS können mit verschiedenen Verfahren wie dem Gauß'schem Eliminationsverfahren oder der Cramer'schen Regel (die auf Determinanten aufbaut) gelöst werden Lösungsmöglichkeiten. genau eine Lösung ( RgA=n ). unendlich viele Lösungen ( RgAn, aufgrund von Abhängigkeiten zwischen Gleichungen, müssen Parameter eingeführt werden; es ergibt sich z.b. eine Lösungsgerade bei einem Paramenter, Lösungsebene bei zweien usw.) 3. keine Lösung (es entsteht ein Widerspruch; z.b. =5 ) Beispiel mit einem -System: Eine Lösung: (die Geraden Kreuzen sich) Unendlich viele Lösungen: (Geraden liegen aufeinander) Keine Lösung: (Geraden parallel) A= 4 5 b= x A= b= x y =,5 oder b= A= 4 b= y = 3,5 Ein homogenes LGS hat als Lösung den Nullvektor und ist aufgrund dessen immer eindeutig lösbar (Triviallösung ). Erhält man eine allgemeine Lösung, z.b. Schnittgerade zweier Ebenen im dreidimensionalen Raum, so kann man man durch annehmen von Werten für die Parameter auch spezielle Lösungen bestimmen. Cramer'sche Regel Sie baut auf der Berechnung von Determinanten auf. Die Koordinaten des Lösungsvektors ergeben sich aus dem Quotienten der Determinanten det A n, bei der die n-te Spalte durch die Ergebnis-Spalte ersetzt wurde, und der Determinante. x = det A det A x n = det A n det A Dieses Verfahren zur Lösung von LGS sollte nur bei 3 oder weniger Unbekannten angewendet werden, da sonst die Berechnung der Determinanten sehr aufwendig wird. Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 5

16 Gauß'sches Eliminationsverfahren Es wird die Koeffizientenmatrix eines LGS in eine Einheitsmatrix (Diognale mit, Rest ) umgeformt. Zuerst wird das Dreieck links unten der Diagonale von oben nach unten komplett eliminiert (alle Faktoren werden ), dann das Dreieck rechts oben von unten aus. Hierbei können Vielfache von Zeilen zu anderen addiert werden, Zeilen und Spalten vertauscht werden. Sollten im Laufe dieser Umformung eine oder mehrere Zeilen komplett Null werden, so waren die entsprechenden Gleichungen linear abhängig. Sind nun weniger Gleichungen als Unbekannte vorhanden, so müssen Parameter eingeführt werden (normalerweise griechische Kleinbuchstaben) um zu einer allgemeinen Lösung dieses System zu gelangen. Beispiel: x x x 3 Operation 3-7 Zeile nach oben verschieben x Zeile ; Vorzeichen umkehren 8-8 -x Zeile x Zeile ; Zeile wird ; Parameter! x Zeile x Zeile x Zeile Dieses LGS hat als unendlich viele Lösungen die auf einer Gerade liegen: x= 6 44 = Setzt man nun für z.b. ein, erhält man eine spezielle Lösung (Punkt auf der Geraden): x= 7 8 Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 6

17 Komplexe Zahlen Definition Imaginäre Einheit: j := Menge der komplexen Zahlen: C:={z=x jy x, y R} Enthalten die reelen Zahlen: R C x ist der Real- und y der Imaginär-Teil Gleichheit: x =x y = y geometrische Darstellung in Gauß'scher Zahlenebene Potenzen von j... j 4 = j 4 = j 3 = j 3 = j j 4 = j j = j = j = j = j j = j j = j= j = = j 3 = j= j j 4 = j j =... allgemein: j 4 n =, j 4 n = j, j 4 n =, j 4 n 3 = j Inverses Element Es gelten die Selben Rechenregeln wie bei reellen Zahlen. Lediglich das inverse Element bez. der Multiplikation ist eine Besonderheit. z=x jy z = x x y j y x y z= 3 j 5 z = 3 34 j 5 34 Darstellungsformen Normalform: z=x jy Polarform: z=r cos j sin imaginäre Achse y z x reelle Achse Es gilt die Eulerische Formel: e j =cos j sin, deshalb ist folgende Kurzschreibweise ebenfalls korrekt: z=r e j y=sin z x=cos Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 7

18 Umwandlung zwischen Darstellungsformen Polarform Normalform: z=r cos j r sin Normalform Polarform: z= x y e arctan y x Zum Winkel muss, je nachdem in welchen Quadranten der komplexe Zeiger gerichtet ist, noch etwas dazu addiert werden (um negative Winkel zu vermeiden):. und 3. Quadrant: +π / +8 4 Quadrant: +π / +36 Will man negative Zeiger zulassen (Elektrotechnik!) muss man nur Acht geben, wann der Zeiger die ±8 Grenze übertritt. y 3 4 x Rechnen in der Normalform In dieser Schreibweise fällt die Addition und Subtraktion besonders leicht. Für Punktrechenarten sollte der Polarform der Vortritt gewährt werden. Addition z z =x x j y y z =3 j 5 z = j z z =4 j 3 Multiplikation z z =x x y y j x y x y z =3 j 5 z = j z z =3 j Division z = x jy x jy z x jy x jy z = 4 3 j z = 4 3 j z = 55 z 73 j Rechnen in der Polarform Multiplikation z z =r r cos j sin Exponentialform: z z =r r e j Spezialfälle: ) Negation: z =r e ) Quadrat: z =r e j j 8 Division z z = r r cos j sin Exponentialform: z = r e j z r Spezialfall: ) Kehrwert: z = r e j z = e j 45 z =4 e j z z =8 e j 65 z =5 e j z =,5 e j 45 z z = e j 75 Pontenzieren z n =r n cos j sin n Exponentialform: z n =r n e j n 4 e j 4 3 =64 e j Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 8

19 Radizieren (Wurzel ziehen) Wurzeln sind definiert als Ergebnis einer Potenz. Im C gibt es für die Gleichung z n =a=a cos j sin immer n Lösungen, wobei k n. Diese Lösungen liegen in einer Gauß'schen Zahlenebene auf einem Kreis mit r= n a. Ist der Betrag, die Länge r des komplexen Zeigers, der Wurzel, so spricht man von der n-ten Einheitswurzel. z k = a n cos 36 k n n j sin n Exponentialform: z k = n a e j n 36 k n 36 k n z 3 = j= e 45 z =6 e j 5 z =6 e j 35 z =6 e j 55 Formelsammlung Mathematik ET5 Seite 9

20 Polynome (Nullstellen) Definition f x=a n x n a n x n a xa, D f =R ein Polynom vom Grad n ( n ) besitzt in C genau n Nullstellen ist x eine Nullstelle so lässt sich das Polynom ohne Rest durch x teilen (Polynomdivision) komplexe Nullstellen treten immer paarweise auf (ist z.b. z bekannt, ist z ebenfalls eine) Polnomdivison Die Nullstellen von Polynomen Grad > lassen sich relativ einfach durch faktorisieren in Erfahrung bringen. Für jeden Schritt muss aber bereits eine Nullstelle bekannt sein (evtl. geraten). f x=x 4 3x 3 x 5x 6 bekannte Nullstellen: x=, x=3 x 4 3x 3 x 5x 6: x=x 3 7x 4x 3 x 4 4x 3 7x 3 x x 3 7x 4x 3:x 3=x x 7x 3 4x x 3 6x 4x 5x x 4x 4x 8x x 3x 3x 6 x 3 3x 6 x 3 Das bedeutet: f x= xx 3 x x. Der hintere Teil lässt sich, in diesem Fall, nur noch weiter mit Hilfe der komplexen Zahlen auflösen: x3,4 = ± 6 = 4 ± 7 6 = 4 ± j 7 6 = 4 ± j 4 7 Somit ergibt sich f x= x x 3x 4 j 4 7x 4 j 4 7 Formelsammlung Mathematik ET5 Seite