Algebra 1. Semester. Matrikel 05. Wintersemester 2005/2006. Markus Langpeter

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1 Algebra. Semester Matrikel 5 Wintersemester 25/26 Markus Langpeter mlangpet@imn.htwk-leipzig.de Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig Fachbereich IMN 4. Februar 26

2 . Lineare Gleichungssysteme. Darstellung Lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten a x... a n x n =b... a m x... a mn x n =b m man unterscheidet m>n, m=n und m<n * a... a n Matrixschreibweise:... x= x b= b A=, a m... a mn x n, m b A x= b b= : homogen b : inhomogen.2 Lösbarkeit Rang: r A r A =r A b lösbar=r r m :mehrdeutig lösbar r =m : eindeutig lösbar r A r A b unlösbar.3 Lösung Über Gauß Algorithmus durch gestaffeltes System (siehe Vorlesung) 2. Relation 2. Produktmenge M M 2... M n ={ x, x 2,..., x n x M, x 2 M 2... x n M n } 2.2 Potenzmenge Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge M ist Menge, Potenzmenge von M: P M 2.3 Relation Jede Teilmenge R einer Produktmenge M M 2... M n heißt n-stellige Relation über M, M 2,..., M n eine der wichtigsten ist die binäre Relation: x R y inverse Relation: R M N, R :={ x, y y R x }, R N M, R R 2 =R 2 R Identitätsrelation: id M :={ x, y M 2 x= y } 2.3. Verknüpfung von Relationen Mengenoperationen,,,... Verkettung von Relationen: R Relation über M, M 2 S Relation über M 2, M 3 R S Relation über M, M 3 es existiert ein b M 2 mit a R b b R c a R S c, a M, c M Eigenschaften von Relationen R reflexiv : x R xfür alle x M R symmetrisch : x R y y R x für beliebige x, y M R=R R antisymmetrisch : x R y y R x x= yfür beliebige x, y M R R id m R transitiv : x R y y R z x R z für beliebige x, y, z M R R R

3 2.3.3 Äquivalenzrelation a~b, a ist äquivalent zu b ist reflexiv, symmetrisch und transitiv Äquivalenzklasse R sei Äquivalenzklasse über M, u M, ermitteln aller x M mit u R x R u ={x M u R x } R u heißt Äquivalenzklasse [u] Äquivalenzklassen sind paarweise disjunkt, Vereinigung aller Äquivalenzklassen ist M. (Zerlegung) Bemerkung: Z, R= m, bzw. x m y, d.h. x-y ist durch m teilbar bzw. x und y haben bei Division durch m den selben Rest 3. Ordnung, Abbildung, Algebra 3. Ordnungsrelation ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv, x y y x ist R Ordnung über Menge M, dann ist R ebenfalls Ordnung über Menge M 3.2 Halbordnung ist reflexiv, antisymmetrisch, transitiv ist R Halbordnung über Menge M, dann ist R ebenfalls Halbordnung über M 3.3 Abbildung Binäre Relation heißt Abbildung von einer Menge D in Y F D Y wenn x D y Y, x F y bzw. F : D Y, y=f x statt x F y D ist Definitionsbereich, W :={ y Y x D y=f x } W Y G F X :=G F x, F : D Y,G :W F Z 3.3. Eigenschaften von Abbildungen Abbildung eindeutig [ x, y F x, y 2 F y = y 2 ] Abbildung surjektiv oder Abbildung auf (für jedes y ein Bild) W =Y Abbildung injektiv oder eineindeutig F eindeutig [ x, y F x 2, y F x =x 2 ] Abbildung bijektiv surjektiv und injektiv 4. Algebren 4. Gruppen A= M, + heißt Gruppe, falls zu x, y M x y M (Abgeschlossenheit) + ist assoziativ, x, y, z M, x y z=x y z Existenz eines neutralen Elements e, x e=e x= x (müssen eindeutig sein) Existenz inverser Elemente, x M x M mit x x =x x=e (müssen eindeutig sein) Falls x y = y x (Kommutativ) folgt abelsche Gruppe Klein'sche Vierergruppe a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a

4 4.2 Ring, Körper A M,+,* heißt Ring, falls: A M,+ abelsche Gruppe A M,* Halbgruppe Distributivgesetze gelten, d.h.: x y z =x y x z x, y, z M, y z x= y x z x Falls kommutativ kommutativer Ring Falls neutrales Element bezüglich * existiert Ring mit Einselement A M,+,* heißt Körper, falls: A M,+ abelsche Gruppe A M {}, * abelsche Gruppe Distributivgesetz gilt Nullteilerfrei 5. Polynome 5. Eigenschaften von Polynomen einfachste Funktionen P n x =a n x n... a 2 x 2 a x a = i= n N, a i R n n a i x t =a n x x j mit P n x j = j= Polynom heißt reell, wenn seine Koeffizienten reell sind (x darf komplex sein) 5.2 Nullstellen von Polynomen Fundamentalsatz der Algebra: Ein Polynom P n x vom Grad n besitzt genau n Nullstellen x, x 2,..., x n in der Menge C der komplexen Zahlen, die nicht verschieden sein müssen. P n x besitzt dann eine Produktzerlegung in Linearfaktoren: P n x =a n x n a n x n... a x a =a n x x x x 2... x x n ist x Nullstelle eines reellen Polynoms, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl x Nullstelle Eingrenzung von Nullstellen: x j max a i min i=,..., n und j=,..., n DESCARTESsche Zeichenregel: Die Anzahl der Zeichenwechsel oder eine um eine gerade Zahl verminderte Zahl ist gleich der Anzbaahl der positiven Nullstellen von P n ist Grad des Polynoms ungerade, so besitzt es mindestens eine negative Nullstelle für Anzahl der negativen Nullstellen, betrachte: P * n x =P n x Wenn P n x = x n a n x n... a x a mit a i Z,i=,..., n. Hat P n eine ganzzahliche Nullstelle x *, so gilt x * a a n x x 2... x n =a Probe nach Vieta : x x 2... x n =a n 5.3 Hornerschema (Durchführung gemäß Vorlesung) Funktionswertberechnung P x Polynomdivision durch x x

5 6. Vektorrechnung 6. Grundlagen Einheitsvektor: n = n n Skalarprodukt: a b =a x b x a y b y a z b z... (Das Skalarprodukt zweier zueinander rechtwinkliger Vektoren ist, zweier paralleler Vektoren das Produkt deren Länge) Spatprodukt: [ a, b, c]= a b c (Volumen des aufgespannten Spates dreier Vektoren) Rechenschema: Determinante [ a, a 2 a 3 b, c]= a b b 2 b 3 3 c c 2 c Volumen eines Tetraeders V T = 6 [ a, b, c] a, b, c komplanar, linear abhängig [ a, b, c ]= Kreuzprodukt/Vektorprodukt: a b = a b sin e (Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren mit gleichem Ausgangspunkt ist Fläche und Richtung Flächennormale des von ihnen aufgespannten Parallelogrammes) Rechenschema: Determinante a x e y e z b3 a3 b2 b= e a a 2 a 3 a 3 b a b 3 b b 2 b 3 = a2 a b 2 a 2 b = n a, b kollinear a b= Vektorsystem: endlich viele Vektoren derselben Dimension: a,a 2,...,a n Basis: alle linear unabhängigen Vektoren des Vektorsystems, Anzahl = Dimension 6.2 Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren m Vektoren der Dimension n a, a 2,..., a m heißen linear unabhängig, falls: x a x 2 a 2... x n a n = nur gilt, wenn x =x 2 =...=x n = sonst linear abhängig x i R Anzahl der linear unabhängigen Vektoren eines Vektorsystems von m Variablen der Dimension n min(m,n) Oder: Vektoren heißen linear abhängig, wenn sich ein Vektor durch Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt: a = p a 2 q a 3 Sind Vektoren im Raum linear Abhängig, so sind sie komplanar bzw. liegen in einer Ebene

6 7. Analytische Geometrie 7. Darstellung Gerade in R 2, in R 3 Vektorielle Punkt-Richtungsform: x= x t a, t R man nennt diese Form auch Geradengleichung in Parameterform (Parametergleichung) Koordinatengleichung: a x b y c= Skalarform in R 2 : n x = n x mit x beliebiger Punkt auf Gerade ax by c= allgemeine Gleichung mit Normalenvektor n= a, b T durch Normierung des Normalenvektor auf die Länge erhalten wir die Hesse Normalform a 2 b ax by c = 2 Darstellung der Gerade in R 3 mit einer skalaren Gleichung existiert nicht! Ebene in R 3 Vektorielle Punkt-Richtungsform: x= x s a t b ; s, t R ; n a ; n b man nennt diese Form auch Ebenengleichung in Parameterform Koordinatengleichung: ax by cz d = Skalarform: n x = n x mit x beliebiger Punkt auf der Ebene ax by cz d = allgemeine Gleichung mit Normalenvektor n= a, b,c T durch Normierung des Normalenvektor auf die Länge erhalten wir die Hessesche Normalform ax by cz d = a 2 b 2 2 c Umrechnung:. Ebene: Parameterform in Skalarform E : x= x n v w v w= n, c= n x E :n x x n y y n z z=c 2. Ebene: Skalarform in Parameterform E :n x n 2 y n 3 z=c x y z n n 2 n 3 c Gaußscher Algorithmus y sei u und z sei v x= c n n 2 u n 3 v c n x= u n2 n v n3 n = c n n2 n n3 durch n Ausklammerung

7 7.2 Verfahren zur Ermittlung von Abständen im Raum Punkt-Punkt d = x x 2 2 y y 2 2 z z 2 2 Punkt-Gerade Gegeben: idealerweise Parameterform der Geraden p g : x= q q 2 u 2 p q 3 s u u 3, P= 3 2 p Variante : (Vorteil: Man erhält gleichzeitig den nächstgelegenen Punkt auf g) Man konstruiert eine Ebene, deren Normalenvektor der Richtungsvektor der Geraden ist und P enthält, lässt die Gerade mit dieser schneiden und erhält einen Punkt auf der Geraden, der den kürzesten Abstand zu P hat. Es muss also gelten: PF u = (Skalarform einer Ebene), da u senkrecht auf der Ebene steht und so den Normalenvektor darstellt: p x p 2 y u 2 p x u p 2 y u 2 p 3 z u 3 = p 3 z u u 3 = wir erhalten eine Koordinatengleichung einer Ebene der Form ax by cz d = Wir setzen die Gerade ein und erhalten einen Faktor s, mit welchen wir mit Hilfe der Geradengleichung einen Schnittpunkt ermitteln. Der Abstand von P mit diesem Punkt ist der minimale Abstand von P und g. Variante 2: d = PQ u u Punkt-Ebene. Einsetzen des Punktes in die Hessesche Normalform Gegeben: idealerweise die Koordinatengleichung oder Hessesche Normalform Vorzeichen stimmt überein bei Punkten, die sich auf der selben Seite von der Ebene befinden 2. Ansetzen des Normalenvektors an den Punkt und mit der Ebene schneiden lassen Gegeben: idealerweise die Parameterform der Ebene Gerade-Gerade Gegeben: die Parameterform der Geradengleichung im Raum g : x= p s u, g 2 : x= q t v d = PQ u v ist der minimale Abstand der Geraden u v Gerade-Ebene Voraussetzung ist, die Gerade verläuft parallel zur Ebene Jeder Punkt der Geraden hat den gleichen Abstand zur Ebene, so dass jeder beliebige Punkt, zum Beispiel der Stützvektor genommen werden kann und nach dem Punkt-Ebene Verfahren der Abstand berechnet wird Ebene-Ebene Voraussetzung ist, die Ebenen liegen parallel zueinander. Differenz der Anstände der Ebenen zum Koordinatenursprung durch Einsetzen in die Hessesche Normalform Gegeben: idealerweise die Koordinatengleichung oder Hessesche Normalform 2. Ansetzen des Normalenvektors an beliebigen Punkt einer Ebene, zum Beispiel dem Stützvektors und mit der anderen Ebene schneiden lassen Gegeben: idealerweise die Parameterform der Ebenen

8 7.3 Lagebeziehungen Punkt-Gerade Entweder ist P g oder P g, Abstand ermitteln Gerade-Gerade: g : x= x a h : x= x 2 b Schritt : Sind Richtungsvektoren a, b der Geraden linear abhängig, sind Geraden parallel oder identisch. Schritt 2: Sind Differenz der Ortsvektoren x 2 x und Richtungsvektoren a, b linear abhängig, sind Geraden identisch ( g =h Identität) ansonsten parallel ( g h ), dann Abstand ermitteln. Schritt 3: Wenn windschief, Schnittpunkt überprüfen oder Abstand ermitteln. Wenn g und h sich schneiden, Winkel ermitteln: cos = a b a b Ebene-Ebene Entweder sind die beiden Ebenen identisch oder sie sind parallel (Normalenvektoren linear abhängig, Abstand ermitteln) oder sie schneiden sich cos = n n 2 n n 2 Ebene-Gerade: g : x= x a E : x= x 2 b c Schritt : Sind Richtungsvektoren a, b, c der Ebene und Gerade linear abhängig, so ist Gerade parallel oder identisch zur Ebene, ansonsten schneidet Gerade die Ebene in einem Punkt. Diesen Punkt und Schnittwinkel sin = n a n a ermitteln. Schritt 2: Sind Differenz der Ortsvektoren x 2 x und die Richtungsvektoren a, b, c linear abhängig, liegt Gerade in der Ebene ( g E ), ansonsten sind sie parallel ( g h ). Alternativen: Zwei Geraden Gerade-Ebene Zwei Ebenen Parallel a b= a n = n n 2 = Orthogonal (senkrecht) a b = a n= n n 2 = 7.4 Vektorräume V, abelsche Gruppe, Vektoren, K,, Körper von Skalaren, V bildet Vektorraum V über K, falls für beliebige Vektoren a,b V und beliebige Skalare, K gilt: (V) a=a (V2) a b = a b (V3) a= a a (V4) a= a U V heißt Teilraum oder Unterraum des Vektorraumes V, wenn U mit den in V definierten Operationen selbst ein Vektorraum über K ist U d.h. x, y U K, x U x U

9 8. Determinante 8. Begriff quadratisches Schema von Elementen wird eine Größe (meist Skalar) zugeordnet. Vertauscht man zwei Spalten oder Zeilen, ändert sich nur das Vorzeichen Stimmen 2 Spalten oder Zeilen überein, hat sie den Wert Multiplikation einer Determinante mit einer Zahl ist gleichbedeutend mit Multiplikation einer Spalte oder Zeile mit der Zahl 8.2 Berechnung D 2= a a 2 a 2 a 22 =a a a a = a...a n D n... a n...a nn =a i i D i a i2 i 2 D i2... a i n i n D i n 8.3 Cramersche Regel Lineares Gleichungssystem A x= b, A reguär (quadr., A ) LGS eindeutig lösbar x i = D i D,i=...n, D= A, D i ist die Determinante, die aus A entsteht, wenn die i- te Spalte von A durch b ersetzt wird. 8.4 Vandermondsche Determinante 9. Matrizen 9. Begriff Rechteckiges Schema von Elementen, nach Zeilen und Spalten geordnet, Typ (Anzahl der Zeilen, Anzahl der Spalten),(m,n) speziell: m=, n beliebig Zeilenvektor m beliebig, n= Spaltenvektor m=,n= Skalar m=n Nullmatrix ist A T = A so heißt A orthogonal ist A= A T so heißt A symmetrisch quadratische Matrix: Symmetrische Matrix Dreiecksmatrix Diagonalmatix Skalarmatrix Einheitsmatrix

10 9.2 Rechenoperationen A, B, C... A= B A± B=C, c ik =a ik ±b ik i, k A=B, skalar, b ik = a ik A m, n T =B n,m, b ik =a ki A m,n B n, s =C m,s, c ik = nicht kommutativ! n j= a ij b jk A sei regulär (quadr., A = ), A heißt invers zu A, falls A A = A A= E Berechnung: A A =E, A X =E, X =? A x, x 2,..., x n = e, e 2,..., e n n LGS, A x i = e i, i=,2,..., n mit je n Unbekannten Beachte: alle LGS haben dieselbe Koeffizientenmatrix A und relativ einfache rechte Seiten e i, für kleine n Cramersche Regel 9.3 Matrizengleichungen Bestimmungsgleichung für X, beachte: Matrizengleichung nicht kommutativ Einselement ist E keine Division! Ersatz: inverse Matrix 9.4 Austauschverfahren Berechnen der inversen Matrix Gegeben sei das Schema: x... x K... x n y a... a K... a n... y L a L... a LK... a LN... y n a n... Pivot Element a nk... a nn Es wird x K mit y L ausgetauscht. *. neues Pivot: a L K = a L K 2. neue Pivotzeile: a * Lj = a Lj, j K a LK 3. neue Pivotspalte: a * ik = a ik,i L a LK 4. restlichen neuen Elemente: a * * i j =a i j a i K a L j, i L, j K

11 Rechnen mit Kellerzeile: x x 2 x 3 y + 3 Pivotspalte y 2 3 Pivotzeile * y 3-2 K -3 - * = x x 2 y 3 y +*(-3) 3+*(-) / x 2-3/ -/ / y 3 +2*(-3) -+2*(-) 2/ x x 2 y 3 y 3 x y