Kapitel 6: Trigonometrie

Transkript

1 Kapitel 6: Trigonometrie 6.1 Bestimme die Kraft auf Seil und Druckstab, hervorgerufen von einer belastenden Gewichtskraft von N. Seil N 60 Stab 6. Ein Turmdach soll mit Kupfer gedeckt werden. Der Grundriss des Turms ist quadratisch und die Giebel stellen gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge von 4 m dar. Berechne die Menge an Kupferblech, inkl. 5 % Verschnitt, zum Decken der vier rautenförmigen Dach flächen. 6.3 In welchem Abstand d muss eine Person mit der Körpergröße h zu einem Spiegel der Höhe s stehen, damit diese sich vollständig sehen kann? 6.4 Begründe, warum ein Kinderwagen derselben Abmessungen mit vier Rädern stabiler gegen eine seitliche Kraft ist als sein dreirädriges Pendant. S M F S M F a S S b a a

2 Kapitel 6: Trigonometrie 6.5 Errechne, welche Person beim Tragen eines Schrankes über eine Treppe mit 30 den größeren Kraftaufwand hat! a b mg F F Erstelle eine geeignete Beschreibung des dargestellten Giebeldaches in der Ebene Komplexe Zahlen Zeige, wie du unter Anwendung der komplexen Zahlen eine Halbkreisscheibe mit dem Radius R 1 R R 1 R 6.8 Komplexe Zahlen Ein Reinigungsroboter ist folgendermaßen programmiert: a. b. Vom Schrank S zum Fenster F und dieselbe Entfernung im rechten Winkel nach rechts hier ist die Treppe ins c. Vom Schrank S zur Mitte zwischen den beiden vorigen Treppen hier ist der y Unglücklicherweise ist der Schrank umgestellt worden. Beschreibe abstrakt (durch Angabe der Pfade) mit Hilfe der komplexen Zahlen, wie der Reinigungs Schrank S roboter trotzdem zum Abfalleimer findet. (Hilfe: Nimm die ursprüngliche Position Stützpunkte Tisch und Fenster auf die Real-Achse). Tisch T Fenster F x

3 Kapitel 6: Trigonometrie 6.9 Komplexe Zahlen Elektrotechnik: Ohmscher Widerstand: Z R Kapazitiver Widerstand: Induktiver Widerstand: Z K 1 j C Z L 1 j L Serienschaltung: Parallelschaltung: Z ges Z 1 + Z 1 Z 1 ges Z Z Z ges Z 1 Z Z 1 + Z R L Berechne den Gesamtwiderstand folgender Abbildungen: 6.10 Komplexe Zahlen Elektrotechnik: Ohmscher Widerstand: Kapazitiver Widerstand: Z R Z K 1 j C Induktiver Widerstand: Z L 1 j L Serienschaltung: Parallelschaltung: Z ges Z 1 + Z 1 Z 1 ges Z Z Z ges Z 1 Z Z 1 + Z

4 Kapitel 6: Trigonometrie Berechne den Gesamtwiderstand folgender Schaltung: C R L X C X L 6.11 Komplexe Zahlen Für den dargestellten Parallelschwingkreis ist eine Tabelle mit f, X L, X C, Z, I, I L, und I C zu erstellen. U L R C F 6.1 Berechne die Seilkräfte, wenn eine Gondel mit dem Eigengewicht von kg mit 10 Insassen im Schnitt je 78,5 kg in der Mitte zweier 400 m und entfernter Stützen hängt. L H M = mg L = 00m H = 37m

5 Kapitel 6: Trigonometrie 6.13 Brechungsgesetz Snellins sches Gesetz der Brechung beim Übertritt eines Lichtstrahls vom dünneren ins dickere Medium: n sin 1 sin n n 1 sin 1 sin Berechne unter Berücksichtigung des oben angeführten Gesetzes den Winkel zwischen eingehenden und ausgehenden Strahl durch ein Prisma. 1 n 1 dünner n dicker Fahrdynamik Motorrad Durch die Neigung des Motorradfahrers in die Kurve kann dieser eine gewünschte Bahn erzielen. Zeige die Abhängigkeit des Kurvenradius vom Neigungswinkel. Stelle dir hierzu vor, der geneigte Reifen sei ein Kegel, welcher nun abgerollt wird. (Hinweis: Dies stellt eine Vereinfachung der realen Fahrdynamischen Verhältnisse am Rad dar.) 6.15 Ballistische Kurve Eine ballistische Kurve eines unter dem Winkel Luftwiderstandes folgendermaßen beschrieben: À s (t) x (t) y (t) 3 t cos sin t g t 3 Berechne die maximale Wurfweite s max, nach welcher der mit berührt Fahrdynamik Mit welcher Geschwindigkeit muss ein Fahrzeug in einer Steilkurve fahren, damit dieses seitenkraftfrei durch die Kurve kommt? S mg m a s = m v /R 6.17 Fahrzeug-Längsdynamik Welche Bremsverzögerung muss eintreten, damit ein Fahrzeug bei Bergabfahrt und Vollbremsung an die Grenze zum Überschlag kommt? horizontale Schwerpunktslage l v l vertikale Schwerpunktslage h l

6 Kapitel 6: Trigonometrie 6.18 Fahrdynamik Bestimme den notwendigen Reibungskoeffizienten, damit ein heckgetriebenes Fahrzeug auf einer Bergstraße mit 0 % Steigung den vollen Vortrieb nutzen kann. Steigung 0 % : Vertikale Schwerpunktlage h l Horizontale Schwerpunktlage l v l R N 6.19 Knickung Die kritische Knickkraft lässt sich folgendermaßen berechnen: F Krit E I i L Zeige für das nebenstehende Tragwerk, welche Wandstärke bei gleichbleibendem Au N zu wider stehen. Stelle im Zuge dessen die allgemeine Funktion für die Wandstärke in Abhängigkeit des Winkels dar. k i E Alu d a F l 6.0 Ein Flugzeug fliegt mit der konstanten Geschwindigkeit v F. Ein permanenter Seitenwind lässt das Flugzeug jedoch vom geplanten Kurs abkommen. Berechne die Kursabweichung und die reale Geschwindigkeit des Flugzeugs v real. y và F m s À V Wind m s V F V Wind V real x

7 Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen 6.1 sin a sin sin b c sin sin sin F Seil F Gewicht F Stab sin 60 F Seil Gewicht sin 0 sin 100 F Stab Gewicht sin 0 ± 3 6. Nach der Skizze liegen die Eckpunkte des Grundrisses auf ± ± Die Giebelspitzen liegen jeweils auf 0, ± Die Winkel der Rauten ergeben sich wie folgt: ¼ AB AC Winkel gleichschenkligen Dreieck ABC: BC sin 9 AB 4 e f 3 AD AD BC Fläche: A Raute A D B C 9 A Gesamt mit Verschnitt Raute 6.3 Einfallswinkel = Ausfallswinkel, a daher liegt der Reflexionspunkt, um die Füße zu sehen bei h a. Entsprechend verhält es sich beim Reflexionspunkt zum Erkennen des Kopfes. Dieser liegt auf der Höhe h a h s 1 h a g s a h a d tan 1 a d tan Man erkennt, dass unabhängig von der Entfernung der Winkel zum Erkennen der Füße bzw. des Scheitels sich ändert. Daraus ist abzuleiten, dass ein Spiegel, der die gegeben Ausmaße besitzt, die ausreichende Größe zum Erkennen der Person hat unabhängig von der Entfernung. S S Das Eigengewicht M wirkt der seitlichen Kraft F entgegen. Die jeweilige Kippachse verläuft über die äußerste Aufstandspunkte, d. h. über die Verbindung der linken Räder. Momentengleichgewicht: Dreirädriger Kinderwagen: ist das Lot vom Schwerpunkt zur Kipplinie. a b sin a sin a Vergleich: M a > M

8 Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen F Momentgleichgewicht um Punkt 1: m g cos b m g sin a F b cos F cos cos b sin a 3 F cos b sin a cos b F F Es bietet sich an, den Ursprung des Koordinatensystems in den Giebel zu legen. Die beiden Seiten des Daches werden mit f und g beschrieben. { c P c * R } tan 0 1 g{ c P c * R } tan 0 y f g x 6.7 i 1 ª T + (S T 3 i) T + F + i (F T) Z ges Z R Z L Z R + Z L Z ges R jl R jl R jl R + jl R + jl R jl Z ges jlr + L R R + (L) L R R + (L) + j R L R + (L) 6.10 Z ges 1 jc + R jl R + jl c + RX L R + X L Z ges L 00 L 0 50 L j 50 L L 90 30,16 L 51,3 Z ges L L Z ges L 80

9 Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen 6.11 f X L X C , , , , , , , ,1 9, , 111, , ,9 9, , 90, , ,7 9, , , ,6 9, ,6 180 Z I I L I C 6.1 Gondel + m Insassen Winkel des Seils zur Horizontalen: H L Die Masse der Gondel mit Insassen erzeugt eine Kraft, welche durch die Seilkraft in einem Kräftedreieck aufgenommen wird: F S1 M F S + sin () sin M sin F S1 F S sin () M sin F S1 sin F S1 sin () F S1 S Alternative: M F S1 sin ( M F S1 sin () ) + ( 1 ) + sin 1 bei kleinen Winkeln 1 1 1

10 Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen 6.14 s h s r Die Mantellinie s des Kegels stellt den Radius der Abwicklung und damit den Kurvenradius dar. s r sin Beispieltabelle: Reifen-Radius: 35 cm Kurvenradius 1 0,0175 0,05 0, ,03 3 0,054 6,69 4 0,0698 5,0 5 0,0873 4,0 6 0,1047 3,35 7 0,1,87 8 0,1396,51 9 0,1571,4 10 0,1745, À x (t) y (t) 3 s max t sin g t t cos t sin g x cos max t 3 sin s max cos g s 3 max cos sin s max sin g sin g s max cos s max v 0 sin cos g s max v 0 g sin ( a) s max m s 3 max cos

11 l Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen 6.16 Die Kraftkomponenten parallel zur Fahrbahn müssen sich aufheben! m g sin v R cos 9 R g tan 6.17 m.a m.g F v + ΔF l F h ΔF h l v Überschlagsgrenze: F h M Vorderachse F h + m a h + m g sin ( h m g cos ( v F h m a h + m g sin ( h m g cos ( v h m a + m g sin ( h m g cos ( v a g cos ( v sin () h 3 h 15 % Steigung: 6.18 m.a m.g F v h l v F h M Vorderachse m g cos ( v + m g sin ( h F h m g cos () v + m g sin ( h F h F h cos () v + sin () h 3 F x m g sin ( F h m g sin ( m g cos ( v + sin ( h 3 sin ( cos ( v + sin ( h sin ( 0,95 cos ( + sin (

12 Kapitel 6: Trigonometrie Lösungen 6.19 F Krit i E I L I ( d a 4 d 4 i ) 64 F L Längskraft auf die Tragwerksrohre: Da L F Krit E I i L º F L F sin ( L 4 E F L F F L F F L d 4 4 i a 64 I d i 4 F sin () L a E a k sin () F 64 3 E 6.0 À v F k l À v Wind À v real À v F + À À v real v Wind v real y v real x