Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Michael Sachs Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen 2., erweiterte Auflage Mathematik-Studienhilfen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Wozu Statistik? Beschreibende Statistik Grundbegriffe Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen Kumulierte Häufigkeiten und empirische Verteilungsfunktion Lageparameter Streuungsparameter Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen Korrelationsrechnung Regressionsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorische Grundlagen Zufall, Ereignisalgebra Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufällige Variable und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erwartungswert und Varianz einer Verteilung Wichtige diskrete Verteilungen Die Normalverteilung Schließende Statistik Problemstellung, Zufallsstichproben Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests A Tabellen BLösungen Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis...194

3 2 Beschreibende Statistik 2.1 Grundbegriffe Die statistische Masse besteht aus allen denjenigen Elementen, denen das Interesse des Statistikers gilt. Ihre einzelnen Mitglieder heißen statistische Elemente oder Merkmalsträger. Vor jeder ernst zu nehmenden statistischen Tätigkeit muss die statistische Masse in räumlicher, zeitlicher und sachlicher Hinsicht präzise definiert werden. Beispiel 2.1 Mögliche statistische Massen sind: Natürliche Personen (z. B. Studierende, Kunden, Mitarbeiter), Sachen (z. B. Maschinen, Produkte), Institutionen, Körperschaften (z. B. Betriebe, Städte, Länder), Ereignisse (z.b. Maschinenausfälle, Geburten, Todesfälle, Firmengründungen, Konkurse). Eine korrekt beschriebene statistische Masse wäre etwa: Alle Studierenden des Studienganges Bioingenieurwesen an der Fachhochschule München im WS 2006/2007. Räumliche Eingrenzung: Fachhochschule München. Zeitliche Eingrenzung: WS 2006/2007. Sachliche Eingrenzung: Studierende des Bioingenieurwesens. An den statistischen Elementen interessieren uns bestimmte Eigenschaften oder Merkmale. Die Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Merkmalsausprägungen. Ein sinnvolles Merkmal muss mindestens zwei verschiedene Ausprägungen haben. Beispiel 2.2 Eine Computerzeitschrift testet verschiedene Drucker. Die statistische Masse sind also die getesteten Drucker. Bei jedem Drucker interessieren den Leser folgende Merkmale: Hersteller (alle Herstellernamen), Bezeichnung des Gerätes (alle Bezeichnungen), Preis ( EUR), Gewicht (0 10 kg),

4 2.1 Grundbegriffe 11 Seitenzahl pro Minute (0 100 Seiten), Gesamturteil (sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht). In Klammern stehen jeweils die möglichen Merkmalsausprägungen. Bezüglich der Art ihrer Merkmalsausprägungen (Werte) lassensichmerkmale wie folgt in Kategorien einteilen: Ein qualitatives Merkmal liegt vor, wenn die Werte keine physikalische Einheit brauchen. Man unterscheidet dabei qualitativ-nominale Merkmale von qualitativ-ordinalen Merkmalen: Bei einem nominalen Merkmal sind die Merkmalsausprägungen nur dem Namen nach unterscheidbar, sie drücken aber keinerlei Wertung oder Intensität aus. Bei einem ordinalen Merkmal 1 unterscheiden sich die Ausprägungen nicht nur hinsichtlich ihrer Namen, sondern können zusätzlich noch in eine (inhaltlich sinnvolle) Rangordnung gebracht werden. Ein quantitatives Merkmal 2 liegt vor, wenn die Nennung des Wertes allein noch keinen Sinn ergibt, weil die Einheit fehlt. Man unterscheidet hier zwischen quantitativ-diskret und quantitativ-stetig: diskrete Merkmale haben Werte, die durch einen Zählprozess entstehen. Die Werte sind dann meist die natürlichen Zahlen 0, 1, 2,..., die Einheit ist 1 oder bei größeren Anzahlen auch oft Zwischen den einzelnen Ausprägungen können keine Werte angenommen werden. Stetige Merkmale werden durch Messung gewonnen und können (theoretisch, je nach Genauigkeit des Messgerätes) jeden Wert innerhalb eines sinnvollen Intervalles annehmen. Beispiel 2.3 Im letzten Beispiel sind die Merkmale Hersteller, Bezeichnung und Gesamturteil qualitativ, denn ihre Werte benötigen keinerlei Einheit. Gesamturteil ist darüber hinaus noch ordinal, denn die Werte können in eine Rangskala von sehr gut bis sehr schlecht geordnet werden. Die übrigen Merkmale sind quantitativ, Preis und Gewicht stetig, Seitenzahl diskret. (Streng genommen ist Preis ebenfalls ein diskretes Merkmal, denn Preise können keine Werte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Cent annehmen. Hier ist die Einteilung aber so fein, dass man Preis meist als stetiges Merkmal behandelt.) Die Kategorie eines Merkmals hat Einfluss auf die Gestaltung von Fragebögen und graphischen Bildschirmoberflächen: Bei einem qualitativen Merkmal mit 1 auch: Rang-Merkmal 2 auch: metrisches oder kardinales Merkmal

5 12 2 Beschreibende Statistik nur wenigen Ausprägungen (z. B. Familienstand, Geschlecht) wird man alle Alternativen auflisten mit der Möglichkeit, die zutreffende anzukreuzen. Ein qualitatives Merkmal mit sehr vielen möglichen Ausprägungen (z. B. Name, Wohnort, Staatsangehörigkeit) wird man als Freitextfeld zum Ausfüllen realisieren. Quantitative Merkmale schließlich haben sehr viele Werte und werden daher als Freitextfeld dargestellt, oder man fasst die Werte zu wenigen Intervallen zusammen (Klassierung, siehe Abschnitt 2.2) mit der Möglichkeit anzukreuzen. Zum Zwecke der effizienten Abspeicherung von Merkmalsausprägungen in DV-Anlagen werden die Ausprägungen oft verschlüsselt, d. h. den einzelnen Werten werden Zahlen zugeordnet, z. B. beim qualitativ-nominalen Merkmal Familienstand : 0 für ledig, 1 für verheiratet, 2 für verwitwet usw. Das heißt aber nicht, dass daraus jetzt ein quantitatives Merkmal entstanden ist, was man schon allein daran erkennt, dass verwitwet nicht doppelt soviel ist wie verheiratet. Werden die benötigten Daten durch eine eigens für statistische Zwecke organisierte Erhebung gewonnen, sprechen wir von einer Primärstatistik, werden sie dagegen von bereits vorhandenen Verwaltungs- oder Unternehmensdateien für die Statistik abgezweigt, von einer Sekundärstatistik. Beispiel 2.4 Ermittelt die Nürnberger Gesellschaft für Konsumforschung (GfK) die Fernseh-Einschaltquoten, so entsteht eine Primärstatistik, dasselbe gilt z.b. für die Qualitätskontrolle in Betrieben. Die monatliche Arbeitslosenstatistik der Bundesanstalt für Arbeit dagegen ist eine Sekundärstatistik, da hier auf das bereits in den Arbeitsämtern vorliegende Material zurückgegriffen wird. Werden alle Elemente einer statistischen Masse in die Erhebung einbezogen, liegt eine Totalerhebung oder Vollerhebung vor, ansonsten eine Teilerhebung oder Stichprobe. Elemente in Stichproben können zufällig ausgewählt werden (Zufallsstichprobe, sie wird im Abschnitt 4.1 behandelt), oder bewusst zusammengesetzt werden, so dass in der Stichprobe die Werte gewisser Merkmale mit den gleichen relativen Häufigkeiten ( Quoten ) repräsentiert sind wie in der Gesamtheit (repräsentative Stichprobe). Um repräsentative Stichproben zusammensetzen zu können, braucht man Informationen über die zugrunde liegende Gesamtheit aus früheren Untersuchungen.

6 2.1 Grundbegriffe 13 Beispiel 2.5 Die erwähnte GfK führt Teilerhebungen durch u.a. mit Haushalten und Menschen in ganz Deutschland (Stand: 2002). Dabei werden die Testhaushalte u.a. nach den Merkmalen Geschlecht, Alter, Bildung, Einkommen ausgewählt. Sind also in der Gesamtbevölkerung 12 % zwischen 10 und 19 Jahre alt (10 ist das Mindestalter für eine Befragung), so müssenineinerrepräsentativen Stichprobe von Testpersonen genau Testpersonen zwischen 10 und 19 Jahre alt sein. Für die anschließende Veröffentlichung der Daten in Form einer Tabelle gibt es die DIN-Norm , Gestaltung statistischer Tabellen ([12]). Sie regelt Begriffe und äußere Form. Es empfiehlt sich, auch bei Statistiken für den innerbetrieblichen Gebrauch sich an einige Grundregeln dieser Norm zu halten. Bild 2.1 zeigt die vier Hauptbestandteile einer Tabelle. Der Tabellenkopf Tabellenüberschrift Kopf der Vorspalte Kopf des Tabellenfeldes Vorspalte Tabellenfeld mit Tabellenfächern Bild 2.1: Bestandteile einer Tabelle kann dabei Unterstrukturen enthalten. Bei quantitativ-stetigen Merkmalen müssen die Einheiten im Kopf oder in der Überschrift stehen. Tabellenfächer sollten niemals leer sein, es können aber u.a. folgende Symbole verwendet werden (siehe [12], 10.6): nichts vorhanden... Angabe fällt später an / Zahlenwert nicht sicher genug. Zahlenwert unbekannt oder geheimzuhalten x Tabellenfach gesperrt, weil Aussage nicht sinnvoll

7 14 2 Beschreibende Statistik Die sachliche, räumliche und zeitliche Eingrenzung der statistischen Masse muss aus dem Titel der Veröffentlichung, der Tabellenüberschrift, der Vorspalte, dem Kopf und ggf. aus Fußnoten hervorgehen. Bild 2.2 zeigt eine nach diesen Richtlinien gestaltete Tabelle (Auszug aus [14], S. 94): Schulabgänger 2003/04 in Bayern nach Abschlussarten Schulart Abgänger insgesamt ohne Abschluss Hauptschulabschluss und zwar mit dar. mit Quali. allgemeine Hochschulreife Volksschule x Realschule x Gymnasium Bild 2.2: Nach DIN gestaltete Tabelle (Auszüge) Aufgaben 2.1 Nennen Sie zu den folgenden Merkmalsträgern (statistischen Einheiten) und Merkmalen jeweils einige sinnvolle Merkmalsausprägungen und geben Sie an, um welche Merkmalskategorie es sich handelt (qualitativnominal, qualitativ-ordinal, quantitativ-diskret, quantitativ-stetig): Merkmalsträger Personen Personen Fernsehzuschauer Betriebe Motoren Telefongespräche Klavierstücke Merkmal Hochschulstudium? (Ja/Nein) Familienstand Gefallen an einer Sendung Anzahl Mitarbeiter Leistung Dauer Schwierigkeitsgrad 2.2 Was sind die statistischen Elemente in Bild 2.2 und welche Merkmale wurden erhoben? Nennen Sie einige Ausprägungen. Um welche Merkmalskategorien handelt es sich? Liegt eine Primär- oder Sekundärstatistik vor, eine Teil- oder Totalerhebung?

8 Sachwortverzeichnis Abhängigkeit 83, von Ereignissen 83 -vonzufälligen Variablen 103 Ablehnungsbereich 165 absolute Häufigkeit 15, 18 Alternativhypothese 163 ff. Anteilssatz 135 arithmetisches Mittel 26 ff., 48 Ausgleichsrechnung 58 Ausreißer 34 Axiome von Kolmogorov 78 barometrische Höhenformel 65 Bayes, Satz von 89 bedingte Wahrscheinlichkeit 85 ff. Bernoulli-Experiment 112 Bernoulli-Kette 112, 115 beschreibende Statistik 7, 10 ff. Besetzungsdichte 18, 35 Besetzungszahlen 175 f. Bestimmtheitsmaß 53 f. bimodale Verteilung 36 Binomialkoeffizient 67 Binomialverteilung 112 ff. binomische Formel 68 χ 2 -Anpassungstest 174 ff. χ 2 -Verteilung 159 f., 176 de Moivre, Grenzwertsatz von 129 f. de Morgansche Regeln 74 deskriptive Statistik 7, 10 ff. Dichtefunktion 97 ff. diskrete zufällige Variable 93 ff. diskretes Merkmal 11 Dreieckverteilung 111, 127 f. Effusiometer 140, 150, 161 Einfallsklasse 25 Elastizitätsmodul 144 Elementarereignis 69, 79 Elementarereignisraum 69 empirische Regressionsgerade 60 ff. empirische Verteilungsfunktion 22 ff. Entscheidungsregel 164 ff. Ereignis(se) 70 ff. -, abhängige 83 -, disjunkte 73 -, komplementäres 72, 74, 79 -, sicheres 70, 78 -, unabhängige 83 ff. -, unmögliches 70, 78 Ereignisalgebra 69, 72 ff. Ergebnisraum 69 Erwartungswert 101 ff. Exponentialverteilung 98, 111 Fakultät 66 Fehler 1. Art 165 f. funktionale Abhängigkeit 48, 105 Gauß, C. F. 59, 121 Gaußsche Glockenkurve 121 Gauß-Verteilung 121 ff. Geiger-Müller-Zählrohr 117 geometrisches Mittel 26, 37 ff. Gesetz der großen Zahlen 110 goodness-of-fit 174 Gosset, W. S. 150 Grad des Vertrauens 146 Grenzwertsatz von de Moivre 129 f. Grundgesamtheit 113, 119, 132 ff. Güte(funktion) 167 f. Häufigkeit 15, 18, 46 -, kumulierte 20 f. Häufigkeitstabelle 15, 46 -, klassierte 27, 32, 42 -, kumulierte 20 ff. -, unklassierte 27, 32, 42 Häufigkeitsverteilung 15 ff., 46 -, eindimensionale 15 -, zweidimensionale 46 häufigster Wert 26, 35 ff.

9 Sachwortverzeichnis 195 Histogramm 19 hoch-signifikantes Ergebnis 166 hypergeometrische Verteilung 117 ff. Hypothese 162 ff. Hypothesentest 134, 162 ff. induktive Statistik 8, 132 ff. Intervallschätzung 134, 145 ff. Irrtumswahrscheinlichkeit 165 kartesisches Produkt 75 Klassenbildung 17, 22 Klassenbreite 18 Klassendichte 18 Klassenmitte 18 klassierte Häufigkeitsverteilung 17 Kolmogorov, A. N. 78 Kombinatorik 66 ff. Komplement 72, 74 f., 79 Konfidenzintervall 146 ff. -für die Steigung der Regressionsgerade 157 f. -für die Varianz 159 ff. -für µ 146 ff. -für p 152 f. -für zwei Erwartungswerte 153 f. -für zwei Wahrscheinlichkeiten 155 f. Kontingenztafel 46 Korrelation 50 ff. Korrelationskoeffizient 53 f., 143 Korrelationsrechnung 52, 53 ff. Kovarianz 49 ff. kritischer Bereich 165 kumulierte Häufigkeiten 20 ff. Kurvenanpassung 58 ff. Lageparameter 26 ff. Laplace, Satz von 79 Laplace-Annahme 79 Leitfaden 139 f. lineare Regression 59 ff. lineare Transformation 30 links-steile Verteilung 37 Macht, Mächtigkeit 167 f. Median 31 ff. Merkmal 10 Merkmalsausprägung 10 Merkmalsträger 10 Methode der kleinsten Quadrate 59 ff. Modalklasse 35 ff. Modalwert 35 ff. Modus 35 ff. Normalverteilung 98, 120 ff. Nullhypothese 163 ff. Parameter 133 ff. parametrischer Test 162 Poisson, S. 115 Poisson-Verteilung 115 ff. Power 167 f. Permutationen 66 Primärstatistik 12 Punktschätzung 134 ff. Punktwolke 47, 58, 64 Quantil 24, 40, 147 Quartil 40 Quartilsabstand 39 radioaktiver Zerfall 117 f. Randhäufigkeiten 47 Rangkorrelationskoeffizient 57 Realisationen 92, 125, 135 Rechteckverteilung 98 f., 139 rechts-steile Verteilung 37 Regressionsgerade 60 ff., 141 ff., 157 Regressionsparameter 62 Regressionsrechnung 52, 58 ff. relative Häufigkeit 15, 18, 76 f. repräsentative Stichprobe 12 Residuum 62 Schätzfunktion 134 ff. Schätzprinzip 134 Scheinkorrelation 55 schließende Statistik 8, 132 ff. Sekundärstatistik 12 signifikantes Ergebnis 165 Signifikanzniveau 165 Spannweite 39 f.

10 196 Sachwortverzeichnis Stabdiagramm 17, 94 f. Standardabweichung 39, 41 ff., 106 ff. - einer statistischen Masse 41 ff. -einerzufälligen Variablen 106 ff. standardisierte zufällige Variable 109, 122 Standard-Normalverteilung 122 ff., 164 Standardunsicherheit des arithmetischen Mittels 139 statistische Elemente 10 statistische Masse 10 stetige Gleichverteilung 98 f. stetige zufällige Variable 96 ff. stetiges Merkmal 11, 17 Stichprobe 8, 12, 132 ff. Stichprobenfunktion 134 Stichprobenmittel 134 Stichprobenvariable 132 Stichprobenvarianz 135 stochastische Konvergenz 110 Streudiagramm 46 ff. Streuungsparameter 39 ff. Studentsche t-verteilung 150, 169 symmetrische Verteilung 104 t-test 168 f., 171 f. t-verteilung 150, 169 Tabellengestaltung 13 f. Teilerhebung 12 Testgröße 163 ff. totale Wahrscheinlichkeit 88 f. Totalerhebung 12 Trägheitsmoment 43 f. Treppenfunktion 23, 94 f. Unabhängigkeit 83 ff., 103 ff., von Ereignissen 83 ff. -vonzufälligen Variablen 103 ff., 132 unimodale Verteilung 36 unklassierte Häufigkeitsverteilung 17 Unsicherheit 138 ff., 143 ff. - beim Messen 138 ff. - der Steigung 143 f. unverbundene Stichproben 172 unverfälschte Schätzfunktion 136 ff. Urliste 15, 27, 31, 41, 46 Varianz 41 ff., 48, 101, 106 ff., einer zufälligen Variablen 101, 106 ff. -, empirische 41 ff., 48 Variationskoeffizient 39, 44 f. Venn-Diagramm 72 f. verbundene Stichproben 172 Versuch 69 Verteilung 94 Verteilungsfunktion 22, 93, 97 - einer zufälligen Variablen 93, 97 -, empirische 22 ff. Vertrauensintervall s. Konfidenzintervall Vertrauensniveau 146 Vertrauenswahrscheinlichkeit 146 Verzinsungsfaktor 37 Wachstumsfaktor 37 Wachstumsrate 37 Wahrscheinlichkeit 76 ff. -, bedingte 85 ff. -, totale 88 f. Wahrscheinlichkeitsbaum 87 f., 187 Wahrscheinlichkeitsdichte 97 ff. Wahrscheinlichkeitselement 99 Wahrscheinlichkeitsmasse 94 Wahrscheinlichkeitsrechnung 9, 66 ff. Wahrscheinlichkeitsverteilung 94 -, symmetrische 104 zentraler Grenzwertsatz 127 ff. Zentralwert 26, 31 ff. Ziehen mit Zurücklegen 81, 112 f. Ziehen ohne Zurücklegen 81, 87, 113, 117 zufällige Variable 91 ff. -, allgemeine 98 -, diskrete 93 ff. -, standardisierte 109, 122 -, stetige 96 ff. -, unabhängige 103, 108, 132 Zufall 68 ff. Zufallsexperiment 68 f. -, zusammengesetztes 75 Zufallsstichprobe 12, 132 ff. Zusammenhang zweier Messreihen 55