Einführung in die Statistik. Dr. Michael Kuttner Mag. Dietmar Knitel

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1 Einführung in die Statistik Dr. Michael Kuttner Mag. Dietmar Knitel

2 Statistik ein Gedicht Ein Mensch, der von Statistik hört, denkt dabei nur an Mittelwert. Er glaubt nicht dran und ist dagegen, ein Beispiel soll es gleich belegen: Ein Jäger auf der Entenjagd hat einen ersten Schuss gewagt. Der Schuss, zu hastig aus dem Rohr, lag eine gute Handbreit' vor. Der zweite Schuss mit lautem Krach lag eine gute Handbreit' nach. Der Jäger spricht ganz unbeschwert voll Glauben an den Mittelwert: Statistisch ist die Ente tot! Doch wär er klug und nähme Schrot - dies sei gesagt ihn zu belehren - er würde seine Chancen mehren: Der Schuss geht ab, die Ente stürzt, weil Streuung ihr das Leben kürzt! P.H. List Professor für Pharmazeutische Technologie Marburg a.d. Lahn

3 Der Forschungsprozess nach Rogge (1995) Anregung Alltagswissen Literatur und Experten Modelle Theorie Hypothesen Wissenschaftstheorie Operationalisierung Erhebungsmethoden Untersuchungsplan Messtheorie Testtheorie

4 Der Forschungsprozess nach Rogge (1995) Statistische Hypothesen Durchführung der Untersuchung Grundzüge der Statistik Datenaufbereitung und erste Ergebnisse Statistische Operationen Dokumentation und Publikation Ergebnisse Interpretation

5 Begriff Statistik Wissenschaftliche Methode zur zahlenmäßigen Erfassung, Untersuchung und Darstellung von Massenerscheinungen. (Duden Band 5: Das Fremdwörterlexikon 1975) Wissenschaftliche Methode: d.h. ein Verfahren mit definierten und kontrollierbaren Standards zahlenmäßige Erfassung: Aufgegriffen werden quantifizierbare Ausdrucksformen von Phänomenen, z.b. die Zahl der Schüler einer Schule; Die Mathematik fungiert dabei als Vermittlungssprache; Bedingung: Das Phänomen muss sich auch zahlenmäßig ausdrücken lassen. Untersuchung/Darstellung: Aufdeckung von Tendenzen, Zusammenhängen etc., mit Hilfe von statistischen Maßzahlen in Orientierung an die forschungsleitenden Fragen/Hypothesen Massenerscheinung: Es interessiert nicht das Einzelphänomen, Statistik sinnvoll ab = 30 Fälle, darunter mit gewissen Einschränkungen

6 Was? Statistik befasst sich mit Erhebung von Daten Wie kommt man zu der benötigten Information? Aufbereitung Reduktion auf Kenngrößen (Großteil der Information soll erhalten bleiben) Darstellung mit einfache Grafiken Präsentation Analyse Schlüsse, allgemeine Aussagen

7 Warum? Warum Statistik? Entscheidungshilfe z.b. zwei verschiedene Unterrichtsmethoden Welche soll eingeführt werden? Tieferes Verständnis bei Problemen z.b. Welche Faktoren beeinflussen die Lernfähigkeit? Richtung des Einflusses?

8 Fragen der Statistik Wie sollen welche Daten erhoben werden? (Datenerhebung) Wie viele Leute sollen befragt werden? Aus welcher Menge und wie soll die Zufallsauswahl erfolgen? Wie werden die Leute erreicht? Z.B. per Telefon. Welche Frage(n) sollen gestellt werden? Z.B. Wie viele Handys besitzen Sie? Was macht man mit nicht beantworteten Fragen? Erreicht man wirklich eine repräsentative Stichprobe?

9 Fragen der Statistik Wie soll man Daten beschreiben/aufbereiten? (Beschreibende Statistik) Welche Schlüsse lassen sich aus den Daten ziehen? Inwieweit sind die Beobachtungswerte repräsentativ? Sind beobachtete Zusammenhänge oder Veränderungen wirklich aussagekräftig bzw. zuverlässig oder könnten sie durch Zufall zustande gekommen sein?

10 Anwendungsbereiche Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik Beschreibung der Grundgesamtheit Grundgesamtheit Rückschluss auf die Grundgesamtheit Induktive Statistik Beschreibung der Stichprobe Stichprobenziehung Stichprobentheorie Stichprobe

11 Deskriptive Statistik Umfasst: Daten sammeln Daten präsentieren Daten charakterisieren Zweck Extraktion der Information, die in den Daten steckt, durch Datenaggregation (Häufigkeiten, Diagramme, Kennzahlen) Beispiel: Durchschnittliches Haushaltseinkommen in Österreich, Durchschnittliches Haushaltseinkommen in Ungarn

12 Induktive Statistik Umfasst Schätzen Hypothese testen Zweck mittels einer Stichprobe auf eine Grundgesamtheit schließen. Beispiel: 100 Telefoninterviews nach einer TV-Diskussion: Wer hat besser abgeschnitten, Kandidat A oder Kandidat B?

13 Grundbegriffe Untersuchungseinheit Merkmalsträger; Personen oder Objekte einer Stichprobe (Studenten, Probanden, Klassen ) Beobachtungseinheit kleinste Einheit, bei der Beobachtungen registriert werden. z.b. Haare eines Schülers (oft mit Untersuchungseinheit identisch) Merkmal Eigenschaft, Messgröße z.b. Geschlecht, Haarfarbe Merkmalsausprägung mögliche Werte eines Merkmals z.b. weiblich, männlich, 1,76 m

14 Grundparameter Vollerhebung vs. Stichprobe Wie viele Personen werden befragt und wie werden sie ggf. ausgewählt? Standardisierung des Fragenprogramms: Wie einheitlich und geplant wird befragt? Untersuchungsdesign: Wann und wie oft wird befragt? Frage- und Antworttypen: Welche Fragen werden verwendet und welche Antworten sind möglich? Befragungsmodus: Auf welche Weise wird befragt?

15 Messtheoretische Probleme Messung in den Naturwissenschaften Messwert = Vielfaches oder Teil einer Maßeinheit (z.b. cm, kg, sec) Messung im engen Sinne Messung in den Erziehungswissenschaften Zuordnung von Zahlen (Zeichen) zu Objekten oder Ereignissen gemäß Regeln (z.b. Geschlecht: Zahlenwerte w=1 und m=2) Messung im weiten Sinne, Skalierung 15

16 Skalentypen Es lassen sich folgende Skalentypen unterscheiden: Nominalskala Ordinalskala (Rangskala) Intervallskala (Abstandsskala) Verhältnisskala (Rationalskala) Metrische Skala 16

17 Nominalskala niedrigstes Niveau - eigentlich keine Skala Messwerte sind Namen Reihenfolge bedeutungslos o rot schwarz blond o blond rot schwarz Abstände bedeutungslos o Rot ist nicht weiter weg von Schwarz als Blond es gibt keinen Abstand zwischen Kategorien Verhältnisse bedeutungslos o Rot ist nicht doppelt so haarfarbig wie Schwarz

18 Nominalskala Willkürliche Zuordnung (z.b. Studienfach: 1=VS 2=NMS 3=BP) Mögliche Aussagen: - Gleichheit und Verschiedenheit: A = B oder A B Verwendbare Lage- und Streumaße: Modalwert (häufigste Ausprägung) Relative Anteile der einzelnen Ausprägungen Sinnlos wären: Median, Mittelwert, etc. Beispiele: Geschlecht, Augenfarbe, etc.

19 Ordinal- oder Rangskala Reihenfolge wichtig o schlecht normal gut o [gut schlecht normal] Rangordnung der Messwerte ist vorhanden (je höher der Messwert, desto ausgeprägter die Eigenschaft) Abstände zwischen den Messwerten nicht aussagekräftig Was ist der Abstand zwischen schlecht und gut? Verhältnisse bedeutungslos o 2 x schlecht = normal? o 3 x schlecht = gut?

20 Ordinal- oder Rangskala Mögliche Aussagen: Gleichheit und Verschiedenheit: A = B oder A B Größer-Kleiner-Beziehungen: A < B oder A > B (Note 2 ist besser als Note 4) Verwendbare Lage- und Streumaße, Berechnungen: Median Quartilsabstand Rangkorrelation Sinnlos wären: Mittelwert, Standardabweichung, Regression, Produkt- Moment-Korrelation Beispiele: Noten, Güteklassen, Windstärken, Beliebtheit von Schülern, etc.

21 Intervall- oder Abstandsskala Rangordnung der Messwerte ist vorhanden Messwertdifferenzen sind aussagekräftig (Unt. zw. 10 und 11 bzw. 18 und 19 ) Skala mit willkürlich festgelegtem Nullpunkt oder Durchschnitt Mögliche Aussagen: Gleichheit und Verschiedenheit: A = B oder A B Größer-Kleiner-Beziehungen: A = B, A < B oder A > B Gleichheit von Differenzen: d = A B Verwendbare Lage- und Streumaße, Berechnungen (bei Normalverteilung): Mittelwert Standardabweichung Kovarianz Regression Korrelation Beispiele: Temperatur in C, Intelligenzquotient

22 Verhältnis- oder Ratioskala Rangordnung der Messwerte ist vorhanden Messwertdifferenzen sind aussagekräftig Skala hat einen natürlichen Nullpunkt Aussagen über Verhältnisse sind möglich ( doppelt so warm ) Mögliche Aussagen: Gleichheit und Verschiedenheit: A = B oder A B Größer-Kleiner-Beziehungen: A = B, A < B oder A > B Gleichheit von Differenzen: d = A B Gleichheit von Verhältnissen: c = A / B Verwendbare Lage- und Streumaße, Berechnungen (bei Normalverteilung): Mittelwert Standardabweichung Kovarianz Regression Korrelation Beispiele: Körpergröße, Alter, Temperatur in Grad Kelvin

23 Skalentypen im Überblick Skalentyp/ Messniveau Eigenschaft Nominalskala vollständige, sich gegenseitig ausschließende Kategorien Ordinalskala Ordnung nach dem Grad der Ausprägung Rangfolge sichtbar Intervallskala Rangordnung mit definierten Abständen ohne absoluten Nullpunkt Verhältnisskala Rangordnung m. definierten Abständen mit absolutem Nullpunkt Beispiele Geschlecht, Studiengang, Nationalität, etc. Klein - mittel groß, Schulnoten, Motivationszustand Grad Celcius, Testnoten kg, cm, Grad Kelvin

24 Übung: Skalentypen Skalentyp: Nominal Ordinal Intervall Verhältnis Familienstand X Körpergröße X Art der Medaille X Farbe X Temperatur in C Nettomiete Anzahl von Äpfeln im Korb Prüfergebnis Temperatur in Kelvin Kinderzahl X X X X X X

25 Merkmalsskalen Zulässige Transformationen: Nominalskala: Jede umkehrbare und eindeutige Transformation Eindeutigkeit der Messwerte muss erhalten bleiben Z.B. Änderung der Klassenbezeichnungen Ordinalskala: Jede streng monotone Transformation Rangordnung der Messwerte muss erhalten bleiben Z.B. aus a,b,c,d,e wird 1,2,3,4,5 Intervallskala: Jede lineare Transformation der Form y=ax+b, a>0 Intervallverhältnisse zwischen den Messwerten müssen erhalten bleiben Z.B. lineare Transformationen von Kelvin Celsius Verhältnisskala: Jede lineare Transformation der Form y=ax, a>0 Verhältnisse der Messwerte selbst

26 Skalentypen im Überblick Quelle:

27 Grundgesamtheit und Stichprobe Je genauer die Stichprobe die Grundgesamtheit repräsentiert, desto präziser sind die Aussagen über die Population. Qualität der Stichprobe bestimmt durch Art des Auswahlverfahrens Aspekte bei der Auswahl der Untersuchungsstichprobe: Werden alle Elemente der Grundgesamtheit untersucht? Werden die Elemente nach festen Regeln ausgewählt? Basieren die Regeln auf einem Zufallsprozess? Wird die Grundgesamtheit vor der Ziehung (Zufallsauswahl) in homogene Gruppen eingeteilt? 27

28 Stichprobenfehler Beruht auf zufälligen Abweichungen der einzelnen Stichproben von der Grundgesamtheit Unvermeidlicher Fehler aber kein Fehler im eigentlichen Sinne (Wahl einer,,falschen" Stichprobe oder anderer methodischer Fehler) Ein-Stichproben-Problem: Wie lässt sich eine unbekannte Größe (z. B. Mittelwert) mittels einer Stichprobe schätzen und wie genau ist diese Schätzung? (42 von 100 Schülern, also 42% benutzen regelmäßig öffentliche Verkehrsmittel Erweiterbar von einer Schule auf eine Stadt,?) Zwei-Stichproben-Problem: Sind Unterschiede von zwei Stichproben-Mittelwerten,,rein zufälliger" Natur, oder liegt ein systematisch, bedeutender Unterschied vor Statistischer Zusammenhang: Gibt es einen Zusammenhang zwischen zwei Größen

29 Variabilität der Daten Daten sind zufallsabhängig eine andere Stichprobe würde zu anderen Daten führen Quelle:

30 Auswahlverfahren Grundgesamtheit / Population Teilerhebung Totalerhebung probabilistische Stichproben Nicht-probabilistische Stichproben Mehrstufige Auswahlverfahren geschichtete Auswahlverfahren proportional geschichtete Stichprobe disproportional geschichtete Stichprobe Einstufige Auswahlverfahren nicht-geschichtete Auswahlverfahren einfache Zufallsstichprobe Klumpenstichprobe Ad-hoc- Stichproben Theoretische Stichproben typische Fälle extreme Fälle Konzentrationsprinzip Schneeballverfahren Quotenauswahl

31 Empirische Verteilungen Häufigkeitsverteilung Von beobachteten Daten ausgehend n Untersuchungseinheiten des Merkmals X Merkmalsausprägungen (x 1,..., x k ) j-te Untersuchungseinheit (j=1,...,n), Ausprägung x i (i=1,...,k) Liste der beobachteten Merkmalsausprägungen: Beobachtungsreihe oder Urliste

32 Empirische Verteilungen Absolute Häufigkeiten: h i = Anzahl der Elemente, die eine bestimmte Merkmalsausprägung besitzen Relative Häufigkeit: f i = 1/n h i n= Gesamtanzahl der Untersuchten Vorsicht: Anzahl der möglichen Werte oft Anzahl der tatsächlichen Werte

33 Empirische Verteilungen Diskrete Merkmale: Einzelwerte Stetige Merkmale: Klasseneinteilung In beiden Fällen werden Häufigkeiten gezählt. Fehlerquelle bei Klasseneinteilung: Ungenaue Spezifikation der Grenzen

34 Darstellungsformen Stetige Merkmale: Klassen bilden Klassengrenzen: x 0, x 1,..., x k Häufigkeiten h i : Anzahl der Werte zwischen x i-1 und x i. Liegt ein Wert genau auf der Klassengrenze, wird er üblicherweise der unteren Klasse zugerechnet

35 Tabelle Darstellungsformen Häufigkeitsverteilung Ausprägung x i Anzahl Fam.mitglieder; h i Anteil Fam.mitglieder; f i 1 1 0, , , , ,14 Σ 42 1

36 Absolute Häufigkeit h Relative Häufigkeit f Darstellungsformen Grafik: Balkendiagramm für absolute und relative Häufigkeiten gleich Skalierung der y-achse Anzahl Familienmitglieder Anzahl Familienmitglieder 25 0,50 0, ,40 0, ,30 0, ,20 0,15 5 0,10 0,05 0 0, Merkmalsausprägung xi Merkmalsausprägung xi

37 Grafik: Histogramm Darstellungsformen Körpergröße in cm

38 Darstellungsformen Balkendiagramm: Abstand zwischen den Balken. Die Höhe stellt die Häufigkeit dar. Histogramm: Kein Abstand zwischen den Balken. Bei ungleich breiten Klassen ist die Fläche nicht die Höhe Maß für die Häufigkeit. Die Balkenhöhe entsteht durch Division von Häufigkeit und Klassenbreite (Höhe=h i /b i ).

39 Darstellungsformen Kreisdiagramm 1,2 Verkauf 1,4 3,2 8,2 1. Quartal 2. Quartal 3. Quartal 4. Quartal

40 Darstellungsformen Liniendiagramm: Schüler A Schüler B Schüler C 1 0 Test1 Test2 Test3 Test4

41 Summenhäufigkeitsfunktion Absoluten Summenhäufigkeiten H i : Fortlaufende Summierung (Kumulierung) der absoluten Häufigkeiten. H i Anzahl der Elemente mit Merkmalswert x i. H i = h 1 +h h i = Σ j h j für j=1,...,i und i=1,...,k Relative Summenhäufigkeiten F i : Fortlaufende Summierung der relativen Häufigkeiten. F i = f 1 +f f i = Σ j f j für j=1,...,i und i=1,...,k F i = H i /n für i=1,...,k

42 Summenhäufigkeitsfunktion Häufigkeiten aus Summenhäufigkeiten berechnen: h i = H i H i-1 (i=1,...,k) f i = F i F i-1 (i=1,...,k) wobei H 0 = F 0 = 0 Ausprägung x i Anzahl Fam.mitglieder; h i Anteil Fam.mitglieder; f i Anzahl höchstens x i Fam.mitglieder Anteil höchstens x i Fam.mitglieder 1 1 0,02 1 0, ,07 4 0, , , , , , Σ 42 1

43 Summenhäufigkeitsfunktion Summenhäufigkeitsfunktion - empirische Verteilungsfunktion F(x) - wird aus Summenhäufigkeiten bestimmt. F(x) gibt den Anteil der Elemente mit einem Merkmalswert x an. 0 für x < x 1 F(x) = F i für x i x < x i+1 (i=1,...,k-1) 1 für x x k

44 Summenhäufigkeitsfunktion Diskrete Merkmale Summenhäufigkeitsfunktion 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,

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