Grundlagen der Technischen Informatik

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1 Boolesche Algebra und Schaltalgebra Grundlagen der technischen Informatik Kapitel 2 Codierung Pascal A. Klein, M.Sc.

2 2. Codierung Einführung in die Codierung Zahlencodes BCD-Code (Binary Coded Decimal Code) Aiken-Code Exzess-Code Gray-Code Zusammenfassung Zeichencodes Fernschreibecode ASCII EBCDIC Codeumsetzer

3 2. Codierung 2. Einführung in die Codierung Definition: Code Ein Code ist eine Vorschrift zur eindeutigen Zuordnung der Zeichen einer Menge A (Ausgangsmenge) zu denjenigen Zeichen einer Menge B (Zielmenge). Die Zuordnung muss nicht eindeutig umkehrbar sein, obwohl sie es in den meisten Fällen ist. Zusammengesetzte Zeichen werden dabei als Codewörter bezeichnet. Codierungsregeln legen fest, wie die Zielmenge bei bekannter Ausgangsmenge gebildet wird. Die Codierung dient: dem zweckmäßigen und einfachen Übertragen und Verarbeiten von Informationen, zur Darstellung der Informationen mit einer möglichst geringen Anzahl von Zeichen, dem Erzielen einer gesicherten Datenübertragung. 3

4 2.2 Zahlencodes Von den Zahlencodes sind die Tetradischen Codes die am häufigsten verwendeten Codes. Sämtliche Tetradischen Codes verwenden zur Codierung eines beliebigen numerischen Zeichens (einer Ziffer) stets 4 Bit. Sie werden vorrangig zur Darstellung der dezimalen Ziffern benutzt. Die vier Bit zur Darstellung der Dezimalziffern werden als Tetrade bezeichnet. Mit diesen 4 Bit lassen sich 2 4 =6 Binärkombinationen bilden. Die zur Darstellung der Dezimalzahlen -9 nicht benötigten sechs Tetraden werden als Pseudotetraden bezeichnet. Zur Darstellung einer mehrstelligen Dezimalzahl mittels der Binärzahlen und wird für jede Dezimalstelle eine Tetrade (4 Bit) verwendet. Die Tetradische Codes sind auf ihre unterschiedlichen Anwendungsgebiet abgestimmt. Einige von Ihnen beruhen auf dem Dualsystem, während bei anderen die Stellenwerte nicht mit denen des Dualsystems übereinstimmen. Die wichtigsten Tetradischen Codes sind im Folgenden zum besseren Vergleich in einer gemeinsamen Tabelle 3. dargestellt. In der zweiten Zeile sind jeweils die Stellenwerte angegeben. Die Codes sind hinsichtlich ihrer Eignung für diverse Anwendungen auf die folgenden Merkmale hin zu überprüfen. Je mehr Merkmale auf einen Code zutreffen, desto vielseitig anwendbar wird er. Bewertbarkeit: Die Umwandlung einer binär codierten Zahl ist einfacher, wenn jeder Binärstelle eine Wertigkeit zugeordnet ist. Komplementierbarkeit: Eine Subtraktion innerhalb einer Rechenanlage geschieht in der Regel durch Addition des Komplements. Daher ist zum Rechnen ein Code von Vorteil, bei dem das (B-)-Komplement ohne Schwierigkeiten gebildet werden kann. abgeleitet vom griechischen tetra = vier 4

5 Konvertierbarkeit: Oftmals müssen binär verschlüsselte Dezimalzahlen in eine Dualzahl konvertiert werden. Dies sollte daher so leicht wie möglich von statten gehen. Symmetrie: Ein Code ist symmetrisch, wenn seine Tetraden bezüglich der Symmetrielinie(vgl. Tabelle 3.) symmetrisch ist. Mit anderen Worten wird ein Codewort invertiert, so entsteht das unechte Komplement dieses Codeswortes. Dies wirkt sich vorteilhaft auf arithmetische Operationen aus (vgl. Merkmal Komplementierbarkeit). Additionsregeln, Übertragsbildung: Entsteht bei der Addition zweier Dezimalzahlen ein Übertrag zur nächst höheren Dezimalstelle, so sollte bei der Addition der entsprechend codierten Dualzahlen ebenfalls ein Übertrag in die nächst höhere Tetrade entstehen. Hex. Dual BCD Aiken 3-Exzess Gray keine keine Pseudo- tetraden Pseudo- 4 5 Symme tetraden 5 trielinie Pseudo- A 7 tetraden B 5 8 C 2 Pseudo D 3 tetraden 7 9 E 4 8 Pseudo- Pseudo F 5 9 tetraden tetraden Tabelle 2.: Tetradische Codes 5

6 Die Addition läuft bei allen Zahlencodes nach dem selben Grundprinzip ab. Summanden Beginn in Tetraden zerlegen & niedrigstwertige auswählen aktuelle Tetraden tetradenweise Addition bis alle addiert duale Addition Überprüfung & Korrektur Übertrag nächst höhere Tetrade auswählen tetradenweise Addition Fertig Endergebnis als Tetraden Abbildung 2.2:Addition bei Zahlencodes (nach DIN 66) Die gegebenen Summanden werden ziffern- bzw. tetradenweise dual addiert. Bei der dualen Addition der 6

7 einzelnen Tetraden werden diese wie zwei vorzeichenlose Dualzahlen der Wortlänge 4 Bit behandelt. Die Addition der gegebenen Zahlen beginnt stets mit den niedrigstwertigen Tetraden der beiden Summanden. Nach der dualen Addition dieser Tetraden werden abhängig vom verwendeten Zahlencode verschiedene Überprüfungen durchgeführt. Durch diese Überprüfungen wird festgestellt, ob eine Korrekturrechnung für die gerade berechnete Tetrade durchgeführt und ob ein Übertrag in die nächst höhere Tetrade berücksichtigt werden muss. Erst danach kann nach selbigem Verfahren mit der Addition der nächst höheren Tetrade fortgefahren werden, wobei hierbei nun ggf. auch noch ein Übertrag zu addieren ist. Der Prozeß "Überprüfung & Korrektur" wird in den folgenden Unterkapiteln für die verschiedenen Zahlencodes genauer spezifiziert BCD-Code (Binary Coded Decimal Code) Die Abkürzung BCD steht für binär codierte Dezimalzahlen. Dementsprechend ist der BCD-Code so aufgebaut, dass jede Dezimalziffer -9 einfach als Dualzahl geschrieben wird. Daher handelt es sich bei diesem Code auch um eine direkte duale Verschlüsselung. Die Stellenwerte der Tetraden entsprechen demzufolge genau denen des Dualsystems, nämlich (von links nach rechts gelesen): 2 3 =8, 2 2 =4, 2 =2, 2 =. Aufgrund dieser Stellenwertigkeit wird der BCD-Code auch Code genannt. Beispiel: Die vierstelligen Dezimalzahl 968 lautet im BCD-Code folgendermaßen: Eine Komplementbildung ist ohne weiteres nicht möglich. 7

8 Die Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" sieht für den BCD-Code wie folgt aus: Summe =PT? Übertrag +II keine Korrektur Abbildung 2.3: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den BCD-Code Tritt bei der dualen Addition ein Übertrag in die nächst höhere Tetrade auf oder entspricht das Additionsergebnis einer Pseudotetrade (PT), so muss eine Korrekturaddition (+6 bzw. + 2 ) durchgeführt werden. Beispiel: Addition im BCD-Code Übertrag. Summation: Pseudotetrade: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: =

9 2.2.2 Aiken-Code Beim Aiken-Code handelt es sich um einen symmetrischen Code. Ungerade Dezimalziffern sind genauso wie beim BCD- Code durch eine in der niedrigstwertigen Binärstelle gekennzeichnet. Die Binärstellen des Aiken-Code haben (von links nach rechts gelesen) die Stellenwerte 2, 4, 2,. Deshalb wird der Aiken-Code auch Code genannt. Aufgrund der symmetrischen Struktur dieses Codes kann das Komplement einfach durch bitweise Invertierung eines Codewortes gebildet werden. Die Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" sieht wie folgt aus: Hierbei wird überprüft, ob das Ergebnis der dualen Addition einer Pseudotetrade (PT) entspricht. Ist dies der Fall, so muss überprüft werden, ob ein Übertrag vorlag. Falls ein Übertrag entstanden ist, wird die Zahl 2 (6 ) subtrahiert, ansonsten wird diese Zahl addiert. Summe =PT? Übertrag -II +II keine Korrektur Abbildung 2.4: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den Aiken-Code 9

10 Falls ein Übertrag in die nächst höherer Tetrade entsteht, wird dieser auf jeden Fall bei der dualen Addition der nächst höherer Tetrade berücksichtigt. Beispiel: Addition im Aiken-Code Übertrag. Summation: Pseudotetrade: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: = Exzess-Code Der 3-Exzess-Code entsteht aus der Addition der Dualzahl 2 zu den Worten des BCD-Codes. Hierbei handelt es sich ebenfalls um einen symmetrischen Code, der jedoch im Gegensatz zum BCD- oder Aiken-Code keine Stellenwertigkeit aufweist. Das Komplement kann einfach durch bitweise Invertierung eines Codewortes gebildet werden. Bei der Addition zweier Dezimalzahlen im 3-Exzess-Code, muss nicht geprüft werden, ob eine Pseudotetrade erzeugt wurde. Lediglich das Auftreten eines Übertrages muss kontrolliert werden (vgl. folgende Abb. 3.5). Der gegebenenfalls entstandene Übertrag wird auf jeden Fall bei der dualen Addition der nächst höherer Tetrade berücksichtigt.

11 Übertrag +II -II Abbildung 2.5: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den 3-Exzess-Code Beispiel: Addition im 3-Exzess-Code Übertrag. Summation: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: = Gray-Code Der Gray-Code findet weniger Einsatz in arithmetischen Operationen, sondern wird hauptsächlich für die Analog-Dital- Umsetzung benutzt. Der Gray-Code ist ein einschrittiger Code, d.h. beim Übergang von einem Codewort auf das nächstfolgende ändert sich stets nur ein einziges Bit (Binärstelle). Daher können während der Übergänge keine Zwischenwerte auftreten, wie dies beispielsweise beim BCD-Code beim Übergang von dezimal 7 ( 2 ) nach 8 ( 2 ) geschehen kann. In diesem Fall ändern sich nämlich vier Binärstellen auf einmal, so daß kurzzeitig Zwischenwerte auftreten können. Im Extremfall sind dies die ( 2 ) oder die 5 ( 2 ). Dies kann dann zu erheblichen Fehlern führen.

12 Der von E. Gray entwickelte Code wurde von Glixon so geändert, dass bei einem Übergang von dezimal 9 nach sich ebenfalls nur eine Binärstelle ändert, und der Code damit zyklisch wird. Dezimalzahl ursprünglicher Gray-Code zyklischer Code nach Glixon Der Gray-Code wird z.b. bei digitalen Meßwaagen, Winkelgebern etc. eingesetzt. In der folgenden Grafik ist eine mit dem Glixon-Code codierte Winkelscheibe abgebildet. Die vier konzentrischen Ringe stellen die vier Binärstellen dar. Der innerste Ring repräsentiert dabei das höchstwertige Bit und ein graues Kreissegment entspricht einer logischen. Der aktuelle Wert kann über eine Fotozelle (Scanner) ermittelt werden. Der Gray-Code läßt sich rechnertechnisch aus den Dualzahlen sowohl mittels eines Programms (SW) als auch mit einem Rechenwerk (HW) generieren. 2

13 Abbildung 2.6: Winkelscheibe mit Glixon-Code 3

14 2.2.5 Zusammenfassung Die folgende Tabelle stellt nochmals die kennengelernten Tetraden-Codes bezüglich ihrer Merkmale gegenüber. Merkmal BCD Code Aiken Code 3-Exzess Code Gray-Code gut, da die Codes Stellenwerte aufweisen Bewertbarkeit Komplement schwierig, da -bildung, d.h. eine Subtraktion Umrechnung notwendig ist Konvertierbarkeit direkt identisch schlecht, da die Codes keine Stellenwerte aufweisen einfache Umrechnung durch Vertauschen von en und en in jeder Stelle, da symmetrische Codes Fallunterscheidung nötig => ggf. Korrekturaddition einfach immer 2 subtrahieren findet hier keine Anwendung aufwendig Symmetrie nicht vorhanden vorhanden nicht vorhanden Addition schwierig, da das Auftreten von einfach, da die schwierig, Code sechs unterschiedlichen Pseudo- Tetraden erkannt werden muß. Korrektur nur vom wird jedoch Übertrag abhängt i. d.r.nicht für Arithmetik genutzt. Weiterführende Frage: Wie könnte für die einzelnen Zahlencodes eine Rechenvorschrift für die Subtraktion lauten? 4

15 2.3 Zeichencodes Die Aufgabe alphanumerischer Codes ist die Darstellung und Übertragung von Buchstaben und Ziffern. Hierzu werden in der Praxis auch Zeichen mit besonderer Bedeutung, also Sonderzeichen, gezählt. Der Symbolumfang beträgt daher üblicherweise mindestens: 26 Buchstaben 5 Satzzeichen Sonstige 5 Symbole Hieraus ergibt sich eine erforderliche Wortlänge von mindestens ld [5] 5,6 => 6 Bit. Aus den unterschiedlichen Anforderungen und Möglichkeiten der Datenübertragung in Netzen der Telekommunikation wurden mehrere internationale Normen entwickelt. Je nach historischem Stand der Technik und vorrangiger Aufgabe entstanden Codes von verschiedenem Umfang: Bezeichnung des Codes Fernschreibcode CCITT Nr. 2 (5 Spurlochstreifencode, 932) 26 Buchstaben bzw. Zahlen&Sonderzeichen + 2 Umschalten + Zwischenraum + Lochstreifentransport CCITT Nr. 5 ISO-7-Bit-Code 28 Zeichen (US)ASCII (American Standard Code for Information Interchange) EBCDIC-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) Wortlänge 5 bit 7 bit 8 bit IBM-Zeichensatz für den PC 8 bit 5

16 2.3. Fernschreibecode Der Fernschreibecode oder Lochstreifencode ist der älteste der genannten Codes. Die folgende Abbildung zeigt exemplarisch einen Lochstreifenabschnitt, der die Nachricht "Komm um 3 Uhr" verschlüsselt. Zwischenraum Umschaltung Zahl Buchst K O M M U M 3 U H R Klartext. Informat.spur 2. Informat.spur Transportlochung 3. Informat.spur 4. Informat.spur 5. Informat.spur Die kleineren Löcher in der Mitte des Lochstreifens dienen dem Transport des Lochstreifens (Transportlochung) und ergeben gleichzeitig eine Art Takt für die Codewortfolgen. Ein Zeichen der codierten Nachricht entspricht einer Spalte auf dem Lochstreifen (.-5. Informationsspur). Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die so verschlüsselbaren Zeichen. Lochstreifencode, CCITT-Code Nr. 2: 6

17 Nummer des Code- Worts Informationsstellen Trans port und Takt Buchstaben Codierte s Symbol Ziffern und Sonderzeichen 2 T A - 2 B? 3 C M 4 D + 5 E 3 6 F 7 G 8 H 9 I 8 J Klingel K ( 2 L ) 3 M. 4 N, 5 O 9 6 P 7 Q 8 R 4 9 S ' 2 T 5 2 U 7 22 V = 23 W 2 24 X / 25 Y 6 26 Z + 27 < < 7

18 28 29 Buchstabe 3 Zahl&Sonderz. 3 Zwischenraum 32 Tabelle 2.2: Lochstreifencode, CCITT-Code Nr. 2. Aufgrund der technischen Randbedingungen des letzten Jahrhunderts (hauptsächlich der geringen Übertragungsrate) wurde die Wortlänge auf 5 bit begrenzt. Da der geforderte Symbolumfang jedoch deutlich größer als 2 5 =32 ist, wurden die Codewort einfach doppelt belegt, d.h. jedem Codewort ist sowohl ein Symbol des Teilalphabets "Buchstabe" als auch ein Symbol der Teilalphabets "Zahlen & Sonderzeichen" zugeordnet. Hieraus folgte die Notwendigkeit einer Kennzeichnung, aus der der Empfänger auf das jeweils gültige Teilalphabet schließen kann. Hierzu wurden die Codeworte mit den Nummern 29 und 3 als Umschaltzeichen definiert: Dem Codewort 29 (3) folgen solange Symbole, die als Buchstaben (Zahl o. Sonderzeichen) zu interpretieren sind, bis das jeweils andere Umschaltzeichen gesendet wird. Die Interpretation der Lochstreifencodes wird dadurch abhängig von der Vorgeschichte; zudem wird die Menge der übertragbaren Nachrichten pro Zeiteinheit in Abhängigkeit von der Häufigkeit der Umschaltsymbole reduziert. Um diese Verluste nicht größer als nötig werden zu lassen, wurde das Codewort mit der Nummer 3 in beiden Teilalphabeten als Zwischenraum definiert. 8

19 2.3.2 ASCII Der ASCII- (American Standard Code for Information Interchange), oder auch CCITT-Code Nr. 5 genannt, hat die zur Zeit weltweit größte Bedeutung für rechnerinterne Darstellung und für die Datenübertragung. Auf der Basis des ursprünglich für den englischsprachigen Raum konzipierten Codes wurden auch zahlreiche Varianten entwickelt, die innerhalb der Sonderzeichen auch andere Codierungen zulassen wie etwa Codierung der Umlaute der deutschen Sprache. Die folgende Tabelle zeigt die Bedeutung der einzelnen Steuerzeichen, Tabelle 2.4 die Zuordnung der Codeworte zu den Symbolen. NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF alle Leit. NUL Start Of Heading Start Of TeXt End Of TeXt End Of Transm ENQuiry ACKnowledged BELI BackSpace Horizontal Tab Line Feed VT FF CR SO SI DLE DCI XON DC3 XOF NAK Vertical Tab Form Feed Carriage Return Shift Out Shift In Data Link Space Device Control XON protocol Device Control 3 XOFf protocol Not AcKnow. SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US DEL SYNchron. Idle End Transm. Block CANcel End of Medium SUBstitute ESCape File Separator Group Separator Record Separator Unit Separator DELete Tabelle 2.3: ASCII: Abkürzungen und Vollnamen der Steuerzeichen. 9

20 Bit-Nr Steuerzeic hen Codierte Symbole Ziffern & Sonderzeichen Buchstaben & Sonderzeichen NUL DEL P ` p SOH DC! A Q a q 2 STX DC2 " 2 B R b r 3 ETX DC3 # 3 C S c s 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f v 7 BEL ETB ' 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y LF SUB n : J Z j z VT ESC + ; K [ k { 2 FF FS, < L \ l 3 CR GS - = M ] m } 4 SO RS. > N ^ n ~ 5 SI US /? O _ o DEL Tabelle 2.4: CCITT-Code Nr. 5, auch ASCII genannt EBCDIC Der EBCDI-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) wurde von IBM entwickelt. Er erfüllt ähnliche Aufgaben wie der ASCII-Code, verfügt jedoch über deutlich mehr Steuerzeichen für die Steuerung innerhalb von Rechnersystemen. Auch hier soll auf die Bedeutung der Steuerzeichen nicht näher eingegangen werden. 2

21 NUL DEL DS SP - SOH DC SOS / a j A J STX DC2 FS SYN b k s B K S 2 ETX TM c l t C L T 3 PF RES BYP PN d m u D M U 4 HT NL LF RS e n v E N V 5 LC BS ETB UC f o w F O W 6 DEL IL ESC EOT g p x G P X 7 CAN h q y H Q Y 8 RLF EM i r z I R Z 9 SMM CC SM! : VT CU CU2 CU3. $, # FF IFS DC4 < % CR IGS ENQ NAK ( ) - ' SO IRS ACK + ; > = SI IUS BEL SUB /? " Tabelle 2.5: EBCDI-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code). Der IBM-Zeichensatz des PC's basiert auf dem ASCII-Code, verfügt allerdings über zahlreiche Erweiterungen sowohl zur Darstellung national relevanter Symbole als auch zur Erstellung einfacher Grafiken bestehend aus verschiedenen Linien. Diese Blockgrafik ist als Vorstufe zur heute verbreiteten Fenstertechnik (Windows) zu sehen. Ihr Vorteil liegt dabei in der einfachen Erstellung und kompakten Speicherung anwendungsbezogener Tabellen oder Fenster. 2

22 2.4 Codeumsetzer Bisher wurden einige Codes zur Verschlüsselung vorgegebener Informationen wie beispielsweise Buchstabenfolgen oder Dezimalzahlen dargelegt. In diesem Kapitel soll abschließend noch die Überführung bereits codierter Informationen in einen anderen Code betrachtet werden. Dies geschieht mittels eines Codeumsetzers, der die binärcodierten Informationen eines Codes in einen anderen Code 2 umsetzt. Beispiel: Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment-Code Code : BCD, Binärcode, rechnerinterner Verarbeitungscode Code 2: 7-Segment-Code, hardwarebezogener "Ansteuerungscode" für bestimmte Datensichtgeräte Der 7-Segment-Code wurde zur Ansteuerung von sieben Segmenten (z.b. mechanische Klappen oder LEDs) entwickelt, die auf Grund ihrer Anordnung die Darstellung der zehn Ziffern sowie einiger Buchstaben erlauben. Aus der Codegegenüberstellung (vgl. Tab) können nun die Vorschriften zur Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment- Code abgeleitet werden. In diesem Beispiel soll eine LED der 7- Segment-Anzeige aufleuchten, wenn sie mit einer logischen angesteuert wird. Die folgende Abbildung zeigt die Anordnung der Segmente S - S7. S S3 S2 S4 S6 S5 S7 22

23 Dezimalziffer 7-Segment-Code BCD-Code S S2 S3 S4 S5 S6 S7 X 3 X 2 X X Die Implementierung dieser Vorschriften kann auf unterschiedliche Arten erfolgen.. Implementierung mittels Hardware: Schritt : Festlegen der Richtung, hier ist nur die Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment- Code sinnvoll. Schritt 2: Aufstellen der Funktionsterme für jedes der 7 Segmente mittels einer Funktionsgleichung oder eines KV-Diagrammes => S = f(x 3, X 2, X, X ) S2 = f(x 3, X 2, X, X )... S7 = f(x 3, X 2, X, X ) Schritt 3: Vereinfachung der Funktionsterme: Entweder jeder für sich alleine betrachtet oder unter Berücksichtigung gemeinsamer Ausdrücke (Funktionsbündel 2 ) Schritt 4: Fertigung der Schaltung 2 Dies ergibt ggf. Vorteile für die spätere hardwaremäßige Realisierung. 23

24 2. Implementierung mittels Software:. Möglichkeit: Schritt : Festlegung des Codes, der Zielcode der Codeumsetzung ist Schritt 2: Aufstellen der Zuordnungstabelle Schritt 3: Programmierung als table-look-up-prozeß Schritt 4: Compilieren bzw. Assemblieren des Source- Codes 2. Möglichkeit: Schritt : Festlegung des Codes, der Zielcode der Codeumsetzung ist Schritt 2: Entwurf eines Algorithmus zur Codeumsetzung Schritt 3: Implementierung des Algorithmus Schritt 4: Compilierung bzw. Assemblieren des Source- Codes Das Prinzip der Implementierung mittels Hardware verdeutlicht die folgende Abbildung. input: X 3 a Xb 2 Xc dx S S3 S2 Decoder S4 S6 S5 S7 Weiterführende Frage: Entwickle eine Schaltung für den Decoder der obigen Schaltung 24