1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen

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1 Liebe Nutzerin, lieber Nutzer, auf den folgenden Seiten finden Sie die Lösungen und Lösungsbildschirme zu dem Heft Arbeiten mit dem CAS zu Lambacher Schweizer 9/10 Thüringen. Die Lösungen sind folgendermaßen zu verstehen: Inhalte, die kursiv gesetzt sind, stellen Überlegungen, Hinweise, Gedankengänge dar. Normal gesetzte Inhalte wiederum sind als möglicher Heftaufschrieb der Schülerinnen und Schüler zu verstehen. Lambacher Schweizer 5 Niedersachen Digitaler Unterrichtsassistent ISBN Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2012

2 1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen Seite 8 Aufgabe 1 a) : f (x) = 4 x 3 g (x) = 3 2 x 3 h (x) = 1 2 x + 4 nicht gezeichnet j (x) = 2 3 x + 3 k (x) = 1 2 x 4 l (x) = 3 2 x + 3 b) n: Verschiebung der Funktion entlang der y-achse P (0 n) ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-achse. m: Anstieg der Funktion m > 0: Die Funktion ist monoton wachsend m < 0: Die Funktion ist monoton fallend Wenn m 1 < m 2, dann ist die Funktion f 2 steiler. Seite 9 Aufgabe 2 n steht für den y-wert, in dem die Funktion die y-achse schneidet. m wird berechnet als Quotient m = y 0 x. 0 x 0 und y 0 sind die Schnittstellen der Funktion mit den Achsen. Aufgabe 3 a) Für das Bild () nutzt man folgende Funktionen: y = 4 x + 3, y = 3 x + 3, y = 2 x + 3, y = x + 3, y = 1 2 x + 3, y = 3, y = 1 2 x + 3, y = x + 3, y = 2 x + 3, y = 3 x + 3, y = 4 x + 3, Alternativ ist auch folgende Eingabe möglich: y = 6 4, 3, 2, 1, 1 2, 0, 1 2, 1, 2, 3, 47 x + 3 b) Die Funktion verläuft parallel zur x-achse für m = 0, also y = 3. c) Hierzu muss die Größe des Wertes m aus der allgemeinen linearen Funktion y = m x + n betrachtet werden. Für m > 0 werden die Funktionswerte größer, für m > 0 werden die Funktionswerte kleiner. Aufgabe 4 Mögliche Lösungen sind: y = 2 x 5, y = 1 2 x + 1, y = x + 7, y = 7 x + 31 () Der Zusammenhang zwischen m und n kann bei der Kontrolle schnell überprüft werden: n = 3 4 m 2

3 1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen Aufgabe 5 a) Für das Bild () nutzt man folgende Funktionen: y = 2 x 5, y = 2 x 4, y = 2 x 3, y = 2 x 2, y = 2 x 1, y = 2 x, y = 2 x + 1, y = 2 x + 2, y = 2 x + 3, y = 2 x + 4, y = 2 x + 5 Alternativ ist auch folgende Eingabe möglich: y = 2 x + 6 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 7 Den gewünschten Bildausschnitt erhält man nach dem Anklicken von mit folgender Fenster-Einstellung (): b) Für das Bild () nutzt man folgende Funktionen: y = 1 2 x + 2, y = 1 2 x + 1, y = 1 2 x, y = 1 2 x 1, y = 1 2 x 2, y = 2 x + 4, y = 2 x + 3, y = 2 x + 2, y = 2 x + 1, y = 2 x, y = 2 x 1, y = 2 x 2, y = 2 x 3, y = 2 x 4 Alternativ ist auch folgende Eingabe möglich: 1 y = 2 x + 6 2, 1, 0, 1, 27 y = 2 x + 6 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 47 Den gewünschten Bildausschnitt erhält man nach dem Anklicken von mit folgender Fenster-Einstellung (Fig. 4): Fig. 4 3

4 1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen Aufgabe 5 Um danach die Orthogonalität der Geraden wieder herzustellen, muss im Menü Zoom Quadratisch angeklickt werden. Aufgabe 6 a) Die Funktionen können einzeln eingegeben werden oder wie in. b) Ein Graph wird entlang der y-achse jeweils um 0,5 verschoben. 2 c) 0 = 3 ( 1 ) t 4 t = 3 2 d) 4 = t t = 8 Seite 10 Aufgabe 7 a) Um eingeschränkt zu zeichnen, müssen die Randpunkte des Intervalls berechnet werden. f 1 ( 0 ) = 2, f 1 ( 6 ) = 8, f 2 ( 6 ) = 8, f 2 ( 20 ) = 0 b) Die Funktionen werden mit eingeschränktem Definitionsbereich dargestellt. Dazu erfolgt die Eingabe wie in Fig. 4. Fig. 4 4

5 1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen Aufgabe 8 y = 2 x + 7 mit D f 1 x 4 Aufgabe 9 Strecke AB : y = 4 x + 13 mit 1 x 3 Strecke BC : y = 4 5 x 7 5 mit 3 x 8 Strecke AC : y = 4 7 x mit 1 x 8 Aufgabe 10 a) Strecke A B : y = 4 x + 13 mit 3 x 1 Strecke B C : y = 4 5 x 7 5 mit 8 x 3 Strecke A C : y = 4 7 x mit 8 x 1 Fig. 4 5

6 1 Lineare Funktionen und stückweise lineare Funktionen Aufgabe 10 b) Der rechte Winkel zwischen zwei Funktionen entsteht durch m 1 m 2 = 1. Ein mögliches Dreieck ist: y = 2 x mit 0 x 4 y = 1 2 x + 10 mit 4 x 8 y = 6 8 x mit 0 x 8 Aufgabe 11 a) y = 2 x mit 0 x 3 y = 6 mit 3 x 7 y = 2 x + 20 mit 7 x 10 b) y = x + 1 mit 1 x 4 y = x + 9 mit 1 x 4 y = 5 mit 4 x 10 y = x 5 mit 9 x 10 y = x + 15 mit 9 x 10 Aufgabe 12 a) Um die Koordinaten der Punkte besser bestimmen zu können, wurden diese auf das Geländer gesetzt (). Im Koordinatensystem wurden näherungsweise folgende Punkte abgelesen: P 1 (1 4), P 2 (8 8), P 3 (14 8), P 4 (22 3), P 5 (24 3), P 6 (26 2). Folgende Funktionen bestimmen näherungsweise die Brücke: y = 4 7 x oder y = 0,57 x + 3,43 mit 1 x 8 y = 8 mit 8 x 14 y = 5 8 x oder y = 0,625 x + 16,75 mit 14 x 22 y = 3 mit 22 x 24 y = 0,5 x + 15 mit 24 x 26 b) Näherungsweise kann man mit den Anstiegen m = 1 2 und m = 1 2 arbeiten. Wer das Bild genauer beschreiben möchte, muss für jedes Spannseil eigene Punkte ablesen. Fig. 4 y = 0,5 x + 8,5 mit 16,5 x 0 y = 0,5 x + 6,5 mit 12,5 x 0 y = 0,5 x + 4,5 mit 8,5 x 0 y = 0,5 x + 2 mit 4 x 0 y = 0,5 x + 2 mit 0 x 4 y = 0,5 x + 4,5 mit 0 x 5,5 y = 0,5 x + 6,5 mit 0 x 5,5 y = 0,5 x + 8,5 mit 0 x 5,5 Fig. 5 6

7 2 Lineare Gleichungssysteme Seite 11 Aufgabe 1 a) Exakte Lösung 4 x y = 3 x + 2 y = 1 7 x = 9, y = L = 6 ( ) 7 b) Näherungslösung Bestimmung des Schnittpunktes der Graphen (): L = {(0,78 0,11)} c) Es gibt keine Lösung (No Solution). Im Grafikmodus sind die angezeigten Geraden parallel (). Aufgabe 2 Individuelle Lösungen Ein mögliches Beispiel ist: Bestimmen der Geradengleichung mithilfe eines weiteren Punktes y = 5 7 x y = x + 1 L = {(3, 2)} Fig. 4 Grafische Veranschaulichung Fig. 4 7

8 2 Lineare Gleichungssysteme Seite 12 Aufgabe 3 a) Eine Lösungsmöglichkeit ist: g 1 : P (0 2) Q (3 0) g 2 : P (0 4) Q (7 0) m und n der Funktionsgeraden können auch in der Abbildung abgelesen werden. L = 6 ( ) 7 6 (4,85 1,23) 7 b) Eine Lösungsmöglichkeit ist: g 1 : P (0 3) Q ( 6 5) g 2 : P (0 3) Q (4 0) m und n der Funktionsgeraden können auch in der Abbildung abgelesen werden. 72 L = 6 ( ) 7 6 ( 10,29 10,71) 7 Fig. 4 Aufgabe 4 a) P 1 ( 3 2) und P 2 (7 2) b) Definition einer allgemeinen linearen Funktion f (x) = m x + n Aufstellen des Gleichungssystems und Lösen nach m und n. Einsetzen von m und n in die Funktionsgleichung f ( 3) = 2 2 = 3 m + n f (7) = 2 2 = å m + n 2 f ( x ) = 5 x c) (Fig. 5) f (x) = m x + n 2 f ( 3 ) = 4 1 f ( 8 ) = 9 m = und n = f (x) = 19 x Fig. 5 Aufgabe 5 a) 5 3 x 2 y = 1 b) 3 m + n = x + 8 y = 23 4 m + n = 3 L = 6 ( 3 3 ) 7 m = 5 7 ; n = 1 7 Aufgabe 6 2 L = 6 ( 1 t ) 7 (Fig. 6) Die Lösung ist ganzzahlig z. B. für t = 2, 1, 1, 2, 1 2, 1 3, 1 5. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für t. Fig. 6 8

9 2 Lineare Gleichungssysteme Seite 13 Aufgabe 7 a) 2 x 4 3 y = 4 6 x 4 y = 2 Die Graphen der Funktionen verlaufen parallel (). Es gibt keine gemeinsamen Punkte. Das LGS hat keine Lösung, deshalb zeigt das CAS No Solution an. 1 b) 2 x y 1 = 0 3 x + 2 y = 6 Die Graphen der Funktionen liegen übereinander (). Die Funktionen sind identisch. Es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte. Die Lösung des LGS ist eine Gerade. Die durch das CAS angezeigte Lösung bedeutet, dass für y jede reelle Zahl eingesetzt werden kann. Die Angabe der Lösung erfolgt mit: 2 (y 3) 2 x = 3 = 3 y + 1, y * R Aufgabe 8 a) x = 2 t 4, y = 10 t 4 keine Lösung für t = 4 eine Lösung für t 4, t * R\ 6 47 unendlich viele Lösungen für kein t (t* ) b) Fig. 4 5 x = 12 t + 36, y = 3 t t + 12 keine Lösung für t = 3 eine Lösung für t 3, t * R\ 6 37 unendlich viele Lösungen für kein t (t* ) c) Fig. 5 x = c 48 6, y = c, c * R keine Lösung für t 32, t * R\ eine Lösung für kein t (t* ) unendlich viele Lösungen t = 32 Der ClassPad zeigt hier nicht an, dass die Funktionsgleichungen für t = 32 identisch sind. Hier wird ein kritischer Umgang mit den Lösungen des CAS empfohlen. Fig. 4 Fig. 5 Aufgabe 9 a) Individuelle Lösungen Mögliche Beispiele: 1. Bestimmen der Geradengleichung mithilfe eines weiteren Punktes (Fig. 6) y = 2 3 x y = 7 x 9 L = {( 2, 5)} Fig. 7: Grafische Veranschaulichung Fig. 6 Fig. 7 9

10 2 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 9 2. Bestimmen der Geradengleichung mithilfe eines weiteren Punktes () y = 2 7 x y = 7 x + 19 L = {( 2, 5)} : Grafische Veranschaulichung Der CAS-Rechner kann an dieser Stelle auch so eingesetzt werden, dass die Lösungen nur über die Graphen kontrolliert werden. b) Individuelle Lösungen - Mögliche Beispiele: 1. () y = 3 2 x 4 I 2 2 y = 3 x 8 2. (Fig. 4) 1 2 y = 3 4 x y = x 8 3 Fig. 4 c) Individuelle Lösungen Mögliche Beispiele: Die Geraden haben den gleichen Anstieg. 1. (Fig. 5) y = x + 3 y = x 4 2. (Fig. 6) y = 3 2 x 4 y = 3 2 x + 4 Fig. 5 Fig. 6 Aufgabe 10 3 x 2 = y 2 x + 1 = 4 y x 5 y = 1 Die Graphen der linearen Funktionen verlaufen alle durch einen gemeinsamen Punkt. Fig. 7 10

11 2 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 11 a) Seitenhalbierende s a A (3 7), M a (9,5 1,5) s a : y = x Seitenhalbierende s b B (6 0), M b (8 5) s b : y = 5 2 x 15 Seitenhalbierende s c C (13 3), M c (4,5 3,5) s c : y = 1 17 x Schnittpunkt der Seitenhalbierenden: S ( ) b) Mittelsenkrechte m a M a (9,5 1,5), m BC = = 3 7, m 7 a = 3 m a : y = 7 3 x Mittelsenkrechte m b M b (8 5), m AC = = 2 5, m b = 5 2 m b : y = 5 2 x 15 Mittelsenkrechte m c M c (4,5 3,5), 0 = 7 m AB 3 6 = 7 3, m c = 3 7 m c : y = 3 7 x Schnittpunkt der Mittelsenkrechten: M (8 5) Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 c) Höhe h a A (3 7), m BC = = 3 7, m a = 7 3 h a : y = 7 3 x + 14 Höhe h b B (6 0), m AC = = 2 5, m b = 5 2 h b : y = 5 2 x 15 Höhe h c C (13 3), m AB = = 7 3, m c = 3 7 h c : y = 3 7 x 18 7 Schnittpunkt der Höhen: H (6 0) Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 11

12 2 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 11 d) Gibt es eine Gerade durch die 22 Punkte S ( ), M (8 5), H (6 0)? Gerade durch M und H: f (x) = m x + n f ( 8 ) = 5 f ( 6 ) = 0 m = 5 2 ; n = 15 y = 5 2 x f ( 3 10 ) = 3 Der Punkt S liegt auf der Geraden. Alle drei Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden. Die Prüfung kann auch erfolgen durch (): f (x) = m x + n f ( 8 ) = 5 f ( 6 ) = 0 22 f ( 3 10 ) = 3 m = 5 2 ; n = 15 Hieraus folgt, dass die Punkte S, M und H auf einer Geraden liegen. Aufgabe 12 a) Zur Bestimmung der Geraden werden die markierten Punkte abgelesen: A ( 1 4), B (3 2), C ( 6 3), D (3 6), E ( 5 5) Die Gerade durch A, B g 1 : y = 1 2 x Die Gerade durch C, D g 2 : y = 1 3 x 5 Die Gerade durch B, E g 3 : y = 7 8 x 5 8 Fig. 4 Fig. 5 12

13 2 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 12 b) Gemeinsamer Punkt g 1, g 3 y = 1 2 x y = 7 8 x 5 8 P (3 2) Gemeinsamer Punkt g 2, g 3 y = 1 3 x 5 y = 7 8 x P ( ) Gemeinsamer Punkt g 1, g 2 y = 1 2 x y = 1 3 x 5 P (51 22) c) Die Flugzeuge sind an den Kreuzungspunkten nicht zusammengestoßen, sonst wären die Kondensstreifen im Punkt abge brochen. Die Flugzeuge waren auch nicht nacheinander am selben Kreuzungspunkt, sonst wäre das zweite Flugzeug durch den Kondensstreifen des ersten geflogen und hätte die Streifen verwirbelt. Dies ist auf dem Foto nicht zu sehen. 13

14 3 Quadratische Funktionen Seite 15 Aufgabe 1 a) Die Funktionen können einzeln eingegeben werden: f 1 (x) = 1 9 x 2 1, f 2 (x) = 3 x 2 1, f 3 (x) = 2 x 2, f 4 (x) = x 2, f 5 (x) = 2 x 2, f 6 (x) = 3 x 2, f 7 (x) = 1 9 x 2 1, f 8 (x) = 3 x 2 1, f 9 (x) = 2 x 2, f 10 (x) = x 2, f 11 (x) = 2 x 2, f 12 (x) = 3 x 2 Alternativ ist auch folgende Eingabe möglich: 1 f (x) = 6 9, 1 3, 1 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1 2, 1 3, x 2 b) Für a < 0 liegen die Parabeln unterhalb der x-achse, für a > 0 liegen die Parabeln oberhalb der x-achse. c) Die Parabel wird gestreckt für a > 1. Die Parabel wird gestaucht für 0 < a < 1. Aufgabe 2 a) Die folgenden Funktionen erzeugen das Bild: f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x 2 + 3, f 3 (x) = x 2 3, f 4 (x) = ( x + 4 ) 2, f 4 (x) = ( x 4 ) 2 Durch die Funktion f (x) = (x + d ) 2 wird die Normalparabel entlang der x-achse verschoben. d verschiebt die Parabel entlang der x-achse und e entlang der y-achse. b) Für d < 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts und für d > 0 erfolgt eine Verschiebung nach links. Für e < 0 erfolgt eine Verschiebung nach unten und für e > 0 eine Verschiebung nach oben. Aufgabe 3 AH S. 15: f 1 (x) = ( x + 2 ) 2 4 und f 2 (x) = ( x 2 ) Fig. 4 AH S. 15: f 1 (x) = ( x + 1 ) 2 + 2, f 2 (x) = ( x 1 ) 2 2 und f 3 (x) = 2 x Aufgabe 4 a) Mögliche Methoden zur Entscheidungsfindung sind: Punktprüfung Lage des Scheitelpunktes Nullstellen Schnittpunkte mit der y-achse Zeichnen des Graphen mit dem CAS. f (x) = x x g (x) = x 2 2 x + 3 h (x) = x 2 8 x + 11 i (x) = x x

15 3 Quadratische Funktionen Aufgabe 4 b) Mögliche Lösung mit dem CAS: f (x) = (x + 2 ) 2 4 = x x = x x g (x) = (x 1 ) = x 2 2 x = x 2 2 x + 3 h (x) = (x 4 ) 2 5 = x 2 8 x = x 2 8 x + 11 i ( x ) = (x + 3 ) 2 5 = x x = x x + 4 Seite 16 Aufgabe 5 a) b) D f1 : 8 y 0 D f 2 : 8 y 0 D f 3 : 2 y 4 D f 4 : 0 y 2 D f 5 : 0 y 2 c) Für lineare Funktionen reicht es aus, den linken und rechten Intervallrand in die Funktion einzusetzen. Z. B.: f 1 f 1 ( 0 ) = 8, f 1 ( 2 ) = 0 D f 1 : 8 y 0 Für quadratische Funktionen muss neben den Funktionswerten des rechten und linken Intervallrandes auch der Scheitelpunkt bestimmt werden. Liegt die Scheitelpunktstelle im Definitionsbereich, so ist der Wertebereich aus kleinstem und größtem Funktionswert zu bestimmen. Z. B.: f 3 f 3 ( 1 ) = 2, f 3 ( 1 ) = 2, S (0 4) D f 3 : 2 y 4 Aufgabe 6 a) f (x) = 3 x 2 72 x + 407, 2 x 30 D f : 25 y 947 Fig. 4 15

16 3 Quadratische Funktionen Aufgabe 6 b) f (x) = x 2 10 x 10, 3 x 5 D f : 85 y 15 c) f (x) = x x + 10, 6 x 6 D f : 15 y 106 Aufgabe 7 Das Bild (Fig. 5) setzt sich aus folgenden Funktionen zusammen: Kopf Grundform f 1 (x) = 1 2 x 2 2, 3 x 3 Haare f 2 (x) = 1 8 x 2 + 6, 4 x 4 f 3 (x) = (x 2 ) 2, 2 x 4 f 4 (x) = (x + 2 ) 2, 4 x 2 f 5 (x) = 1 4 x x + 4,75, 3 x 0 f 6 (x) = 1 2 x 2 2 x + 4, 1 4 x 4 Nase f 7 (x) = 2 x 2 + 1, 1 2 x 1 2 Mund f 8 (x) = 1 4 x 2 1 2, 1 x 1 f 9 (x) = 3 4 x 2 1, 1 x 1 Augen f 10 (x) = x 2 3 x + 3,75, 1 x 2 f 11 (x) = x x + 3,75, 2 x 1 Kragen f 12 (x) = 1 2 x x, 3 x 1 f 13 (x) = 3 2 x x + 12, 3 x 2 f 14 (x) = 1 2 x x 3, 1 x 3 f 15 (x) = 3 2 (x 2 ) 2, 2 x 3 Fig. 4 Fig. 5 16

17 3 Quadratische Funktionen Aufgabe 8 a) Nach dem Festlegen des Koordinatensystems werden drei Punkte bestimmt, die zur Funktionsbestimmung genutzt werden, z. B.: P 1 ( 8 3), P 2 (0 0,5), P 3 (7 2,5). Die Funktionsbestimmung erfolgt mithilfe eines LGS (). Eine mögliche Funktion, die näherungsweise den Brückenbogen beschreibt: f (x) = 0,04 x 2 0,007 x 0,5 b) Die andere Lage des Koordinatensystems erfordert andere Punkte, z. B.: P 1 (0 0), P 2 (11,5 5,5), P 3 (18 4). Fig. 4 Die Funktionsbestimmung erfolgt mithilfe eines LGS (Fig. 6). Fig. 5 Eine mögliche Funktion, die näherungsweise den Brückenbogen beschreibt: f (x) = 0,04 x 2 + 0,93 x Fig. 6 17

18 3 Quadratische Funktionen Aufgabe 9 Zur Bestimmung der Flugbahn des Balles werden die Koordinaten der drei abgebildeten Bälle näherungsweise bestimmt. Der Koordinatenursprung liegt hier in der Hand des Werfers (): P 1 (1,5 2,5), P 2 (5,25 6,75), P 3 (8,75 7,75) Die Funktionsbestimmung erfolgt mithilfe eines LGS (). Eine mögliche Funktion, die näherungsweise die Flugbahn des Balles beschreibt: f (x) = 0,12 x 2 + 1,92 x 0,12 18

19 4 Quadratische Gleichungen Seite 17 Aufgabe 1 a) x x + 2 = 3 x + 2 x 1 = 0 x 2 = 5 f 1 (x) = x x + 2 f 2 (x) = 3 x + 2 x 1 = 0 x 2 = 5 5 b) 4 x x = x 1 = 5 x 2 = 1 5 ( x ) = f 1 4 x x f 2 (x) = 1 2 x 1 = 0,4 x 2 = 1 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 19

20 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 1 c) 3 x 2 4 x 2 = 0 x 1 = ,387 x 2 = ,72 f 1 (x) = 3 x 2 4 x 2 f 2 (x) = 0 x 1 0,387 x 2 1,72 Aufgabe 2 a) 3 x 2 = 6 x + 3 quadratische Gleichung 0 = x 2 2 x 1 Normalform b) x 1 = , x 2 = c) Grafische Lösung: Lösungsvariante 1: Fig. 5 und 6 = 0,414 x 1 = 2,414 x 2 Fig. 4 Lösungsvariante 2: Fig. 7 und 8 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 20

21 x 2 = 2 Fig. 5 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 2 Lösungsvariante 3: und 2 Seite 18 Aufgabe 3 x 1 = a x 2 = a Für die Bestimmung von a gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Z. B.: (Fig. 4) (I) 5 = a a = (II) a = 0 a = 15 2 Fig. 4 1 Aufgabe 4 4 x 2 2 x + 5 = x 2 x 2 0 = x x 28 5 x 1 = 14 5 Aufgabe 5 (I) x x + 2 = 0 L = (II) x x 1 = 0 x 1 = x 2 = (III) x x + 1 = 0 x 1 = 1 Fig. 6 21

22 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 5 Eine quadratische Gleichung kann keine, zwei oder eine reelle Lösung haben. Fasst man die Lösung einer quadratischen Gleichung als Null stellen einer im Koordinatensystem verschobenen quadratischen Normalparabel auf ( 4), so kann man sich den Sachverhalt bildlich vorstellen. Die Funktion kann oberhalb der x-achse liegen, die x-achse in zwei Punkten schneiden oder die x-achse gerade berühren. Fig. 4 Aufgabe 6 a) 4 x 2 3 x + t = 0 x 1 = t x 2 = t keine Lösung für t > 9 16 eine Lösung für t = 9 16 zwei Lösungen für t < 9 16 Beispiele für die grafische Veranschaulichung (Fig. 6): keine Lösung t = 2 eine Lösung t = 9 16 zwei Lösungen t = 2 Fig. 5 Fig. 6 22

23 4 Quadratische Gleichungen 1 Aufgabe 6 b) 2 x 2 + t x t = 0 x 1 = t + 9 t (t + 2) x 1 = t 9 t (t + 2) keine Lösung für 2 < t < 0 eine Lösung für t = 0 oder t = 2 zwei Lösungen für t < 2 oder t > 0 Beispiele für die grafische Veranschaulichung (): keine Lösung t = 1 eine Lösung t = 0 zwei Lösungen t = 4 Aufgabe 7 a) x 1/2 = b 2 a 1 2 a 9 b 2 4 a c () b) Für a = 1 ist b = p und c = q x 1/2 = p p q x 1/2 = p p 2 4 q Aufgabe 8 x 1/2 = p p 2 4 q 4 4 x 1/2 = p 2 9 ( p 2 ) 2 q Lösung mit dem Satz von Vieta: 0 = (x 5) (x + 10) 0 = x x 50 Lösung mit einem Gleichungssystem (Fig. 4): 0 = x 2 + a x + b 0 = a ( 5) + b 0 = ( 10 ) 2 + a 10 + b a = 5 b = 50 Fig. 4 Aufgabe 9 a) Lösung mit dem Satz von Vieta: 0 = (x + 3) (x 4) 0 = x 2 x 12 Die unvollständige Gleichung wird ergänzt zu: 2 x 2 4 x = x 2 3 x + 12 Lösung über ein Gleichungssystem (Fig. 5): 2 x 2 4 x = a x 2 + b x + c 30 = 9 a 3 b + c 16 = 16 a + 4 b + c a = 2 c 12, b = 2 + c 12 Die Variable c kann frei gewählt werden. Für c = 12 ergibt sich die Gleichung: 2 x 2 4 x = x 2 3 x + 12 Fig. 5 23

24 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 9 Eine weitere Lösungsmöglichkeit ist hier die grafische Lösung (): Zeichnen der quadratischen Funktion in der Geometrieanwendung Festlegen der Punkte mit den x-werten 3 und 4 auf dem Graphen der Funktion Zeichnen einer Geraden durch die bestimmten Punkte Angabe der Geradengleichung Lösung: 2 x 2 4 x = 2 x + 24 b) Lösung mit dem Satz von Vieta: 0 = (x ) (x ) 0 = x 2 4 x + 1 Die unvollständige Gleichung wird ergänzt zu: 2 x 2 4 x = 1 Lösung über ein Gleichungssystem (): 2 x 2 4 x = a x 2 + b x + c 2 x 2 4 x = a x 2 + b x + c x = x 2 4 x = a x 2 + b x + c x = a = 2 + c, b = 4 4 c Die Variable c kann frei gewählt werden. Für c = 1 ergibt sich die Gleichung: 2 x 2 4 x = 1 c) Lösung mit dem Satz von Vieta: 0 = ( x ) ( x ) 0 = x 2 + ( ) x Die unvollständige Gleichung wird ergänzt zu: 2 x 2 4 x = x 2 ( ) x + ( ) ( ) Lösung über ein Gleichungssystem (): 2 x 2 4 x = a x 2 + b x + c 2 x 2 4 x = a x 2 + b x + c x = x 2 4 x = a x 2 + b x + c x = Die Lösung ist nur näherungsweise anzugeben: a = 1,55 (c + 1,29), b = 1,44 (2,88 c + 2,78), Die Variable c kann frei gewählt werden. Für c = 1 ergibt sich die Gleichung: 2 x 2 4 x = 3,55 x 2 8,15 x

25 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 10 a) () f 1 (x) = 1 4 x x f 2 (x) = 1 2 x + 2 Bestimmung der Schnittpunkte (): 1 4 x x = 1 2 x + 2 x 1 = x 2 = f 2 ( ) = f 2 ( ) = S 1 ( S 2 ( ) ) b) () f 1 (x) = 1 20 x x + 2 f 2 (x) = 1 5 x 6 Bestimmung der Schnittpunkte (Fig. 4 6): 1 20 x x + 2 = 1 5 x 6 x 1 = ,159 x 2 = ,159 f 1 1 ( ) = ,568 f 2 1 ( ) = ,632 S 1 ( S 2 ( ) ) Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 25

26 4 Quadratische Gleichungen Aufgabe 11 a) x Anzahl der Reihen y Anzahl der Tennisbälle x y Folgende Funktion kann bestimmt werden (): 1 f (x) = 2 x x Die Gleichung der Funktion ergibt sich auch aus der gauß schen Summenformel x (x + 1) f (x) = 2 f ( 23 ) = 276 Für eine Dreiecksform mit 23 Reihen benötigt man 276 Tennisbälle. b) () 1 2 x x = 2701 x 1 = 74, x 2 = 73 Die Lösung 74 entfällt, da sie nicht praxisrelevant ist. Die Dreiecksform hätte bei 2701 Tennisbällen 73 Reihen. 26

27 5 Konstruktionen und Berechnungen am Dreieck Seite 19 Aufgabe 1 Schrittfolge (): 1. Im Menü die Geometrieanwendung öffnen Symbolleiste 3. Palette Dreieck in Geometriefenster tippen Dreieck ABC erscheint Eckpunkt anklicken Lage des Punktes veränderbar 2. Zwei Dreiecksseiten markieren Draw Konstruktionen Winkelhalbierende (Drei Winkelhalbierende konstruieren) 3. Zwei Winkelhalbierende markieren Draw Konstruktionen Schnittpunkt (Schnittpunkt von zwei Winkelhalbierenden bestimmen) E 4. E und Dreieckseite markieren Draw Konstruktionen Senkrechte Senkrechte und Dreieckseite markieren Draw Schnittpunkt F (Abstand zu einer Dreiecksseite bestimmen) 5. E und F markieren 2. Palette Kreis (Innenkreis zeichnen) Aufgabe 2 a) () Nach dem Zeichnen der Geraden g und h, sowie der Konstruktion der Senkrechten von D auf die Gerade h, sind die Dreieckseiten AD, DE und der Winkel α zu messen. In den zugehörigen Textfeldern kann die jeweilige Bezeichnung geändert (oder auch gelöscht) werden. Dies muss immer mit der EXE-Taste bestätigt werden. Um das Seitenverhältnis x : y zu bestimmen, ist im Draw-Menü Formelterm auszuwählen. Alle bisher ermittelten Größen erscheinen dann durchnummeriert. Durch Anklicken der [3], gefolgt vom : und der [2] sowie der Bestätigung der Eingabe mit der EXE-Taste wird der Quotient x : y bestimmt. Klicke dann den Punkt D separat an. Er kann nun als Gleiter auf der Geraden g bewegt werden. b) Die Winkel bleiben unverändert, alle Längen der Strecken ändern sich. Es liegen ähnliche Dreiecke vor. c) () Der Quotient ändert sich nicht, da er ein Seitenverhältnis angibt. In ähnlichen Dreiecken bleiben Seitenverhältnisse erhalten. Hieraus ergibt sich die Grundlage zur Definition des Sinus im rechtwinkligen Dreieck. 27

28 5 Konstruktionen und Berechnungen am Dreieck Seite 20 Aufgabe 3 a) () Um das Seitenverhältnis a : r zu bestimmen, ist im Draw-Menü Formel term auszuwählen. Alle bisher ermittelten Größen erscheinen dann durchnummeriert. Durch Anklicken der [2], gefolgt vom : und der [1] sowie der Bestätigung der Eingabe mit der EXE-Taste wird der Quotient a : r bestimmt. Nach dem separaten Anklicken des Punktes D kann er als Gleiter auf dem Kreis bewegt werden. Um die im Aufgabenteil b) vorgegebenen Winkelgrößen genau darstellen und den dazugehörigen Quotienten bestimmen zu können, ist es effektiver die Schenkel des Winkels zunächst zu markieren. Die Winkelgröße wird dann im oberen gekennzeichneten Feld () neu eingegeben und die Eingabe mit der EXE-Taste bestätigt. Danach kann im Termfeld der zugehörige Quotient a:r abgelesen werden. b) Näherungswerte werden mit der Applikation bestimmt (): α sin (α) = a r 0,09 0,17 0,26 0,34 0,5 0,64 0,94 1,0 Aufgabe 4 In Ergänzung zur Aufgabe 3 sind folgende Schritte notwendig (): 1. Punkte A und E markieren Draw Messen Länge im Textfeld Länge durch b ersetzen (Länge b: Kreismittelpunkt Lotfußpunkt) 2. Draw Formelterm [5] :[1] EXE 3. Termfelder zur besseren Unterscheidung umbenennen Näherungswerte werden mit der Applikation bestimmt (): α cos (α) = b r 1,00 0,98 0,97 0,94 0,87 0,77 0,

29 5 Konstruktionen und Berechnungen am Dreieck Aufgabe 5 a) Für die Berechnungen wurden die trigonometrischen Beziehungen verwendet und nicht der Sinussatz oder Kosinussatz. Diese Zusammenhänge gelten nur in rechtwinkligen Dreiecken. b) α = 35 β = 55 γ = 90 a = 12 b = 17,1378 c = 20,9214 Aufgabe 6 Berechnung genauerer Werte mithilfe des Sinussatzes und des Innenwinkelsatzes (): Messwert berechneter Wert Abweichung γ = 50,3 γ = 50,265 0,035 β = 23,6 β = 23,735 0,135 b = 10,4 cm b = 10,468 cm 0,068 cm Aufgabe 7 a) Berechnung mithilfe des Kosinussatzes (): a = cos (40 ) b) Messwert berechneter Wert Abweichung a = 13,9 cm a = 13,9134 cm 0,0134 cm c) Berechnung mithilfe des Sinussatzes und des Innenwinkelsatzes (): β = 27,516 γ = 112,48 β wird zuerst bestimmt, damit eine eindeutige Lösung entsteht (Kongruenzsatz Ssw). 29

30 6 Winkelfunktionen Seite 21 Aufgabe 1 a) sin ( x ) = 0 mit 0 x 15 x 1 = 0, x 2 = π, x 3 = 2 π, x 4 = 3 π, x 5 = 4 π Auf die Einstellung Standard und Bog in der Statuszeile achten! Im Grafikfenster werden die Nullstellen näherungsweise bestimmt. Zunächst wird nur die Nullstelle mit dem kleinsten x-wert angezeigt. Nach dem Drücken von ['] der Cursor-Wippe wird jeweils die nächste Nullstelle angezeigt ( 6). Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 b) cos ( x ) = 0 mit 25 x 15 x 1 = 15 2 π, x 2 = 13 2 π, x 3 = 11 2 π, x 4 = 9 2 π, x 5 = 7 2 π, x 6 = 5 2 π, 3 x 7 = 2 π, x 8 = 1 2 π, x 9 = 1 2 π, x 10 = 3 2 π, x 11 = 5 2 π, x 12 = 7 2 π, x 13 = 9 2 π oder x = 1 2 π + k π, 7 k 5, k * Z Im Grafikfenster werden die Nullstellen näherungsweise bestimmt. Beispiel: Fig. 7 Fig. 7 30

31 6 Winkelfunktionen Aufgabe 1 c) sin ( x ) = 0 mit 0 x x = k π, k 0, k * Z oder x 1 = 0, x 2 = π, x 3 = 2 π, x 4 = 3 π, Im Grafikfenster werden die Nullstellen näherungsweise bestimmt. Beispiel: d) cos ( x ) = 0 mit 100 x 120 x 1 = 65 2 π, x 2 = 67 2 π, x 3 = 69 2 π, x 4 = 71 2 π, x 5 = 73 2 π, x 6 = 74 2 π Im Grafikfenster werden die Nullstellen näherungsweise bestimmt. Beispiel: Seite 22 Aufgabe 2 a) Das Intervall kann rückwirkend nicht exakt bestimmt werden. kleinstes Intervall: 3,67 x 8,9 sinnvolle Angabe: 5 x 10 b) x 1 = 1 6 π + k 2 π, k * Z x 2 = 5 6 π + k 2 π, k * Z c) x 1 = 7 6 π, x 2 = 1 6 π, x 3 = 5 6 π, x 4 = 13 6 π, x 5 = 17 6 π Aufgabe 3 Mögliche Lösung (Fig. 4): a) x 1 = 97 6 π, x 2 = π, x 3 = π Mit π 6 + { } 2 π und 11 π 6 + { } 2 π kann auch probiert werden, ob die Lösung für die eingesetzten Werte von k im vorgegebenen Intervall 50 x 60 liegen. b) a = Fig. 4 31

32 6 Winkelfunktionen Aufgabe 4 a) Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: f 1 (x) = 1 2 sin (x) (x) = sin (x) f 2 (x) = 2 sin (x) f 3 (x) = 3 sin (x) f 4 (x) = 4 sin (x) f 5 oder 1 f (x) = 6 2, 1, 2, 3, 47 sin (x) Die Funktion f (x) = a sin (x) wird: gestreckt: a > 1 gestaucht: 0 < a < 1 Allgemein gilt: gestreckt: a > 1 gestaucht: 0 < a < 1 b) Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: (x) = sin (x) f 1 (x) = 2 sin (x) f 2 (x) = 3 sin (x) f 3 (x) = sin (x) f 4 (x) = 2 sin (x) f 5 (x) = 3 sin (x) f 6 oder f ( x ) = 6 1, 2, 3, 1, 2, 37 sin (x) Die Funktion f (x) = a sin (x) wird an der x-achse gespiegelt für: a < 0. Aufgabe 5 a) Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: (x) = sin (x) 3 f 1 (x) = sin (x) 2 f 2 (x) = sin (x) 1 f 3 (x) = sin (x) f 4 (x) = sin (x) + 1 f 5 (x) = sin (x) + 2 f 6 (x) = sin (x) + 3 f 7 oder f (x) = sin (x) + 6 0, 1, 2, 3, 1, 2, 37 Der Summand e verschiebt die Funktion entlang der y-achse um den Wert e. 32

33 6 Winkelfunktionen Aufgabe 5 b) Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: (x) = sin ( x 3 ) f 1 (x) = sin ( x 2 ) f 2 f 3 (x) = sin ( x 1 ) (x) = sin (x) f 4 (x) = sin ( x + 1 ) f 5 (x) = sin ( x + 2 ) f 6 (x) = sin ( x + 3 ) f 7 oder f (x) = sin ( x + 6 0, 1, 2, 3, 1, 2, 37 ) Der Summand d verschiebt die Funktion entlang der x-achse um den Wert d. Aufgabe 6 Mögliche Lösungen sind (): f (x) = sin ( x + π 2 ) f (x) = sin ( x + 5 π 2 ) f (x) = sin ( x 3 π 2 ) Eine allgemeine Lösung ergibt sich in der Form: f (x) = sin ( x + π 2 + k 2 π ) mit k * Z Seite 23 Aufgabe 7 a) Eine mögliche Lösung ist (): (x) = sin ( x + 4 ) 4 f 1 (x) = sin ( x + 3 ) 3 f 2 (x) = sin ( x + 2 ) 2 f 3 (x) = sin ( x + 1 ) 1 f 4 (x) = sin (x) f 5 (x) = sin ( x 1 ) + 1 f 6 (x) = sin ( x 2 ) + 2 f 7 (x) = sin ( x 3 ) + 3 f 8 f 9 (x) = sin ( x 4 ) + 4 oder f (x) = sin ( x + 6 0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 47 ) + 6 0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 47 Jede Funktion kann außerdem auch um ein Vielfaches von 2 π nach links oder rechts verschoben werden. 33

34 6 Winkelfunktionen Aufgabe 7 b) Eine mögliche Lösung ist (): f 1 (x) = cos ( x π ) 4 f 2 (x) = cos ( x π ) 3 f 3 (x) = cos ( x π ) 2 f 4 (x) =cos ( x π ) 1 f 5 (x) = cos ( x π 2 ) f 6 (x) = cos ( x π 2 1 ) + 1 f 7 (x) = cos ( x π 2 2 ) + 2 f 8 (x) = cos ( x π 2 3 ) + 3 f 9 (x) = cos ( x π 2 4 ) + 4 Jede Funktion kann außerdem auch um ein Vielfaches von 2 π nach links oder rechts verschoben werden. Aufgabe 8 a) Das Bild () entsteht durch die Funktionen: ( x ) = sin (x) f 1 f 2 ( x ) = sin ( 1 2 x ) ( x ) = sin (2 x) f 3 Durch den Faktor b wird die Funktion entlang der x-achse gestreckt bzw. gestaucht. gestreckt: 0 < a < 1 gestaucht: a > 1 Die Periode der Funktion ändert sich. b) 1 b π 2 π 2 π p 8 π 4 π 2 π π c) Die Periodenlänge p wird berechnet: p = 2 π b Aufgabe 9 a) Sonnenaufgang und -untergang sind periodische Prozesse. Der Höhenstand der Sonne ändert sich kontinuierlich (). π b) Die Funktion f ( x ) = 1,7 sin ( 12 x + π 2 ) beschreibt den Sonnenaufgang und -untergang. 1,7 ist die Amplitude, die sich aus dem Koordinatensystem ergibt. Das Vorzeichen spiegelt die Funktion an der x-achse. π 12 ergibt sich aus der Periode von 24 h. π 2 verschiebt die Sinusfunktion um eine Viertelperiode nach links. Alternativ sind auch folgende Funktionen denkbar: π f ( x ) = 1,7 sin ( 12 x π 2 ) π f ( x ) = 1,7 cos ( 12 x ) Fig. 4 34

35 6 Winkelfunktionen Aufgabe 10 a) Die Dauer der Spannungsschwingung ergibt sich aus der Periodenlänge (): 2 π p = 100 π = 1 50 = 0,02 Eine Schwingung dauert 0,02 s. b) Berechnungen (): 1. Zündzeitpunkt: 200 = sin ( 100 π t ), 0 t 0,005 = 0,0021 s t z 1 1. Löschzeitpunkt: 150 = sin (100 π t), 0,005 t 0,01 = 0,0085 s t L 1 Die Zeitdifferenz beträgt 0,0064 s. Da die Glimmlampe auch bei umgekehrter Polung leuchtet, ergibt sich eine Leuchtdauer innerhalb der ersten Periode von 0,0128 s. Die Aufgabe kann auch grafisch gelöst werden ( 6): Aus den bestimmten Schnittstellen werden die Zeiten abgelesen und die Leuchtdauer ermittelt. Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 35

36 7 Potenzfunktionen Seite 25 Aufgabe 1 a) () Definitionsbereich x * R Wertebereich y * R Nullstelle x 1 = 0 Monotonie monoton wachsend Symmetrie Punktsymmetrie zu (0 0) Asymptoten keine b) () Definitionsbereich x * R Wertebereich y 0 Nullstelle x 1 = 0 Monotonie monoton fallend: x 0 monoton wachsend: x 0 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-achse Asymptoten keine c) () Definitionsbereich x * R\ 6 07 Wertebereich y * R\ 6 07 Nullstelle keine Monotonie monoton fallend: x * R\ 6 07 Symmetrie Punktsymmetrie zu (0 0) Asymptoten x-achse für x ± y-achse für x 0 d) (Fig. 4) Definitionsbereich x * R\ 6 07 Wertebereich y > 0 Nullstelle keine Monotonie monoton wachsend: x < 0 monoton fallend: x > 0 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-achse Asymptoten x-achse für x ± y-achse für x 0 Fig. 4 36

37 7 Potenzfunktionen Aufgabe 2 a) Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = x 4 f 3 (x) = x 6 f 4 (x) = x 8 Die Exponenten dieser Potenzfunktionen sind gerade natürliche Zahlen. Das Bild () wird erzeugt durch die Funktionen: f 1 (x) = x 1 f 2 (x) = x 3 f 3 (x) = x 5 f 4 (x) = x 7 Die Exponenten dieser Potenzfunktionen sind ungerade natürliche Zahlen. b) Eigenschaften der Potenzfunktionen mit geradem Exponenten: Definitionsbereich: x * R Wertebereich: y 0 Nullstelle: x 1 = 0 Monotonie: monoton fallend: x 0 monoton wachsend x 0 Symmetrie: Achsensymmetrie zur y-achse Maximum/Minimum: T (0 0) Charakteristische Punkte: P 1 ( 1 1), P 2 (0 0), P 3 (1 1) Eigenschaften der Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten: Definitionsbereich: x * R Wertebereich: y * R Nullstelle: x 1 = 0 Monotonie: monoton wachsend Symmetrie: Punktsymmetrie zu (0 0) Maximum/Minimum: keine Charakteristische Punkte: P 1 ( 1 1), P 2 (0 0), P 3 (1 1) Aufgabe 3 a) f (x) = 1 x n mit n * N\ Gruppe: n gerade Zahlen Im Bild () die Funktionen für n = 2, 4, 6, 8: Definitionsbereich x * R\ 6 07 Wertebereich y > 0 Nullstelle keine Monotonie monoton wachsend: x < 0 monoton fallend: x > 0 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-achse Asymptoten x-achse für x ± y-achse für x 0 37

38 7 Potenzfunktionen Aufgabe 3 2. Gruppe: n ungerade Zahlen Im Bild () die Funktionen für n = 1, 3, 5, 7: Definitionsbereich x * R\ 6 07 Wertebereich y * R\ 6 07 Nullstelle keine Monotonie monoton fallend x * R\ 6 07 Symmetrie Punktsymmetrie zu (0 0) Asymptoten x-achse für x ± y-achse für x 0 b) (I) n ungerade (II) n * N\ (III) n ungerade (IV) n gerade (V) n gerade (VI) kein n möglich Aufgabe 4 a) b) Die Schnittpunkte sind als charakteristische Punkte bekannt oder werden als Schnittpunkte berechnet. S 1 (0 0), S 2 (1 1) c) f (x) = x 2, g (x) = x 3 f (x) = g (x) für x = 0 oder x = 1 f (x) > g (x) für 0 < x < 1 oder x < 0 f (x) < g (x) für 1 < x Aufgabe 5 a) f (x) = x 2, g (x) = x 4 f (x) = g (x) für x = 1 oder x = 0 oder x = 1 f (x) > g (x) für 1 < x < 0 oder 0 < x < 1 f (x) < g (x) für x < 1 oder 1 < x 38

39 7 Potenzfunktionen Aufgabe 5 b) f (x) = 1 x, g (x) = 1 x 2 f (x) = g (x) für x = 1 f (x) > g (x) für 1 < x f (x) < g (x) für x < 0 oder 0 < x < 1 c) f (x) = x 2, g (x) = 1 x 2 f (x) = g (x) für x = 1 oder x = 1 f (x) > g (x) für x < 1 oder 1 < x f (x) < g (x) für 1 < x < 0 oder 0 < x < 1 Seite 26 Aufgabe 6 a) Die Funktionsterme sollten ohne den CAS () aufgeschrieben werden. f 1 (x) = 3 x 3 f 2 (x) = x 3 2 f 3 (x) = x 3 f 4 (x) = (x 2 ) 3 39

40 7 Potenzfunktionen Aufgabe 6 b) f 1 (x) = 3 x 3 ist eine entlang der y-achse um den Faktor 3 gestreckte Grundparabel der Funktion f (x) = x 3. f 2 (x) = x 3 2 ist eine entlang der y-achse um 2 verschobene Grundparabel der Funktion f (x) = x 3. f 3 (x) = x 3 ist eine an der x-achse gespiegelte Grundparabel der Funktion f (x) = x 3. f 4 (x) = (x 2 ) 3 ist eine auf der x-achse um 2 nach rechts verschobene Grundparabel der Funktion f (x) = x 3. Fig. 4 40

41 7 Potenzfunktionen Aufgabe 7 Die Funktionen () lauten: f 1 (x) = x 4 4 f 2 (x) = x 4 f 3 (x) = (x + 5 ) 4 f 4 (x) = (x 5 ) Aufgabe 8 a) f ( 3 ) = 27 f ( 1 ) = 1 WB: 27 y 1 b) f ( 1 ) = 1 f ( 4 ) = 2 WB: 1 y 2 c) f ( 1 ) = 1 f ( 3 ) = 81 S (0 0) WB: 81 y 0 Fig. 4 41

42 7 Potenzfunktionen Aufgabe 9 a) Um mit dem CAS zu erzeugen, verfahre wie folgt: Parabel zeichnen Punkt P nicht auf die Parabel setzen Punkt und Parabel markieren, dann unter Edit Animieren Animation hinzufügen auswählen Gerade y = x zeichnen P an y = x spiegeln, ergibt P P markieren und unter Edit Animieren Verfolgen auswählen Animation starten unter Edit Animieren Ablaufen (einmal) b) Die Spurpunkte liegen auf: g 1 (x) = x für die Punkte von f (x) = x 2 mit 0 x bzw. g 2 (x) = x für die Punkte von f (x) = x 2 mit x 0 Aufgabe 10 a), c) f überführt alle Werte der Funktion g (x) = 9 2 x zurück auf den Ausgangswert x. Funktionen, die die Berechnung einer anderen Funktion rückgängig machen sind Umkehrfunktionen. f ist Umkehrfunktion zu g und g ist Umkehrfunktion zu f. b) f (x) = 1 2 x 2 mit x 0 Aufgabe 11 a) In f (x) () werden die Werte 1, 2, 3, 4, 5 eingesetzt und die dazugehörigen Funktionswerte bestimmt. Setzt man diese Funktionswerte nun in die Funktion 9 x ein, so ergeben sich die Ausgangswerte 1, 2, 3, 4, 5. Die Funktion 9 x und f (x) sind daher Umkehrfunktionen. b) f (x) = 2 x 2 1 mit x 0 Fig. 4 c) In Fig. 5 wird der rechnerische Nachweis erbracht. Beide möglichen Umkehrungen werden gezeigt. In beiden Fällen ergibt sich der Ausgangswert x. Für jede Zahl x sind g (x) = 9 x und f (x) = 2 x 2 1 Umkehrfunktionen zueinander. Fig. 5 42

43 7 Potenzfunktionen Aufgabe 11 In wird der grafische Nachweis für die Umkehrfunktion dargestellt. Beide Funktionen liegen spiegelsymmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden. 43

44 Exkursion: Regression mit dem CAS Seite 27 Aufgabe 1 Die Veränderung der Wassertemperatur in der Ohratalsperre ist ein periodischer Prozess mit der Periodenlänge von 12 Monaten. Der Prozess wird am besten durch eine trigonometrische Regression beschrieben. Schrittfolge: Im Hauptmenü die Tabellenkalkulation auswählen Werte eingeben und mit der EXE-Taste bestätigen Zur grafischen Veranschaulichung müssen die Werte in beiden Spalten markiert werden. Dann im Menü Graph Scatter auswählen und im unteren Teil erscheint das Diagramm (). 44

45 Exkursion: Regression mit dem CAS Aufgabe 1 Im Menü Calc, unter Regressionen, die Sinus-Regression auswählen (). Im Display erscheinen sofort die Funktionsgleichung und der zugehörige Graph (). Die Funktion f (x) = 9,8 sin ( 0,54 x 2,36 ) + 12,43 beschreibt die Wassertemperatur der Ohratalsperre über das Jahr. 45