Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen und explizite Berechnungen

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1 Julius-Maximilians-Universität Würzburg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Mathematik Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen und explizite Berechnungen Bachelorarbeit von Matthias Mayer Betreuer: Prof. Dr. Jörn Steuding Januar 2016

2 Inhaltsangabe A Theorie 2 1 Formale Sichtweise der p-adischen Zahlen 3 2 Analytische Sichtweise der p-adischen Zahlen 6 3 Lokal-Global-Prinzip 9 4 Hensel s Lemma 11 5 Der Satz von Hasse-Minkowski 13 B Praxis 15 6 Übersicht 16 7 Konkrete Problemstellungen 18 Literatur 23

3 Zusammenfassung Zu Beginn meiner Arbeit führe ich die p-adischen Zahlen ein. Dies geschieht einmal als formale Objekte in der Form von Potenzreihen, sowie mithilfe des p-adischen Betrages und der daraus induzierten Metrik als Vervollständigung der rationalen Zahlen. Danach gehe ich auf die Bedeutung der p-adischen Zahlen für die Zahlentheorie in Form des Lokal- Global-Prinzips ein. Hierauf zeige ich Hensel s Lemma als p-adische Methode zum Finden von Nullstellen von Polynomen. Abschließend beschäftige ich mit dem Satz von Hasse-Minkowski zur Isotropie von quadratischen Formen. Ergänzend zu meiner theoretischen Arbeit habe ich in Mathematica ein Paket geschrieben, mit dem mit p-adischen Zahlen gerechnet werden kann und insbesondere die in meiner Arbeit behandelten Themen abdeckt. Zum Verständnis der in meiner Arbeit entwickelten Theorie empfehle ich dem Leser Kenntnisse aus der Zahlentheorie sowie Grundlagen aus der Linearen Algebra und Analysis. An einigen Stellen beziehe ich mich auch auf Inhalte der Algebra und Funktionentheorie. Zum Verständnis meiner Implementierung bedarf es ausführlicherer Kenntnisse im Umgang mit Mathematica. Einleitung Die p-adischen Zahlen wurden gegen Ende des 19. Jahrhunderts von Kurt Hensel eingeführt. Seine Motivation dabei war es, die Möglichkeiten der Potenzreihenentwicklungen komplexer Funktionen auch in der Zahlentheorie zu nutzen. Zunächst wurden die Ausdrücke der Form a = k=n 0 a k p k nur als formale Objekte untersucht. In folgenden Jahren ergab sich eine wesentlich veränderte analytische Sichtweise. Damit behaupten die p-adischen Zahlen ihre Stellung als Alternative zu den reellen Zahlen. Aufbauend auf den Grundlagen der Zahlentheorie, den Primzahlen, liefert uns die Untersuchung der p-adischen Zahlen Erkenntnisse über die rationalen Zahlen. Aus diesem Grund spielen sie eine bedeutende Rolle in der Zahlentheorie des 20. und 21. Jahrhunderts. Weiterhin war Hensel s Theorie der p-adischen Zahlen ein Impuls zur Begründung der allgemeinen Körpertheorie. 1

4 Teil A Theoretische Grundlagen Inhaltsangabe 1 Formale Sichtweise der p-adischen Zahlen Analogie von Z und C[X] Die ganzen Zahlen als p-adische Zahlen Die rationalen Zahlen als p-adische Zahlen Probleme unserer formalen Sichtweise Analytische Sichtweise der p-adischen Zahlen p-adischer Betrag Konstruktion von Q p und Z p Lokal-Global-Prinzip Idee Möglichkeiten und Grenzen Hensel s Lemma P-adische Analysis Hensel s Lemma Anwendungen und Varianten Der Satz von Hasse-Minkowski Quadratische Formen Der Satz von Hasse-Minkowski Weitere Aussagen über quadratische Formen

5 1 Formale Sichtweise der p-adischen Zahlen 1.1 Analogie von Z und C[X] Wie anfangs schon erwähnt liegt eine Motivation zur Einführung der p-adischen Zahlen in der Analogie zwischen dem Ring Z der ganzen Zahlen und dem Ring C[X] der Polynome mit komplexen Koeffizienten. Beide sind Integritätsringe 1 und es gibt eine eindeutige Zerlegung in Primelemente. Ähnlich zur eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z gilt für f(x) C[X] dass f(x) = a(x α 1 )(X α 2 )...(X α n ) mit a, α 1, α 2,..., α n C Wir können die Polynome aber auch mit der Taylorentwicklung in einem Punkt α entwickeln und erhalten: n f(x) = a i (X α) i i=0 Ausgehend von unserer Analogie zwischen den Primzahlen und den linearen Polynomen (X α) betrachten wir eine Entwicklung einer natürlichen Zahl nach einer Primzahl. Die Koeffizienten sind dann die Ziffern, die wir erhalten wenn wir diese Primzahl als Basis nehmen. 1.2 Die ganzen Zahlen als p-adische Zahlen Definition 1 (p-adische Entwicklung). Für x N und eine Primzahl p ist x = a 0 + a 1 p + a 2 p a n p n, 0 a i < p die p-adische Entwicklung von x. Auf diese Art lassen sich alle natürlichen Zahlen als p-adischen Zahlen darstellen, und unsere p-adischen Polynomen lassen sich genau mit der Menge N 0 identifizieren. Wir gehen nun einen Schritt weiter und betrachten Potenzreihen statt Polynomen. Addition und Multiplikation werden wie dort üblich ausgeführt, jedoch mit einem Übertrag der durch folgende Identität gegeben ist: (a + p)p i + bp i+1 = ap i + (b + 1)p i+1 so dass alle Koeffizienten zwischen 0 und p-1 liegen. Definition 2 (Ring der ganzen p-adischen Zahlen). Die Menge n Z(p) := { a i p i : 0 a i < p} i=0 mit den vorher erklärten Verknüpfungen ist ein Ring und wird als Ring der ganzen p-adischen Zahlen bezeichnet. 1 Nullteilerfreier Ring mit Einselement 3

6 Unser funktionentheoretisches Analogon zu diesem Ring sind die ganzen 2 holomorphen 3 Funktionen, die sich dadurch charakterisieren, dass sie sich als Potenzreihe entwickeln lassen. Bemerkung. Die -1 in unserem Ring ist 1 = n (p 1)p i i=0 Wir rechnen nach: 1 + (p 1) + (p 1)p + (p 1)p = p + (p 1)p + (p 1)p = p p + (p 1)p = p p = 0 Siehe [Rob00, Ch. 1.3] für den Beweis der Ring-Eigenschaften. Mit unseren ganzen p-adischen Zahlen lassen sich jetzt auch alle negativen ganzen Zahlen darstellen, diese Darstellung erhält man analog zur -1. Jedoch nicht jede p-adische Zahl stellt auch eine ganze Zahl dar, die ganzen Zahlen Z sind also ein echter Teilring der ganzen p-adischen Zahlen Z(p). 1.3 Die rationalen Zahlen als p-adische Zahlen Wir bilden jetzt mit formaler Division den Quotientenkörper. Definition 3 (Körper der p-adischen Zahlen). Der Quotientenkörper der ganzen p-adischen Zahlen ist: Q(p) := { n i=n 0 a i p i : 0 a i < p n 0 Z} und wird als Körper der p-adischen Zahlen bezeichnet Unser funktionentheoretisches Analogon sind die meromorphen 4 Funktionen auf C, die sich als Quotient zweier holomorpher Funktionen schreiben lassen. Da wir Z als Teilmenge von Z(p) identifizieren können, muss auch Q eine Teilmenge von Q(p) sein. Lemma 4 (Charakterisierung der rationalen Zahlen in den p-adischen Zahlen). Eine p-adische Reihe hat genau dann einen rationalen Wert, wenn ihre Koeffizienten schließlich periodisch sind. Sei (a 0, a 1, a 2,... ) = (b 0, b 1,..., b h 1, c 0, c 1,..., c g 1 ); mit b = b 0 + b 1 p + + b h 1 p h 1 und c = c 0 + c 1 p + + c g 1 p g 1 gilt dann: a = a k p k = p n0 (b + cp h 1 1 p g ) (1) k n 0 2 Auf ganz C definiert 3 komplex differnzierbar 4 komplex differenzierbar mit isolierten Polstellen 4

7 Beweis. Gegeben sei eine p-adische Zahl mit schließlich periodischen Ziffern: α = k=n 0 a k p k mit (a n0, a n0+1, a n0+2,... ) = (b 0, b 1,..., b h 1, c 0, c 1,..., c g 1 ) mit b = b 0 + b 1 p + + b h 1 p h 1 und c = c 0 + c 1 p + + c g 1 p g 1 gilt dann: α = p n0 (b + p h k=0 cp g ) = p n0 (b + cp h 1 1 p g ) unter Anwendung der formalen Formel für die geometrische Reihe. Für die Umkehrung geben wir uns eine rationale Zahl x = p m a b mit p ab vor. Wegen ggt (p, b) = 1 gilt nach Euler: p φ(b) 1 mod b = p φ(b) 1 = k b = a b = ak p φ(b) 1 Es gibt nun ein h N mit 0 ak < p h oder p h ak < 0 und nach dem Lemma von Bézout gibt es c, d Z mit ak = c(p φ(b) 1) dp h und 0 c < p φ(b) 1 oder 0 < c p φ(b) 1 Also erhalten a = p m p h (c + d 1 p ) = φ(b) pm (c + d p φ(b)j ) und daraus können wir uns die p-adische Darstellung errechnen, in dem wir c und d p-adisch entwickeln. j=0 1.4 Probleme unserer formalen Sichtweise Diese formale Sichtweise weist jedoch ein paar Probleme auf: Betrachtet man nämlich die p-adischen Reihen als reelle Reihen, konvergieren diese nicht, wie man am Beispiel der Entwicklung von -1 gut sieht: n n (p 1)p k = (p 1) p k 1 = (p 1) 1 p = 1 i=0 i=0 Formal stimmen diese Rechnungen zwar, jedoch konvergiert die geometrische Reihe q k nur für q < 1, jedoch haben wir lim (p k 1)pk = 0 5

8 Um also unsere Theorie zu vervollständigen müssen wir einen anderen Konvergenzbegriff betrachten damit unsere p-adischen Reihen konvergieren. Das Problem ist, dass p k für k. Unsere Art wie wir Größe und Abstände von reellen Zahlen messen ist daher nicht kompatibel. Deshalb bedarf es einer neuen Betragsfunktion 5 p mit p k 0 für k. 2 Analytische Sichtweise der p-adischen Zahlen 2.1 p-adischer Betrag Sei also nun im folgenden p eine fest gewählte Primzahl. Zu dieser Primzahl definieren wir den zu p auf Q definierten p-adischen Absolutbetrag: Definition 5 (p-adischer Absolutbetrag). Der p-adische Betrag p : Q R + 0 wird definiert durch x p := p ν(x) (2) wobei ν(x) eindeutig bestimmt wird durch x = a b pν(x) mit a, b Z, p ab. Dabei setzen wir 0 p = 0. Bemerkung. Im Kontext der p-adischen Zahlen bezeichnet man oft als unendliche Primzahl, dabei ist dann der normale Betrag auf R und Q = R Wir sehen, dass diese Beträge sich wie gewünscht verhalten und erhalten außerdem noch einige weitere Eigenschaften Eigenschaften Die wesentlichen davon werden in folgendem Lemma zusammengefasst. Lemma 6 (Eigenschaften des p-adischen Betrags). Es gilt für p < (i) z p 1 für z Z (nichtarchimedischer Betrag) (ii) x + y p max{ x p, y p } (Verschärfte Dreiecksungleichung) (iii) Der Betrag nimmt nur diskrete Werte an Die einzelnen p-adischen Beträge hängen auch mit einander zusammen, wie man in folgender Formel sieht: Lemma 7 (Produkt-Formel). Es gilt x p = 1 für x Q\{0} Beweis. Sei x = ± n Also gilt p i=1 pνp i x p = n i=1 p νp i i p i Q. Es gilt x p = 1 für p p i und x pi = p νp i n i=1 pνp i i = 1 i. 5 Ein Betrag ist allgemein eine Funktion : K R mit x 0 und x = 0 x = 0 und xy = x y sowie x + y x + y 6

9 Definition 8 (p-adische Metrik). Jeder p-adische Betrag p induziert durch d(x, y) = x y p eine p-adische Metrik. Die von dieser Metrik induzierte Topologie ist eine sogenannte ultrametrische Topologie 6. Damit bilden die rationalen Zahlen zusammen mit jeder p-adischen Metrik einen metrischen Raum. Dies ermöglicht es uns nun einen Konvergenzbegriff einzuführen Konvergenz bezüglich der p-adischen Metrik Einige Eigenschaften konvergenter Folgen vereinfachen sich bezüglich der p- adischen Metrik, insbesondere gilt: Bemerkung 9. Mit der p-adischen Metrik gilt: (i) Eine Folge (x n ) in Q ist genau dann eine Cauchy-Folge wenn lim n x n+1 x n p = 0 (ii) Eine Reihe konvergiert genau dann wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden Beispiel. Sei k=n 0 a k p k eine p-adische Reihe. Es gilt a k p k p = p k p = p k 0 für n. Damit konvergieren p-adische Reihen nach Bem. 9 Zum Beweis verweisen ich auf [Gou97, Lem 4.1.1, Cor 4.1.2] Auf unsere p-adischen Zahlen angewandt, beseitigt diese Metrik unsere formalen Probleme. Eine Metrik liefert uns aber auch die Möglichkeit einen Körper zu vervollständigen. 2.2 Konstruktion von Q p und Z p Analog zur Konstruktion der reellen Zahlen betrachten wir nun die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich einer p-adischen Metrik. Die Beweise dieser Konstruktion können in [Gou97, Ch.3] nachgelesen werden. Definition. Die Menge aller Cauchy-Folgen in Q bezüglich p wird als C = C p (Q) = {(x n ) : (x n ) ist Cauchy F olge bzgl. p } bezeichnet. Mit komponentenweiser Verknüpfung ausgestattet wird diese Menge zu einem kommutativen Ring mit Eins. Ähnlich zur Konstruktion der reellen Zahlen betrachten wir nun die Menge aller Nullfolgen. Definition. Die Menge aller Nullfolgen bezeichnen wir mit N := {x C : lim x p = 0} Dieses Menge bildet ein maximales Ideal von C, was folgende Definition rechtfertigt: 6 Der interessierte Leser findet in [Gou97, Ch. 2.3] mehr zu diesem Thema. 7

10 Definition 10 (Q p ). Q p := C/N ist der Körper der p-adischen Zahlen. Analog zum Ring Z als Ganzheitsring des Körpers der rationalen Zahlen definieren wir die ganzen p-adischen Zahlen als Teilring von Q p. Definition 11 (Z p ). Z p := {x Q p : x p 1} ist der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. Wir haben jetzt zwei verschiedene Körper von p-adischen Zahlen konstruiert. Betrachtet man beide genauer, sieht man dass folgendes gilt: Satz 12. Es gilt Z(p) = Z p und Q(p) = Q p Für den Beweis siehe [Gou97, Cor , ] Wir verwenden im folgenden die Bezeichnungen Q p und Z p. Korollar 13. Q p ist ein vollständiger metrischer Raum bezüglich p Nun werden wir anfangen, unsere p-adischen Zahlen weiter zu untersuchen. Ihre wesentliche Bedeutung basiert auf folgendem Prinzip, das uns einen Zusammenhang zwischen rationalen und p-adischen Zahlen liefert: 8

11 3 Lokal-Global-Prinzip 3.1 Idee Das Lokal-Global-Prinzip oder Hasse-Prinzip geht auf Helmut Hasse zurück und besagt formal, dass: Bemerkung. Eine Gleichung in einem globalen Körper kann untersucht werden, indem man diese Gleichung in allen dazugehörigen lokalen Körpern betrachtet. Unter einem globalen Körper versteht man hierbei den Körper Q, algebraische Zahlkörper (endliche Erweiterungen von Q), sowie bestimmte Funktionenkörper. Lokale Körper sind die vollständigen Erweiterungen der globalen Körper. Wir beschränken uns hier auf den Fall Q. Wir kennen als Vervollständigungen von Q die p-adischen Zahlen Q p und die reellen Zahlen R. An dieser Stelle kommt folgendes Resultat ins Spiel: Satz 14 (Ostrowski). Jeder nicht-triviale Betrag auf Q ist äquivalent 7 zu einem der p-adischen Beträge p oder zu. Damit erhalten wir die rationale Formulierung des Lokal-Global-Prinzips: Bemerkung 15. Um eine diophantische oder rationale Gleichung zu untersuchen, kann man diese Gleichung auf reelle und p-adische Lösungen untersuchen und daraus Aussagen über das Verhalten in Q treffen. Wir sehen wegen Q Q p und Q R dass eine Lösung in Q sofort eine Lösung in allen Q p und in R impliziert. Außerdem folgt aus dem Fehlen einer solchen lokalen Lösung direkt das Fehlen einer globalen Lösung. Man kann die grundlegende Idee des Lokal-Global-Prinzips beschreiben, dass man nach dem chinesischen Restsatz aus den Lösungen der Gleichung modulo Primzahlpotenzen eine Lösung in Q versucht zu konstruieren. Dabei gilt, dass die Kongruenzen modulo der Potenzen einer Primzahl genau dann alle lösbar sind, wenn die Gleichung im entsprechenden p-adischen Körper lösbar ist, wie man in [Ste05, Theorem 13.2] nachlesen kann. Für bestimmte Klassen von Gleichungen folgt aus der Existenz von lokalen Lösungen überall auch die Existenz einer globalen Lösung. Folgender Satz liefert ein einfaches Beispiel dafür: 3.2 Möglichkeiten und Grenzen Satz 16 (Quadrate über Q p ). Eine rationale Zahl α ist genau dann ein Quadrat in Q wenn sie in allen Q p, p ein Quadrat ist. 7 Zwei Beträge nennt man äquivalent wenn sie die gleichen Nullfolgen haben 9

12 Beweis. : folgt aus Q Q p : Sei α ein Quadrat in allen Q p. Wir können α schreiben als: α = ± p νp(α) p< Da α in R ein Quadrat ist, gilt α 0. Und wenn α in Q p ein Quadrat ist muss der Exponent ν p (α) gerade sein. Eine besonders wichtige Klasse von Gleichungen für die das Lokal-Global-Prinzip gilt sind quadratische Formen, siehe Satz 28. Jedoch ist das Lokal-Global-Prinzip nicht das alleinige Wundermittel für Probleme in Q, wie wir an folgenden Beispielen sehen: Beispiel. Folgende Gleichungen haben eine Lösung im Reellen und in allen p-adischen Körpern, aber nicht im Rationalen (i) (x 2 2)(x 2 17)(x 2 34) = 0 (ii) 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 (iii) Das lokale Fermat Problem: x n + y n = z n für n 3 Siehe auch [Ste05, Chapter 14.5, 14.6] Es mag zwar auf den ersten Blick so aussehen, als ob man sich die Arbeit unnötig erschweren würde, da man ein Problem durch eine ganze Reihe von Problemen ersetzt. Diese sind jedoch meistens deutlich einfacher zu lösen als das rationale Problem, da es in den p-adischen und in den reellen Zahlen möglich ist das Problem mit analytischen Methoden anzugreifen. Dies macht das Lokal- Global-Prinzip zu einem starken Hilfsmittel der algebraischen Zahlentheorie. Im folgenden Kapitel werfe ich einen Blick auf die p-adische Analysis. 10

13 4 Hensel s Lemma 4.1 P-adische Analysis Wir können auf Q p ähnlich wie auf R auch Analysis 8 betreiben. Diese unterscheidet sich jedoch von unserer üblichen reellen Analysis. Kriterien für die Konvergenz von Folgen und Reihen vereinfachen sich deutlich, wie wir in Bem. 9 gesehen haben. Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden wie in R definiert. Die grundlegenden Eigenschaften der Stetigkeit gelten auch in den p-adischen Zahlen. Ein nützliches Lemma ist hierbei: Lemma 17 (p-adische Taylor-Entwicklung für Polynome). Es sei P ein Polynom. Dann gilt P (x + h) = n j=0 1 j! hj P (j) (x) (3) Beweis. Es sei P = n k=0 a kx k. Dann gilt: P (x + h) = n a k (x + h) k = n k ( k j) x k j h j = n n j=0 k=j k=0 n ( a k ) k j x k j h j = n j=0 a k k=0 j=0 k=0 j=0 n 1 j! hj k! a k (k j)! xk j = n 1 j! hj P (j) (x) k=j j=0 n ( a k k j) x k j h j = Bemerkung (p-adischer Mittelwertsatz). Ein direktes p-adisches Analogon zum reellen Mittelwertsatz ist nicht richtig Dies stellt einen wesentlich Unterschied zur reellen Analysis dar. Hieraus folgt auch dass in der p-adischen Analysis die Ableitung eine geringere Rolle spielt als im Reellen 4.2 Hensel s Lemma Ein wesentliches Resultat aus der p-adischen Analysis ist folgender Satz: Satz 18 (Hensel s Lemma). Sei F ein Polynom mit Koeffizienten in Z p und es gebe eine ganze p-adische Zahl x 1 mit F (x 1 ) 0 mod pz p und F (x 1 ) 0 mod pz p Dann gibt es x Z p mit x x 1 mod pz p und F (x) = 0. Wir erhalten x durch folgende Rekursion: x n+1 = x n F (xn) F (x n) Beweis. Wir schreiben x mod p n für x mod p n Z p. Wir müssen zeigen dass für alle n N gilt F (x n ) 0 mod p n und x n+1 x n mod p n. Dies zeigen wir induktiv. Aus x n x n 1 mod p n 1 folgt insbesondere x n x 1 mod p. Damit gilt F (x n ) 0 mod p. Wegen F (x n ) 0 mod p n und F (x n ) 0 mod p gilt x n+1 = x n F (xn) F (x x n) n mod p n. Wir schreiben F (x n ) = ap n mit einer 8 Für den interessierten Leser empfehle ich das Buch [Rob00] 11

14 Einheit a und erhalten: F (x n+1 ) = F (x n F (xn) F (x ) = F (x n) n p 2n F a (x n )( apn F (x ) (3) n) = F (x n ) F (x n ) apn F (x n) ) F (x n ) F (x n ) F (xn) F (x n) = 0 mod pn+1 F (x n) + Bemerkung 19. Wir können dabei x 1 {0, 1,..., p 1} wählen. Die Existenz ist einer solchen Näherung ist außerdem eine notwendige Bedingung. Beweis. Schreibe x = x 1 + px 2 mit x 1 {0, 1,..., p 1} und x 2 Z p. Es gilt P (x) = a k (x 1 + px 2 ) k = a k x k i 1 + (px 2 ) i a k x k 1 = P (x 1 ) mod pz p. 4.3 Anwendungen und Varianten Das Hensel sche Lemma ist ein nützliches Hilfsmittel im Gebiet der p-adischen Zahlen, hier sind einige praktische Anwendungen: Korollar 20 (Einheiten in Z p ). Es sei α Z p. α ist genau dann eine Einheit in Z p wenn α pz p, also a 0, der Koeffizient an der 0-ten Stelle 0 ist. Beweis. Für α pz p, also α = pα mit α zp sehen wir für alle β Z p gilt αβ = pα β Z p und damit kann α keine Einheit sein. Es gelte also α Z p \pz p. Wende Hensel s Lemma auf P (X) = αx 1 an. Die Kongruenz αx 1 a 0 X 1 0 mod pz p ist lösbar und es gilt P (X) = α 0 mod pz p. Damit hat P eine Nullstelle β Z p und es gilt 0 = P (β) = αβ 1 αβ = 1 Korollar 21 (Quadrate in Z p ). Sei p eine ungerade Primzahl. Dann ist eine Einheit α genau dann ein Quadrat in Z p wenn a 0 ein quadratischer Rest modulo p ist. Beweis. Betrachte das Polynom P (X) = X 2 α. Die Kongruenz X 2 a 0 0 mod pz p ist genau dann lösbar, wenn a 0 ein quadratischer Rest modulo p ist. Sei x 1 eine Lösung. Dann gilt ggt (p, x 1 ) = 1 = P (x 1 ) = 2x 1 0 mod pz p und damit können wir das Hensel Lemma anwenden und erhalten eine Quadratwurzel von α. Korollar 22 (Primitive Einheitswurzeln). Für alle Teiler m von p-1 gibt es in Q p m-te Einheitswurzeln. Siehe [Gou97, Prop 3.4.2] 12

15 5 Der Satz von Hasse-Minkowski Bevor ich zum Satz selbst komme, definiere ich noch ein paar Begriffe. 5.1 Quadratische Formen Definition 23. Eine quadratische Form über einem Körper K ist ein homogenes Polynom vom Grad 2, also von der Form f(x 1, x 2,..., x n ) = n n a ij x i x j. i=1 j=1 Dies lässt sich auch schreiben als f(x) = x T Ax mit x = (x 1,..., x n ) T und A = (a ij ). Definition 24. Eine quadratische Form f ist isotrop wenn es ein 0 x K n gibt mit f(x) = 0 Definition 25. Zwei quadratische Formen f und g über K sind äquivalent wenn es eine nicht singuläre lineare Transformation C GL n (K) gibt mit f(x) = g(cx). Bemerkung 26. Isotropie ist invariant unter äquivalenten Umformungen: Es seinen f und g quadratische Formen mit g(x) = f(cx) für ein C GL n (K). Sei f isotrop, dann gibt ein a 0 gibt mit f(a) = 0. Aus a 0 folgt C 1 a 0 und es gilt g(c 1 a) = f(cc 1 a) = f(a) = 0, also ist g isotrop. Die andere Richtung folgt durch die Umformung f(x) = g(c 1 x) analog. Lemma 27. Eine quadratische Form in n Variablen ist äquivalent zu einer diagonalen Form f = n a i Xi 2. i=1 Diese erhält man durch eine Hauptachsentransformation, also einer linearen Substitution der Variablen. Siehe [Ser73, Chapter IV Theorem 1 ] 5.2 Der Satz von Hasse-Minkowski Da wir nun die nötigen Grundlagen haben, kommen wir nun zum Satz von Hasse-Minkowski, der ein zentrales Resultat in der Zahlentheorie darstellt. Satz 28 (Satz von Hasse-Minkowski). Eine quadratische Form ist über Q genau dann isotrop wenn sie über allen Q p, p isotrop ist. Siehe [Ser73, Chapter IV, Theorem 8] Bemerkung 29 (Hasse-Minkowski, Verallgemeinerung). Zwei quadratische Formen sind genau dann über Q äquivalent wenn sie über R und allen Q p äquivalent sind. Bemerkung 30. Beide Sätze sind auch im Falle algebraischer Zahlkörper richtig, also über Körpererweiterungen von Q mit endlichem Grad. Die lokalen Vervollständigungen sind dann Erweiterungên der p-adischen Körper. 13

16 Hermann Minkowski behandelte 1890 schon die Frage der Äquivalenz quadratischer Formen und im Rahmen dieser Arbeit auch die Kriterien, unter welchen sich die Zahl 0 rational darstellen lässt. Ohne Verwendung dieser Resultate bewies Helmut Hasse 1923 den rationalen Fall im Jahr Dieser Beweis ist einfacher zugänglich als der Beweis von Minkowski und verwendet Hensel s p- adische Zahlen. Im folgenden Jahr konnte er die Aussagen auch für den Fall algebraischer Zahlkörper beweisen. 5.3 Weitere Aussagen über quadratische Formen Aus dem Satz beziehungsweise seinem Beweis ergeben sich noch eine Reihe von Korollaren, die für die Entscheidung der Isotropie nützlich sind und die Arbeit damit deutlich erleichtern. Im folgenden sei immer angenommen, dass die Form auf Hauptachsenform ist und die Koeffizienten teilerfremd und quadratfrei sind. Korollar 31. Jede quadratische Form über Q p mit 5 oder mehr Variablen ist isotrop, und damit ist eine quadratische Form mit 5 oder mehr Variablen über Q genau dann isotrop wenn sie über R isotrop ist Beweis. Siehe [Ser73, Chapter IV, Corollary 1] Lemma 32. Für eine ungerade Primzahl ist es für eine quadratische Form n a i Xi 2 hinreichend für Isotropie dass 3 der Koeffizienten teilerfremd zu p sind. i=1 Siehe [Fre84, Kap V 2 Prop. 2.1] Da die Koeffizienten endlich viele Primteiler haben, folgt hiermit für Formen der Dimension mindestens 3, dass sie in fast allen lokalen Körpern schon isotrop ist. Damit bleiben in jedem Fall nur endlich viele Primzahlen. Lemma 33. Aus der Isotropie einer quadratischen Form mit 3 oder 4 Variablen in allen Q p und R bis auf höchsten eine Ausnahme folgt die Isotropie auf Q. Siehe [Fre84, Kap V 3 Kor 3.5] für den Fall n = 3 und [Ser73, Ch IV 3, Cor 3 + Ch IV Th 6] für n = 4. Dies rechtfertigt es, bei unseren Untersuchungen den Fall p = 2 auszulassen, für den bestimmte Resultate nicht gelten. Lemma 34 (Lösung für 3 Variablen). Sei p eine ungerade Primzahl und f = ax 2 + by 2 + cz 2 mit teilerfremden und quadratfreien a,b,c. Die Form ist genau dann isotrop in Q p wenn b c ein Quadrat in Q p ist. Siehe [Ste05, Lemma 14.4]. Lemma 35 (Lösung für 4 Variablen). Eine anisotrope quadratische Form mit 4 Variablen ist äquivalent zu einer Form Z 2 ax 2 by 2 + abt 2 wobei gelten muss dass Z 2 ax 2 by 2 anisotrop ist. Siehe [Ser73, Chap IV 2.3 Cor to Thm 7]. 14

17 Teil B Implementierung Inhaltsangabe 6 Übersicht Möglichkeiten des Programms Darstellung der Zahl Arithmetische Funktionen Konkrete Problemstellungen Hensel s Lemma Analyse einer quadratischen Form

18 6 Übersicht 6.1 Möglichkeiten des Programms In meinem Programm zum Rechnen mit p-adischen Zahlen stelle ich folgende Funktionen zur Verfügung: (i) Grundrechenarten Berechnen der p-adischen Entwicklung von rationalen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division additiv und multiplikativ Invertieren p-adischer Betrag Potenzieren (ii) Hensel s Lemma Entscheiden ob es Nullstellen gibt Berechnen einer Näherung (iii) Untersuchung einer quadratischen Form auf Isotropie 6.2 Darstellung der Zahl Meine Implementierung der p-adischen Zahlen beschränkt sich darauf mit den p-adischen Entsprechungen der rationalen Zahlen zu rechnen.diese haben Lemma 4 eine schließlich periodische Zifferndarstellung besitzen. Dies ermöglicht es die Darstellung der Zahlen auf diese Periodizität zu optimieren und somit mit diesen Zahlen exakt rechnen zu können anstatt sich auf Näherungswerte zu beschränken. Die interne Darstellung der Zahl hat an erster Stelle eine Liste mit allen Ziffern, beginnend bei der kleinsten Potenz von p. Danach folgen die Längen der Vorperiode und der Periode. Die letzte Zahl gibt an, welche Potenz der Basis in der Zahl enthalten ist, also ab welchem Index die Reihe beginnt. Dies zeige ich an einem Beispiel: p := 7 pa1 = RationaleZahlInPAdisch [ 4 2 ] {{6,0},1,1,1} pa2 = RationaleZahlInPAdisch [ 42] {{1, 6}, 1, 1, 1} Ausgeben [ pa1, 5 ] p=7 Ausgeben [ pa2, 5 ] p=7 PAdischWert [ pa1 ] 42 16

19 PAdischWert [ pa2 ] 42 Die Funktion Ausgeben[] dient hierbei dafür, die Zahl mit einer gewissen Anzahl an Ziffern auszugeben, hier sind die Ziffern von links nach rechts betragsmäßig aufsteigend sortiert. die Funktion PAdischWert[] berechnet den rationalen Reihenwert der p-adischen Reihen. Zur Kontrolle rechnen wir 42 und -42 als 7-adische Zahlen von Hand aus: 42 = p + 0 p p 3 42 = p + 6 p p Arithmetische Funktionen Für die Grundrechenarten stelle ich folgende Funktionen zur Verfügung, um mit p-adischen Zahlen zu rechnen, wobei x und y für p-adische Zahlen als Eingabe stehen, n für eine natürliche Zahl PAdischAddition [ x, y ] PAdischSubtraktion [ x, y ] PAdischMultiplikation [ x, y ] PAdischDivision [ x, y ] Potenz [ x, n ] Z a h l I n v e r t i e r e n [ x ] ZahlNegieren [ x ] PAdischBetrag [ x ] Die anderen Funktionen in meinem Programm sind interne Hilfsfunktionen, die nicht zur direkten Vewendung gedacht sind. Ein paar weitere Beispiele: pa3 = RationaleZahlInPAdisch [ 1 7 ] {{3, 2, 0}, 2, 1, 0} pa4 = RationaleZahlInPAdisch [ 1 / 9 ] {{4, 1, 6, 3}, 1, 3, 0} pa5 = RationaleZahlInPAdisch [ 1 ] {{1, 0}, 1, 1, 0} pa6 = PAdischMultiplikation [ pa3, pa4 ] {{5, 5, 0, 3}, 1, 3, 0} pa7 = PAdischAddition [ pa5, pa6 ] {{6, 5, 0, 3}, 1, 3, 0} pa8 = RationaleZahlInPAdisch [ 5 / 7 ] {{5, 0}, 1, 1, 1} pa9 = PAdischSubtraktion [ pa7, pa8 ] {{2, 5, 5, 0, 3}, 2, 3, 1} PAdischWert [ pa9 ] 137/ 63 PAdischerBetrag [ pa9 ] 7 17

20 7 Konkrete Problemstellungen Im Rahmen meiner Arbeit habe ich zusätzlich zu einer Implementierung der grundlegenden Rechenoperationen auf p-adischen Zahlen noch zwei konkrete p- adische Themen implementiert, zum einen die Entscheidung der Existenz von Nullstellen von Polynomen und zum anderen in diesem Fall auch das Berechnen einer p-adischen Näherungslösung. 7.1 Hensel s Lemma Bei meiner Implementierung stelle ich zwei Versionen des Hensel Lemmas zur Verfügung Die erste Version erwartet ein Polynom, einen Startwert und eine maximale Anzahl an zu berechneten Rekursionschritten. Zuerst wird mit den Bedingungen in Satz 18 getestet ob es zu dem gegebenen Startwert eine Nullstelle gibt und berechnet die vorgegebene Anzahl an Näherungswerten. Ein Beispielaufruf sieht so aus: polynom1 = RationalesPolynomInPAdisch [{ 2,0,1}] pa = RationaleZahlInPAdisch [ 3 ] HenselLemma [ polynom1, pa, 1 ] Bedingungen e r f u e l l t, Naeherungsloesung wird berechnet : x0 = p=7 P( x0 ) = p=7 x1 = p=7 P( x1 ) = p=7 Die zweite Version erwartet nur ein Polynom und testet systematisch die Startwert von 0 bis p-1, ein Beispiel sieht so aus: polynom1 = RationalesPolynomInPAdisch [{ 2,0,1}] HenselLemma [ polynom1 ] Bedingungen n i c h t e r f u e l l t Bedingungen n i c h t e r f u e l l t Bedingungen n i c h t e r f u e l l t Bedingungen e r f u e l l t, Naeherungsloesung wird berechnet : x0 = p=7 P( x0 ) = p=7 Bedingungen e r f u e l l t, Naeherungsloesung wird berechnet : x0 = p=7 P( x0 ) = p=7 Bedingungen n i c h t e r f u e l l t Bedingungen n i c h t e r f u e l l t Die Hilfsfunktion RationalesPolynomInPAdisch [ l i s t ] 18

21 kann dabei verwendet werden, um aus einem Polynom mit rationalen Koeffizienten, gegeben durch eine Liste von Koeffizienten, beginnend mit a 0, ein Polynom mit entsprechenden p-adischen Koeffizienten gemacht, welches als Eingabe akzeptiert wird. Die Eingabe von Koeffizienten, die nicht p-adisch ganzzahlig sind, wurde nicht getestet und es wird keine Garantie übernommen, wie das Programm darauf reagiert. Desweiteren führt die Eingabe von Zahlen, die nicht dem geforderten Format entsprechen zu Fehlern. In einigen Tests haben sie die Berechnungen der Iterationen im Hensel Lemma bei einer Rekursionstiefe von mehr als 1 als sehr zeitintensiv gezeigt, dies liegt daran, dass bei zunehmender Iteration die Zahlen immer mehr Ziffern haben und dadurch die Rechenoperationen immer länger dauern. 7.2 Analyse einer quadratischen Form Der Satz von Hase-Minkowski zeigt, dass wir eine quadratische Form über Q auf Isotropie untersucht können, indem wir sie über allen Q p und über R untersuchen. Diesem Satz folgend habe ich eine solche Untersuchung implementiert, in dem ich vor allem auf die Resultate in Kapitel 5.3 zurückgreife Isotropie auf R Das erste wesentliche Kriterium war die Isotropie auf R, die ich dadurch untersucht habe, indem ich die Matrix auf Definitheit getestet habe. Wenn die Matrix positiv oder negativ definit ist, wird ausgegeben, dass die Form nicht isotrop ist da sie über R nicht isotrop ist. A1 = {{1}} HasseMinkowski [ A1 ] n i c h t i s o t r o p, da n i c h t i s o t r o p ueber R A2 = {{1, 1, 0}, { 1, 2, 0}, {0, 0, 3}} HasseMinkowski [ A2 ] n i c h t i s o t r o p, da n i c h t i s o t r o p ueber R Wenn die Matrix auf der Diagonalen eine 0 an der Stelle i hat ergibt die folgende Belegung 0: x i = 1, x j = 0 für j i A3 = {{1, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 0}} HasseMinkowski [ A3 ] i s o t r o p da es wegen e i n e r 0 auf der Diagonalen schon e i n e Loesung geben muss Dies deckt auch schon alle Form der Dimension 1 ab. Für alle weiteren Betrachtungen werden die Formen nach ihrer Dimension unterschieden. 19

22 7.2.2 Dimension 2 Die 2x2 Matrix wird zuerst mit einer Hauptachsentransformation umgeformt, dabei wird der erste Koeffizient auf 1 normiert und der zweite Koeffizient quadratfrei gemacht. A4 = {{3, 2}, {2, 4}} HAT2[ A4 ] {{1, 0}, {0, 1}} A5 = {{3, 2}, {2, 5}} HAT2[ A5 ] {{1, 0}, {0, 19}} Wir sehen dass unsere Form X 2 + by 2 genau dann isotrop ist wenn -b ein Quadrat ist, beziehungsweise bei der modifizierten Hauptachsentransformation eine -1 erscheint HasseMinkowski [ A4 ] i s o t r o p HasseMinkowski [ A5 ] n i c h t i s o t r o p Dimension 3 Nun kommen wir auf den interessantesten Fall, eine quadratische Form mit 3 Variablen. Wieder wird die Form zuerst auf Hauptachsenform transformiert, wobei die gleichen Normierungen wie für den Fall 2 verwendet werden. Nun werden alle Primteiler des Produkts der Koeffizienten bestimmt, der Fall 2 wird gemäß Lemma 33 bei der Untersuchung dann ausgelassen. Sei nun p ein solcher Primteiler. Dann kann p einen oder zwei Koeffizienten teilen. Wenn sie zwei davon teilt, wird die Form mit p multipliziert und wieder um Quadrate gekürzt, die Reihenfolge wird danach so umgestellt, dass der durch p teilbare Koeffizient vorne steht. Dann wird nach Lemma 34 getestet, ob die Form isotrop ist, der relevante Code sieht dabei folgendermaßen aus:... pa = RationaleZahlInPAdisch [ k1/k2 ] ; r e s u l t = PAdischIstQuadrat [ pa ]... PAdischIstQuadrat [ pa ]:= I f [ EvenQ [ pa [ [ 4 ] ] ] && JacobiSymbol [ pa [ [ 1, 1 ] ], p ] == 1, True, False ] Die erzeugte Ausgabe sieht dabei dann so aus: A6 = DiagonalMatrix [ { 3, 2, 5}] HasseMinkowski [ A6 ] F a l l p = 2 wird a u s g e l a s s e n aufgrund entsprechenden R e s u l t a t s 20

23 Quadratische Form i s t bzgl p = 3 i s o t r o p Quadratische Form i s t bzgl p = 5 i s o t r o p Quadratische Form i s t i s o t r o p, da s i e in a l l e n l o k a l e n Koerpern i s o t r o p i s t A7 = DiagonalMatrix [ { 1, 3, 5}] Quadratische Form i s t bzgl p = 3 a n i s o t r o p Quadratische Form i s t bzgl p = 5 a n i s o t r o p Quadratische Form i s t anisotrop, da s i e in einem l o k a l e n Koerper a n i s o t r o p i s t Dimension 4 Bei Dimension 4 wissen wir nach Lemma 35, dass eine anisotrope Form von der Gestalt X 2 ay 2 bz 2 + abw 2 sein. Wobei X 2 ay 2 bz 2 auch anisotrop sein muss. Damit reduziert sich die Untersuchung einer Form mit 4 Variablen auf die Untersuchung einer Form mit 3 Variablen, falls die Gestalt entsprechend ist oder sie ist schon isotrop.... I f [ a4 == QuadratFrei [ a2 a3 ], r e s u l t = I s o t r o p i e T e s t 3 [ { a1, a2, a3 }, q ] ] ;... Einige Beispiele: A8 = DiagonalMatrix [ { 1, 3, 5, 15}] Quadratische Form i s t bzgl p = 3 a n i s o t r o p Quadratische Form i s t bzgl p = 5 a n i s o t r o p Quadratische Form i s t anisotrop, da s i e in einem l o k a l e n Koerper a n i s o t r o p i s t A9 = DiagonalMatrix [ { 1, 3, 5, 7}] Form i s t i s o t r o p da s i e n i c h t d i e G e s t a l t e i n e r a n i s o t r o p e n Form hat Dimension 5 Für höhere Dimensionen hängt die Isotropie in q nur noch von der Isotropie in R ab. Da diese bereits am Anfang getestet wurde, muss in diesem Fall nur noch eine Ausgabe gemacht werden. HasseMinkowski5 [ k o e f f ] := Print [ i s o t r o p, da schon i s o t r o p ueber R ] Diese Funktion wird nämlich nur aufgerufen, falls Isotropie über R schon gegeben ist. 21

24 Anmerkungen Im Anschluss an diese Arbeit befindet sich ein vollständiger Ausdruck meines Wolfram Language Packages p adic final.wl und meines Mathematica Notebooks p adic display.nb. Diese finden sich zusammen mit einer PDF Version meiner Arbeit auch auf der beigelegten CD. Ausblick Im Rahmen einer solchen Arbeit ist es natürlich nie möglich alle Facetten abzudecken. Einen guten allgemeinen Überblick findet man in [Gou97]. In [Rob00] findet der interessierte Leser mehr zur p-adischen Analysis und zur Funktionentheorie. Die Theorie der quadratischen Formen wird dabei in [Fre84] und [Ser73] vertieft. Im allgemeinen Werk [Ste05] finden sich neben einem grundlegenden Einblick in die p-adischen Zahlen auch viele andere interessante Themen. Insgesamt finde ich die p-adischen Zahlen ein sehr interessantes Thema, mit dem ich mich auch in Zukunft weiter beschäftigen werde, eventuell auch im Rahmen einer Masterarbeit. Hierzu könnte ich mir vorstellen mein Programm weiter zu führen um so weitere Facetten abdecken zu können. 22

25 Literatur [Fre84] Gerhard Frey. Elementare Zahlentheorie. Grundkurs Mathematik [Gou97] Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers. Springer, [Kob77] Neal Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta Functions. Number 58 in Graduate Texts in Mathematics. Springer, [Rob00] Alain M. Robert. A Course in p-adic Analysis. Number 198 in Graduate Texts in Mathematics. Springer, [Ser73] [Ste05] Jean-Pierre Serre. A Course in Arithmetic. Number 7 in Graduate Texts in Mathematics. Springer, Jörn Steuding. Diophantine Analysis. Discrete Mathematics and its Applications. Chapman Hall/CRC, [Ste15] Jörn Steuding. Die p-adischen zahlen

26 Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe und die Arbeit keiner anderen Prüfungsbehörde unter Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe.