mathematik und informatik

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1 Prof. Dr. Torsten Linß Kurs 037 Numerische Mathematik II LESEPROBE mathematik und informatik

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3 Kapitel 4 Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen Sehr viele Probleme aus den Naturwissenschaften und der Technik führen auf Differentialgleichungen. Daher ist die Entwicklung effizienter Methoden zur Lösung solcher Gleichungen eine Hauptaufgabe der Numerischen Mathematik. Zu diesem Problemkreis gibt es eine Vielzahl von Publikationen, die sowohl sehr allgemeine und für große Klassen von Differentialgleichungen anwendbare Verfahren als auch typabhängige Verfahren, die auf spezielle Differentialgleichungen zugeschnitten sind, behandeln. 4. Einleitung, Existenzaussagen In diesem Kapitel wollen wir uns mit Anfangswertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung beschäftigen. Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung y t) = λyt), t > t 0, λ R, die je nach Vorzeichen der Konstante λ Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreibt, beispielsweise das Wachstum einer Populationen von Lebewesen oder den Zerfall chemischer Substanzen. Durch Vorgabe eine Anfangsbedingung Größe der Population bzw. Stoffmenge der Substanz) zur Zeit t 0 ist die Lösung der Differentialgleichung eindeutig bestimmt. Aufgabenstellung AWA). Gegeben sind eine Funktion f : D R R R sowie ein Punkt t 0, y 0 ) D. Gesucht ist eine stetig differenzierbare Funktion y, für die und y t) = f t, yt)), t t 0, 4.a) yt 0 ) = y 0. 4.b) gilt. 63

4 64 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Bemerkung 4... Die Gleichung 4.a) wird als Differentialgleichung bezeichnet, da sie Ableitungen der zu bestimmenden Funktion y enthält. Es handelt sich dabei um eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, weil y eine Funktion einer Veränderlichen ist und die höchste auftretende Ableitung eine Ableitung erster Ordnung ist. Die Differentialgleichung 4.a) legt fest, wie sich ein System, das zum Zeitpunkt t durch den Zustand yt) beschreiben wird, mit der Zeit t > t 0 entwickelt, wenn es sich zur Zeit t = t 0 im Zustand y 0 befindet. Umgekehrt kann man aber auch nach der Vergangenheit des Systems fragen, also den Zuständen yt) für t < t 0. Diese beiden Aufgaben sind äquivalent, wie man sich durch die Substitution t τ = t 0 t t 0 ) überlegt, da t < t 0 genau dann, wenn τ > t 0. Der folgende Satz von Picard und Lindelöf gibt Auskunft über die eindeutige Lösbarkeit der Anfangswertaufgabe AWA). Satz 4... Die Funktion f : D α, β) a, b) R sei stetig und genüge bzgl. des zweiten Argumentes einer Lipschitz-Bedingung, d.h., es gebe eine Konstante L R mit f x, y) f x, z) L y z, x α, β), y, z a, b). Dann existiert ein Intervall I δ t 0 δ, t 0 + δ), δ > 0, derart, dass AWA) genau eine Lösung y C I δ ) besitzt, für die gilt. y t) = f t, yt)), t I δ, und yt 0 ) = y 0 Bemerkung Für die Analysis numerischer Verfahren für AWA) ist es i.allg. erforderlich, dass die Lösung y höhere Regularität besitzt. Sind die Voraussetzungen des Satzes 4.. erfüllt und ist f C k D), k N 0, dann gilt y C k+ I δ ). 4. Approximationsverfahren für AWA Für die Lösung y von AWA) möchten wir auf dem Intervall [t 0, T] Näherungswerte berechnen. Dabei ist die Anfangszeit t 0 durch die Aufgabenstellung gegeben, während T > t 0 einen Zeitpunkt darstellt, bis zu dem uns die Lösung von AWA) interessiert. Über das Intervall [t 0, T] legen wir ein Gitter mit der Gitterweite oder auch Schrittweite) τ T t 0 )/n, n N: t 0 < t < t < < t n = T, t l t 0 + lτ. Auf diesem Gitter möchten wir Werte u l als Näherungen für die yt l ) berechnen: yt l ) u l, l = 0,,..., n. Charles Émile Picard, * Paris, Frankreich),..94 Paris, Frankreich) Ernst Leonard Lindelöf, * Helsingfors, Russland), Helsinki, Finnland)

5 4.3. EINSCHRITTVERFAHREN FÜR AWA 65 y 0 y u 0 u u u3 u n yt) t 0 t t t 3 t n = T Abbildung 4.: Punktweise Approximation der Lösung einer Anfangswertaufgabe Abb. 4. illustriert dieses Vorgehen. Dabei setzen wir sinnvollerweise und berechnen sukzessive u l aus u 0 yt 0 ) = y 0 der Näherung u l zur vorherigen Zeit t l oder aus den m, m >, vorangehenden Näherungen u l, u l,..., u l m. Im ersten Fall spricht man von Einschritt- und im zweiten von Mehrschrittverfahren, bzw. konkreter von m-schrittverfahren. Wir werden uns hier auf Einschrittverfahren ESV) beschränken. 4.3 Einschrittverfahren für AWA 4.3. Konstruktion und Struktur von Einschrittverfahren Es gibt viele Möglichkeiten, ESV zu konstruieren. Eine mit Blick auf Abschnitt.3. naheliegende Idee ist, die Ableitung in 4.a) zunächst durch einen Differenzenquotienten zu approximieren: yt l ) yt l ) y t l ) = f t l, yt l ) ). τ Anschließend ersetzen wir yt l ) und yt l ) durch ihre Näherungen u l bzw. u l und erhalten so eine Rekursion zur Berechnung von u l aus u l : u l = u l + τ f t l, u l ), l =,,..., n, u0 = y 0. 4.) t

6 66 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Diese Berechnungsvorschrift wird als explizites Euler-Verfahren bezeichnet. Obiger Differenzenquotient kann auch als Approximation für y t l ) aufgefasst werden: was uns auf die Rekursion yt l ) yt l ) y t l ) = f t l, yt l ) ), τ u l = u l + τ f t l, u l ), l =,,..., n, u0 = y 0, 4.3) führt. Mit 4.3) ist keine explizite Berechnungsvorschrift für u l gegeben, vielmehr muss eine i.allg. nichtlineare Gleichung gelöst werden. Daher wird 4.3) auch als implizites Euler- Verfahren bezeichnet. Auf den ersten Blick scheint dieses Verfahren daher ungünstiger zu sein als 4.), es gibt aber wichtige Anwendungen, bei denen das implizite Euler-Verfahren seinem expliziten Pendant deutlich überlegen ist, da auftretende Rundungsfehler nicht verstärkt werden. Bemerkung Zur numerischen Lösung von 4.3) kann u l als Fixpunkt der Funktion ϕ l, ϕ l x) u l + τ f t l, x), aufgefasst werden. Genügt f einer Lipschitz-Bedingung bzgl. des zweiten Argumentes mit Lipschitz-Konstante L, dann gilt ϕ l x) ϕ l z) = τ f tl, x) f t l, z) τl x z. Für τl < ist ϕ l also kontrahierend. Ferner ist ϕ l in einer Umgebung von yt l ) eine Selbstabbildung, d.h. es existiert eine Umgebung U ε ytl ) ) mit ϕ l z) U ε ytl ) ) für alle z U ε ytl ) ) ohne Beweis). Somit existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkt von ϕ l. Dieser ist u l. Ist τ /L dann konvergiert die Fixpunktiteration sehr schnell. Im Abschnitt.3. insbesondere in der Aufgabe.3. hatten wir gesehen, dass ein symmetrischer Differenzenquotient bessere Approximationen liefert als ein einseitiger: wobei yt l ) yt l ) y t l / ) = f t l /, yt l / ) ), 4.4) τ t l / t l + t l = t l + τ der Mittelpunkt des Intervalls [t l, t l ] ist. Nun stellt sich allerding die Frage, wie wir yt l / ) bzw. y t l / ) ersetzen. Mindestens) drei Möglichkeiten bieten sich an. i) Wir berechnen eine Näherung für yt l / ) mit einem Schritt des expliziten Euler-Verfahren und halbierter Schrittweite: yt l / ) u l + τ f t l, u l )

7 4.3. EINSCHRITTVERFAHREN FÜR AWA 67 und ersetzen yt l / ) entsprechend in 4.4): yt l ) yt l ) f t l /, u l + τ τ f ) ) t l, u l. Hieraus leiten wir die Rekursion u l = u l + τ f t l /, u l + τ f ) ) t l, u l, l =,,..., n, u 0 = y 0, 4.5) ab, die als verbessertes Euler-Verfahren bezeichnet wird. ii) Mittelung für y : y t l / ) y t l ) + y t l ) = f t l, yt l ) ) + f t l, yt l ) ) f ) ) t l, u l + f tl, u l. Wir erhalten die sog. implizite Trapezregel für Anfangswertaufgaben u l = u l + τ f ) τ t l, u l + f ) t l, u l, l =,,..., n, u0 = y ) iii) Mittelung für y: y t l / ) = f t l /, yt l / ) ) f t l /, yt ) l ) + yt l ) f t l /, u l + u ) l. Diesmal erhalten wir die Berechnungsvorschrift u l = u l + τ f t l /, u l + u ) l, l =,,..., n, u 0 = y 0, 4.7) die sog. Mittelpunktregel für Anfangswertaufgaben. Das verbesserte Euler-Verfahren 4.5) stellt eine explizite Berechnungsvorschrift für die u l dar, während sowohl bei der Trapez- als auch bei der Mittelpunktregel eine i.allg. nichtlineare Gleichung zu lösen ist. Diese beiden Verfahren werden daher als implizite Verfahren klassifiziert. Wir möchten es an dieser Stelle bei diesen fünf Beispielen für Einschrittverfahren bewenden lassen. Mit den Runge-Kutta-Verfahren werden wir eine weitere wichtige Klasse im Abschnitt kennen lernen. Allgemein besitzen Einschrittverfahren ESV) die folgende Struktur: u l = u l + τ Φt l, u l, τ), l =,,..., n, u 0 = y ) Die Funktion Φ wird als Verfahrensfunktion oder Zuwachsfunktion bezeichnet. Sie ist von f abhängig. Auf eine Verankerung dieser Abhängigkeit in der Notation wollen wir der Einfachheit halber jedoch verzichten. Aufgabe Geben Sie die Verfahrensfunktionen für das explizite, das verbesserte und das implizite Euler-Verfahren an!

8 68 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN 4.3. Konvergenz von Einschrittverfahren Wir betrachten die Anfangswertaufgabe AWA) auf einem Intervall [t 0, T], T > t 0. Die durch die Verfahrensvorschrift 4.8) erzeugte Folge u l ) n l=0 hängt von der Anzahl der Teilintervalle n bzw. der gewählten Gitterweite τ ab. In diesem Abschnitt verdeutlichen wir diese Abhängigkeit durch ein hochgestelltes τ: u τ n l) l=0, wobei n und τ gemäß τ = T t 0)/n aneinander gekoppelt sind. Der Aufwand zur Berechnung einer Approximation zu AWA) mit einem Einschrittverfahren ist proportional zu n bzw. /τ. Eine sinnvolle Forderung für das Verfahren ist daher, dass der Fehler der Approximation reduziert wird, wenn man die Schrittweite verkleinert. Uns interessiert deshalb in diesem Abschnitt die Abhängigkeit des Fehlers von der Schrittweite τ, wenn τ 0. Dabei betrachten wir den globalen Verfahrensfehler in der Maximumnorm: E y, u τ ) max yt l ) u τ l. l=0,...,n Die wichtigste Kenngröße für Effizienz eines Einschrittverfahrens ist seine Konvergenzordnung. Definition Es existiere eine Konstante C R +, eine Schrittweite τ 0 > 0 und ein p > 0 derart, dass für den globalen Verfahrensfehler des ESV gilt E y, u τ ) Cτ p für alle τ 0, τ 0 ]. Dann nennen wir das ESV 4.8) konvergent mit der Konvergenzordnung p. Wichtigstes Hilfsmittel bei der Konvergenzuntersuchung ist der lokale Verfahrensfehler η. Er gibt an, wie groß der Fehler nach einem Schritt des Verfahrens ist, wenn mit der exakten Lösung gestartet wurde. Zur Zeit t besitzt y den Wert yt). Das Paar t, yt)) setzen wir als Startwerte in die Verfahrensvorschrift 4.8) ein und erhalten den Näherungswert yt) + τ Φt, yt), τ) für yt + τ). Der lokale Fehler ist also ηt, τ) yt + τ) yt) τ Φ t, yt), τ ). Mittels des lokalen Verfahrensfehlers wird die Konsistenzordnung eines ESV definiert. Definition Es existiere eine Konstante Γ R +, eine Schrittweite τ 0 > 0 und ein p > 0 derart, dass für den lokalen Verfahrensfehler des ESV gilt η t, τ) Γτ p+ für alle t [t 0, T τ] und τ 0, τ 0 ]. Dann sagen wir, das ESV 4.8) besitzt die Konsistenzordnung p. Der lokale Verfahrensfehler und damit die Konsistenzordnung wird i.allg. mittels Taylor- Entwicklungen untersucht.

9 4.3. EINSCHRITTVERFAHREN FÜR AWA 69 Beispiel Wir wollen den lokalen Fehler des expliziten Euler-Verfahrens untersuchen. Für dieses ist Φt, u, τ) = f t, u); vgl. Auf Wir nehmen an, dass y C [t 0, T] sei. Wir entwickeln y in eine Taylor-Reihe: yt + τ) = yt) + τy t) + τ y t + ξ), mit einem ξ 0, τ). Unter Beachtung von y t) = f t, yt)) = Φ t, yt), τ ) folgt ηt, τ) = yt + τ) yt) τφt, yt), τ) = τ y t + ξ). Für den lokalen Fehler erhalten wir die Abschätzung ηt, τ) τ y [t0,t] für t 0 t < t + τ T. Das Verfahren besitzt also die Konsistenzordnung. Aufgabe Zeigen Sie, dass das verbesserte Eulerverfahren die Konsistenzordnung besitzt, falls f zweimal und y dreimal stetig differenzierbar sind! Hinweis: Benutzen Sie die Taylor-Reihe und entwickeln Sie yt+τ) sowie Φ v t, yt), τ) an der Stelle τ = 0 bis zum kubischen bzw. quadratischen Glied nach Potenzen von τ! Wir wollen nun untersuchen, wie aus dem lokalen auf den globalen Verfahrensfehler geschlossen werden kann. Dazu lösen wir zunächst die folgende Übungsaufgabe, deren Ergebnis wir nutzen werden, um die Akkumulation der lokalen Fehler abzuschätzen. Aufgabe Beweisen Sie: Für Zahlen M > 0, a l 0, h > 0 und b 0 sei erfüllt. Dann gelten die Abschätzungen Hinweis: Benutzen Sie Induktion! a l + hm) a l + hb, l =,,..., n, a l emlh M b + emlh a 0, l = 0,,..., n. Satz Das ESV 4.8) besitze Konsistenzordnung p > 0. Für den lokalen Verfahrensfehler des ESV 4.8) gelte η t, τ) Γτ p+ für alle t [t 0, T τ] und τ 0, τ 0 ]. 4.9) mit einem τ 0 > 0 und einer Konstante Γ. Die Verfahrensfunktion Φ sei Lipschitz-stetig bzgl. ihres zweiten Argumentes mit Lipschitz-Konstante Λ > 0. Dann ist das Verfahren konvergent mit der Ordnung p. Für den globalen Verfahrensfehler gilt max yt l ) u τ l KΓτ p f ür τ 0, τ 0 ] mit K eλt t0). Λ l=0,...,n

10 70 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Beweis. Wir setzen y l yt l ), l = 0,..., n, für die Lösung der AWA an der Stelle t l, e l u τ l y l, l = 0,..., n, η l ηt l, τ), l = 0,..., n Wegen der Verfahrensvorschrift 4.8) gilt u τ l = uτ l + τ Φt l, u τ l, τ), l =,,..., n, und wegen der Definition des lokalen Fehlers y l = y l + τ Φt l, y l, τ) + η l, l =,,..., n. Somit gilt für den Fehler des Verfahrens die Rekursion für den Fehler des Verfahrens an der Stelle t l und für den lokalen Fehler des Verfahrens. e l = e l + τ Φt l, u τ l, τ) Φt l, y l, τ) ) η l, l =,,..., n, e 0 = 0. Aus der Lipschitz-Stetigkeit von Φ sowie aus 4.9) folgt e l e l + τ Φt l, u τ l, τ) Φt l, y l, τ) + η l } {{ } Somit gilt Λ u τ l y l e l + τλ) e l + Γ τ p+, l =,,..., n, e 0 = 0. Wir benutzen Aufg mit h = τ, M = Λ, b = Γ τ p und a 0 = 0, um den Beweis zu komplettieren. Aus Satz können wir die Faustregel Konsistenz der Ordnung p impliziert Konvergenz der Ordnung p für Einschrittverfahren ableiten, die natürlich nur unter gewissen im Satz formulierten Bedingungen gilt. Beispiel Es ist Zeit für ein Beispiel. Wir betrachten die AWA Die Lösung der AWA ist y t) = 3yt) /3, t > 0, y0) =. yt) = t + ) 3, t 0. Wir wollen sie mit dem expliziten und dem verbesserten Euler-Verfahren auf dem Intervall [0, ] numerisch approximieren. Die folgende Tabelle enthält die globalen Verfahrensfehler der beiden Verfahren für verschiedene Schrittweiten τ = /n.

11 4.3. EINSCHRITTVERFAHREN FÜR AWA 7 Euler-Verfahren n explizit verbessert 5.53e e e-0 8.4e e-0.08e e e e-0.43e e e e e e-03.87e-05 Euler-Verfahren n explizit verbessert 3.005e-03.43e e e e e e e e e e-04.40e e-03.53e e e-03 Für das einfache explizite Euler-Verfahren sichern unsere theoretischen Untersuchungen Konvergenz der Ordnung, für das das verbesserte Euler-Verfahren hingegen Ordnung. Wir erwarten also, dass der globale Fehler proportional zu /τ bzw. /τ ist. Dieses erwartete Verhalten beobachten wir auch in den Tabellen, solange n einen kritischen Wert, ca. 7 bzw. 0 nicht überschreitet. Wie bei der numerischen Differentiation.3.) können Rundungsfehler, die sich aus der Verwendung von Gleitkommazahlen ergeben, die Resultate stark verfälschen. Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir uns noch mit der Akkumulation von Rundungsfehlern bei Einschrittverfahren beschäftigen. Bei der Umsetzung eines ESV in einem Computerprogramm kann die Verfahrensvorschrift 4.8) nicht exakt implementiert werden. Um die Fortpflanzung der Rundungsfehler zu analysieren, nehmen wir an, dass die Rechnung im l-ten Schritt mit einem Fehler ϱ l behaftet ist: ũ l = ũ l + τ Φt l, ũ l, τ) + ϱ l, l =,,..., n, ũ 0 = y 0 + ϱ ) Unter den Voraussetzungen und mit der Notation von Satz gilt für die Fehler der Näherungen ũ τ l : max l=0,...,n ) yt l ) ũ τ l K Γτ p + τ max ϱ l + K ϱ 0. l=,...,n Bemerkung Auftretende Fehler bei der Berechnung der u l werden akkumuliert und mit dem Inversen der Schrittweite τ multipliziert. Hieraus ist abzuleiten, dass die Schritte nicht zu klein gewählt werden dürfen. Außerdem ist die Rechenzeit proportional zur Anzahl der Schritte. Für die Genauigkeit und Effizienz der Verfahren ist daher eine möglichst hohe Konsistenz- und Konvergenzordnung essentiell.

12 7 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Runge-Kutta-Verfahren Eine wichtige Klasse von Einschrittverfahren für Anfangswertaufgaben sind die Runge-Kutta 3 - Verfahren RKV). Ein s-stufiges RKV, s N, hat die Gestalt k = f t l + c τ, u l + τ a k + a k + + a s k s ) ) k = f t l + c τ, u l + τ a k + a k + + a s k s ) ). k s = f t l + c s τ, u l + τ a s k + a s k + + a ss k s ) ) u l = u l + τ b k + b k + + b s k s ) Es wird durch den Knotenvektor c = c, c,..., c s ) T, die Verfahrensmatrix A = a i j ) s i, j= sowie den Vektor der Gewichte b = b, b,..., b s ) T definiert. Sie können in sehr übersichtlicher Form im sog. Butcher 4 -Tableau oder Butcher-Schema) angegeben werden: c A b T c a a a s c a a a s c s a s a s a ss b b b s Einigen Beispielen von Runge-Kutta-Verfahren sind wir schon in Abschnitt 4.3. begegnet, so lassen sich sowohl das explizite als auch das implizite Euler-Verfahren wie folgt als einstufige RKV auffasssen: bzw. k = f t l, u l ) u l = u l + τk k = f t l + τ, u l + τk ) u l = u l + τk mit Butcher-Tableau mit Butcher-Tableau während das verbesserte Euler-Verfahren ein zweistufiges RKV ist k = f t l, u l ) k = f t l + τ, u l + τk ) u l = u l + τk mit Butcher-Tableau Martin Wilhelm Kutta, * Pitschen, Schlesien) Fürstenfeldbruck, Deutschland) 4 John Charles Butcher, * Auckland, Neuseeland)

13 4.3. EINSCHRITTVERFAHREN FÜR AWA 73 Aufgabe Schreiben Sie die Trapez- und Mittelpunktregel als Runge-Kutta-Verfahren und geben Sie die zugehörigen Butcher-Tableaus an! Ist die Matrix A eine strikte untere Dreiecksmatrix oder kann sie durch Zeilen- und Spaltenvertauschungen in eine solche überführt werden), dann handelt es sich um ein explizites Verfahren, andernfalls um ein implizites. Bemerkung Bei der programmtechnischen Umsetzung expliziter RKV ist bei jedem Schritt zur Berechnung der k i, i =,..., s, jeweils genau ein Funktionswert von f zu berechnen. Bei der Umsetzung eines impliziten RKV ist hingegen ein System von s i.allg. nichtlinearen Gleichungen zu lösen. Ähnlich zum impliziten Euler-Verfahren Bem. 4.3.) kann gezeigt werden, dass bei Lipschitz-stetigem f und hinreichend kleiner Schrittweite τ dieses Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt und die Fixpunktiteration zu ihrer Berechnung geeignet ist. Weitere explizite Verfahren sind das dreistufige Verfahren von Heun das klassische) vierstufige Verfahren von Runge und Kutta mit dem Butcher-Tableau Bemerkung Bei expliziten RKV werden, wie hier, die Nullen auf und oberhalb der Diagonalen der Verfahrensmatrix üblicherweise nicht angegeben. Ein s-stufiges RKV wird durch ss + ) Parameter beschrieben, nämlich den Knotenvektor c, den Gewichtsvektor b und die Verfahrensmatrix A. Wichtig ist nun die Frage, wie man diese Parameter bestmöglich wählt, um ein Verfahren möglichst hoher Ordnung zu erhalten. Dazu untersucht man den lokalen Verfahrensfehler mit Hilfe von Taylor-Entwicklungen. Man erhält so Bedingungen an die c i, b j und a i j, die erfüllt sein müssen damit das Verfahren eine gewisse Ordnung p besitzt. Auf Details wollen wir hier nicht eingehen, sondern verweisen den interessierten Leser auf die Literatur, z.b. [6], bzw. den Kurs Für die bisher vorgestellten expliziten RKV kann so gezeigt werden, dass die Anzahl der Stufen identisch mit der Konsistenzordnung ist, vgl. Tab Karl Heun, * Wiesbaden), Karlsruhe)

14 74 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Verfahren p s explizites Euler-Verfahren verbessertes Euler-Verfahren Verfahren von Heun 3 3 klassisches Runge-Kutta-Verfahren 4 4 Tabelle 4.: Stufenzahl s und Konsistenzordnung p ausgewählter expliziter RKV Bereits Runge hat sich daher mit der Frage beschäftigt, ob es explizite fünfstufige RKV der Ordnung 5 gibt. Diese Frage wurde von Butcher negativ beantwortet. Ein explizites 5-stufiges RKV besitzt bestenfalls die Ordnung 4. Anders ist die Situation bei impliziten RKV. Für beliebige vorgegebene Stufenzahl s N können implizite RKV der Ordnung p = s konstruiert werden.

15 4.4. LÖSUNGEN DER AUFGABEN Lösungen der Aufgaben Lösung Explizites Euler-Verfahren: Verbessertes Euler-Verfahren: Implizites Euler-Verfahren: Φ e t, u, τ) = f t, u). Φ v t, u, τ) = f t + τ, u + τ ) f t, u). Φ i : t, u, τ) z, und z ist die Lösung der Gleichung z = f t + τ, u + τz). Lösung Wir entwickeln zunächst yt + τ) nach Taylor: yt + τ) = yt) + τy t) + τ y t) + τ3 6 y t + ξ), ξ = ξτ) 0, τ). Zur Untersuchung von yt) + τ Φ v t, yt), τ) setzen wir zur Abkürzung z yt) und definieren die Hilfsfunktion Offensichtlich ist Φ v t, z, τ) = ψτ/). Wir entwickeln ψ für ζ > 0 nach Taylor: ψ : [0, τ/] : ζ ψζ) f t + ζ, z + ζ f t, z)). ψζ) = ψ0) + ζψ 0) + ζ ψ ζ ), ζ 0, ζ). Für die Ableitungen von ψ erhalten wir zunächst mit der Kettenregel und hieraus ψζ) = f t + ζ, z + ζ f t, z) ), ψ ζ) = f t t + ζ, z + ζ f t, z) ) + fy t + ζ, z + ζ f t, z) ) f t, z), ψ ζ) = f tt t + ζ, z + ζ f t, z) ) + fty t + ζ, z + ζ f t, z) ) f t, z) + fyy t + ζ, z + ζ f t, z) ) [ f t, z) ] ψ0) = f t, z), ψ 0) = f t t, z) + f y t, z) f t, z), ψ ζ) Cψ f tt D + D fty f D + D fyy f D, wobei D der Definitionsbereich von f und D die Maximumnorm auf D seien. Beachte, dass aus der Differentialgleichung y t) = f t, yt) ) folgt y t) = f t t, yt) ) + fy t, yt) ) f t, yt) ).

16 76 KAPITEL 4. ANFANGSWERTAUFGABEN Für den lokalen Verfahrensfehler erhalten wir mit obigen Taylor-Entwicklungen also ηt, τ) = yt + τ) yt) τ Φ v t, Φt), τ) = τ3 6 y t + ξ) τ3 8 ψ ζ ), und hieraus y ηt, τ) τ 3 [t0,t] + C ) ψ. 6 8 Das verbesserte Euler-Verfahren besitzt somit Konsistenzordnung. Lösung Voraussetzung: Für Zahlen M > 0, a l 0, h > 0 und b 0 gilt Zu zeigen: Es folgt a l + hm) a l + hb, l =,,..., n. 4.) a l emlh M b + emlh a 0, l = 0,,..., n. 4.) Induktionsanfang: Offensichtlich gilt 4.) für l = 0, da e Mlh = für l = 0. Induktionsschritt l l + ): Die Ungleichung 4.) gelte für l, dann folgt a l+ + hm) a l + hb, wegen 4.), e Mlh ) + hm) M b + emlh a 0 + hb, wegen 4.) für l, = + hm) emlh b + + hm) e Mlh a 0 M eml+)h b + e Ml+)h a 0, da, + x < e x für x > 0. M Somit gilt 4.) auch für l +. Lösung implizite Trapezregel: -stufiges RKV) k = f t l, u l ) k = f t l + τ, u l + τ )) k + k ) u l = u l + τ k + k Mittelpunktregel: -stufiges RKV) mit Butcher-Tableau mit Butcher-Tableau k = f t l + τ, u l + τ k ) u l = u l + τk

17 Inhaltsverzeichnis 0 Eigenwerte und Polynomnullstellen 0. Eigenwert- und Nullstelleneinschließungen Einschließung aller Nullstellen Einschließung einzelner Nullstellen Einschließungssätze für Eigenwerte Die Kondition des Eigenwertproblems Sturmsche Ketten Matrixeigenwerte und Sturmsche Ketten Der Euklidische Divisionsalgorithmus und Sturmsche Ketten Wechselzahl und Anzahl der Polynomnullstellen Lösungen der Aufgaben Direkte Verfahren für Eigenwertprobleme. Hermitesche Tridiagonalmatrizen Hessenberg-Matrizen Reduktionsverfahren Das Reduktionsverfahren nach Householder Das Reduktionsverfahren nach Givens Das Jacobi-Verfahren Lösungen der Aufgaben Iterative Verfahren für Eigenwertprobleme 49. Die Vektoriteration Die Grundform des Verfahrens Deflationsmethoden Die inverse Vektoriteration Die Teilraumiteration Das QR-Verfahren für normale Matrizen Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Die Singulärwertzerlegung Numerischer Rang einer Matrix Die Pseudoinverse Berechnung der Singulärwertzerlegung i

18 ii INHALTSVERZEICHNIS.5 Lösungen der Aufgaben Zweipunktrandwertprobleme 8 3. Ein einleitendes Beispiel Aussagen zur Analysis Kollokationsverfahren Galerkin-Verfahren Quasioptimalität der Galerkin-Verfahren Polynomiale Ansatzfunktionen Splines als Ansatzfunktionen Beweis von Satz Differenzenverfahren Das klassische Differenzenverfahren für u = f Differenzenverfahren höherer Ordnung Nichtgleichabständige Gitter Allgemeine Differentialgleichungen zweiter Ordnung Lösungen der Aufgaben Anfangswertaufgaben Einleitung, Existenzaussagen Approximationsverfahren für AWA Einschrittverfahren für AWA Konstruktion und Struktur von Einschrittverfahren Konvergenz von Einschrittverfahren Runge-Kutta-Verfahren Lösungen der Aufgaben

19 INHALTSVERZEICHNIS iii