Eine kleine Sammlung abiturähnlicher Aufgaben Grundkurs

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1 Eine kleine Sammlung abiturähnlicher Aufgaben Grundkurs

2 Analysis

3 Mountainbike Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von Mountainbikes entstehen Fikosten in Höhe von 5 e und variable Kosten V() (in e), die durch folgende Tabelle modellhaft gegeben sind: V() 95 5 a) Bestimme die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion. Grades V sowie der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von. Skizziere das Schaubild von H für < < in ein geeignetes Koordinatensystem. Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fikosten? b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 5 e pro Stück an einen Händler verkauft. Gib den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von an und skizzieren Sie das Schaubild der Gewinnfunktion in das vorhandene Koordinatensystem. Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Wie hoch ist der maimale Gewinn pro Monat? c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken. Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn pro Monat 9 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens e betragen soll? Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi 7. Freiburg, Freiburger Verlag

4 Küstenlinie Ein Naturschutzgebiet hat in idealisierter Weise den dargestellten Küstenverlauf. Im Scheitel der Bucht zwischen den zwei Kaps - diese entsprechen den Punkten C und D - befindet sich ein Hafen (Punkt B). Zur näherungsweisen Beschreibung des Gebietes wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem so gelegt, dass der Punkt A im Nullpunkt liegt und die -Achse das Naturschutzgebiet begrenzt. Die Koordinaten der Punkte B und C sind gegeben: B( ) und C( ). Eine Längeneinheit soll km in der Realität entsprechen. a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C eine geeignete Polynomfunktion. Grades, die den Küstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B und C beschreibt. Begründe diesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen. b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtet werden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f() und berechne die Entfernung zwischen C und D. c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegenden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(),5,5. Berechne die Länge der Fahrtstrecke. d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagen muss, um von B zum Punkt P(,5 ) zu gelangen. e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küstenlinie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die Punkte B und C des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mit g(), 5, 5 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischen A und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründe dein Vorgehen. Gruber/Neumann: Erfolg im Mathe-Abi 7. Freiburg, Freiburger Verlag

5 Küstenlinie - Lösung zu a) Bestimme mit Hilfe der Punkte A, B und C eine geeignete Polynomfunktion. Grades, die den Küstenverlauf der Küste mit den Punkten A, B und C beschreibt. Begründe diesen Ansatz sowie die verwendeten Bedingungen. Ansatz: f() a b c d e Gemäß den Informationen aus Tet und Abbildung ist: f(), f(), f (), f(), f () Diese Informatinen führen auf ein 5 5-Gleichungssystem, dessen Lösung mit dem GTR bestimmt wird: a, b, c, d, e. Man erhält also die Funktion f(). zu b) Zwischen den Spitzen der beiden Kaps C und D soll eine Richtfunkstrecke eingerichtet werden. Verwende für den Küstenverlauf die Funktion f mit f() und berechne die Entfernung zwischen C und D. D ist offensichtlich ein Hochpunkt des Graphen; wir können die Koordinaten von D daher ermitteln, indem wir die Etremstellen suchen (zwei davon kennen wir ja schon). Hier helfen die Ableitungen: f() f () f () 8 Die notwendige Bedingung für Etremstellen (f () ) ist wegen GTR,5 außer an den bereits bekannten Stellen noch für,5 erfüllt. Die hinreichende Bedingung für Etremstellen (f () f () ) ist für,5 wegen f (,5) 9 ebenfalls erfüllt (aber das war ohnehin klar). Mit f(,5),5 erhalten wir D(,5,5). Der Abstand zwischen C und D ergibt sich dann als d(c, D) (,5 ) (,5 ),578. Die gesuchte Entfernung beträgt also etwa, km. zu c) Vom Hafen B startet ein Ausflugsboot zum nächstgelegenen Punkt der gegenüberliegenden Küste. Diese Küstenlinie wird beschrieben durch die Funktion k(),5,5. Berechne die Länge der Fahrtstrecke. Wir suchen den Abstand von B( ) zu einem Punkt P( k()) der Küstenlinie. Dieser Abstand berechnet sich als d(c, P) ( ) (k() ), also d(c, P) ( ) (,5,5 ),5,5,5 5. Der Term,5,5,5 5 wird minimal, wenn,5,5,5 5 minimal wird, so dass wir nach den Etremstellen von d mit d(),5,5,5 5 suchen müssen; das Minimum bei,5 findet man völlig mühelos. Wir erhalten den gesuchten Abstand, indem wir,5 in d(c, P) einsetzen; es ergibt sich d(c, P),5,. Die Fahrtstrecke ist also etwa, km lang.

6 zu d) Bestimme den Kurs, d.h. den Winkel zur Nordrichtung, den das Boot einschlagen muss, um von B zum Punkt P(,5 ) zu gelangen. Diese Aufgabe ist beleidigend einfach, es ist tan(α) Gegenkathete Ankathete,5 y,5, also α, o. Das Boot sollte also einen Kurs von etwa o einschlagen. zu e) Aus historischen Landkarten geht hervor, dass in früheren Jahrhunderten die Küstenlinie einen anderen Verlauf hatte. Diese alte Küstenlinie ging nur durch die Punkte B und C des heutigen Naturschutzgebiets und lässt sich durch eine Funktion g mit g(), 5, 5 beschreiben. Berechne den Landgewinn für das Gebiet zwischen A und C, der durch die Veränderung des Meeresspiegels entstanden ist und begründe dein Vorgehen. Hier interessieren wir uns für das Integral der Funktion d mit d() f() g() in den Grenzen von bis. Wir berechnen hier nicht etwa die Fläche zwischen den Graphen, sondern die Bilanzsumme, weil es an einigen Stellen auch Landverlust gibt. f() g()d,5,5 d 7 5,7 Der Landgewinn beträgt also etwa,7 km.

7 Umgehungsstraße Quer und schnurgerade durch den kleinen niederrheinischen Ort Raas geht eine vielbefahrene Bundesstraße. Die Bewohner des Ortes haben lange gekämpft, nun soll endlich die langersehnte Umgehungsstraße gebaut werden. Die Abbildung zeigt einen Kartenausschnitt, auf dem die alte Bundesstraße (Gerade durch die Punkte A und C) und der ungefähre Verlauf der neuen Umgehungsstraße (gestrichelte Kurve) eingezeichnet sind (alle Angaben in km). a) Bestimme aus der Grafik die lineare Funktion, die die alte Bundesstraße beschreibt. b) Die neue Umgehungsstraße soll im Punkt A glatt an der alten Bundesstraße anschließen, sie soll durch den Punkt B gehen und am Punkt C unter einem beliebigen Winkel wieder auf die Bundesstraße treffen. Bestimme mit Hilfe der Skizze und den genannten Bedingungen eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die die Umgehungsstraße zwischen den Anschlusspunkten beschreibt. Zur Kontrolle: f() c) Nördlich der Geraden y befindet sich ein Naturschutzgebiet. Der Abstand der neuen Umgehungsstraße zu diesem Gebiet soll den Abstand von m nicht unterschreiten. Untersuche, ob die durch die Funktion f beschriebene Straße diese Anforderung erfüllt. d) Bestimme den Punkt der Umgehungsstraße, in dem sich das Krümmungsverhalten der Straße ändert. e) Der nördliche Ortsrand von Raas ist näherungsweise parabelförmig und wird durch die Funktion g() 5 recht gut beschrieben. Die Fläche, die von der neuen Umgehungsstraße, dem nördlichen Ortsrand und Teilen der Bundesstraße eingeschlossen wird, ist Eigentum der Gemeinde Raas und soll vollständig in ein Gewerbegebiet umgewandelt werden. Stelle diese Fläche in der Graphik dar und bestimme die Höhe der Einnahmen, mit denen der Stadtkämmerer rechnen kann, wenn das Land vollständig zu einem Preis von e pro m verkauft wird. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

8 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff. Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des Mathe- Treffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung. Lösung zu Aufgabe Nr. Umgehungsstrasse. Die alte Bundesstraße verläuft durch die Punkte A(-,5) und C( -,5) und schneidet die y-achse im Punkt (,5). Die Steigung der linearen Funktion, die diese Straße beschreibt ist,5,5 m ( ) y. Die Umgehungsstraße verläuft durch die Punkte A, C, B(,5) und schließt glatt in A an die alte Straße an, also gilt im Punkt A: Steigung ist,5 ' f ( ) a b c d ; f ( ) a b c I. f ( ) 8a b c d, 5 II. f ( ) a b c d, 5

9 III. 5, 8 ) ( d c b a f IV. 5, ) ( ' c b a f,5 a,b,c in II.: 9 c in II': und a 8 c in III':.. ' 8,5 9 ' ' 9.. ' c b a d b c a b a a a c a I III III c c II IV IV c b a I II II also ) ( f. Man bestimme das Minimum der Differenzfunktion ) ( ) ( f g ) '( ' ) ( ' g g ) ( ', ± ± g,8) (, ' ' TP TP g > Der minimale Abstand beträgt ungefähr 5 m, die Bedingungen sind also erfüllt.. Gesucht ist der Wendepunkt der Funktion f ) ''( ) '( f f ) ''( ' f Der Wendepunkt ergibt sich zu WP oder ), (,7 WP

10 Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten. 5. Darstellung der gesuchten Fläche ( )d h g d h f A ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( 8) ( d d ) ( h ) ( f 5 ) ( g

11 Größe der Fläche A km 9,km, m Die Einnahmen betragen also ungefähr Mio. Euro.

12 Lipnature Die Kosmetikfirma lipnature, die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines Kussmundes zu verleihen. Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graphen einer achsensymmetrischen Funktion vierten Grades (f ), welche an der Stelle eine Nullstelle und an der Stelle E ein relatives Etremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y-achse an der Stelle y S. Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion f benutzt werden, die durch die Funktionsgleichung f () 8 gegeben ist. a) Bestimme die Gleichung der Funktion f, welche die Randlinie der Oberlippe beschreibt. [Zur Kontrolle: f () 8 ] b) Bestimme die gemeinsamen Schnittpunkte der Funktionen f und f. c) Bestimme alle relativen Etrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion f. d) Skizziere das Firmenlogo. e) Berechne den Flächeninhalt des Kussmundes. f) Die PR-Abteilung der Kosmetikfirma schlägt vor, den Firmennamen lipnature als Schriftzug so in den Kussmund zu integrieren, dass er in einem Rechteck zwischen der -Achse und der Unterlippenrandlinie erscheint. Berechne die Maße des entsprechenden Rechtecks maimalen Flächeninhalts und geben Sie zudem die Flächenmaßzahl an. g) Die Fläche des in Teilaufgabe f) ermittelten Rechtecks reicht nicht aus, um den Firmennamen angemessen darin unterbringen zu können. Nun soll die Gleichung, welche die Unterlippenrandlinie beschreibt, derart verändert werden, dass die Nullstellen bei ± erhalten bleiben, aber die Lage des Scheitelpunkts auf der y-achse variieren kann. Zeige, dass alle möglichen Unterlippenrandlinien durch eine allgemeine Funktion f t mit f t () t t (t R > ) wiedergegeben werden. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

13 Lipnature - Lösung zu a) Bestimmung der Funktionsgleichung Ansatz für die achsensymmetrische Funktion vierten Grades: f() a b c Bedingungen: f hat an der Stelle eine Nullstelle, also f (), f hat an der Stelle E ein relatives Etremum, also f () und der Graph schneidet die y-achse an der Stelle y S, also f (). Aus f () folgt sofort c. Die beiden anderen Bedingungen liefern: f () : 5a b f () : a b Ergo: 5a b a b 5a b 8a Die gesuchte Funktionsgleichung ist also : : f() 8 b 8 a zu b) Um die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, setzt man die beiden Funktionsterme gleich: Mit f () f () und f () f () ergeben sich die Schnittpunkte sind also S ( ) und S ( ). zu c) In dieser Teilaufgabe sind Ableitungen vonnöten: f (), f () und f () 8 Etrempunkte: notwendige Bedingung für Etrema: f () ( ) hinreichende Bedingung für Etrema: f () f () f () > Min T( ) f () < Ma H (,5) f () < Ma H (,5) Wendepunkte: notwendige Bedingung für Wendepunkte: f () ( ) hinreichende Bedingung für Wendepunkte: f () f ()

14 f f ( ) ( ) 8 > re-li-wp W (,5,5) ( ) ( ) 8 < li-re-wp W (,5,5) zu d) Skizze des Firmenlogos zu e) Flächeninhalt des Kussmundes A f () f () d f () f () d (( ) () ),8 5, [FE] zu f) Etremwertaufgabe Gesucht ist ein Rechteck mit maimalem Flächeninhalt: A a b Wir betrachten zunächst nur die rechte Hälfte des Rechtecks. Nebenbedingungen: a und b f () 8 d [ 5 ] Funktionsgleichung: A() ( ) 8 8 Bestimmung der Etremwerte: notwendige Bedingung für Etrema: A () A () 8 ( wird verhöhnt.) notwendige Bedingung für Etrema: A () ( ) A ( ) < Ma ( ) A 8,79 [FE] Der Flächeninhalt des ganzen Rechteks ist demnach,58 FE Beachte: Der Vergleich mit den Rändern erbringt wegen A() A() keine neuen Erkenntnisse.

15 zu g) Funktionsschar Ansatz für die gesuchte Funktion: f() t c Bedingungen: f(), also t c, also c t Ergo: f t () t t

16 Der Bahndamm In einem ebenen Gelände soll für eine neue Bahntrasse auf einer Strecke von km der zugehörige Bahndamm neu errichtet werden. Dabei sollen die folgenden, in der Abbildung angedeuteten Bedingungen eingehalten werden: Die Hangkurven auf den Intervallen [; ] und [; ] sind achsensymmetrisch zueinander. Für die Kurve auf dem Intervall [; ] wird angenommen, dass sie einer ganzrationalen Funktion dritten Grades entspricht, die bei einen Hochpunkt hat. Wie die Grafik zeigt befinden sich bei und bei Nullstellen. a) Rekonstruiere aus den gegebenen Daten die Funktionsgleichung für die Kurve auf dem Intervall [; ]. [zur Kontrolle: f() ] b) Damit das Material nicht abrutscht, darf die Steigung am Hang maimal 5 o betragen. Wird dieser Wert eingehalten? c) Welche Tiefe hat die Rinne an ihrer tiefsten Stelle? d) Wie groß (in m ) ist die für den Bau des Damms heranzuschaffende Menge an Erde? Bedenke dabei auch den Aushub! e) Ein Alternativvorschlag geht von einem einfachen gleichschenkligen Trapez ABCD aus. Welcher Vorschlag ist bezüglich der zu beschaffenden Erde günstiger? Auf welche Stelle auf der -Achse müsste der Punkt B verschoben werden, damit die zu beschaffende Erde bei beiden Vorschlägen gleich groß ist? f) Die Planungskommission möchte zur Überprüfung auch die Funktionsgleichung für den Damm über dem Intervall [; ] kennen. Bestimme diese mit Hilfe von Symmetrieüberlegungen und Verschiebung entlang der -Achse. Cornelsen

17 Zwei Graphen Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Gleichungen f() ke und g() k e, R, kgeq. In der Abbildung sind die zugehörigen Graphen G f und G g dargestellt. a) Begründe, dass die Zuordnung im Koordinatensystem korrekt erfolgt ist. b) Es wird behauptet, dass der Hochpunkt von G g mit dem Wendepunkt von G f zusammenfällt. Prüfe diese Behauptung. c) Zeige, dass es genau zwei Stellen gibt, an denen f und g die gleiche Steigung haben. d) Weise nach, dass S() k e eine Stammfunktion von s() f() g() ist. e) Für welchen Wert von k schließen die beiden Graphen auf dem Intervall von bis zur Schnittstelle der Graphen eine Fläche von FE ein? f) Es sei k. Die Gerade zu u schneidet die Graphen in den Punkten A und B. Der Punkt C( ) liegt auf der y-achse. Für welchen Wert von u ist der Inhalt des Dreiecks ABC am größten? Hängt das Ergebnis überhaupt von k ab? Cornelsen

18 Stausee Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch z() ( ) e Der Graph von z ist rechts abgebildet. Dabei wird in Tagen und z() in tausend Kubikmeter pro Tag angegeben. Betrachtet wird das Intervall [;, 5], d.h.:, 5. Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dass Wasser aus dem Stausee herausläuft. Ohne eigene Herleitung dürfen Sie im Weiteren z () ( ) e und z () ( 8 ) e verwenden. a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft. b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maimal ist. Zeigen Sie, dass z () ( ) e gilt. c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt 5 möglich sind. d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert. e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen. f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt befinden sich bereits 5 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch w() 5. Dabei wird wieder in Tagen angegeben und w() in Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach Tagen. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

19 Stausee - Lösung zu a) Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft. Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt, sind und (also am Ende des. Tages und am Ende des. Tages). Dieses Ergebnis ergibt sich aus z() ( ) e e Das Zulaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z() >, das Ablaufen von Wasser ist gleichbedeutend mit z() <. Hieraus ergibt sich, dass für < Wasser zuläuft, für < < Wasser abläuft und für > wieder Wasser zuläuft. zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maimal ist. Zeigen Sie, dass z () ( ) e gilt. Das gesuchte Maimum liegt entweder an den Rändern oder an einem relativem Maimum vor. Für das Auffinden relativer Maima benötigen wir die erste Ableitung. z() ( ) e u() u () v() e v () e z () ( ) e ( ) e ( ) e ( 5 ) e ( 5 ) e ( ) e Wir suchen nun relative Etrema: Notwendige Bedingung: z () z () ( ) e e 5 5,7 5, Hinreichende Bedingung: z () z () z ( ( 5) ( 5) ( ) 5) e ( 5),7 < z ( ( 5) ( 5) ( ) 5) e ( 5),5 > Bei 5 liegt also ein Hochpunkt und bei 5 ein Tiefpunkt vor. Mit z( 5),8 und z( 5),95 erhalten wir H(,7,8) als Hochpunkt und T(5,,95) als Tiefpunkt. Wegen z() <,8 <,8 z(,5) nimmt z sein absolutes Maimum auf dem Rand des Definitionsbereichs an, nämlich bei,5.

20 zu c) Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt 5 möglich sind. Mit z(5),899 erfahren wir, dass die Wassermenge zum Zeitpunkt 5 sehr stark abnimmt (zum Vergleich: z( 5),95, siehe.). Wäre die Zulaufrate einen ganzen Tag lang so niedrig wie zum Zeitpunkt 5, würden etwa 8,5 m Wasser ablaufen. zu d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert. Die größte Änderung von z liegt an einer Etremstelle von z (also an einer Wendestelle von z) oder am Rand vor. Wir suchen daher zunächst nach Wendestellen: Notwendige Bedingung: z () z () ( ) e e 8 Hinreichende Bedingung: z () z () z () ( 8 ) e,8 > liegt außerhalb des Definitionsbereiches. Aus z (), z (),778 und z (.5) 9,9 entnehmen wir, dass sich die Zulaufrate zum Zeitpunkt,5 am stärksten ändert. zu e) Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen. Die Menge zufließenden Wassers wird repräsentiert durch die Flächen oberhalb der - Achse, die Menge abfließenden Wassers wird repräsentiert durch die Fläche unterhalb der -Achse. Da letztere ersichtlich wesentlich kleiner ist als die Fläche, die für den ersten Zulauf steht (also die Fläche zwischen dem Graphen und der -Achse über dem Intervall [; ]), wird die Anfangswassermenge nicht wieder erreicht. zu f) In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt befinden sich bereits 5 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch w() 5. Dabei wird wieder in Tagen angegeben und w() in Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach Tagen. In den ersten Tagen kommen 5d Bakterien hinzu, d. h. für die Anzahl W der Bakterien zum Zeitpunkt gilt: W() W() 5d. Wegen 5d [ 7,5 ] 9,75 gibt es nach Tagen W() Bakterien.

21 Arzneimittelkonzentration Bei einer Arznei, z. B. einer Tablette, steht die Wirkung (z. B. Schmerzlinderung o.a.) in direktem Zusammenhang mit der Konzentration des in der Arznei enthaltenen Wirkstoffes im Blut, d.h., bei hoher Konzentration des Wirkstoffes verspurt der Patient eine intensive Wirkung. Die Konzentration des Wirkstoffes im Blut wird in µg pro Liter angegeben. Die nachfolgende Graphik zeigt die Änderungsrate der Konzentration in µg pro Liter je Stunde in Abhangigkeit von der Zeit t in h. Dabei ist t die Zeit in h seit Beginn der Einnahme (t ). Änderungsrate in µg pro Liter / h t in h a) Gib die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitintervalle, in denen die Wirksamkeit abnimmt. Begründe deine Aussagen. b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größten ist und begründe dein Ergebnis. c) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größten ist und begründe dein Ergebnis. d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(t) t e t (t ) beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemessen in µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weise unter Verwendung von f rechnerisch nach, dass dein Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist. (Falls du b) nicht gelöst hast, berechne nun den in b) gesuchten Zeitpunkt). Berechne auch die Höhe der Konzentration zu diesem Zeitpunkt. e) Begründe, dass das Vorzeichen von f durch den Term t bestimmt wird, und erkläre mit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildeten Graphen. f) Beschreibe den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

22 Arzneimittelkonzentration - Lösung zu a) Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen die Wirksamkeit zunimmt und die Zeitintervalle, in denen die Wirksamkeit abnimmt. Begründen Sie Ihre Aussagen. Die Wirksamkeit nimmt zu, solange die Änderungsrate der Konzentration positiv ist, und sie nimmt ab, sobald die Änderungsrate der Konzentration negativ ist; also: die Wirksamkeit nimmt zu im Intervall < <, und sie nimmt ab für >. zu b) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Konzentration des Wirkstoffes am größten ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. Aus a) folgt sofort, dass die Konzentration zum Zeitpunkt am größten ist, denn für > nehmen die Konzentration und damit auch die Wirksamkeit ab. zu c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Abnahme der Konzentration am größten ist und begründen Sie Ihr Ergebnis. Hier suchen wir das Minimum der Änderungsrate; dieses liegt, wie der Graph zeigt, bei. zu d) Die Wirksamkeit der Arznei wird durch die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(t) t e t (t ) beschrieben. Dabei beschreibt f(t) die Konzentration des Wirkstoffes im Blut (gemessen in µg pro Liter) zur Zeit t (gemessen in h seit der Einnahme). Weisen Sie unter Verwendung von f rechnerisch nach, dass Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe b) korrekt ist. (Falls Sie b) nicht gelöst haben, berechnen Sie nun den in b) gesuchten Zeitpunkt). Berechnen Sie auch die Höhe der Konzentration zu diesem Zeitpunkt. Dass für t und für t die Konzentration ist, liegt auch ohne Rechnung auf der Hand. Also ist hier das relative Maimum auch das absolute Maimum: Für dessen Bestimmung benötigen wir die ersten beiden Ableitungen: f(t) t e t u(t) t u (t) v(t) e t v (t) e t f (t) e t t (e t ) u(t) t u (t) ( t) e t v(t) e t v (t) e t f (t) e t ( t) (e t ) ( t) e t Notwendige Bedingung: f (t) f (t) ( t) e t t e t t t Hinreichende Bedingung: f (t) f (t) f () ( ) e e 8,55 < Bei t liegt also ein Hochpunkt vor. Mit f() e 8,55 erhalten wir T( 8,55)

23 als Hochpunkt. Für t haben wir also die höchste Konzentration des Wirkstoffs im Blut, nämlich 8,55 µg pro Liter. zu e) Begründen Sie, dass das Vorzeichen von f durch den Term t bestimmt wird, und erklären Sie mit Hilfe dieser Aussage nachträglich den Verlauf des abgebildeten Graphen. Der Funktionsterm von f (t) ist ein Produkt aus zwei Faktoren, nämlich t und e t. Weil e t positiv ist für alle t, hängt das Vorzeichen von f nur von t ab, d. h. f ist positiv, wenn t >, wenn also t <, und f ist negativ, wenn t <, wenn also t >. Genau dies zeigt der Graph. zu f) Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Wirksamkeit der Arznei. Die Wirksamkeit der Arznei nimmt zunächst rasch zu und erreicht nach einer Stunde ihren Höhepunkt (Konzentration: 8,5 µg pro Liter). Danach nimmt sie fast ebenso rasch wieder ab. Nach Stunden liegt die Konzentration nur noch bei, µg pro Liter, nach Stunden bei,9 µg pro Liter und nach 8 Stunden nur noch bei,59 µg pro Liter. Entsprechend gering ist die Wirkung.

24 Eine merkwürdige Pflanze Die Wachstumsrate einer sehr merkwürdigen Pflanze kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion f mit f(t) ( t t ) e t und t [ ;, ]. Dabei steht t für die Zeit in Stunden ab Beginn der Messung und f(t) für den Höhenzuwachs in Meter pro Stunde. Zu Beginn der Untersuchung ist die Pflanze cm hoch. Hinweis: Ohne Rechnung darf vorausgesetzt werden, dass dort, wo die notwendige Bedingung für Wendestellen erfüllt ist, auch tatsächlich eine Wendestelle vorliegt. a) Bestimme die Nullstellen von f und erläutere ihre Bedeutung. b) Ermittle den Zeitpunkt, [ an dem die Pflanze am schnellsten wächst. ] Nur zum Vergleich: f (t) (t t,75) e t c) Ermittle den Zeitpunkt, an dem sich die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze am stärksten verändert. d) Zeige, dass die Funktion F mit F(t) ( t t,5 ) e t eine Stammfunktion von f ist. e) Gib denjenigen Zeitpunkt an, an dem die Pflanze ihre größte Höhe erreicht hat. Ermittle, wie hoch die Pflanze zu diesem Zeitpunkt ist. f) Erläutere, warum der Definitionsbereich von f auf das Intervall [ ;, ] beschränkt ist. Ermittle, wie hoch die Pflanze zum Zeitpunkt t, nach diesem Modell wäre. g) Die Wachstumsrate einer zweiten Pflanze kann näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion g mit g(t) ( t t ) e t Untersuche, ob es einen Zeitpunkt gibt, an dem beide Pflanzen gleich schnell wachsen.

25 Radioaktiver Zerfall Beim radioaktiven Zerfall einer Substanz S beschreibt m (t) die Masse der noch nicht zerfallenen Substanz zum Zeitpunkt t. Dabei wird m (t) in mg und t in Stunden nach Beobachtungsbeginn angegeben. Es gilt: m (t) e,5t. a) Gib an, wie groß die Masse der Substanz S am Beobachtungsbeginn war. Berechne die Halbwertszeit dieses Zerfalls, d.h. die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der ursprünglichen Substanz vorhanden ist. Bestimme die nach Stunden bereits zerfallene Masse. Das Zerfallsprodukt der radioaktiven Substanz S ist die Substanz S. Auch diese Substanz ist radioaktiv und zerfällt demzufolge weiter. Für die Masse m (t) der noch nicht zerfallenen Substanz S gilt dann: m (t) e,5t ( e,5t ). b) Berechne, wie viel an Substanz S zum Zeitpunkt t vorhanden ist und interpretiere dieses Ergebnis. Begründe, dass es zu einem gewissen Zeitpunkt eine maimale Masse der Substanz S geben muss und berechne den Zeitpunkt und die zugehörige Menge. c) Zeichne die Graphen von m und von m in ein Koordinatensystem ein. Gegeben ist die Funktion g durch g() 5 e,5 e ( R ). d) Bestimme die Null- und Etremstellen von g. Beschreibe das Verhalten von g für. Zeichne auch den Graphen von g in dein Koordinatensystem ein. Zeige, dass die Funktion m eine Stammfunktion zur Funktion g ist. e) Bestimme den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen von g, der -Achse und der y- Achse begrenzt wird. Interpretiere die Bedeutung des Integrals t g() d. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Jahr 998 in Baden-Württemberg als Abituraufgabe für den Grundkurs gestellt.

26 Ableitung und Stammfunktion Gegeben ist die Eponentialfunktion f mit der Gleichung f() ( ) e ; R a) Bestimme für die Funktion f die Achsendurchschlagspunkte, das Verhalten im Unendlichen und die relativen Etrema. b) Gegeben sind die Graphen der Funktion f, der Graph ihrer Ableitungsfunktion f und der Graph einer Stammfunktion F von f. Begründe möglichst vielseitig, dass nur Abb. den Graphen von f darstellen kann. Entscheide, welcher Graph f und welcher Graph F darstellt und begründe deine Entscheidung. Abb. Abb. Abb. c) Der Graph von f schließt im I. Quadranten mit der -Achse eine Fläche ein. Zeige, dass die Funktion F mit F() ( 5) e eine Stammfunktion zu f ist. Berechne den Inhalt der oben beschriebenen Fläche. Zeichne den Graphen der Funktion g mit g() e in Abb. ein. Dieser Graph teilt die soeben berechnete Fläche in zwei Teile. Berechne das Teilverhältnis. b d) Gegeben ist das Integral (f() g())d. Für immer größer werdende Werte von b nähert sich der Integralwert dem Wert. Interpretiere dieses Ergebnis hinsichtlich der von den Graphen der Funktionen f und g insgesamt eingeschlossenen Fläche. Diese Aufgabe wurde in ähnlicher Form im Reader mit Beispielaufgaben zum Zentralabitur Mathematik als Aufgabe für den Grundkurs veröffentlicht.

27 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff. Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des Mathe- Treffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung. Lösung zu Aufgabe Nr. 5 Graph f, f, F f ( ) ( ) e ( ) e a) Die Achsendurchschlagspunkte sind die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen: y-achse: f ( ) P( ) -Achse: f ( ) ( ) N(- ) Verhalten im Unendlichen: lim f ( ) und lim f ( ) relative Etrema: ' notwendige Bedingung f ) ( ) e und ( ' '' hinreichende Bedingung f ( ) und f ( ) f '' ( ) ( ) e f '' () e < HP ( f ()), also HP( e ) f '' ( ) e > TP ( f ( )), also TP( ) b) Bild zeigt den Funktionsgraphen, Bild die Ableitung und Bild die Stammfunktion Begründung: Der Graph in Bild erfüllt als einziger Graph das erwartetet Grenzverhalten im Unendlichen Der Graph hat die berechneten Hochpunkte, Tiefpunkte und Achsendurchschlagspunkte Der Graph der Ableitungsfunktion schneidet die Achse an den Stellen, an denen der Graph von f Hoch- bzw. Tiefpunkt hat. Die Stammfunktion hat an der Stelle - einen Sattelpunkt, dort hat die Funktion f einen Tiefpunkt mit waagerechter Tangente

28 c) Die Funktion 5) ( ) ( e F ist Stammfunktion von f, wie man durch Ableiten von F mittels Produktregel sofort nachweisen kann. Die Fläche reicht ins Unendliche, Grenzen sind also und die Gerade z. ( ) 5 ) 5 ( 5) ( lim ) 5 ( 5) ( () ) ( ) ( ) ( z z z z z e z z e z z F z F F d f Durch Grenzwertbildung erhält man den Flächeninhalt 5

29 Die nächste Abbildung zeigt die Graphen von f und von g( ) e, sowie die beschriebene Teilung der Fläche. Berechnet wird nun die Fläche unter dem Graphen von g. z g( ) d e lim ( e z z z e ( )) z ( ) Durch Grenzwertbildung erhält man den Flächeninhalt Oben ergab sich für die Fläche unter dem Graphen von f der Inhalt 5. Teilverhältnis ist also : d) Da die Fläche zwischen den Graphen von f und g im I. Quadranten nach Teil c den Flächeninhalt hat, muss die Fläche im II. Quadranten zwischen - und ebenfalls den Flächeninhalt haben. Der Graph von g liegt im II. Quadranten über dem Graphen von f, deshalb wird ( ( ) g( ) ) d < f (also -) Gesamtintegralwert ist dann (es wird also nicht der Flächeninhalt, sondern die Bilanzsumme berechnet.)

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31 Vektorgeometrie

32 Flugbahnen Bei der Flugsicherung des Sportflughafens herrscht Alarmzustand: Bert Bruch hat sich soweit von den Folgen seiner letzten Landung erholt, dass er wieder in einem Flugzeug sitzen kann. Er befindet sich derzeit im Anflug auf die Landebahn mit den Eckpunkten A(8 ), B( ), C(8 ) und D( ) ( Einheit m) Berts Flugbahn zur Landung verläuft entlang einer Geraden. Er befindet sich zum Zeitpunkt t (in s) im Punkt X(t) mit, X (t) 55 t. 8,75,5 a) Zeige, dass die vier Eckpunkte der Landebahn in einer Ebene liegen und ein Rechteck bilden. b) Bestimme den Abstand der Flugbahn von der (näherungsweise als punktförmig betrachteten) Flugsicherung in F( 8). c) Damit Bert nicht schon wieder eine Bruchlandung macht, muss er natürlich im Bereich der Landebahn aufsetzen. Seine oben angegebene Flugbahn darf beim Aufsetzen nicht um mehr als o gegen die Landebahn geneigt sein. Prüfe, ob Bert beiden Bedingungen gerecht wird und es diesmal schafft. d) Auch ein zweites Flugzeug im Bereich des Sportflughafens bewegt sich entlang einer Geraden. Es befindet sich zum Zeitpunkt t im Punkt Y(t) mit 5 Y (t) t.,75 Weise nach, dass die Flugbahn von Bert Bruchs Flugzeug die Flugbahn dieses Flugzeuges schneidet. Begründe, dass es trotzdem nicht zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt. e) Berechne, wo sich die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt t 5 befinden. Berechne außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. f) Bestimme den Abstand d(t) der beiden Flugzeuge zu einem beliebigen Zeitpunkt t. Ermittle, zu welchem Zeitpunkt die beiden Flugzeuge ihren kleinsten Abstand haben.

33 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff. Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des Mathe- Treffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung. Lösung Aufgabe Nr. - Flugbahnen a) Bestimmen der Seitenvektoren AB ; AC 8 ; CD ; BD 8 zeigt, dass es ein Parallelogramm ist. AB AC liefert den Nachweis für die Eistenz eines rechten Winkels. Also handelt es sich um ein Rechteck. b) Für den Lotfußpunkt L des Punktes P zur Geraden gilt: L (,t -55 t 8,75,5t) FL r (,t)((,) ( 55 t) (,75,5t),5), da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Als Lösung ergibt sich t,7. Damit hat der Vektor FL die Länge. Der Abstand beträgt also Meter. c) Mithilfe des Kreuzprodukts erhält man als Normalenvektor der Ebene E (Landebahn) und y z als Koordinatenform für die Ebene E. Der Schnittpunkt von E und der Geraden (t) ergibt sich nach Lösen der Gleichung -55 t (8,75,5t) (Einsetzen von (t) in E) Die Lösung t 5 liefert als Schnittpunkt (Aufsetzpunkt des Flugzeugs) den Punkt S ( 85 75,75 ), der, wie man leicht sieht auf der Landebahn liegt. sin a,,5,,5 liefert als Winkel: a,.

34 Dieses Mal müsste die Landung also klappen, da die beiden Bedingungen erfüllt sind. d) Bestimmen des Schnittpunktes durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen: (t) y(k) liefert als LGS mit zwei Variablen,t 5 k -55 t - k 8,75,5t,75 k das die Lösungen t 7 und k hat, mit dem gemeinsamen Punkt Q( 9 -,75). Aus den Parametern lässt sich ablesen, dass die beiden Flugzeuge zu verschiedenen Zeitpunkten sich an diesem Ort befinden e) (5) 5 und y(5) 9 liefert die Koordinaten der beiden Punkte, an 5,75,75 denen sich die beiden Flieger zum Zeitpunkt t 5 befinden. Als Länge d des Vektors zwischen diesen beiden Punkten erhält man d 7, m. f) Für ein beliebiges t ergibt sich der folgende Vektor zwischen den beiden Punkten:,t 5t 5,5t Das Quadrat seiner Länge liefert folgende Funktionsgleichung: d(t) 78,t 5t 5. Mit den Mitteln der Analysis ergibt sich nach Gleichsetzen der. Ableitung mit Null für t der Wert t. Nach Sekunden ist also der Abstand zwischen den beiden Flugzeugen minimal.

35 Flugbahnen In einem räumlichen Koordinatensystem beschreibt die -y-ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die -Achse weise in die Ostrichtung und die y-achse in die Nordrichtung. Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt das Flugzeug F näherungsweise geradlinig auf.,5 Die Flugbahn von F verläuft auf der Geraden g : t 8. 7, Ein zweites Flugzeug F bewegt sich entlang der Geraden h : 9, t. Die Längeneinheit ist km. a) Beschreibe die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen. Das Flugzeug F überfliegt in km Höhe das Zentrum einer Stadt. Berechne den Abstand des Stadtzentrums vom Abhebepunkt P. Berechne den Steigungswinkel der Flugbahn von F. b) Als das Flugzeug F in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Punkt P einen Abstand von 7 km. Bestimme die Höhe, in welcher F in die Wolkendecke eintaucht. c) Zeige, dass die Flugzeuge F und F auf den angegebenen Bahnen nicht kollidieren können. d) Bestimme den Abstand der beiden Flugzeuge für den Fall, dass sich F genau über F befindet. Entscheide, ob dieser Abstand mit dem Abstand der beiden Flugbahnen übereinstimmt. Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen einer Aufgabe in der KMK-EPA.

36 Eine Aufgabe wie jede andere Gegeben sind: die Gerade g durch den Punkt P( ) und den Richtungsvektor a und die Gerade h t durch den Punkt Q(9 ) und den Richtungsvektor b t. a) Bestimme t so, dass sich die beiden Geraden schneiden, und berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S. (Ergebnis: t ; S( 9 7)) b) Bestimme die Koordinaten der Punkte auf der Geraden g, die von Q die Entfernung haben. Erstelle dazu eine Skizze. (Ergebnis: A( 9 7) S, B( 5 )) c) Q sei der Spiegelpunkt von Q bzgl. der Geraden g. Trage Q in deine Skizze aus Teilaufgabe b) ein und berechne die Koordinaten von Q. d) Gib eine Koordinatengleichung der durch die Geraden g und h t gebildeten Ebene E an. (mögliches Ergebnis: 85yz ) Zeige, dass die Ebene F mit F : y z 9 senkrecht auf der Ebene E steht.

37 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff. Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des Mathe- Treffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung. Lösung zu Aufgabe Nr. 8 vektorielle Geometrie ohne Zeichnungen a) : λ g und 9 : t h t µ 9 t µ λ I. 7 µ λ II. t µ λ III. µ λ Aus I. folgt µ λ 7 ; in III. folgt λ µ µ µ In II. folgt 8 t t ; Schnittpunkt S( 9 7) a) Ein Punkt auf der Geraden g hat die Koordinaten ) ( λ λ λ G λ λ λ 7 QG ( ) ) ( ) ( ) ( 7, ± ± λ λ λ λ λ λ λ λ d λ und λ Einsetzen in G ergibt die gesuchten Punkte A( 9 7) S und B( 5 )

38 c) Die zur Geraden g senkrechte Ebene E, die den Punkt Q enthält hat den Richtungsvektor der Geraden g als Normalenvektor, also n, daraus folgt die Ebenengleichung E: 9 : 9 z y E z y Setze die Gerade g dort ein: ) ( ) ( t t t t t Der Schnittpunkt von E und g ist also F(5 7 5). Für den Spiegelpunkt Q folgt ' QF OQ OQ ; also Q ( ) d) 7 9 : l k E Normalenvektor: 5 8 E n Normalenform: z y Koordinatenform: 5 8 z y Der Normalenvektor der Ebene F ist F n. Skalarprodukt mit E n ergibt: 5 8, also sind die Ebenen senkrecht zueinander.

39 Haus mit Walmdach Ein Haus ist quaderförmig mit einem aufgesetzten Walmdach. Die Maßangaben in der Zeichnung sind in Meter. a) Bestimme die Gleichungen der Dachebenen E und E in Parameter- und in Normalenform. b) Berechne den Schnittwinkel der beiden Dachebenen E und E. c) Ermittle, in welcher Höhe über dem Boden sich die Ebene E und die (durch die Punkte G, H und J festgelegte) Ebene E schneiden. ( ) ( ) d) Über dem Haus fliegt ein Vogel, dessen Flugbahn durch die Gerade g : t beschrieben werden kann. Bestimme den minimalen Abstand des Vogels von der Geraden durch I und J und den minimalen Abstand des Vogels von der Ecke J. e) Ermittle den Ort, an dem der Vogel aus d) landen wird. Bestimme auch den Winkel, in dem der Vogel auf die Erde trifft. ( ) ( ) f) Ein weiterer Vogel fliegt auf der Flugbahn mit der Gleichung h a : Ermittle denjenigen Wert von a, für den sich die beiden Flugbahnen kreuzen t a. J( ) E I( 7 ) H E E E F G( 7 8) C( 7 ) A( ) B( )

40 Pyramide Gegeben seien die Punkte A( ), B( 7 ), C( 7 ), D( ). a) Es sei E die Ebene durch A, B, C. Stelle eine Parametergleichung und eine Koordinatengleichung für E auf. Zeige, daß D nicht in der Ebene E liegt. b) Zeige, dass die Gerade g durch D mit dem Richtungsvektor v parallel zu E ist. Berechne ihren Abstand von E. c) Die zu E orthogonale Ebene durch die Gerade g aus b) schneidet die Ebene E in einer Geraden h. Gib eine Gleichung für die Gerade h an. d) Die Gerade g AB durchstößt die zu g AB orthogonale Ebene durch C in einem Punkt F. Bestimme diesen Punkt und berechne die Länge der Strecke CF. Berechne dann den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. e) Berechne mit Hilfe der Ergebnisse in b) und d) das Volumen der Dreieckspyramide ABCD. f) Verifiziere dein Ergebnis aus e), indem du das Pyramidenvolumen mit Hilfe des Spatproduktes berechnest.

41 In Ägypten In Ägypten wurde eine außergewöhnliche Gruppe von Pyramiden entdeckt. Es handelt sich um zwei kleine Pyramiden, die keinerlei Kammern enthalten. Da eine astronomische Funktion vermutet wurde, wurden die Pyramiden sorgfältig vermessen. Der Koordinatenursprung wurde senkrecht unter die Spitze der ersten Pyramide auf Bodenhöhe gelegt, die positive -Richtung entspricht der Richtung Norden. Die Angaben sind in m. Für die Koordinaten der ersten Pyramide gilt: A(, 5, 5 ), B(, 5, 5 ), C(, 5, 5 ), D(, 5, 5 ) und E( ). a) Zeige, dass die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist und berechne den Flächeninhalt. b) Die Dichte des verwendeten Kalksteins beträgt,8 g/cm. Berechne die Masse der Pyramide. c) Ein Hinweis auf die astronomische Bedeutung ist die Abweichung der ersten Pyramide aus der Süd-Nord-Richtung. Sie entspricht der Ekliptik von,5 o. Überprüfe diese Übereinstimmung. d) Berechne den Winkel zwischen zwei Seitenflächen der Pyramiden. Für die zweite Pyramide gilt: F( ), G( ), H( ), I( ) und J( ). Auf der Seitenfläche der kleineren Pyramide, die der größeren zugewandt ist, entdeckte man eine kleine Öffnung, die jedoch nur zu einer kleinen, verschütteten Röhre führte. Es zeigte sich, dass der Schatten der Spitze der großen Pyramide am Tag der Wintersonnenwende genau auf diese Öffnung fiel. Daher vermutet man, dass die Röhre geradlinig zur gegenüberliegenden Seite der Pyramide führt, um damit diesen Tag genau bestimmen zu kön- 5 nen. Die Sonne scheint am Mittag der Wintersonnenwende in Richtung des Vektors. e) Bestimme die Höhe, in der die zweite Öffnung der Röhre liegen sollte. f) Berechne den Abstand der Spitze E der ersten Pyramide von der Ebene, in der die Punkte F, G und J der zweiten Pyramide liegen.

42 Pyramide In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und S(, 5) Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S. a) Weise nach, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Stelle diese Pyramide in einem kartesischen Koordinatensystem dar. Berechne das Volumen dieser Pyramide. b) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, so dass das Viereck mit den Eckpunkten A, B, C und D ein Quadrat ist. 5 c) Eine Ebene E ist gegeben durch E : r 7s. Untersuche, welche Seitenfläche der Pyramide in der Ebene E liegt. d) Zeige, dass für jeden Wert r R der Punkt Q r ( r r ) auf der Geraden g durch die Punkte A und B liegt. Ermittle den Wert r, für den die Strecke OQ r senkrecht zur Geraden g liegt. Gib alle Werte r an, für die der Punkt Q r auf der Kante AB liegt.

43 Vierflach Durch die vier Punkte A( ), B( ), P( ) und Q(,5,5 ) ist ein Vierflach gegeben. a) Zeige, dass die von A ausgehende Kanten o -Winkel miteinander bilden. Zeige, dass das Vierflach nicht regelmäßig ist. Ermittle den Rauminhalt des Vierflachs. b) Senkrecht zur Fläche des Dreiecks ABQ verläuft durch den Punkt R(,5,5 5,5) eine Gerade g. Der Punkt E auf dieser Geraden bilde mit den Punkten A, B, Q ein Vierflach mit dem Volumen,5 Raumeinheiten. Welche Koordinaten hat der Punkt E? Wie viele Lösungen gibt es? c) Ausgehend von dem gegebenen Vierflach ABPQ sollen nun die Eckpunkte eines regelmäßigen Vierflachs ABCD ermittelt werden: Die Eckpunkte A und B bleiben dabei erhalten, der Punkt C liege auf der Geraden AP und der Punkt D auf der Geraden AQ. Ermittle die Koordinaten von C und D. Begründe, dass durch A, B, C und D tatsächlich ein regelmäßiges Vierflach festgelegt ist. Für die folgenden Aufgabenteile sei nun C( ) und (5 7). d) Die gegenüberliegenden Kanten des regelmäßigen Vierflachs liegen ersichtlich (kein Beweis erforderlich) auf windschiefen Geraden. Zeige für ein Kantenpaar: Die Richtungsvektoren der windschiefen Geraden sind orthogonal. Ermittle den Abstand dieser Geraden. e) Die vier Eckpunkte des regelmäßigen Vierflachs liegen auf einer Kugel. Ermittle deren Gleichung.

44 Dreieckspyramide Gegeben sind die Punkte A( 8 7), B( ), C( 8 ) und D(9 ). a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. [mögliches Ergebnis: y z 8] b) Gib die Schnittpunkte S, S y und S z der Ebene E mit den Koordinatenachsen an und zeichne das Dreieck S S y S z in ein Koordinatensystem ein. ( LE,5 cm, Verkürzungsfaktor in -Richtung: ) c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E. d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene E erhält. e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet. k f) Durch h k : 8 t k (t, k R) ist eine Geradenschar mit dem 7 k gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E liegen. g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar h k ist. h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h 5 einschließt.

45 Dreieckspyramide - Lösung Gegeben sind die Punkte A( 8 7), B( ), C( 8 ) und D(9 ). zu a) Ermittle die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist. [mögliches Ergebnis: y z 8] Als Parameterform ergibt sich E : 7 X 8 r s. 7 7 Bestimmung des Normalenvektors: 8, also n. Ergo ist E : X 8. 7 Für die Koordinatenform ergibt sich durch Ausmultiplizieren y z 8. zu b) Gib die Schnittpunkte S, S y und S z der Ebene E mit den Koordinatenachsen an und zeichne das Dreieck S S y S z in ein Koordinatensystem ein. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: S ( ): 8: 9:S (9 ) S y ( y ):y 8:S y ( 8 ) S z ( z):z 8:z 9:S z ( 9) zu c) Zeige, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechne den Abstand des Punktes D von der Ebene E. Einfach einsetzen: 9 () () 8 8 Für den Abstand gilt: zu d) Ermittle die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene E erhält. D (7 ) zu e) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie das Volumen der Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet. A 7 und V Pyr 8 zu f) Durch h k : k 8 t k (t, k R) ist eine Geradenschar mit dem gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeige, dass alle Geraden der Schar in der Ebene E liegen. 7 k h k E : (tkt)(8tkt) (7tkt) tkt8tkttkt 8

46 Unabhängig von k ist die Gleichung wahr, d. h. jede Gerade der Schar liegt in E. zu g) Entscheide, ob die Gerade AC eine Gerade der obigen Geradenschar h k ist. Ja, da A h k (das ist trivial) und C h k : k 7 k 7 t kt 8 8 t k t k t kt 7 k k t kt Dieses Gleichungssystem führt zu t und k 5. zu h) Berechne den Schnittwinkel, den die Gerade AC mit der Geraden h 5 einschließt cos(ϕ), 799, also ϕ, o.

47 Turm Ein Turm besitzt die Form eines Quaders ABCDEFGH mit einer aufgesetzten geraden Pyramide mit der Spitze S. Die Höhe des Turmes beträgt m. Die Koordinaten folgender Punkte A( ), B(7 5 ), C( 9 ), G( 9 ) sind gegeben. ( LE entspricht m) a) Zeige, dass die Strecken AB und BC gleich lang sind. Die Grundfläche des Turms ist ein Quadrat. Ermittle die Koordinaten des Punktes D. Gib die Koordinaten der restlichen Punkte an und zeichne den Turm in ein kartesisches Koordinatensystem ein. b) Das Dach des Turmes soll mit Kupfer gedeckt werden. Dazu müssen alle Winkel einer Dachfläche ermittelt werden. Berechne die Größen der Winkel sowie den Flächeninhalt einer Dreiecksfläche. Wie viel Quadratmeter Kupfer benötigt man zur Eindeckung des gesamten Daches, wenn 5 % Verschnitt zu berücksichtigen sind? c) Um das Dach zu sichern, werden Stützbalken eingezogen. Der eine Balken verläuft vom Mittelpunkt der Dachkante EH in Richtung zur Dachfläche FGS. 5 Zeige, dass dieser Balken senkrecht auf der Fläche FGS steht und berechne seine Länge! Der zweite Balken verläuft vom Punkt E zur Dachkante GS, dabei teilt das Ende des Balkens die Kante GS im Verhältnis :. Ermittle auch die Länge dieses Balkens.

48 Turm Das Dach eines Turmes hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide. Die Länge der Quadratseiten und die Pyramidenhöhe betragen jeweils m. a) Es werden Stützbalken eingezogen. Jeder Balken ist in einer der Quadratecken verankert und stützt den jeweils gegenüberliegenden Dachkantenbalken senkrecht ab. Berechne die Länge der Stützbalken. Welchen Abstand hat ihr Kreuzungspunkt zu den Dachflächen? b) Welcher Punkt im Innern der Pyramide hat von den Dachflächen und der Grundfläche denselben Abstand?

49 Kiste Eine quaderförmige Kiste ist in einem Koordinatensystem durch die Eckpunkte A( ), B( ), D( 5 ) und F( ) festgelegt. Die Fläche EFGH stellt den Deckel der geschlossenen Kiste dar. Dieser ist drehbar um die Kante EH. Weiterhin ist für jedes t eine Ebene Et gegeben durch: E t : t. a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH. Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene E t liegt. In welcher Ebene E t liegt der Deckel bei geschlossener Kiste? Liegt der Deckel in eine Ebene E t, wenn er um 9 o geöffnet ist? b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E liegt, wird er durch einen Stab orthogonal zum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft im Punkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P. c) Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E liegt? In welcher Ebene E t liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel o beträgt? Bestimme den Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel α für α < 9 o. d) Eine punktförmige Lichtquelle in L(,5 ) beleuchtet die Kiste. Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt?

50 Kiste - Lösung Es ist sinnvoll, zunächst die Koordinaten aller Punkte festzuhalten: A( ), B( ), C( 5 ), D( 5 ), E( ), F( ), G( 5 ), H( 5 ), L(,5 ) zu a) Berechne den Abstand zwischen den Kanten AB und GH. Weil AB und GH parallel sind, gilt: d(ab, GH) D(A, H) 5,. Zeige, dass die Gerade durch E und H in jeder Ebene E t liegt. Die Punktprobe für E( ) führt ebenso wie die für H( 5 ) zur wahren Aussage t. In welcher Ebene E t liegt der Deckel bei geschlossener Kiste? F E t führt zu t, also t ; bei geschlossener Kiste liegt der Deckel also in E. Liegt der Deckel in eine Ebene E t, wenn er um 9 o geöffnet ist? Wenn der Deckel um 9 o geöffnet ist, liegt er in der von E t verschiedenen Ebene F :. Zudem gilt für den Winkel α zwischen E EFH und E t : cos(α) t t t, also α 9o. zu b) Wenn der Deckel der geöffneten Kiste in E liegt, wird er durch einen Stab orthogonal zum Deckel abgestützt. Dieser Stab ist in der Mitte der Kante EF befestigt und trifft im Punkt P auf den Deckel. Berechne die Koordinaten von P. Gesucht ist der Schnittpunkt der Stabgerage g Stab mit E. g Stab verläuft durch M EF in Richtung des Normalenvektors von E, also,5 g Stab : t. g Stab E führt zu (,5 t) ( t) t 5 ; daher ist P,5 5 5 P( 5 ).

51 zu c) Wie groß ist der Öffnungswinkel, wenn der Deckel in E liegt? In welcher Ebene E t liegt der Deckel, wenn der Öffnungswinkel o beträgt? Bestimme den Parameter t in Abhängigkeit vom Öffnungswinkel α für α < 9 o. Für den Öffnungswinkel α gilt nach a): t cos(α) t t, also ist t cos (α) cos (α) cos (α) sin (α) cos tan (α) tan(α). (α) Wenn der Deckel in E liegt, ist der Öffnungswinkel daher tan (),5 o ; wegen tan( o ) liegt der Deckel in E, wenn der Öffnungswinkel o beträgt. zu d) Eine punktförmige Lichtquelle in L(,5 ) beleuchtet die Kiste. Wie weit kann man die Kiste höchstens öffnen, ohne dass Licht von L in die Kiste fällt? Wie man sich an der nebenstehenden Abbildung leicht klarmacht, kann man das Problem im Zweidimensionalen lösen: Wir suchen den Schnittpunkt der Lichtgerade mit y mit dem Kreis k mit (y ). Setzen wir die Lichtgerade in k ein, so erhalten wir die Lösungen 7 5 und, was zu den Schnittpunkte S ( ) S (,79 5,87) und S ( ) führt. Der zu S korrespondierende Punkt S( 7 8 5,5 5 ) führt wegen 7 5 t 8 5 tan ( 9 9 zu t 7 und, weil 7 ),9o, zu einem im Aufgabenkontet maimalen Öffnungswinkel von,9 o.

52 Matrizen

53 Insektenpopulation Modellhaft lässt sich die Entwicklung einer bestimmten Insektenpopulation folgendermaßen beschreiben: Aus Eiern dieser Insektenart entwickeln sich zunächst innerhalb eines Monats Larven, die innerhalb eines Monats zu Insekten werden. Die Insekten legen wiederum nach einem Monat Eier und sterben anschließend. Aus Beobachtungen von Biologen weiß man, dass aus 5 % der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden (die anderen 75 % werden gefressen oder verenden) und dass sich die Hälfte der Larven zu vollständigen Insekten entwickelt (die andere Hälfte stirbt oder wird gefressen). Außerdem legt ein Insekt durchschnittlich Eier.,5 Eier Larven Insekten,5 a) Zu einem bestimmten Zeitpunkt werden Eier, Larven und Insekten gezählt. Untersuche, wie sich die Anzahlen der Eier, Larven und Insekten im Laufe von Monaten entwickelt. Schreibe dazu die erste Rechnung in der Matrizenschreibweise auf und fülle die nebenstehende Tabelle aus. b) Die Populationen entwickeln sich in Form eines -monatigen Zyklus. Begründe diese Aussage anhand deiner Tabelle. Berechne dann jeweils die Anzahlen der Eier, Larven bzw. Insekten nach einem Jahr und nach zwei Jahren. Eier c) Zur Bekämpfung der Populationen steht ein Insektizid zur Verfügung, das die Fortpflanzung der Insekten so beeinflusst, dass ein Insekt nur noch eine kleinere Zahl von Eiern ablegt. Bestimme die Anzahl an Eiern, die ein Insekt ablegen darf, wenn die Insektenpopulation langfristig stabil sein soll. Tipp: Betrachten Sie die Entwicklung der Insektenpopulation unter der Bedingung, dass ein Insekt Eier ablegt. d) Die Insektenpopulation soll langfristig stabil bleiben. Leite einen Zusammenhang zwischen den Parametern a, b und c her, der diese langfristige Stabilität sichert.,5 Larven Eier a Larven c Insekten,5 Insekten b e) Bilde die dritte Potenz der in der Teilaufgabe a) aufgestellten Übergangsmatri. Begründe damit die im Aufgabenteil b) beschriebene zyklische Populationsentwicklung.

54 Ödnis im Osten Bis zu 5 Prozent seiner heutigen Bevölkerung wird Deutschlands Osten langfristig einbüßen. Diese Prognose wagen Forscher des Leibniz- Instituts für Länderkunde in Leipzig. Nun fordern sie Mut zum gekonnten Schrumpfen. (Stern, November ) Zu Beginn des Jahres lebten 9,5 Mio Menschen in den westdeutschen Bundesländern (einschließlich Berlin). In den fünf neuen Bundesländern lebten,5 Mio Menschen. Im Laufe des Jahres siedelten, % der Bevölkerung aus den neuen in die alten Bundesländer um. In die umgekehrte Richtung waren es hingegen nur, %. a) Gib einen Übergangsgraphen (Gozintho-Graphen) und eine Übergangsmatri an, die den obigen Austauschprozess zwischen den alten Bundesländern (A) und den neuen Bundesländern (N) beschreiben. b) Es soll nun im Weiteren versucht werden, mit Hilfe der Übergangsmatri aus Aufgabenteil a) Prognosen über die nähere oder fernere Entwicklung der Bevölkerungsverteilung in Deutschland zu erstellen. Nenne Schwachpunkte dieses Prognosemodells und gib an, welche Annahmen man für alle folgenden Überlegungen zu Grunde legen müsste. c) Berechne die prognostizierten Bevölkerungszahlen in A und N für die Jahre 5 und. d) Berechne für die Übergangsmatri M die Potenzen M und M. Interpretiere die Koeffizienten von M im Problemkontet und nutze dein Ergebnis zur Kontrolle von Aufgabenteil c). e) Ermittle in deinem groben Prognosemodell eine stabile Grenzverteilung der Einwohnerzahlen und vergleiche dein Ergebnis mit der einleitenden Stern-Meldung. f) Berechne einen Wert für die Abwanderungsquote aus den neuen Bundesländern, der erreicht werden müsste, damit bei gleichbleibender Zuwanderungsquote aus den alten Bundesländern langfristig eine Bevölkerungszahl von Mio nicht unterschritten wird.

55 Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhaltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mathe-Treff. Die Lösung stammt nicht vom Originalautor der Aufgabe, sondern von einem Leser des Mathe- Treffs. Wir bedanken uns herzlich für die Erstellung der Aufgabenlösung. Lösung zu Aufgabe Nr. Ödnis im Osten a) Aus den Angaben ergibt sich der folgende Graph: Die Matri lautet: M,999,,,988 b) Schwachpunkte: - Das Wanderungsverhalten kann sich ändern (politische Entscheidungen). - Das natürliche Wachstum bleibt unberücksichtigt. Annahme: - Die Bedingungen bleiben in den nächsten Jahren so wie im Tet beschrieben. 9,5 9,595 c) 5 : M,5,75 : M 9,595,75 9,88,,998,,997, d) M M,,97,,9 9,5 9,85 M Abweichungen wegen Rundungen!,5,5 Interpretation:, % aus den neuen Bundesländern sind in die alten abgewandert, während nur, % in die entgegen gesetzte Richtung wanderten.

56 ,999, e),,988 y y Gleichungssystem. y 8,999, y,,988 y y als Ansatz liefert das folgende das die Lösungen,8 und y 7, hat.,8 Mio. Einwohner werden langfristig in den neuen Bundesländern sich befinden, währen es in den alten Bundesländern 7, Mio. sind. Die Zahlen sind also noch dramatischer als in dem Artikel vermeldet. f) Als Ansatz ergibt sich,999 a 7 7, a, da die Einwohnerzahl in den neuen Bundesländern nicht unter Mio. sinken soll und das Wanderungsverhalten in den alten Ländern gleich bleibt. Daraus ergibt sich die folgende Gleichung:,999 7 a 7 mit der Lösung a,7. Das heißt, dass die Abwanderungsrate in den alten Bundesländern bei,7 % liegen müsste.

57 Bevölkerungsentwicklung Eine Stadt hatte im Jahr 99 die Einwohnerzahl von. Bürgern, welche in den folgenden Jahren stagnierte. Im Jahr 99 lebten 8. Einwohner in der City (C) und. in den Vororten (V). Für 995 und sind folgende Daten bekannt: Jahr Einwohner in der City (C) Einwohner in den Vororten (V) a) Bestimme die stochastische Übergangsmatri A für die Bevölkerungsentwicklung innerhalb der Stadt. Dabei beträgt der Zeitraum für einen Übergang wie im Eingangstet fünf Jahre. Gehe von gleich bleibenden prozentualen Umzugstrends aus. Zeichne den Gozintographen, der die Bevölkerungsbewegungen veranschaulicht und berechne mit Hilfe von A die Ciy-Vorort-Verteilung für den Beginn der Jahre 5 und. Bestimme ebenfalls die Verteilung für den Beginn von 985. b) Bestimme die stationäre Verteilung der Einwohner in der City und den Vororten. ( ) p q c) Sei nun A mit < p < und < q < eine beliebige stochastische p q Matri. Ermittle für A denjenigen Fivektor, dessen Koordinaten die Summe haben. ( ) d) Weise für die Matri A aus Teilaufgabe c) nach: Der Vektor v und das Produkt A v sind Vielfache voneinander.

58 Lösungen zum Reader Abituraufgaben Mathematik Aufgabe - Bevölkerungsentwicklung ) Es gilt A und A. 8 a b Mit A ergeben sich die Gleichungen c d I 8a b 7 b,8 a II 8c d d, c III 7 a b 7 IV 7 c d 8 b eingesetzt in III ergibt a, 9; d eingesetzt in IV ergibt c, b, d, 8,9, Also A.,,8 Diagramm: 9% C % % V 8% 7 7 Verteilung für 5: A, d.h. 7 leben in der City, 87 in den 8 87 Vororten Verteilung für : A, d.h. 988 leben in der City, in den 87 Vororten. Für den Verteilungsvektor r r von 985 gilt 8 r 8 A A. Bestimme A - : 8,9,,9,,,7,8 7 7,,8,7,, 9,7,, Damit ist A lebten ca. 857 Leute in der City, 8 in den Vororten. r r,9, r r.) Für die stationäre Verteilung gilt: A, also.,,8,, y,, y Damit y und r r. Seite 7 von

59 Lösungen zum Reader Abituraufgaben Mathematik Aufgabe - Bevölkerungsentwicklung Da außerdem y, folgt r r r und damit ist r die stationäre Verteilung. Bezogen auf Einwohner heißt das: ca. 7 Bewohner in der City und in den Vororten. Für die stochastische Grenzmatri G gilt: n,9, G lim denn diese stimmt in den Spalten überein, jede Spalte n,,8 stellt die stationäre Verteilung dar, G multipliziert mit einem Verteilungsvektor verändert diesen nicht. Langfristig ist mit City- und Vorortbewohner zu rechnen. r r.) k IR ist Eigenwert der Matri A, wenn gilt A k.,9, r r k (,9 k),y, (,8 k) y,,8,9 k,,9 k,,,8 k k,7k,7 Das homogene LGS hat außer der trivialen Lösung eine Lösung, wenn gilt k,7k,7 k,85±,5 k k,7 k bzw. k,7 sind die Eigenwerte der Matri A. r Eigenvektor zum Eigenwert k : (,9 ),y y r. r Eigenvektor zum Eigenwert k,7:,,y y t q.) Z.Z. ist: Die stationäre Verteilung der Matri A ist p q r. p p q r r A p q r r p q ( p ) qy p ( q) y y q p qy p qy y, da y gilt p q p q y y y. Damit:. p q p q p Seite 8 von

60 Lösungen zum Reader Abituraufgaben Mathematik Aufgabe - Bevölkerungsentwicklung Seite 9 von p q p p q q Da die stationäre Verteilung die Spalten der Grenzmatri angibt, hat G die gegebene Form. 5.) Z.Z. ist für alle IR q p, gilt (a) ) ( q p A und (b) p q p q A. (a) ) ( q p q p q p q p q p (b) p q pq p pq pq pq q p q q p q p. Damit ist die Behauptung gezeigt.

61 Münzwanderung Zum.. wurden in allen beteiligten EU-Ländern Euro-Münzen in Umlauf gebracht. In jedem Land wurden ausschließlich Münzen eigener Prägung eingesetzt. Für die dann einsetzende Münzenwanderung pro Jahr zwischen den Gebieten Deutschland, Frankreich und Sonstige Länder sollten sich die jährlichen Wanderungsanteile gemäß untenstehendem Übergangsgra- 88 % phen verhalten. D % % % 5 % a) Erstelle für diesen Vorgang die Übergangsmatri A, und beschreibe die Übergänge in Worten. F % 9 % 8 % 5 % b) Zum.. befinden sich % der deutschen Münzen in Deutschland. Ermittle unter den genannten Hypothesen die prozentuale Verteilung der deutschen Münzen auf die drei Gebiete (D, F, S) zum.., zum.. und zum.., und gib die Übergangsmatri für Jahre an. c) Untersuche, ob es eine stationäre Verteilung der Münzen auf die drei Gebiete gibt, und gib diese ggfs. an. d) Zum.. wurden in Deutschland 8 Mio, in Frankreich Mio und in den sonstigen Ländern 5 Mio Münzen ausgegeben. Ermittle die Gesamtanzahl aller Münzen jeweils in den drei Gebieten zum.., und erkläre, inwieweit man bei dieser Problemstellung die Matrimultiplikation einsetzen kann. e) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass am.. () eine deutsche Euromünze Deutschland nie verlassen hat. () eine im Ausland gewesene deutsche Münze wieder in Deutschland ist. () eine von Ihnen in Deutschland gefundene deutsche Münze in Frankreich war. S