Spektralanalyse. Protokoll zum Experiment im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums I vorgelegt von: Stephan von Malottki Marcel Behrendt

Transkript

1 Spektralanalyse Protokoll zum Experiment im Rahmen des Fortgeschrittenen-Praktikums I vorgelegt von: Stephan von Malottki Marcel Behrendt CAU Kiel Fachbereich Physik 6. Dezember 3 Der Versuch wurde durchgeführt am: 3.Oktober 3 Versuchsbetreuer war T. Jürgens

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Grundlagen 3. Erstellung eines Leistungsspektrums Fouriertransformation Schnelle Fouriertransformation (FFT) Abtasttheorem Amplitudenquantisierung auftretende Effekte und deren Vermeidung Quantisierungsrauschen Unterabtastung und Aliasing Überabtastung Laekage Fensterfunktionen Übersteuerung Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Momente der PDF Histogramm Rauschen Zufallszahlen Gaußsches weißes Rauschen SNR-Verbesserung durch Mittelung Korrelation Versuchsaufbau 4 Durchführung und Auswertung 3 4. Freqenz-Messzeit-Unschärfe Offset Unterabtastung Überabtastung Leckeffekt Übersteuerung Quantisierungsrauschen Rauschen SNR-Verbesserung durch Mittelung Unterdrückung des Quantisierungsrauschens durch Mittelung.. 4. Korrelationen Zusammenfassung 4 6 Quellenverzeichnis 5 7 Hilfsmittel 5

3 Einleitung In diesem Experiment haben wir uns mit der Thematik der Spektralanalyse auseinandergesetzt. Dabei ging es darum, die Schritte zur Erstellung eines Spektrums sowohl mathematisch theoretisch als auch in der praktischen Umsetzung am Computer nachzuvollziehen und die Einflüsse verschiedener Parameter und Effekte auf das Spektrum nachzuweisen. Grundlagen. Erstellung eines Leistungsspektrums.. Fouriertransformation Grundlage für die Spektralanalyse ist die Fouriertransformation, die im Folgenden am Beispiel eines elektromagnetischen Signals erläutert werden soll. Die Spannung des Signals kann in einem bestimmten Punkt (z.b. einer Messspitze) als Funktion U(t) aufgefasst werden. Da diese Funktion von der Zeit abhängt, liegt sie im sogenannten Zeitraum. Es ist jedoch auch möglich, das Signal abhängig von seinen Frequenzen als U(f) zu betrachten, wobei U(f) damit im Frequenzraum liegt. Die Funktion U(f) gibt die mittlere Spannung des mit der Frequenz f schwingenden Signalteils aus. Gemittelt wurde die Spannung dabei über den gesamten Messzeitraum T. Da U(f) im Allgemeinen eine komplexe Funktion ist, die einen Phasenfaktor e iwt enthält, ist auch in U(f) die Information über die Phase jedes einzelnen Teilsignals enthalten. Um von der Darstellung des Signals im Zeitraum U(t) in den Frequenzraum mit U(f) zu wechseln, muss eine Fouriertransformation durchgeführt werden: U(f) = U(t) e πift dt () Dabei wir im Fall der kontinuierlichen Fouriertransformation über den gesamten Zeitraum integriert. Ein Beitrag des Integrals ist nur dann verschieden von Null, wenn U(t) mit der Frequenz f schwingt. Ist das nicht der Fall, hebt sich das Produkt aus U(t) und f über die Zeit weg. Bei der Messung eines Signals sind allerdings nur endlich viele Messpunkte in einem begrenzten Zeitintervall vorhanden. Dadurch geht das Integral über die gesamte Zeitachse dabei in die normierte Summe aller Messpunkte über: U f = N U i e πifti () i= Diese diskrete Form der Fourieranalyse ermöglicht zwar eine Transformation mit endlichen vielen Werten, hat dadurch jedoch eine begrenzte Auflösung zwischen den einzelnen Frequenzwerten. Als Auflösung f wird hier der kleinste Frequenzabstand zwischen zwei Peaks bezeichnet, bei dem sie noch voneinander unterschieden werden können. Sie hängt über die Unschärferelation, die direkt aus der Energie-Zeit-Unschärfe folgt, mit der Messzeit zusammen. Hier gilt bei beliebig genauer Messung: 3

4 E T = h (3) h f T = h (4) f = N t = T (5) Dies lässt sich damit verstehen, dass sich Summenanteile mit kleinen Unterschieden in den Frequenzen von U(t) und f über einen kurzen Zeitraum nicht vollständig wegheben können. Dadurch findet eine Art Verschmierung im Frequenzraum statt. Je größer T gewählt wird, desto besser wird die Auflösung im Frequenzraum. Sowohl im kontinuierlichen wie auch im diskreten Fall lässt sich U(f) über f auftragen, um ein Frequenzspektrum zu erzeugen. Es zeigt an, mit welcher mittleren Spannung die Frequenzen am Signal beteiligt sind. Dabei sind aber Real- und Imaginärteil voneinander getrennt aufgetragen. Häufig wird statt des Spannungsspektrums ein Leistungsspektrum dargestellt, bei dem das Betragsquadrat U(t) über die Frequenz aufgetragen wird. Dabei geht jedoch die Information über die Phase verloren. In diesem Protokoll wurde ausschließlich die Variante des Leistungsspektrums verwendet... Schnelle Fouriertransformation (FFT) Eine schnelle Fouriertransformation ist eine Rechenzeit-optimierte Version der klassischen diskreten Fouriertransformation. Dazu wird die Summe über alle Messpunkte N in zwei Summen bis N aufgeteilt. Dieser Schritt kann auch öfter wiederholt werden, wobei jedes mal die Rechenzeit verringert wird. Zusammen mit dem Aufwand, der betrieben werden muss, um die einzelnen Summen zu verrechnen, ergibt sich ein Rechenaufwand von der Größenordnung Nlog (N). Dies stellt im Vergleich zum ursprünglichen Aufwand von N eine drastische Verbesserung dar. Für eine optimale Anwendung der FFT muss die Anzahl der Messpunkte eine Zahl N mit N = n sein, wobei n eine natürliche Zahl ist. Es ist möglich, dies durch Hinzufügen von leeren Messpunkten (zero-padding) zu erreichen, wobei auf Leakage-Effekte (s. Abschnitt..4) geachtet werden sollte, und darauf, dass die Anzahl aufgefüllter Messpunkte klein gegenüber den realen Messpunkten bleibt...3 Abtasttheorem Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem trifft eine wichtige Aussage über die minimale Abtastfrequenz f A, mit der ein Signal abgetastet werden muss, damit es richtig rekonstruiert oder im Frequenzraum dargestellt werden kann. Dabei wird von einer equidistanten Abtastung auf der Zeitachse ausgegangen, bei der alle f A Sekunden eine Messung durchgeführt wird. Wenn f max die maximale Frequenz des zu messenden Signals darstellt, muss für eine fehlerfreie Abtastung gelten: Die maximale Frequenz, bei der f A f max (6) f A = f max = f Ny (7) 4

5 gilt, wird Nyquist-Frequenz genannt. Wird diese unterschritten, tritt Aliasing auf, was in einem späteren Abschnitt beschrieben wird. Entspricht die Abtastfrequenz jedoch der Nyquist-Frequenz oder liegt darüber, so kann ein Sinussignal zwischen den Messpunkten interpoliert werden. Die Bedingung an das Signal, durch alle Messpunkte zu verlaufen, würde auch durch alle höheren Harmonischen erfüllt werden. Deshalb wird die Eindeutigkeit der Interpolation durch die Konvention erreicht, immer das Signal mit geringst möglicher Frequenz zu wählen. Das oben angenommen f max gilt für den Fall, dass das Signal Frequenzen von bis f max enthält. Ist es jedoch von f min bis f max bandbegrenzt, so muss die Abtastfrequenz lediglich die folgende schwächere Bedingung erfüllen:..4 Amplitudenquantisierung f A (f max f min ) (8) Eine Quantisierung tritt bei der A/D-Wandlung eines Signals, neben der Zeitachse mit t, auch auf der Spannungsachse auf. Dabei wird ein analoger Spannungswert einem der x digitalen Spannungswerten zugeordnet. In der Umsetzung werden dazu häufig die Bitzahlen des entsprechenden A/D-Wandlers angegeben. Ein 8-Bit-Wandler ermöglicht so beispielsweise x = 8 = 56 unterschiedliche Spannungswerte. Auch hier gehen wir von einer equidistanten Abtastung aus, so dass die x Werte gleichmäßig vom minimalen bis zum maximalen analogen Spannungswert verteilt angeordnet sind. Die in der Literatur oft erwähnte Größe U LSB ("least significant bit") stellt den kleinsten Spannungsschritt in der Amplitude dar, den der Wandler darstellen kann. Sie errechnet sich durch die Formel U LSB = U max U min x (9). auftretende Effekte und deren Vermeidung.. Quantisierungsrauschen Durch die Amplitudenquantisierung wird ein stetiges analoges Signal in ein, aus Sprüngen zwischen den einzelnen Werten bestehendes, digitales Signal umgewandelt. Die Sprünge werden im Frequenzraum, wie bei einem Rechtecksignal, durch eine Überlagerung aus unendlich vielen Sinussignalen dargestellt und führen damit zu einer Verfälschung des Leistungsspektrums. Dieser Effekt tritt desto stärker auf, je gröber die Quantisierung der Spannungsachse im Zeitraum vorgenommen wird, da die Sprünge immer größer werden... Unterabtastung und Aliasing Von Unterabtastung wird gesprochen, sobald ein Signal mit einer Frequenz unterhalb der Nyquist-Frequenz abgetastet wird. Dann gibt es weniger als zwei Messpunkte pro Schwingungsperiode. Durch diese Messpunkte kann neben dem Eingangssignal mit Frequenz f E auch eine Schwingung interpoliert werden, die eine kleinere Frequenz besitzt. Da bei der Rekombination immer der kleinst mögliche Wert für die Frequenz angenommen wird, ergibt sich anschließend aus den Abtastpunkten ein falsches Signal. Dieser Effekt wird Aliasing genannt und 5

6 ist auch im Leistungsspektrum sichtbar. Die Frequenz f A des Aliasing-Signals liegt bei f A = f Ny f E () Wird die Frequenz f A dabei kleiner Null, so wird sie zurück in das Intervall [, f N ] verschoben. In der Praxis wird Unterabtastung durch die Benutzung eines Tiefpasses vor der Abtastung verhindert. So werden im Idealfall nur Signale solcher Frequenzen abgetastet, für die das Abtasttheorem erfüllt ist...3 Überabtastung Im Normalfall ist eine Abtastung mit deutlich mehr als doppelter Nyquist- Frequenz nicht schädlich, jedoch kann diese sogenannte Überabtastung in der Praxis problematisch werden. Wenn die Abtastfrequenz erhöht wird, finden N Messungen auf einem kleineren Zeitintervall T statt, als dies bei kleinerer Abtastfrequenz der Fall wäre. Dies führt zu einer Verschlechterung der Auflösung im Frequenzraum, auch wenn die Auflösung im Zeitraum erhöht wurde. Durch eine zusätzliche Erhöhung der Anzahl der Messpunkte lässt sich dieser Effekt zwar ausgleichen, jedoch muss dabei die endliche Rechenleistung des genutzten Computersystems beachtet werden...4 Laekage Kommt es während der Messung eines Signals zu sprunghaften Amplitudenoder Phasenänderungen, tritt der sogenannte Leckeffekt ("Leakage") auf. Die Fouriertransformation geht zur Analyse eines Signals davon aus, dass sich dieses aus einer oder mehreren (i) Sinusschwingungen zusammensetzt, welche über den gesamten Messzeitraum T konstante Amplituden und Frequenzen aufweisen. Zusätzlich muss die periodische Randbedingung für alle Einzelsignale erfüllt sein: φ i () = φ i (T ) () Diese Bedingung lässt sich auch wie folgt ausdrücken: Der Messzeitraum muss so gewählt werden, dass er ein ganzzahliges Vielfaches der Periodendauer jeder am Signal beteiligten Sinusschwingung darstellt: T = n T i n, i N () In der Praxis ist diese Bedingung in der Regel nicht erfüllt. Zum einen ist die Länge des Messzeitraums durch den Messaufbau und die Signalverarbeitung mit der Abtastfrequenz f A und die Anzahl der Messpunkte N M bestimmt: T M = f A N M (3) Zum anderen sind die Komponenten des Signals im Allgemeinen nicht vor der Messung bekannt. Es kommt also zu einem unbekannten Phasensprung am Ende des Messzeitraums, der zu einem Fehler bei der Überführung in den Frequenzraum führt. 6

7 Amplitude Amplitude t/t M f/(/t M ) Abbildung : Vergleich zweier Signale, jeweils einer Sinusschwingung. links: Signal(t), rechts: Spektrum. Der Phasensprung bei t = T M (grüne Kurve) führt zur Verbreiterung und verminderten Maximalleistung der Spektrallinie Um die sprunghafte Phasenänderung zu erklären, müssen weitere Signalkomponenten mit abweichender Frequenz angenommen werden, die im ursprünglichen Signal nicht vorkamen. Das führt dazu, dass die ideal scharfe Linie im Spektrum verbreitert und ihre Amplitude vermindert wird, da die Signalleistung auf eine endliche Frequenzbandbreite verteilt wird. Gleiches gilt, wenn ein Signal im Laufe der Messung ein- oder ausgeschaltet wird. In diesem Fall liegt kein Phasensprung, sondern eine sprunghafte Amplitudenänderung vor, was sich auf die gleiche Art im Spektrum äußert...5 Fensterfunktionen Die Funktion einer Fensterfunktion besteht darin, den Einfluss des Leckeffekts auf das Spektrum zu minimieren. Je nachdem, ob die Information über die Leistung einer einzelnen Signalkomponente oder ihre Bandbreite, zur Trennung ähnlicher Frequenzen, von Interesse ist, können verschiedene Funktionen eingesetzt werden. Die Fensterfunktion wird im Zeitraum mit dem gemessenen Signal multipliziert, dies führt zu einer Faltung im Frequenzraum und somit zur Beeinflussung des Spektrums. Prinzipiell ist jede Funktion als Fenster möglich. Um den Einfluss des Leckeffekts zu vermindern, werden die Messwerte in der Nähe des Phasensprung t und t T schwächer und die Messwerte um t = T stärker gewichtet. Als Beispiel wollen wir hier das Hamming-Fenster vorstellen. Abbildung zeigt qualitativ die Fensterfunktion im Zeitraum und ihre Auswirkung auf das Spektrum einer einzelnen Linie...6 Übersteuerung Zur digitalen Analyse eines Signals wird ein A/D-Wandler benutzt, der die analoge Spannung in einen digitalen Wert umsetzt. Der Eingangsbereich dieses 7

8 Abbildung : Die Anwendung des Hammingfensters im Zeitrau (links) führt zu einer leicht verbreiterten, dafür aber stark abfallenden Spektrallinie (rechts). Das Spektrum ist logarithmisch dargestellt. (Ref. 4) U/V.5 U/V t/t M t/t M Abbildung 3: Links: Beim Messen eines Sinussignals (gestrichelt) mit einer Amplitude von V kommt es bei der A/D-Wandlung mit einem Eingangsbereich von [±V ] zur Übersteuerung. Rechts: Die Summierung über Sinusschwingung mit ungeraden Vielfachen einer Grundfrequenz führt bei passenden Amplituden zu einer Rechteckspannung. Hier sind die Grundschwingung, sowie eine Schwingung mit dreifacher sowie fünffacher Frequenz dargestellt (schwarz). Ihre Summe ergibt die Näherung eines Rechtecksignals (rot). 8

9 Wandlers ist systembedingt begrenzt auf [U Min, U Max ]. Liegt nun am Eingang des Wandlers eine Spannung U > U Max oder U < U Min an, so gibt der Wandler den digitalen Minimal- bzw. Maximalwert aus und es ist nicht mehr möglich, die tatsächlich anliegende Spannung zu rekonstruieren. Es kommt zur Übersteuerung. Abbildung 3 links veranschaulicht dies an einem Sinussignal, dessen Amplitude U sin = U Max = U Min entspricht. Im Grenzfall U sin ergibt die Messung das Signal einer Rechteck-Wechselspannung. Eine Rechteckspannung kann durch eine Reihe von Sinusschwingungen genähert werden: U Rechteck,f = lim N i= N U i sin((i + )f t) (4) In der rechten Abbildung 3 rechts wird diese Reihe für für N = veranschaulicht. Der Effekt einer Übersteuerung auf das Leistungsspektrum ist hierbei vergleichbar mit dem Leckeffekt. Die scheinbare plötzliche Abweichung vom Sinussignal führt zu Leistungsbeiträgen zusätzlicher Frequenzen, die im Signal nicht vorkamen. Da das gemessene Signal von der Art einer Rechteckspannung ist, treten bei einer Übersteuerung Signale mit ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz auf. Um die Übersteuerung zu vermeiden, muss entweder das Eingangssignal beschränkt werden, oder der Eingangsbereich der Messvorrichtung entsprechend gewählt werden..3 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder propability density function (PDF) ρ(a) gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Variablen a wider. Eine Integration über die PDF in einem Intervall [a, a ] ergibt die Wahrscheinlichkeit, dass sich a in diesem Intervall befindet: X(a [a, a ]) = a a ρ(a)da (5) Damit eine absolute Angabe der Wahrscheinlichkeit möglich ist, ist die PDF normiert: ρ(a)da = (6).3. Momente der PDF Das k-te zentrale Moment einer Zufallsvariablen x ist definiert als: µ k (x) = N N (x i x) k (7) i= 9

10 Dabei ist N die Anzahl der Messpunkte, x i der Messwert i und x der Erwartungswert, bestimmt durch das arithmetische Mittel aller x i. Aus dieser Definition folgt, dass das erste zentrale Moment immer Null ist: µ (x) = N N (x i x) = N i= N x i N i= N x = x x = (8) i= Das zweite Moment wird als Varianz von x bezeichnet und definiert gleichzeitig die Stadartabweichnung σ: var(x) = µ (x) = σ. Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung von x von seinem Erwartungswert x Betrachtet man das auf σ normierte dritte und vierte Moment von x, so erhält man die skewness s(x) und die kurtosis k(x): s(x) = µ 3(x) σ 3 (9) k(x) = µ 4(x) σ 4 () Die Skewness ist hierbei ein Maß für die Schiefe der PDF von x. Ist s <, so spricht man von Linksschiefe, für s > von einer rechtsschiefen Verteilung. Die Kurtosis wird häufig mit Wölbung übersetzt, auch wenn dieser Begriff nicht so anschaulich ist wie die Schiefe. Eine positive Wölbung k > deutet auf eine spitze Verteilungsfunktion, k < auf eine verbreiterte Verteilung um den Erwartungswert gegenüber der Normalverteilung..3. Histogramm Betrachtet man bei der Spektralanalyse die PDF der Amplitude U, so spricht man vom Histogramm. Bei endlich vielen Messpunkten N M wird es durch folgende Summe gebildet: X(U [U, U ]) = N M U [U,U ] N(U) () wobei N(U) die Anzahl von Messpunkten darstellt, die eine Amplitude zwischen U und U aufweisen. Das Intervall [U, U ] bezeichnet man als bin und U = U U als Breite des bins. In der Praxis ist U vorgegeben durch den Eingangsbereich des A/D-Wandlers U ADC und die gewünschte Anzahl an bins N bin :.4 Rauschen U = U ADC N bin = konstant () Rauschen tritt bei physikalischen Messungen analoger Signale meist als überlagernde Störung auf. Im vorliegenden Versuchsaufbau wird kein analoges Signal

11 gemessen, sondern sowohl die Messung, als auch die A/D-Wandlung am Computer simuliert. Um den Einfluss eines überlagerten Rauschens nachzuvollziehen und Möglichkeiten zur Unterdrückung zu diskutieren, wird auch dieses simuliert. Zu diesem Zweck werden Pseudozufallszahlen erzeugt..4. Zufallszahlen Zufällige Zahlen durch einen deterministischen Prozess, wie die Berechnung durch einen Algorithmus, zu erzeugen, ist per Definition nicht möglich. Pseudozufallszahlen stellen für dieses Hindernis eine Lösung dar. Als Folge von Pseudozufallszahlen bezeichnet man eine Folge von Zahlen, die dem Betrachter im Rahmen der ihm zur Verfügung stehenden Rechenleistung als zufällig erscheinen. Algorithmen, die als Zufallsgeneratoren fungieren, berechnen hierzu auf möglichst komplexem Wege Werte in einem bestimmten Wertebereich und beziehen äußere Faktoren, wie zum Beispiel die exakte Uhrzeit des Startens der Berechnung, in die Generation mit ein. So können zum Beispiel 4 Werte zwischen - und generiert werden, die auf einen menschlichen Betrachter vollkommen zufällig wirken, mit entsprechender Rechenleistung jedoch berechenbar bleiben. Interpretiert man diese Werte nun als Spannung in Volt, so lässt sich das analoge Rauschen einer Spannungsmessung mit 4 Messpunkten simulieren. Die Verteilung der Werte im Wertebereich kann dabei z.b. gleichverteilt sein. Um eine Anzahl Werte zu erhalten, die einer bestimmten Verteilung folgen, lässt sich jeder der pseudozufällig erzeugten Werte einem zweiten Wert zuordnen, der aus einer entsprechend verteilten Menge stammt..4. Gaußsches weißes Rauschen Da die pseudozufälligen Spannungswerte keinem erkennbaren Muster folgen, zeigt die Spektralanalyse dieses Signals keine vorherrschende Frequenz. Alle messbaren Frequenzen sind gleichermaßen vertreten. Betrachtet man genügend Messpunkte, so ergibt sich für alle Frequenzen eine gleich wahrscheinliche Leistung. Diese Eigenschaft wird als weißes Rauschen bezeichnet. Das gaußsche weiße Rauschen hat zusätzlich die Eigenschaft, dass seine Amplitude normalverteilt um einen Erwartungswert ist. Die PDF im Beispiel wird also durch eine gaußsche Glockenkurve um U = beschrieben..4.3 SNR-Verbesserung durch Mittelung Das Verhältnis von Signal zum Rauschen wird als signal-noise-ratio (SNR) bezeichnet. Je größer ein zu messendes Signal gegenüber dem vorhandenen Rauschen ist, desto größer ist das SNR und desto geringer ist der Aufwand, der betrieben werden muss, um das Signal nachzuweisen. Ist das SNR hingegen kleiner als, so ist das Signal bei einer einfachen Messung nicht vom Rauschen zu unterscheiden. Betrachtet man nun eine Messdauer T n = n T und teilt die Messpunkte in n Datensätze, so ergibt sich folgendes: Das Signal unterscheidet sich zwischen den Datensätzen um eine unbekannte Phase φ. Eine Mittelung der Datensätze in der Zeitdomäne führt für φ zu keiner Verbesserung des SNR.

12 Überführt man jedoch jeden Datensatz in den Frequenzraum und betrachtet das Leistungsspektrum, so enthält jedes Einzelspektrum den selben Anteil des Signals, aber unterschiedliche Anteile für die übrigen Frequenzen, die durch das Rauschen erzeugt werden. Eine Mittelung über die Spektren ergibt eine Verbesserung des SNR um den Faktor a n = a S /a R. Die Verstärkung der Signalleistung beträgt hierbei offensichtlich a S = n. Die Verstärkung des Rauschen ergibt sich zu a R = n. Daraus folgt für a n :.5 Korrelation a n = n n = n (3) SNR n = a n SNR (4) Allgemein beschreibt die Korrelation zwischen zwei Funktionen ihre direkte und indirekte Abhängigkeit voneinander. In der Spektralanalyse benutzt man die Auto- und Kreuzkorrelationsfunktion, um ein Maß für die Ähnlichkeit zweier Signale zu bestimmen: K(τ) = T T f (t) f (t + τ)dt (5) Bei der Autokorrelation wird die Funktion mit sich selbst korreliert, in dem Fall gilt f (t) = f (t). Sie wird genutzt, um ein Maß für die Periodizität einer Funktion zu ermitteln. Dabei befinden sich bei τ = n T sin jeweils Maxima in der Autokorrelationsfunktion, wobei T sin die Periodendauer und n eine natürliche Zahl ist. Die Kreuzkorrelation beschreibt dagegen die Ähnlichkeit von f (t) und f (t + τ). Je ähnlicher sie sich sind, desto größer wird K(τ). Die Fouriertransformation stellt einen Spezialfall mit f (t) = e ift dar. 3 Versuchsaufbau Zur Durchführung des Experiments wurde ein Computer mit entsprechender Software benutzt. Die Software ist in der Lage, Signale aus Sinusschwingungen und zusätzlich überlagertem gaußschen Rauschen zu generieren. Hierbei ist eine Anpassung der Frequenzen, Amplituden und Phasen, sowie eines konstanten Offsets möglich. Der Prozess der A/D-Wandlung wird mit einem Eingangsbereich von [-V, +V] simuliert, wobei die Auflösung des simulierten Wandlers zwischen 8 und 4 bit einstellbar ist. Die Messdauer wird über zwei Parameter definiert, die ebenfalls verändert werden können: Die Abtastfrequenz f A = / t und die Anzahl von Messpunkten N M. N M ist hierbei immer eine Zweierpotenz. Das Programm übernimmt weiterhin die Erstellung des Spektrums unter Verwendung der FFT, wobei eine Mittelung gemäß den in den Grundlagen genannten Bedingungen möglich ist. Die Transformation ist durch eine Auswahl von Fensterfunktionen beeinflussbar und bei der Darstellung der Spektrendaten kann zwischen linearer und der db-skala gewählt werden, wobei die db-skala relativ zu db ˆ=V definiert ist. Falls nicht anders angegeben wurden folgende Einstellungen benutzt:

13 f = 5Hz U =, 5V φ = U = f ab = 3, khz A/D W andlung mit 4 bit N M = 89 Die erwartete Höhe eines Peaks im Leistungsspektrum beträgt bei einer Amplitude von, 5V : U = U eff = U =, 5V (6) 4 Durchführung und Auswertung Zur Demonstration der verschiedenen Einflüsse der einzelnen Parameter auf das sich ergebende Spektrum, wurden die entsprechenden Parameter angepasst und Datensätze sowie Spektren erzeugt. 4. Freqenz-Messzeit-Unschärfe Bei fester Abtastfrequenz f A wurde die Anzahl der Messpunkte N M und damit die Messdauer T verändert. Die Verkürzung der Messzeit führt zu einer unschärferen Spektrallinie. Dieser Zusammenhang wird in Abb. 4 links dargestellt. Die Auswertung der Ausgleichsgeraden (Abb. 4, rechts) ergibt: (/ f)/t M =.4 ±.3 f T M =, 998 ±, 8 (7) Dieser Wert bestätigt die Unschärferelation (5) sehr gut. Die Tatsache, dass der Wert kaum von abweicht, deutet auf eine sehr genaue Messung hin, wie es bei einer Simulation zu erwarten ist. 4. Offset Eine zusätzliche Gleichspannung wird im Spektrum richtig als Signal mit f = interpretiert (Abb. 5). 3

14 U /V.4. N M =6 N M =64 N M =56 N M =4 / f/s f/hz.... T M /s Abbildung 4: Links: Leistungsspektrum für das gleiche Signal und gleicher Abtastrate, mit unterschiedlicher Anzahl an Messpunkten. Rechts: Durch Fit einer Gausskurve an das Spektrum ermittelte Bandbreite aufgetragen gegen die Messdauer. Der Faktor Zwei entspringt der Tatsache, dass bei der Messung nur die halbe Bandbreite f gemessen wurde. U /V.. Offset=,V Offset=,V Abbildung 5: Das Spektrum einer Sinusschwingung mit einer Frequenz von 5Hz bei einer Amplitude von,5v sowie einem Offset von,v weist je eine Linie für die Wechselspannung und die Gleichspannung auf. 4.3 Unterabtastung Wird das Abtasttheorem nicht eingehalten, so kommt es zu Fehlern in der Spektralanalyse (vgl. Abschnitt.. und..). Der linke Teil der Abbildung 6 zeigt die Messwerte einer Sinusschwingung mit f = Hz bei einer Abtastfrequenz von f A = 3Hz. Damit liegt f oberhalb der Nyquistfrequenz f Ny = f A = 55Hz und die Messpunkte können auch als Schwingung mit f/hz 4

15 U /V.8.6 f=hz f=hz Messpunkte U /V.. f=hz f/hz f Ny 6 f/hz Abbildung 6: links: Tastet man ein Signal mit einer Frequenz f von Hz (blau) mit einer Abtastfrequenz von 3Hz ab, so passen die Messpunkte (schwarz) ebenfalls zu einem Signal mit einer Frequenz f von Hz. rechts: Das Spektrum weist nur die Spektrallinie bei Hz auf. Dies entspricht einer Spiegelung an der Nyquistfrequenz f Ny = 55Hz. einer Frequnz von f = f Ny (f f Ny ) = Hz interpretiert werden. Alle Messpunkte stellen dann Schnittpunkte der beiden Sinuskurven dar. Im Spektrum (Abb. 6, rechts) wird immer die kleinstmögliche Frequenz angenommen, weshalb es bei der Unterabtastung zur Fehlinterpretation kommt. 4.4 Überabtastung Bei der Überabtastung kommt es zum selben Effekt der Unschärferelation, wie bei der Verkürzung der Messdauer durch Messpunktreduzierung. Der Vollständigkeit halber zeigt Abbildung 7 zwei Spektren mit unterschiedlicher Abtastfreqeunz und die dadurch entstehende Frequenzunschärfe. 4.5 Leckeffekt Um den Leckeffekt zu untersuchen, wurden nacheinander zwei kurze Sinussignale simuliert, die mit gleicher Amplitude U = U =, 5V, jedoch leicht unterschiedlicher Frequenz schwingen (f = 734, 8mHz, f = 8mHz, φ = φ = ). Wie in Abb. 8 oben links zu sehen, durchläuft das Signal mit 734,8 mhz bei einer Abtastfrequenz von f A = 3HZ und N M = 89 Messpunkten genau zwei Perioden, während das 8 mhz Signal mit einer deutlich anderen Phase abschließt als es begonnen hat. Der dadurch auftretende Leckeffekt ist in Abb. 8 oben rechts an den unterschiedlich hohen Peaks zu erkennen. Der 8 mhz Peak ist niedriger als die erwartete Leistung von U =, 5V, da sich die Leistung des Signals auf die vielen weiteren Schwingungen aufteilt, die zusammen den scheinbaren Amplitudensprung des Signals darstellen. Diese weiteren Schwingungen sind im logarithmischen Leistungsspektrum Abb. 8 unten links an der schwächer abfallenden Kurve des 8 mhz Signals im Vergleich zum 734,8 mhz 5

16 U /V.. f A =3Hz f A =3Hz Abbildung 7: Das mit höherer Auflösung, aber bei gleicher Anzahl an Messpunkten abgetastete Signal, weißt aufgrund der Unschärferelation einen verbreiterten Peak auf. f/hz Signal zu erkennen. Um diesen Leckeffekt zu unterbinden, wurden testweise zwei Fensterfunktionen auf das 8 mhz Eingangssignal angewendet ( vgl. Abb. 8 oben rechts und unten links ). Es stellt sich heraus, dass die "flattop" Funktion die Höhe des Peaks gut rekonstruiert, ihn aber sehr breit werden lässt. Im Gegensatz dazu erzeugt die "Hamming" Funktion einen schmaleren Peak, der aber nicht ganz an die erwartete Höhe des 734,8 mhz Signals heran kommt. Aber auch der Peak der "Hamming" Funktion ist breiter als der des originalen Signals. Betrachtet man jedoch eine Überlagerung von zwei Signalen (f = Hz, f = Hz, φ = φ = ) mit unterschiedlicher Amplitudenhöhe (U =, 7V, U =, 5V ), so kommt eine weitere wichtige Eigenschaft der Fensterfunktionen zum Vorschein. Wie in Abb. 8 unten rechts zu sehen, reduzieren sie deutlich den Anteil der zusätzlichen Schwingungen, während die Peaks der beiden Sinusschwingungen nahezu gleich bleiben. Das Herausarbeiten kleiner Peaks gelingt mithilfe des flattop-fensters besser, als mit dem Hamming-Fenster, welches jedoch auch schon eine deutliche Verbesserung gegenüber dem Leckeffektbehafteten Originalspektrum darstellt. 4.6 Übersteuerung Wie in Abschnitt..6 beschrieben, kommt es bei einer Überschreitung der Eingangsspannung des A/D-Wandlers zur Entstehung weiterer Peaks mit ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz im Spektrum. Abbildung 9 zeigt diesen Effekt für eine Sinusschwingung mit einer Frequenz von 5Hz und einer Amplitude von V, was den Eingangsbereich des A/D-Wandlers von ±V deutlich übersteigt und damit einem Rechtecksignal recht nahe kommt. 6

17 U/V.6.4 8, mhz 734,8 mhz U /V.4. 8, mhz 734,8 mhz 8, mhz flattop 8, mhz Hamming U /V , mhz 734,8 mhz 8, mhz flattop 8, mhz Hamming t/s U /V , mhz 8, mhz flattop 8, mhz Hamming f/hz f/hz f/hz Abbildung 8: Oben links: Zwei Schwingungen mit leicht unterschiedlicher Frequenz, die am Ende des Messzeitraums einen bzw. keinen Phasensprung aufweisen. Oben rechts: Leistungsspektren von zwei Sinusschwingungen und zwei Schwingungen mit Fensterfunktionen in absoluter Skala. Unten links: Gleiche Leistungsspektren wie zuvor, jedoch mit db-skala. Unten rechts: Vergleich von Leistungsspektren von je zwei überlagerten Sinussignalen mit und ohne Fensterfunktionen. Dargestellt in einer db-skala. 7

18 U /V. V. e-6 e-8 e- e Abbildung 9: Das Spektrum einer Sinusschwingung mit einer Frequenz von f = 5Hz bei einer Amplitude von V führt zur Übersteuerung des Messsignals. Im Spektrum entstehen weitere Linien für Frequenzen f i = (i + )f. f/hz 4.7 Quantisierungsrauschen Bei der Digitalisierung von Messwerten wirkt sich die Auflösung der A/D- Wandlung auf die Messdaten aus. Ist der Eingangsbereich im Verhältnis zum gemessenen Signal sehr groß, so kann dies dazu führen, dass das Signal durch die diskreten Messwerte nur unzureichend genau wiedergegeben wird. Bei der Analyse dieser Daten kommt es entsprechend zu Fehlern im Spektrum. Ähnlich wie bei der Übersteuerung müssen weitere spektrale Anteile angenommen werden, um das sprunghafte Verhalten des Signals mit Sinussignalen zu nähern. Hier sind diese Frequenzen jedoch nicht diskret, sondern machen sich als breitbandiges Rauschen, das Quantisierungsrauschen, bemerkbar. Die Abbildung illustriert den Effekt des Quantisierungsrauschens anhand eines Signal mit einer Amplitude von nur U =, 5V, während die Auflösung der A/D-Wandler U LSB = U Max U Min B mit B = 8,, 4 bit entspricht. 4.8 Rauschen In diesem Abschnitt wurde das durch die Simulation erzeugte Rauschen um U = V untersucht. Dazu wurde über unterschiedlich lange Zeitintervalle reines Rauschen gemessen. Die abgetasteten Spannungswerte wurden anschließend als Histogramme dargestellt, bei denen die absolute Häufigkeit über die Spannung aufgetragen ist (Abb. ). Während für N M = 3 noch kein Trend erkennbar ist, so zeigt sich bei Messungen über längere Intervalle, dass sich die Verteilung der Spannungen mit zunehmender Messdauer einer Gaussverteilung annähert. Um dies zu veranschaulichen, wurde jeweils eine Gaussfunktion als PDF an die Histogramme gefittet. Die Momente der PDF sind in Tabelle aufgeführt. 8

19 U/V bit 8 bit U /db bit bit 4 bit t/s f/hz Abbildung : oben: Die geringere Auflösung bei einer Wandlung mit 8 bit führt zur Verfälschung der Sinuskurve gegenüber der Messung mit einer Auflösung mit 4 bit. Unten: Die Störung der Sinuskurve macht sich im Spektrum als Rauschen bemerkbar, da eine Vielzahl von weiteren Frequenzen angenommen werden müssen, um das Verhalten des Signals zu nähern. Dies wirkt sich bei 8 bit und bit Signalauflösung unterschiedlich stark aus und ist bei 4 bit praktisch nicht mehr zu erkennen. N M Mittelwert Standartabweichung skewness kurtosis 3 6, 67, 5, 773 8, 878 8, 656, 4, 58 4, 3 4, 7, 4 5, 436 3, , 397, 998, 73 3, 4 Tabelle : Momente der PDF. vgl. Abbildung 9

20 N N M = 3 N N M = 8 Gauss N N M = 4 Gauss U/V N N M = 3768 Gauss U/V U/V U/V Abbildung : Die vier dargestellten Histogramme unterscheiden sich in der Anzahl der Messpunkte, die zu ihrer Erstellung genommen wurden. Anschließend wurde jeweils eine Gaussfunktion als PDF an das Histogramm gefittet. Darauf wurde bei N M = 3 verzichtet, da noch kein Trend zur Normalverteilung erkennbar ist.

21 4.9 SNR-Verbesserung durch Mittelung Mithilfe der Mittelung über mehrere Spektren ist es möglich, kleine Signale von relativ starkem Rauschen zu trennen. Im Experiment haben wir ein Sinussignal (f = 5Hz) mit kleiner Amplitude (U =, V ) mit weißem gaußschen Rauschen mit einer mittleren Amplitude von,v überlagert. Die ausgewerteten Daten werden in Abbildung dargestellt. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl gemittelter Spektren und dem ermittelten SNR entspricht einer Funktion der Form f(n) = n, wie es nach den Überlegungen in Abschnitt.4.3 zu erwarten ist. 4. Unterdrückung des Quantisierungsrauschens durch Mittelung Das Quantisierungsrauschen kann durch Mittelung im Frequenzraum nicht minimiert werden. Da die Quantensprünge immer die gleichen bleiben und nur zu verschiedenen Zeitpunkten stattfinden, kommen sie einer Phasenverschiebung des Signal im Zeitraum gleich. Die Phaseninformation geht bei der Transformation verloren und die Spektren sind nahezu identisch. Abb. 3 zeigt zwei gemittelte Spektren eines Signals (U =, 5 V, f = 5 Hz) welches mit 8 bit konvertiert wurde und damit vom Quantisierungsrauschen betroffen ist (vgl. Abschnitt 4.7). Die Spektren bei einer Mittelung über 4 und 6 Einzelspektren gleichen sich nahezu. 4. Korrelationen Neben der Unterdrückung des Rauschens durch Mittelungen können Signale auch über Korrelationen untersucht werden. Dazu wurde zuerst ein Sinussignal (f = 5 Hz, U =, 5V ) und ein gaußsches Rauschen (U =, V mittlere Amplitude um U = V)simuliert. Die Autokorrelation des Sinussignals (Abb. 4, oben links) zeigt wie erwartet alle τ =.s einen Peak von V, was der Frequenz f = 5 Hz entspricht. Die Autokorrelation des Rauschens (Abb. 4, oben rechts) hingegen ergibt nur kleine Peaks bis, V, was einem unkorrelierten System entspricht. Lediglich an der Stelle τ = s befindet sich ein Peak der Höhe V, da die Funktion ohne Verschiebung natürlich sich selbst ergibt. Bei der Kreuzkorrelation von Sinus und Rauschen (Abb. 4, unten links) liegt ebenfalls eine geringe Korrelation vor, was zu erwarten war, da das Rauschen keiner periodischen Funktion mit 5 Hz folgt. Um die Randeffekte des Rauschens in den Korrelationsfunktionen zu unterbinden, kann noch ein sogenannter bias zugeschaltet werden. Wie im Fall der Autokorrelation des Sinussignals gut zu erkennen, verringert er linear die Amplitude der Funktion für wachsende Werte von τ. Abschließend wurde der Fall betrachtet, bei dem zu den zuvor betrachteten Signalen noch ein Sinus (f = 5 Hz, U =, 5V ) mit dem Rauschen überlagert wurde. Das zusätzliche Sinussignal ist in der Kreuzkorrelation tatsächlich schwach zu erkennen (Abb. 4, unten rechts). Die Amplitude ist dennoch relativ niedrig bei, 5 V, da der größte Teil des Signals nach wie vor nicht mit einem Sinussignal korreliert ist.

22 N.5 N M = 4 Gauss U /V e U/V f/hz U /V.3.5 SNR Wurzelfit Messdaten e f/hz. N Mittelungen Abbildung : Oben links: Das Signal ist ohne Mittelung nicht vom Rauschen zu unterscheiden. Oben rechts: Bei Mittelung über 4 Spektren ist das Signal schwach zu erkennen, hebt sich jedoch nicht vom Rauschen ab. Unten links: Bei einer Mittelung über 496 Einzelspektren erhebt sich das Signal deutlich über das gemittelte Rauschen. Unten Rechts: Der Zusammenhang zwischen der Anzahl gemittelter Spektren und dem ermittelten SNR kann mit einer Funktion der Form f(n) = n genäher werden. Die Darstellung verwendet eine logarithmische Frequenzskalierung.

23 U /V - -3 N M = 496 N M = Abbildung 3: Es sind die Leistungsspektren für unterschiedlich lange Messdauern aufgetragen. Das gesamte Messintervall wurde in Teilintervalle mit einer Länge von 4 Messpunkten unterteilt, über die anschließend gemittelt wurde. f/hz K/V.5 ohne bias mit bias K/V.8.6 ohne bias mit bias K/V ohne bias mit bias τ/s K/V Korrelation zweier Signale und Rauschen.5 τ/s τ/s τ/s Abbildung 4: Oben links: Ein Sinussignal mit f = 5Hz, U =, 5V mit und 3 ohne bias autokorreliert. Oben rechts: Gausssches Rauschen mit U =, V um U = V mit und ohne bias autokorreliert. Unten links: Kreuzkorrelation des Sinussignals und des gaussschen Rauschens mit und ohne bias. Unten rechts: Kreuzkorrelation von zwei Sinussignalen mit f = 5Hz, U =, 5V, U =, 5V mit gaussschen Rauschen und bias.

24 5 Zusammenfassung Dieses Protokoll behandelt die Spektralanalyse vom Computer generierter Signale. Dabei konnten wir Erkenntnisse über die Fouriertransformation gewinnen und den Einfluss verschiedener Messparameter auf das Spektrum nachweisen. Die Signale bestehen aus Sinus-Schwingungen und gaußschem weißen Rauschen. Wir haben den Einfluss der Messpunktanzahl und damit des Zeitintervalls, in dem ein periodisches Signal aufgenommen wird, auf die Bandbreite der Spektrallinie untersucht. Dabei konnten wir eine Relation in Übereinstimmung mit der Energie-Zeit-Unschärfe f T = bestimmen: f T =, 998 ±, 8 Ein konstanter Offset entspricht einer überlagerten Gleichspannung und wird als zusätzliche Spektrallinie bei einer Frequenz von Hz transformiert. Ein wichtiger Messparameter ist die Abtastfrequenz. Nach dem Abtasttheorem können nur Schwingungen richtig rekonstruiert werden, die mindestens mit der doppelten Schwingungsfrequenz abgetastet wurden. Nimmt man Messwerte mit einer zu geringen Frequenz auf, so werden die Messdaten falsch interpretiert und bei der Transformation entsteht ein Peak bei einer kleineren Frequenz im Spektrum. Wird die Abtastfrequenz bei gleich bleibender Messpunktanzahl deutlich erhöht, so kommt dies einer Verkürzung der Messdauer gleich und führt ebenso wie die Verringerung der Messpunkte zu einer verbreiterten Spektrallinie. Die Fourieranalyse geht von periodischen Signalen aus, welche zusätzlich die periodische Randbedingung erfüllen φ() = φ(t ). Da dies nicht allgemein der Fall ist, kommt es zum so genannten Leckeffekt. Er bewirkt, dass weitere spektrale Anteile im Spektrum entstehen und dadurch die Bandbreite und Höhe eines Peaks verändert wird. Wir konnten den Leckeffekt qualitativ nachweisen und die Wirkung verschiedene Fensterfunktionen, die zu seiner Minimierung eingesetzt werden, untersuchen. Bei der digitalen Signalverarbeitung sind zwei weitere Parameter wichtig: Der Eingangsbereich des Messgeräts, sowie die Auflösung der Messgröße. Wird der Eingangsbereich durch ein Signal überschritten, so kommt es bei der Rekonstruktion der beitragenden Schwingungen im Spektrum zu systematischen Fehlern, die abhängig von der Grundfrequenz der Schwingung periodisch auftretende Peaks hervorrufen. Liegt die Auflösung des A/D-Wandlers in der Größenordnung der Amplitude des zu messende Signals, so macht sich die Quantisierung des Signals auch im Spektrum bemerkbar. Es kommt zum so genannten Quantisierungsrauschen. Ein reales Rauschen konnten wir mithilfe eines Algorithmus ebenfalls simulieren. Bei den Experimenten zeigte sich, dass mithilfe der Spektralanalyse und geeigneter Mittelungen eine Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnisses (SNR) erreicht werden kann. So konnten wir Signale, deren Amplitude deutlich kleiner als die des überlagerten Rauschens war, nach entsprechender Anzahl von Mittelungen im Spektrum deutlich vom frequenzgleichverteilten Rauschen trennen. Das Quantisierungsrauschen lässt sich mit dieser Methode jedoch nicht herausrechnen. Als Vorbereitung auf ein weiteres Experiment haben wir uns außerdem mit Korrelationsfunktionen beschäftigt. Dabei ist die Ählichkeit von Schwingungen mit kleiner Amplitude gegen das überlagerte Rauschen mit dem Signal einer zweiten Schwingung gleicher Frequenz nachweisbar. Dieser Versuch im Rahmen des Fortgeschrittenpraktikums I hat zu unserem Ver- 4

25 ständnis der spektralen Analyse und der dabei auftretenden Effekte beigetragen. Außerdem wurden Möglichkeiten zur Unterbindung der Störungen erörtert. 6 Quellenverzeichnis Michael Cerna and Audrey F. Harvey, The Fundamentals of FFT-Based Signal Analysis and Measurement, National Instruments William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press 3 Jänich, Mathematik : Geschrieben für Physiker, Springer-Verlag 4 Bob K, Hamming window and frequency response, Wikimedia Commons, 5, 7 Hilfsmittel Für diese Arbeit wurden die folgenden Hilfsmittel außerhalb des Praktikumsversuchs benutzt: Gnuplot Version 4.4 c , 998, 4, 7- Thomas Williams, Colin Kelley and many others TeXworks Version.5 r.95 c 7- Jonathan Kew, Stefan Löffler 5

26 Erklärung Hiermit erklären wir, dass wir den Inhalt dieses Protokolls eigenständig erarbeitet haben und keine außer den angegebenen Hilfsmitteln und zitierten Quellen verwendet haben. Kiel, den 6. Dezember 3 Stephan von Malottki Marcel Behrendt 6

27 Korrektur zum Versuch Spektralanalyse... Unterabtastung Von Unterabtastung wird gesprochen, sobald ein Signal mit einer Frequenz unterhalb der doppelten Nyquist-Frequenz abgetastet wird. 4.. Frequenz-Messzeit-Unschärfe Die in Abb. 4 links dargestellten Peaks erreichen nicht den erwarteten Wert von, 5V und unterscheiden sich darüber hinaus jeweils unsystematisch voneinander. Dies ist auf einen Leckeffekt zurückzuführen, da die Signale nicht in der gleichen Phase enden, mit der sie beginnen. Dieser Effekt wird in Abschnitt 4.5. noch einmal gesondert erläutert. 4.. Offset Der Wert der Amplitude des Offsets in Abb. 5 beträgt, V, was genau dem erwarteten Wert entspricht. Anders als bei einem Sinussignal wird bei einem Offset ein Spannungswert von U erwartet (vgl. Formel 6), da die effektive Spannung eines zeitlich konstanten Signals seiner momentanen Spannung entspricht Überabtastung Überabtastung ist im Allgemeinen kein Problem und wird in der Praxis fast immer eingesetzt. Wenn jedoch aufgrund von Rechenzeit- oder Speicherplatzbegrenzung die höhere

28 Abtastfrequenz zulasten der Messzeit geht, führt dies zu den selben Effekten der Unschärferelation wie auch in Abschnitt Rauschen In diesem Abschnitt wurde das durch die Simulation erzeugte Rauschen um U = V mit einer Amplitude von U R =, V untersucht. Dazu wurde über unterschiedlich lange Zeitintervalle reines Rauschen gemessen. [...] Die Momente der PDF sind in Tabelle aufgeführt. N M Mittelwert Standartabweichung skewness kurtosis 3 6, 67, 5, 773 8, 878 8, 656, 4, 58 4, 3 4, 7, 4 5, 436 3, , 397 4, 998, , 4 Tabelle : Momente der PDF. vgl. Abbildung Wie zu erkennen ist, geht der Mittelwert der Messpunkte mit steigender Punktanzahl gegen V, was dem Erwartungswert des gaußschen weißen Rauschen entspricht. Die Standartabweichung nähert sich dem Wert σ =, V und entspricht damit der eingestellten Rauschamplitude. Auch dies ist zu erwarten, da die Breite der Normalverteilung auch bei vielen Messpunkten den selben Wert behält. Auch die skewness der Histogramme strebt für eine große Anzahl von Messpunkten gegen. Dies deutet auf eine Symmetrie der Verteilung um U = V hin, wie es ebenfalls für normalverteiltes Rauschen erwartet werden kann. Für die Kurtosis beobachtet man einen Trend gegen mit einem Ausreißer bei N = 4 und deckt sich so mit der Definition (vgl. Abschnitt.3.).

29 N N M = 3 N N M = 8 Gauss N N M = 4 Gauss U/V N N M = 3768 Gauss U/V U/V U/V Abbildung : Die vier dargestellten Histogramme unterscheiden sich in der Anzahl der Messpunkte, die zu ihrer Erstellung genommen wurden. Anschließend wurde jeweils eine Gaussfunktion als PDF an das Histogramm gefittet. Darauf wurde bei N M = 3 verzichtet, da noch kein Trend zur Normalverteilung erkennbar ist. 3