Analytische Geometrie

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Adolf Voss
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1 Analytische Gemetrie Geraden Teil Schnittwinkel vn Geraden Innenwinkel im Dreieck Länge vn Strecken, Abstände Ltgeraden Dreiecksinhalt Nvember 005 Datei Nr. 005 Friedrich Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände Schnittwinkel vn Geraden Grundwissen: y Eine Geradengleichung der Frm y = m + n enthält die Steigungszahl m. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie an gibt, wie grß der Tangens des Steigungswinkels ist: α y y m= tan α =. Fall: Winkel zwischen einer Geraden und einer Hrizntalen. Beispiele: y a) g: y hat m = d.h. tan α = führt zu α = arctan = 6, α b) g: y + hat m = - d.h. tan α. Mit dem Taschenrechner erhält man zu einem negativen Tangenswert meist einen negativen Winkel, d.h. hier α 5, was eine Drehrichtung im Urzeigersinn (nach unten) bedeutet. Dazu gehört aber auch ein Winkel zwischen 90 und 80. Wir rechnen als in diesem Fall: α = 80 5 = 5 Merke: Der Schnittwinkel zwischen einer hrizntalen Geraden und einer schrägen Geraden wird mit der Frmel m= tanα berechnet.

3 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände. Fall: Winkel zwischen einer Geraden und einer Vertikalen. Hinweis: Man berechnet zuerst den Winkel gegen die -Richtung: g Beispiele: a) g: y= + und h: = Aus tan α ' = flgt α ' =,7 In diesem Falle subtrahieren wir α ' vn 90 : α = 90,7 = 56, y h α α ' g b) g: y = und h: = Wir bestimmen zuerst den Steigungswinkel vn g: tan α ' = ( das Minus ist unnötig) als α ' = 80 6, = 6,6 Davn subtrahiert man 90 0 : α = 6,6 90 = 6,6 y α h α ' g

4 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände. Fall: Winkel zwischen beliebigen Geraden. Aufgabe: y g Gegeben sind zwei Geraden g g : y = m + n und g : y = m + n.. Welche Winkel schließen sie ein? Überlegung: γ γ α α Aus den Steigungen kann man die Steigungswinkel α und α berechnen. Ihre Differenz ist der erste Schnittwinkel: γ = α α. Nun sllte man nicht hergehen, und dies genau s rechnen! Die Trignmetrie liefert uns eine Frmel, die es gestattet, den Tangens eines Differenzwinkels γ = α α direkt aus den Einzelwinkeln zu berechnen: tanα tanα Sie lautet tan( ) α α = + tan α tan α Ersetzt man γ = α α und ferner m= tanα bzw. m = tanα, dann flgt_ m m tan γ = + mm Die Verwendung des Betrages sichert uns, dass der Tangens einen psitiven Wert bekmmt, was zu einem Winkel unter 90 gehört. Mit anderen Wrten: Diese Frmel liefert stets den kleineren der beiden Schnittwinkel. Da dieser Winkel und sein Nebenwinkel zusammen 80 ergeben, berechnet man den zweiten Schnittwinkel durch Subtraktin vn 80. Beispiele: () g: y = + h: y = 7-5. Schnittwinkelberechnung: 7 5 tan γ = = = als γ = 8, ; () g: y = - + h: y= tan γ = = = γ = 77,5 und 7 () g: y + und h: y ( ) ( ) tan γ = = = = 9 γ = 80 8, = 6,6 γ = 0,5 γ = 7, ; γ =,8

5 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände () Eine harmlse Überlegung: Orthgnale Geraden Der rechte Winkel besitzt keinen Tangenswert. Je näher sich ein Winkel der 90 Marke nähert, dest größer wird der Tangens, er geht drt nach Unendlich. Dies zeigt sich auch mit der Tangensfrmel: Wird der Nenner 0, erhalten wir keinen Tangenswert, und dies genau die 90 - Situatin, daraus flgt: g g m m m m Dies setzt natürlich vraus, dass keine der Steigungen 0 ist, als keine der Geraden hrizntal verläuft (die andere wäre dann vertikal). Dies kann man auch prblemls über eine Zeichnung beweisen. Wir setzen wieder vraus, dass keine der Geraden hrizntal verläuft, als dass beide Steigungen 0 sind. Für g gilt dann g y m = Und für g gilt dann m y = = y y = y g Wenn uns vrstellen, dass g durch Drehung um den Punkt S um 90 O entsteht, dann gilt dasselbe für das Steigungsdreieck vn g. Dann erkennt man, dass = y ist und y =. Und weil bei einer slchen Drehung aus der steigenden Geraden eine fallende wird bzw. umgekehrt, müssen wir nch einen Vrzeichenwechsel durch ein Minuszeichen einplanen. Dann gilt: m = y y. Nun berechnen wir das Prdukt der beiden Steigungen und erhalten: m m y y = y = y!!!

6 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände 5 Bemerkungen. Zwei Geraden stehen aufeinander senkrecht kann man auch s frmulieren: Zwei Geraden sind (zueinander) rthgnal.. Für die Grundaufgabe: Prüfe nach, b zwei Geraden rthgnal sind, kann man die Orthgnalitätsbeziehung g g m m m m kann man auf zwei Arten anwenden: () Man verwendet die mittlere Gleichung m m, setzt als beide Steigungen ein und prüft nach, b heraus kmmt. () Man verwendet die rechte Gleichung: m m und schaut nach, b die Steigung der einen Geraden der negative Kehrwert der anderen ist. () Beispiele zur Grundaufgabe : Überprüfung der Orthgnalität: a) g : y = + 5 und g : y + sind rthgnal, denn es gilt ( ) m m =, der weil m der negative Kehrwert vn m = ist. b) g: : y und h: y= + sind rthgnal. denn es gilt ( ) m m, der weil m = der negative Kehrwert vn m ist. () Grundaufgabe : Gleichung einer Ltgeraden aufstellen c) Gesucht ist die Ltgerade vn A ( I ) auf g: y = 5. Lösung Aus m g = flgt für die Ltgerade L: ml. mg Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Frm erstellt man die Gleichung vn L: y ( ) als 5 y +

7 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände 6 d) Fälle das Lt vm Punkt Z ( - I ) auf g: y +. Zusatzaufgabe: Berechne den Schnittpunkt Lösung Steigung der Ltgeraden Punkt-Steigungs-Frm für L: d.h. Zusatzaufgabe: Schnittpunkt F vn g und Z : ergibt und durch Einsetzen in g: Ergebnis: F ml = mg y = (+ ) y= + + = yf = Ltfußpunkt F( I ) 0 0

8 005 Analytische Gemetrie Winkel und Abstände 7 Winkel im Dreieck Rest auf der Mathe-CD

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