Mathematik. Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe

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1 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe

2 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe Autoren: Rudolf Glättli, Ralph Hardegger-Huber

3 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe Inhaltsverzeichnis 1 Grundoperationen Positive und negative ganze Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division Verbindung der Operationen 1. und 2. Ordnung Ordnung der Zahlen 9 2 Bruchrechnen Einführung Grafische Darstellung von Brüchen Kürzen und Erweitern von Brüchen Gleichnamig machen von Brüchen Addieren und Subtrahieren von Brüchen Addieren und Subtrahieren von Brüchen: Gemischte Schreibweise Multiplizieren von Brüchen Dividieren von Brüchen Dezimalzahlen Unendlich periodische Dezimalzahlen 20 3 Potenzen Grosse Zahlen: Millionen, Milliarden, Billionen, Zahlen zwischen null und eins: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, Lesen von Dezimalzahlen Positive Potenzen, Begriffe Negative Potenzen mit geradem oder ungeradem Exponenten Darstellung von Zahlen mit Zehnerpotenzen Zehnerpotenzschreibweise für Zahlen > Addieren und Subtrahieren von Potenzen Multiplizieren von Potenzen Dividieren von Potenzen Zehnerpotenzschreibweise für Zahlen zwischen 0 und 1: Negative Exponenten Potenzen mit Exponent = Masseinheiten Einführung Vorsilben zu den Einheiten Längeneinheiten Flächeneinheiten Volumeneinheiten (Raummasse) Zeiteinheiten Kreisfläche und Kreisumfang Zylindervolumen 61 5 Prozentrechnen Einführung Umformungen Grundwert, Prozentsatz, Prozentwert 65 2

4 6 Mischungsrechnen, Konzentrationen Mischungen von Flüssigkeiten Homogene Mischungen von Feststoffen und Flüssigkeiten (= Lösungen) Durchschnittsrechnung: Durchschnittlicher Gehalt einer Mischung Mischungsverhältnis, Mischungskreuz 73 7 Algebra Addition und Subtraktion von Variablen Multiplikation und Division von Variablen Lineare Gleichungen Gleichungen (Formeln) in der Geometrie und Physik Bruchgleichungen ohne Variable im Nenner Proportionalität 90 8 Funktionen Grundlagen Lineare Funktionen Potenzfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Grafische Darstellungen Logarithmus in Anwendung und Natur (Beispiele) Der ph-wert Das Gesetz von Lambert und Beer Winkelfunktionen Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Definitionen mit Einheitskreis Anwendungen und Beispiele Bogenmass/Radiant Die Sinuskurve Prozentuale und molare Lösungen: Berechnungen zu molaren und prozentualen Konzentrationsangaben Allgemeines Prozentuale Konzentrationsangaben Molare Konzentrationsangaben 156 Abbildungsverzeichnis 161 3

5 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe 1 Grundoperationen 1 Grundoperationen 1.1 Positive und negative ganze Zahlen Durchschnittliche Monatstemperaturen Januar Juli Assuan (Ägypten) 18 C 33 C Bern 1 C 18 C Beijing (China) 7 C 26 C Winnipeg (Kanada) 22 C 19 C Übung 1 Geben Sie für jeden Ort den Temperaturunterschied zwischen Juli und Januar an: Assuan (Ägypten) Bern Beijing (China) Winnipeg (Kanada) Addition und Subtraktion Übung 2 Addition Subtraktion Summand + Summand = Summe(nwert) Minuend Subtrahend = Differenz(wert) (+8) + (+3) = (+8) (+3) =... ( 8) + (+3) = ( 8) (+3) =... (+8) + ( 3) = (+8) ( 3) =... ( 8) + ( 3) = ( 8) ( 3) =... Übung 3 Addition und Subtraktion mit Klammern 8 + (15 + 3) = 8 (15 + 3) = ( ) = 8 ( ) = ( 15 3) = 8 ( 15 3) =... 4

6 1 Grundoperationen Aufgabe 1 A] B] ( 27) 49 C] 54 (+36) D] ( 54) (+36) E] 27 (+49) F] 27 ( 49) G] ( 54) 36 H] ( 54) ( 36) Aufgabe 2 A] ( 16) + ( 24) + ( 60) B] 36 ( 56) ( 43) C] 17 + ( 37) (+14) 56 + ( 13) D] ( 28) 18 ( 27) (+12) E] (+3) + ( 13) + (+20) + ( 72) Aufgabe 3 Welches der Operationszeichen +, muss eingesetzt werden, damit eine wahre Aussage entsteht? A] ( 8) 15 = (+7) B] (+3) ( 3) = 0 C] ( 3) 7 ( 6) = ( 16) D] (+12) ( 26) = ( 14) E] ( 3) ( 3) = 0 F] ( 3) 7 ( 6) = ( 4) Aufgabe 4 Schreiben Sie ohne Klammern und berechnen Sie: A] 27 + [13 (+5)] B] 83 [( 17) + 26] C] ( 66) [14 ( 23)] D] ( 79) [( 21) + 16] E] ( 37) [43 + ( 25)] F] ( 27) + [( 3) + 7] G] [( 6) ( 23) + ( 15)] H] 19 + [( 39) ( 17) + 5] I] 15 + ( 23) [( 18) 29 ( 63)] J] ( 43) + 17 [5 + ( 19) ( 37)] Aufgabe 5 Schreiben Sie eine entsprechende Rechnung auf und lösen Sie diese: A] Subtrahieren Sie von der Summe von ( 17) und ( 23) ihre Differenz. B] Subtrahieren Sie von der Differenz von ( 17) und ( 23) ihre Summe. C] Addieren Sie zur Summe von ( 12) und 31 ihre Differenz. D] Subtrahieren Sie von der Differenz von ( 29) und 29 die Differenz von 29 und ( 29). E] Vergrössern Sie die Summe von 16 und ( 23) um ihre Differenz. 5

7 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe 10 Winkelfunktionen Sinuskurven kommen im Alltag in unterschiedlichen Bereichen vor. Dadurch lassen sich wellenförmige Bewegungsvorgänge mathematisch beschreiben. Vorkommen Wasserwellen, Schallwellen und elektromagnetische Wellenstrahlung breiten sich ebenfalls sinusförmig aus. Zur elektromagnetischen Wellenstrahlung gehören Radiowellen, Wärmestrahlung, sichtbare Strahlung (Licht), Röntgenstrahlung oder Gammastrahlen. Wellenbewegungen beim Wasser sind sehr unterschiedlich. Dabei können Wellen von unterschiedlicher Höhe vorkommen. Die Abstände der Wellenberge variieren ebenso. In der Akustik können dieselben Erscheinungen klar wahrgenommen werden. Saiteninstrumente zeigen dies sehr deutlich: Bei einem hohen Ton schwingt eine Saite pro Sekunde häufiger als bei einem tiefen Ton, laute Töne erhält man durch stärkeres Auslenken der Saiten. Das menschliche Ohr ist in der Lage, zwischen Schwingungen pro Sekunde wahrzunehmen. Vom menschlichen Auge können Wellenlängen von rund 400 bis 700 nm (Nanometer) wahrgenommen werden. Die verschiedenen wahrnehmbaren Farben entsprechen Licht unterschiedlicher Wellenlängen Begriffe der Sinuskurve Abb. 68 y = sin x Amplitude x 1 1 Welle = 1 Schwingung 2 Welle Eine sinusförmige Welle beginnt beim Nullpunkt. Im weiteren Verlauf erreicht die Welle den Maximal-Punkt im positiven Skalenbereich auf der y-achse. Danach durchläuft sie erneut die Null-Linie, erreicht den Maximal-Punkt im Minus-Bereich auf der y-achse und erreicht schliesslich wieder die Null-Linie. Hier endet die eine Welle und die nächste startet am gleichen Punkt. 150

8 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe 11 Prozentuale und molare Lösungen 11 Prozentuale und molare Lösungen: Berechnungen zu molaren und prozentualen Konzentrationsangaben 11.1 Allgemeines Als Lösungsmittel wird sehr häufig Wasser verwendet. Beim Auflösen von Feststoffen bzw. beim Mischen von Flüssigkeiten wird in der Regel die Dichte verändert. Dies auch beim Mischen von Flüssigkeiten. Mischvorgänge führen oft zu unerwarteten Volumenänderungen. Ein bekanntes Beispiel ist etwa das Mischen von Wasser und Alkohol: Mischt man beispielsweise 700 ml Wasser mit 300 ml Alkohol, ist das Gesamtvolumen nicht ml, sondern einige ml weniger. Bei geringen Konzentrationen wird die Veränderung der Dichte vielfach nicht beachtet. Werden Feststoffe in Wasser gelöst, wird bei der Herstellung oft mit Gramm-Angaben gearbeitet, auch beim Lösungsmittel. Bei geringen Mengen werden beim Lösen mit Wasser für den Feststoff Gramm-Angaben verwendet, beim Lösungsmittel Wasser Volumen-Angaben, ml (Milliliter) bzw. l (Liter). Beim Wasser wird in der Regel mit der Dichte 1 g/cm 3 gearbeitet. Das heisst: 1 g Wasser entspricht einem Volumen von 1 cm 3 Wasser bzw. 1 ml Wasser. Hinweis Die Dichte von Wasser ist auch temperaturabhängig, steigt oder sinkt die Wassertemperatur, verändert sich das Wasservolumen bei unveränderter Masse. Konzentrations-Angaben erfolgen unterschiedlich: mit %-Angaben oder in Molarität-Angaben: A A Molarität-Angaben haben als Bezugsgrösse generell Mol/l Lösung (Mol/Liter Lösung). Beispielsweise eine 2 m Traubenzucker Lösung enthält 2 Mol Traubenzucker pro Liter Lösung. Prozent-Angaben erfolgen bei flüssigen Stoffen in ml flüssige Substanz/100 ml Lösung, bei lösbaren Feststoffen und geringen Konzentrationen in der Regel in g gelöste Substanz/100 ml (Gramm pro 100 Milliliter) Prozentuale Konzentrationsangaben Definition Eine x%ige Lösung enthält x Gramm gelöste Substanz in 100 Gramm Lösung bzw. x ml Flüssigkeit in 100 ml Lösung Beispiel Eine 2%ige Lösung eines Stoffs enthält 2,0 g des gelösten Stoffs in insgesamt 100 g Lösung. Je nach Situation im praktischen Alltag wird die Dichteänderung nicht beachtet, in einem solchen Fall lautet die Angabe 2,0 g in 100 ml Lösung. Würden die 2 g Stoff zu 100 ml Lösungsmittel hinzugefügt, wäre das Volumen der Lösung nicht 100 ml, sondern klar darüber. Hinweis Das Lösungsmittel schrittweise hinzufügen. Erst wenn der Stoff vollständig gelöst ist, wird unter stetem Rühren auf das erforderliche Lösungsvolumen aufgefüllt. 154

9 11 Prozentuale und molare Lösungen Übung 112 a) In einem Behälter befinden sich 10 Liter 1%ige Traubenzuckerlösung. Wie viel Gramm Traubenzucker wurden zur Herstellung der Traubenzuckerlösung verwendet? Die Dichte der Traubenzuckerlösung wird nicht beachtet. b) Zu den 10 Litern 1%iger Traubenzuckerlösung werden 10 Liter Wasser hinzugefügt. Welche Konzentration liegt nun vor? Die Dichte der Traubenzuckerlösung wird nicht beachtet. Aufgabe 272 Aufgabe 273 Aufgabe 274 Aufgabe 275 Stellen Sie 4 Liter 1,5%ige Kochsalzlösung her. Ausrechnung gehört dazu, in Worten beschreiben, wie Sie vorgehen beim Herstellen der Kochsalzlösung. 1,5 Liter 3%ige Kaliumbromidlösung werden mit 0,5 Liter 2,5%iger Kaliumbromidlösung gemischt. Wie viel %ig ist die so entstandene Lösung? Ausrechnung gehört dazu. Mit 90 g Kochsalz stellen Sie durch hinzufügen von Wasser 10 Liter Lösung her. Wie viel %ig ist die Lösung? Ausrechnung gehört dazu, in Worten beschreiben, wie Sie vorgehen beim Herstellen der Kochsalzlösung. Einzelne Schritte angeben. Milch enthält 85 % Wasser. In einer Milchhandlung werden Liter Milch angeliefert. Wie gross ist der Wasseranteil in dieser Milchmenge? Aufgabe ,2 Liter 70%iger Alkohol wird mit so viel Wasser gemischt, dass die Konzentration 3 % beträgt. Wie viel Wasser wurde hinzugefügt? Aufgabe 277 Aufgabe 278 Aufgabe 279 Aufgabe 280 Aufgabe 281 Aufgabe 282 Aufgabe g Kochsalz ist vorhanden. Wie viel 0,5%ige wässrige Kochsalzlösung kann damit hergestellt werden? Ein 5,5-Liter-Alkohol-Wasser-Gemisch enthält 2 Liter reinen Alkohol. Wie viel %ig ist diese Lösung? In 4 dl Kochsalzlösung sind 5 g Kochsalz enthalten. Wie viel %ig ist diese Lösung? 1 Liter 3%ige Glucoselösung wurde zu 2 Litern 5%ige Glucoselösung hinzugefügt. Wie viel %ig ist die entstandene Glucoselösung. Zu 500 ml 10%iger Kalziumchlorid-Lösung muss so viel Wasser hinzugefügt werden, dass daraus eine 6%ige Kalziumchlorid-Lösung entsteht. Wie viel Wasser muss hinzugefügt werden? Eine Kochsalzlösung, die 1,2 g Kochsalz in 150 ml Kochsalz-Lösung enthält, wird mit einer Kochsalzlösung gemischt, die 7,5 g Kochsalz in 330 ml Lösung enthält. Wie viel %ig ist die Lösung? 1,2 Liter 3%ige Kochsalz-Lösung werden mit 700 ml 2%iger Kochsalzlösung gemischt. Wie viel Wasser muss zu diesem Gemisch dazugegeben werden, um schliesslich eine physiologische Kochsalz-Lösung (0,9%ig) zu erhalten? 155

10 Mathematik Vorkurs Höhere Fachschulen für Gesundheitsberufe 11 Prozentuale und molare Lösungen 11.3 Molare Konzentrationsangaben Das Mol Sie kennen aus der Alltagssprache die Begriffe «Paar», «Dutzend», evtl. «Gros»: 1 Paar = 2 Stück 1 Dutzend = 12 Stück 1 Gros = 12 Dutzend = 144 Stück In der Chemie ist der Begriff «Mol» im Zusammenhang mit quantitativen Betrachtungen wesentlich: 1 Mol = Teilchen Beispiele A 1 Mol Fe-Atome = Fe-Atome A 1 Mol Cu-Atome = Cu-Atome A 1 Mol H 2 O-Moleküle = H 2 O-Moleküle A 1 Mol O 2 -Moleküle = O 2 -Moleküle A 1 Mol NaCl-Salzteilchen = NaCl-Salzteilchen A 1 Mol Ca 2+ -Ionen = Ca 2+ -Ionen A 0,1 Mol Fe-Atome = Mol Fe-Atome = Fe-Atome 10 A 0,01 Mol Fe-Atome = Mol Fe-Atome = Fe-Atome Die Molmasse Die Molmasse wird mithilfe des Periodensystems ermittelt. Beispiele A Die Masse von 1 Fe-Atom beträgt 55,85 u. Die Masse von 1 Mol Fe-Atomen beträgt 55,85 g. Anders ausgedrückt: Ein Stück Eisen mit einer Masse von 55,85 g besteht aus Fe-Atomen. A A Die Masse von 1 H 2 O-Molekül beträgt 18,006 u (2 1,008 u + 15,99 u). Die Masse von 1 Mol H 2 O-Molekülen beträgt 18,006 g (2 1,008 g + 15,99 g). Anders ausgedrückt: 18,006 g Wasser enthalten H 2 O-Moleküle. Die Masse von 1 NaCl-Salzteilchen beträgt 58,44 u (22,99 u + 35,45 u). Die Masse von 1 Mol NaCl-Salzteilchen beträgt 58,44 g (22,99 g + 35,45 g). Anders ausgedrückt: 58,44 g NaCl (Kochsalz) enthalten NaCl-Salzteilchen. 156

11 11 Prozentuale und molare Lösungen Molarität Definition Eine 1 m (molare) Lösung enthält 1 Mol gelösten Stoff in 1 Liter Lösung. Meistens handelt es sich um wässrige Lösungen. Die im Wasser gelösten Stoffe können vor dem Mischen mit Wasser flüssig oder fest sein. Feste Stoffe müssen vollständig gelöst vorliegen. Herstellung von molaren Lösungen Beispiele A Sie stellen 1 Liter 1 m (molare) Kochsalzlösung (NaCl-Lösung) her. 1. Schritt: Berechnen der Masse von 1 Mol NaCl 58,44 g 2. Schritt: 58,44 g NaCl abwägen. 3. Schritt: 58,44 g NaCl in ein geeichtes 1-Liter-Glasgefäss geben. 4. Schritt: Rund 700 ml Wasser (Raumtemperatur 20 C) dazugeben und Kochsalz vollständig auflösen. 5. Schritt: Unter stetem Rühren langsam Wasser bis zur 1-Liter-Marke dazugeben. Sie haben nun eine eindeutig definierte Natriumchlorid-Lösung: In 1 Liter 1 m Kochsalz- Lösung sind 1 Mol = 58,44 g NaCl enthalten bzw NaCl-Salzteilchen. A Sie entnehmen obiger Lösung 100 ml. Darin sind 5,844 g NaCl enthalten bzw NaCl-Salzteilchen. Hinweis: Die Konzentration hat sich dabei nicht verändert, die Lösung ist immer noch 1 Molar. A Sie stellen 100 ml 0,2 m (molare) Traubenzucker-Lösung her. Die Summenformel für Traubenzucker = Glucose lautet: C 6 H 12 O Schritt Berechnen der Masse von 1 Mol C 6 H 12 O 6 180,096 g 2. Schritt Berechnen der Traubenzucker-Menge. Da nur 100 ml Lösung hergestellt werden, ist 10-mal weniger Traubenzucker notwendig. Zudem soll die Lösung 0,2 molar sein, somit verringert sich die Traubenzucker- Menge nochmals um das 5-Fache. Somit dividieren Sie 180,096 g durch 50. Sie erhalten 3,602 g. 3. Schritt 3,602 g Traubenzucker abwägen. 4. Schritt 3,602 g Traubenzucker in ein geeichtes 100-ml-Glasgefäss geben. 5. Schritt Rund 70 ml Wasser (Raumtemperatur 20 C) dazugeben und Traubenzucker vollständig auflösen. 6. Schritt Unter stetem Rühren Wasser bis zur 100-ml-Marke dazugeben. Sie haben nun eine eindeutig definierte Traubenzucker-Lösung: 100 ml 0,2 m Traubenzuckerlösung. Darin sind 3,602 g Traubenzucker bzw. 1, Traubenzucker-Moleküle enthalten. 157