Inhalts -Verzeichnis.

Transkript

1 Inhalts -Verzeichnis. Vorbemerkungen 1 Einleitung. Entwicklungen über projective Maassbestimnmngen. 1. Die projectiven Maassbestimmungen in der Ebene und deren Arteinteilung 3 2. Die zur Maassbestimmung gehörenden Bewegungen und Umlegungen der Ebene. Die Variabele f im parabolischen Falle Die Collineationen des Kegelschnitts g 1 z s # 2 = 0 in sich. Verhalten des zugehörigen Die Gruppe der Bewegungen und Umlegungen im hyperbolischen und elliptischen Falle Allgemeine Definition der f-werte für die Punkte der projectiven Ebene Die J -Werte in der hyperbolischen Ebene. Die f-halbebene und f-halbkugel Die hyperbolische Maassbestimmung in der f- Halbebene und auf der -Halbkugel Über Flächen von constantem negativen Krümmungsmaass Figuren für die Bewegungen der projectiven Ebene in sich Die elliptische Ebene und die J-Ebene bez. g-kugel Die elliptische Maassbestimmung auf der J-Ebene und f-kugel Die hyperbolische Maassbestimmung im Räume und die zugehörigen Bewegungen Die Kreisverwandtschaften und die hyperbolische Geometrie. Die Rotationsgruppen im hyperbolischen Räume Beziehung des hyperbolischen Raumes auf den - Halbraum Schlussbemerkungen zur Einleitung 57 Erster Abschnitt. Grundlagen für die Theorie der discontinuierlichen Gruppen linearer Substitutionen einer Variabelen. Erstes Kapitel. Die Discontinuität der Gruppen mit Erläuterungen an einfachen Beispielen. 1. Unterscheidung continuierlicher und discontinuierlicher Substitutionsgruppen 60

2 X Inhalts-Verzeichnis. 2. Unterscheidung eigentlich und uneigentlich discontinuierlicher Substitutionsgruppen Recapitulation und Ergänzung betreffend cyclische Gruppen Die Gruppen der regulären Körper und die regulären Einteilungen der elliptischen Ebene Die Modulteilung in der f-ebene und in der hyperbolischen Ebene Einführung und Erweiterung der Picard'schen Gruppe Die zur Picard'schen Gruppe gehörende tetraedrische Einteilung des - Halbraumes Der Discontinuitätsbereich und die Erzeugung der Picard'schen Gruppe Über Untergruppen der Picard'schen Gruppe. Historisches 87 Zweites Kapitel. Die Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen und ihre normalen Discontmuitätsbereiche. 1. Der Begriff der infinitesimalen Substitutionen Die eigentliche Discontinuität der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen Die Begriffe der Polygon- und der Polyedergruppen Einführung der normalen Discontinuitätsbereiche bei Rotationsgruppen Von den Ecken und Kanten der Normalpolygone bei Rotationsgruppen. Erster Teil: Die Ecken im Ellipseninnern Fortsetzung: Die Ecken auf und ausserhalb der Ellipse Die Normalpolyeder im hyperbolischen Räume und deren Gestaltung im Kugelinnern Die Normalpolyeder auf und ausserhalb der Kugel Das Verhalten der Polygongruppen auf der Kugeloberfläche. Erster Teil: Allgemeines Fortsetzung: Specielle Betrachtung der Gruppen mit Grenzcurven Die Normalbereiche der Gruppen zweiter Art Die Normalbereiche in der g-ebene und im -Raum. Historisches Drittes Kapitel. Weitere Ansätze zur geometrischen Theorie der eigentlich discontinuierlichen Gruppen. 1. Die erlaubte Abänderung der Discontinuitätsbereiche, insbesondere bei Gruppen mit Hauptkreis Fortsetzung: Die erlaubte Abänderung bei Polyedergruppen, sowie Polygongruppen ohne Hauptkreis Definition der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen durch Discontinuitätsbereiche. Durchführung im Hauptkreisfalle Fortsetzung: Definition der Polyedergruppen durch Discontinuitätsbereiche Fortsetzung: Allgemeine Definition der Polygongruppen durch Discontinuitätsbereiche Classification der Gruppen ohne infinitesimale Substitutionen nach der Gestalt der Discontinuitätsbereiche und regulären Einteilungen

3 Inhalts -Verzeichnis. 7. Die Erzeugung der Gruppen und die für die Erzeugenden gültigen Relationen Fortsetzung: Die Erzeugenden und ihre Relationen bei Polyedergruppen sowie bei beliebigen Polygongruppen Herstellung geschlossener Flächen aus den Discontinuitätsbereichen der Polygongruppen Die kanonischen Discontinuitätsbereiche der Polygongruppen Von der Composition der Polygongruppen Einführung der homogenen Substitutionen und Gruppen Die isomorphe Spaltbarkeit bei Polygongruppen ohne secundäre Relationen Die homogene Gestalt der primären Relation zwischen den Vi, V aje, Vb k 202 XI Zweiter Abschnitt. Durchführung der geometrischen Theorie der Polygongruppen aus - Substitutionen. Erstes Kapitel. Behandlung der Botationsgruppen auf Grundlage der normalen Discontinuitätsbereiche. 1. Erledigung der elliptischen Rotationsgruppen Die Normalsechsecke der parabolischen Rotationsgruppen Beziehung der Normalsechsecke der parabolischen Rotationsgruppen zur Reduction der binären quadratischen Formen Die parabolischen Rotationsgruppen mit elliptischen Substitutionen Die parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art Fortsetzung: Die parabolischen Rotationsgruppen zweiter Art mit elliptischen Substitutionen Die Nichtrotationsgruppen mit zwei Grenzpunkten Die Gruppen zweiter Art mit zwei Grenzpunkten Einführung der Normalpolygone für hyperbolische Rotationsgruppen Untersuchung über die zufälligen Ecken der Normalpolygone Die zu den Substitutionen V, V\ V" der zufälligen Ecken gehörenden Curven C Weiteres über die Curven C 3 der Tripel V, V', V" Die zu den festen Polygonecken gehörenden Bereiche Q. Der Reciprocitätssatz der Normalpolygone Der Gattungsbegriff und die Typeneinteilung der Normalpolygone Vom Vorkommen der Specialtypen bei der Gattung (p, n) Veränderung der Normalpolygone bei Monodromie der Centren C Die natürlichen Discontinuitätsbereiche der hyperbolischen Rotationsgruppen

4 XII Inhalts -Verzeichnis. Zweites Kapitel. Die kanonischen Polygone und die Moduln der hyperbolischen Rotations gruppen. 1. Einleitendes. Die kanonischen Polygone der Gattung (0, 3) Die kanonischen Polygone der Gattung (1, 1) als geradlinige Vierecke Allgemeine Gestalt der kanonischen Polygone der Gattimg (1, 1) Die Doppel~n-ecke der Gattung (0, n) und deren Transformation Umwandlung der Doppel-w-ecke in kanonische Polygone der Gattung (0, n) Die kanonischen Polygone beliebiger Gattung (p, n) Portschaffung convexer Winkel am geradlinigen Polygone (p, n) Transformationstheorie der Polygone beliebiger Gattung (p, n) Fortsetzung: Die Elementartransformationen 3 ter und 4 ter Art Die Invarianten der Substitutionenpaare V ti V Die Moduln j ti j 2, j 3 der kanonischen Polygone (0, 3) System der charakteristischen Bedingungen für die Moduln der Gattung (0,3). Mannigfaltigkeit aller Gruppen (0, 3) Die Moduln und ihre charakteristischen Bedingungen bei der Gattung (1, 1). Mannigfaltigkeit der Gruppen (1,1) Einführung der Moduln der Gattung (0, ri), Compositionsbetrachtungen Adjunction von^12 3, ^' 234,... Relationen für die Moduln (0, n) Weitere Bedingungen für die Moduln der Gattung (0, n) Das volle System der charakteristischen Bedingungen für die Moduln der Gattung (0, n) Mannigfaltigkeit aller Gruppenfamilien der Gattung (0, n) Die charakteristischen Bedingungen und die Mannigfaltigkeit aller Gruppen (p, n) Die Transformationen der Modulsysteme und die Modulgruppen der einzelnen Gattungen (p, n) Die Modultransformationen der Gattungen (0, 4) und (1,1) 394 Drittes Kapitel. Betrachtung der Kreisbogenvierecke ohne Hauptkreis und Bemerkungen über sonstige Nichtrotationsgruppen. 1. Geometrische Ableitung der sieben Typen der Kreisbogenvierecke Die Invarianten 6 ik der Kreisbogenvierecke Die Grenzcurve beim Viereck des ersten Typus mit vier Winkeln null. Vorbereitendes Approximative Constructionen der Grenzcurve Die 4 Punktarten auf der Grenzcurve. Die parabolischen Punkte derselben Fortsetzung: Die hyperbolischen und loxodromischen Punkte der Grenzcurve Die Vierecknetze des zweiten bis sechsten Typus Weitere Beispiele von Nichtrotationsgruppen erster und zweiter Art. 436

5 Inhalts-Verzeichnis. XIII Dritter Abschnitt. Über arithmetische Definitionsweisen eigentlich discontinuierlicher Gruppen aus -Substitutionen. Erstes Kapitel. Die ßotationsuntergruppen innerhalb der Picard'schen Gruppe und die zugehörigen binaren quadratischen Formen. 1. Die Gauss'schen Formen und die Modulgruppe Einführung der Dirichlet'schen und Hermite'schen quadratischen Formen Geometrische Deutung der Dirichlet'schen und Hermite'schen Formen Behandlung des Äquivalenzproblems bei den definiten Hermite'schen Formen Reductionstheorie der Dirichlet'schen Formen Die Transformationen der Dirichlet'schen Formen in sich Rëductionstheorie der indefiniten Hermite'schen Formen Die reproducierenden Gruppen der indefiniten Hermite'schen Formen Die reproducierenden Gruppen der zur Determinante D = 5 gehörenden Hermite'schen Formen Die reproducierenden Gruppen der zur Determinante D = 7 gehörenden Hermite'schen Formen Theorie der Gauss'schen Formen in projectiv-geometrischer Gestalt Die projective Gestalt der Picard'schen Gruppe Theorie der Hermite'schen und Dirichlet'schen Formen in projectivgeometrischer Gestalt 497 Zweites Kapitel. Von den reproducierenden Gruppen ternärer und quaternärer quadratischer Formen, 1. Ansatz der zu untersuchenden Gruppen und eigentliche Discontinuität derselben» Äquivalenz und Commensurabilität der reproducierenden Gruppen, und r F ternärer und quaternärer quadratischer Formen Existenzbeweis der reproducierenden Gruppen der ternären Formen f(z { ) beider Arten Existenzbeweis der reproducierenden Gruppen der quaternären Formen F{z t ) Vom Vorkommen elliptischer und parabolischer Substitutionen in den Gruppen I\ und T F Historische Bemerkungen über ternäre und quaternäre Formen Bericht über Selling's Behandlung der ternären quadratischen Formen Arithmetische Bildungsgesetze der - Gruppen V f der indefiniten Formen fty.' Neue Constructionsmethode des Discontinuitätsbereichs der einzelnen Hauptkreisgruppe I\ Beispiele reproducierender Gruppen reeller Formen f(z { ) Fortsetzung: Gegen die Modulgruppe incommensurabele Gruppen [p, q, r\ 554

6 XIV Inhalts -Verzeichnis. 12. Arithmetisches Bildungsgesetz der - Gruppen. bei complexen ternären Formen f(g { ) Beispiele von reproducierenden Polyedergruppen Über arithmetische Bildungsgesetze bei den reproducierenden Gruppen quaternärer Formen F(z?) Beispiel einer reproducierenden Gruppe T F 582 Drittes Kapitel. Über eine specielle Art von Hauptkreis- und Polyedergruppen mit ganzen algebraischen Substitutionscoefficienten» 1. Definition der Gruppen [p, q,r\ bei beliebigem Zahlkörper Sl Verschiedene Erweiterungen der Gruppen [p, q, r] Hilfssätze aus der Theorie der Einheiten Die Discontinuität der Gruppen [p, q, r] mit reellen Substitutionscoefficienten Die Discontinuität der Gruppen [p, q. 9 r] mit complexen Substitutionscoefficienten Ansatz der zu behandelnden Hauptkreisgruppen des Charakters (0, 3) Discussion der drei Bedingungen der eigentlichen Discontinuität Die zu den ausgesonderten Signaturen (0, 3; 2, Z 2, l s ) gehörenden Gruppen [p, q, r] Beweis der Identität der ausgesonderten Gruppen (0, 3; 2, l 2, ) mit den arithmetisch definierten Gruppen [p, q, r].' Ansatz der zu behandelnden Hauptkreisgruppen des Charakters (1, 1) Die Gruppen (1, 1; Z) für l = 4, 5, 6 mit quadratischen Zahlkörpern Sl Die Gruppen (1, 1; 2) und (1, 1; 3) mit quadratischen Zahlkörpern Sl 628