10 Kinetik allgemeiner Systeme

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1 69 Durch Freischneien er einzelnen Körper un Aufstellen on Impuls- un Drallsatz gelingt es grunsätzlich, ie Bewegungsgleichungen eines Systems zu finen. Manchmal ist es eoch zweckmäßiger, as System in seiner Gesamtheit zu betrachten. Schneiet man aus einem abgeschlossenen Massenpunktsystem einen einzelnen Massenpunkt heraus, so wirken auf iesen einerseits äußere Kräfte urch Wechselwirkungen oer Binungen mit Elementen außerhalb es Systems, anererseits Kräfte urch Wechselwirkungen oer Binungen mit aneren Massenpunkten es Systems. Die Axiome er Mechanik besagen, ass sich ie inneren Kräfte eweils paarweise in ihrer Wirkung aufheben (actio=reactio),.h. sie haben nach außen weer eine Kraft- noch eine Momentenwirkung. Beim Aufsummieren er Impulssätze für ie einzelnen Massenpunkte heben sich aher ie inneren Kräfte ollstänig heraus, so ass nur ie resultierene äußere Kraft Einfluss auf ie Änerung es Gesamtimpulses eines Systems hat. In gleicher Weise heben sich innere Momente heraus, weshalb sich ie Änerung es Gesamtralls eines System leiglich aus em äußeren resultierenen Moment ergibt. Die Änerung es Gesamtimpulses lässt sich als Gesamtmasse multipliziert mit er Beschleunigung es Gesamtschwerpunkts formulieren, woraus er Schwerpunktsatz (oer auch Massenzentrumsatz) folgt. Integriert man Impuls- un Drallsatz über ein orgegebenes Zeitinterall, ergeben sich araus Impuls- un Drallbilanz für as abgeschlossene System. Dies wir sich bei Stoßaufgaben als orteilhaft erweisen, wo man en exakten Zeiterlauf er Stoßkräfte nicht kennt. Beim nichtabgeschlossenen System eränert sich ie Gesamtmasse urch Zu- oer Abströmen on Masse. Mit em Massenstrom erknüpft ist ein Impulsstrom, er en Impuls es erbleibenen Systems eränert un amit zu einer Kraftwirkung führt. Bei er Rakete wir Masse mit hoher Geschwinigkeit nach hinten ausgestoßen un führt auf eine Schubkraft, bei einer Schöpfkelle muss ie aufgenommene Masse auf ie Geschwinigkeit er Schöpfkelle beschleunigt weren un erzögert sie aurch.

2 Impuls- un Drallsatz für abgeschlossene Systeme Abgeschlossenes Massenpunktsystem Ein System heißt abgeschlossen, wenn keine Masse über ie Systemgrenze tritt. Auf een Massenpunkt m wirken äußere Kräfte F (a) un innere Kräfte F (i) k. Letztere haben nach außen keine resultierene Kraft- un Momentenwirkung: F (i) k F (i) k 0 r F (i) k rk F (i) k 0 Für een Massenpunkt gilt er Impulssatz m r.. F (a) F (i) k k Impulssatz für ein abgeschlossenes System Impulssätze für einzelne Massenpunkte: m 1 r.. 1 F (a) 1 F (i) 12 F (i) 13 m 2 r.. 2 F (a) 2 F (i) 21 F (i) 23 m 3 r.. 3 F (a) 3 F (i) 31 F (i) 32 abgeschlossenes System m k F (i) k F (i) k rk m r F (a) r. Summation über as Gesamtsystem innere Kräfte heben sich auf Gesamtimpuls wir nur urch äußere Kräfte eränert p F (a) resultierene äußere Kraft F (a) Gesamtimpuls es Systems F (a) : Massenpunktsystem p m r. Mehrkörpersystem p m r. C m Kontinuum p r. m r r.

3 71 p F (a) Massenmittelpunkt rc : m 1 m r mit m m F (a) mr.. C F (a) Schwerpunktsatz: Der Massenmittelpunkt C eines abgeschlossenen Systems bewegt sich so, als seien ie gesamte Masse un alle äußeren Kräfte in ihm ereinigt C abgeschlossenes System rc Drallsatz für ein abgeschlossenes System Der Drall eines Massenpunkts ist efiniert als Impulsmoment L r p r m r.. Durch Multiplikation er Impulssätze mit r ergeben sich ie Drallsätze L. M : 1 r 1 r.. 1 r 1 F (a) 1 r1 F (i) 12 r1 F (i) 13 2 r 2 r.. 2 r 2 F (a) 2 r2 F (i) 21 r2 F (i) 23 3 r 3 r.. 3 r 3 F (a) 3 r3 F (i) 31 r3 F (i) 32 Summation über as Gesamtsystem innere Momente heben sich auf Gesamtrall wir nur urch äußere Momente eränert L (a) M resultierenes äußeres Moment M (a) Gesamtrall es Systems r F (a) Massenpunktsystem Mehrkörpersystem Kontinuum L r m r. L I C r C m r. C L r r. m

4 Impuls- un Drallbilanz für abgeschlossene Systeme Impulsbilanz p F (a) Integration über Bewegung p 2 2 p 1 t F (a) t 1 Kraftstoß F (a) F (a) (t) t 1 t 2 t Sonerfall: F (a) 0 p 2 p 1 Impulserhaltung Drallbilanz L (a) M Integration über Bewegung L 2 L 1 t 2 t 1 M (a) Momentenstoß Sonerfall: M (a) 0 L 2 L 1 Drallerhaltung

5 Impulssatz für nichtabgeschlossene Systeme System mit Massenausstoß ṁ 0 Massenbilanz für K m(t ) ṁ (m m ) m m ṁ 0 Impulsbilanz für Gesamtsystem F (a) (t) m F (a) (t ) K(t) m m m abs K(t ) rel p(t ) p (t) F (a) Bahn on K m (a) F ṁ rel Raketengleichung Ausstoßgeschwinigkeit relati zur Rakete Massenausstoß pro Zeit ṁ m Schubkraft S ṁ rel äußere resultierene Kraft (ohne Schub) Beschleunigung er Rakete aktuelle Masse er Rakete Beispiel: Raketenstart g(z) g(z) z ṁ rel S ṁ rel x m. mg ṁ rel oer m. mg S

6 74 System mit Massenaufnahme ṁ 0 Massenbilanz für K m(t ) ṁ (m m ) m m ṁ 0 Impulsbilanz für Gesamtsystem F (a) (t) m m Bahn on K abs K(t) rel F (a) (t ) m m K(t ) p(t ) p (t) F (a) m (a) F ṁ rel Aufnahmegeschwinigkeit relati zur Schöpfkelle rel abs Massenaufnahme pro Zeit ṁ m Druckkraft D ṁ rel Beispiel: Schöpfkelle abs 0 F (a) rel ṁ F (a) D ṁ rel m. F (a) ṁ oer m. F (a) D