Die Logarithmische Spirale und ihre Faszination

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1 Spiralen Seite / Wilfrie Rohm wilfrie.rohm@schule.at Die Logarithmische Spirale un ihre Faszination Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polaroorinaten, Archimeische Spirale, Logarithmische Spirale, polare Steigung, Ableitung einer Funtion in Parameterform Kurzzusammenfassung Die wesentlichen, praxisrelevanten mathematischen Eigenschaften er Logarithmischen Spirale un er Archimeischen Spirale weren argestellt un rechnerisch / zeichnerisch begrünet. Davon ausgehen weren einige Beispiele für as Auftreten ieser Spiralformen in Naturwissenschaft un Techni aufgezeigt. Lehrplanbezug (bzw. Gegenstan / Abteilung / Jahrgang): Angewante Mathemati, 3.Jahrgang, alle Abteilungen Mathca-Version: erstellt in er Version Literaturangaben: MAOR, Eli: Die Zahl e - Geschichte un Geschcihten, Birhäuser. OGILVY, Stanley: Unterhaltsame Geometrie, Vieweg. McMAHON / BONNER: Form un Leben, Konstrutionen vom Reißbrett er Natur Anmerungen bzw. Sonstiges: Es hanelt sich hier um ein bemerenswertes Ranthema er Mathemati im Oberstufenbereich, as für alle, ie sich amit beschäftigen, ausgesprochen faszinieren ist. Nicht zuletzt haben sich auch viele Künstler un Naturwissenschafter mit iesen Formen beschäftigt. Auch ein gewisser Zusammenhang zu mythologischen Themenbereichen (Labyrinthe,...) lässt sich vielleicht araus erlären. Die Faszination er logarithmischen Spirale Das Aussehen er logarithmischen Spirale Drei Eigenschaften er logarithmischen Spirale Anwenungsbeispiele Die archimeische Spirale Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

2 Spiralen Seite 2 / Das Aussehen er Logarithmischen Spirale -> Inhaltsübersicht Meist wir ie logarithmische Spirale in Parameterform angeschrieben: Beispiel für logarithmische Spirale r( ) C a oer mit er Basis e r( ) C e : 0.6 C : Variation er Parameter! C : C : r( ) : C e Rücnahme er Defintion für ie späteren, symbolischen Berechnungen! : 0, π : r( ) -> Inhaltsübersicht Drei Eigenschaften er Logarithmischen Spirale ) Die Gleichwineligeit Die beannteste un wichtigste Eigenschaft er logarithmischen Spirale sagt aus, ass alle Raiusvetoren unter em gleichen Winel ψ geschnitten weren. In er Differentialrechung wir er Tangens von ψ "POLARE STEIGUNG" genannt. Sie ist für eine Funtion in Polarform folgenermaßen efiniert (Herleitung in Schulbüchern oer nahezu jeem Buch er Differential- un Integralrechnung): tanψ r( ) r r( ) r( ) Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

3 Spiralen Seite 3 / Wenn ie Logarithmische Spirale ie obige Eigenschaft hat, müsste ie polare Steigung also - unabhängig von - stets onstant sein! Dies ist tatsächlich so, wie ie folgene Rechnung zeigt: r( ) : C e r( ) C exp( ) Polare Steigung r( ) r( ) onstant!!!!.h. Die Logarithmische Spirale hat überall en gleichen Schnittwinel!! Umstänlicher in er Rechnung - afür einrucsvoller, weil grafisch arstellbar - ist ie Rechnung über ie Parameterform er Logarithmischen Spirale. Im Folgenen wir eine Logarithmische Spirale im artesischen Koorinatensystem gezeichnet. In en Schnittpunten mit em Raiusvetor l(xx,phi) weren ie Tangenten gezeichnet un er Schnittwinel α berechnet. Eine Änerung es Winels phi bewirt eine Änerung es Schnittwinels α! Ableitung einer Funtion in Parameterform allgemein gegeben seien yt () un xt () ann gilt : y x y t t x y t x t y punt x punt aher gilt für ie logarithmische Spirale Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

4 Spiralen Seite 4 / x( ) : r( ) cos( ) y( ) : r( ) sin( ) y strich ( ) : y( ) x( ) C exp( ) sin( ) + C exp( ) cos( ) C exp( ) cos( ) C exp( ) sin( ) Nun Aufstellen er Tangentengleichungen in en Schnittpunten in er Form y x + ( ) : y( ) y strich ( ) x( ) tangente( t, ) : y strich ( ) t lt (, ) : tan( ) t + ( ) Berechnen er Größe in Abhängigeit vom Winel phi Tangentengleichung Gleichung er Geraen urch en Urspruing mit Winel (beliebiger "Raiusvetor") Nun änere man ie Werte von phi un beobachte Grafi un Ergebnis von α: phi : π 4 α : atan( y strich ( phi) ) phi Schnittwinel α 99.09Gra xx : 0, : 0, π : 0 y( ) tangente( xx, phi) ( ) tangente xx, phi+ π ( ) tangente xx, phi+ 2π ( ) tangente xx, phi+ 3π ( ) tangente xx, phi+ 4π l( xx, phi) x( ), xx Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

5 Spiralen Seite 5 / 2) Die Retifiation er Logarithmischen Spirale Bereits 645 entecte Evangelista Torricelli ( ), ein Schüler Galileis, ass er Weg er Spirale von irgeneinem Punt zum Pol (auf en sich ie Spirale zusammenzieht) trotz er unenlich vielen Umrehungen enlich ist. Er bewies ausserem, ass ie Bogenlänge von einem beliebigen auf er x-achse liegenen Punt P er Spirale bis zum Pol gleich ist er Länge es von P bis zur y-achse gemessenen Abschnittes er Tangente im Punt P an ie Spirale! Das Ergebnis von Torricelli ist übrigens ie erste beannte Retifiation (Bestimmen er Bogenlänge) einer nichtalgebraischen Kurve! Dies wollen wir im Folgenen nachrechnen un zeichnerisch arstellen! Länge es Bogens von einem Punt zum Pol (Mittelpunt) s 2 ( r( ) ) 2 + r( ) 2 mit C : C : r( ) : C e r( ) C exp( ) s 2 ( e ) 2 C 2 + C 2 2 ( ) 2 e s C e C + 2 ( ) e 2 e Setzen wir nun beispielsweise 2 0 un lassen gegen minus Unenlich gehen, so erhält man: s C + 2 s : C 2 + s Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

6 Spiralen Seite 6 / : 00, xx : y( ) tangente( xx, 0) x( ), xx : Für ie weitere symbolische Berechnung! Nun legen wir - siehe obige Zeichnung - ie Tangente an en gleichen Punt - en Punt mit 0. Von oben (Eigenschaft ) übernehmen wir für ie Tangentengleichung (allgemein) ( ) y( ) y strich ( ) x( ) : Schnittpunt mit er y-achse tangente( t, ) : y strich ( ) t + ( ) Allgemein gerechnet erhalten wir: y strich ( ) C exp( ) sin( ) + C exp( ) cos( ) C exp( ) cos( ) C exp( ) sin( ) Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

7 Spiralen Seite 7 / 0 ( ) C x0 ( ) C Schnittpunt mit er y-achse Schnittpunt mit er x-achse 0 ( ) 6.25 x0 ( ) l : ( ( 0) ) 2 + x0 ( ) 2 l l C2 + C 2 2 Länge es Tangentenstüces Symbolisch un numerisch ie gleichen Werte wie oben! 3) Die Inversion er Logarithmischen Spirale Die Logarithmische Spirale bleibt gegenüber en meisten geometrischen Transformationen invariant,.h. unveränert. Dies wir hier am Beispiel er Inversion emonstriert, ie ja z.b. in er Eletrotechni Anwenung finet (siehe er Artiel "Ortsurven: Darstellung un Berechnungen" auf ) Bei er Inversion wir er Punt P mit en Polaroorianten ( r, ) auf einen Punt mit en Polaroorinaten, abgebilet. Gewöhnlich erfährt eine Kurve rastische r Veränerungen, wenn sie einer Inversion unterworfen wir. Aners bei er logarithmischen Spirale: Wie nachfolgene Berechnung un Zeichnung zeigt, ist ie Bilurve spiegelbillich zur ursprünglichen Spirale! : r( ) C exp( ) rinv( ) : r( ) rinv( ) C exp( ) r( ) C e : 0, r( ) rinv( ) > Inhaltsübersicht Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

8 Spiralen Seite 8 / Anwenungen er Logarithmischen Spirale Die mir beannten Anwenungen er Logarithmischen Spirale sin großteils auf ie Eigenschaft er Gleichwineligeit zurüczuführen, Beispiele azu: Fräserform: Häufig nach einer logarithmischen Spirale, amit er Schnittwin beim Nachschleifen onstant bleibt. Raialturbinenschaufeln: Die Form nach einer logarithmischen Spirale bewirt, ass er Auftreffwinel es Dampfstrahles onstant bleibt. Winelonstante Spiralantennen: Ist eine in gewissen Bereichen frequenzunabhängige Antennenform (Näheres siehe: ) Konstante Beschleunigung: Die logarithmische Spirale ann mit onstanter Beschleunigung urchfahren weren. Wir ie Spirale mit zunehmener Krümmung (in sich verengener Richtung) urchfahren, so ist auch ie Bremsbeschleunigung onstant.(näheres siehe: Spiralformen von Galaxien: Möglicher Weise hängt er oben angegebene Punt mit er Beobachtung zusammen, ass Sternengalaxien ebenfalls logarithmische Spiralen bilen. Wachstumsformen in er Natur: Beim Punt "Die Faszination er logarithmischen Spirale" ieses Artiels wir gezeigt un begrünet, ass isometrische Überlegungen azu führen, ass ie logarithmische Spirale ie bevorzugte Form einer "Wachstumsspirale" in er Natur sowohl bei Tieren als auch Pflanzen ("Phyllotaxis"Blattstellungen) ist! (siehe z.b. auch -> Inhaltsübersicht Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

9 Spiralen Seite 9 / Archimeische Spirale Ergänzen un als Gegenüberstellung zur Logarithmischen Spirale wir hier noch ie Archmieische Spirale erwähnt, welche aurch geennzeichnet ist, ass er Raius linear mit em Winel zunimmt! Daher entstehen Spiralen, eren Abstäne untereinaner onstant sin (onstanter Winungsabstan) Beispiele aus er Praxis: Laufatze eines Drehranes: Wenn iese mit onstanter Geschwinigeit nach aussen (bzw. innen) fährt un gleichzeitig er Arm es Drehranes gereht wir, beschreibt ie Archmiesche Spirale ie Lage er Laufatze i Abhängigeit vom Winel. Die Spiralenförmige Speicherung von Daten auf CD oer Langspielplatten (LP s) a : 2 r ( ) : a : 0, π r () Im Gegensatz zur Logarithmischen Spirale ist iese aber nicht gleichwinelig! Dies wir emonstriert, inem einfach er entsprechene Abschnitt von oben herunteropiert un mit er archimeischen Spirale argestellt un berechnet wir. Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05

10 Spiralen Seite 0 / Es gilt für ie archimeische Spirale r( ) : a x( ) : r( ) cos( ) y( ) : r( ) sin( ) y strich ( ) y x + ( ) : y( ) y strich ( ) x( ) gerae( t, ) : y strich ( ) t + ( ) : r( ) sin( ) + r( ) cos( ) r( ) cos( ) r( ) sin( ) : 0, π t : y( ) π geraet, 4 gerae t, 5 π 4 gerae t, 9 π 4 t x( ), t -> Inhaltsübersicht Wilfrie Rohm, HTL Saalfelen 2004 / 05