mathphys-online Bestimmung der Gravitationskonstanten

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1 Bestimmung er n Historisches Zu Lebzeiten Newtons ( ) konnte ie G aus em Gravitationsgesetz F Grav G Mm r 2 nicht experimentell bestimmt weren. Erst Cavenish gelang es 1798, also hunert Jahre später, iese Naturkonstante zu bestimmen. Das Grunprinzip er Gravitationsrehwaage beruht auf er Messung kleinster Kräfte urch Verrillung (Torsion) eines Faens. An einem ünnen Draht ist ein horizontal rehbarer tab befestigt, er an seinen Enen zwei Bleikugeln er Masse m trägt. Zwei große Bleikugeln er Masse M weren aus er gestrichelt gezeichneten tellung in eine Position mit em Abstan r zu en kleinen Kugeln geschwenkt. Aufgrun er Gravitationskraft weren ie kleinen Kugeln auf ie großen Kugeln hin beschleunigt. Über en Lichtzeiger es Laserstrahls kann ie Bewegung vergrößert beobachtet weren. Aus seinem Weg kann auf en Weg s er Kugeln geschossen weren (geometrische Optik). Die Kraft es Torsionsrahtes ist anfangs Null un kann bei kleinen Winkeln gegenüber er Gravitationskraft vernachlässigt weren. Für kleine Winkel gilt auch s << r,.h. r const währen er Messung. eite 1 von 5

2 Theoretische Herleitung Nach em 2. Newtonschen Gesetz un nach em Gravitationsgesetz gilt: F a F Grav ma G Mm r 2 Gleichung (*) G ar2 M a Mit konstanter Beschleunigung a gilt: Gleichung (**) s 2 t2 s proportional zu t 2 s un t weren experimentell bestimmt. Mit em Drehwinkel Φ gilt: (1) tan( Φ) s Nach en Gesetzen er Optik bei er Reflexion (vgl. Reflexionsgesetz unten) wir er Lichtzeiger um en Winkel 2 Φ gereht, wenn sich er piegel um en Winkel Φ reht. (2) tan( 2 Φ) L Für kleine Winkel Φ gilt folgene Näherung: (3) tan( 2 Φ) 2 tan( Φ) Mit (3) in (2) gilt: (2*) tan( Φ) Aus (1): s tan( Φ) (2*) einsetzen: s Mit en konkreten Zahlenwerten: Masse einer großen Kugel: M 1.5 kg Abstan vom piegel er Waage zur Wan: L 8.19 m Abstan er kleinen Kugeln zur Drehachse: m Mittenabstan er Kugeln nach em chwenken: r m eite 2 von 5

3 Messwerte t ( ) T s ( ) T 10 2 m "Fallstrecke": s 1 Wähle für as teigungsreieck: x1 3 x2 12 teigung: k m s 2 Fallstrecke Auswertung Messwerte Ausgleichsgerae teigungsreieck Quarat er Zeit t eite 3 von 5

4 Beschleunigung mit em teigungsreieck: (**) a 2 k a m s 2 Experimentell ermittelte : (*) ar 2 G G M m 3 kg s 2 Theorie Das Reflexionsgesetz beschreibt en Zusammenhang zwischen er Richtung es einfallenen trahls, es reflektierten trahls un er Lage es piegels. Als Hilfsmittel ient abei as sogenannte Einfallslot ( enkrechte, ie auf er piegeloberfläche im Auftreffpunkt es einfallenen trahles errichtet wir). Das Reflexionsgesetz lautet: - Der einfallene trahl un er reflektierte trahl liegen in einer Ebene. - Der Einfallswinkel ist genauso groß wie er Reflexionswinkel. Wir nun er piegel um einen Winkel β gereht, so wir er reflektierte trahl um en oppelten Winkel, also 2β gereht. Mit em chieberegler wir er piegel um en Winkel β gereht: Berechnungen Drehwinkel es piegels gegenüber er Horizontalen: β 15 Gra Drehwinkel es reflektierten trahls: δ 30 Gra eite 4 von 5

5 Erklärung Der Winkel zwischen em einfallenen trahl un em Lot sei zu Beginn α. Nach em Reflexionsgesetz beträgt er Winkel zwischen em einfallenen un reflektierten trahl 2 α. Wir er piegel um en Winkel β im Uhrzeigersinn gereht, so wir auch as Lot um en Winkel β gereht. Der Winkel zwischen einfallenem trahl un em Lot beträgt jetzt α β, also ist er Winkel zwischen einfallenem un reflektiertem trahl jetzt 2 α 2 β. Währen er piegel um en Winkel β gereht wure, wure er reflektierte trahl um en Winkel 2 β, also oppelt so stark gereht. Anwenung Nachweis sehr kleiner Drehwinkel, z. B. bei er Bestimmung er n G mit Hilfe einer Torsionsrehwage. eite 5 von 5