Berechnung kinematischer Getriebeabmessungen zur Kalibrierung von Führungsgetrieben durch Messung

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David Hofer
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1 SAXSIM 03 Mathcad Workshop Berechnung kinematischer Getriebeabmessungen zur Kalibrierung von Führungsgetrieben durch Messung (praktische Anwendung von Newton-Verfahren und Singulärwertzerlegung) Referent: ehre: Forschung: Carsten Teichgräber Roboter- und, Mathcad Roboterhandgelenke Institut für Fertigungstechnik / Schweißtechnik Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

. Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge mit MATHTOO b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3.

2 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge mit MATHTOO b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Dieser Beitrag verdankt seine Entstehung der Unterstützung von Prof. Elias Wegert. TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Angewandte Analysis Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

3 Motivation Führungsgetriebe zur exakten Winkeleinstellung Anforderungen: möglichst präzise Einstellung des Winkels φ geringe Motorleistung robust und kostengünstig 65 φ Prüfgerät (hohe Masse) -5 Koppelstange Nachteil: nichlineare Übersetzung vom Weg s zu Winkel φ s Kugelgewinde-Einheit Schrittmotor Drehgelenk Probe inearführung Folie 3 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

4 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie 4 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

5 Methode zur Justierung Idee Vorgehensweise:. Aufbau eines funktionsfähigen Modells mit Kauf- und Normteilen unter Werkstattbedingungen. empirisches Abfahren des Schwenkbereiches von φ 3. Bewegungssteuerung "inverse Kinematik" 4. Fehlermessung* 5. Softwarejustierung elektronische Kurvenscheibe s(φ) (Übertragungsfunktion) * Messung des Winkels φ problematisch (Genauigkeit); günstiger ist eine Abstandsmessung Folie 5 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

6 Methode zur Justierung Realisierung einer Positionsmessung * Messung des Winkels φ problematisch (Genauigkeit); günstiger ist eine Abstandsmessung z. B. Position eines körperfesten Punkts (Stift, Reißnadel, ) Ziel: Nutzung der Messung zur Software-Justierung Folie 6 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

7 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie 7 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

8 Modellierung einer Schubschwinge Kinematisches Modell 3 4 s φ α e elektronische Kurvenscheibe: s(φ) (Übertragungsfunktion) besitzt die Abmessungen,, 3, 4, e, α als Parameter, die in der Realität fehlerbehaftet sind. Folie 8 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

9 Modellierung einer Schubschwinge Kinematisches Modell 3 v 4 y v x Vektoren: e v Schleifengleichung: s s cos( α) sin( α) ( ) T ( ) v + v + v v + v + v An An + + v sin( α) cos( α) ( I ) v 4 v 4 cos( ϕ) sin( ϕ) Folie 9 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

10 Modellierung einer Schubschwinge Vektorgleichung skalare Gleichung ( ) T ( ) v + v + v v + v + v ( I ) Skalarprodukt zweier Vektoren ( ) cos sin ( sin cos sin ) s α + α mx + e + s α + α ϕ 0 An An 4 3 Messung: Drehgelenkposition wird gemessen mx + ( sinϕ ) 0 ( II ) mx 4 sin φ Idealmodell und Messung passen nicht 00%ig zusammen "Fehler" Folie 0 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

11 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

12 Einbezug der Messung Idealmodell und fehlerbehaftetes Modell ideales Modell als Basis der Steuerung mit s(φ) Modell mit Fehlern für simulierte Messung "Erzeugen" von Messdaten (Testen des Verfahrens): Berechnen der Gelenkposition eines Getriebes mit abweichenden Abmessungen (Runden auf mm) Anzahl der "gemessenen" Positionen: N Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM mx mx mx mx N

13 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie 3 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

14 Aufstellen der Systemgleichungen Zusammenfassen von ( I ) und ( II ) in einer Funktion : F Gl. ( I ) Gl. ( II ) 0 0 (,,, e, α, ϕ, mx), 3 4 φ i, mx i liegen als Tabellenwerte vor i, N Für Welche Werte von,, 4, e, α ist F0 (näherungsweise) erfüllt? Analogie: Nullstellensuche einer skalaren Funktion f(x) Folie 4 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

15 Aufstellen der Systemgleichungen Analogie: Nullstellensuche einer skalaren Funktion f(x) f(x) f(x 0 ) Funktionswert (für Startwert) x 0 Startwert F( ) "Fehlermaß",, ideal f'(x 0 ) Anstieg der Tangente an f(x 0 ) neuer Startwert f ( x ) 0 x + f ( x0) x 0 oder bereits ösung ösung durch wiederholte Berechnung (Newton-Verfahren) Abbruch, wenn ösung nicht mehr besser wird f(x j ) 0 Folie 5 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

16 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie 6 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

17 Anwendung auf mehrdimensionale Funktion Berechnung der realen Getriebeabmessungen Folie 7 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM D-Problem verallgemeinern: ) ( ) ( x x f x f x + N ϕ ϕ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 3 ),,, ( ϕ α F Besonderheit: F( ) wird für jede der N Messstellen ausgewertet. Zugeordneter Winkelwert ist Teil der Justierung. N F F F ϕ Systemmatrix

18 Aufstellen der Systemmatrix Berechnung der realen Getriebeabmessungen Folie 8 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM F ϕ F Gl. ( I ) Gl. ( II ) Messwerte i N N F ϕ F Matrixelement 0

19 Berechnung der realen Getriebeabmessungen Aufstellen der Systemmatrix Folie 9 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

20 Berechnung der realen Getriebeabmessungen Was ist die Systemmatrix? f ( x ) 0 x + f ( x0) x 0 Anzahl Variablen + Anzahl Messungen F Jacobi-Matrix Gleichungen 5 Variablen 9 Messungen 8 x 4 - Matrix Anzahl X Anzahl Gleichungen Messungen Matrixelement 0 Folie 0 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

21 Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM ) ( ) ( x x f x f x + + N N F J ϕ ϕ ϕ ϕ ,...) ( ~ ~ ~ ~ ~ ~ ösung: Pseudoinverse durch Singulärwertzerlegung bilden! Mathcad-Funktion svd(j) Problem: Nur quadratische Matrizen sind invertierbar. Berechnung der realen Getriebeabmessungen Rechnung bis zur Konvergenz wiederholen. Berechnungsschritt

22 Berechnung der realen Getriebeabmessungen Ergebnisse Gliedlängen,, 3, 4 "reale" Maße,, 3, 4 Winkelwerte φ i korrigierte Übertragungsfunktion s(φ) Folie Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

23 Berechnung der realen Getriebeabmessungen wichtige Aspekte "Experimentieren mit dem Algorithmus":. Rundung der der "gemessenen" Positionen mx keine exakte Ermittlung der Gliedlängen, dennoch werden die Winkelwerte φ genauer (um Faktor 0). "Ausreißer" in der ösung bei senkrechter Schwinge (φ90 ) bei mx 0 kann kein 4 berechnet werden 4 mx 4 sin φ my Einbezug von my in die Rechnung möglich normalerweise ist diese Singularität problematisch durch Nutzung der SVD allerdings kein Problem Bedingung: ausreichend viele Messwerte SVD Singulärwertzerlegung Folie 3 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

24 . Motivation. Methode zur Justierung a) Modellierung einer Schubschwinge b) Einbezug der Messung c) Aufstellen der Systemgleichungen d) Berechnung der realen Getriebeabmessungen 3. Fazit Folie 4 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

25 Fazit Berechnung derjenigen Getriebeabmessungen, für die die Führungsaufgabe φ(s) möglichst gut erfüllt wird. Einflüsse, die nicht Gegenstand des Fehlermodells sind, werden z. T. auch durch Näherungsrechnung ausgeglichen (Parameter "simulieren" nicht erfasste Maßabweichungen). Messungen an verschiedenen Punkten können das Ergebnis verbessern. Viele Messpunkte verbessern das Ergebnis. Die erzielten Ergebnisse waren mit den in Mathcad bereits vorhandenen Optimierern nicht erreichbar. Mut zur "händischen" Modellierung! Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Folie 5 Dipl.-Ing. Carsten Teichgräber SAXSIM

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