Inhaltsverzeichnis. II. Kapitel. Nr Beisp.

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis. I. Kapitel. Nr Beisp. Der Koordinatenbegriff und der Punkt. 1. Abszisse eines Punktes einer Geraden 1 2. Mit Vorzeichen behaftete Strecken 2 3. Parallelkoordinaten. B 3 4. Messung der Winkel 5 5. Koordinatenausdruck der Entfernung zweier Punkte. B Winkel zweier Badienvektoren 9 7. Flächeninhalt eines Dreiecks oder Vielecks. B Determinanten Projektion eines Linienzuges Transformation der Parallelkoordinaten. Paralleltransformation. B Allgemeine Transformation. B Besondere Fälle. B *13. Andere Deutung der Formeln für die Transformation der Koordinaten. Ähnlichkeitstransfonnation Teüverhältnis eines Punktes in einer Strecke. B Harmonische Teilung einer Strecke. B Gleichung des Punktepaares Involution. B Arten der Involution (hyperbolisch, elliptisch, parabolisch) Imaginäre Punkte 41 *20. Darstellung imaginärer Punkte aus ihren Koordinaten. B Polarkoordinaten Zusammenhang zwischen den Parallelkoordinaten eines Punktes und seinen Polarkoordinaten. B II. Kapitel. Nr Beisp. Der Gleichungsbegriff und die Gerade. 23. Geometrische Bedeutung der Gleichungen zwischen den Koordinaten Gleichung einer Kurve. Reelle Punkte und konjugiert imaginäre Punktepaare der Kurve. Felder und Vorzeichen der Funktionswerte. B *13 u. weiter. Ein Stern Tor einer Nummer zeigt an, daß man beim erbteu Studium ihren Inhalt überschlagen darf.

2 Inhaltsverzeichnis XVII 25. Gleichungen desselben Ortes und Orte derselben Gleichung. B Begriff der analytischen Geometrie Ordnung algebraischer Kurven, durch Transformation nicht geändert Das Theorem von Bezout. B Gleichungen besonderer Geraden Sinusteilverhältnis im Strahlenbüschel; harmonische Paare Die Gerade aus Richtung und Achsenschnitt Die Gerade der allgemeinen Gleichung; parallele Geraden Die Gerade aus den Achsenabschnitten. B Normalform der Gleichung der Geraden Reduktion der allgemeinen linearen Gleichung auf die Normalform. Winkel des Lotes der Geraden mit den Achsen, ihr Abstand vom Nullpunkt Winkel zweier Geraden. Parallelismus und Rechtwinkligkeit Schnittpunkt zweier Geraden; drei Geraden durch einen Punkt. B Bestimmung der Geraden durch zwei Bedingungen Gerade durch ihre Richtung und einen ihrer Punkte gegeben Verbindungsgerade zweier Punkte; drei Punkte in einer.. Geraden. B Normalen einer Geraden. B Dreieckshöhen, Lote in den nmitten Abstand eines Punktes von einer Geraden. B Winkelhalbierungslinien. B Gleichungsform der Geraden durch den Schnittpunkt von zwei andern. B Drei Strahlen eines Büschels (vgl. Nr. 37). Bd Im Dreieck, Mittellinien der n, Höhen, Mittellote der n, Schwerlinien Imaginäre Geraden und ihre Darstellung Folargleichung der Geraden. B III. Kapitel. Nr Beisp. Aufgaben über Geraden und Geradenpaare. 48. Lineare geometrische Orte bei besonderer Achsenwahl. B Hilfsmittel zur Bildung der Ortsgleichung. B Bewegliche Dreiecke Ableitung der Ortsgleichung durch Elimination eingeführter Parameter. B Geometrische Orte höheren Grades. B b»

3 XVTII Inhaltsverzeichnis 52. Probleme über Strahlen durch einen festen Punkt.^ B Zentrum der mittleren Entfernungen oder Schwerpunkt Gleichungen ersten Grades, deren Konstanten durch eine lineare Beziehung verbunden sind, stellen Strahlen aus einem Punkte dar Teilverhältnis eines Ortes in einer Geraden. B Die Teilverhältnisae einer Geraden und die der Eckenverbindungsgeraden eines Punktes in den n des Dreiecks Polarkoordinaten. B Die Gerade der harmonischen Mittel für einen Punkt und feste Geraden Geometrische Bedeutung homogener Gleichungen zwischen zwei Veränderlichen. B Gleichungen von Geraden; Diskriminante; konjugiert imaginäre Gerade ' Winkel des Geradenpaares. B Das Paar der Winkelhalbierenden ist stets reell; Rechtwinkelpaare als Halbierende eines gewissen imaginären Geradenpaares Harmonische Geradenpaare. Ihre Schnitte mit einer Geraden sind harmonische Punktepaare 111 *61. Strahlen absoluter Richtung und Orthogonalität; Geraden ohne Länge (Minimalgeraden) Das Zerfallen der quadratischen Gleichungen. B Zweite Ableitung der Diskriminante. B IV. Kapitel. Nr Beisp. Symbolische Gleichungen und duale homogene Koordinaten. 64. Gleichungssymbolik. Kurven n tel Ordnung durch die gemeinsamen Punkte von zwei solchen; Parameter Der Parameter im Strahlenbüschel. B Winkelhalbierende, Höhen, Schwerlinien im Dreieck, Gerade der Diagonalmitten im Viereck, Dreiecke mit Normalenbüscheln aus den Ecken des einen auf die n des andern. Symmetrische zu den Winkelhalbierenden für die Ecktransversalen aus einem Punkte Das vollständige Viereck. Linealkonstruktion des vierten harmonischen zu drei gegebenen Punkten Beziehung der Geraden auf drei feste Geraden. B Harmonikale; harmonische Eigenschaften des vollständigen Vierseits, Perspektive Dreiecke 124 *68. Orthogonalität und Parallelismus von Geraden. Entfernung von Punkt und Gerade. B *69. Homogene Normalkoordinaten des Punktes 131 *70. Lineare Fundamentralrelation zwischen denselben 132

4 Inhaltsverzeichnis XIX *71. Homogenität der Gleichungen. Die unendlich ferne Gerade der Ebene. B *72. Verbindungsgerade zweier Punkte, Koordinaten des Teilpunktes 136 *73. Konstruktion des Punktes aus seinen Koordinaten. Harmonikale; merkwürdige Punkte des Dreiecks. B Verbindungsgeraden der merkwürdigen Punkte des Dreiecks *74. Entfernung zweier Punkte in Normalkoordinaten. B *75. Gleichung der unendlich fernen Geraden 140 *76. Parallelkoordinaten als Sonderfall 141 *77. Erweiterung des Koordinatenbegriffs; Koordinaten der Geraden, Winkel Plückersche Linienkoordinaten. Gleichung des Punktes. B Transformation Gleichungen von Hüllkurven oder Enveloppen, Kurven»*«Klasse. Absolute Richtungen Der Parameter in der Punktreihe. Trimetrische Linienkoordinaten. B Ihre identische Beziehung zu den Maßen des Fundamentaldreiecks 148 *81. Trimetrische Punkt- und Linienkoordinaten in analoger Entwickelung Das Prinzip der Dualität; projektive und metrische Eigenschaften 154 V. Kapitel. Nr Von der Projektivität uod den kollinearen Gebilden. 83. Das Doppelverhältnis von vier Elementen; seine sechs Werte Das Doppelverhältnis der Schnittpunkte einer Geraden mit vier festen Strahlen eines Büschels ist unabhängig von ihrer Lage gleich dem des Büschels Das Doppelverhältnis aus den Parametern der Elemente Perspektive und projektive Büschel und Reihen, durch drei entsprechende Paare bestimmt Projektive Koordinaten des Punktes und der Geraden; Bedingung des Ineinanderliegens; Gleichung der Geraden und des Punktes Spezialisierungen des Fundamentalsystems. Streifenkoordinaten. B Perspektive Dreiecke und Doppelverhältnis Bezeichnungsprinzipien bei homogenen Veränderlichen Produkt zweier Determinanten und zweier Matrizes. Determinantenform früherer Ergebnisse. B Dreiecksfläche ;_ aus den Gleichungen der n; Diskriminante der Gleichung zweiten Grades, Bedingung für vier Tangenten eines Kreises 176

5 XX Inhaltsverzeichnis 91. Lineare Substitutionen; Modul; Begriff der Invariante; inverse Substitutionen und Kontragredienz der Wj und x± Kollineare Verwandtschaft: Entsprechende Büschel und Reihen sind projektiv Parametergleichung der Projektivität in Elementargebilden erster Stufe. Ähnlichkeit in Reihen, entsprechendes Paar rechter Winkel in Büscheln. Kongruente und symmetrisch gleiche Büschel Involution bei gewissen projektiv vereinigten Reihen oder Büscheln Achsen der Involution. Rechtwinklige und symmetrische Involution 191 VI. Kapitel. Nr Beisp. Der Kreis. 96. Gleichung zweiten Grades in Parallelkoordinaten Gleichung des Kreises, Bedingungen für die allgemeine Gleichung. B Schwerpunkt als Kreismittelpunkt Normalform der Kreisgleichung. Reelle, imaginäre und Nullkreise. Zeichen des Ergebnisses der Substitution von Koordinaten eines Punktes Kreis durch drei Punkte. B Beziehung zwischen den gegenseitigen Entfernungen von vier Punkten eines Kreises Lineare Erzeugung eines Kreises. Konstanz des Peripheriewinkels. B Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden. Berührung. Der Radius ist Normale. B Sehnen, die gewissen Bedingungen genügen Kreise aus ihren Achsenabschnitten; jeder reelle Kreis bestimmt mit jeder reellen Geraden ein Punktepaar. B *103. Imaginäre Kreispunkte im Unendlichen; Kreisasymptoten Gleichung einer Kreistangente. B *105. Tangentialgleichung des Kreises Tangentenpaare des Kreises; Quadrat der Tangentenlänge Parameterdarstellung der Punkte des Kreises; Gleichungen von Sehne und Tangente. B Sehnen von konstanter Länge; Kreis als Hüllkurve einer gewissen Geraden Polargleichung des Kreises; einer Tangente. B Die Mitten der durch zwei Kreise begrenzten Sehnen durch einen ihrer Schnittpunkte liegen auf einem Kreis; die Kreise über drei Sehnen eines Kreises aus einem Punkt als Durchmesser schneiden sich in drei Punkten einer Geraden; Peaucelliersche Geradführung 213

6 Inhaltsverzeichnis XXI 109. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kxeia für äußere, für innere Punkte. Der Potenzkreis. B Kreise durch zwei Punkte an eine Gerade Pol, harmonische Pole und Polaren. B Polare als Verbindungssehne der Berührungspunkte des Tangentenpaares aus dem Pol, insbesondere als Tangente des Pols auf dem Kreise. B Winkel der Tangentenpaare, Ort der Schnitte rechtwinkliger Paare Polarkonjugierte Reihen und Büschel. B Polaren harmonischer Punkte sind harmonische Strahlen Polarkonjugierte Dreiecke, insbesondere sich selbst konjugierte oder Polardreiecke für reelle und für imaginäre Kreise. B VII. Kapitel. Nr Beisp. Systeme von Kreisen Potenzlinie zweier Kreise oder Radikalachse Schnittpunkte zweier Kreise; besonders zweier Nullkreise (assoziiert zwei konjugiert imaginären). B Potenzlinien reeller und imaginärer Kreise, einschließlich Nullkreise Potenzmittelpunkt dreier Kreise. B Gemeinsame Tangenten zweier Kreise. B Ihre Mitten; Kreise durch ihre Berührungspunkte Ähnlichkeitszentra zweier Kreise. Längen der gemeinsamen Tangenten. B Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise in bezug auf ein Ähnlichkeitszentrum Das Kreisbüschel und seine Potenzlinie Schnittwinkel zweier Kreise. Orthogonale Kreisbüschel. Grundpunkte und Grenzpunkte. B Das Kreisnetz und sein Orthogonalkreis; vier Ähnlichkeitsachsen von drei Kreisen. B Das Netz aus drei Kreisen. Bedingung, daß vier Kreise einem Netz angehören Berührungskreise zu drei Kreisen (Problem des ApoUonius) Kreise, die drei gegebene Kreise unter gegebenen Winkeln schneiden. B Inversion oder Transformation durch reziproke Radien; Inversor von Peaucellier Die Inverse eines Kreises ist ein Kreis oder eine Gerade. Inverse Büschel 259 *127. Isogonalität. B Jedes Büschel ohne reelle Grundpunkte ist zu einem Büschel konzentrischer Kreise invers 260

7 XXII Inhaltsverzeichnis Seit *128. Distanz-, Tangenten- und Winkelbeziehungen. Ptolemäischer Satz als Sonderfall. B Distanzrelation zwischen vier Punkten der Ebene und Beziehung zwischen den Schnittwinkeln von vier Kreisen; zwischen den Längen der gemeinsamen Tangenten von fünf Kreisen 262 VIII. Kapitel. Nr Beisp. Haupteigenschaften der Kurven zweiten Grades Zahl der Bedingungen zur Bestimmung eines Kegelschnittes Schnittpunkte mit einer Geraden. Polargleichung des Kegelschnittes. Asymptotenrichtungen Gattungen von Kegelschnitten: Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln Schnittpunkt einer Kurve zweiter Ordnung mit der Verbindungslinie zweier Punkte; Realität der Schnittpunkte Doppelverhältnis zweier Punkte und der Schnittpunkte eines Kegelschnittes mit ihrer Verbindungslinie Pol und Polare in bezug auf den Kegelschnitt; Tangente als Sonderfall. B Polare als Berührungssehne eines Tangentenpaares. Konjugierte oder harmonische Pole. Konstruktion der Polare Polardreiecke des Kegelschnittes; als Diagonaldreiecke eingeschriebener Vierecke bzw. umgeschriebener Vierseite Linienkoordinaten der Polare; der besondere Fall, daß der Kegelschnitt in ein Geradenpaar zerfällt. B Bedingung für Geradenpaar bzw. Doppelgerade Konjugierte Durchmesser und Mittelpunkt. Konstruktion des Mittelpunktes, seine Koordinaten. Verschiedene Fälle, die bei der Lage des Mittelpunktes vorkommen können. B Kegelschnitte mit einem im Endlichen gelegenen Mittelpunkte. Transformation auf den Mittelpunkt. Besonderer Fall des Parallelenpaares Gleichung des zu einer Richtung konjugierten Durchmessers. Transformation auf die Achsen Bedingung für Ellipse, Hyperbel, reelles oder imaginäres Geradenpaar, Parallelenpaar oder Doppelgerade Bedingung für Parabel, Parallelenpaar oder Doppelgerade Tabelle für die Kriterien der Kurven zweiter Ordnung. B Gleichungen der Paare konjugierter Durchmesser. B Gleichung des Achsenpaares. B Tangentenpaar aus einem Punkt an einen Kegelschnitt; Äußeres und Inneres der Kurve. Gleichung bezogen auf Tangentenpaar und Berührungssehne 302

8 Inhaltsverzeichnis XXTII 148. Gleichung des Asymptotenpaares. Involution der Asymptoten und der Paare konjugierter Durchmesser. B Tangentialgleichung der Kurven zweiten Grades. B Sekanten eines Kegelschnittes ' Rechtecke aus Segmenten in Sehnen 309 IX. Kapitel. Nr Beisp. Die Mittelpuriktseigenschaften vcn Ellipse und Hyperbel Die Konstanten der Transformation bei rechtwinkligen Koordinaten. B Transformation zur Achsengleichung bei einer auf schiefwinklige Koordinaten bezogenen Mittelpunktsgleichung. B *154. Die Konstanten der allgemeinen Transformation Normalgleichungen der Kegelschnitte mit Mittelpunkt im Endlichen Normale Polargleichungen von Ellipse und Hyperbel Die Gestalt der Ellipse Konstruktion der Ellipse aus den Achsen Die Parametergleichungen der Ellipse Der Ellipsenzirkel Die Gestalt der Hyperbel Konjugierte Hyperbeln. Von der Ellipse zur Hyperbel Die Asymptoten der Hyperbel; Durchmesserparallelogramme Die Asymptotengleichung der Hyperbel Die gleichseitige Hyperbel und ihr Zusammenhang mit dem Kreis. B Gleichseitige Hyperbeln durch drei Punkte; der umgeschriebene Kreis eines Polardreiecks geht durch den Mittelpunkt der gleichseitigen Hyperbel Parametergleichungen und Konstruktion der Hyperbel Polaren und Tangenten. Entfernung der Polare eines Punktes vom Mittelpunkt. Von der Polare zum Pol, Tangentialgleichung der Ellipse und Hyperbel. B Normalform der Gleichung der Tangente; das Tangentenpaar aus einem Punkte, sein Winkel; Pol und Polare in konjugierten Kegelschnitten; Ort der Schnittpunkte rechtwinkliger Tangenten (Hauptkreis) Gleichungen konjugierter Durchmesser; elliptische und hyperbolische Involution der konjugierten Durchmesser, die Asymptoten als ihre Doppelstrahlen, die Achsen als ihr Rechtwinkerpaar Konstruktion konjugierter Durchmesser. B Parametermethode, Sehne der Ellipsenpunkte cc, ß, ihr Pol und ihre Länge; die Fläche des eingeschriebenen Dreiecks und sein umgeschriebener Kreis, Fläche des umgeschriebenen Dreiecks 333

9 XXIV Inhaltsverzeichnis 170. Winkel und Längen konjugierter Durchmesser und ihre Beziehungen. B Konstante Quadratsumme der Reziproken rechtwinkliger Durchmesser, Abstand des Mittelpunktes von der Tangente; die Achsen aus zwei konjugierten Durchmessern, Achsenlängen und Exzentrizität aus der allgemeinen Gleichung Die Konstruktion der Achsen aus konjugierten Durchmessern. B Zwei parallele Tangenten und eine bewegliche; gleiche Dreiecke aus zwei Halbmessern mit ihren Tangenten Supplementarsehnen und konjugierte Durchmesser von vorgeschriebenem Winkel; zwei symmetrische Paare in der Hyperbel; Grenzwert des Winkels in der Ellipse Die auf gleiche konjugierte Durchmesser bezogene Ellipsengleichung; Ellipse aus dem Kreis. B Die Halbachsen aus den gleichen konjugierten Durchmessern und ihrem Winkel; Gleichung des Paares konjugierter Durchmesser mit gegebenem Winkel Eigenschaften der Hyperbel bezüglich der Asymptoten: Tangenten zwischen den Asymptoten gleich dem parallelen Halbmesser; ihr Dreieck; die Abschnitte in einer Sekante. B Die Geraden aus zwei festen Punkten der Hyperbel nach einem beweglichen fassen konstante Strecken in den Asymptoten; Schnitt der Tangenten in zwei Punkten Beispiele von Orten zweiten Grades Ellipsen; Mittelpunktsorte von Kreisen aus Berührungs- und Schnittbedingungen; bewegliche Dreiecke; Pole der Tangenten eines Kegelschnittes in bezug auf einen andern; Ort des Schnittes der Tangenten in den Endpunkten konjugierter Durchmesser; Teilung eines Kreisbogens in drei gleiche Teile; Ellipse aus einem konzentrischen Kreis 344 X. Kapitel. Nr Beisp. Die Fokaleigenschaften von Ellipse und Hyperbel Die Normale der Mittelpunktskegelschnitte, das Produkt ihrer Länge in den Abstand der Tangente vom Mittelpunkt Subnormale und Subtangente; Normalenlängen vom Fußpunkt zu den Achsen, ihr Produkt und ihr Verhältnis. B Konstantes Rechteck aus der Normale und dem Abstand der Tangente vom Mittelpunkt; die Nonnalenlänge aus ihrem Neigungswinkel. Neue Konstruktion der Achsen aus zwei konjugierten Durchmessern Die vier Normalen aus einem gegebenen Punkt und das Ergebnis der Substitution seiner Koordinaten in die Normal-

10 Inhaltsverzeichnis XXV gleichung des Kegelschnittes. B Bedingungsgleichung zwischen den Koordinaten einer Normale; Koordinaten des Tangenten- und Normalenschnittes von zwei Punkten; rechtwinklige Normalen; die biquadratische Gleichung zwischen den Abszissen der Fußpunkte der vier Normalen aus einem Punkte Die reellen und die imaginären Brennpunkte Die Leitlinie (Direktrix) als Polare des Brennpunktes; harmonische Polaren aus dem Brennpunkt sind rechtwinklig 354 *181. Allgemeine Definition der Brennpunkte als Schnitte der Tangenten von absoluter Richtung. Die Paare der Brennpunkte sind assoziiert Brennstrahlen. B. Ihr Produkt für die Fußpunkte der vier Normalen aus einem Punkt Definition des Kegelschnittes aus Brennpunkt und Leitlinie. Exzentrizität. B Die Fokalgleichung des Kegelschnittes. B Abschnitte einer Fokalsehne, harmonisches Mittel und Produkt; Fokalsehne und Hauptachse; Summe der zu konjugierten Durchmessern parallelen Fokalsehnen, Summe der Reziproken rechtwinkliger Fokalsehnen Die Summe bez. Differenz der Brennstrahlen eines Punktes; ihr Produkt und aein Verhältnis zum Quadrat der Normale Fadenkonstruktion der Ellipse und Hyperbel Der Winkel der Brennstrahlen eines Punktes. B Winkel der Normale mit Brennstrahl und Hauptachse; Projektion der Normale auf den Brennstrahl; die Tangentenquadrate der halben Winkel der Brennstrahlen für die Endpunkte konjugierter Durchmesser haben konstante Summe Produkt der Brennpunktsabstände einer Tangente; zwei Tangenten eines Kegelschnittes und die Brennstrahlen ihres Schnittpunktes haben dieselben Winkelhalbierenden. B Zur Analogie zwischen Polare und Tangente in Erweiterung der Sätze des Textes Der Scheitelkreis als Fußpunktkurve des Brennpunktes. B-1 9. Entfernung der Tangente vom Mittelpunkt in der Richtung eines Brennstrahles; die Abschnitte der Brennweite durch die Normale sind den Brennstrahlen proportional; Polargleichung des Scheitelkreises; Ort der Symmetrischen eines Brennpunktes in bezug auf die Tangenten; die Entfernungen einer Tangente von den Stellvertretern der imaginären Brennpunkte. Leitlinie durch den Schnitt eines Halbmessers mit der Brennpunktsnormale der Tangente im Endpunkt; Ortskreise 365

11 XXVI Inhaltsverzeichnis 190. Der durch eine Sehne am Brennpunkt gespannte Winkel. B Konstanter Winkel einer bewegten Tangente zwischen zwei festen am Brennpunkt; der Kreis über der Strecke einer Tangente zwischen den Hauptscheiteltangenten enthält die Brennpunkte. Die Strahlen von zwei festen Punkten eines Kegelschnittes nach einem beweglichen bestimmen auf der Leitlinie Abschnitte, die vom Brennpunkt unter konstantem Winkel erscheinen Der Abstand der Brennpunkte von den Asymptoten ist die halbe Nebenachse; der Brennstrahl ist der in der Asymptotenrichtung gemessenen Entfernung von der Leitlinie gleich; Konstruktion der Hyperbel Die Scheitelgleichung der Kegelschnitte Die auf die Tangente und die Normale bezogene Gleichung. B Die Hypotenusen der eingeschriebenen rechtwinkligen Dreiecke von gegebener Gegenecke gehen durch einen festen Punkt der Normale (Satz von Frögier); besondere Fälle des Kreises und der gleichseitigen Hyperbel; Erweiterung. Kegelschnittorte aus Tangentenpaaren, die auf einer festen Tangente eine konstante Strecke fassen usw Beispiele zu den Fokaleigenschaften. B Brennstrahl und Ordinate; Ort der Fußpunkte der Gleichgeneigten vom Brennpunkt zu den Tangenten; die Normale. Fokalpolargleichung einer Sehne, einer Tangente. Für die Sehnen J\P 2 durch einen Punkt 0 ist tg ^P^O. tg ± P 2 F0 konstant. Der Schnitt der Normalen in den Endpunkten einer Fokalsehne und die Sehnenmitte liegen in einer Parallelen zur Hauptachse. Für eine Fokalsehne geht die Gerade vom Schnittpunkt der Tangenten nach dem der Normalen durch den andern Brennpunkt; bei ihrer Drehung durchläuft der Normalenschnitt einen Kegelschnitt. Der Winkel zwischen den Ellipsentangenten aus einem Punkt; ihre Längen, die der parallelen Halbmesser und die Brennstrahlen des Punktes. Die Brennstrahlenabschnitte eines beliebigen Punktes haben gleiche Differenz ihrer Reziproken. Dreiecksfläche aus drei Normalen. Orte des Schnittes von Brennstrahl und Radius des Hauptscheitelberührungskreises und der Normale mit dem Radius desselben. Orthogonale Normalen. Der zu einer von einem Scheitel ausgehenden Ellipsensehne parallele Radius trifft die Tangente in ihrem Ende in der Tangente am andern Scheitel usw. 371 *195. Die Kegelschnitte als Mittelpunktsorte von Kreisen, die zwei feste Kreise unter vorgeschriebenen Winkeln schneiden bez. gleich- oder ungleichartig berühren; ihre Paare im allgemeinen und in besonderen Fällen 376

12 Inhaltsverzeichnis XXVII *196 Die Fokalgleichung in Linienkoordinaten. B Der Kegelschnitt aus Geraden, deren Abstände von zwei festen Punkten konstantes Produkt haben. Die Brennpunkte aus der allgemeinen Gleichung. Der Kegelschnitt aus dem zweiten Schenkel eines rechten Winkels, dessen erster Schenkel durch einen festen Punkt geht, während der Scheitel einen Kreis beschreibt; aus der Sehne eines konstanten sich um seinen Scheitel drehenden Winkels zwischen zwei festen Geraden 378 XL Kapitel. Nr Beisp. Die Parabel Die Durchmessergleichung der Parabel Die Scheitelgleichung; Gleichungen der Achse und der Scheiteltangente. Berechnung des Hauptparameters. B Transformation zur Scheitelgleichung bei ursprünglich schiefwinkligen Koordinaten. Parameterbestimmung. B Gestalt der Parabel Kontinuierliche Gestaltsänderung der Kegelschnitte Die Tangente der Parabel Zusammenhang der Linearparameter Pol und Polare; Tangentialgleichung. B Schnitt und Winkel zweier Tangenten; das umgeschriebene Dreiseit ist die Hälfte des zugehörigen eingeschriebenen Dreiecks. Parameterausdruck der Parabel Die Normale und die Subnormale. Drei Normalen durch einen Punkt Der Brennpunkt; die ünaginären Brennpunkte liegen in den absoluten Richtungen Die Fokalgleichung; der Parameter eines Durchmessers ist doppelt so groß wie der Brennstrahl seines Endpunktes Die Leitlinie (Direktrix); gleiche Abstände eines Kurvenpunktes von Brennpunkt und Leitlinie Der Winkel von Tangente und Brennstrahl Der Fokalahätand der Tangente ist die halbe Normale. Die Scheiteltangente als Fußpunktlinie. B Der Winkel zweier Tangenten; rechtwinklige Tangenten schneiden sieh in der Leitlinie Der Brennstrahl des Schnittes zweier Tangenten halbiert den Winkel der Brennstrahlen ihrer Berührungspunkte; besondere Fälle. Der umgeschriebene Kreis eines Tangentendreiseits geht durch den Brennpunkt. B Beispiele Der Höhenschnitt eines Tangentendreiseits liegt in der Leitlinie. Eingeschriebenes Viereck und paralleles

13 XXVIII Inhaltsverzeichnis umgeschriebenes Vierseit. Der umgeschriebene Kreis eines eingeschriebenen Dreiecks, eines Tangentendreiseits. Ort der Schnittpunkte der Tangentenpaare mit gegebenem Winkel. Die Fußpunkte der Lote vom Brennpunkt auf die Normalen bilden eine Parabel. Drei Normalen durch einen Punkt; Ort der Normalenschnitte in den Enden der Sehnen durch einen Punkt; der Schnitt rechtwinkliger Normalen. Von den Längen und dem Winkel zweier Tangenten zum Parameter. Vier Orte von Tangentenschnitten 396 XII. Kapitel. Nr Beisp. Besondere Beziehungen zweier Kegelschnitte Schnittpunkte und Schnittsehnen zweier Kegelschnitte Berührung zwischen Kegelschnitten; einfache, doppelte; Berührungen zweiter und dritter Ordnung Der Krümmungskreis; Krümmungsradius und Mittelpunkt. Maß der Krümmung Die Krümmung in einem Punkte eines Mittelpunktskegelschnittes. Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes. B Die Krümmung der Scheitel einer Ellipse. Produkt der Krümmungsradien der Ecken eines eingeschriebenen Dreiecks Weitere Konstruktionen des Krümmungskieises Die Krümmungssehne. B Vier Punkte des Kegelschnittes in einem Kreis; Schnittpunkt L eines Krümmungskreises mit dem Kegelschnitt; eine Gerade, die L enthält. Durch einen Punkt des Kegelschnittes gehen drei Krümmungskreise in Punkten, die mit jenem auf einem Kreise liegen. Parameter der Fußpunkte der vier Normalen aus einem Punkt. Krümmungsradius als Quotient vom Kubus der Normale und dem Quadrat des Parameters; in Funktion des Winkels zwischen Normale und Achse. Längen der Sehnen des Krümmungskreises durch Mittelpunkt bez. Brennpunkt. Fokalsehne des Krümmungskreises gleich der zur Tangente parallelen Fokalsehne des Kegelschnittes Die Krümmung in einem Punkt der Parabel. Konstruktionen des Krümmungsmittelpunktes. B Fokalsehne des Krümmungskreises gleich dem doppelten Parameter des zum Punkt gehörigen Durchmessers. Dreieck der Krümmungsmittelpunkte von drei Parabelpunkten Die Evolute des Kegelschnittes Kegelschnitte von gemeinsamen Asymptotenrichtungen Ähnliche Kegelschnitte in ähnlicher Lage; reeller und imaginärer Proportionalitätsfaktor 414

14 Inhaltsverzeichnis XXIX 005. Die Ähnlichkeitszentra. B Entsprechende und nicht entsprechende Sehnen zwischen Vektorenpaaren; vier Ähnlichkeitsachsen von drei homothetischen Kegelschnitten; Ähnlichkeitsverhältnis Konzentrische homothetische Kegelschnitte. B Normalenfußpunkte konzentrisch homothetischer Kegelschnitte aus einem Achsenpunkt; Abschnitte einer Geraden zwischen 417 ihnen 227. Ähnliche Kegelschnitte; alle Parabeln sind ähnlich Konfokale Kegelschnitte; reelle od. imag. Ellipsen, Hyperbeln Der orthogonale Schnitt konfokaler Ellipsen und Hyperbeln. Symmetrische Involution der Tangentenpaare aus einem Punkte. B Die Pole einer Geraden im System der Konfokalen bilden eine zu ihr normale Gerade. Aus einem Punkte der Hauptachse gehen gleichlange Tangenten an die Konfokalen. Erweiterung des Satzes von Nr. 194,u auf Konfokale. Länge der eine konfokale Ellipse berührenden Sehnen einer Ellipse Die elliptischen Koordinaten. B Winkel einer in P gezogenen Ellipsentangente mit den an eine konfokale Ellipse gezogenen Tangenten; Hauptachsenlänge einer Ellipse aus den in zwei Tangenten abgetragenen Brennstrahlen ihres Schnittpunktes; konstantes Sinusverhältnis der Neigungswinkel der Tangenten an feste konfokale Ellipsen gegen die Tangente der konfokalen durch ihren Schnittpunkt, wenn er diese beschreibt; Abstände der Ellipsen- und Hyperbeltangente eines Schnittpunktes zweier Konfokalen mit Anwendung; die entsprechenden konfokalen Kegelschnittsysteme in kollinearen Ebenen die elliptischen Koordinaten entsprechender Punkte haben konstantes Produkt. Exzentrizitäten entsprechender Kegelschnitte Konfokale Parabeln. B Konfokale Kurven zweiter Klasse; zwei Paare gemeinsamer Tangenten der absoluten Richtungen 426 XIII. Kapitel. Nr Beisp. Die Methode des Unendlichkleinen Methode der Grenzübergänge B Kreistangente, Kreisumfang, Kreisfläche B Tangenten der Kegelschnitte B Flächen der Kegelschnitte; parabolische Sektoren und Segmente B EUipsenflache; jeder Durchmesser halbiert die Ellipse; Flächenverhältnis ähnlicher Figuren 432

15 XXX Inhaltsverzeichnis 238. B Sektor und Segment bei der Hyperbel; Gleichheit zweier Segmente Segmente konstanter Größe bei homothetischen konzentrischen Kegelschnitten Bogen von konstanter Länge, zwei Sätze von Mac Oullagh Normalen von Fußpunktkurven Krümmungsradius der Ellipse und Fokalsehne der Krümmung Fokalsehne der Krümmung und zur Tangente parallele Fokalsehne ' Weitere Ausdrücke für den Krümmungsradius bei Mittelpunktskegelschnitten; Krümmungsmittelpunkte des Schnitts zweier Konfokalen Bogen der Evolute; Parallelkurven Tangenten eines Kegelschnittes aus Punkten eines konfokalen; Satz von Graves Satz von Mac Oullagh, Satz von G. C. di Fagnano. B. Kollineare Bogen mit rektifizierbarer Differenz Tangentenvieleck mit Ecken auf konfokalen Kegelschnitten 441