Parametrisierte Kurven

Transkript

1 Parametrisierte Kurven CAS-Maple-Tagung Karlsruher Institut für Technologie (KIT) 23. Februar 2016 OStR Dr. Martin Renner Markgrafen-Gymnasium, Gymnasiumstr. 1 3, Karlsruhe

2 Inhalt Grundlagen Ebene Koordinatensysteme Funktionen und ihre Darstellung Beispiel: Rollkurven Motivation: Der Spirograph Zykloide und Trochoiden Epizykloiden und Hypozykloiden Epitrochoiden und Hypotrochoiden Ausblick Quellen

3 Grundlagen Ebene Koordinatensysteme Die Lage jedes Punktes P einer Ebene kann mithilfe beliebiger Koordinatensysteme beschrieben werden. Meistens werden verwendet: Kartesische Koordinaten P (x y) mit Abszisse x, Ordinate y, Usprung (lat. origo) O (0 0) René Descartes, lat. Renatus Cartesius ( ) Anhang La géometrie zum Discours de la méthode, 1637

4 Grundlagen Ebene Koordinatensysteme Polarkoordinaten P (r cos(ϕ) r sin(ϕ) ) mit Radius r, Polarwinkel (Azimut) ϕ, Pol O (0 0) Grégoire de Saint-Vincent ( ), Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647 Bonaventura Cavalieri ( ), Geometria indivisibilibus,1635,

5 Grundlagen Ebene Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten: P (x y) = P (r cos(ϕ) r sin(ϕ) ) Polarkoordinaten: P (r, ϕ) mit r 0 r = x 2 + y 2 # % tan(ϕ)= y x ϕ = % $ % % % & arctan(y x) für x > 0 arctan(y x)+ 2π für x < 0,y 0 arctan(y x)+ π für x < 0,y < 0 π 2 für x = 0,y > 0 3π 2 für x = 0,y < 0

6 Grundlagen Funktionen und ihre Darstellung Funktionen kann man auf unterschiedliche Weise angeben, z. B. durch eine Wertetafel eine graphische Darstellung oder Kurve im Koordinatensystem einen analytischen Ausdruck (Formel) oder abschnittsweise durch verschiedene Formeln

7 Grundlagen Funktionen und ihre Darstellung Eine reelle Funktion und ihre zugehörige ebene Kurve kann analytisch auf eine der folgenden Arten definiert werden. In kartesischen Koordinaten: Explizite Darstellung y = f(x) Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises y = 1 x 2 mit 1 x 1, y 0

8 Grundlagen Funktionen und ihre Darstellung In kartesischen Koordinaten: Implizite Darstellung f(x,y) = 0 Funktion, falls sich die Gleichung eindeutig nach y auflösen lässt Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises x 2 + y 2 1 = 0 mit 1 x 1, y 0

9 Grundlagen Funktionen und ihre Darstellung In kartesischen Koordinaten: Parameterdarstellung f :!! x = x(t) $ # y(t) & " % Die Werte von x und y werden als Funktion einer Hilfsvariablen t (Parameter) angegeben. Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises x(t) = cos(t) und y(t) = sin(t) mit 0 t π

10 Grundlagen Funktionen und ihre Darstellung In Polarkoordinaten r = f(ϕ) Bsp.: Darstellung der oberen Hälfe des Einheitskreises r(ϕ) = 1 mit 0 ϕ π

11 Motivation: Der Spirograph

12 Motivation: Der Spirograph Der Spirograph (griech. σπείρα = Spirale) ist ein geometrisches Spielzeug, mit dem man verschiedene Muster erzeugen kann. Er besteht aus mehreren, meist runden Zahnrädern, in denen sich in verschiedenen Abständen Löcher für die Spitze eines Schreibgeräts befinden, und einer innenverzahnten Lochschablone, in der eines der Zahnräder angelegt wird. Erfinder: 1965 Denys Fisher ( ) Vorläufer: 1933 Ernst Barthel ( ) Barthelscher Transformationszirkel 1908 The Marvelous Wondergraph 1885 Bruno Abdank-Abakanowicz ( ) Spirograph Gewinner des Toy of the Year Award 1967, vergeben von der British Association of Toy Retailers

13 Auftrag: Auf welcher Kurve läuft ein Punkt P auf dem Kreisrand, wenn der Kreis nichtgleitend auf einer Geraden abrollt?

14 Definition: Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt des Kreises beschrieben wird, der auf einer Geraden abrollt, ohne zu gleiten, heißt gewöhnliche Zykloide (griech. κύκλος = Kreis, ειδής = ähnlich). Herleitung: Rollkurvenpunkt = Mittelpunkt + Kreispunkt Z : x! " r (t)= r $ # t 1 % " '+r $ & $ # cos(t π 2 ) sin(t π 2 ) % ' ' = r " $ & # t 1 % " '+r & $ # sin(t) cos(t) % ' &

15 Gleichung (in Parameterform): Z :!! x r (t)= x (t) $! r # y r (t) & = r (t sin(t)) $ # " % r (1 cos(t)) & " % mit Radius r des Kreises und Wälzwinkel t Schaubild: Die Kurve ist periodisch mit der Periode 2πr (Basis der Zykloide)

16 Animation:

17 Bemerkung: Durch Spiegelung an der x-achse entsteht die Brachistochrone (griech. βράχιστος χρόνος kürzeste Zeit) oder Tauto- bzw. Isochrone (griech. ταὐτό, ἴσο = gleich) Die Brachistochrone ist eine reibungsfreie Bahn zwischen einem Anfangs- und einem gleich hoch oder tiefer gelegenen Endpunkt, auf der ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft am schnellsten zum Endpunkt gleitet. Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, da man von jedem Punkt der Kurve die gleiche Zeit benötigt, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Johann Bernoulli ( ), Abhandlungen über Variationsrechnung, 1696

18 Auftrag: Wie verändert sich die Kurve, wenn der Punkt P nicht auf dem Kreisrand, sondern innerhalb bzw. außerhalb des Kreises auf einem Radiusstrahl zu liegen kommt?

19 Definition: Verlängerte oder verkürzte Zykloiden, die von einem Punkt beschrieben werden, der sich außerhalb oder innerhalb eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt, heißen Trochoiden (griech. τροχός = Rad). Gleichung (in Parameterform): T :!! x r,a (t)= x $! # r,a(t) & # y r,a (t) & = r (t a sin(t)) $ # " % r (1 a cos(t)) & " % Der Abstand a > 1 bestimmt für die verlängerte bzw. 0 < a < 1 für die verkürzte Zykloide die Punktlage außerhalb bzw. innerhalb des Kreises auf dem Radiusstrahl.

20 Schaubild: a = 2 a = 1/2

21 Animation:

22 Auftrag: Wie verändern sich die Kurven, wenn der Kreis, anstatt auf einer Geraden, auf einem Kreis abrollt?

23 Definition: Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser ohne zu gleiten auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt, heißt Epizykloide (griech. ἐπί = auf), für R < r zur Unterscheidung auch Perizykloide (griech. περί = um herum). Gleichung (in Parameterform): E Z :!! x R,r (t)= x (t) $! R,r # & # y R,r (t) & = (R+r) cos(t) r cos((r +1) t) $ # r & # " % (R+r) sin(t) r sin(( R +1) t) & " r % mit Radius R des feststehenden Kreises und Radius r des rollenden Kreises

24 Schaubild:

25 Animation:

26 Auftrag: Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab.

27 Form der Kurve: Für c = R/r ganzzahlig besteht die Kurve aus c, den feststehenden Kreis umgebenden Kurvenzweigen Für c = 1, also R = r erhält man die Kardioide (griech. καρδίᾱ = Herz) oder Herzkurve Für c = 2, also R = 2r erhält man die Nephroide (griech. νεφρός = Niere) oder Nierenkurve

28 Form der Kurve: Für c = R/r gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück Für c = R/r irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück Bsp.: c = 3/2 bzw. c = 2

29 Definition: Eine Kurve, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser ohne zu gleiten auf der Innenseite eines anderen Kreises abrollt, heißt Hypozykloide (griech. ὑπό = unter). Gleichung (in Parameterform): H Z :!! x R,r (t)= x $! # R,r(t) & # y R,r (t) & = (R r) cos(t)+r cos((r 1) t) $ # r & # " % (R r) sin(t) r sin(( R 1) t) & " r % mit Radius R des feststehenden Kreises und Radius r des rollenden Kreises

30 Schaubild:

31 Animation:

32 Auftrag: Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab. Es ist stets c > 1.

33 Form der Kurve: Für c = R/r ganzzahlig besteht die Kurve aus c, den feststehenden Kreis einbeschriebenen Kurvenzweigen Für c = 2, also R = 2r (Cardanische Kreise) entartet die Kurve in den Durchmesser des unbewegten Kreisess (geradlinige Hypozykloide) Gerolamo Cardano ( ), Opus novum de proportionibus, 1570 Für c = 3, also R = 3r entsteht die Deltoide (griech. Δ) oder Steiner-Kurve mit drei Zweigen Jakob Steiner ( ), Über eine besondere Curve dritter Klasse (und vierten Grades), 1856 Für c = 4 entsteht die Astroide (griech. ἄστρον = Stern) oder Sternkurve mit vier Zweigen

34 Form der Kurve: Für c = R/r gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück Für c = R/r irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück Bsp.: c = 5/2 bzw. c = 2

35 Auftrag: Wie verändert sich die Kurve, wenn der Punkt P nicht auf dem Kreisrand, sondern innerhalb bzw. außerhalb des Kreises auf einem Radiusstrahl zu liegen kommt?

36 Definition: Verlängerte oder verkürzte Epi- und Hypozykloiden, die von einem entweder außerhalb oder innerhalb eines Kreises befindlichen Punkt beschrieben werden, der sich auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis an einem anderen Kreis entweder außen oder innen abrollt, ohne dabei zu gleiten, heißen Epitrochoiden oder Hypotrochoiden. Gleichungen (in Parameterform) E T :!! x R,r,a (t)= x $! # R,r,a(t) & # " y R,r,a (t) & = # (R+r) cos(t) a r cos((r +1) t) r # % " (R+r) sin(t) a r sin(( R +1) t) r H T : x!! R,r,a (t)= x $! # R,r,a(t) & # " y R,r,a (t) & = # (R r) cos(t)+a r cos((r 1) t) r # % " (R r) sin(t) a r sin(( R 1) t) r $ & & % $ & & %

37 Schaubild: Der Abstand a > 1 bestimmt für die verlängerte bzw. 0 < a < 1 für die verkürzte Epi- bzw. Hypozykloide die Punktlage außerhalb bzw. innerhalb des Kreises auf dem Radiusstrahl

38 Animation:

39 Animation:

40 Auftrag: Die Form der Kurve hängt vom Quotienten c = R/r ab. Für Hypotrochoiden ist stets c > 1.

41 Form der Kurve: Besonderheiten für c = R/r ganzzahlig Für c = 1, also R = r ergibt die Epitrochoide die Pascalsche Schnecke oder Limaçon (franz. Schnecke) als Konchoide des Kreises. a = 1/2, a = 1 bzw. a = 2

42 Form der Kurve: Sie ist ein Spezialfall der gewöhnlichen Konchoide (griech. κόγχος = Muschel) oder Muschelkurve, die die Bewegung eines Punktes beschreibt, der von einem festen Punkt (Pol) aus gesehen zu einer gegebenen Kurve konstanten Abstand einhält. Ist die Kurve eine Gerade entsteht die Konchoide des Nikomedes, ist sie ein Kreis entsteht die Pascalsche Schnecke. Étienne Pascal ( ), 1637 Albrecht Dürer ( ), Spinnenlinie in der Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, 1525

43 Form der Kurve: Für c = 2, also R = 2r wird die Hypotrochoide zur Ellipse mit den Halbachsen (1±a)r a = 2

44 Form der Kurve: Für c gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück. Epitrochoide Hypotrochoide c = 5/2, a = 3 c = 5/2, a = 1/3

45 Form der Kurve: Für c irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück Epitrochoide Hypotrochoide c =, a = 3 c =, a = 1/3 2 2

46 Ausblick Untersuchung weiterer Kurven Durch Ansetzen der Parameterdarstellung in der Form x(t) = r(t) cos(t), y(t) = r(t) sin(t) mit t als Winkel und r(t) als Radius in Polarkoordinaten erhält man eine Vielzahl von Kurven Es gilt dabei die Konvention negative Radien in Gegenrichtung des Strahls mit Winkel t aufzutragen.

47 Ausblick Spiralen Archimedische Spirale r a (t) = a t mit 0 t < Hyperbolische Spirale r a (t) = a/t mit 1 < t < Logarithmische Spirale r a,k (t) = a exp(k t)

48 Ausblick Schleifen Grundform r n (t) = cos(n t) Verallgemeinerung: Zyklische harmonische Kurven r m,n,k (t) = cos(m/n t) + k

49 Ausblick Schmetterlingskurve r(t) = exp(sin(t)) 2 cos(4t) + sin(t/12) 5

50 Ausblick Cassinische Kurve Spezialfall: Lemniskate (Achtkurve) r a (t) = a 2 cos(2t) Lissajous-Figuren L : x(t)=!! x(t) $! # " y(t) & = a 1 sin(b 1 t+c 1 ) # % " a 2 sin(b 2 t+c 2 ) $ & %

51 Fragen? Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

52 Quellen Il ja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. Thun; Frankfurt a. M.: Deutsch, , S (Methoden zur Definition einer reellen Funktion), (Kurven vierter Ordnung), (Zykloiden), (Spiralen), (Möglichkeiten, eine ebene Kurve zu definieren). Gerhard Merziger; Thomas Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Springe: Binomi, , S. 499 (Kurven in der Ebene). Wikipedia. Die freie Enzyklopädie. Artikel: Astroide, Brachistochrone, Epizykloide, Harmonograph, Kardioide, Konchoide, Lissajous-Figur, Nephroide, Pascalsche Schnecke, Spirale, Spirograph (Spielzeug), Tautochrone, Zykloide