Aufgaben zu Kapitel 40

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1 Aufgabe zu Kapitel 40 Aufgabe zu Kapitel 40 Verstädisfrage Aufgabe 40 Es seie X,,X iid-gleichverteilt im Itervall [a,b] Wie sieht die Likelihood-Fuktio L a,b aus? Aufgabe 40 Sie kaufe Lose Sie gewie mit dem erste Los Die restliche Lose sid Niete Wie groß ist die Likelihood vo θ der Wahrscheilichkeit, mit eiem Los zu gewie? Aufgabe 403 Sie kaufe Lose Das erste Los ist eie Niete Bei de restliche Lose ist aber midestes ei Gewi dabei Wie groß ist die Likelihood vo θ der Wahrscheilichkeit, mit eiem Los zu gewie? Aufgabe 404 Bei eiem Experimet zur Schätzug des Parameters θ gehe Date verlore Sie köe icht mehr feststelle, ob X x oder X x beobachtet wurde Wie groß ist Lθ x oder x? Aufgabe 405 Welche der folgede Aussage sid richtig? a Die Likelihood-Fuktio hat stets geau ei Maximum b Für die Likelihood-Fuktio L θ x gilt stets 0 L θ x c Die Likelihood-Fuktio L θ x ka erst ach Vorlage der Stichprobe berechet werde Aufgabe 406 Der Ausschussateil i eier laufede Produktio sei θ Es werde uabhägig voeiader zwei eifache Stichprobe vom Umfag bzw gezoge Dabei seie x bzw x schlechte Stücke getroffe worde θ wird jeweils geschätzt durch θ i x i i Wie lasse sich beide Schätzer kombiiere? Aufgabe 407 Welche der folgede Aussage a bis c sid richtig: a Der Ateil θ wird bei eier eifache Stichprobe durch die relative Häufigkeit θ i der Stichprobe geschätzt Bei dieser Schätzug ist der MSE umso größer, je äher θ a 05 liegt b X ist stets ei effizieter Schätzer für EX c Eie ichtideale Müze zeigt Kopf mit Wahrscheilichkeit θ Sie werfe die Müze ei eiziges Mal ud schätze Da ist diese Schätzug erwartugstreu θ {, falls die Müze Kopf zeigt 0, falls die Müze Zahl zeigt Aufgabe 408 Das Gewicht μ eies Briefes liegt zwische 0 ud 0 Gramm Um μ zu schätze, habe Sie zwei Alterative: a Sie schätze μ durch μ 5 b Sie lese das Gewicht X auf eier ugeaue Waage ab ud schätze μ X Dabei ist EX μ ud Var X 36 Welche Schätzug hat de kleiere MSE? Nu müsse Sie das Gesamtgewicht vo 00 derartige Briefe mit vo eiader uabhägige Gewichte abschätze Wieder habe Sie die Alterative: μ 5 00 oder μ X i Welche Schätzug hat de kleiere MSE? Aufgabe 409 Es sei X biomialverteilt: X B θ Was sid die ML-Schätzer vo E X ud Var X ud wie groß ist der Bias vo μ ud vo σ Warum geht der Bias vo σ icht mit wachsedem gege 0? Aufgabe 400 Bei eier eifache Stichprobe vom Umfag wird σ erwartugstreu durch die Stichprobevariaz σ UB geschätzt Wird da auch σ erwartugstreu durch σ geschätzt? Aufgabe 40 Welche der folgede Aussage vo a bis d sid richtig: a Erwartugstreue Schätzer habe stets eie kleiere MSE als icht erwartugstreue Schätzer b Effiziete Schätzer habe stets eie kleiere MSE als ichteffiziete Schätzer c Mit wachsedem Stichprobeumfag kovergiert jede Schätzfuktio ach Wahrscheilichkeit gege de wahre Parameter d Ist X i [a,b] gleichverteilt, da sid mi X i ud max X i suffiziete Statistike Aufgabe 40 Sie schätze aus eier eifache Stichprobe μ Y Wie schätze Sie μ ud wie groß ist der Bias der Schätzug? Aufgabe 403 Welche der folgede Aussage vo a bis c ist richtig: a Es sei 0 μ 0 ei Kofidezitervall für μ zum Niveau α 095 Da liegt μ mit hoher Wahrscheilichkeit zwische 0 ud 0 b Für de Parameter μ liege zwei Kofidezitervalle vor, die jeweils zum Niveau α 090 aus uabhägige Stichprobe gewoe wurde ud zwar 0 μ 0 ud 5 μ 5 Da ist 5 μ 0 ei Kofidezitervall zum Niveau 09 c Wird bei gleichem Testiveau α der Stichprobeumfag vervierfacht, so halbiert sich die Wahrscheilichkeit für de Fehler Art Aufgabe 404 Ei ichtidealer Würfel werfe mit Wahrscheilichkeit θ eie Sechs Sie werfe mit dem Würfel uabhägig voeiader solage, bis zum erste Mal Sechs erscheit Nu wiederhole Sie das Experimet k-mal Dabei sei X i die Azahl der Würfe i der i-te Wiederholug Isgesamt habe Sie k i X i Würfe geta

2 Aufgabe zu Kapitel 40 I eiem zweite Experimet werfe Sie vo vorherei de Würfel -mal ud beobachte X k mal die Sechs Vergleiche Sie die Likelihoods i beide Fälle Welche Schlussfolgeruge ziehe daraus? Ziehe wir aus der gleiche Iformatio gleiche Schlüsse? Recheaufgabe Aufgabe 405 Beweise Sie mithilfe der Markov-Ugleichug die Aussage: Ei θ, desse Mea Square Error MSE gege ull kovergiert, ist kosistet Aufgabe 406 Es sei X expoetialverteilt X Exp V λ Zeige Sie: Ei erwartugstreuer Schätzer λ >0 für λ existiert icht X ist asymptotisch erwartugstreu, dabei ist E X λ Aufgabe 407 Die Zufallsvariable Y,Y,,Y seie iid-nμ; σ -verteilt Weiter sei Q eie Abkürzug für Zeige Sie: σ UB Weiter gilt Q, σ ML Q ud σ MSE Q Y i Y i Q + sid kosistete Schätzer für σ Dabei ist allei σ UB erwartugstreu MSE σ UB > MSE σ ML >MSE σ MSE Aufgabe 408 Die Dichte der Zufallsvariable Z sei eie Mischug vo zwei Normalverteiluge: f z μ; σ πσ exp z μ σ + π exp z Dabei sid μ ud σ > 0 ubekat Zeige Sie: Sid Z,,Z iid-verteilt wie Z, ud werde ihre Realisatioe z,,z beobachtet, da lässt sich aus ihe kei ML-Schätzer für μ ud σ kostruiere Aufgabe 409 Bei eier Messug positiver Werte seie die Messuge ormalverteilt mit kostatem bekate Variatioskoeffiziet γ, also mit bekater relativer Geauigkeit Bei eier eifache Stichprobe liege die Messwerte x,,x vor Nehme Sie a, dass die X i iid-n μ; σ -verteilt sid mit μ>0 Wie groß sid die ML-Schätzer μ ud σ? Aufgabe 400 Ei ichtidealer Würfel werfe mit Wahrscheilichkeit θ eie Sechs Sie werfe mit dem Würfel uabhägig voeiader solage, bis zum erste Mal Sechs erscheit Bestimme Sie daraus ei Kofidezitervall für θ Wie sieht das Itervall für ei α 5% aus, we dies ach dem sechste Wurf zuerst geschieht Aufgabe 40 Der ML-Schätzer für θ bei der geometrische Verteilug ist θ ML k Bestimme Sie E θ ML Bestimme Sie de eizige erwartugtreue Schätzer Ist dieser Schätzer sivoll? Aufgabe 40 Es seie X,,X im Itervall [0,θ] iid-gleichverteilt a Bestimme Sie de ML-Schätzer für θ ud daraus eie erwartugstreue Schätzer für θ b Hat der ML-Schätzer oder der erwartugstreue Schätzer de kleiere MSE? c Bestimme Sie ei Kofidezitervall für θ zum Niveau α Awedugsprobleme Aufgabe 403 Biologe stehe oft vor der Aufgabe, die Azahl vo freilebede Tiere i eier festgelegte Umgebug abzuschätze Bei Capture-Recapture-Schätzuge wird ei Teil der Tiere gefage, markiert ud wieder ausgesetzt Nach eier Weile, we sich die Tiere wieder mit de adere vermischt habe ud ihr gewohtes Lebe wieder aufgeomme habe, werde ereut eiige Tiere gefage Es seie N Fische im Teich ud m Fische markiert worde Es sei Y die Azahl der markierte Fische, die bei eier zweite Stichprobe vo isgesamt gefagee Fische gefude wurde Was ist der ML-Schätzer vo N? Aufgabe 404 Bei der Suche ach mediziisch wirksame Substaze werde 000 vo Wisseschaftler gesammelte Pflaze auf ihre Wirksamkeit getestet Dabei bedeute μ 0 Wirkugslosigkeit ud μ 0 potezielle Wirksamkeit Das Testiveau sei α 0% Falls alle Pflaze i Wirklichkeit wirkugslos sid, wie groß ist mit hoher Wahrscheilichkeit der Ateil der Pflaze, dee fälschlicherweise Wirksamkeit uterstellt wird: a ubekat b geau 0 % c zwische 8

3 Aufgabe zu Kapitel 40 3 ud %? Der größte Schade für das Uterahme besteht dari, we wirksame Pflaze übersehe werde Wie köe Sie diese Problem durch geeigete Wahl der Hypothese, des Niveaus ud des Stichprobeumfags löse? Aufgabe 405 Betrachte wir eie Produktio, bei der ei Zuschlagsstoff ei Sollgewicht vo μ 0 5 kg icht überschreite darf Durch eie Kotrollstichprobe Y,,Y soll der Sollwert geprüft werde Welche Hypothese ist zu teste Wie groß muss sei, we der Fehler Art höchste 5% ud der Fehler Art höchstes 0% sei darf, falls μ 47 ist? Nehme Sie dabei a, die Y i seie iid Nμ; 4 Zeiche Sie die Gütefuktio des Tests Aufgabe % der Patiete, die a eier spezielle Krakheit erkrakt sid, reagiere positiv auf ei vo der Krakeschwester verabreichtes Placebo Bei eiem Experimet mit 0 Patiete soll überprüft werde, ob sich die Wirkug des Placebos ädert, we es vom Oberarzt überreicht wird Welche Hypothese teste Sie? Wie sieht bei eiem α 5% der Aahmebereich aus? Mit welchem α arbeite Sie wirklich? Aufgabe 407 Ei Hausmeister kotrolliert i eiem große Gebäude wöchetlich die Glühbire ud wechselt die ausgebrate Bire aus I der k-te Woche vo isgesamt m Woche hat er k Bire ausgetauscht Schätze Sie die mittlere Bredauer der Glühbire, we sich im Gebäude isgesamt N Bire befide, die alle vom gleiche Typ sid ud dere Bredauer iid-expvλ-expoetialverteilt sid

4 4 Hiweise zu Kapitel 40 Hiweise zu Kapitel 40 Verstädisfrage Aufgabe 40 Was ist die Dichte vo X i? Aufgabe 40 Gehe Sie davo aus, dass die Lose uabhägig voeiader gezoge werde Aufgabe 403 Gehe Sie davo aus, dass die Lose uabhägig voeiader gezoge werde Aufgabe 404 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit x oder x zu beobachte? Aufgabe 405 Aufgabe 406 Wie groß ist die Wahrscheilichkeit des beobachtete Ereigisses? Aufgabe 407 Aufgabe 408 Was ist der MSE eier Kostate? Aufgabe 409 Aufgabe 400 Aufgabe 40 Aufgabe 40 Aufgabe 403 Aufgabe 404 Recheaufgabe Aufgabe 405 Aufgabe 406 Sei λ X 0 ei erwartugstreuer Schätzer Setze Sie voraus, dass de λx d λx dλ E dλ ist Aufgabe 407 Beutze Sie die im Bousmaterial zu Kapitel 39 bewiesee Tatsache, dass uter de geate Voraussetzuge Q σ χ verteilt ist ud daher EQ σ ud Var Q σ 4 ist Aufgabe 408 Zeige Sie, dass die Likelihood für festes μ z i ud σ 0 gege uedlich divergiert Aufgabe 409 Aufgabe 400 Aufgabe 40 Beutze Sie k uk u 0 tk dt ud vertausche Sie i geeigeter Weise Summatio ud Itegratio Aufgabe 40 Bestimme Sie zuerst die Verteilugsfuktio vo X wa ist X x?, daraus die Dichte ud da ei Progoseitervall für X Awedugsprobleme Aufgabe 403 Y ist hypergeometrisch verteilt Betrachte Sie de Likelihood-Quotiete Aufgabe 404 Wie ist die Azahl der falsch ageommee Nullhypothese verteilt? Aufgabe 405 Aufgabe 406 L N m;;y L N m;;y Aufgabe 407 Da die Expoetialverteilug kei Gedächtis hat, tu Sie so, als ob am Ede jeder Woche alle Bire eu eigesetzt werde

5 Lösuge zu Kapitel 40 5 Lösuge zu Kapitel 40 Verstädisfrage Aufgabe 40 L a; b x,,x b a I,x ] a I [x, b Dabei ist I [a,b] die Idikatorfuktio vo [a,b] ud x mi {x i } sowie x max {x i } Aufgabe 40 L θ θ θ ; θ Aufgabe 403 L θ θ θ ; θ Aufgabe 404 L θ x oder x L θ x + L θ x Aufgabe 405 a ud b sid falsch, c ist richtig Aufgabe 406 θ x +x + θ + θ + Aufgabe 407 a ud c sid richtig, b ist falsch Aufgabe 408 Hadelt es sich ur um eie Brief, da ist MSE μ < MSE μ Bei der Schätzug des Gesamtgewichtes vo 00 Briefe hat μ 5 00 ur da eie kleiere MSE, falls μ [44, 56] Aufgabe 409 Es ist θ X, μ θ ud σ θ θ Bias μ 0 ud Bias σ θ θ Aufgabe 400 Nei, de σ UB ist keie lieare Fuktio vo σ UB Aufgabe 40 a, b ud c sid falsch, d ist richtig Aufgabe 40 Es ist μ Y Dabei ist Bias μ σ Aufgabe 403 a ud c sid falsch, b ist richtig Aufgabe 404 Die Likelihoods sid idetisch, aber die Kofidezitervalle verschiede Recheaufgabe Aufgabe 405 Aufgabe 406 Aufgabe 407 Aufgabe 408 Aufgabe 409 μ x γ der empirische Variatioskoeffiziet + 4γ + γ Aufgabe 400 Das Kofidezitervall ist 0 θ exp ud σ γ x + 4γ + γ Dabei ist γ varx x l α X Im kokrete Fall ist 0 θ 045 Aufgabe 40 E θ ML θ θ l θ Der eizige erwartugtreue Schätzer ist der praktisch usiige Schätzer θ UB für k ud θ UB 0 für alle k> Aufgabe 40 a Der ML-Schätzer für θ ist θ ML max {X,,X } X Der erwartugstreue Schätzer ist θ UB + X Der MSE vo θ ML ist größer als der vo θ UB c Das Kofidezitervall ist X θ α / X Awedugsprobleme Aufgabe 403 Es ist m y N m y

6 6 Lösuge zu Kapitel 40 Aufgabe 404 c ist richtig Da ur die Nullhypothese H 0 : μ 0 gege die Alterative H : μ 0 getestet werde ka, sollte α sehr groß gewählt werde, z B α 0% oder gar 40% Außerdem sollte sehr hoch sei, um die Wahrscheilichkeit des Fehlers Art zu miimiere Aufgabe 405 Es ist H 0 : μ μ 0 Der otwedige Stichprobeumfag ist 50 Aufgabe 406 Getestet wird H 0 : θ 03 Der Aahmebereich ist AB [, 0] Das realisierte α ist 47% Aufgabe 407 Ist γ mn N m mk k der durchschittliche Ateil der pro Woche ausgefallee Bire, da ist λ l + γ Der Schätzwert der mittlere Bredauer ist da λ

7 Lösugswege zu Kapitel 40 7 Lösugswege zu Kapitel 40 Verstädisfrage Aufgabe 40 Die Dichte der Gleichverteilug im Itervall [a,b] ist f x b a I [a,b] x, dabei ist I [a,b] die Idikatorfuktio vo [a,b] Mit x mi {x i } ud x max {x i } folgt: L a; b x,,x b a I [a,b] x i i b a falls a x ud b x b a I,x ] a I [x, b Aufgabe 40 Die Wahrscheilichkeit für Gewi ist θ, die Wahrscheilichkeit eier Niete ist θ Daher ist L θ Gewi θ ud L θ Niete θ Gehe wir davo aus, dass die Lose uabhägig voeiader gezoge werde, so ist L θ Gewi ud - Niete θ θ Daher ist Aus l θ 0, folgt θ l θ l θ + l θ, l θ θ θ Aufgabe 403 Die Wahrscheilichkeit für Gewi ist θ,die Wahrscheilichkeit eier Niete ist θgehe wir davo aus, dass die Lose uabhägig voeiader gezoge werde, so ist die Wahrscheilichkeit, dass bei de restliche - Lose midestes ei Gewi dabei ist, θ Daher ist die Likelihood L θ θ θ Wüsste ma ur, dass bei de Lose midestes ei Gewi dabei ist, wäre die Likelihood L θ θ Daher ist l θ l θ + l θ, l θ θ + θ θ Aus l θ 0, folgt θ θ, θ, θ Aufgabe 404 Da sich x ud x ausschließe, ist P x oder x P x + P x Also ist L θ x oder x L θ x + L θ x Aufgabe 405 a ist falsch, deke Sie ur a die Cauchy-Verteilug bei mehrere Beobachtuge b stimmt ur für ormierte Likelihoods c ist richtig, de die Likelihood hägt vo der Beobachtug ab Aufgabe 406 X ud X sid uabhägig voeiader biomialverteilt, X i B i θ Da ist: L θ x ud x L θ x L θ x θ x θ x θ x θ x θ x +x θ + x +x

8 8 Lösugswege zu Kapitel 40 Dies ist die Likelihood eies Versuchs mit x + x schlechte Stücke aus eier Stichprobe vom Umfag + Der ML-Schätzer ist daher θ x +x + θ + θ + Aufgabe 407 a Es ist θ Y Dabei ist Y B θ Da θ erwartugstreu ist, ist der MSE Var θ θ θ Die Variaz ist umso größer, je äher θ bei 05 liegt b Zum Beispiel bei eier Gleichverteilug i [0,θ] ist der Mittelwert im Vergleich zum erwartugstreue Schätzer + max {x i} ei dekbar schlechter Schätzer c Es ist E θ P Kopf + 0 P Zahl P Kopf Aufgabe 408 Beim kostate Schätzer μ ist der Erwartugswert 5 ud die Variaz ist ull Beim Schätzer μ ist der Erwartugswert μ ud die Variaz ist 36 Daher gilt: MSE μ Var μ + E μ μ 5 μ MSE μ Var μ + E μ μ 36 Im Itervall μ [0, 0] ist daher MSE μ < MSE μ Bei der Schätzug des Gesamtgewichtes vo 00 Briefe gilt aalog MSE 00 μ E 00 μ 00μ 00 5 μ 00 MSE X i 00Var μ i Nur für μ [44, 56] ist MSE μ < MSE μ Aufgabe 409 Ist X B θ, da ist E X μ θ ud Var X σ θ θ Der erwartugstreue ML-Schätzer für θ ist θ X mit E θ θ ud Var θ θ θ Weiter sid μ θ ud σ θ θ θ θ μ ist erwartugstreu: E μ E θ θ μ Daher ist MSE μ Var μ θ θ Dagege ist E σ E θ E θ θ Var θ + θ θ θ + Var θ σ + θ θ Sie schätze σ aus eier eizige Beobachtug eier B θ Dagege schätze Sie θ aus Beobachtuge eier B θ Im erste Fall ist der Bias vo σ kostat ud gleich θ θ Nur im zweite Fall ist der Bias um de Faktor kleier Aufgabe 400 Aufgabe 40 a falsch, wie zum Beispiel Aufgabe 407 zeigt b falsch: Effiziete Schätzer habe zwar die kleiste Variaz uter de erwartugstreue Schätzer, aber es ka wesetlich bessere ichterwartugstreue Schätzer gebe I Aufgabe 40 ist der eizige erwartugstreue Schätzer trivialerweise effiziet, leider aber völlig silos Er ist dem ML- Schätzer uterlege c falsch, ur kosistete Schätzer kovergiere Ei Gegebeispiel eies ichtkosistete Schätzers liefert die Cauchy-Verteilug: Hat X die Dichte πμ x, da ist μ der Media der Verteilug ud köte z B durch μ X geschätzt werde X hat aber geau wieder die gleiche Dichte wie jedes eizele X i ämlich πμ x ud kovergiert daher icht d ist richtig, wie Aufgabe 40 zeigt Aufgabe 40 Es ist μ Y Nach dem Verschiebugssatz der Variaz gilt Var Y E Y E Y Auf die Variable Y agewadt, folgt E μ E Y E Y + Var Y μ + σ

9 Lösugswege zu Kapitel 40 9 Der Bias ist σ Er geht mit wachsedem gege ull Daher ist μ asymptotisch erwartugstreu Aufgabe 403 a ist falsch Die Strategie liefert mit Wahrscheilichkeit vo 95% richtige Aussage Ob aber das kokrete Itervall 0 μ 0 dazu gehört, ist ubekat Darüber lässt sich keie Wahrscheilichkeitsaussage mache b ist richtig: Die Wahrscheilichkeit, dass beide Kofidez-Strategie uabhägig voeiader richtige Aussage liefer, ist α c ist falsch Es sei g μ die Gütefuktio bei eiem Stichprobeumfag vo Die Wahrscheilichkeit des Fehlers zweiter Art ist g μ Sollte sich dieser Fehler Art bei Vervierfachug vo halbiere, müsste gelte g 4 μ g μ g 4 μ g μ Diese Gleichug ka icht für alle ud μ gelte Zum Beispiel gilt beim Test vo H 0 : μ μ 0 stets g μ 0 g 4 μ 0 α Daher wäre die rechte Seite der Gleichug i der Ugebug vo μ 0 aäherd gleich α, wäred die like Seite kostat bliebe Aufgabe 404 Beim erste Experimet ist X i geometrisch verteilt Daher ist Beim zweite Experimet ist X biomialverteilt: L θ x,,x k θ θ x i i θ k θ x i θ k θ k L θ k θ k θ k Beide Likelihoods stimme überei Die Iformatioe über θ sid i beide Fälle dieselbe Deoch ziehe wir aus der gleiche Iformatio uterschiedliche Schlüsse, de das Kofidezitervall für θ bei der Biomialverteilug ist verschiede vo dem bei der geometrische Verteilug Siehe auch Aufgabe 400 Recheaufgabe Aufgabe 405 Die Markov-Ugleichug sagt für alle k>0ud positive Zufallsvariable: P X >k EX k Für die positive Zufallsvariable θ θ folgt damit Daher folgt für ε k : Daher ist θ kosistet P θ θ >k E θ θ k MSE θ k 0 lim θ P θ >ε θ ε lim MSE 0 Aufgabe 406 Ageomme, es existierte ei erwartugstreuer Schätzer λ X 0, da wäre E λ λ Also müsste für alle λ>0gelte: E λ λ x λe λx dx λ 0 Divisio durch λ liefert λ x e λx dx 0 Die Ableitug ach λ liefert λ x xe λx dx 0 0 Für alle x>0ist xe λx > 0 Da λ x > 0 sei soll, ka das Itegral icht ull sei

10 0 Lösugswege zu Kapitel 40 λ X ist der ML-Schätzer für λ Daher ist λ asymptotisch erwartugstreu Nach der Jese-Ugleichug gilt E k X k E X für jede kovexe Fuktio Da k x /x für x>0eie kovexe Fuktio ist, folgt E X EX λ Aufgabe 407 Es sei S Q Dabei ist m eie vo abhägede positive Zahl Da ist E S σ m m ud Var S σ 4 m Für alle m + c mit c cost folgt lim E S σ ud lim Var S 0 Also ist S asymptotisch erwartugstreu ud, da der MSE gege ull geht, auch kosistet Der Bias der Schätzug ist Bias S σ E S σ m Daher ist MSE S 4 σ m m + σ Fasst ma MSE als Fuktio vo m auf, da ist die Ableitug d MSE σ 4 m dm m 3 MSE fällt afags streg mooto, erreicht sei Miimum bei m + ud wächst da wieder mooto a Also gilt MSE S >MSES >MSES 3 Aufgabe 408 Die Likelihood ist L μ, σ L μ, σ z,,z f z i μ; σ i [ ] σ exp z i μ σ + exp z i i Wird z B μ durch μ z geschätzt, so ist: [ ] L z ; σ σ + exp z [ ] σ exp z i z σ + exp z i i }{{} A Für σ 0, geht A gege die edliche Zahl i exp z i > 0 Der erste Faktor σ + exp z divergiert gege uedlich Für jede Schätzug μ z i divergiert die Likelihood für σ 0 Die Likelihood bietet also als plausibelste Lösug verschiedee Schätzer a: σ 0 ud μ z i, i,,, hält also als Schätzwert für das ubekate μ jede der Beobachtugswerte uedlich viel plausibler als alle adere Werte, vor allem auch de wahre Wert vo μ Der Fall σ 0 wurde aber i der Aufgabestellug ausgeschlosse: Ei ML-Schätzer existiert icht Aufgabe 409 Nach Voraussetzug ist γ μ σ oder σ γμ Im Normalverteilugsmodell habe wir die Loglikelihood vo μ bereits auf Seite 367 ausgerechet Es war: l μ x,,x l σ σ var x + x μ Aus dl dμ 0 folgt l γ l μ var x + x μ 0 ṋ μ + x μ γ μ + γ μ var x + x μ μ 3 γ μ μ x μ + var x + x μ μ + x γ x 4γ 4 4γ + γ + μ x γ ± Das Miusvorzeiche scheidet aus, da μ icht egativ sei darf + 4γ + γ

11 Lösugswege zu Kapitel 40 Aufgabe 400 Sei X die Azahl der Würfe bis zur erste Sechs Da ist X geometrisch verteilt P X k θ θ k Die Wahrscheilichkeite ehme mooto mit k ab Ei Progosebereich A θ für X besteht daher aus de kleie Werte vo X, A θ {X k 0 } Dabei ist k 0 so zu wähle, dass P X k 0 α ist Nu ist Also ist α θ k 0 ud k 0 P X k 0 θ k 0 θ θ k k k 0 k0 θ k θ θk 0 θ θ k 0 l θ l α Damit lautet die Progose zum Niveau α : X l α l θ Das Kofidezitervall erhalte wir aus der Auflösug der Progose ach θ: θ α /X Zum Beispiel sei α 005 ud X 6, dh beim 6-te Wurf erschie zum erste Mal die Sechs: Da ist das Kofidezitervall 0 θ α /X 005 / Aufgabe 40 Bei der geometrische Verteilug ist Als Neberechug bestimme wir für u < Also ist E θ k k θ θk u k uk t k dt k k 0 u t k dt 0 k0 u 0 t dt l u E θ θ θ k θ l θ θ θk k Sei θ UB ei erwartugstreuer Schätzer vo θ, mit θ k t k Da gilt E θ UB θ t k θ θ k k

12 Lösugswege zu Kapitel 40 Nach Divisio durch θ folgt t k θ k k Dies ist eie Potezreihe i θ Diese soll idetisch mit der Kostate Eis sei Daher ist t ud t k 0 für alle k> Aufgabe 40 a Wie im Beispiel auf Seite 367 gezeigt, ist θ ML X Nu ist X x geau da, we alle X i kleier gleich x sid Also P X x P X x; X x; ; X x P X i x Uabhägigkeit der X i i x Gleichverteilug i [0,θ] θ i Daher ist F X x x θ ud fx x θ x Mit E xf xdx folgt Der Bias vo θ ML X ist E X θ 0 x θ x dx + θ θ + Ei erwartugstreuer Schätzer ist θ UB + X b Zur Bestimmug des MSE bereche wir zuerst E X θ E X x 0 Var X E X ud daraus die Variaz vo θ ML X : θ x dx + θ E X + θ + θ + + θ MSE X Var X + Bias X + + θ θ + θ b Der MSE des erwartugstreue Schätzer θ UB + X ist MSE θ UB Var θ UB + Var X θ + θ < + + θ MSE θ ML

13 Lösugswege zu Kapitel 40 3 c Die Dichte vo X steigt mooto i [0,θ] Ei möglichst schmaler Progosebereich für X zum Niveau α wird daher aus de große Werte vo x gebildet: X γ Dabei ist P X γ α oder α P X γ F X γ Wir habe vorher bereits F X γ γ θ γ θα / Das Kofidezitervall für θ folgt aus X γ θα / θ X α / Adererseits wisse wir, dass X θ gilt Das Kofidezitervall ist daher X θ X α / berechet Also ist α γ θ oder Awedugsprobleme Aufgabe 403 Y ist hypergeometrisch verteilt: m N m N m y y L N L N m; ; y N y N Der ubekate Parameter θ ist N Der Parameterraum ist N, die Mege der atürliche Zahle Zur Maximierug der Likelihood berechet ma de Quotiete L N L N N m N y N N m y N N N m y N m Da folgt L N <LN geau da, we N< m y Solage N < m y ist, wächst die Likelihood beim Wechsel vo N zun Falls N > m y Gazzahligkeit vo N wähle wir als N diejeige atürliche Zahl, die am ächste a m y liegt: m m N oder N y y ist, fällt sie Wege der Das Ergebis ist aschaulich: N wird gerade so groß geschätzt, dass die Ateile der markierte Fische i der Grudgesamtheit ud i der Stichprobe übereistimme m N y Aufgabe 404 Die Wisseschaftler teste die Nullhypothese H 0 : μ 0 gege die Alterative H : μ 0 Sid alle Pflaze wirkugslos, ist stets die Nullhypothese richtig Mit Wahrscheilichkeit α 0 wird die richtige Nullhypothese abgeleht Ist Y die Azahl der falsch abgelehte Nullhypothese, so ist Y B α Eie Progose für die Azahl Y bzw de Ateil Y ist da Y α τ α/ α α Y α α α τ α/ Für 000, τ α/ 96 ud α 0 ist τ α α α/ 9% Aufgabe 405 Um auf Nummer sicher zu gehe, wird die Nullhypothese H 0 : μ μ 0 geprüft Ist Y,Y eie eifache Stichprobe, so ist PG Y N μ; σ Der Aahmebereich besteht aus de große Werte, Y μ 0 τ α σ

14 4 Lösugswege zu Kapitel 40 Die Gütefuktio, die Wahrscheilichkeit, dass Y i der kritische Regio liegt, ist u: g μ P Y KR μ P Y<μ 0 τ α σ μ Nach Stadardisierug folgt: g μ P Y μ 0 τ α σ μ < σ μ0 μ τ σ α Soll die Gütefuktio a der Stelle μ de Wert β habe, muss gelte: μ0 μ τ σ α β μ 0 μ τ σ α τ β τ β + τ α σ μ 0 μ σ τ β + τ α μ 0 μ I userem kokrete Beispiel ist μ 0 5, μ 47, σ ud α 5% sowie β 0% Da sid τ α τ β 8 Daraus folgt Der otwedige Stichprobeumfag ist 50 Abbildug 400 zeigt die dazugehörige Gütefuktio 65 ud gμ μ Abbildug 400 Gütefuktio des Tests der Hypothese μ μ 0 Aufgabe 406 Ist X die Azahl der Patiete, die auf das Placebo positiv aspreche, da ist X B 0 θ verteilt Getestet wird H 0 : θ 03 Wie bei der Normalverteilug sollte a beide Räder der Verteilug der B 0 θ jeweils Bereiche der Wahrscheilichkeit α ud α mit α + α α zur kritische Regio defiiert werde Dies ist jedoch i der Regel umöglich, da es ur Realisatioe mit feste Wahrscheilichkeitswerte gibt Ma ka daher ur versuche, rechts ud liks a de Räder aäherd die Wahrscheilichkeit α ud α zu erreiche ud dabei die Summe α icht zu überschreite Abbildug 40 zeigt die Verteilug der B 0 03 als Strichdiagramm Zur kritische Regio wähle wir die extreme Werte am like ud rechte Rad KR [0,k] [l,] Dabei ist k die größte Zahl mit PX k α 005 ud l die kleiste Zahl mit PX l α 005 bzw PX l 0975 Nu ist: P X P X P X P X

15 Lösugswege zu Kapitel 40 5 PY k k Abbildug 40 Die Verteilug der B 0 03 Daher ist k ud l Der Aahmebereich ist AB [, 0] Das realisierte Niveau des Testes ist Bei diesem Test wird ur die Hälfte der zugestadee Fehlerwahrscheilichkeit vo α 5% ausgeschöpft Aufgabe 407 Das Ergebis der k-te Woche ist: k Bire brate weiger als eie Woche ud N k bree midestes eie Woche Sei T die Bredauer eier Glühbire i Woche Da die Bredauer uabhägig voeiader sid, ist die Likelihood vo λ: Über alle Woche hiweg gilt da L λ P T k P T N k e λ k e λn k L λ P T k P T N k m e λ k e λn k k e λ k Es sei m k k die mittlere Azahl vo ausgebrate Bire pro Woche, da ist m k N k mn m N γ Also gilt: L λ e λ e λn l L λ l e λ λ mn l λ e λ e λ mn! 0 e λ mn e λ e λ mn λ l + l + mn γ Dabei ist γ mn N m mk k der durchschittliche Ateil der pro Woche ausgefallee Bire Der Schätzwert der mittlere Bredauer ist da λ λ l + mn l + γ