Funktionen und mathematische Modelle Beispiel: Flächeninhaltsbestimmung des Schlachtensees
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- Bernd Holst
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1 Funktionen und mathematische Modelle Beispiel: Flächeninhaltsbestimmung des Schlachtensees Maria Müller, Christian Richter Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 27. Juni 2012 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
2 Inhaltsverzeichnis 1. Arbeitsphase I 2. Reflexion: Arbeitsphase I 3. Bezug zum RLP Grundschule 4. Ein besserer Lösungsansatz mit Mitteln der Oberschule? 5. Arbeitsphase II 6. Reflexion: Arbeitsphase II 7. Versuch einer exakten Lösung 8. Definition des Modellbegriffs 9. Modellbildungskreislauf 10. Bezug zum RLP Sekundarstufe 11. Diskussion zu Modellierungsaufgaben 12. Literatur M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
3 Eine Modellierungsaufgabe zum Schlachtensee Wie groß ist die Oberfläche des Schlachtensees? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
4 Arbeitsauftrag Versucht mit einem Lösungsansatz die Fläche des Schlachtensees möglichst genau in 15min zu bestimmen! M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
5 Reflexion: Arbeitsphase I Stellt den anderen und uns zunächst eure Ergebnisse vor. Bewertet anschließend Aufwand und Genauigkeit eurer Lösung! M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
6 Reflexion: Arbeitsphase I Stellt den anderen und uns zunächst eure Ergebnisse vor. Bewertet anschließend Aufwand und Genauigkeit eurer Lösung! M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
7 Bezug zum RLP Grundschule M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
8 Bezug zum RLP Grundschule M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
9 Bezug zum RLP Grundschule Inhalte Jahrgangsstufen 3/4 Form und Veränderung 3/4 Anforderungen Inhalte sich nach Plänen und Beschreibungen Karten, Stadtpläne, Lageskizzen orientieren Sachunterricht Lagebeziehungen in der Ebene und im Raum erkennen, beschreiben, realisieren und verändern bildern Würfelbauten nach Bauplänen und Schräg- Handlungen nach mündlichen, schriftlichen und zeichnerischen Vorgaben Würfelnetze, Netze anderer Körper ausführen Gerade Lagebeziehungen: parallel zueinander, einander schneiden, senkrecht zueinander rechter Winkel Durchlaufbarkeit von Netzen optische Täuschungen Faltfiguren Werken * arithmetische Vorstellungen mithilfe geometrische Veranschaulichung arithmetischer Sachverhalte (Rechengesetze, von geometrischen Mitteln veranschaulichen und begründen Dreieckszahlen, Quadratzahlen u. a.) Objekte aus der Umwelt beschreiben Pyramide, Kegel, Zylinder und nach ihren mathematischen Parallelogramm, Rhombus (Raute), Eigenschaften ordnen Drachenviereck, Trapez Körper und ebene Figuren erkennen, benennen, beschreiben und darstellen, zusammensetzen, (zer)legen, schablone Hilfsmittel: Zirkel, Geodreieck, Parallelen- Beziehungen zwischen Körpern und Körper und ihre Eigenschaften ebenen Figuren beschreiben ebene Figuren und ihre Eigenschaften Freihandzeichnungen von Würfeln und Quadern verschobene und gedrehte Figuren Bild, Original, Symmetrie erkennen, benennen, vervollständigen Verschiebung, Drehung und herstellen drehsymmetrische Figuren schubsymmetrische Muster und Bordüren Kunst vergrößerte oder verkleinerte Figuren maßstäbliches Vergrößern und Verkleinern erkennen, benennen, vervollständigen Maßstab und herstellen Sachunterricht maßstäbliche Zeichnungen lesen * Gilt nur für Mecklenburg-Vorpommern. M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
10 Bezug zum RLP Grundschule Inhalte Anforderungen Inhalte Längen, Flächen und Körper bezüglich ihrer Abmessungen vergleichen Fläche, Flächeninhalt, Umfang Einheitsquadrate, Einheitswürfel den Zusammenhang von Umfang und Flächeninhalt erkennen und beschreiben Größen und Messen Zahlen und Operationen 3/4 Anforderungen Inhalte natürliche Zahlen darstellen, lesen Zahlenraum bis eine Million und schreiben Stellentafel und andere Darstellungsformen natürliche Zahlen vergleichen, ordnen und runden sicher in verschiedenen Schritten vor- Rundungsregeln und zweckgebundenes und rückwärts zählen Runden Anzahl schätzen Schätzungen natürliche Zahlen in unterschiedlichen Zahlensystemen darstellen Zahlenfolgen römische Zahlen Dualsystem oder ein anderes Stellenwertsystem Größen und Messen sicher mündlich und halbschriftlich Grundrechenoperationen rechnen und über die Grundaufgaben Division mit Rest verfügen die schriftlichen Verfahren der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Divisiplikation schriftliche Addition, Subtraktion und Multion ausführen und beschreiben schriftliche Division, eingeschränkt auf einstellige und einige zweistellige Divisoren mehrere Rechenoperationen miteinander verknüpfen und in verschiedenen Situationen verwenden Vielfache, Teiler Lösungen auf verschiedene Weise Teilbarkeitsregeln für 2, 5, 10 überprüfen Sachprobleme in die Sprache der Regeln für das Rechnen mit Klammern, Mathematik übertragen und dabei Punkt- vor Strichrechnung Gleichungen bzw. Ungleichungen Anwendungen zu den Rechengesetzen: bilden und sachbezogen lösen Kommutativität, Assoziativität, Distributivität zu Gleichungen bzw. Ungleichungen Sachverhalte angeben Zuordnungen in Sachsituationen erkennen und diese sprachlich sowie in Zuordnungen Überschlag Tabellen darstellen Größen und Messen einfache Sachsituationen zu proportionalen Zuordnungen Daten und Zufall untersuchen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
11 Bezug zum RLP Grundschule M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
12 Bezug zum RLP Grundschule M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
13 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
14 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
15 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
16 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
17 Lösungsansatz: Integralrechnung Arbeitsauftrag: Versucht die Fläche des Schlachtensees mit Geogebra und CAS zu bestimmen. Ihr habt 20min Zeit. M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
18 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
19 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
20 Lösungsansatz: Integralrechnung M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
21 Reflexion: Arbeitsphase II Stellt euer Ergebnis vor und bewertet wieder Aufwand und Genauigkeit eurer Lösung! M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
22 Lösungsansatz: Pixel zählen! Ann.: Der genaueste Wert wird durch die Auflösung des Bildes begrenzt. M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
23 Lösungsansatz: Pixel zählen! Bei Graustufen gibt es nur einen statt drei Farbwerte. M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
24 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
25 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
26 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
27 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
28 Was sind die Probleme des Ansatzes Pixel zählen? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
29 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
30 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
31 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
32 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
33 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
34 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
35 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
36 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
37 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
38 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
39 Definition des Modellbegriffs Definition 1 Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt. Vorteil: Konzentration auf wesentliche Aspekte Nachteil: Es ist nicht die Realität Varianten von Modellen: 1. Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage) 2. Modelle, die erklären (z.b. weshalb Planeten sich bewegen) 3. Modelle, die beschreiben (z.b. die Landkarte) 4. Modelle, die vorschreiben (z.b. Kochrezepte) Deskriptive Modelle (1.-3.): Versuchen Aspekte der Realität unter bestimmten Blickrichtungen möglichst genau abzubilden Normative Modelle (4.) Modelle werden mit bestimmten Absichten konstruiert Deswegen sind sie weder richtig noch falsch, sondern vielmehr angemessen oder weniger angemessen M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
40 Modellbildungskreislauf M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
41 Bezug zum RLP SekI/II M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
42 Bezug zum RLP SekI/II M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
43 Diskussion zu Modellierungsaufgaben Diskutiert generell die Offenheit von Modellierungsaufgaben hinsichtlich ihrer didaktischen Vor- und Nachteile! Gibt es einen Widerspruch zwischen dem Rahmenlehrplan und der Offenheit von Modellierungsaufgaben? Was macht eine gute Modellierungsaufgabe aus? Was muss ich als Lehrer bei Modellierungsaufgaben beachten? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
44 Diskussion zu Modellierungsaufgaben Diskutiert generell die Offenheit von Modellierungsaufgaben hinsichtlich ihrer didaktischen Vor- und Nachteile! Gibt es einen Widerspruch zwischen dem Rahmenlehrplan und der Offenheit von Modellierungsaufgaben? Was macht eine gute Modellierungsaufgabe aus? Was muss ich als Lehrer bei Modellierungsaufgaben beachten? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
45 Diskussion zu Modellierungsaufgaben Diskutiert generell die Offenheit von Modellierungsaufgaben hinsichtlich ihrer didaktischen Vor- und Nachteile! Gibt es einen Widerspruch zwischen dem Rahmenlehrplan und der Offenheit von Modellierungsaufgaben? Was macht eine gute Modellierungsaufgabe aus? Was muss ich als Lehrer bei Modellierungsaufgaben beachten? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
46 Diskussion zu Modellierungsaufgaben Diskutiert generell die Offenheit von Modellierungsaufgaben hinsichtlich ihrer didaktischen Vor- und Nachteile! Gibt es einen Widerspruch zwischen dem Rahmenlehrplan und der Offenheit von Modellierungsaufgaben? Was macht eine gute Modellierungsaufgabe aus? Was muss ich als Lehrer bei Modellierungsaufgaben beachten? M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
47 Literaturliste [1] Griesel/Postel (Hrsgg.): Mathematik heute. Einführung in die Analysis 2. Leistungskurs, Hannover 1991 [2] K. Maaß: Mathematisches Modellieren im Unterricht, Berlin 2004 [3] G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht, Heidelberg 2008 M.Müller, C. Richter (IfM HU Berlin) Funktionen und mathematische Modelle 27. Juni / 33
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