7.2 Anwendungsaufgaben Nr. 3: Welterdölförderung a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik

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1 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Zeicheerklärug: [ ] - Drücke Sie die etsprechede Taste des Graphikrechers! [ ] S - Drücke Sie erst die Taste [SHIFT] ud da die etsprechede Taste! [ ] A - Drücke Sie erst die Taste [ALPHA] ud da die etsprechede Taste! Wachstumsvorgäge Im Statistik-Modus des Graphikrechers lasse sich statistische Date, die de zeitliche Verlauf eier Größe beschreibe, eigebe, auswerte ud graphisch darstelle. Eie graphische Darstellug, beispielsweise i Form eies Streuugsdiagramms, lässt sich eifach erstelle ud bietet eie schelle Überblick. Um die zeitliche Abhägigkeit der Größe zu utersuche, stehe eie Reihe vo Regressioe zur Verfügug. Für de Fuktiostyp der Regressio lasse sich eie lieare Fuktio, Siusfuktio, logarithmische Fuktio, Expoetialfuktio, logistische Fuktio, oder verschiedee Potezfuktioe wähle. Der Graphikrecher ermittelt da eie Fuktio des etsprechede Typs, vo dem die Datepukte möglichst weig abweiche. Fügt ma de Graphe eier Regressiosfuktio i die graphische Darstellug der Datepukte ei, ka ma beurteile, iwieweit ei fuktioaler Zusammehag de zeitliche Verlauf der Größe beschreibt. Darüber hiaus lasse sich mit Hilfe eier Regressiosfuktio weitere Werte der Größe zu gegebee Zeite vorhersage. 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug Die Tabelle zeige de Umfag der Welterdölförderug vo 188 bis 198. Jahr Rohölförderug Jahr Rohölförderug i Mio. Barrel i Mio. Barrel a) Veraschauliche Sie de Verlauf der Ölförderug vo 188 bis 198 durch eie Grafik. 1

2 Eigabe der Date i Liste 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Im Hauptmeü gelage Sie mit der Taste [ 2 ] i de Statistik-Modus. Dort gebe Sie die Jahreszahle i Liste 1 ei ud die Zahle der Rohölförderug i Mio. Barrel i Liste 2. Es ist zweckmäßig, zuächst alle Date vo Liste 1 eizugebe ud aschließed die vo Liste 2. Es ist darauf zu achte, dass kei Eitrag vergesse wird, damit die zugehörige Wertepaare jeweils i eier Zeile stehe. [ 1 ][ 8 ][ 8 ][ ] [EXE] [ 1 ][ 8 ][ 9 ][ ] [EXE] [ 1 ][ 9 ][ ][ ] [EXE] [ 1 ][ 9 ][ ][ 5 ] [EXE] Μ [ 1 ][ 9 ][ 8 ][ ] [EXE] [ ] [ 3 ][ ] [EXE] [ 7 ][ 7 ] [EXE] [ 1 ][ 4 ][ 9 ] [EXE] [ 2 ][ 1 ][ 5 ] [EXE] Μ [ 2 ][ 1 ][ 7 ][ 3 ][ 2 ] [EXE] Graphische Darstellug der Date Im Statistik-Editor drücke Sie die Taste [F1] (GRPH) [F6] (SET), um die Eistelluge für eie graphische Darstellug der Date festzulege. Verwedet werde soll die rechts abgebildete Stadardeistellug, bei der die Werte der Liste 2 auf der y-achse i eiem Streuugsdiagramm über de Werte der Liste 1 auf der x-achse aufgetrage werde. Etspreche die Eistelluge vo Graphik 1 och icht der Stadardeistellug, köe Sie mit de Cursor-Taste [ ] bzw. [ ] eie Rubrik hervorhebe ud mit de Fuktiostaste die gewüschte Eistellug vorehme. Mit de Taste [EXIT] [SET UP] S rufe Sie das Set up auf. Besteht i der erste Rubrik och icht die Eistellug Stat Wid :Auto, wähle Sie diese mit der Taste [F1] (Auto), damit der dargestellte Bildbereich automatisch festgelegt wird. Die Abstäde der Markieruge auf der x- bzw. y-achse werde icht automatisch festgelegt, soder richte sich ach de Werte, die beim Betrachtugsfester i de Rubrike scale eigestellt sid. Diese lasse sich bei Bedarf äder. Güstig sid z.b. auf der x-achse der Wert 1 ud auf der y-achse der Wert 1. Mit de Taste [EXIT] [F1] (GPH1) lasse Sie das Streuugsdiagramm erstelle. 2

3 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Mit Hilfe der Trace-Fuktio köe Sie die Koordiate der Datepukte azeige lasse. b) Beschreibe Sie diese Verlauf äherugsweise durch eie geeigete Fuktio. Expoetielle Regressio Das Streuugsdiagramm lässt vermute, dass die Rohölförderug i etwa expoetiell wächst. Um de Verlauf äherugsweise durch eie Fuktio zu beschreibe, bietet der Graphikrecher eie expoetielle Regressio a. Diese liefert eie Expoetialfuktio y = a e bx, dere Graph vo de Datepukte möglichst weig abweicht. Bei der Graphik befidet sich uterhalb des Streuugsdiagramms das Regressios-Meü. Mit de Taste [F6] (>) [F2] (Exp) rufe Sie die expoetielle Regressio auf. Die expoetielle Regressio liefert die Parameter a = 2, ud b =, Die Rohölförderug F(t) i Mio. Barrel lässt sich i Abhägigkeit vo der Jahreszahl t also durch folgede Fuktio äherugsweise beschreibe. F(t) = 2, e,65199 t F(t) = 2, ,6737 t bzw. F(t) = 2, , t t F(t) = 42,5 1,6737 t 1, mit t = 188 Die Basis sollte icht zu stark gerudet werde, da sost bei große Expoete große Rudugsfehler auftrete köe. Der Vorteil eier Regressio besteht dari, dass alle Datepukte berücksichtigt werde. Ohe Regressio köe die Schüler eie Expoetialfuktio F(t) = F(t ) q t t bestimme, idem sie zwei Wertepaare verwede. Beispielsweise ergebe die Wertepaare (188/3) ud (198/21732): q = (t) F F(t ) 1 t t = 1,687 ud F(t) = 3 t 1,687 t. Sie rufe mit der Taste [F5] de Meüpukt COPY auf, um die Regressiosfuktio i de Graphik-Editor zu kopiere. Durch Drücke der Taste [EXE] wird sie i der hervorgehobee Zeile gespeichert. So köe Sie die Regressiosfuktio später im Graphik- oder Tabelle- Modus verwede. 3

4 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Um de Graphe der Regressiosfuktio i das Streuugsdiagramm eizufüge, rufe Sie mit der Taste [F6] de Meüpukt DRAW auf. Die expoetielle Regressio approximiert die Datepukte gut, we ma vo de letzte Datepukte absieht. Es lässt sich erkee, dass sich das Wachstum der Rohölförderug Mitte der 7er Jahre verlagsamt. (Ölkrise). c) Bereche Sie mit dieser Fuktio die Förderugswerte 198 bis ud vergleiche Sie diese mit de tatsächliche Werte. Berechug vo Förderugswerte im Tabelle-Modus We eie gaze Reihe vo Fuktioswerte der Regressiosfuktio berechet werde solle, ist die Verwedug des Meüs für statistische Schätzwerte im Ru-Modus aufwedig. Sivoller ist es, de Tabelle-Modus zu verwede. Um mit Hilfe der Regressiosfuktio Förderugswerte für die Jahre 198 bis zu erhalte, wechsel Sie mit de Taste [MENU] [ 7 ] i de Tabelle-Modus. Die Regressiosfuktio F(t) befidet sich bereits i der 1. Zeile des Tabelle-Editors. Um die Jahreszahle festzulege, für die die Rohölförderug berechet werde solle, rufe Sie mit der Taste [F5] (RANG) die Tabellebereichsazeige auf. Sie gebe als Startwert 198, als Edwert ud die Schrittweite 1 ei. [ 1 ][ 9 ][ 8 ][ ] [EXE] [ 2 ][ ][ ][ ] [EXE] [ 1 ] [EXE] Mit de Taste [EXIT] [F6] (TABL) lasse Sie die Wertetabelle erstelle. Mit Hilfe der Cursor-Taste [ ] köe Sie die zuächst icht sichtbare Zeile der Wertetabelle azeige lasse. Der Ihalt des hervorgehobee Tabellefeldes wird rechts ute im Display geauer agezeigt. I der folgede Tabelle sid die aufgrud der Regressiosfuktio berechete Werte ud die tatsächliche Werte der Welterdölförderug (Quelle: Fischer Weltalmaach ) aufgeführt. Werte zur Erdölförderug werde häufig i Toe agegebe. Eie Masse vo 1 Toe etspricht i etwa eier Mege vo 7,33 Barrel. 4

5 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Jahr berecheter Wert tatsächlicher Wert tatsächlicher Wert i Mio. Barrel i Mio. Barrel i Mio. Toe Die tatsächliche Förderugswerte weiche stark vo de Werte ab, welche mit Hilfe der Regressiosfuktio berechet wurde. Das expoetielle Wachstum vo 188 bis ugefähr 1974 setzt sich icht fort. Da die Ölvorräte begrezt sid, ist ei ubeschräktes expoetielles Wachstum atürlich icht möglich. Seit Mitte der 7er Jahre wächst die jährliche Erdölförderug ur och sehr lagsam. Die Notwedigkeit, Eergie zu spare, ud die Suche ach alterative Eergieträger tritt i de Vordergrud. Es ka für die Schüler schwierig sei, die tatsächliche Förderugswerte für die Jahre 198 zu recherchiere. Es reiche aber scho die Werte für ei paar Jahre, um zu erkee, dass die Regressiosfuktio ugeeiget ist, die tatsächliche Ölförderug ab 198 zu beschreibe. d) Im Jahr wurde 3,6 Milliarde Toe Erdöl gefördert; die zu diesem Zeitpukt och verfügbare ud wirtschaftlich abbaubare Ölvorräte wurde auf 145 Milliarde Toe geschätzt. Etwerfe Sie Szearie für de Fall, dass die Etwicklug aus de Jahre 188 bis 198 sich fortsetzt, de Fall, dass der Jahresverbrauch ab kostat bleibt, ud für de Fall, dass er jährlich um 3% gesekt werde ka. Veraschauliche Sie Ihre Ergebisse. 5

6 Amerkug zu de Werte 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Die i der 1. Auflage des Buches agegebee Werte (3 Millioe Toe bzw. 145 Millioe Toe) stimme i ihrer Größeordug icht ud wurde ersetzt. Jährliches Wachstum der Ölförderug um de Faktor 1,674 We die Erdölförderug expoetiell wächst wie i de Jahre , steigt die Förderugsmege jährlich i etwa um de Faktor 1,674. Mit dem Afagswert vo 3,6 Milliarde Toe im Jahr ergibt sich für die Förderugswerte F i Milliarde Toe i Abhägigkeit vo der Jahreszahl t: F(t) = 3,6 1,674 t. (t ) Um abschätze zu köe, wie lage die Ölvorräte reiche, ist es erforderlich, die Summe der jährliche Förderugswerte zu bereche, welche die Gesamtförderug seit dem Jahr agibt. Da sich im Rekursios-Modus icht ur Folgeglieder, soder auch Summe vo Folgeglieder azeige lasse, ist es sivoll, die Fuktio F(t) der Förderugswerte als Folge a im Rekursios-Modus eizugebe. a = 3,6 1,674 ( ) Sie wechsel mit de Taste [MENU] [ 8 ] i de Rekursios-Modus ud gelage mit de Taste [F3] (TYPE) [F1] (a ) zum Folge-Editor für explizite Darstellug. Der Folgeidex, welcher beim Graphikrecher stets mit bezeichet wird, lässt sich mit der Taste [F4] () eigebe. [ 3 ][. ][ 6 ] [ ] [ 1 ][. ][ ][ 6 ][ 7 ][ 4 ] [ ] [ ( ] [F4] () [ ] [ 2 ][ ][ ][ ] [ ) ] [EXE] Um festzulege, welche Folgeglieder agezeigt werde solle, rufe Sie mit der Taste [F5] (RANG) die Tabellebereichsazeige auf. Als Startwert gebe Sie ei ud als Edwert beispielsweise 25, da bei steigeder Ölförderug die agegebee Ölvorräte im Jahr 25 mit Sicherheit verbraucht sid. [ 2 ][ ][ ][ ] [EXE] [ 2 ][ ][ 5 ][ ] [EXE] Nachdem Sie mit der Taste [EXIT] zum Folge-Editor zurückgekehrt sid, rufe Sie mit der Taste [SET UP] S das Set up auf. Damit ebe de Folgeglieder auch die Summe der Folgeglieder agezeigt werde, wähle Sie i der 1. Zeile mit der Taste [F1] (O) die Eistellug Σ Display:O. 6

7 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Sie kehre mit der Taste [EXIT] ereut zum Folge-Editor zurück ud lasse mit der Taste [F6] (TABL) eie Wertetabelle erstelle. I der like Spalte wird die Jahreszahl, i der mittlere Spalte die Ölförderug a im Jahr i Milliarde Toe ud i der rechte Spalte die Gesamtförderug a vom Jahr bis zum Jahr i Milliarde Toe agezeigt. k Mit Hilfe der Cursor-Taste [ ] köe Sie die zuächst icht sichtbare Zeile der Wertetabelle azeige lasse. Bei eier Ölförderug vo 3,6 Milliarde Toe im Jahr ud eiem jährliche Wachstum um de Faktor 1,674, reiche die Ölvorräte vo 145 Milliarde Toe bis zum Jahr 219. Im Laufe des Jahres 22 werde sie aufgebraucht sei. Aalytisch lässt sich die Aufgabe uter Verwedug der geometrische Summeformel q k = + 1 q 1 q 1 löse. Für die Gesamtförderug vom Jahr bis zum Jahr gilt: k 3, , = 3,6 ( ) + 1 k 1674, , = 3,6 1674, 1 Kostate Ölförderug Die Schüler sollte erkee, dass die Divisio der Ölvorräte durch die jährliche Förderugsmege direkt agibt, wie viele Jahre die Ölvorräte reiche. Es loht sich daher bei diesem Aufgabeteil icht, im Rekursios-Modus eie kostate Folge eizugebe ud eie Wertetabelle erstelle zu lasse. Bei eier kostate jährliche Ölförderug vo 3,6 Milliarde Toe ab dem Jahr reiche die Ölvorräte vo 145 Milliarde Toe 145 4,28 Jahre lag, also bis zum Jahr 239. Im Laufe des Jahres 3,6 24 werde sie aufgebraucht sei. Jährliche Abahme der Ölförderug um 3% We die Ölförderug jährlich um 3% abimmt, beträgt die Förderugsmege eies Jahres jeweils 97% der Förderugsmege des voragegagee Jahres. Ma erhält sie also jeweils durch Multiplikatio mit dem Faktor,97. Mit dem Afagswert vo 3,6 Milliarde Toe im Jahr ergibt sich für die Förderugswerte a i Milliarde Toe i Abhägigkeit vo der Jahreszahl : a = 3,6,97. ( ) 7

8 7.2 Awedugsaufgabe Nr. 3: Welterdölförderug a 2 +b 2 =c 2 Nachdem Sie mit der Taste [EXIT] zum Folge-Editor zurückgekehrt sid, hebe Sie mit der Cursor-Taste [ ] die 1. Zeile hervor ud ersetze die eigegebee Folge durch die eue. [ ][ ][ ][ ][ ] [ ] [ ] [ 9 ][ 7 ] [DEL][DEL] [EXE] Mit der Taste [F5] (RANG) rufe Sie die Tabellebereichsazeige auf. De Startwert vo behalte Sie bei. Damit die Speicherkapazität des Graphikrechers icht überschritte wird, sollte der Edwert maximal 225 betrage. [ ] [ 2 ][ 2 ][ 5 ][ ] [EXE] Sie kehre mit der Taste [EXIT] zum Folge-Editor zurück ud lasse mit der Taste [F6] (TABL) eie Wertetabelle erstelle. Mit steigede Jahreszahle werde die Förderugswerte immer geriger ud ähre sich dem Wert. Es lässt sich vermute, dass die Gesamtförderug seit dem Jahr beschräkt bleibt. Dies lässt sich aalytisch uter Verwedug der geometrische Sum- k meformel q = + 1 q 1 achprüfe. q 1 Für die Gesamtförderug vom Jahr bis zum Jahr gilt: k 3,6,97 = 3,6 k = ( ) + 1 k,97,97 = 3,6, lim 3,6 ( ) + 1,97, = 3,6,3 = 12 Bei eier Ölförderug vo 3,6 Milliarde Toe im Jahr ud eier jährliche Abahme um 3%, reiche die Ölvorräte vo 145 Milliarde Toe ewig, da isgesamt icht mehr als 12 Milliarde Toe gefördert werde. 8