Zweifaktorielle Varianzanalyse. Zweifaktorielle Varianzanalyse. Zweifaktorielle Varianzanalyse. Zweifaktorielle Varianzanalyse

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1 Ziel Überprüfug der Gleichheit der Erwartugswerte eies Merals i Utergruppe, die vo zwei Fatore erzeugt werde Fator A i a Stufe Fator B i b Stufe Ist jede Stufe vo Fator A it jeder vo Fator B obiiert, spricht a vo eie vollstädige Desig. Dabei gibt es isgesat a b Kobiatioe vo verschiedee Stufe. I balacierte Desig liege i jeder dieser Kobiatioe Messwerte vor. I Uterschied zur Blocvariazaalse ist bei der zweifatorielle Variazaalse jeder der beide Fatore vo Iteresse. Darüber hiaus iteressiert oft die Frage ach eier Wechselwirug zwische beide. Dafür braucht a > Messwiederholuge i alle Kobiatioe der Fatorstufe. Beispiel Der Wasserhaushalt eier Pflaze wurde uter verschiedee Nährstoffbediguge (Fator A) ud Lichtverhältisse (Fator B) utersucht. Geesse wurde die ittlere Spaltöffugsfläche (Zielgröße Y). Fator A: Kotrolle K, Nährlösuge N ud N Fator B: Kurztag, Lagtag I Kobiatio beider Fatore ergebe sich 6 Utergruppe, die prizipiell it eier eifatorielle Variazaalse utersuchbar wäre. Vorteil der zweifatorielle Variazaalse ist, dass ebe de Eifluss der beide Fatore das Vorliege vo Wechselwiruge getestet werde a. Dafür braucht a i jeder Utergruppe idestes Messuge. Vo Wechselwiruge spricht a, we die Nährstofflösuge bei de Lichtverhältisse Kurztag eie adere Wirug zeige als bei Lagtag. WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova Beispiel : Date Datestrutur balacierter Fall: gleiche Azahl vo Wiederholuge Fator B Fator A (Nährstoff) Licht Kotrolle K N N Lagtag Kurztag Messwerte i Wiederholugsidex i i Stufeidex vo A a Stufeidex vo B b Modell zweifatoriell Y i μ +εi μi εi Erwartugswerte der Zelle idividueller Rest, Bezeichug: Versuchsfehler Fator A Fator B Stufe Stufe Stufe a Stufe a a a Stufe a Stufe b b b b b ab ab WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 3 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 4

2 Modell i Effetdarstellug (zweifatoriell it Wechselwirug) Y μ +ε i i μ +α +β + ( αβ ) +ε i Zelle- ud Gruppeittel Fator A Fator B Stufe Stufe Stufe 3 wobei μ a b μ ab α μ μ Globaler Erwartugswert Effet vo A auf Stufe β μ μ Effet vo B auf Stufe ( αβ ) μ ( μ +α +β ) Wechselwirug der Kobiatio der Stufe ud b μ b a a μ μ μ Stufe Stufe Dabei gilt a b a b α 0, β 0, ( αβ ) 0, ( αβ ) 0 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 5 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 6 Paraeterschätzuge für Gesatittel Effet vo A auf Stufe Effet vo B auf Stufe Wechselwirug -Stufe A it -Stufe B Residue μ ˆ i a b ˆ α ˆ μ, α, β,( αβ)..... β..... i ( αβ ) ˆ. ( μ ˆ + α ˆ + β ) ε ˆ ( μ+α ˆ ˆ +β ˆ + ( αβ ) ) i i... it.. b i i b Zelleittel spalteweise ittel a i i it.. a Zelleittel zeileweise ittel it. i i Zelleittel der Datetabelle Differez der Beobachtug zur Schätzug der Zellwerte Beispiel : Zelleittel Fator A (Nährstoff) Fator B Stufe Stufe Stufe 3 (Licht) (Kotrolle K) N N Stufe (Lagtag) Zelleittel Stufe (Kurztag) Zelleittel WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 7 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 8

3 Beispiel : Zeile- ud Spalteittel Fator A (Nährstoff) Fator B Stufe Stufe Stufe 3 Zeileittel (Licht) (Kotrolle K) N N Stufe (Lagtag) Stufe (Kurztag) Spalteittel Beispiel : Effetschätzuge Gesatittel Effet vo A aus Spalteittel Effet vo B aus Zeileittel μ ˆ α ˆ..... β ˆ..... α ˆ α ˆ α ˆ β ˆ β ˆ WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 9 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 0 Beispiel : Schätzug der Wechselwiruge Wechselwirug -Stufe A it -Stufe B aus Zellittel ( αβ ) ( αβ ) ( αβ ) ( αβ ) ( αβ ) ( αβ ) ( αβ ) Modell Y i μ +α +β + ( αβ ) +εi Schätzug ˆ μ+α ˆ ˆ +β ˆ + ( αβ ) Residue ε ˆ. A A A3 B B i i i i (geschätzte Effete vo A, B, (AB)) Reststreuug SSE ε (3.8.80) ( ) i WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova

4 Streuugszerlegug SSY SSA + SSB + SSW + SSE Berechug der Streuugsateile SSY (...) i i a (......) α i i SSA b α SSA: Streuugsateil vo A SSB: Streuugsateil vo B SSW: Streuugsateil der Wechselwirug SSE: Reststreuug b (.....) β β i i a b ( ) ( ) ( ) i i SSB a SSE (. ) i SSW + αβ αβ i Modell Y i μ +α +β + ( αβ ) +εi μ: Gesatittel, Basiswert β: Effet vo Fator B α: Effet vo Fator A (αβ): Wechselwirug ε: Versuchsfehler Nullhpothese: β β... β b 0, α α... α a 0 Alterativhpothese: idestes zwei der Erwartugswerte uterscheide sich Dabei dürfe die Effete der eizele Fatore ur da iterpretiert werde, we eie Wechselwiruge vorliege. Ma testet also vor Iterpretatio der Fatorwiruge auf Wechselwirug. Nullhpothese: (αβ) 0 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 3 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 4 Eifatorielle Variazaalse Tabelle der Variazaalse zwische A-Stufe zwische B-Stufe Testgröße Wechselwirug Fehler total SSA (.....) i i. SSB (.....) i i i i i ( ) SSE (. ) SSY (...) Freiheits grade a - b - (a-)(b-) a b( -) a b - ittlere Quadratsue SSA MSA a SSB MSB b MSW SSW ( a )( b ) SSE ab ( ) Variatiosursache Quadratsue MSA MSB MSW Testetscheiduge Die Werte der Testgröße sid it de etsprechede Schwellwerte aus de Quatile der F-Verteilug zu vergleiche. Dabei sid die Freiheitsgrade etspreched der Tabelle zu wähle. Ablehug der Nullhpothese: eie Wechselwirug falls MSW / > F (a-) (b-),a b (-),-α Ablehug der Nullhpothese: ei Eifluss vo Fator A falls MSA/ > F (a-),a b (-), -α Ablehug der Nullhpothese: ei Eifluss vo Fator B falls MSB/ > F (b-),a b (-), -α WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 5 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 6

5 Beispiel : Berechug der Streuugsateile 5, a 3, b ( i...) ( ) i SSY a b s i ( ) SSA α 5 ( 3.9) + ( 7.9 ) + ( 4) i ( ) SSB β ˆ 5 3 ( ) + ( 6 ) SSW ( αβ ) i ( ) 5 ( ) + + ( 0.3) ( 3. ) Reststreuug ( i. ) i SSE (3.8.8) (39.8.8) + ( ) ( ) ( ) ( ) eifachere Berechug der Reststreuug it Forel der Streuugszerlegug SSR SSY SSA SSB SSW WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 7 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 8 Eifatorielle Variazaalse Tabelle der Variazaalse zwische B-Stufe Testgröße Wechselwirug SSA SSB SSW Freiheits grade a - b - (a-)(b-) ittlere Quadratsue SSA MSA a SSB MSB b MSW SSW ( a )( b ) Variatiosursache zwische A-Stufe Quadratsue MSA 3.99 MSB 0.83 MSW 0.90 Testetscheiduge i Beispiel 5, a 3, b Test auf Wechselwirug Ablehbereich: MSW/ > F (a-) (b-),a b (-),-α F,4, wege MSW/ 0.90 < 3.40 eie Ablehug, soit eie sig. Wechselwirug Test auf Eifluss vo Fator A Ablehbereich: MSA/ > F (a-),a b (-), -α F,4, wege MSA/ 3.99 > 3.40 Ablehug, soit sigifiater Eifluss vo Fator A Fehler SSE a b( - ) 4 total SSY a b - SSE ab ( ) Test auf Eifluss vo Fator B Ablehbereich: MSB/ > F (b-),a b (-), -α F,4, wege MSB/ 0.83 < 4.6 eie Ablehug, soit ei sig. Eifluss vo Fator B WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 9 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 0

6 Post Hoc - Test Voraussetzuge der Varizaalse Das Zieleral ist ardial, stetig Noralverteilug des Zielerals it gleicher Variaz der Residue i alle Utergruppe Messwerte i alle Bedigugsobiatioe sid voeiader uabhägig additive Überlagerug Y i μ +εi μ +α +β + ( αβ ) +ε i Tue-Test ach sigifiate Globalvergleich der jeweilige Fatore bzw. Wechselwirug zu Vergleich der Fatorstufe uter Eihaltug eies versuchsbezogee Risios α, ur für balacierte Fall i Nullhpothese: H : 0 γ γ Vergleich der A-Stufe i Die Nullhpothese wird für Paare i, abgeleht, die folgede Kriterie erfülle > q i a, a b ( ), α Vergleich der B-Stufe i > qb, a b ( ), α Vergleich der Zelle > q, ( ), i a b a b α it γ αbzw. γ β bzw. γ ( αβ) b a WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova Post Hoc - Test Post Hoc - Test Beispiel : Tue-Test Globalvergleich ergab ur Sigifiaz bei Fator A i Nullhpothese: H : 0 α α i Die Nullhpothese wird für Paare i, abgeleht, die folgedes Kriteriu erfülle > q i a, a b ( ), α b i > q3,4, qaab, ( ), α Quatil der studetisierte Variatiosbreite aus Tabelle der Variazaalse a 3, b, Beobachtete Mittelwerte auf de Fatorstufe vo A Paarweise Differeze Kriteriu > 0.93 i soit ist ur der Uterschied zwische der. ud 3. Stufe sigifiat. WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 3 WS 04/5 Prof. Dr. J. Schütze, FB GW zweifat. Aova 4