Alle Rechte vorbehalten. Dieses Manuskript ist nur für den internen Gebrauch des Empfängers bestimmt. Nachdruck oder fotomechanische Wiedergabe nur
|
|
- Liese Müller
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Analytical Methods in HR & Organization WS 2011/2012 Universität Wien Foliensammlung Prof. Dr. Heike Y. Schenk-Mathes Alle Rechte vorbehalten. Dieses Manuskript ist nur für den internen Gebrauch des Empfängers bestimmt. Nachdruck oder fotomechanische Wiedergabe nur mit schriftlicher Genehmigung g des Verfassers. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtes.
2 Gliederung (1) 1 Einführung 2 Grundbegriffe der Entscheidungstheorie 2.1 Arten von Entscheidungstheorien 2.2 Elemente eines Entscheidungsmodells 2.3 Basis-Axiome und Grundmodell der Entscheidungstheorie 2.4 Dominanz und Effizienz Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
3 Gliederung (2) 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten μ-regel und (μ, σ)-prinzip Bernoulli-Kriterium (Erwartungsnutzentheorie) Vorgehensweise Risikonutzenfunktion und Risikoeinstellung Axiome rationalen Verhaltens Kompatibilität einfacher Entscheidungskriterien mit dem Bernoulli-Prinzip Entscheidung bei variablem Informationsstand Das klassische Informationswertkonzept Erweiterungen 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten Unvollständige Information über die Nutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
4 Gliederung (3) 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Entscheidungsprinzipien Optimierung von Entscheidungsspielräumen 4 Experimente zum individuellen Entscheidungsverhalten bei Unsicherheit und deskriptive Entscheidungstheorie Ergebnisse zu Experimenten 4.2 Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie Prospect-Theorie Rangabhängige Nutzentheorie Kumulative Prospect-Theorie Theorien mit kontextabhängiger Bewertung Vergleich der Ansätze mit der Erwartungsnutzentheorie t th Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
5 Gliederung (4) 5 Entscheidungen in Gruppen Zur Bedeutung von Gruppenentscheidungen 5.2 Abstimmungsregeln in der Praxis 5.3 Strategisches Verhalten bei der Abstimmung 5.4 Zur Ermittlung einer fairen Abstimmungsregel 6 Spieltheoretische Grundlagen 6.1 Grundbegriffe 6.2 Gleichgewichtskonzepte Verhandlungslösungen 6.4 Experimente zum strategischen Verhalten Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
6 Gliederung (5) 7 Ausgewählte Konzepte zur Steuerung mehrerer Entscheidungsträger in Organisationen 7.1 Explizite Verhaltensnormen:Teamtheorie 7.2 Anreizsysteme zur Allokation zentraler Ressourcen Weitzman-Schema Sh Beteiligung am Gesamterfolg Groves-Mechanismus Vickrey-Auktion 7.3 Relative Leistungsturniere Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
7 Literaturverzeichnis Eisenführ, F., T. Langer und M. Weber (2001): Fallstudien zu rationalem Entscheiden. Berlin u.a. Eisenführ, F., M. Weber und T. Langer (2010): Rationales Entscheiden. Berlin u.a., 5. Aufl. Ewert, R. und A. Wagenhofer (2008): Interne Unternehmensrechnung. Berlin u.a., 7. Aufl. Frank, R. (2005): Microeconomics and Behavior. Boston u.a., 6. Aufl. Holler, M.J. und G. Illing (2000): Einführung in die Spieltheorie. Berlin u.a., 4. Aufl. Hwang, Ch.-L. und K. Yoon (1995): Multiple Attribute Decision Making. Thousand Oaks. Kräkel, M. (2010): Organisation und Management. Tübingen, 4. Aufl. Laux, H., R. Gillenkirch und H. Schenk-Mathes (2012): Entscheidungstheorie. Berlin u.a., 8. Aufl. Laux, H. und F. Liermann (2005): Grundlagen der Organisation. Berlin u.a., 6. Aufl. Milgrom, P. und J. Roberts (1992): Economics,Organization and Management. Englewood Cliffs, New Jersey. Raiffa, H. (1973): Einführung in die Entscheidungstheorie. München. Rapoport, A. (1998): Decision Theory and Decision Behavior. Houndmills u.a., 2. Aufl. Rasmusen, E. (2001): Games & Information. Malden, Massachusetts, 3. Aufl. Resnik, M. D. (1987): Choices. An Introduction to Decision Theory. Minneapolis, London. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 1
8 Abschnitt 2 2 Grundbegriffe der Entscheidungstheorie 2.1 Arten von Entscheidungstheorien 2.2 Elemente eines Entscheidungsmodells 2.3 Basis-Axiome und Grundmodell der Entscheidungstheorie 2.4 Dominanz und Effizienz Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2
9 Arten von Entscheidungstheorien Arten von Entscheidungstheorien präskriptive Entscheidungstheorie Handlungsempfehlungen für reale Entscheidungssituationen deskriptive Entscheidungstheorie Beschreibung und Erklärung tatsächlichen Entscheidungsverhaltens Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.1
10 Entscheidungsmodell Modell: vereinfachtes Abbild der Realität Man unterscheidet nach der Art der Aussage in Beschreibungsmodelle, Erklärungsmodelle und Entscheidungsmodelle. Elemente eines Entscheidungsmodells d Zielfunktion Entscheidungsfeld Ergebnisse Handlungs- alternativen ti Umwelt- zustände Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2
11 Messung und Skalierung nominale Messung ordinale Messung kardinale Messung nominale Skalierung (keine Ordnung über Objekte) ordinale Skalierung (Ordnung über Objekte, nicht über Bewertungsunterschiede, invariant gegenüber monotonen Transformationen) - Ranking - Rating kardinale Skalierung (Ordnung über Bewertungsunterschiede, Interpretation der Differenzen möglich) - Intervallskala (Nullpunkt und Skaleneinheit beliebig wählbar, invariant i gegenüber positiv linearen Transformationen) - Verhältnisskala (Skaleneinheit beliebig wählbar, invariant gegenüber proportionalen Transformationen) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2
12 Erwartungsstrukturen Erwartungsstrukturen Sicherheit nur ein möglicher Zustand Unsicherheit Risiko Wahrscheinlichkeits- urteil liegt vor Unsicherheit i.e.s. Wahrscheinlichkeits- urteil nicht gegeben Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2
13 Zielfunktion Eine Zielfunktion besteht aus einer Präferenzfunktion, die jeder Alternative eindeutig einen Präferenzwert zuordnet, und einem Zielkriterium: Maximierung, Minimierung, Satisfizierung oder Fixierung. Man kann die Präferenzfunktion stets so definieren, dass von der Maximierungsvorschrift ausgegangen werden kann. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.2
14 Basis-Axiome der Entscheidungstheorie Ordnungsaxiom Für zwei beliebige Ausprägungen einer Zielgröße z i und z j gilt: j z i z j oder z i z j oder z i z j. Transitivitätsaxiom Für drei beliebige Ausprägungen einer Zielgröße z i,z j und z k gilt: Aus z i z j und z j z k folgt z i z k, aus z i z j und z j z k folgt z i z k sowie aus z i z j und z j z k folgt z i z k. Existenz einer ordinalen Wertfunktion: Ist das Ordnungs- und Transitivitätsaxiom für eine endliche Menge von Ausprägungen g einer Zielgröße erfüllt, so existiert eine Funktion v(z), für die gilt v(z ) i v(z ) z j i z j. Die Funktion v(z) heißt ordinale Wertfunktion. Durch die Ermittlung der Wertfunktion erfolgt eine ordinale Skalierung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3
15 Festlegung einer Präferenzfunktion Entscheidung bei Sicherheit und einer Zielgröße: Mit der Existenz einer ordinalen Wertfunktion als Präferenzfunktion ist die Auswahl einer optimalen Alternative möglich. Probleme bei der Festlegung einer Präferenzfunktion (und damit Zielfunktion): mehrere Zustände mehrere Zielgrößen mehrere an der Entscheidungsfindung beteiligte Personen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3
16 Grundmodell der Entscheidungstheorie A a : Alternative a, a = 1,..,A S s : Umweltzustand s, s = 1,..,S w(s s ): Wahrscheinlichkeit h hk it für den Umweltzustand t s, s = 1,..,S e as : Ergebnis bei Wahl der Alternative a im Zustand s, a = 1,..,A, s = 1,..,S Ergebnismatrix bei Risiko: S 1 S 2.. S s.. S S w(s 1 ) w(s 2 ).. w(s s ).. w(s S ) A 1 e 11 e 12.. e 1s.. e 1S A 2 e 21 e 22.. e 2s.. e 2S A a e a1 e a2.. e as.. e as A A e A1 e A2.. e As.. e AS Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.3
17 Dominanz und Effizienz Annahmen für Abschnitt 3: - Individualentscheidung bei Unsicherheit und einer Zielgröße - Existenz einer Wertfunktion für die Zielgröße, Verwendung des Ergebnisses als Wert für die Zielgrößenausprägung - Der Entscheider schätzt die Ausprägung der Zielgröße um so höher ein, je größer der Wert bzw. das Ergebnis ist. Definition: Dominanz bei Unsicherheit und einer Zielgröße Eine Alternative A 1 dominiert eine andere Alternative A 2, wenn das Ergebnis bei Wahl der Alternative A 1 in keinem Zustand schlechter und in mindestens einem Zustand besser ist als bei Wahl der Alternative A 2. Definition: Effizienz bei Unsicherheit und einer Zielgröße Eine Alternative heißt effizient, wenn sie von keiner anderen Alternative dominiert wird. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4
18 Entscheidungsregel und Entscheidungsprinzip Entscheidungsregel: g Eine Entscheidungsregel gibt die Ermittlung einer optimalen Alternative exakt vor. Die Präferenzfunktion ist festgelegt. Eine andere Person kann für den Entscheider eine optimale Alternative ermitteln. Entscheidungsprinzip: Es werden Eigenschaften der Präferenzfunktion definiert. Der Entscheider muss einzelne Parameter der Präferenzfunktion jedoch noch festlegen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4
19 Literaturhinweise zu Abschnitt 2 Ausführungen zu den Grundbegriffe der Entscheidungstheorie finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012), Kapitel I und II, und Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 1 und 2. Methoden zur Generierung von Alternativen sind in Eisenführ/Weber/Langer (2010) aufgeführt, für die in Eisenführ et al. (2001) Fallstudien (A und B) zu finden sind. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 2.4
20 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3
21 Unsicherheit im engeren Sinne (1) Ausgangsentscheidungsmatrix: S 1 S 2 S 3 S 4 Min Max A A A (A( a ): Präferenzwert der Alternative a Maximin-Regel (Wald-Regel): (A a ) = Min e as Max! s a Maximax-Regel: (A )=Maxe Max! a as s Hurwicz-Prinzip: (A a ) = Max e as + (1-)Min e as Max! mit 0 1 s s a Niehans-Savage-Regel: (A a ) = Max ((Max e js ) - e as ) Min! s j a S Laplace-Regel: (A a ) = e as Max! s=1 a a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.1
22 Unsicherheit im engeren Sinne (2) Beurteilung: Maximin-Regel (Wald-Regel): - extrem pessimistischer Entscheider - nur ein Ergebnis pro Alternative Maximax-Regel: - extrem optimistischer Entscheider - nur ein Ergebnis pro Alternative Hurwicz-Prinzip: - Festlegung des Optimismusparameters - nur zwei Ergebnisse pro Alternative Niehans-Savage-Regel: - sinnvoll bei Rechtfertigung im Nachhinein - irrationale Zielvorstellungen Laplace-Regel: - Abgrenzung der Zustände für die Bewertung nicht irrelevant - Beurteilung wie bei Erwartungswertkriterium Entscheidung bei Risiko Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.1
23 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten μ-regel und (μ, σ)-prinzip Bernoulli-Kriterium (Erwartungsnutzentheorie) Vorgehensweise Risikonutzenfunktion und Risikoeinstellung Axiome rationalen Verhalten Kompatibilität einfacher Entscheidungskriterien mit dem Bernoulli-Prinzip Entscheidung bei variablem Informationsstand Das klassische Informationswertkonzept Erweiterungen 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3
24 Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten (1) 1. symmetrieabhängige Interpretation 2. frequentistische (oder statistische) Interpretation 3. subjektivistische Interpretation Bedingungen an die Wahrscheinlichkeit w(e) für das Ereignis EM (mit M als Menge der Elementarereignisse): 1. Nichtnegativitätsbedingungen: w(e) 0 für EM. 2. Normierungsbedingungen: 2a. Das sichere Ereignis i M hat die Wahrscheinlichkeit h hk it 1: w(m) = 1. 2b. Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0: w() = Additivitätsbedingungen: w(e i E j ) = w(e i ) + w(e j ) für alle E i M, E j M mit E i E j = Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1
25 Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten (2) Multiplikations- und Additionsregeln: Seien E i und E j zwei stochastisch abhängige Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i und E j : w(e i E j)= w(e i ) w(e j E i ) = w(e j ) w(e i E j ) Seien E i und E j zwei stochastisch unabhängige Ereignisse, so gilt für die Wahr- scheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i und E j : w(e i E j )= w(e i ) w(e j ) Seien E i und E j zwei einander nicht ausschließende Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i oder E j : w(e i E j )= w(e i ) + w(e j ) - w(e i E j ) Seien E i und E j zwei einander ausschließende Ereignisse, so gilt für die Wahrscheinlichkeit w(e i E j ) des Ereignisses E i oder E j : w(e i E j )= w(e i )+w(e) j ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1
26 Theorem von Bayes w(s s ): Wahrscheinlichkeit h hk it für den Zustand s, s=1,..,s w(i i ): Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis i, i=1,..,i w(i i S s ): Wahrscheinlichkeit für das Informationsergebnis i unter der Bedingung, dass der Umweltzustand s eintritt Ermittlung der bedingten Wahrscheinlichkeiten w(s s I i ): w (S w (S s ) w (I i S s ) w (I ) S s Ii ) mit w (Ii ) w (S s ) w (Ii S s ) i s 1 für s=1,..,s und i=1,..,i. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1
27 Methoden zur Festlegung von subjektiven Wahrscheinlichkeitsurteilen Was bedeutet es ist wahrscheinlich, es ist gut möglich, es ist damit zu rechnen? Von Person zu Person unterschiedlich Transformation von Glaubwürdigkeitsvorstellungen in Wahrscheinlichkeiten: Unterscheidung der Methoden nach der Befragungstechnik direkt indirekt nach Art der Abfrage Wahrscheinlichkeitsabfragen Wertabfragen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.1
28 Erwartungswertkriterium S (A a ) = a = w(s s ) e as Max! M! s=1 a Zustandsbaum für das Petersburger Spiel: 0,5 0,5 K 05 0,5 K 0,5 K K 0,5 0,5 Z 0,5 Z 05 0,5 Z 2 3 GE Z 2 2 GE 2GE ad infinitum Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2
29 Beurteilung des Erwartungswertkriteriums Erwartungswert bei einmaliger Entscheidung: sinnvoll bei Risikoneutralität Erwartungswertkriterium tk i im Wiederholungsfall: ll Durchgang Gesamtergebnis 1 1/2 1/2-2 6 durchschnittliches Ergebnis 1/2 1/ /4 1/2 1/4 1/4 1/2 1/ /8 3/8 3/8 1/ /8 3/8 3/8 1/8-2 2/3 10/ /16 1/4 3/8 1/4 1/16 1/16 1/4 3/8 1/4 1/ Das Erwartungswertkriterium bei Anwendung auf das Gesamtergebnis ist bei Nichtrisikoneutralität nicht sinnvoll. Orientiert sich der Entscheider am durchschnittlichen Ergebnis, wird die Standardabweichung mit zunehmender Wiederholung immer kleiner. Daher wäre das Kriterium auch bei Nichtrisikoneutralität sinnvoll anwendbar. Orientierung an Durchschnittsgrößen sinnvoll? Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2
30 Sicherheitsäquivalent und Risikoabschlag Definition: Sicherheitsäquivalent bei einer Zielgröße Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße (Alternative) ist definiert als derjenige sichere Zielgrößenwert, der aus Sicht des Entscheiders der Verteilung äquivalent ist. Das Sicherheitsäquivalent ist also der sichere Wert, den man dem Entscheider bieten müsste, damit er gerade bereit ist, auf die unsichere Alternative zu verzichten. Definition: Risikoabschlag Der Risikoabschlag einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße ist definiert i als der Erwartungswert t vermindert um das Sicherheitsäquivalent h it i t der Verteilung. Das Sicherheitsäquivalent und der Risikoabschlag sind subjektive Größen und damit abhängig von der Risikoeinstellung des Entscheiders. Das Sicherheitsäquivalent einesrisikoneutralen -Entscheiders ist gleich dem Erwartungswert, der Risikoabschlag beträgt Null. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2
31 (Prinzip ( A a ) ( a, a S a w(ss ) e s1 ) as, mit S a w(ss ) (eas a ) s ( a, a ) 2a 2 S 1 S 2 a, 2 a, a ) 2a 3 ( a 2 a a 1 a, a ) 2 a, a ) w(s 1 )=0,5 w(s 2 )=0,5 A A A A ,5-9 a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2
32 (Prinzip: Indifferenzkurvensystem bei Risikoaversion Indifferenzkurvensystem für das (Prinzip: Eine Indifferenzkurve zu einem Präferenzwert ist der geometrische Ort jener (-Kombinationen, die zu diesem Präferenzwert führen. =0 =2 12 A 4 A 3 =3,5 =4 Für unsichere Alternativen gilt: SÄ a < a 2 A 1 A 2 SÄ SÄ = SÄ 2 = 2 Schenk-Mathes - WS 2011/ = 4 Risikoaversion: monoton steigende Indifferenzkurven Abschnitt 3.2.2
33 (Prinzip: Indifferenzkurvensystem bei Risikofreude und Risikoneutralität A A a A a a SÄa a =SÄ a Risikofreude: monoton fallende Indifferenzkurven SÄ a > a Risikoneutralität: Indifferenzkurven parallel zur Ordinate SÄ a = a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.2
34 Bernoulli-Prinzip (Erwartungsnutzentheorie) S (A a ) = EU a = w(s s )u(e as ) Max! M! s =1 u( ): Risikonutzenfunktion Die Risikonutzenfunktion ordnet Ergebnissen, die als Vermögenspositionen anzugeben sind, Nutzen zu. a Ausgangsbeispiel: S 1 w(s 1 )=0,2 S 2 w(s 2 )=0,6 S 3 w(s 3 )=0,2 A A a a Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
35 Zur Ermittlung der Risikonutzenfunktion mit Hilfe der Basis-Referenz-Lotterie e : schlechtestes Ergebnis ē : bestes Ergebnis Basis-Referenz-Lotterie (BRL) w* ē Sicherheitsäquivalent 1 - w* e ~ SÄ* EU (BRL) = u(sä*) w* u(ē) + (1 w*) u(e) = u(sä*) Nutzenfunktion mit Intervallskala (Nullpunkt und Skaleneinheit beliebig wählbar): u(ē) = 1, u(e) = 0 u(sä*) = w* Bernoulli-Befragung: Für SÄ* werden die übrigen möglichen Ergebnisse eingesetzt und jeweils w* vom Entscheider angegeben. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
36 Mittelwert-Kettungs-Methode (1) 0,5 05 0,5 ē e u(e 0,5 ) = 0,5 ~ e 0,5 0,5 e 0,5 0,5 ē ~ e 0,25 ~ e 0,75 e 0,5 e 0,5 u(e 0,25 ) = 0,25 u(e 0,75 ) = 0, ,5 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
37 Mittelwert-Kettungs-Methode (2) u(e) 1 0,75 tatsächliche Angaben Approximation 05 0,5 0,25 e e 0,25 e 0,5 e 0,75 ē e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
38 Risikonutzenfunktion bei Risikoaversion u(e) u(e 2 ) 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) Beispiel: 0,5 e 1 u(e 1 ) 0,5 e 2 e 1 SÄ e 2 e Risikoaversion: (streng) konkave Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
39 Risikonutzenfunktion bei Risikoneutralität u(e) u(e 2 ) 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) Beispiel: 0,5 0,5 e 1 e 2 u(e 1 ) =SÄ e 1 e 2 e Risikoneutralität: lineare Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
40 Risikonutzenfunktion bei Risikofreude u(e) u(e 2 ) Beispiel: 0,5 e 1 0,5u(e 1 ) +0,5u(e 2 ) =EU=u(SÄ) 0,5 e 2 u(e 1 ) e 1 SÄ e 2 e Risikofreude: (streng) konvexe Risikonutzenfunktion Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
41 Stärke der Risikoaversion Annahme: u(e) zweifach differenzierbar, u (e) 0 Maß für die absolute Risikoaversion (Arrow/Pratt) : r (e) u''(e) u'(e) Vergleich von zwei mit Unsicherheit behafteten Alternativen A 1 und A 2 = A 1 + V (Alle Ergebnisse der Alternative A 1 werden um den Betrag V > 0 erhöht) r(e) konstant : SÄ 2 = SÄ 1 + V, d.h. konstante Risikoabschläge r(e) steigend : SÄ 2 < SÄ 1 + V, d.h. mit V steigende Risikoabschläge r(e) fallend : SÄ 2 > SÄ 1 + V, d.h. mit V sinkende Risikoabschläge Maß für die relative Risikoaversion: R(e) r(e) e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
42 Zur Schreibweise Lotterien mit zwei möglichen Ergebnisse: Lotterie L: w 1-w e 1 e 2 oder L = [e 1,w,e 2 ] Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
43 Das Axiomensystem nach Luce/Raiffa (1) 1. Ordinales Axiom a. Ordnungsaxiom: Für zwei beliebige Ergebnisse e i und e j gilt: e i e j oder e i e j oder e i e j. b. Transitivitätsaxiom: Für drei beliebige Ergebnisse e i, e j und e k gilt: Aus e i e j und e j e k folgt e i e k, aus e i e j und e j e k folgt e i e k sowie aus e i e j und e j e k folgt e i e k. 2. Stetigkeitsaxiom Für jedes Ergebnis e mit eee kann eine Wahrscheinlichkeit 0<w<1 angegeben werden, so dass e[e,w,e] erfüllt ist. 3. Substitutionsaxiom Wird in einer Verteilung ein Ergebnis e durch eine Lotterie [e 1,w,e 2 ] ersetzt, wobei e[e 1,w,e 2 ] gilt, so ist die ursprüngliche Verteilung der neuen äquivalent. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
44 Das Axiomensystem nach Luce/Raiffa (2) 4. Reduktionsaxiom Eine zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist einer einfachen äquivalent, sofern jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. 5. Monotonieaxiom Für zwei Lotterien [e,w 1,e] und [e,w 2,e] mit den gleichen Ergebnissen (ee) gilt: [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 w 2, [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 w 2 und [e,w 1,e][e,w 2,e] für w 1 = w Transitivitätsaxiom bezüglich Handlungsalternativen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
45 Axiomensystem und Bernoulli-Prinzip A 1 A 1 0,2 0,6 02 0, , ,6 ~ ~ 0, A 2 A 2 0,2 06 0,6 0,2 Annahme: , ~ 0,6 ~ 0,2 0,2 u(25) + 0,6 u(25) < 0,2 + 0,6 u(15) + 0,2 u(15) A 1 ~A 1, A 2 A 1 A 2 A 1 A 1 A A 1 ~ A 1, A 2 ~ A 2, A 2 A 1 A 2 ~ A 2, A 2 A 1 A 2 A Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
46 Bedeutung der Axiome Bedeutung der Axiome für die Anwendbarkeit des Bernoulli-Prinzips: i i Ordinales Axiom und Stetigkeitsaxiom: Sind diese Axiome erfüllt, so kann nach dem Bernoulli-Prinzip entschieden werden. Substitutionsaxiom, Reduktionsaxiom, Monotonieaxiom und Transitivitätsaxiom bezüglich Handlungsalternativen: Sind diese Axiome erfüllt, ist es sinnvoll, nach dem Bernoulli-Prinzip zu entscheiden. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
47 Weitere Axiomensysteme Darstellung mit Hilfe des Unabhängigkeitsaxiom: Werden zwei Lotterien L 1 und L 2 jeweils in identischer Weise mit einer dritten Lotterie L über eine Zufallsauswahl kombiniert, bei der die Lotterie L jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1-p gespielt wird, so gilt: L1 L2 pl 1(1p) L pl 2 (1p) L Das Unabhängigkeitsaxiom gg kann - das Reduktionsaxiom - das Substitutionsaxiom und - das Monotonieaxiom ersetzen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
48 Zusätzliches Axiom Dem Bernoulli-Prinzip liegen Anforderungen implizit zugrunde, die als selbstverständlich vorausgesetzt werden. Diese impliziten Voraussetzungen sollen im Folgenden explizit gemacht, indem als zusätzliches Axiom das sogenannte Invarianzaxiom eingeführt wird. Invarianzaxiom: Verschiedene Darstellungen derselben Wahlsituation führen zu identischen Präferenzen über die Alternativenmenge (Darstellungsinvarianz). Zudem hat die Art (bzw. die Prozedur) der Erhebung von Präferenzen keinen Einfluss auf die Präferenzen selbst (Prozedurinvarianz). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
49 Einfache Entscheidungskriterien im Lichte des Bernoulli-Prinzips: Lineare Nutzenfunktion Die -Regel ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn die Risikonutzenfunktion linear verläuft, mithin der Entscheider sich im relevanten Bereich risikoneutral ik verhält. Lineare e Nutzenfunktion: u t u(e) α e β, α 0, β beliebig eb EU a S s1 w(s s ) u(e as ) S s1 w(s s ) (α e as β) α μ a β Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4
50 Quadratische Nutzenfunktion Das (,)-Prinzip ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn von einer quadratischen Risikonutzenfunktion ausgegangen wird: u(e) e 2 e mit e 2 für <0 oder e 2 für >0. Herleitung der passenden (,)-Regel EU S S 2 a w(ss ) u(eas ) w(ss ) [ eas eas] s1 s1 Zwischenschritt: S S 2 w(ss ) eas w(ss ) eas s1 s1 S S a w(ss ) (eas a ) w(ss ) (eas 2easa a ) s 1 s 1 S s1 w(s s ) e 2 as 2 a 2 2 a S s1 w(s s ) e 2 as 2 a 2 a EU a ( 2 a 2 a ) a ( a, u '(e) 2e 0 e 2 0 u''(e) 2 0 a ) Risikoaversion Risikofreude Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4
51 Exponentielle Nutzenfunktion Das (,)-Prinzip ist mit dem Bernoulli-Prinzip kompatibel, wenn das Ergebnis normalverteilt ist. Für die exponentielle Nutzenfunktion und Normalverteilung gilt: EU a u( a 2 2 a ) u(e) Verlauf einer exponentiellen Nutzenfunktion u(e) exp( e) mit >0 e -1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.2.4
52 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (1) Annahmen: 1. Der Entscheider ist risikoneutral und orientiert sich nur an der Zielgröße Gewinn. 2. Die Informationsbeschaffung bezieht sich nur auf das Wahrscheinlich- keitsurteil über die Umweltentwicklung, die Höhe der Gewinne in den einzelnen Zuständen vor Berücksichtigung von Informationskosten ändert sich nicht. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
53 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (2) Symbole: G as : Gewinn bei Wahl der Alternative a im Zustand s, a = 1,..,A, s = 1,..,S, E: Erwartungswert des Gewinns ohne zusätzliche Information, I i : E(I i ): EI: WI: w(s s ): Informationsergebnis i, i = 1,..,I, Erwartungswert des Gewinns bei Vorliegen des Informationsergebnisses i, i =1,..,I, Erwartungswert des Gewinns bei Informationsbeschaffung, Informationswert, a priori-wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand s, s = 1,..,S, w(s s I i ): a posteriori-wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand s unter der Bedingung, dass I i das Ergebnis der Informationsbeschaffung ist, s = 1,..,S, i = 1,..,I. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
54 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (3) Zur Ermittlung des Informationswertes: E Max a S s1 E(I ) Max i I a WI EI E. w(s S s1 s w(s EI w(ii ) E(Ii ), i1 ) G s as, I ) G i as, Die Informationsbeschaffung ist aus Sicht eines risikoneutralen Entscheiders von Vorteil, wenn der Wert der Information größer ist als die Kosten der Informationsbeschaffung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
55 Beschaffung von Informationen als Entscheidungsproblem (4) Behauptung: Der Informationswert kann nicht negativ sein. Beweisskizze: E WI Max a S s1 EI E w(s I s ) G as w(i ) Max S s1 S i a i1 s1 w(s s w(s ) G s âs, I ) G i as S s1 w(s s ) G âs. Wegen w(s I s ) w(ii ) w(ss Ii ) i1 kann man dafür auch schreiben WI I i1 w(ii ) Max a S s1 w(s s I ) G i as S s1 w(s s I ) G i âs 0. q.e.d. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
56 Beschaffung von Informationen und Risikoaversion des Entscheiders EU: Erwarteter Nutzen ohne zusätzliche Information EUI: Erwarteter Nutzen bei Informationsbeschaffung unter Berücksichtigung der Informationskosten K : Informationskosten Fall 1: K = 0 S EU(Ι ) Max w(s Ι ) u(g ) EUI w(i ) EU(I ) i a Es gilt stets EUI EU. Fall 2: K>0 EU(I ) Max i a s i as s 1 i 1 S w(s I ) u(g K) EUI s i as s 1 i 1 I I i w(i ) EU(I ) Der Wert der Information ist jener Betrag K, bei dem EUI = EU gilt, der Entscheider mithin indifferent ist zwischen der Entscheidung ohne und mit Information. i i i Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt
57 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten Unvollständige Information über die Nutzenfunktion 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3
58 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (1) Unvollständige Information über die Wahrscheinlichkeiten: w: Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße W(I): Menge der möglichen Verteilungen bei Vorliegen der Informations- situation I. Eine Alternative A i wird einer Alternative A j vorgezogen, wenn gilt S w(s ) u(e is ) s1 S S ( w(s ) u(e ) für alle ww(i) und s s js ) s1 w(s ) u(eis ) S s w(ss ) u(e js ) s1 s1 für mindestens ein w. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1
59 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (2) Die Menge der möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen lässt sich mit Hilfe von Restriktionen bezüglich des Wahrscheinlichkeitsurteils beschreiben. Denkbar sind die folgenden Restriktionstypen: Restriktionen des Typs 1: Der Entscheider kann zwar nicht die Höhe der Wahrscheinlichkeit für einen Zustand angeben, er ist jedoch in der Lage anzugeben, welcher Zustand bei einem Vergleich von zwei Zuständen eine höhere Wahrscheinlichkeit h hk it aufweist, z.b. w(s l ) w(s k ). Restriktionen des Typs 2: Der Entscheider ist in der Lage, für einen Zustand Unter- und/oder Obergrenzen für die Wahrscheinlichkeit anzugeben, d.h. w(s k ) w(s k ) w(s k ). Natürlich ist weiterhin zu beachten, dass Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sein dürfen und dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten über die Zustände gleich Eins sein muss. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1
60 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Wahrscheinlichkeiten (3) LP-Ansatz zum Vergleich zweier Alternativen: Zielfunktion: Z S s1 w(ss ) (u(e is) u(e js)) Restriktionen des Typs 1: w(s l ) w(s k ) und/oder Restriktionen des Typs 2: w(s k ) w(s k ) w(s k ), S s1 w(s s ) 1 w(s s ) 0 für s = 1,..,S., A i A j Max Z 0 und Min Z 0 A i A A j Max Z 0 und Min Z 0 Gilt Max Z 0 und Min Z 0, so ist noch keine Aussage bezüglich der Präferenz möglich. Um zu einer eindeutigen Präferenz zu gelangen, müssen die Restriktionen weiter eingeschränkt werden. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.1
61 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Nutzenfunktion (1) Unvollständige Information über die Nutzenfunktion (nur bei Nichtrisikoneutralität relevant): u: Nutzenfunktion U(I): Menge der möglichen Nutzenfunktionen bei Vorliegen der Informationssituation I. Eine Alternative A i wird einer Alternative A j vorgezogen, wenn gilt S w (S ) u(eis ) s1 S S s w(ss ) u(e js ) s1 w(ss ) u(eis) w(ss ) u(e js ) s1 s1 S für alle uu(i) und für mindestens ein u. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2
62 Entscheidung bei unvollständiger Information über die Nutzenfunktion (2) Auf Grund der nichtlinearen Nutzenfunktionen ist die Beschreibung der Menge U mit linearen Restriktionen problematisch und damit der LP-Ansatz nicht anwendbar. Wenn die Nutzenfunktion nicht bekannt ist, kommt man gegebenenfalls mit Dominanzkonzepten weiter: Auch wenn keine weiteren Informationen über die monoton steigende Nutzenfunktion vorliegen, kann bei stochastischen Dominanz erster Ordnung eine optimale Alternative gewählt werden. Ist der Entscheider risikoavers, liegt mithin eine streng konkave Nutzenfunktion vor, kann man auf das Konzept der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung zurückgreifen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2
63 Stochastische Dominanz erster Ordnung E: Menge der möglichen Ergebnisse (e) : F a Wahrscheinlichkeit, mit der das Ergebnis e bei Wahl der Alternative a überschritten wird Nutzenfunktionen verlaufen monoton steigend. A i dominiert A j gemäß der stochastischen Dominanz erster Ordnung, wenn gilt F(e) F (e) 0 i F(e) F (e) 0 i j j für für alle e E und mindestens ein e E. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2
64 Stochastische Dominanz erster Ordnung: Beispiel Risikoprofile F a (e) Ergebnis Wahrscheinlichkeit kumuliert Differenz A 1 A 2 F 1 (e) F 2 (e) F 1 (e)-f 2 (e) e 5 0, e 4 0,2 0,2 0,1 0 0,1 e ,2 03 0,3 03 0,3 02 0,2 01 0,1 1 e 2 0,3 0,2 0,5 0,5 0 e 1 0,2 0,3 0,8 0,7 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 e 1 e 2 Alternative 1 Alternative 2 e 3 e 4 e 5 e Der Erwartungsnutzen der Alternative 1 ist stets größer als der der Alternative 2, und zwar unabhängig von der Nutzenfunktion bzw. Risikoeinstellung. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2
65 Stochastische Dominanz zweiter Ordnung: Beispiel Risikoprofile F a (e) 1 Wahrscheinlichkeit kumuliert Differenz Kumulierte Ergebnis Differenzen A 1 A 2 F 1 (e) F 2 (e) F 1 (e)-f 2 (e) beginnend mit e 1 e 5 0 0, ,1 e 4 0,3 0,1 0 0,1-0,1 0,1 e 3 0,2 0,3 0,3 0,2 0,1 0,2 e 2 0,3 0,2 0,5 0,5 0 0,1 e 1 0,2 0,3 0,8 0,7 0,1 0,1 0,8 0,6 0,4 0,2 Alternative 1 Alternative 2 Annahmen: monoton steigende, streng konkave Nutzenfunktion und e i -e i-1 =konstant für i=2,..,5 i i 1 Der Erwartungsnutzen der Alternative 1 ist stets größer als der der Alternative 2, und zwar unabhängig von der Stärke der Risikoaversion. e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.3.2
66 Abschnitt 3 3 Individualentscheidung bei Unsicherheit 3.1 Entscheidung bei Unsicherheit im engeren Sinne 3.2 Entscheidung bei Risiko 3.3 Entscheidung bei unvollständiger Information 3.4 Mehrstufige Entscheidungen Entscheidungsprinzipien Optimierung von Entscheidungsspielräumen Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3
67 Entscheidungsprinzipien bei Mehrstufigkeit (1) Ausgangspunkt: Eine Entscheidung kann in Teilentscheidungen zerlegt werden, die z.b. zeitlich nacheinander erfolgen. Zwischen den Teilentscheidungen bestehen Abhängigkeiten. Entscheidungsprinzipien: Starre Planung: Ermittlung einer Folge von Entscheidungen (die für alle Umweltentwicklungen gleich ist) Flexible Planung: Ermittlung einer Anfangsentscheidung und Eventualplänen für zukünftige Zeitpunkte Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.1
68 Entscheidungsprinzipien bei Mehrstufigkeit (2) Rollende Planung: 1.Jahr 2.Jahr 3.Jahr 4.Jahr 5.Jahr Detailplanung Grobplanung 2.Quartal 1.Jahr 3.Quartal 1.Jahr 4.Quartal 1.Jahr 1.Quartal 2.Jahr Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.1
69 Beispiel zur flexiblen Planung Planungszeitraum: 2 Wochen Auftragsangebote (Aufträge nicht teilbar): A: ME pro Woche zu 12 pro Stück, Entscheidung sofort B: ME pro Woche zu 13 pro Stück, Entscheidung sofort C: ME in der 2. Woche zu 10 pro Stück, Entscheidung spätestens zu Beginn der zweiten Woche Normalkapazität: ME pro Woche, Zusätzliche Kapazität in der zweiten Woche: ME Zielsetzung: Maximierung des erwarteten Deckungsbeitrags (risikoneutraler Entscheider) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2
70 Beispiel zur flexiblen Planung (2) Zustandsbaum: 0,8 0,5 günstige Kostensituation 0,2 (gk) 0,5 0,2 gk uk gk Stückkosten (in ) gk uk Normalkapazität 4 6 zusätzlich 8 18 ungünstige Kostensituation (uk) 0,8 uk t=0 t=1 t=2 1. Woche 2. Woche Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2
71 Beispiel zur flexiblen Planung (3) Entscheidungsbaum: A 117,6 0,5 0,5 gk uk ,2 C+E C+E ,8 96 0,8 0,2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,2 gk uk gk uk gk uk gk = = = = = = =112 B 116 0,5 0,5 gk uk C C 99, ,8 0,8 0,2 0,2 uk gk uk gk 48+48= = = =120 0,8 uk =100 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2
72 Beispiel zur flexiblen Planung (4) Ergebnismatrix: S 1 S 2 S 3 S 4 0,4 0,1 0,1 0,4 A A A ,6 A ,4 A Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3.4.2
73 Literaturhinweise zu Abschnitt 3 Eine Darstellung und Beurteilung der Entscheidungskriterien bei Unsicherheit h it im engeren Sinne finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk- h k Mathes (2011), Kapitel IV, und Resnik (1987), Chapter 2. Zur Entscheidung bei Risiko vgl. Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 7 und 9, und Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel V. In Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012) findet sich das Axiomensystem rationalen Verhaltens von Luce und Raiffa, für das auch das Original herangezogen werden kann: Luce, R.D. und H. Raiffa (1957): Games and Decisions, New York, S und S Zum Informationswertkonzept vgl. Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel X sowie die dort angegebene Literatur mit den Originalquellen bei Marschak. Konzepte zur Entscheidung bei unvollständiger Information werden in Eisenführ/Weber/Langer (2010), Abschnitte 10.1 und 10.2, beschrieben. Ausführungen zu mehrstufigen Entscheidungen finden sich in Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2011), Kapitel IX. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 3
74 Abschnitt 4 4 Experimente zum Entscheidungsverhalten und deskriptive Entscheidungstheorie 4.1 Ergebnisse zu Experimenten 4.2 Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie Prospect-Theorie Rangabhängige Nutzentheorie Kumulative Prospect-Theorie Theorien mit kontextabhängiger Bewertung 4.3 Vergleich der Ansätze mit der Erwartungsnutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4
75 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (1) Framing-Effekt: Durch die Formulierung der Entscheidungssituation werden Wahlhandlungen beeinflusst (siehe z.b. Experiment 1, 3 oder 5). => Widerspruch zum Invarianzaxiom Ursprungsabhängigkeit: Die Bewertung einer Konsequenz hängt davon ab, wie es zu dieser gekommen ist. So ist beispielsweise ein Gewinn von 1000 per Zufall für Menschen in der Regel weniger wert als der Gewinn von 1000 als Auszeichnung für besondere Leistungen. Ankerpunkt-Effekt: Der Entscheider passt seine Wahl ausgehend von einem Startpunkt schrittweise an. Referenzpunkt-Effekt: Die Bewertung von Alternativen vollzieht sich relativ zu einem individuellen Referenzpunkt (siehe z.b. Experiment 8 oder 10). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1
76 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (2) Besitztumseffekt: Was ich einmal besitze, gebe ich nicht wieder her (siehe z.b. Experiment 9). Verbuchung in mentalen Konten: Durch die Aufteilung (Segregation) oder Zusammenfassung (Integration) von Konsequenzen von Alternativen wird die Bewertung beeinflusst (siehe z.b. Experiment 4). Verlustaversion: Verluste werden stärker negativ empfunden als Gewinne in gleicher Höhe positiv aufgenommen werden. Sunk cost-effekt: Bereits getätigte Ausgaben werden als entscheidungsrelevant angesehen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1
77 Ausgewählte Beobachtungen des Entscheidungsverhaltens (3) Beobachtungen zum Wahrscheinlichkeitsurteil: Relevanz der Ambiguitätseinstellung: Die Glaubwürdigkeit von Wahrscheinlichkeiten spielt bei der Bewertung von Alternativen eine Rolle (siehe z.b. Experiment 7). Probleme bei der Ermittlung bedingter Wahrscheinlichkeiten (siehe z.b. Experiment 2) Sicherheitseffekt: Die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeiten wird bei dem Übergang auf Sicherheit stärker berücksichtigt als bei geringeren Wahrscheinlichkeiten (siehe z.b. Experiment 6A und 6B). Überschätzung kleiner Wahrscheinlichkeiten Verfügbarkeitseffekt: Häufige Ereignisse werden in ihrer Wahrscheinlichkeit überbewertet. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.1
78 Prospect-Theorie von Kahneman und Tversky Ansatz der deskriptiven Entscheidungstheorie Ausgangspunkt für die Entwicklung neuer Theorien ist das beobachtete Entscheidungsverhalten in der Realität. Phasen der Prospect-Theorie: (1) Editing: Bearbeitung der Alternativen (2) Bewertung: Verwendung einer kardinalen Wertfunktion unter Berücksichtigung eines Referenzpunktes und einer Wahrscheinlichkeitsgewichtung Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
79 Prospect-Theorie: Editing-Phase zu Phase (1) Hauptoperationen des Editing: - Coding: Festlegung des Referenzpunktes und Bewertung der Ergebnisse als Gewinne bzw. Verluste - Combination: Addition von Wahrscheinlichkeiten gleicher Ergebnisse - Segregation: Abspaltung eines sicheren Betrages (der in allen Ergebnissen enthalten ist) - Cancellation: Eliminierung identischer Elemente bei Alternativen Zusätzliche Operationen: - Simplification: Auf- und Abrunden von Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen - Eliminierung dominierter Alternativen Problem: Einige Operationen können andere verhindern oder überhaupt erst möglich machen! Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
80 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (1) zu Phase (2) a) Wertfunktion: - Festlegung eines Referenzpunktes - streng konkaver Verlauf der Wertfunktion für Gewinne und konvexer Verlauf für Verluste - steilerer Verlauf für Verluste als für Gewinne (Verlustaversion) Wertfunktion v(e) Verlust Gewinn Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
81 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (2) b) Gewichtung der Werte der Ergebnisse ( decision weights ) Wahrscheinlichkeiten Verwendung einer Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion (w) 1 w 1 - Sprungstellen bei 0 und 1 - Überschätzung kleiner und Unterschätzung großer Wahrscheinlichkeiten Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
82 Prospect-Theorie: Bewertungsphase (3) c) Ermittlung von Präferenzwerten für Alternativen Bt Betrachtet httwerden nur Alternativen ti mit ithöht höchstens zwei von Null verschiedenen Ergebnissen. Eine riskante Alternative heißt strikt positiv bzw. strikt negativ, wenn alle Ergebnisse positiv bzw. negativ sind. Alle anderen Alternativen ti heißen regulär. Für reguläre Alternativen gilt: ( A a ) (w 1 ) v(e a1 ) (w 2 ) v(e a 2 Für den Präferenzwert von strikt negativen bzw. strikt positiven Alternativen mit e a2 <e a1 <0 bzw. e a1 >e a2 >0 gilt dagegen: (A a) v(e a2) (w 1) (v(e a1) v(e a2)) ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
83 Prospect-Theorie: Unterschiede zur Erwartungsnutzentheorie Die Prospect-Theorie ist in der Lage, Widersprüche zum Invarianzaxiom und zum Unabhängigkeitsaxiom einzufangen. Die wesentlichen Unterschiede zur Erwartungsnutzentheorie sind: - Existenz einer Editingphase - Verwendung eines Referenzpunktes, der auch von der Darstellung der Entscheidungssituation it ti abhängig ist - Ungleiche Behandlung von Gewinnen und Verlusten durch Verwendung eines Referenzpunktes möglich - Transformation des Wahrscheinlichkeitsurteils Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
84 Prospect-Theorie: Kritik Erste Kritikpunkte: - Beschränkung auf Lotterien mit höchstens drei Ergebnissen - Wahl von stochastisch dominierten Alternativen möglich Weitere Ansatzpunkte für kritische Anmerkungen: - Verwendung des Modells zur konkreten Vorhersage in komplexen Entscheidungssituationen it ti - Ermittlung des Referenzpunktes (z.b. Berücksichtigung laufender Projekte, Änderungen von Vermögenspositionen während der Abwicklung von ausgewählten Alternativen) - Verlauf der Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion =>Weiterentwicklung zur Cumulative Prospect-Theorie über die rangabhängige Nutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.1
85 Rangabhängige Nutzentheorie: Vorgehensweise (1) Veränderung gegenüber der Erwartungsnutzentheorie: Die Gewichtung der Konsequenzen hängt von kumulierten Wahrscheinlichkeiten ab. Vorgehensweise: 1. Ordnung der Konsequenzen und damit auch der Zustände nach aufsteigendem Nutzen 2. Ermittlung der Faktoren p s der Konsequenzen als Differenz der Gewichte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten 3. Ermittlung des Präferenzwertes (A a ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2
86 Rangabhängige Nutzentheorie: Vorgehensweise (2) (A a ) ERUa ps v(e as ) mit S s1 S S p s ( w(s)) i ( w(s)) i fürs1,..,s 1 und is is1 p S (w(s S)) Dabei gilt: v(e as ): Nutzenwert der Konsequenz e as (mit Rang s in der Ordnung der Konsequenzen) p s : Gewichtungsfaktor für Konsequenzen ( ): monoton steigende Gewichtungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit (0)=0 und (1)=1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2
87 Rangabhängige Nutzentheorie: Beispiel (1) S 1 S 2 S 3 S 4 w(s 1 ) = 0,2 w(s 2 ) = 0,4 w(s 3 ) = 0,3 w(s 4 ) = 0,1 A k ERUk v(20) ( (1) (0,8)) v(40) ( (0,8) (0,4)) v(60) ( (0,4) (0,1)) v(80) (0,1) Für (W)=W² gilt ERU k = v(20) 0,36 + v(40) 0,48 + v(60) 0,15 + v(80) 0,01 Bei der verwendeten Gewichtungsfunktion erhalten die schlechteren Ergebnisse eine höhere Gewichtung und die besseren Ergebnisse eine geringere Gewichtung als die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2
88 Rangabhängige Nutzentheorie: Beispiel (2) (W) 1 (W) 1 (1)- (0,8) (0,8)- (0,4) usw. 0,1 0,4 0,8 1 W 1 W (W) streng konvex => Sicherheits-Orientierung Sc e so e e (pessimistischer Entscheider) (W) zunächst konkav, dann konvex => vorsichtige Hoffnung als typischer Verlauf Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.2
89 Cumulative Prospect-Theorie als Erweiterung Erweiterung der Prospect-Theorie zur Cumulative Prospect-Theorie durch Kahneman und Tversky (1992): - Erweiterung auf Lotterien mit mehr als drei Ergebnissen - Verwendung der Idee der rangabhängigen Nutzentheorie unter Beibehaltung der Wertfunktion mit Referenzpunkt - zwei Gewichtungsfunktionen u t e für die kumulierten u Wahrscheinlichkeiten, c e und zwar für Verluste und für Gewinne (Verlauf jeweils nach dem Prinzip vorsichtige Hoffnung ) - Gesamtbewertung einer Alternative = Summe der separaten Bewertung der Gewinne und Verluste - Erweiterung der Theorie auf Entscheidung unter Ungewisshei Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3
90 Cumulative Prospect-Theorie: Vorgehensweise (1) 1. Ordnung der Konsequenzen und damit auch der Zustände nach aufsteigendem Nutzen e n >0 w(s n ) w(s 1 ) w(s 0 ) w(s -1 ) w(s -m ) e 1 >0 e 0 =0 e -1 <0 Dabei gilt: e n >e n-1 > >e 1 >0>e -1 > >e -m+1 >e -m Anzahl der Zustände: S=n+m+1 e -m <0 2. Ermittlung der Faktoren der Konsequenzen als Differenz der Gewichte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (getrennt für Verluste und Gewinne) 3. Ermittlung des Präferenzwertes (A a ) Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3
91 Cumulative Prospect-Theorie: Vorgehensweise (2) 1 n a s as s as (A ) p v(e ) p v(e ) mit sm s1 s s1 s i i m m p ( w(s )) ( w(s )) für s m1,.., 1 und p (w(s )) im im n n s i i n n p ( w(s )) ( w(s )) für s 1,..,n, 1 und p (w(s ( )) Dabei gilt: is is1 v(e as ): p s / p s : + ( )/ _ ( ): Nutzenwert der Konsequenz e as (mit Rang s in der Ordnung der Konsequenzen) Gewichtungsfaktoren für Konsequenzen monoton steigende Gewichtungsfunktion für kumulierte Wahrscheinlichkeiten mit + (0)= _ (0)=0 und + (1)= _ (1)=1 Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.3
92 Theorien mit kontextabhängiger Bewertung In der Disappointment- und der Regret-Theorie wird die Erwartungsnutzentheorie dahingehend erweitert, dass Enttäuschung oder Bedauern über das Nichterreichen möglicher Ergebnisse berücksichtigt wird (siehe bereits Niehans-Savage-Regel unter Ungewissheit). Die Bewertung von Alternativen erfolgt kontextabhängig entweder - in Abhängigkeit der anderen Konsequenzen der Alternative (Disappointment-Theorie) oder - in Abhängigkeit der Konsequenzen anderer Alternativen (Regret- Theorie). Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4
93 Regret-Theorie Die Konsequenzen einer Alternative werden den möglichen Konsequenzen einer anderen Alternative gegenüber gestellt. S A,A ws Vv(e ),v(e ER Vv(e ),v(e ) v(e ) Es ist j k s js ks ) s1 V v(e js 0 ) und V v(e ks 0 ) mit js js js Spezielle Darstellung mit einer nicht fallenden Regret-Funktion R, R(0) = 0: ER A S j,ak ws s v(e js ) Rv(e js ) v(eks ) s1 Alternative A j wird gegenüber Alternative A k strikt präferiert, wenn gilt: ER A,A ERA, A j k k j Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4
94 Regret-Theorie: Beispiel S 1 S 2 S 3 S 4 w(s 1 ) = 0,25 w(s 2 ) = 0,25 w(s 3 ) = 0,25 w(s 4 ) = 0,25 A j A k keine axiomatische Absicherung intransitive Präferenzaussagen bei R(x) = R(-x) Übereinstimmung mit Erwartungsnutzentheorie Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.2.4
95 Fazit (1) Erwartungsnutzentheorie versus Ansätze der deskriptiven Entscheidungstheorie: Es gibt viele Beispiele dafür, dass Menschen in realen Entscheidungssituationen gegen die Erwartungsnutzentheorie verstoßen. Welche der deskriptiven Theorien beschreibt menschliches h Entscheidungsverhalten nun jedoch am besten? In der Regel konzentrieren sich die deskriptiven Ansätze auf nur einen experimentellen Effekt (z.b. die Prospect-Theorie auf Framing-Effekte und die Regret-Theorie auf Intransitivitäten). 1. Keine der Theorien kann für den allgemeinen Fall als empirisch bestätigt angesehen werden. 2. Im Bereich extremer Wahrscheinlichkeiten schneiden Ansätze mit nichtlinearer Transformation der Wahrscheinlichkeiten besser ab als die Erwartungsnutzentheorie. Und selbstverständlich gilt: Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.3
96 Fazit (2) 3. Je mehr Parameter festzulegen sind, desto mehr empirische Datenmuster können erklärt werden. => Trade-off zwischen Sparsamkeit und Erklärungsgehalt einer Theorie Keine der deskriptiven Ansätze ist in der Lage, alle bisher beobachteten b t Widersprüche zur Erwartungsnutzentheorie in realen Entscheidungssituationen zu erklären. Obwohl insbesondere im Bereich extremer Wahrscheinlichkeiten die Erwartungsnutzentheorie von der Realität abweichende Ergebnisse liefern kann, ist diese Theorie zurzeit der Standardansatz zur Vorhersage menschlichen Entscheidungsverhaltens bei Unsicherheit. Sie ist daher auch die Grundlage für die Ableitung von Empfehlungen für reale Entscheidungssituationen. Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4.3
97 Literatur zu Abschnitt 4 (1) In Eisenführ/Weber/Langer (2010), Kapitel 14, Frank (2000), Kapitel 8, oder Laux/Gillenkirch/Schenk-Mathes (2012), Kapitel VI, findet man einen Überblick über typische menschliche Verhaltensweisen in Experimenten zu Individualentscheidungen sowie Darstellungen der theoretischen Ansätze. Literatur zur Experimentellen Ökonomik: Davis, D. D. und C. A. Holt (1993): Experimental Economics, Princeton, New Jersey, Kapitel 2 und 8. Kagel, H. J. und A. E. Roth (1995): Handbook of Experimental Economics, Princeton, New Jersey, Kapitel 8. Originalquellen zur Prospect-Theorie: Kahneman, D. und A. Tversky (1979): Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, in: Econometrica 47, S Tversky, A. und D. Kahneman (1992): Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty, in: Journal of Risk and Uncertainty 5, S Wakker, P. P. und A. Tversky (1993): An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory, in: Journal of Risk and Uncertainty 7, S Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4
98 Literatur zu Abschnitt 4 (2) Originalquellen zur Regrettheorie: Loomes, G. und R. Sugden (1982): Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty, Economic Journal, 92, Loomes, G. und R. Sugden (1987): Some Implications of a more Generalized Form of Regret Theory, Journal of Economic Theory, 41, Schenk-Mathes - WS 2011/ Abschnitt 4
Vorlesung 6: Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie
Vorlesung 6: Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 6 (FS 11) Alternativen zur Erwartungsnutzentheorie 1 / 21 1.
MehrProspect Theory. Agenda Inhalt 2. Entscheidungsnutzentheorie. 3. Prospect Theory 4. Quellen
Prospect Theory Inhaltsverzeichnis 2 Erwartungsnutzentheorie (1) (John von Neumann & Oskar Morgenstern - 1944) Dominantes Model in der Analyse von Entscheidungen unter Risiko Normatives Model Deskriptive
MehrÜbung zu Risiko und Versicherung Entscheidungstheoretische Grundlagen
Übung zu Risiko Entscheidungstheoretische Grundlagen Christoph Lex Dominik Lohmaier http://www.inriver.bwl.lmu.de Newsletter Auf der Homepage unter http://www.inriver.bwl.uni-muenchen.de/studium/sommer_04/bachelorveranstaltungen/risiko_und_versicherungen/index.html
MehrProf. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 38 Offene Fragen Warum ist ein ET bereit, für eine Feuerversicherung mit einer Versicherungshöhe von 1 Million und einer Jahreseintrittswahrscheinlichkeit
MehrVorlesung 5: Probleme der Erwartungsnutzentheorie
Vorlesung 5: Probleme der Erwartungsnutzentheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 1 / 24 1. Einleitung
MehrThema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie
Thema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie Rosa Lee Annette Weiß Miriam Hussein Mirco Lomb Inhalt 1. Einleitung 2. Entscheidungstheorie 3. Erwartungsnutzentheorie
MehrWichtige Informationen vorab
Wichtige Informationen vorab Wir haben eine Mailing Liste "Vorles- UebSS09Kapitalmarkt" eingerichtet. Über diese Mailingliste erhalten Sie in Zukunft die Vorlesungsunterlagen und die Übungsunterlagen.
MehrGrundzüge der. Kapitel 5 Mikroökonomie (Mikro I) Entscheidungen unter Unsicherheit
Grundzüge der Kapitel 5 Mikroökonomie (Mikro I) Entscheidungen unter Unsicherheit 1 BESCHREIBUNG VON RISIKO 2 Entscheidung unter Risiko Annahme: Wir kennen alle möglichen (sich gegenseitig ausschliessenden)
MehrFachbuchreihe für Studium Fortbildung Praxis. Rehkugler/Schindel. Entscheidungstheorie. Erklärung und Gestaltung betrieblicher Entscheidungen
Fachbuchreihe für Studium Fortbildung Praxis Rehkugler/Schindel Erklärung und Gestaltung betrieblicher Entscheidungen 3. Auflage, München 1986 53 INHALT Seite EINFÜHRUNG 11 1. Was ist? 11 2. Wege entscheidungstheoretischer
MehrRisiko und Versicherung - Übung
Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de
MehrBetriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie
Prof. Dr. Günter Sieben Prof. Dr. Thomas Schildbach Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 1990 Werner-Verlag Düsseldorf VII Inhaltsverzeichnis I. Begriffsbestimmung
MehrNutzenmessung. Geschichte, Paradoxien, Anomalien
Nutzenmessung. Geschichte, Paradoxien, Anomalien Grundlagen von Entscheidungs- und Spieltheorie 1. Die Anfänge: Glücksspiele 2. Petersburger Paradox 3. Messung subjektiven Nutzens nach Neumann-Morgenstern
MehrVorlesung 1: Einleitung
Vorlesung 1: Einleitung Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 1, FS 12 Einleitung 1/17 1.1 Motivation In der Vorlesung Intermediate Microecoomics haben
MehrÜbung zur Vorlesung Multiagentensysteme
Ludwig-Maximilians-Universität München SS 2007 Institut für Informatik Aufgabenblatt 1 Dr. Brandt / Fischer & Harrenstein 23. April 2007 Übung zur Vorlesung Multiagentensysteme Tutorübung: 25. April 2007
MehrVorlesung. Informationsökonomik und die Theorie der Firma
Vorlesung Informationsökonomik und die Theorie der Firma Ulrich Schwalbe Universität Hohenheim 3. Vorlesung 14.11.2007 Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 3. Vorlesung 14.11.2007
MehrÜberblick: Entscheidungstheoretische Konzepte Seminar Online-Optimierung Diana Balbus
Überblick: Entscheidungstheoretische Konzepte Seminar Online-Optimierung Diana Balbus Einleitung Ein Online-Algorithmus muss Ausgaben berechnen, ohne zukünftige Eingaben zu kennen. Für die Bewertung von
MehrGrundlagen. Entscheidung unter Risiko. Entscheidungstheoretische Grundlagen. Risiko oder Unsicherheit? Risiko: Fairer Würfel W, Entscheidung zwischen
Entscheidung unter Risiko Entscheidungstheoretische Grundlagen Ein Entscheider, seine Entscheidung betrifft nur ihn selbst, aber es gibt Risiko: Risikopräferenzen: Ein Eckpfeiler des Verhaltens (neben
MehrFinanzierung und Investition
Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 1/40 Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (2012) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, Kapitel 2 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Michael Havbro Faber 28.05.2009 1 Korrektur zur letzten Vorlesung Bsp. Fehlerfortpflanzung in einer Messung c B a 2 2 E c Var c a b A b 2 2 2 n h( x)
MehrLudwig-Maximilians-Universität Institut für Statistik. Statistische Herausforderungen sozialwissenschaftlicher Studien:
Ludwig-Maximilians-Universität Institut für Statistik Statistische Herausforderungen sozialwissenschaftlicher Studien: Framing Effekt (Vorbereitungsmaterial) Khac Phuoc Le Betreuer: Prof. Dr. Thomas Augustin
MehrNutzen-Kosten-Analyse
Nutzen-Kosten-Analyse von Dr. Horst Harnisch o. Professor für Volkswirtschaftslehre an der Universität Augsburg unter Mitarbeit von Dr. Peter Biene und Dr. Manfred Schlumberger Verlag Franz Vahlen München
MehrÜberschrift. Titel Prognosemethoden
Überschrift Prognosemethoden Überschrift Inhalt 1. Einleitung 2. Subjektive Planzahlenbestimmung 3. Extrapolierende Verfahren 3.1 Trendanalyse 3.2 Berücksichtigung von Zyklus und Saison 4. Kausale Prognosen
MehrEinführung in die Maximum Likelihood Methodik
in die Maximum Likelihood Methodik Thushyanthan Baskaran thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de Alfred Weber Institut Ruprecht Karls Universität Heidelberg Gliederung 1 2 3 4 2 / 31 Maximum Likelihood
MehrWie rational sind wir eigentlich? Die Grenzen des Homo oeconomicus
Wie rational sind wir eigentlich? Die Grenzen des Homo oeconomicus Sofie Waltl I. Homo oeconomicus In der neoklassischen Sichtweise der Volkswirtschaft basieren viele Modelle auf der Annahme, dass Menschen
MehrRationales Entscheiden
Franz Eisenfuhr Martin Weber Rationales Entscheiden Zweite, verbesserte Auflage Mit 92 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Inhaltsverzeichnis
Mehr2. Gesundheitsfinanzierung
2. Gesundheitsfinanzierung Inhalte dieses Abschnitts 2.1 Grundmodell der Versicherung Versicherungsmotiv Optimale Versicherungsnachfrage Aktuarisch faire und unfaire Prämien 145 2.1 Grundmodell der Versicherung
MehrRepetitorium zum Staatsexamen für Lehramtsstudenten. Informationswirtschaft & Planung und Entscheidung 30.05.2014 NB-201. Sommersemester 2014
Sommersemester 2014 Repetitorium zum Staatsexamen für Lehramtsstudenten Informationswirtschaft & Planung und Entscheidung 30.05.2014 NB-201 Lehrstuhl für ABWL und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. Alexandros
MehrNeue Institutionenökonomik, Aufgabe 18 Seite 1
Neue Institutionenökonomik, Aufgabe 18 Seite 1 Allgemeine Informationen zum Principal-Agent-Modell Es geht hier nun um die Vertragsausgestaltung zwischen dem Eigentümer (Prinzipal) einer Firma und dem
MehrZusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen
Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind
MehrP (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...
2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel
MehrKapitel VIII - Tests zum Niveau α
Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel VIII - Tests zum Niveau α Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh Testsituationen
MehrPartielle Informationen in Währungskrisenmodellen
Christian Bauer Partielle Informationen in Währungskrisenmodellen Verlag Dr. Kovac Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Entscheidungen und die Qualität von Informationen 7 1 Entscheidungstheoretische Einordnung
Mehr1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere
MehrDieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.
Die Riskoprämie ergibt sich also als ein Vielfaches der Varianz der zugrundeliegenden Unsicherheit Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.
MehrStatistische Tests für unbekannte Parameter
Konfidenzintervall Intervall, das den unbekannten Parameter der Verteilung mit vorgegebener Sicherheit überdeckt ('Genauigkeitsaussage' bzw. Zuverlässigkeit einer Punktschätzung) Statistischer Test Ja-Nein-Entscheidung
MehrGrundlegende Eigenschaften von Punktschätzern
Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur
MehrInvestitionsrechnung
Investitionsrechnung 14., neu bearbeitete und erweiterte Auflage Franz Eisenführ Unter Mitarbeit von Kristian Foit und Marc Kastner Kapitel 1 Einführung 1.1 Worum es geht 1 1.1.1 Der Begriff Investition"
MehrThema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie
Thema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie Seminararbeit eingereicht bei Prof. Dr. Klaus Peter Kaas Lehrstuhl für Marketing I, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
MehrBetriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie und Anwendung
Betriebswirtschaftliche Entscheidungstheorie und Anwendung Kapitel 5: Entscheidungen unter Risiko Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität
MehrRegression ein kleiner Rückblick. Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate
Regression ein kleiner Rückblick Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate 05.11.2009 Gliederung 1. Stochastische Abhängigkeit 2. Definition Zufallsvariable 3. Kennwerte 3.1 für
MehrStatistische Tests. Kapitel Grundbegriffe. Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe
Kapitel 4 Statistische Tests 4.1 Grundbegriffe Wir betrachten wieder ein parametrisches Modell {P θ : θ Θ} und eine zugehörige Zufallsstichprobe X 1,..., X n. Wir wollen nun die Beobachtung der X 1,...,
MehrThema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen. Sicht der Prospect Theory
Thema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Prospect Theory Seminararbeit eingereicht bei Prof. Dr. Klaus Peter Kaas Lehrstuhl für Marketing I, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
MehrStatistik II: Grundlagen und Definitionen der Statistik
Medien Institut : Grundlagen und Definitionen der Statistik Dr. Andreas Vlašić Medien Institut (0621) 52 67 44 vlasic@medien-institut.de Gliederung 1. Hintergrund: Entstehung der Statistik 2. Grundlagen
MehrMathematische und statistische Methoden II
Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike
MehrKurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/2010 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit
MehrZufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen
Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
MehrInhaltsverzeichnis. Vorwort
V Vorwort XI 1 Zum Gebrauch dieses Buches 1 1.1 Einführung 1 1.2 Der Text in den Kapiteln 1 1.3 Was Sie bei auftretenden Problemen tun sollten 2 1.4 Wichtig zu wissen 3 1.5 Zahlenbeispiele im Text 3 1.6
MehrGrundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.
MehrTeil: lineare Regression
Teil: lineare Regression 1 Einführung 2 Prüfung der Regressionsfunktion 3 Die Modellannahmen zur Durchführung einer linearen Regression 4 Dummyvariablen 1 Einführung o Eine statistische Methode um Zusammenhänge
Mehr1 Inhaltsverzeichnis. 1 Einführung...1
1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung...1 1.1 Arten der stochastischen Abhängigkeit...2 1.2 Wo kommen regressive Abhängigkeiten vor?...3 1.3 Hauptaufgaben von Regressionsmodellen...3 1.4 Wissenschaftstheoretische
MehrGeldpolitische Institutionen Teil 2. Steffen Ahrens Fakultät VII Geldtheorie- und Geldpolitik WS2013/2014
Geldpolitische Institutionen Teil 2 Steffen Ahrens Fakultät VII Geldtheorie- und Geldpolitik WS2013/2014 Gliederung: Teil 1: 1. Regelgebundene Geldpolitik Teil 2: 2. Delegation der Geldpolitik 3. Geldpolitik
MehrÜberblick. Einführung in die automatische Mustererkennung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundlagen Überblick Einführung in die automatische Mustererkennung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Klassifikation bei bekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung Entscheidungstheorie Bayes- Entscheidungsfunktionen
MehrZum Gebrauch der Lösungshinweise zu Klausuren
September 2011, Stand: 17.10.2011 1 Lösungshinweise und Lösungsskizzen zur Modulklausur FINANZIERUNGS- UND ENTSCHEIDUNGSTHEORETISCHE GRUNDLAGEN DER BETRIEBSWIRTSCHAFTSLEHRE (SS 2011) Zum Gebrauch der Lösungshinweise
MehrTesten von Hypothesen
Elke Warmuth Humboldt-Universität zu Berlin Sommersemster 2010 1 / 46 2 / 46 1 Testen von Hypothesen 3 / 46 Signifikant, signifikant, signifikant,... 4 / 46 Signifikant, signifikant, signifikant,... 5
MehrKurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur Einsendearbeit 2 (WS 2008/2009)
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2008/2009 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit
MehrKonfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert
Konfidenzintervalle Grundlegendes Prinzip Erwartungswert Bekannte Varianz Unbekannte Varianz Anteilswert Differenzen von Erwartungswert Anteilswert Beispiel für Konfidenzintervall Im Prinzip haben wir
MehrÜbung zum IS-LM Modell. Vorbereitet durch: Florian Bartholomae / Sebastian Jauch / Angelika Sachs
Übung zum IS-LM Modell (Blanchard-Illing Kapitel 5) Vorbereitet durch: Florian Bartholomae / Sebastian Jauch / Angelika Sachs Wahl des geldpolitischen Instrument Substanzielle Frage: Unter welchen Bedingungen
Mehr3. Selbstbehalt und Selbstbeteiligung
3. Selbstbehalt und Selbstbeteiligung Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Selbstbehalt und Selbstbeteiligung 1 / 16 1. Modellrahmen 1.1
MehrGrenzen des Homo Oeconomicus: Grundprinzipien menschlicher Entscheidungen
Grenzen des Homo Oeconomicus: Grundprinzipien menschlicher Entscheidungen Prof. Dr. Jörg Rieskamp Abteilung für Economic Psychology, Fakultät für Psychologie Universität Basel Das in der Wirtschaftstheorie
MehrAllgemeine Volkswirtschaftslehre I für WiMA und andere (AVWL I)
I WiMA und andere WS 007/08 Institut Wirtschaftswissenschaften www.mathematik.uni-ulm.de/wiwi/ . Grundzüge der Mikroökonomik WS 007/08.6 Theorie des Haushalts .6 Theorie des Haushalts WS 007/08 Haushaltstheorie
MehrKapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
MehrVertiefungsseminar Controlling Projektseminar experimentelle Forschung SS 2008
Vertiefungsseminar Controlling Projektseminar experimentelle Forschung SS 2008 1 Agenda Allgemeines zum Projekt-/Vertiefungsseminar Termine Hinweise zu den Präsentationen Hinweise zur schriftlichen Ausarbeitung
Mehr11. Nichtparametrische Tests
11. Nichtparametrische Tests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 In Kapitel 8 und 9 haben wir vorausgesetzt, daß die Beobachtungswerte normalverteilt sind. In diesem Fall kann
Mehr8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests
8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Beispiel. Sie wollen den durchschnittlichen Fruchtsaftgehalt eines bestimmten Orangennektars
MehrStatistik-Klausur vom
Statistik-Klausur vom 27.09.2010 Bearbeitungszeit: 60 Minuten Aufgabe 1 Ein international tätiges Unternehmen mit mehreren Niederlassungen in Deutschland und dem übrigen Europa hat seine überfälligen Forderungen
Mehr16 Risiko und Versicherungsmärkte
16 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. Kauf eines Lotterieloses Kauf einer Aktie Mitnahme eines Regenschirms Abschluss
MehrDer Markterfolg strukturierter Anlageprodukte in Deutschland. Erklärungsansätze aus Sicht der Behavioral Finance
Wirtschaft David Nicolaus Der Markterfolg strukturierter Anlageprodukte in Deutschland. Erklärungsansätze aus Sicht der Behavioral Finance Diplomarbeit DER MARKTERFOLG STRUKTURIERTER ANLAGEPRODUKTE IN
MehrÜberblick. Linguistische Anwendungen: æ Spracherkennung æ Textretrival æ probabilistische Grammatiken: z.b. Disambiguierung. Problem: woher Daten?
1 Überblick æ Beschreibende Statistik: Auswertung von Experimenten und Stichproben æ Wahrscheinlichkeitsrechnung: Schlüsse aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten, Hilfsmittel: Kombinatorik æ Beurteilende Statistik:
MehrThema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Prospect Theorie
Thema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Prospect Theorie Seminararbeit eingereicht bei Prof. Dr. Klaus Peter Kaas Lehrstuhl für Marketing I, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
MehrStatistische Tests zu ausgewählten Problemen
Einführung in die statistische Testtheorie Statistische Tests zu ausgewählten Problemen Teil 4: Nichtparametrische Tests Statistische Testtheorie IV Einführung Beschränkung auf nichtparametrische Testverfahren
Mehr6 Auktionstheorie. Private und gemeinsame Werte
6 Auktionstheorie Auktionen (i.e.s.): ein Verkäufer (Auktionator) bietet eine fixe Menge eines Gutes an, die durch einen der potentiellen Käufer (Bieter) gekauft wird Beispiele: Blumen, Antiquitäten, Kunst
MehrStatistik. Jan Müller
Statistik Jan Müller Skalenniveau Nominalskala: Diese Skala basiert auf einem Satz von qualitativen Attributen. Es existiert kein Kriterium, nach dem die Punkte einer nominal skalierten Variablen anzuordnen
MehrEs werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern
MehrThema 3: Wechselkursrisiko, Hedging und Spekulation
Thema 3: Wechselkursrisiko, Hedging und Spekulation Wechselkursrisiko: kommt in der Wahrscheinlichkeitsverteilung unsicherer zukünftiger Wechselkurse zum Ausdruck, durch die der Wertausweis (in Inlandswährung)
MehrENTSCHEIDUNGSTHEORIE Klausur vom Die Mindestpunktzahl zum Bestehen der Klausur beträgt 45 Punkte!
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Professur für Wirtschaftsmathematik Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Klausur vom 24.02.2006 Als Hilfsmittel sind neben Schreibmaterial zugelassen:
MehrThema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie
Thema Nr. 4: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Erwartungsnutzentheorie Seminararbeit eingereicht bei Prof. Dr. Klaus Peter Kaas Lehrstuhl für Marketing I, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
MehrThema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen. Sicht der Prospect Theorie
Thema Nr. 5: Versicherungsentscheidungen der Nachfrager aus Sicht der Prospect Theorie Seminararbeit eingereicht bei Prof. Dr. Klaus Peter Kaas Lehrstuhl für Marketing I, Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
MehrKAP 1. Normalform Definition Ein Spiel G in Normalform (auch: Strategieform) besteht aus den folgenden 3 Elementen:
1 KAP 1. Normalform Definition Ein Spiel G in Normalform (auch: Strategieform) besteht aus den folgenden 3 Elementen: 1. Einer Menge von Spielern i I = {1,..., i,...n} 2. Einem Strategienraum S i für jeden
MehrBasiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)
MehrDatenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp
Datenanalyse (PHY31) Herbstsemester 015 Olaf Steinkamp 36-J- olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
MehrBeurteilende Statistik
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten
MehrKombinatorische Spiele mit Zufallselementen
Kombinatorische Spiele mit Zufallselementen Die Realität ist nicht so streng determiniert wie rein kombinatorische Spiele. In vielen Situationen spielt der Zufall (Risko) eine nicht zu vernachlässigende
MehrVerfeinerungen des Bayesianischen Nash Gleichgewichts
Spieltheorie Sommersemester 007 Verfeinerungen des Bayesianischen Nash Gleichgewichts Das Bayesianische Nash Gleichgewicht für Spiele mit unvollständiger Information ist das Analogon zum Nash Gleichgewicht
MehrEin- und Zweistichprobentests
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: Ein- Zweistichprobentests Ein- Zweistichprobentests Worum geht es in diesem Modul? Wiederholung: allgemeines Ablaufschema eines Tests Allgemeine Voraussetzungen
MehrStatistik, Geostatistik
Geostatistik Statistik, Geostatistik Statistik Zusammenfassung von Methoden (Methodik), die sich mit der wahrscheinlichkeitsbezogenen Auswertung empirischer (d.h. beobachteter, gemessener) Daten befassen.
MehrMikroökonomik. Präferenzen, Indi erenzkurven und Nutzenfunktionen. Harald Wiese. Universität Leipzig
Mikroökonomik Präferenzen, Indi erenzkurven und Nutzenfunktionen Harald Wiese Universität Leipzig Harald Wiese (Universität Leipzig) Präferenzen, Indi erenzkurven und Nutzenfunktionen 1 / 33 Gliederung
MehrEinführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen
Einführung in die Induktive Statistik: Testen von Hypothesen Jan Gertheiss LMU München Sommersemester 2011 Vielen Dank an Christian Heumann für das Überlassen von TEX-Code! Testen: Einführung und Konzepte
MehrAnalyse von Querschnittsdaten. Signifikanztests I Basics
Analyse von Querschnittsdaten Signifikanztests I Basics Warum geht es in den folgenden Sitzungen? Kontinuierliche Variablen Generalisierung kategoriale Variablen Datum 13.10.2004 20.10.2004 27.10.2004
MehrDas Leben (k)ein Glücksspiel? Risikoentscheidungen (Entscheidungen unter Unsicherheit): Vorschau
Vorschau Das Leben (k)ein Glücksspiel? Oswald Huber Risikoentscheidungen Klassische Entscheidungstheorie: Lotterie-Paradigma Fokus auf Risikoentschärfung - wie entscheiden Menschen wirklich? Risikoentschärfung
Mehr15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben
MehrPrüfungsleistungen (Voraussetzungen für die Vergabe von Leistungspunkten)
Modulbeschreibung Code IV.3. Modulbezeichnung Operations Research (WiSe 2015/2016) Beitrag des Moduls zu den Studienzielen Qualifikationsziele (vgl. Leitfaden Punkt 3) Übergeordnetes Ziel des Moduls besteht
MehrInformatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,
MehrVorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 1: Organisatorisches, Inhalte der Vorlesung und Nutzentheorie
Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie Teil 1: Organisatorisches, Inhalte der Vorlesung Dr. Thomas Krieger Wintertrimester 2009 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 1 / 15 Organisatorisches
MehrAnregende, ergänzende Literatur:
Spieltheorie (Winter 2008/09) 1-1 Prof. Dr. Klaus M. Schmidt 1 Einführung Anregende, ergänzende Literatur: Schelling, Thomas C., The Strategy of Conflict, Cambridge (Mass.): Harvard University Press, 1960
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrAllgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II. Beispiel II. Beispiel I. Definition 6.3 (Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum)
Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume I Allgemeine diskrete Wahrscheinlichkeitsräume II Verallgemeinerung von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen: Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω endlich
MehrAngewandte Statistik 3. Semester
Angewandte Statistik 3. Semester Übung 5 Grundlagen der Statistik Übersicht Semester 1 Einführung ins SPSS Auswertung im SPSS anhand eines Beispieles Häufigkeitsauswertungen Grafiken Statistische Grundlagen
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Günther Bourier Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Praxisorientierte Einführung Mit Aufgaben und Lösungen 3. F überarbeitete Auflage GABLER Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis
Mehr