Lösungen Aufgabenblatt 12

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1 Ludwig Maximilians Universität München Fakultät ür Physik Lösungen Augabenblatt 12 Übungen E1 Mechanik WS 217/218 Dozent: Pro. Dr. Hermann Gaub Übungsleitung: Dr. Martin Benoit und Dr. Res Jöhr Verständnisragen i.) ideales Gas Die Gasteilchen haben kein Eigenvolumen, der Teilchenabstand ist sehr viel größer als die Teilchengröße, Wechselwirkungen werden nur durch elastische Stöße beschrieben (nicht durch Kräte zwischen den Teilchen), die Teilchen olgen einer statistischen Geschwindigkeitsverteilung (der sog. Maxwell-Boltzmann-Verteilung) ii.) lüssiges Wasser Schätzung des Abstandes: M(H 2 O) = 18u = 29, kg, 1l = 1dm 3 = 1 24 nm 3 Anzahl der Moleküle pro kg: = 3, kg 29, kg 1l Wasser wiegt ca. 1kg, in einem kg Wasser sind 3, Moleküle. Nun teilen wir das Volumen in Würel um die einzelnen Atome au: 1 24 nm 3 3, =, 29nm 3 a = 3, 29nm 3 =, 31nm Der Abstand ist also nur unwesentlich größer als die Teilchengröße (r W asser =, 14nm) Teilchen wechselwirken auch ohne Stöße (Dipole), Teilchengröße ist nicht viel kleiner als Teilchenabstand iii.) Wellenarten Bei Longitudinalwellen indet die Schwingung in der Richtung statt, in die sich die Welle bewegt. Bsp.: Schall in Lut, Flüssigkeiten oder Festkörpern. Transversalwellen bewegen sich in eine Richtung senkrecht zur in ihnen stattindenden Oszillation. Bsp.: Saiten, Elektromagnetische Wellen, transvers. Wellen in Festkörpern. iv.) Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Mit der Phasengeschwindigkeit breiten sich Orte gleicher Phase in einer Welle aus. v ph = ω/k = λ/ Ist eine Welle eine Überlagerung mehrerer verschiedener Wellen, so besitzen diese auch verschiedene Phasengeschwindigkeiten. Die Gruppengeschwindigkeit ist dann die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Einhüllenden, gegeben als v gr = dω(k) dk = d(v phk) dk = v ph + dv ph dk k. Für v ph = 2π mit dk = d dk ( 2π k ) = 2π k 2 gilt: 1

2 Augabe 1 Gasballon v gr = v ph + dv ph dk k = v ph dv ph 2π k = 2π 1 2 2π = 1 2 2π = 1 2 v ph. a) Boyle-Mariotte: p V = p max und p max = p V. Wegen konstanter Temperatur gilt Boyle Mariotte und wir verwenden die daraus abgeleitete Barometrische Höhenormel: p(h) = p e ρ gh Lut p V p max = p = p e ρ Lut gh prall p h prall = p ρ Lut g ln V = p ρ Lut g ln V b) Maximale Höhe bei F Autrieb = F G (Dichte der Lut nimmt ab) und es muss gelten: ρ Lut e ρ Lut ghmax p g = (m B + m N + ρ Gas V )g Da kein Gasaustausch stattindet, bleibt die Masse des im Ballon enthaltenen Gases konstant. Die Autriebskrat berechnet sich aus der Gewichtskrat der verdrängten Lut, deren Dichte olgt derselben Höhenormel wie der Druck: c) durch Substitution von Nullsetzen ergibt sich v = h max = p ρ Lut g ln ρ V Lut max m B + m N + ρ Gas V m 2k B T 2k B T m. = a wird (v) = 4 π a 3 2 v 2 e av2. Durch Ableiten nach v und d) v = v (v)dv = 4 π a 3 2 v 3 e av2 dv = 4 a 3 a 2 2 π 2 = 8kB T πm e) Da wir annahmen T sei konstant gilt Nk B T = p V = p max. Für alle Höhen ist die nur von der Temperatur abhängige Geschwindigkeitsverteilung identisch, also ist v h /v hmax = 1. Augabe 2 Doppler Eekt a) Der Student hört die Frequenz = 1+ u v Es olgt u = v( 1) = 34 m s Diese Geschwindigkeit wird erreicht in der Zeit t = u g = 3, 47s, in der die Stimmgabel 58, 9m tie ällt. Bis der Student den Schall hören kann, muss dieser den Weg durch den Auzugschacht nach oben zurücklegen. Die dazu benötigte Zeit ist t = 58,9m 34 m =, 173s. Also hört er 3, 64s nach dem s Loslassen die Frequenz 4Hz. In dieser Zeit ist die Stimmgabel 65, m tie geallen. b) i.) Für einen ruhenden Beobachter (b) gilt bei einer au ihn zu bewegenden Signalquelle (z): b = z 1 vz c 2

3 wobei z die ausgesandte Frequenz der Signalquelle und c die Schallgeschwindigkeit ist. Enternt sich die Signalquelle gilt: Daraus olgt: z = b (1 vz c ) 1 vz c b = b 1+ vz c b (1 + vz c ) = b(1 vz c ) v zc ( b + b) = b b v z = c b b b + b = 34 m s 16Hz 16Hz = 34 m s Der Zug bewegt sich mit 34 m s bzw. 122, 4 km h. z b = 1 + vz c ii.) Sind sowohl Beobachter (b) als auch Signalquelle (z) in Bewegung und bewegen sich diese voneinander weg gilt: b = 1 v b c z 1 + vz c m 3.6 s c v b = z = 792Hz 34 m s 5 c + v z 34 m s + 34 m s = 792Hz m s 374 m s 691Hz. Augabe 3 Töne in einer Glaslasche a) i.) Der geönete Flaschenboden stellt ür die wellenörmige Teilchenbewegung ein oenes Ende dar, die Welle wird also ohne Phasensprung (φ = ) aber mit umgekehrter Wellenzahl k relektiert. Mit dem Additionstheorem sin(α) ± sin(β) = 2 sin( 1 2 (α ± β)) cos( 1 2 (α β)) gilt: ψ(x, t) = ψ sin(kx + ωt) + ψ sin( kx + ωt + φ) = 2ψ sin(ωt) cos(kx). Dies entspricht einer stehenden Welle. Nun sind beide Flaschenönungen oene Enden, die Teilchengeschwindigkeit weist in beiden Fällen Schwingungsbäuche au. Der Kosinus-Term stellt die Einhüllende der Schwingung dar, er muss ür x = und x = L also 1 oder -1 sein. Im ersten Fall ist dies stets erüllt, im zweiten ührt die Bedingung au: kl = nπ n = ω 2π = ck 2π = nc, n N. ii.) Ist der Flaschenboden geschlossen, so beindet sich dort ein estes Ende ür die Teilchenbewegung. Die Welle wird dort mit Phasensprung φ = π relektiert, was ihr Vorzeichen umdreht. Das Additionstheorem lieert ür die überlagerte Welle: ψ(x, t) = ψ sin(kx + ωt) ψ sin( kx + ωt) = 2ψ sin(kx) cos(ωt). Dies ist eine stehende Welle mit einem Schwingungsknoten bei x =, was der Tatsache entspricht, dass es direkt am Flaschenboden keine Teilchenbewegung gibt. Bei x = L liegt wie in i.) ein oenes Ende und somit ein Schwingunsbauch, d.h. der Sinusterm muss dort 1 oder -1 annehmen. Dies ührt au die Resonanzrequenzen: kl = (n 1/2)π n = ω 2π = ck 2π (n 1/2)c =, n N. b) An der Flaschenönung liegt ein Schwingungsbauch der Teilchengeschwindigkeit, am Flaschenboden ein Bauch bei i.) und ein Knoten bei ii.) 3

4 Für den Druck gelten genau umgekehrte Randbedingungen: An Önungen entspricht er stets dem Aussendruck, dort liegen also Schwingungsknoten. Am geschlossenen Flaschenboden kann er seine Maximalwerte annehmen, dort liegt ein Schwingungsbauch. Dies sind die Verläue von Druck und Geschwindigkeit bei den zwei niedrigsten Resonanzrequenzen: c) Durch Füllen der Flasche mit Wasser lässt sich die Länge der Lutsäule anpassen, sodass 1 = (1 1/2)c = c 4L Die daür benötigte Menge Wasser berechnet sich als: Augabe 4 Gitarrenkonzert! = 44Hz L Lut = c = λ V H2 O = AL H2 = πr 2 (L L Lut ) = 839ml. = 19, 3cm. a) An beiden Enden sind die Saiten est eingespannt, dort liegen also jeweils Schwingungsknoten. Zur Ausbildung von stehenden Wellen au den Saiten muss deren Länge also ein Vielaches der halben Wellenlänge sein, womit gilt: L = nλ 2 = v ph/λ = nv ph. Für den Grundton wählen wir n = 1, die Längendichte entspricht dem Produkt aus Dichte und Querschnitsläche da letztere konstant ist: = v F ph F/µ = = πr 2 ρ = 114Hz. b) Wir wählen zur Darstellung der Welle y(x, t) = y sin(kx) cos(ωt), wobei im von x abhängigen Term nur der Sinus die Randbedingungen y() = y(l) = erüllt, der von t abhängige Term kann auch mit einem Sinus geschrieben werden. Für ein Teilstück berechnet sich die Energie de nach der bekannten Formel E = 1/2mv 2 : de = 1 2 dmv2 = 1 2 dmẏ2 = 1 2 ρπr2ẏ2 dx = 1 2 ρπr2 ω 2 y 2 sin 2 (ωt) sin 2 (kx)dx. Gemittelt über die Zeit geht sin 2 (ωt) gegen 1/2. Aus (a) olgt: ω = 2π = πv ph /L 4

5 k = ω/v ph = π/l sin 2 (πx/l)dx = womit ür die Energie der gesamten Saite gilt: E = de = 1/2dx = L/2, 1 4 ρπr2 ω 2 y 2 sin 2 (kx)dx = 1 4L 2 ρπr2 π 2 v 2 ph y2 sin 2 (πx/l)dx E = ρπr2 Lπ 2 v 2 ph y2 8L 2 = Mπ2 v 2 ph y2 8L 2. c) Es kommt abwechselnd zu destruktiver und konstruktiver Intererenz: Die Lautstärke wechselt also zwischen und einem Maximalwert. Dieser kommt dann zustande, wenn die Wellen von beiden Gitarren mit einem Phasenunterschied intererieren, der ein geradzahliges Vielaches von π ist, beim Minimum dagegen ein ungeradzahliges Vielaches von π. Daraus olgt ür den Weglängenunterschied: x = φ k = c φ ω = 2πnc 2π = nc = (3n)m, n N x 1 =, 5m, x 2 = 2m, x 3 = 3, 5m. Damit kommt es an genau drei Orten zwischen den Spielern zu einer maximalen Lautstärke: Jeweils in einem Abstand von, 5m von jedem Spieler und in der Mitte, da dort der Phasenunterschied bzw. 2π ist. d) Im realen Experiment muss berücksichtigt werden, dass die von den Gitarren ausgesandten Wellen nicht kohärent sind: Sie weisen eine in der Zeit veränderliche Phasenverschiebung zueinander au, womit Intererenzeekte verringert werden oder sogar ganz verschwinden. Außerdem müssen auch Relexionen an den Wänden berücksichtigt werden: Dadurch kommen an den vermeintlichen Orten mit Intererenz auch Schallwellen mit anderen Weglängen an. Es wird also in der Realität keine Orte geben, an denen die Amplitude ganz verschwindet, und ebenso wird die konstruktive Intererenz die Amplitude nirgendwo verdoppeln. 5