Festlegung: nicht-materielle Modellklassen. 10 Kontinuierliche Simulation - Eine Skizze

Transkript

1 Eine Skizze Erinnerung: Abschnie Sysem Menge Objeke, je mi Aribuen, mi Zusammenhängen / Abhängigkeien von Objeken (bzw Aribuen) Sysemanalyiker ineressier an Einfluß von konrollierbaren + unkonrollierbaren (Einfluß-)Größen (C + U) auf beobachbare (Auswirkungs-)Größen (P) in Form von Funkion oder Relaion f: (W C,W U ) W P f W C W U W P als Basis von Beureilungs- ("Güe"-) Krierien V = {v i }, welche aus Beobachungsgrößen errechenbar v i = g i (w P ) i=1,2,,n Verfolgung der Aufgabe ("Technik") mihilfe von Modell Ersazsysem - einfacher zu handhaben als Sysem - Einflüsse Auswirkungen ("f") reproduzierend (dami nowendig Zweck/Ziel - abhängig) Feslegung: nich-maerielle Modellklassen darin - closed bo (black bo) - Modelle: nur (C,U) P - Zusammenhang beschreibend - open bo (whie bo) - Modelle: Mechanik / Zusandekommen des (C,U) P - Zusammenhangs beschreibend weiere Ineressenseingrenzung: dynamische Modelle / Syseme - closed bo: zeiabhängiger Verlauf von Einflüssen und Auswirkungen - open bo: zeiabhängige Mechanik über Zusand ("variier über der Zei") dabei Charakerisierung zei- / zusands- diskreer / koninuierlicher Syseme / Modelle als Berachungsenscheidung ("Zweck / Ziel") s. Bild und (eklusive) Konzenraion auf: ereignisorieniere Modelle / Syseme - zusandsdiskre oder zusandskoninuierlich - zeikoninuierlich, aber mi "sprunghafen" Zusandsänderungen zu Zei-Punken (in "verschwindender" Zei) Simulaion Simulaion zusandsdiskre zusandsdiskre Beispiele von Sysemen / Modellen / Analysen ( Simulaionen) "am anderen Ende": zusandskoninuierlich Bild : zei- / zusands- diskree / koninuierliche Trajekorien Ereignisorienierhei zeidiskre zeidiskre - is (simulaions-) effiziene Vorsellung - räg auch "ein Sück wei" in Richung zusands-/zei-koninuierlicher Syseme - versag aber "im allgemeinen" für lezere zusandskoninuierlich zeikoninuierlich zeikoninuierlich Beispiel : Häuser und Klimaanlagen Annahmen: Bau / Verkauf von Häusern (in Bereich) proporional zu H (=cons) Zahl Familien ohne Haus, mi Hauswunsch formale Fassung: y() bis (sei =0) gebaue Häuser dy() d kurz auch = k 1 H y() y(0) = 0 y() = k 1 H y() y(0) = 0 y = k 1 H y y = 0 für = 0 weier angenommen: Verkauf von Klimaanlagen proporional zu neugebauen Häusern ohne Klimaanlage (alle alen haben schon, alle neuen wollen) formale Fassung: () bis (sei =0) verkaufe Klimaanlagen = k 2 y = 0 für = 0 Sysem von Differenialgleichungen beschreib (), y()-verlauf in diesem Fall eplizi lösbar ( Funkionen (), y() ) Simulaion Simulaion

2 Erahner Verlauf (zei- + zusandskoninuierliche Trajekorien): H y() (Häuser) () (Klimaanlagen) y() () poenieller Mark 0 (Zei) In kompleeren Fällen zb Markgrenze H nich konsan wg Populaionswachsum ökonomischen Bedingungen zb Proporionaliäskoeffizienen nich konsan wg markeing-kampagnen Konkurrenzmärken (Miewohnungen, ) - eplizie Lösbarkei uu nich gegeben (auch: Kennnisproblem!) - "Simulaion" vorsellbar ("nur wenns nich anders geh"!) Typ der DGl: - "gewöhnlich": Ableiungen ausschließlich nach einer (der unabhängigen) Variablen "Zei" sons: + parielle Ableiungen, of: "Raum" - "linear": unabh.var + Ableiungen nur 1. Poenz, keine Produke (Variablen, Ableiungen) - "1. Ordnung": (höchse) Ableiungen 1. Ordnung - "mi konsanen Koeffizienen" sons: zeiabhängige Koeffizienen Verfolgung des Zusands über der Zei, durch Imiaion (zusandsabhängiger) Zusandswechsel, gemäß "Dynamik" des Sysems ( D'Gl-Sysem! ) - Typische Mehode: (sogar nowendigerweise: Im Digialrechner prinzipiell Zusand + Zei nur diskre änderbar): Sa nun koninuierlicher Zei diskree Zei berache (hier:) eplizie Lösung verfügbar: y() = H 1 e k 1 Simulaion Simulaion (Zei) - (ensprechend:) Veränderung im Inervall ( i, i+1 ) gemäß i+1 = i + k 2 (y i - i ) diskree Zei mi Zeipunken 0, 1,, i = i-1 +( ) i, wo of (nich nowendig) ( ) i und sa nun Zusänden zu koninuierlicher Zei Zusände zu diskreen Zeipunken ermiel (zb) durch Feshalen (Konsanz) der Zusandsänderungs"raen" ("Ableiungen") über ( i, i+1 )-Inervallen Diskreisierung von Differenialgleichungssysem zu Differenzengleichungssysem - und Simulaionsvorgang insgesam: Iniialisierung: y 0 = 0 y 0 = k 1 H 0 = 0 0 = 0 Ieraion i=1,2, : y i = i = y i = i = - und "asächlich verfolge" Trajekorien: H y() (Häuser) () (Klimaanlagen) y() () poenieller Mark Im Beispiel: - Veränderung y im Inervall ( i, i+1 ) y i = cons i mi (zb) Wahl von cons i "wie zu Anfang des Inervalls" cons i = k 1 (H-y i ) und folglich y i+1 = y i + cons i = y i + k 1 (H-y i ) 0 (Zei) naürlich nur "Approimaion"! Enwickel: (sehr einfache) Mehode der numerischen Inegraion Es gib bessere (genauere) Mehoden (s. späer) Simulaion Simulaion

3 Beispiel : Rad-Auslenkung (verikal) Annahmen: Auomobil in Bewegung (bewegungs- ) zeiabhängige Krafeinwirkung auf Rad Rad mi Masse m Radauslenkung verikal gedämpf durch Feder, Federkonsane f Soßdämpfer, Dämpfungskonsane d Skizze f physikalische mahemaische Geseze Weg / Geschwindiglei / Beschleunigung Kraf = Masse Beschleunigung d E() Chassis : Auslenkung Chassis-Radmie Rad E() Kräfe - eerne "Sörung": E() - Federkraf, Annahme: proporional Auslenkung -f () - Dämpfung, Annahme: proporional Geschwindigkei -d () E() f () d () = m () m + d + f = E() lineare Differenialgleichung 2. Ordnung mi konsanen Koeffizienen ggf, abhängig von E(), eplizi lösbar Anfangsbedingungen, (0), (0), erforderlich () "gedämpfe Schwingung" in kompleeren Fällen: koninuierliche Simulaion einfacher Zugang (analog Bsp ): - Einführung "Zusandsgrößen" (Ableiungen, i.vgl. zu Vorkapieln "künslich") 0 := 1 := - liefer DGl-Sysem 1. Ordnung 0 = 1 1 = 1 m E() f 0 d 1 welches über der Zei "schriweise" vefolgbar Simulaion Simulaion Beispiel : Elekrischer Schwingkreis Annahmen: Elekrisches Nezwerk, Reihenschalung aus - Ohmscher Widersand R - Spule Indukiviä L - Kondensaor Kapaziä C + zeiabhängige (Spannungs-)Anregung E() Skizze lineare Differenialgleichung 2. Ordnung mi konsanen Koeffizienen ggf, abhängig von E(), eplizi lösbar Anfangsbedingungen, q(0), q (0), erforderlich q() "gedämpfe Schwingung" in kompleeren Fällen: koninuierliche Simulaion aber auch weierer Weg zur Lösung aufscheinend: - DGl formal idenisch zu jener aus Beispiel !! E() i R L C - elekrischer Schalkreis (auch allgemeinere) "am Laborplaz" aufbaubar bereibbar beobachbar / meßbar Lösung q() aufzeichenbar - Lösung auf mechanische Problem überragbar!! physikalische mahemaische Geseze ehemals brei eingesez: Analogrechner Kirchhoffsche Geseze Spannung / Srom an Schalelemenen mi Ladung des Kondensaors q() ergib sich Zusammenhang: ensprechend DGl (-Sysem) "analoges Modell" zusammengeschalee Menge von (Grund-)Elemenen LC q + RC q + q = E() Simulaion Simulaion

4 Grund-Schalungs-Elemene Analogrechner - Inegraoren (Signalinegraion über der Zei) - Skalierer (Muliplikaion mi Fakor) - Addierer (Addiion) - Inverer (Signalumkehr) - Blockschalbilder (aus Schalungselemenen) ensprechend DGl (Modell) Rezep: - Auflösung DGl (aller DGl eines DGl-Sysems) nach (jeweils) höchser Ableiung - Blockschalbild zeichnen (abzeichnen) Analogrechner / Blockdiagramm auch "für sich" brauchbar als Beschreibung siehe 10.1 erreich Genauigkeien ca 10-3, uu 10-3 (als Hinweis auf erforderliche Präzision "ungenauer" numerischer Inegraion) im Beispiel Radauslenkung wird aus m + d + f = E() aufgelös = 1 m E() d f Schalungssymbole (nich völlig einheilich) Schalung für E() f d Inegraor - Inverer m 1/m = 1 m E() d f Bild : Schalung DGl Radauslenkung Insgesam genauer zu berachen d f - Beschreibungsmiel für Spezifikaion koninuierlicher Simulaoren Lösungsverfahren bei Diskreisierung und numerischer Inegraion k Skalierer Addierer Simulaion Simulaion Spezifikaion von koninuierlichen Modellen Modellformulierung "sare" daher Beschreibungsmiel allgemein, an berücksichige Gleichungsformen angepaß: lineare, nichlineare, gewöhnliche, parielle, DGl + DGl-Syseme an Nuzungsbereich / Benuzerkreis angepaß (Erinnerung: "Szenario") sozio-ökonom., echnischer, medizinischer, Bereich Konzenraion (hier) - ypischerweise bei mahemaischer Formulierung - welche nowendigerweise auf "echnischem" Versändnis zu analysierenden Sysems beruh (zb Mechanik, Regelungsechnik,, BWL) Verschiedene iniiale Modell"formen", (sowei vollsändig formalisier:) unereinander gleichwerig Es gib (eilformalisiere) "Vorsufen", zb Wirkungsdiagramme sellen prinzipielle Anhängigkeien / Einflüsse dar auf Syseme - gewöhnlicher Differenialgleichungen auf wenige Nuzungsbereiche - nur beispielhaf Im Gegensaz zu ereignisorienieren Sysemen biee klassische Mahemaik (Analysis) für zei-/zusands-koninuierliche Syseme - ausgearbeiee Beschreibungsechniken - ausgefeile Lösungs-Kalküle (ggf hinsichlich eplizier Lösungen versagend: Ausweg: Simulaion) im Bsp (hier bis auf weieres genuz) Masse Beschleunigung Geschwindigkei Auslenkung - Beschleunigungskraf Dämpferkraf Dämpfungskonsane eerne Kraf - Federkraf Federkonsane Simulaion Simulaion

5 voll formalisiere Formen gewöhnliche lineare DGl n.ordnung ("wie gehab", nich immer erreichbar) m + d + f = E() Syem linearer DGl 1.Ordnung ("allgemein", für Analyse sehr angenehm) über Einführung von "Zusandsvariablen", ensprechend spezifischen Bezeichnern - für "eigenliche" abhängige Variablen - für deren Ableiungen nach der Zei Sysem von Inegralgleichungen ("allgemein", Ensprechung Blockdiagramm) durch formale Inegraion des DGl-Sysems 1. Ordnung 0 := 1 1 := 1 m E() d 1 f 0 0 = 1 = 1 m 1 d 0 E() d 0 m d 1 d 0 m f 0 d 0 im Bsp: - 1 abh. Variable, Ordnung 2 2 Zusandsvariable 0, 1 0 := 1 := Blockdiagramm (verschiedene Ausprägungen) dem Inegralgleichungssysem (bzw Sysem DGl 1.Ordnung) of "direk" formulier ensprechend, - Sysem von DGl 1.Ordnung 0 = 1 1 = 1 m E() d 1 f 0 erse Gleichung(en) per def leze Gleichung gemäß DGl n.ordnung E 1/m ADD -d/m -f/m 10 1 INT 00 0 INT vgl auch Bild Simulaion Simulaion Programmsprache BEISPIEL DYNAMO (eine Möglichkei naürlich: in beliebiger HLL ausprogrammieren, incl eplizier Programmierung Lösungsverfahren) diverse Ansäze von Sprachen: - deklaraiv als Differenzengleichungssysem, - uu incl Lösungsverfahren, - direk vom DGl-Sysem beschl = (E - d*geschw - f*auslenk)/masse geschw = geschw + DELTA*beschl auslenk = auslenk + DELTA*geschw "Reihenfolge" der Anweisungen wesenlich "problemangepaße" Formulierungen lehnen sich an "passende" obiger Alernaiven an große Szenario-Bereiche - sozio-ökonomische Probleme (vgl Beispiel DYNAMO) - echnische Probleme (vgl Beispiel CSMP) - biologisch / medizinische Probleme (vgl Beispiele) - enwickel im Zusammenspiel mi Forreser's Sysem / Indusrial / Urban / World Dynamics aufgrund brei diskuierer (Wel-)Modelle mi berächlicher Bekannhei "Club of Rome" Fähigkeien / Modellypen (im Vergleich) eher begrenz: Syseme linearer DGl 1.Ordnung aber Schwergewich (beabsichigerweise) eher bei Prinzip von Wechselwirkungen als bei quaniaiven Zusammenhängen Modellspezifikaion auf 2 Ebenen - spezielle blockorieniere Graphik nich voll formalisier: à la Wirkungsdiagramme führe zur hohen Arakiviä des " " Dynamics Ansazes - sprachliche Noaion, FORTRAN-basier, deklaraiv, mi speziellen Noaionshilfen für Differenzen-Gl-Syseme Zei srukurier in 3 Zeipunke (+ 2 Zeiinervalle) vorher: J jez: K nachher: L dazwischen: JK bzw KL J JK DT K KL DT DT konsan, Nuzer-gesez L Zei Simulaion Simulaion

6 Symbole der DYNAMO-Diagramme: Quelle bzw Senke level (Niveau):Zusandsvariable - Verwendungsbeispiel am Beispiel : Häuser: y() + Klimaanlagen: () DGl-Sysem war y = k 1 H y y = 0 für = 0 = k 2 y = 0 für = 0 rae (Veränderungsrae) auiliary (Hilfsvariable) consan (Konsane) - zugehöriges DYNAMO-Diagramm H y flow (Veränderungsfluß) cause-and-effec (Einwirkung) k 1 siehe Beispiel - Synaprinzip DYNAMO-Programme: L R y.k = y.j + (DT)(yrae.JK) yrae.kl = (k1)(h-y.k) Kennung Gleichungsyp (L: level, R: rae) bei level Bezug auf Zeipunk bei rae Bezug auf Zeiinervall ( Sorierungsproblem beseiig) siehe Beispiel k 2 - zugehöriger Ausschni aus DYNAMO-Programm: L y.k = y.j + (DT)(yrae.JK) L.K =.J + (DT)(rae.JK) R yrae.kl = (k1)(h-y.k) R rae.kl = (k2)(y.k-.k) Simulaion Simulaion BEISPIEL CSMP eine von vielen Coninuous Sysem Simulaion Languages (CSSLs) des echnischen Bereichs diese idr deulich mächiger als (zb) DYNAMO hisorisch bedeusam, hier wegen "ypischen" Ansazes skizzier, FORTRAN-gepräg folg den Ideen - Nuzung von Zusandsvariablen in Sandard-Noaion:, do, 2do - in deklaraiver Formulierung auf Basis Inegralgleichungssysem mi Noaion: = INTGRL(ini,do) - uner inerner Sezung Lösungsverfahren CSMP unerscheide "saemen"-typen - srukurelle saemens definieren "eigenliches" Modell - Daen-saemens sezen Were für Parameer, Konsanen, ini-bedingungen - Seuerungs-saemens besimmen Übersezung, Ausführung, Ausgaben CSMP-Fassung Bsp (mi Kommenaren { } nich in CSMP-Syna) ile radauslenkung * param d = (5.61,11.82, ) {Lise Were} * 2do = (1.0/m) * (e - d*do - f*) do = INTGRL(0.0,2do){Iniialwer 0} = INTGRL(0.0,do) {Iniialwer 0} * cons m=2.0,e=1.0,f=400.0 {e. Kraf cons} imer del=0.005,finim=1.5, {Diskreisierung, Abbruch, } prin,do,2do {Ausgaben} {Ausgabenforma} end heue gebräuchliche Spezifikaionen - rein sprachliche: rech ähnlich CSMP (zb ACSL, DARE, DESIRE, ) - Beonung Blockdagrammdenken (dann: problemangepaße Blockypen häufig Regelungsechnik zb SIMULINK, ) - auch in direker Übersezung aus Graphik - widmen sich vermehr der Modellsrukurierung (vgl analoge Überlegungen bei ereignisorien. Simulaion) vgl Speziallieraur Simulaion Simulaion

7 BEISPIELBEREICH ÖKOSYSTEME BEISPIELBEREICH MEDIZIN Beispiel "Wire - Parasien" Wirkungsschema ( Wirkungsdiagramm) parasiäre Inseke legen Eier in Larven von Wiren Parasien, Wire Parasien, Wire mi W: Zahl Wire P: Zahl Parasien G: Geburenüberschuß Wire (bei normaler Serberae) B: Befallskoeffizien Wire S: Serbequoe Parasien ergib sich "erses" Modell BEISPIELBEREICH BIOMECHANIK mi sehr unerschiedlichen "Verzweigungen": Proheik Roboer W =W (G B P) P =P (B W S) ua "Pharmakakineik" (Dynamik der Arzneimielvereilung) mi ypischen Komparimens-Modellen (Organismus in "Komparimene" aufgeeil) je Komparimen Gleichung des Typs Konzenraionsveränderung = Zufuhr -Abgabe Abgabe proporional Konzenraion für Komparimen i: + Kopplung der Gleichungen "gemäß Srukur Organismus" DGl-Sysem Ausschni: U Medikamenenzufuhr nochmals: X i = Z i k X i k 12 X 1 k 2. X 2 i=1 i=2 gasroinesinaler Trak Blubahn Blockdiagramme / Graphiken offensichlich an Anwendungsbereich anzulehnen! Simulaion Simulaion Numerische Inegraionsmehoden "angerissen" Zu lösen sei zb: dy/d = f(,y) für uns immer dh zu lösen (implizie Gleichung): y = y 0 + f(,y) d 0 mi Anfangsbedingungen = 0, y = y 0 Unsere Lösungs-Ahnung ("numerische Inegraion") war - unabhängige Variable diskreisieren n = 0 +n n=1,2, - Teilinegrale bilden pro -Inervall auf Basis konsaner Seigung ("Rae") uner Verwendung der Anfangsseigung is bekann als Euler-Inegraion ("wir waren nich die ersen") is "Einschriverfahren", (Mehrschriverfahren: "predicor-correcor" versuchen Verbesserung) is Runge-Kua-Verfahren 1.Ordnung (RK höherer Ordnung ua versuchen Verbesserung) Euler-Inegraion algorihmisch für "Anfangswerproblem" dy/d = f(,y) Anfangsbedingungen = 0, y=y 0 - berachee Zeipunke n = 0 +n n=1,2, - Iniialisierung = 0 y=y 0 y 0 ' = f( 0,y 0 ) - 1. Schri 1 = 0 + y 1 = y 0 + y 0 ' = f( 0,y 0 ) y 1 ' = f( 1,y 1 ) - 2. Schri 2 = 1 + y 2 = y 1 + y 1 ' = f( 1,y 1 ) y 2 ' = f( 2,y 2 ) - Idee von Verfahren seigender Genauigkei (ua Runge-Kua) lieg in Taylor-Reihen-Enwicklung von y() an Süzpunken n und y( + ) = y() + y() y() n! n y (n) () + O( n+1 ) Ermilung der "nächsen" Veränderung y so daß y n+1 = y n + y Simulaion Simulaion

8 falls y (1) (), y (2) (),, y (n) () bekann, lieg unmielbar Approimaionsverfahren "n. Ordnung" vor Beispiel Runge-Kua 2.Ordnung (Euler-Cauchy / Heun) falls Ableiungen nich / nur für niedrige Ordnungen bekann, müssen höhere Ableiungen numerisch ermiel werden (im vorliegenden Fall nur 1.Ableiung eak bekann) zwangsläufig erforderlich: - bei Verfahren n.ordnung - mi k<n eak bekannen Ableiungen - n-k zusäzliche Funkionsberechnungen f(,y) für numerische Ableiungsberechnung (im vorliegenden Fall für Verfahren 2.Ordnung 1 Berechng) zusäzliche Punke + Verwendung derar daß n erse Glieder Taylor-Enwicklung eak reproduzier (falls vorliegendes Problem Polynom n.ordnung, dann is Verfahren eak) Viele Verfahren! Skizze vgl späer Vergleichspunke - Sabiliä - Genauigkei - Effizienz breie Lieraur bei zu verwendenden Paleen / ools auf Spekrum implemenierer Verfahren achen y k 2 n Verfahren k 1 - bei vollem Euler-Schri ergäbe sich ( y=) k 1 = y n ' = f( n,y n ) - Seigung im erreichen Punk f( n +, y n +k 1 ) - bei dieser Seigung ergäbe sich ( y=) k 2 = f( n +, y n +k 1 ) - verwende wird y = 1/2 (k 1 + k 2 ) dh y n+1 = y n + 1/2 (k 1 + k 2 ) n+1 = n + Simulaion Simulaion Konsrukion Runge-Kua-Verfahren höherer Ordnung - aufwendig - mi jeweils mehreren Lösungen / Ergebnissen viel gebrauch Runge-Kua 4.Ordnung häufigse Varianen sind und y n+1 = y n + k k k k 4 6 k 1 = f( n,y n ) k 2 = f( n + 2,y n + k 1 2 ) k 3 = f( n + 2,y n + k 2 2 ) k 4 = f( n +,y n +k 3 ) y n+1 = y n + k k k k 4 8 k 1 = f( n,y n ) k 2 = f( n + 3,y n + k 1 3 ) k 3 = f( n +2 3,y n +k 2 k 1 3 ) k 4 = f( n +,y n +k 3 k 2 +k 13 ) Runge-Kua-Verfahren sind Einschriverfahren nuzen nur Informaion (Ableiungsberechnungen) aus einem Inervall (Schri) [ n, n+1 ] Mehrschriverfahren nuzen auch zurückliegende Informaion (aus "vorigen" Inervallen) Prädikor-Korrekor-Verfahren sind Mehrschriverfahren prinzipielles Schema: - Prädikor(eil)schri: (ebenfalls viel verwende) berechne y P n+1 ("prediced") aus äquidisanen Punken n, n-1, n-2, deren Funkionsweren y n,y n-1,y n-2, und Ableiungsweren f(.) an diesen Punken - Korrekor(eil)schri: berechne Seigung an diesem Punk dh f( n+1,y P n+1 ) und y C n+1 ("correced") aus zuvor genuzer Informaion + f( n+1,y P n+1 ) (- Schema ließe sich offensichlich "ierieren": lohn nich, dh nuze y C n+1 als Basis nächsen Schris) Insgesam wieder Familie von Verfahren - unerschiedlicher Ordnung / Fehlerordnung (je nach "Zahl" genuzer Punke) - mi verschiedenen Alernaiven / Varianen Simulaion Simulaion

9 nochmals Berachung Beispiel Runge-Kua 2.Ordnung (Euler-Cauchy / Heun) y - bei dieser Seigung ergab sich ( y=) k 2 = f( n +, y n +k 1 ) und verwende wurde y = 1/2 (k 1 + k 2 ) y n+1 = y n + 1/2 (k 1 + k 2 ) k 2 k 1 umgedeue als Forsezung Korrekor(eil)schri: y C n+1 = y n + /2 { f( n,y n ) + f( n+1,yp n+1 ) } n n+1 = n + genuze Informaion: "zuvor genuze" + f( n+1,y P n+1 ) Heun-Verfahren ("Runge-Kua 2.Ordnung") is demnach "auch" Prädikor-Korrekor-Verfahren Verfahren - bei vollem Euler-Schri ergab sich ( y=) k 1 = y n ' = f( n,y n ) umgedeue als Prädikor(eil)schri: y P n+1 = y n + f( n,y n ) genuze Informaion: n,y n und Ableiungswer f( n,y n ) an diesem Punk (+ "nichs" vorher) - Seigung im erreichen Punk ergab sich zu f( n +, y n +k 1 ) umgedeue als Beginn Korrekor(eil)schri: = f( n+1, y P n+1 ) ensprechend: - wo Einschriverfahren (zb Runge-Kua) im Inervall [ n, n+1 ] äquidisane Zwischenpunke nuzen - lassen sich durch Uminerpreaion daraus Prädikor-Korrekor-Verfahren formen allgemein aber: - größere Sysemaik bei Konsrukion von Prädikor-Korrekor-Verfahren - uner Einschluß von Fehlerabschäzungen Nebengesichspunk: Einschriverfahren sind "selbssarend" Mehrschriverfahren benöigen separae Iniialisierung Simulaion Simulaion "viele Verfahren": Klassifikaion zb nach LEERSEITE Berücksichigung zurückliegender Punke - Einschriverfahren - Mehrschriverfahren Einbeziehung zukünfiger Were - eplizi - implizi Konvergenzordnung Ordnung Schriweienseuerung - fese Schriweie - variable Schriweie Erapolaion Ordnungsseuerung - fese Ordnung - variable Ordnung vgl Speziallieraur und: auch hier is der Fall sochasischer Modelle - wesenlich ("Sörungen" zb Wind, Srömung) - und bearbeie! vgl Speziallieraur Simulaion Simulaion