Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

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1 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Teil 9: Extremwertaufgaben Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: neumann/

2 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Extremwertaufgaben Analytisches Standardverfahren Öffnung des Standardverfahrens

3 Analytisches Standardverfahren Für welche Lage von P wird der Flächeninhalt des Rechtecks PQRS maximal?

4 Analytisches Standardverfahren 1. Zielfunktion mit Definitionsmenge: Welche Größe ist zu optimieren? Hauptbedingung abhängig von mehreren Variabeln A(a, b) = (4 a) b Elimination von Variabeln über: Nebenbedingung: b = 7 16 a Bestimmung der Extremstellen über notwendige und hinreichende Bedingung 3. Untersuchung der Ränder des Definitionsbereichs nach globalen Extremwerten 4. Interpretation auf Sachzusammenhang

5 Analytisches Standardverfahren Zielfunktion A(a) = (4 a)( 7 16 a2 + 2) mit D A = [0; 4] Die Fläche wird maximal mit 8 FE für a = 0, also für P(0 2).

6 Analytisches Standardverfahren Vorteile: "[...] Stärke universeller Lösungsalgorithmen, nicht bei jedem Einzelproblem in tiefes Nachdenken gestoßen zu werden." 1 Nachteile: Wenn das globale Maximum nicht gefunden werden kann, (siehe Einführungsbeispiel!) ist der Algorithmus wenig sinnvoll. Der Erfolg hängt vom Auffinden der Zielfunktion ab, schwache Schüler sind hier überfordert. Modellierung tritt in den Hintergrund Elementares Verständnis des Problems wird vernachlässigt G3 1 Danckwerts, Vogel: Analysis verständlich unterrichten, S. 186

7 Öffnung des Standardverfahrens 1. Sinnliche Erfahrung a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke: Welches Rechteck hat unter allen umfangsgleichen Rechtecken den größten Inhalt? Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?

8 Beispiel b) Falten einer Schachtel: Größtes Volumen eines oben geöffneten Quaders bei gleicher Oberfläche Funktionaler Aspekt: Welche Größe ist variabel? Welche ist fest?

9 2. Empirisch-numerisches Vorgehen Beispiel a) Isoperimetrisches Problem für Rechtecke:

10 Beispiel b) Falten einer Schachtel: Werte ins Koordinatensystem eintragen lassen oder über dynamische Software: Anwendungsbezogene_Extremwertaufgaben Funktionaler Aspekt, Lösung (!) des Verfahrens näherungsweise

11 Beispiel c) Die optimale Dose: Welche Abmessungen hat die zylindrische 0,33l-Dose mit minimaler Oberfläche? Zielfunktion: O(r) = 2(πr r ) für r in cm und r [0; 330 π ] Veranschaulichung gefunden bei: geogebra/geogebra3/

12 3. Anbieten elementarer Lösungen Beispiel a) Isoperimetrisches Problem Zielfunktion: A(x) = x ( U 2 x) für die Seitenlänge x mit x [0; U] Auffinden der Extremalstelle über das Vorwissen von Parabeln: Extremstelle = arithmetisches Mittel der Nullstellen 0 und U 2. Der maximale Flächeninhalt liegt also bei U 4. Intuition und Testwerte werden durch Theorie bestätigt, Zusammenhänge werden verdeutlicht.

13 Beispiel b) Auf einer Geraden ist der Standort eines Punktes P so zu wählen, dass die Summe der Entfernungen zu den Punkten A und B minimal wird. Zielfunktion: Streckenlänge s(x) = (100 x) x für Strecke x = PD mit x [0; 100]

14 Beispiel b) Spiegelung des Punktes B an der Geraden durch P und D: Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist eine Gerade!

15 Fazit: Das Verständnis der Problemstellung und elementare Lösungsstrategien sollten vorrangig betrachtet werden. Der Einsatz des Standardschemas zum Lösen von Optimierungsproblemen sollte für den Schüler ein Gewinn sein. Es sollte also nur dann erfolgen, wenn Genauigkeit oder Sachzusammenhang es erfordern.