Quantenmechanik I WS 04/05

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1 Quantenmechanik I WS 04/05 Prof. Dr. I.M. Sokolov 14. Februar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Das Ende der klassichen Epoche Klassische Doktrin: Grundriss der klassischen Mechanik Lichtwellen Interferenz und Beugung Wellenpakete. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Effekte außerhalb der Reichweite Klassischer Beschreibung Realität der Photonen (Lichtquanten) Atomspektroskopie, und die Schwierigkeiten des klassisischen Rutherford-Modells Bohr sche Postulate Korrespondenzprinzip und die ältere Quantentheorie Klassische Theorie des Wasserstoffatoms (das Kepler-Problem) Das Kepler-Problem Kanonische Transformation Bohr sche Quantenhypothese Das Korrespondenzprinzip Anwendungsbeispiel: Sommerfeld sche Phasenquantisierung und die adiabatische Invarianten

2 3 Die Materiewellen Das freie Wellenpaket Erklärung der Quantisierungspostulate Wellengleichung für die Materiewellen: Die Schrödinger-Gleichung Die Schrödinger Gleichung Eigenschaften Der Begriff des Operators Schrödinger-Gleichung: Das Kochrezept Beispiel: Elektron im Magnetfeld Vorsichtsmaßnamen Stationäre Zustände Beispiel: Das Rechteckpotential Gebundene Zustände Spezialfall: Das δ-potential Die Parität der Zustände Statistische Interpretation der Wellenfunktion Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhalten der Norm Die Wronski-Determinante (Wronskian) Allgemeine Struktur des Spektrums eines Schrödinger-Operators Streuzustände (kontinuierliches Spektrum) Beispiel 1: Das Tunnel-Effekt Beispiel 2: Asymmetrisches Potentialtopf Interpretation der Resultate Bewegung in periodischem Potential Bloch-Theorem Kronig-Penney-Modell Harmonischer Oszillator Multidimensionaler harmonischer Oszillator Teilchen im Magnetfeld Klassischer Limes der Quantenmechanik. Quasiklassische Näherung Quasiklassische Näherung (WKB-Näherung) Beispiel: Potentialtopf. Diskretes Spektrum Quasiklassische Näherung leichgemacht

3 6.1.3 Durchdringen eines Potentialwalls Operatoren für physikalische Größen in Ortsdarstellung Die Mittelwerte der Funktionen von Koordinaten und Impulse Die Fluktuationen. Eigenfunktionen und Eigenwerte von Operatoren Beispiel: das Drehmoment Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators der Drehimpulsprojektion ˆL z Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators ˆL Allgemeine Eigenschaften der Bewegung in einem kugelsymmetrischen Feld Bewegung in einem Coulomb-Feld. Diskretes Spektrum Die räumliche Struktur der Wellenfunktionen Formalismus der Quantenmechanik und seine Interpretation Die Wellenmechanik Der Raum der Wellenfunktionen Das Rietz sche Variationsverfahren: Allgemeine Struktur der Quantenmechanik Der Begriff des Hilbert-Raums Hermite sche Operatoren. Fall des diskreten Spektrums Statistische Verteilung der Messresultate Statistik der Messwerten im allgemeinen Fall Die Eigenfunktionsentwicklung in allgemeinem Fall Ideale Messungen Kommutierende Operatoren und verträgliche Messbaren Die Algebra der Kommutatoren Zeitliche Änderung der statistischen Verteilungen. Bewegungsintegrale Dualer Raum. Ket- und bra-vektoren Die Lineare Operatoren Spezielle Operatoren Zustandsvektoren und Operatoren als Matrizen Unitäre Transformationen Darstellungen der Quantenmechanik Einige Darstellungen

4 9.7.2 Beispiel: Schrödinger-Gl. in Impulsdarstellung Weitere Bemerkungen: Unitäre Transformationen für die zeitliche Änderung eines Zustandes Schrödinger-Bild Heisenberg-Bild Wechselwirkungsbild Zeitunabhängige Störungstheorie Störungstheorie in stationären Zuständen mit diskretem Spektrum Nichtentartetes Spektrum Entartung/Quasientartung Störungstheoretische Grundformel Vielteilchensysteme I Einführende Bemerkungen Tensorprodukt zweier Vektorräume Observablen im Produktraum Identische Teilchen Symmetrische und antisymmetrische Wellenfunktionen Interessante Anwendungsbeispiel: Das Einstein-Podolsky- Rosen Paradox

5 1 Das Ende der klassichen Epoche 1.1 Klassische Doktrin: Stand 1900: Sauber getrennt Teilchen - Felder - Wellen Jedes System wird durch eine gewisse Anzahl der dynamischen Variablen beschrieben (Teilchensysteme: Endlichen Zahl der Variablen, Felder: Unendliche Anzahl (Kontinuum)). Zu jedem Zeitpunkt besitzen diese Variablen wohldefinierte Werte. Die Evolution des Systems ist eindeutig definiert wenn die Anfangswerte dieser Variablen zu irgendeinen Zeitpunkt vorgegeben sind. Mathematisch ist das dadurch gewährleistet, dass die Systeme durch Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung (Partielle DGl en. 1. Ordnung) in der Zeit beschrieben werden. Korpuskulare Theorie der Materie: Klass. M echanik T heore der Gasen T hermodynamik Statistische P hysik. Wellentheorie der Strahlung: Interferenz- und Diffraktionsphänomene. Elektromagnetische Theorie (Maxwell). Versuche der Unifikation: Hypothese des Ethers (Obsolet). Entstehung der Relativitätstheorie. 1.2 Grundriss der klassischen Mechanik Für ein Teilchen genügen 2 Variablen (Koordinate und Geschwindigkeit / Impuls) pro Raumdimension. Insgesamt ist der Zustand des Systems aus mehreren Teilchen (N Koordinaten) als Punkt in Phasenraum der (verallgemeinerten) Koordinaten/Impulse gegeben: π = (q 1,..., q N ; p 1,..., p N ). Lagrange sche Formulierung und Extremale Wirkung: Die Lagrange- Funktion L(q, q, t) (typischerweise L(q, q, t) = T U, T -kinetische Energie, U-potenziele Energie) definiert das Integral S = t2 t 1 5 L(q, q, t)dt

6 (Wirkung), das entlang der richtigen Trajektorie q(t) extremal (minimal) ist. Daher folgen die Bewegungsgl: d L dt q L q = 0. Z.B. ein Teilchen in einem Potential U(x): = oder Wichtige Bemerkung: L = mẋ2 2 d du mẋ + dt dx = 0 ma = f. p = L q U(x). (1) ist ein (verallgemeinertes) Impuls. Z.B. für (1) erhälte man p = mv. Hamilton sche Formulierung: (N Koordinaten) startet von einer Hamiltonfunktion H(q, p, t) = p i q i L Die Hamilton sche Bewegungsgleichungen q i t p i t = H p i = H q i Besonders vorteilhaft für konservative Systeme: in diesem Fall ist H = const und ist gleich der Gesamtenergie des Systems. Für die Felder (z.b. Elektromagnetismus) E(r, t), B(r, t) ist Lagrange sche Formulierung möglich. Theorie der Wechselwirkung der Teilchen (Elektronen, J.J. Thomson, 1897) mit EM Felder (Lorentz) 6

7 1.3 Lichtwellen Aus den Maxwell-Gleichungen für die Feldvariablen folgt die Wellengleichung 2 ϕ t 2 = c2 n 2 ϕ wobei n = n(r) die Brechzahl des Mediums und c die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums ist (lineare Medien!). u = c/n ist die Lichtgeschwindigkeit in Medium, sog. Phasengeschwindigkeit. Für n = const ist die spezielle Lsg. eine ebene Welle ϕ(r, t) = ϕ 0 e i(kr ωt) mit k = ω n c = ω u = 2π λ. Daraus folgen die Ausdrücke für E und B. Die Welle jeder anderen beliebigen Form kann als Superposition ebener Wellen dargestellt werden: ϕ(r, t) = f(k )e i(k r ω(k )t) dk. Die Brechzahl kann von ω (oder k) abhängig sein, was die Dispersion verursacht. Die Abhängigkeit ω(k) wird das Dispersionsgesetz genannt. Bemerkung: Die komplexe Schreibeweise erleichtet mathematische Handhabung. Tatsächlich sind alle Potenziale und Felder reel, so dass z.b. E(r, t) = Re [ E 0 (r, t)e i(kr ωt+φ)]. Die Energiedichte I = ɛɛ 0 E 2 + µµ 0 B 2 ist in der komplexen Schreibeweise durch I = 1 (ɛɛ 4 0E E + µµ 0 B B) oder 1ɛɛ 4 0 E µµ 4 0 B 2 gegeben Interferenz und Beugung Die wichtigste Eigenschaften der Wellen sind Interferenz und Beugung. Das Intensitätsbild am Schirm von 2 kohärenten Wellen (gleiche Frequenz, konstante Phasenverschiebung am jedem Punkt). Beispiel: Fresnel sche Spiegelversuch. 2 ebene Wellen, die aus unterschiedlichen Richtungen kommen, Ψ 1 = Ae i(k1r ωt) und Ψ 2 = Ae i(k2r ωt). Z.B. in 2D: Ψ 1 = Ae i(k(1) x x+k y (1) y ωt), Ψ 2 = Ae i(k(2) x x+k y (2) y ωt) mit ( k (1) x ) 2 + ( k (1) y ) 2 = ( k (2) x ) 2 + ( k (2) y ) 2 = k 2. Die Amplituden summieren sich. Die Intensität am Schirm (x = 0) als Fkt. von 7

8 y ist A 2 e i(k(1) y y ωt) + e i(k(2) y y ωt) 2 = A [1 + cos [(k b)y]]. Die Intensität ist da maximal, wo der Unterschied ky by = 2πn ist. Beugung: Fraunhofer-Beugung (flache Wellen am Spalt, Doppelspalt, u.s.w., Beugung auf Diffraktionsgitter, Röntgenstrahl-Beugung auf Kristallgitter, u.s.w.). Erklärung: Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt des Raumes, der von der Welle erreicht wird, ist der Entstehungsort einer neuen Elementarwelle. Der Wellenzustand zu einem späteren Zeitpunkt ist das Ergebnis der Interferenz aller Elementarwellen Wellenpakete. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Die typische Situation entspricht einem Wellenpaket einer endllichen räumlichen / zeitlichen Ausdehnung. Wir betrachten jetzt eine eindimensionale Situation. Nehmen wir an, die Fkt. f(k) ist groß im k-bereich von der Breite k um irgendeinen Wert k. Die Abschätzung des Integrals mit der Methode der stat. Phase ergibt, dass der maximale Beitrag von der Welle mit der konstanten Phase φ = k x ω t kommt, wenn es nicht mehr als 1 Oszillation in dem Bereich k gibt (wenn es in diesem Bereich viele Oszillationen der Exponentiafkt. gibt, kompensieren Sie einender, und der Beitrag solcher Schwingungen ist klein). D.h. k dφ/dk 1. Da dφ dk = x tdω dk, ist die Welle lokalisiert im räumlichen Bereich mit der Abmessung x ( k) 1 um die Mitte des Wellenpakets, das sich anhand der Gl. x = t dω dk bewegt. Das definitert die Gruppengeschwindigket v g = dω dk. Beispiel: Ein Gausspaket. f(k ) = A 2π k exp [ (k k) 2 /2( k) 2 ]. In diesem Fall ist das entsprechende Integral analytisch zu bestimmen: 8

9 a) ohne Dispersion (u = const) Ψ(x, t) = f(k )e ik (x ut) dk = = ] A exp [ (k k) 2 e ik (x ut) dk 2π k 2( k) 2 = Ae ik(x ut) exp [ ( k) 2 (x ut) 2]. Das Quadrat der Amplitude ( Intensität ) Ψ(x, t) 2 = A 2 exp [ 2( k) 2 (x ut) 2] beschreibt eine Umschlagsfunktion des Wellenpakets von räumlichen Ausdehnung x 1/ k, deren Mitte sich mit der geschwindigkeit u bewegt. b) mit Dispersion: ω = ω(k). Ψ(x, t) = f(k )e i(k x ω(k )t) dk = = ] A exp [ (k k) 2 e ik (x ω(k )t) dk 2π k 2( k) 2 mit ω(k ) = ω(k) + (dω/dk)(k k) +... = ω(k) + v g (k k) +... Variablenwechsel: κ = k k. Dann erhalten wir ] A Ψ(x, t) = exp [ κ2 e iκx+ikx iωt vgκt dκ 2π k 2( k) 2 ] = Aeikx iωt exp [ κ2 e iκ(x vgt) dκ 2π k 2( k) 2 und = Ae ik(x ut) exp [ ( k) 2 (x v g t) 2]. Ψ(x, t) 2 = A 2 exp [ 2( k) 2 (x v g t) 2]. Die entsprechnde Amplitude (Umschlagsfunktion) beschreibt einen Wellenzug von räumlicher Ausdehnung x 1/ k, deren Mitte sich mit der Geschwindigkeit v g bewegt (Gruppengeschwindigkeit). Die endliche Kohärenzlänge bewirkt z.b. die Abschwächung der Nebenmaxima bei einer Beugung am Diffraktionsgitter. 9

10 2. Woche 1.4 Effekte außerhalb der Reichweite Klassischer Beschreibung Unverstanden: Atomspektren, Wärmestrahlung, Wärmekapazität (vor allem der Festkörrper), Photoeffekt, Radioaktivität (1896). Zwei Gruppen von Effekten, die auf 2 Klassen der Phänomene deuten: Diskrete Energiespektren Welle-Teilchen Dualismus Wichtigste experimentelle Tatsachen: Experimente zur Wärmestrahlung. Die Resultate unerklärlich in Rahmen der klassischen Thermodynamik + Elektrodynamik. 1900: Planck: Fit dr dλ = 2πc2 h 1 λ 5 e hc/λkt 1 (R -spezifische Ausstrahlung, dr - spezifische Ausstrahlung pro Intervall der dλ Wellenlänge). Einführung des Wirkungsquantums. Hypothese: Der Energieaustausch zwischen Strahlung und Stoff in Form der Energiequanten. Die Energie des Quantums ist frequenzabhängig mit ε v = hν h = Js In folgendem werden wir for allem die Kombination benutzen. = h 2π = Js 10

11 1.4.1 Realität der Photonen (Lichtquanten) ist durch 2 experimentelle Tatsachen belegt: Photoeffect und Compton-Effect. Hier werden wir nur den ersten diskutieren (Experimentalvorlesung!). 1905: Erklärung des Photoeffekts durch Einstein. Postulat: Das Licht ist ein Strom von Teilchen (Photonen) mit Energie hν und Geschwindigkeit c (c m/s). Das erklärt die Tatsache, dass die Geschwindigkeit der emittierten Elektronen nicht von der Lichtintensität sondern lediglich von der Frequenz abhängt: mv 2 = hν W 2 (W -Austrittarbeit). Licht: Welle oder Teilchenstrom? Experiment von Meyer und Gerlach (1914). Belichtung des zerstäubten Metalls bei sehr niedriger Lichtintensität. Wellentheorie führt zu einer Zeitverzögerung zwischen Belichtungsanfang und Emission (die Zeit, um Energie hv anzusammeln, die unter den experimentellen Bedingungen mehrere Sekunden betrug). Im Experiment wurde keine Verzögerung gemessen. Anderseits, es sind typische Wellenphänome (Beugung, Interferenz) bekannt. Teilchen-Welle-Dualismus: z.b. ein Doppelspals-(gedanken)-experiment: a) Teilchenbild b) Wellenbild c) Teilchen-Welle Dualsimus: Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort x zu finden ist proportional zur Intensität der Welle. Das gleiche Verhaltensmuster ist bei der Lichtquanten, und bei Elektronen ( Materieteilchen ) zu beobachten. 11

12 1.4.2 Atomspektroskopie, und die Schwierigkeiten des klassisischen Rutherford-Modells. Nach den Experimenten mit Streuung von Teilchen wurde das Atommodel postuliert: Das Atom besteht aus einem kleinen ( 10 4 Å) massiven Kern, der positiv gelagen ist (Ladung +Ze) und Z Elektronen (leicht, Ladung e), die sich auf Bahnen der Abmessung 1Å bewegen. Die Bahnkurven (analog zu Kepler-Modell der Sonnensystem) sind Ellipsen. Dieses klassisches Modell erklärt nich die bekannten Linienstrukturen der Atomspektren. Z.B. für das Wasserstoffatoms sind durch die empirische Balmer-Formel gegeben: 1 λ = R ( 1 n 1 ) 2 m 2 mit n fest und m n + 1. R ist die Rydberg-Konstante, R = m 1. Probleme des Modells: Da die Bahnen von Anfangsbedingungen abhängen, soll das Abstrahlverhalten selbst bei gleichen Atomen unterschiedlich sein. Daher sind die Linienspektern unerklärlich. Da die Bewegung auf einer geschlossenen Bahn eine bechleunigte Bewegung ist, sollen die Elektronen EM-Wellen kontinuierlich abstahlen, bis sie auf den Kern fallen. Selbst die Erklärung der Stabilität der Atome ist ein Problem Bohr sche Postulate Periodische Bewegungen erfolgen in stationären Zuständen mit diskreten Energien (E n, E m,...) ohne Energieabstrahlung Übergänge zwischen stationären Zuständen bewirken eine elektromagnetische Strahlung mit der Frequenz hν = E n E m. 12

13 2 Korrespondenzprinzip und die ältere Quantentheorie. 2.1 Klassische Theorie des Wasserstoffatoms (das Kepler- Problem) Eine der zwei Situationen der Bewegung in einem Zentralfeld, die geschlossene Bahnen aufweist (zweite ist das harmonische Porenzial) Das Kepler-Problem (Hier wird angenommen, dass M kern >> m e ). Am besten zu beschreiben in Polarkoordinaten. Übergang von L = m 2 v2 U(r) zu L = m 2 (ṙ 2 + r 2 ϑ2 + r 2 cos 2 ϑ φ ) 2 U(r) mit U(r) = e2 1 4πε 0 r Die Hamiltonfkt. des Problems (in Kugelkoordinaten) ist H = 1 ( p 2 r + 1 ) 1 2m r 2 p2 ϑ + r 2 sin 2 ϑ p2 φ k r mit k = e 2 /4πε 0. Die Koordinate φ ist zyklisch, d.h. daher ist der dazugehörige Impuls H φ = 0 p φ = mr 2 sin 2 ϑ φ konstant (erhalten). Dieser Impuls fällt mit der z-komponente L z des Drehimpuls zusammen. (Bewegungsintegral). Die Bewegung erfolgt in einer festen Ebene. Die Energie E = H ist auch ein Bewegungsintegral. 13

14 Eleganteste Lösung für die periodische Bewegung: Übergang zu Wirkung- Winkel Variablen, die neue verallg. Koordinaten und Impulse q = q(q, p, t), p = p(q, p, t) und eine neuen Hamiltofkt. H 1 = H 1 ( p, q, t). q i t p i t = H 1 p i = H 1 q i Die Winkelvariablen sind zyklisch und definieren entsprechende Frequenzen, die dazugehörige verallgemeinerte Impulse (Wirkungsvariablen) sind konstant, d.h. die stellen die Bewegungsintegrale dar: H 1 q i = 0 H 1 = H 1 ( p) Kanonische Transformation. Die Transformation von alten zu neuen Variablen erfolgt über eine erzeugende Funktion W (q, p, t) so dass p j = W q j ; q j = W p j ; H 1 = H + W t = E. Da p j = W/ q j, erfüllt W die Hamilton-Jacobi-Differenzialgleichung ( H q 1,..., q s ; W,..., W ) = E = const. q 1 q s Die Gl. bestimmt die q-abhängigkeit der Erzeugende; die neuen Impulse sind nicht eindeutig festgelegt (s Integrationskonstanten I 1,..., I s, zusammengefasst in Wektor I) und können zweckmässig gewählt werden. In unserem Fall 1 2m [ ( W ) r r 2 ( ) 2 ( ) ] 2 W 1 W + ϑ r 2 sin 2 k ϑ φ r = E Variablentrennung: W = W r (r, I)+W ϑ (ϑ, I)+W φ (φ, I). Da φ shon zyklisch ist, ist p φ = W φ = W φ(φ) = I φ, φ 14

15 identisch mit L z. Daher: [ ( W ) m r r 2 ( ) 2 W +] k ϑ r + L 2 z 2mr 2 sin 2 ϑ = E. potentielle + zentrifugale Energie. Sortieren, r 2 multiplizieren: ( ) [ r 2 2 ( W W kr Er 2 = 1 ) ] 2 + I2 φ 2m r 2m ϑ sin 2. ϑ Linke Seite hängt nur von r ab; rechte Seite nur von ϑ beide müssen konstant sein. ( ) 2 W + I2 φ ϑ sin 2 ϑ = I2 ϑ. Iϑ 2 ist mit dem Quadrat des Drehimpulses identisch: I ϑ 2 = L 2. Letzlich, ( ) 2 ( W + L 2 = 2m E + k ). r r 2 r Die neue verallg. Impulse sind die Funktionen der Integrationskonstanten I. Zweckmässig ist die Wahl von Wirkungsvariablen J i als verallg. Impulse: Wi (q i, I) J i = p i dq i = dq i = J i (I) q i (Integral hin und zurück über die Periode der Bewegung). Dieser Wahl wird klar, wenn wir die Eigenschaften der adiabatischen Invarianten diskutieren (siehe Abschnitt...). Die Winkelvariablen sind ω i = W/ J i. In unserem Fall Wφ (φ, I) J φ = dφ = 2πI φ 2πL z. (2) φ ist elementar. Ferner, Wϑ (ϑ, I) J ϑ = dϑ = ϑ I 2 ϑ I2 φ sin 2 ϑ dϑ. Da die Periode der ϑ-bewegung erfolgt zwischen der Umkehrpunkten, wo p ϑ = 0, d.h. sin ϑ 1,2 = I φ /I ϑ ergibt die Integration (Tabellenintegral) dann J ϑ = 2π (I ϑ I φ ) 2π( L L z ). (3) 15

16 Die letzte Wirkungsvariable ist dann mit J r = = ( 2m E + k ) (J φ + J ϑ ) 2 dr = r 4π 2 r 2 2m (E U eff (r))dr U eff = k r (J φ + J ϑ ) 2 4π 2 r 2 (Potenzial der Coulomb schen und zentrifugalen Kräfte). Die Umkehrpunkte sind die Nullstellen von E U eff (r). Die Integration (sieh Nolting, Band.2, 3.5.3) ergibt: 2m J r = (J φ + J ϑ ) + πk E. (4) (gebunden sind nur die Zustände mit E < 0, sonnst ist die Bewegung nicht mehr finit). Die Gl. (2), (3) und (4) lassen sich nach E auflösen: H 1 = E = me4 1 8πε 2 0 (J r + J ϑ + J φ ). 2 Die Frequenzen sind, offensichtlich, entartet ν j = ω j = H 1 J j = me4 1 4πε 2 0 (J r + J ϑ + J φ ). 3 Die Entartung ist sehr störend, kann aber durch eine nochmalige kanonische Transformation (ω, J) ( ω, J ) aufgehoben werden, mir der erzeugenden Funktion Neue Variablen sind: F (ω, J) = (ω φ ω ϑ ) J 1 + (ω ϑ ω r ) J 2 + ω r J3. ω 1 = ω φ ω ϑ ω 2 = ω ϑ ω r ω 3 = ω r und 16 J 1 = J φ J 2 = J ϑ + J φ J 3 = J r + J ϑ + J φ,

17 die neue(ste) Hamilton-Fkt. ist und die Frequenzen sind H 2 = E = me4 8πε 2 0 ν 1 = ν 2 = 0; 1, J 3 2 ν 3 = me4 4πε 2 0 Man nennt J 3 eine Eigenwirkungsvariable: Die zugehörige Frequenz ist nicht Null und nicht entartet. Für die entsprechende Frequenz ν = ν 3 kann man auch schreiben ( ) 4πε 2 1/2 ν = 0 E 3/2. me Bohr sche Quantenhypothese. (Bohr sche) Quantenhypothese: Bei einer Eigenwirkungsvariable J ist die Systembewegung nur auf solchen Bahnen zugelassen, für die (n = 1, 2,...) gilt. Infolgedessen, für das Wasserstoffatom Die Kombination 1. J 3 3 J = nh (5) E = me4 1 8πε 2 0 h 2 n. 2 E R = me4 8πε 2 0h 2 definiert die Rydberg-Energie. E R = 13.6eV. Daher ist die Rydberg-konstante für das Wasserstoffatom R = E R hc = me4 8πε 2 0h 3 c. Dieser Wert gilt für den unendlich schweren Kern. Für Wasserstoff (reduzierte Masse m mm/(m + M), M-Kernmasse) ist R H R. 17

18 2.2 Das Korrespondenzprinzip Korrespondenzprinzip (unter diesem Namen im Jahre 1923 publiziert, war aber von Anfang an der Leitfaden aller Bohr schen Überlegungen): Klassische Theorie ist asymptotisch korrekt: Im Limes der großen Quantenzahlen (n ) sollten die Resultate der Quantentheorie und der Klassischen Theorie gleich sein. Die Korrespondenz besteht auch in dem Sinne, dass die Quantentheorie im Limes h 0 in die klassische Theorie übergehen muss Anwendungsbeispiel: Wasserstoffatom. Es ist experimentell bekannt, dass ( 1 hν nm n 1 ) 2 m 2 ist, die Proportionalitätskonstante E R ist zunächst unbekannt. Wir wissen aber, dass ein klassisches Elektron, das mit der Frequenz ν sich bewegt, vor allem mit der Frequenz ν abstrahlt (Elektrodynamik!). D.h. und (Oberschwingungen). Es gilt also oder hν kl n = E n+ n E n. ν n,n+1 ν kl ν n,n+ n ν kl n hν n,n+ n E n+ n E n (6) Berechnung der Rydberg-Konstante. Aus der Bahlmer-Gl. in Quantenfall bekommt man de dn 2E R n, 3 so dass hν qu 2E R /n 3. Im klassischen Fall ν kl = ( ) 4πε 2 1/2 0 E 3/2. me 4 18

19 Für n soll ν qu ν kl stimmen, also gilt 2E R hn 3 ( ) 4πε 2 1/2 0 E me 4 n 3/2. Daher und E n = me4 1 8πε 2 0 h 2 n 2 E R = me4 8πε 2 0h 2. die Hasenoehrl sche Quantenbedingung. Aus Gl.(6) folgt: ν kl = 1 de n h dn. Die Integration der Gleichung ergibt de ν kl = h(n + α) mit Integrationskonstante α. Diese kann nicht aus der Korrespondenzprinzip bestimmt werden, und muss dem experimentellen Befund angepasst werden. Die Sommerfeld sche Phasenquantisierung. Da ν i = H 1 / J i bekommt man J i = J i (E) = h(n i + α i ). (Vgl. Gl.(5): Für die Eigenwirkungsvariables ist α = 0). Für das Kepler- Problem Die Hauptquantenzahl J r = h(n r + α r ) J ϑ = h(n ϑ + α ϑ ) J φ = h(n φ + α φ ). n = n r + n ϑ + n φ (n = 1, 2,...) definiert die Energie (wenn man α = α r + α ϑ + α φ = 0 wählt). Die Bewegung ist entartet, da E nur durch n definiert ist 19

20 (klassisch: nur von der großen Halbachse der Orbits bestimmt). Die anderen Quantenzahlen sind l = n ϑ + n φ 1 (Nebenquantenzahl), 0 l n 1 und m = n φ (die magnetische Quantenzahl), l m l Sommerfeld sche Phasenquantisierung und die adiabatische Invarianten Die Ideen von Bohr und Sommerfeld werden klarer, wenn wir ihren Hintergrund erläutern. Die Eigenzustände eines Quantensystems sind sehr langlebig auf mikroskopischen Skalen (trotz ihre Wechselwirkung mit der Umgebung ändern sich ihre Energien und folglich ihre Bewegungsperioden T zwischen der Quantensprüngen nicht). Diese Tatsache soll anhand des Korrespondenzprinzips eine klassische Entsprechung haben. Nehmen wir an, dass die Hamilton-Fkt. des Systems von einem Parameter λ abhängt. Dieser Parameter ändert sich langsam ( adiabatisch ) unter Einfluß äußerer Ursachen, so dass T dλ dt λ. In solchen Fällen existiert ein Wert (Kombination aus E und λ) der sich kaum verändert (praktisch konstant bleibt). Solche Kombinationen nennt man adiabatische Invarianten. Nur solche langsamen Variablen können gequantelt werden. Eindimensionale Beispiel: Hamilton-Fkt.: H = H(p, q, λ). Mittlung über die Periode: de dt = H t = H dλ λ dt. d E dt = dλ H dt λ = dλ dt 1 T T 0 H λ dt. 20

21 H- über die Periode gemittelte Wert von H bei λ = const. Aus q = H/ p ergibt sich dt = dq H/ p und daher Es gilt: T = T d E dt 0 dt = = dλ dt dq H/ p. H/ λ dq H/ p. dq H/ p Wir sehen jetzt p als die Funktion p = p(q; E, λ) an. Da H/ λ = p (Jacobi- H/ p λ Determinant!) und 1/ H/ p = p/ H p/ E, es ergibt sich ( p d E + p E dt λ dλ dt ) dq = 0. Diese Gl. hat die Form mit d dt J = 0 J = p(q; E, λ)dq. (J ist zeitabhängig durch λ und E(λ)). Das ist genau unsere Wirkungsvariable! 3 Die Materiewellen Louis de Broglie (1923). Das Licht hat eine duale Natur: es ist gleichzeitig eine Welle und ein Teilchenstrom. Man nimmt an, dass auch die Materie die gleichen Eigenschaften aufweist: Jedes Materieteilchen wird einer Welle gegenübergestellt. Die Energie E des Teilchens und die Frequenz ω der Welle werden durch E = ω miteinender verbunden. Wie bei Photonen nehmen wir an, die Intensität der Welle ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an diesem Ort zu 21

22 finden. Die klassische Mechanik ist daher eine Näherung, die der Näherung der geometrischen Optik analog ist. Diese letzte ist korrekt, wenn die Eigenschaften der Medien sich kaum auf der Längenskalen von der Größenordnung einer Wellenlänge ändern. Die klassische Theorie der Teilchen soll daher in der Abwesenheit der äußeren Felder, bzw. in sich sehr langsam ändernden Feldern gültig sein. 3.1 Das freie Wellenpaket. Einfachste Welle: Ebene Welle e i(kr ωt) : eine Schwingung breitet sich aus in der Richtung von Wellenvektor k mit der (Phasen-)geschwindigkeit u = ω/k. Da jede Welle als Superposition von ebenen Wellen aufgefasst werden kann, genügt die Kenntniss von dem Dispersionsgesetz ω(k) für die Beschreibung der zeitlichen Entwicklung. Allg.: das Wellenpaket (Superposition) ist gegeben durch ψ(r, t) = f(k )e i(k r ω t) dk. oder (ab hier, einfachheitshalbe, 1D) ψ(x, t) = f(k )e i(k x ω t) dk. Nehmen wir an, die Fkt. f(k) ist groß im k-bereich von der Breite k um irgendeinen Wert k. Die Gruppengeschwindigket v g = dω dk ist mit der Teilchengeschw. im klassischen Limes gleichgesetzt. Da diese gleich ist, bekommen wir In allen Dimensionen v = de dp p = k. E = ω, p = k. (7) Diese Zusammenhänge gelten auch relativistisch. Diese Wellen sind reell! Beugungsexperimente: 22

23 Elektronenbeugung: Davisson & Germer (1927) - Monokristalle, von Laue-Beugung G.P. Thomson (1928) Polykristalline Körper, Debye-Scherer-Bild Beugung von monoenergetischen Strahlen von He und H 2, Stern (1932). Neutronenbeugung (Neutronen müßen erst entdekt werden!). In einem nicht-relativistischen Fall in sich langsam änderndem Potential (1d) ist k = p = 1 2m [E U(r)], oder λ = h p = h 2m [E U(r)] Erklärung der Quantisierungspostulate Die Gl.(7) gibt die Möglichkeit, k in jedem Punkt der Orbits zu bestimmen. Bei jeder Umdrehung der Teilchen wächst die Phase um φ = kdr T 0 ωdt = Damit das Wellenbild stationär ist, soll gelten φ = 2πn. kdr 2π. Daher pdr = kdr = nh. So lassen sich alle Bohr-Sommerfeld sche Regeln begründen. Die stationären Zustände gleichen der stehenden Wellen in einem Resonator. 23

24 3.2 Wellengleichung für die Materiewellen: Die Schrödinger-Gleichung. Aus den Überlegungen von Einstein und de Broglie folgt daher: E = ω, ψ(x, t) = 1 p = k, f(p)e i (px Et) dp (vorerst werden alle Integrale als konvergent in irgendeinem Sinne angenommen). Nichtrelativistisches freies Teilchen / freie Welle: Es gilt: und Daher: i t ψ(x, t) = i ψ(x, t) = x 2 2 ψ(x, t) = x2 i t (Schrödinger-Gleichung) In einem Potential: E = 1 2m p2. Ef(p)e i (px Et) dp, pf(p)e i (px Et) dp, p 2 f(p)e i (px Et) dp. 2 ψ(x, t) = 2 ψ(x, t) x2 E = H = 1 2m p2 + U(x). Am Anfang nehmen wir an, dass das Potential U(x) sich kaum auf der typischen Wellenlängenskala ändert. Dann kann man annehmen i t 2 ψ(x, t) = 2 ψ(x, t) + U(x)ψ(x, t). x2 24

25 Diese Gleichung wird als allgemein gültig angenommen (im nicht-relativistischen Bereich). I.A. mit = 2 x y z 2 i t ψ(r, t) = [ 2 ψ(r, t) + U(r) ] ψ(r, t) - Laplace-Operator. 4 Die Schrödinger Gleichung. 4.1 Eigenschaften i t ψ(r, t) = [ 2 ( 2 ) x y z 2 ] ψ(r, t) + U(r) ψ(r, t) In der QM wird angenommen, dass die Eigenschaften des Systems vollständig durch seine Wellenfuntion (WF) beschrieben sind ψ(r, t = 0) definiert die ganze nachfolgende Evolution. Evolutionsgleichung 1. Ordnung in der Zeitvariable. Die Existenz von für lineare Wellen typische Interferenzmuster setzt das Superpositionsprinzip voraus Die Gleichung ist linear und homogen. In nichtrelativistischen Systemen ist die Teilchenzahl erhalten (im Gegensatz zu Photonen!). Die Intensität der Wellenfkt. gibt uns die Wahrscheinlichkeit, die entsprechende Konfiguration des Systems zu finden (Z.B. für 1 Elektron in einem Wasserstoffatom ψ(r, t)). Daher gilt ψ(r, t) 2 dr = 1. Für komplexere Systeme bezeichnet r alle räumlichen Koordinaten des Systems. 4.2 Der Begriff des Operators Die Funktion ψ kann als ein Resultat der Einwirkung eines Operators t (der in einem entsprechenden Funktionsraum definiert ist) auf die t Fkt. ψ gesehen. Dieser definiert eine eindeutige Korrespondenz ψ ψ. i.a. t φ = Âψ. 25

26 Der Operator A ist linear falls  (λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) =  (λ 1ψ 1 ) +  (λ 2ψ 2 ). Andere Eigenschaften der linearen Operatoren: ) (Âψ (câ)ψ = c, ( + ˆB) ψ = Âψ + ˆBψ. In einer Schrödinger-Gleichung treffen wir auf die Differenzialoperatoren / t, 2 / x 2,..., und die Operatoren, die dem Produkt von Fkt. ensprechen: φ = Âψ = U(r, t)ψ. Das Produkt der Operatoren. Definieren wir den Operator ˆP =  ˆB als ˆP =  ˆBψ ( ) =  ˆBψ. Das Produkt ist i. A. nicht kommutativ: Wenn dennoch  ˆBψ ˆBÂψ.  ˆBψ = ˆBÂψ gilt, sagt man, dass  und ˆB kommutieren. Die Differenz ist [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. z.b.  = / x, ˆB = f(x). Anderseits, so dass  ˆBψ = f (f(x) ψ) = x x ψ + f ψ x. ψ ˆBÂψ = f x [ ] x, f = f x Alle Differentialoperatoren kommutieren miteinender. 26

27 4.3 Schrödinger-Gleichung: Das Kochrezept. Anhand des Korrespondenzprinzips geben wir ein folgendes Rezept der Zubereitung einer Schrödinger-Gleichung. Schritte: 1) Schreibe die klassische Hamiltonfunktion H = H(q 1,..., q s ; p 1,..., p n ; t) = H(q, p, t) für konjugierte Koordinaten q i und Impulse p i (Kartesische Koordinaten bevorzugt!). 2) Ordnen wir dem klassischen System ein Quantensystem zu, dessen Zustand durch ψ(q 1,..., q s, t) zu beschreiben gilt. 3) Ordnen wir der Hamilton-Fkt. einen Hamilton-Operator (Hamiltonian) Ĥ zu: Ĥ = H(q 1,..., q s ; i,..., i ; t). q 1 q 1 4) Wenn es in der Hamilton-Fkt. die Mischglieder von Typ p i f(q) vorkommen, symmetrisieren wir die Ausdr ucke: p i f(q) 1 ( i f(q) f(q)i ). 2 q i q i 5) Schreiben wir i t ψ = Ĥψ. Zubereitunszeit 10 Minuten Beispiel: Elektron im Magnetfeld. Klassische Bewegungsgleichungen: ma = m v = e (E + v B) Die Felder E und B sind durch E = div ϕ B = rot A gegeben. Die Lagrange-Funktion lautet L = mv2 2 + e (va ϕ). 27

28 Daher ist die Hamilton-Funktion H = 1 2m (p ea)2 + eϕ = 1 ( p 2 2epA + e 2 A 2) + eϕ. 2m Die Korrespondenzregel p = i und die Symmetrisierung des Glieds pa ergibt: Ĥ = 1 [ 2 + i e ( A + 2A ) + e 2 A 2] + eϕ. 2m Vorsichtsmaßnamen In der klassichen Mechanik sind die verallgemeinerten Koordinaten q (und daher die entsprechenden Impulse) in gewissem Sinne willkürlich. Z.B. kann man H in kartesischen Koordinaten schreiben als oder in Kugelkoordinaten H = 1 2m H = 1 ( ) p 2 2m x + p 2 y + p 2 z + U(x, y, z) (8) ( p 2 r + 1 r 2 p2 ϑ + ) 1 r 2 sin 2 ϑ p2 φ + U(r, ϑ, φ). (9) Die Benutzung der Korrespondenzregel im 1. Fall ergibt Ĥ = 2 + U(x, y, z). 2m Dann können wir (wenn wir wollen) den Laplacian in Kugelkoordinaten überführen: [ Ĥ = 2 1 2m r 2 r r2 r + 1 ( 1 r 2 sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ + 1 )] 2 sin 2 +U(r, ϑ, φ). ϑ φ 2 Diese Form ist richtig. Wenn wir dagegen unsere Vorschrift unmittelbar auf die Gl.(9) anwenden, erhalten wir eine andere Gleichung [ Ĥ = 2 2 2m r + 1 ] 2 2 r 2 ϑ r 2 sin 2 + U(r, ϑ, φ). ϑ φ 2 Diese Gleichung ist falsch! 28

29 Einschübe. Z.B. haben wir in einem eindimensionalen Problem klassisch die kinetischen Energie T = p2 2m, die sich nicht ändert, wenn wir, z.b. schreiben T 1 = pf(x)p. 2m f(x) f(x) Die eintsprechenden Operatoren sind dagegen unterschiedlich: und 2 ˆT 1 = 2 2m x 2 ( ˆT 1 = 2 2 2m x + f 2 2f x f 2f + (f ) ) 2 4f 2 vor Symmetrisierung (wegen der Nicht-Kommutativität der Koordinate und des Impulses). Diese Form ist auch nach der Symmetrisierung falsch! Für richtige Teilchen in Euklid schen Raum ist die einfachste Form (keine Einschübe!) zu benutzen. Die Erklärung der beiden Tatsachen hat mit der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion zu tun. 5 Stationäre Zustände In einem konservativen System ist Ĥ (und damit seine Energie) zeitunabhängig. Damit hat die Lösung Ψ eine wohldefinierte Frequenz ω, so dass E = ω. Es gilt also: Ψ(r, t) = ψ(r)e i E t. Wenn wir diesen Ausdruck in der Schrödinger-Gl. einsetzen, bekommen wir Ĥψ(r) = Eψ(r). Diese Gl. wird als stationäre Schrödinger-Gl. bezeichnet, und ψ(r) wird als WF des stationären Zustands bezeichnet (obwohl sie keine richtige WF ist, da es an der Zeitabhängigkeit fehlt!). 29

30 Diskutieren wir zunächst die Eigenschaften der SGl für ein Teilchen in einem skalaren Potential U(r). Es wird angenommen U(r) 0 für r. Das Problem, die (physikalisch vernünftigen) Lösungen von der Gl. ] Ĥψ(r) = [ 2 2m + U(r) ψ(r) = Eψ(r) zu finden ist das Eigenwertproblem. Um das Problem vollständig zu definieren, muß man die Randbedingungen und die Regularitätseigenscheften der WF festlegen. Die Regularitätsbedingungen: die WF und ihre Ableitung müßen stetig und begrenzt sein. Natürliche Randbedingung: in einem gebundenen Zustand soll die Funktion im Unendlichen hinreichend schnell verschwinden, so dass 30

31 ψ(r) 2 dr = 1. Das ist möglich nur für spezielle Werte von E < 0 (diskretes Spektrum). Solche Spektren stimmen (im nicht-relativistischen Bereich) sehr gut mit experimentellen Linienspektren überein. Für E > 0 und für grosse r strebt das Potential gegen 0 und die Lösung gegen eine ebene Welle e ikr. Solche WF sind nicht normierbar, das Teilchen ist daher nicht lokalisiert in einem endlichen räumlichen Gebiet. 5.1 Beispiel: Das Rechteckpotential. Die stationäre Schrödinger-Gl. ist ) ( 2 2 2m x + U(x) ψ(x) = Eψ(x), 2 mit Parametern: Längenskala L, Energieskala U 0. Dimensionslose Länge ξ = x/l, dimensionslose Energie ε = E/U 0, v = U(x)/U 0. ( 2 2 2mL 2 U 0 ξ + U(ξ) ) ψ(ξ) = E ψ(ξ), 2 U 0 U 0 Der dimensionslose Parameter B 2 = (2/π 2 2 )ml 2 U 0 = 2 h 2 ml 2 U 0 (d.h. B = L h 2mU) wird der Born sche Parameter genannt. Die SGl. lässt sich daher in der folgenden Form schreiben: ψ + π 2 B 2 [ɛ v(ξ)] ψ = 0 (10) 31

32 Der Potentialtopf v(ξ) hat eine Breite 1 und Tiefe 1, d.h. das Potential v nimmt nur 2 Werte an: entweder ν 1 = 0, oder ν 2 = 1. Die Gl.(10) ist eine Sturm-Liouville-Gl. Wir suchen ihre kontinuierlichen, differenzierbaren Ls gen in (, ). In unserem Fall ist sie eine Gl. mit stückweise-konstanten Parametern. Allg. Ls gen: ɛ > ν i : ψ(x) = Ae ikξ + Ce ikξ (oder A sin kξ + C cos kξ, oszillierende Lösung) mit k = ɛ v i ɛ < ν i : ψ(x) = Ae kξ + C kξ mit k = v i ɛ. Die Gesamtlösung wird aus 3 Teile (links von der, in der Mulde, rechts von der Mulde) zusammengestellt, mit Hilfe den Kontinuitätsbedingungen für ψ und ψ Gebundene Zustände. Betrachten wir zunächst die Energie U 0 < E < 0 (den Fall 0 < E werden wir später betrachten; man kann auch zeigen (gleiche Methode wie hier!), dass es keine Zustände gibt mit E < U 0 ). In diesem Fall für ξ < 1/2 (und für ξ > 1/2) hat man ɛ < ν und für 1/2 < ξ < 1/2 hat man ɛ > ν. Teillösungen: Ab hier ε = ɛ > 0. Für ξ hat man ψ(ξ) 0 (sonnst ist ψ nicht integrabel). Daher ist die einzige Lsg links von der Mulde ψ(ξ) = a exp(k 1 ξ) = a exp(πb εξ) (ξ < 1/2) und für ξ hat man gleichermaßen ψ(ξ) = d exp(k 1 ξ) = d exp( πb εξ) (x > 1/2). In der Mulde gilt ψ(ξ) = b sin πb (1 ε) ξ + c cos πb (1 ε) ξ = b }{{}}{{} 1 sin(k 2 ξ + φ). k 2 k 2 Das Zusammennähen : die Fkt. und ihre Ableitung sind am Orten 1/2 und 1/2 stetig. 32

33 Die Kontinuitätsbedingungen für die Funktion und für ihre Ableitung. Trick: da ψ und ψ stetig sind, und da an ξ = ±1/2 ψ 0 ist (kann man nachträglich nachprüfen), sollen die logarithmische Ableitungen ψ /ψ = ln ψ an beiden Seiten der Potentialsprünge gleich sein. Daher: d dξ und k 1 = k 2 cot(k 2 /2 + φ) oder Arccot ( k1 k 2 k 1 = k 2 cot( k 2 /2 + φ) k 1 = k 2 cot( k 2 /2 φ) ) ( ) { k2 k2 /2 + φ = Arctan = k 2 /2 φ + 2πn (n = 0, 1,...; wir nehmen φ [ π/2, π/2].) Jetzt: k 2 = πb 1 ε, k 2 k 1 k 1 πn k 2 = 2Arctan ( k2 k 1 = (1 ε)/ε so dass ). πn πb 1 ε = 2 tan 1 1 ε ε = 2Arcsin 1 ε (Trigonometrie!). Wenn wir κ = 1 ε nehmen, dann erhalten wir πn πbκ = 2Arcsinκ, (0 < κ < 1). Die rechte Seite der Gl. ändert sich zw. 0 und π, siehe Bild. Das heißt: π(n 1) < πbκ n < πn die Anzahl n der verschiedenen Lösungen ist N = [1 + B]. Der Born sche Parameter ist eine wichtige dimensionslose Kombination und hat einen klaren physikalischen Sinn. Die kinetische Energie T L eines Zustandes, der auf einer Längenskala L lokalisiert wird (und daher einer de Broglie-Welle mit den Wellenwektor k 1/L entspricht), ist T L = p 2 /2m 2 /(2ml 2 ). Daher stellt B einen Quotienten dieser kinetischen Energie und der Tiefe des Topfes U 0 : B T L /U 0 dar. Z.B. ist die Energie des Grundzustandes in einem 33

34 B=1 (2 Loesungen) 8 6 B=2.5 (3 Loesungen) κ rechteckigen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden (vom Boden des Topfes gerechnet) E 1 = π 2 2 /(ml 2 ), und die Energie des n-ten gebundenen Zustandes ist E n = n 2 π 2 2 /(ml 2 ) = n 2 E 1. Der Born sche Parameter B zeigt, wie viele solcher Zustände in den Topf der Tiefe U 0 reinpassen. Das ist ein Spezialfall einer allgemeinen Beziehung: in einem anziehenden Potential U(x) < 0, mit einem Minimalwert der 2 asymptotischen Werte U = min (lim x ± U(x)) N B = 1 2m(U U(x)) dx π wo integriert wird über die Gebiete wo U(x) < U. Wenn dieses Integral divergiert, ist die Anzahl der gebundenen Zustände unendlich. Die entsprechenden Energien ɛ = ε = κ 2 n 1 bilden eine endliche 34

35 wachsende Folge, vom Grungzustand ɛ 0 bis zum höchsten gebundenen Zustand ɛ N. φ ist noch nicht fixiert. Die Rechnung zeigt, dass für n ungerade (1,3,..., ) φ = π/2 und für n gerade φ = 0. Es ist schon aus Symmetriegründen klar, dass die Lösungen ψ 2 (x) für φ = 0 und φ = π/2 die Spiegelsymmetrie des anfänglichen Physikalischen Problems haben. D.h. jeder Zustand in einem symmetrischen Potential hat eine wohldefinierte Parität. Die WF ist gerade für ungeraden n und ungerade für gerade n. Der Grundzustand hat keine Nulldurchgänge (Knoten) und ist gerade. Die Funktion b 1 sin(k 2 ξ +φ) = b 1 sin (πbκ n ξ + φ) (und damit die ganze Wellenfunktion, da die exponentiellen Teile ausserhalb der Mulde nicht oscillieren) hat genau n 1 Nulldurchgänge (Knoten). (Speziallfall des Oszillationstheorems) Spezialfall: Das δ-potential. Betrachten wir jetzt genauer den Spezialfall B 0, mit nur einem gebundenen Zustand. In diesem Fall existiert nur eine Lösung der Gl. πn πbκ = 2Arcsin κ (siehe Bild) mit κ 1. Da in diesem Fall Arcsin κ π/2 2(1 κ), bekommen wir ɛ = ε = 1 κ 2 π 2 B 2 /4. In natürlichen Einheiten erhalten wir E = U 0 ɛ ml2 U Dieses Resultat stimmt in allen Fällen wenn B 0, d.h. in einem sehr tiefen aber schmalen Topf, sovie in einem Topf, der breit, aber flach ist. Betrachten wir nochmals den Grenzfall U(x), L 0, aber UL = a = const. In diesem Fall haben wir U(x) aδ(x). Die Schrödinger-Gl. lautet: ( 2 x 2ma ) 2 δ(x) ψ(x) = 2mE ψ(x). 2 2 Links und rechts von dem δ-potential haben wir die Lösungen ( ) 2m E ψ (x) = A exp x 2 und ( ) 2m E ψ + (x) = A + exp x. 2 35

36 Die Wellenfunktion ist stetig, d.h. A + = A = A = ψ(0). Die Integration der beiden Seiten der Gl. zwischen ε und ε ergibt x ψ ( ε) + x ψ (ε) 2ma ψ(0) 2ε2mE ψ(0) Die Ableitung von ψ erfährt in x = 0 einen endlichen Sprung, d.h. 2m E 2A = A 2ma 2. 2 Daher ist die Energie des gebundenen Zustands Die Parität der Zustände E = ma Wenn U(x) symmetrisch in bezug auf x = 0 ist, dann U(x) = U( x). Die SGl. ändert sich nicht, wenn man von x zu x wechselt (sowohl 2 d 2 als 2m dx 2 auch U(x) ändern sich nicht). D.h.wenn eine Eigenfunktion (EF) ist, dann ist Ĥψ(x) = Eψ(x) Ĥψ( x) = Eψ( x) auch eine EF. Wegen der Linearität ist auch die gerade Fkt. und die ungerade Fkt. ψ G (x) = ψ(x) + ψ( x) ψ U (x) = ψ(x) ψ( x) (wenn sie nicht verschwinden) die Ls gen. Wenn der Eigenwert E nicht entartet ist (i.e. gibt es nur eine EF, bis zu einem konstanten Vorfaktor), dann ist entweder ψ G (x) = Aψ(x) (eigentlich A = 2) und ψ U (x) = 0, oder ψ U (x) = Aψ(x) und dann ψ G = 0. Also sind alle EFs entweder gerade (und haben gerade Anzahl der Knoten) oder ungerade (mit ungeraden Anzahl der Knoten). 36

37 In 1D können EFs maximal 2-fach entartet sein (maximal 2 linear unabhängige Lsgen der Differenzialgl. 2 Ordnung). Dann können alle EFs als Summe ψ = λψ 1 +µψ 2 dargestellt werden. Daraus können diesesmal 2 linear unabhängige Lsgen und ψ G (x) = ψ(x) + ψ( x) ψ U (x) = ψ(x) ψ( x) gebildet werden. Jede EF für die Energie E kann als Superposition von einer geraden und einer ungeraden WF ausgedrückt werden. 5.2 Statistische Interpretation der Wellenfunktion Heuristisch und in Analogie mit Lichtquanten haben wir Ψ(r, t) mit der Wahrscheinlichkeit P (r, t), ein Teilchen am Ort r zu finden: P (r, t) = Ψ(r, t) 2. Solche Annahme setzt die Normierung P (r, t)dr = Ψ(r, t) 2 dr = 1 voraus. Die Normierung muß in Laufe der zeitlichen Evolution des Systems erhalten werden Wahrscheinlichkeitsstrom und Erhalten der Norm Die Wellenfkt. Ψ und die komplex-konjugierte Funktion Ψ genügen der SGl und der konjugierter Gl.: und Daher i t Ψ = ĤΨ i t Ψ = ĤΨ. t P (r, t) = Ψ(r, t) 2 t = Ψ t Ψ + Ψ t Ψ [ Ψ ĤΨ = 1 i 37 (ĤΨ ) Ψ ].

38 Da gilt 0 = P (r, t)dr t = 1 [ Ψ ĤΨdr i Ψ ĤΨdr = ) ] Ψ (ĤΨ dr Ψ (ĤΨ ) dr Die Operatoren Ĥ, die eine solche Eigenschaft haben (für Ψ aus entsprechendem Funktionsraum) nennt man Hermite sche Operatoren. In unserem Fall Ĥ = 2 2m + U(r). = anhand von Green schem Theorem [ ) ] ] Ψ ĤΨ (ĤΨ Ψ dr = [Ψ 2 2 Ψ Ψ 2m 2m Ψ dr [ ] = 2 Ψ Ψdr Ψ Ψ dr 2m S S 0 Führen wir den Wahrscheinlichkeitsstrom J ein: [ J(r, t) = Re Ψ ] im Ψ. Dann gilt: divj = i [ Ψ ĤΨdr ) ] Ψ (ĤΨ dr. Daher bekommt man: P (r, t) + divj = 0 t (die Kontinuitätsgleichung). Die Gleichung folgt auch aus der klassischen Gleichung anhand des Kontinuitätsprinzip: Da der Operator ist, der dem klassischen Wert von im v = p/m entspricht, haben wir P + div vp = 0 t 38

39 (klassische Kontinuitätsgleichung). Für die Eigenzustände (stationäre Zustände) Ψ(r, t) = ψ(r)e i E t ; P (r, t) = ψ(r) 2, P = 0, so dass div J = 0. t Bemerkung: Bei reellem U(x) (da Ĥ Hermite sch) ist für jede Lsg. ψ(x) auch die komplex-konjungierte Fkt ψ (x) eine Lsg. So kann man, wegen der Linearität der Gleichung, stets die reelle Kombinationen ψ(x) + ψ (x) und i [ψ(x) ψ (x)] als Lösungen nehmen. Die Ls gen der Schrödinger-Gl. in 1D können immer als reell angesehen werden. 5.3 Die Wronski-Determinante (Wronskian) erlaubt allgemeine Aussagen über die Lsg. der eindimensionalen Schrödinger- Gl. Seien φ 1 (x) und φ 2 (x) zwei reelle Lsgen der stationären Schrödinger-Gl. zu den Energien E 1 und E 2. Multiplizieren wir die entsprechenge Gl en φ 1(x) + 2m 2 [E 1 U(x)] φ 1 (x) = 0 und φ 2(x) + 2m [E 2 2 U(x)] φ 2 (x) = 0 mal φ 2 (φ 1 ) und bilden die Differenz: φ 1(x)φ 2 (x) φ 2(x)φ 1 (x) = 2m 2 (E 2 E 1 )φ 1 (x)φ 2 (x). Man integriert die Gl. zwichen x 1 und x 2 (x 2 > x 1 ), und wendet die partielle Integration an: oder mit φ 1(x)φ 2 (x) φ 2(x)φ 1 (x) x 2 x 1 x2 = 2m x2 (E 2 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx x 1 x 1 φ 1(x)φ 2(x) φ 2(x)φ }{{ 1(x) dx } =0 W (φ 1, φ 2 ) x 2 x 1 = 2m x2 (E 2 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx, (11) x 1 W (φ 1, φ 2 ) = φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 39

40 die Wronski-Determinante (Wronskian). Die Gl.(11) hat viele wichtige Folgen. Für E 1 = E 2 = E ist W (φ 1, φ 2 ). Haben die Lösungen eine gemeinsame Nullstelle, φ 1 (x 0 ) = φ 2 (x 0 ) = 0, so ist W = 0. Daher φ 1(x) φ 2(x) = φ 1(x) φ 2 (x) = C so dass die Ls gen zueinander proportional sind. Wenn sie als normiert vorausgesetzt sind, so ist C = 1 und C = e iϕ. Der Zustand E ist nicht entartet. Die Lösungen sind dann und nur dann auf dem Interval x 1 < x < x 2 linear abhängig, wenn das Wronskian dort identisch verschwindet. Seien φ 1 und φ 2 die Ls gen von SGl mit unterschiedlichen Eigenwerten E 1 und E 2 aus diskretem Spektrum (d.h. normierbar). Dann sind die Ls gen φ 1 und φ 2 ortogonal, d.h. φ 1 (x)φ 2 (x)dx = 0. Bew.: Die normierbaren Ls gen sind diejenige mit x 1,2 0 für x ±. Daher gilt W (φ 1, φ 2 ) = 2m 2 (E 2 E 1 ) φ 1 (x)φ 2 (x)dx = 0. Bemerkung: Wenn die Ls gen nicht reell sind, gilt i.a. φ 1(x)φ 2 (x)dx = φ 2(x)φ 1 (x)dx = 0. Die Ls gen der SGl. mit Hermite schen Ĥ bilden ein orthonormiertes System. Diese Aussage gilt auch in höheren Dimensionen. Seien φ 1 und φ 2 zwei reelle Eigenfunktionen mit E 1 < E 2. Wir zeigen jetzt, dass zwischen 2 Knoten (Nullstellen) der Funktion φ 1 mindestens ein Knoten der Funktion φ 2 liegt. 40

41 Seien x 1 und x 2 zwei aufeinenderfolgende Nullpunkte von φ 1. Betrachten wir die Wronski-Determinante zwischen diesen Punkten. Es gilt: φ 1φ 2 x 2 x 1 = 2m 2 (E 2 E 1 ) x2 x 1 φ 1 φ 2 dx. Zwischen den Punkten x 1 und x 2 ändert die Fkt. φ 1 nicht ihre Vorzeichen, z.b. ist φ 1 > 0. Daher ist φ 1(x 1 ) < 0 und φ 1(x 1 ) > 0. Nehmen wir an, dass die Funktion φ 2 auf dem Intervall ihre Vorzeichen nicht ändert. Damit ist die linke Seite der Gleichung negativ, und ihre rechte Seite positiv, was zu einem Widerspruch führt. Daher muss φ 2 auf dem Intervall (x 1, x 2 ) ihr Vorzeichen ändern. Man kann die Eigenfunktionen nach Anzahl ihrer Knotenpunkten ordnen und einen folgenden Satz beweisen: Das Oszillationstheorem (der Knotensatz). Besitzt der eindimensionale Hamiltonian ein diskretes Spektrum mit Energien E 0 < E 1 < E 2 <... so hat die Wellefunktion ψ n genau n Nullstellen (Knoten). Die Logarithmische Ableitung der Wellenfunktion Lösung der SGl zur Energie E und Sei y(x; E) eine f(x, E) = y (x; E) y(x, E). (f(x, E) divergiert in Knotenpunkten der Lösung). Dann gilt: E f(x, E) = 1 y 2 (x, E) x a y 2 (x, E)dx. Beweis: Die Lsg. y(x, E) ist gegeben, wenn die Werte y(a, E) und y (a, E) in irgendeinem Punkt a gegeben sind. Für den Wert der Energie E + δe bekommen wir eine andere Lösung, y(x, E)+δy(x). Aus Wronskian-Theorem folgt: W (y, y + δy) x a = 2m 2 δe x a y(x)[y(x) + δy(x)]dx. 41

42 An der linke Seite der Gl.: ( ) y W (y, y + δy) = yδy y δy = y 2 δ = y 2 δf(x, E). y D.h. (in 1. Ordnung in δe) y 2 δf(x, E) x=b = 2m 2 δe b a y 2 (x)dx (δf(x, E) x=a = 0). Bemerkung 1: f(x, E) ist stets negativ, und divergiert an Knotenpunkten von y(x). Daher ist f(x, E) eine monotone Funktion. Das Betrag von f E wächst mit E links von der Nullstelle und wird kleiner mit E rechts von der Nullstelle. Bemerkung 2: Man kann a ± nehmen und die Funktionen betrachten, die samt ihrer Ableitung für x ± verschwinden. 42

43 5.4 Allgemeine Struktur des Spektrums eines Schrödinger- Operators. Die entsprechende dimensionslose Schrödingergl. lautet ψ + (ε v(x))ψ = 0 mit U(x) = ( 2 /2m)v(x) und E = ( 2 /2m)ε. Betrachten wir das Potential v(x) mit v(x) v ± für x ±. Die Werte v + und v teilen die Energieskala in 3 Gebiete (wir nehmen an z.b. dass v + < v ): ε > v. Nehmen wir k = ε v. Für x strebt die SGl. gegen ψ + k 2 ψ = 0. Die 2 allg. Ls gen sind ψ 1 A 1 sin kx und ψ 2 A 2 cos kx, oder die 2 komplexen Exponenten ψ 1 exp( ikx) und ψ 2 exp(ikx). Jede solche Lsg. bleibt begrenzt auch für x (die geht in eine à 1 sin(k 1 x + ϕ 1 ) bzw. à 2 cos(k 1 x + ϕ 2 ) mit reellen k = ε v > 0). Daher: 2 Ls gen für jeden Wert von ε. Das Spektrum ist kontinuierlich und 2-fach entartet. Die Zustände sind nicht gebunden ( Streuzustände ). Die Interpretation dieser Zusammenhänge erfolgt in dem Bild der Wellenpakete, und entspricht der experimentellen Situationen mit der Streuung der von rechts (aus unendlichen) oder von links (aus unendlichen) einfallenden Teilchen. v + < ε < v. Nehmen wir k = v ε. Für x gibt es 2 allg. Ls gen: ψ 1 A 1 e kx und ψ 2 = A 2 e kx. Die 2. Lsg. divergiert für x und ist daher verboten (jegliche Versuch der Wahrscheinlichkeitsinterpretation zeigt, dass das Teilchen sich immer ausserhalb des 43

44 Systems befindet!). In dem 2. asymptotischen Bereich bleibt die Lsg. ψ 1 begrenzt und oszilliert. Das Spektrum ist kontinuierlich und nicht entartet. Die Zustände sind nicht gebunden. Diese Situation enspricht der Streuung (eigentlich, Spiegelung) der von rechts anfallenden Teilchen. ε < v +. Sowohl für x als auch für x sind die Ls gen reelle Exponentialfunktionen. Die begrenzte Lsg., wenn sie existiert, muss für x exponentiell abklingen, und entspricht einem gebundenen Zustand. Sei y + eine Lsg, dass für x gegen 0 strebt, und y eine Lsg, dass für x gegen 0 strebt. Jede solche Lösung hängt nut von einer Integrationskonstante ab; die zweite ist durch die entsprechende natürliche Randbedingung festgelegt. Die asymptotischen Verhalten der Lösungen sind y + Ae k +x für x und y Be k x für x mit k ± = v ± ε mit 2 noch freien Konstanten A und B. Die müssen aber 2 Nebenbedingungen in einem beliebegen Punkt x erfüllen: Die Funktionen y + (x) und y (x), die der gleichen Energie entsprechen, sind gleich. Das legt B als Fkt. von A und E fest. Der Wert von A wird dann durch die Normirungsbedingung festgelegt. Die Ableitungen (oder ihre logarithmische Ableitungen) y +(x) = y (x) sind gleich. Diese Nebenbedingung legt wiederum B als eine andere Fkt. von A und E fest, die beiden zusammen sind nur für einige Werte von E erfüllbar. Alle Bedingungen zusammen sind erfüllt nur für isolierte, diskrete Werten von E. Das Spektrum ist daher diskret und nicht entartet. 5.5 Streuzustände (kontinuierliches Spektrum) Beispiel 1: Das Tunnel-Effekt Betrachten wir ein folgendes Beispiel der Streuzustände im entarteten kontinuierlichen Spektrum: Das Potential U(x) entspricht einem Potentialwall von der Höhe U 0 und der Breite L. Betrachten wir nun ein Teilchen, das mit einer vorgegebenen Energie E (und damit Impuls p und Wellenzahl k < 0, k = 2mE/ 2 ) von rechts aus dem Unendlichen kommt. Die spiegelsymmetrische Situation (von links aufkommende Teilchen) ist auch möglich; das enspricht der zweifachen Entartung der Zustände. 44