Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität
|
|
|
- Hetty Holzmann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Datestrukture ud Algorithme Christia Sohler FG Algorithme & Komplexität
2 Orgaisatorisches Vorlesug: Mo 11:15-12:45 Fr 11:15-12:45 Zetralübug: Mo 13:00 13:45 Begi: Heute (2. Teil der Vorlesug) Übuge: Begi: Heute (Präsezübuge)
3 Orgaisatorisches Heimübuge: Alle 2 Woche ei Übugsblatt 1. Blatt Diestag ach Oster Keie Bouspukte Klausur: Eie Korrelatio mit de Übugsaufgabe ist zu erwarte Es gab i der Vergageheit eie direkte Zusammehag zwische Übugsteilahme/abgabe ud gutem Abscheide bei Klausure
4 Orgaisatorisches Sprechzeite: Mi 13:00 14:00 (Raum F1.209; Fürsteallee) Im Aschluß a die Vorlesug bzw. Zetralübug Orgaisatorische Frage a Christiae Lammerse; basilisk@upb.de Marcel Ackerma; mra@upb.de Weitere Iformatioe Webseite der Vorlesug FG Algorithme ud Komplexität Lehre
5 Was ist ei Algorithmus? Defiitio 1: Ei Algorithmus ist eie eideutige Hadlugsvorschrift zur Lösug vo Istaze eies Problems i edlich viele Schritte. Bemerkug: Es gibt viele Beschreibuge des selbe Algorithmus Die Defiitio wird i EBfS formalisiert
6 Was ist ei Algorithmus? Beispiel: Problem: Maximumsuche Istaz: Mege A={a,,a } vo Zahle 1 Ausgabe: Idex i der größte Zahl i A Algorithmus-Max-Search(Array A) 1. max 1 2. for j 2 to legth(a) do 3. if A[j] > A[max] the max j 4. retur max
7 Was ist eie Datestruktur? Defiitio 2: Eie Datestruktur ist eie Aordug vo Date, die die Ausführug vo Operatioe (z.b. Suche, Eifüge, Lösche) uterstützt. Eifache Beispiele: Feld sortiertes Feld Liste
8 Wozu beötige wir Datestrukture ud Algorithme? Beispiele: Iteretsuchmaschie Berechug vo Bahverbiduge Optimierug vo Uterehmesabläufe Datekompressio Computer Spiele Dateaalyse Alle diese Bereiche sid (immer och) Stoff aktueller Forschug im Bereich Datestrukture ud Algorithme!
9 Softwareetwicklug (algorithmische Sichtweise) Problem Modellierug Etwicklug vo Algorithmus/Datestruktur Implemetierug
10 Algorithmeetwurf Aforderuge: Korrektheit Effiziez (Laufzeit, Speicherplatz) Etwurf: 1. Beschreibug des Algorithmus/der Datestruktur 2. Korrektheitsbeweis 3. Aalyse vo Laufzeit ud Speicherplatz
11 Algorithmeetwurf Warum mathematische Korrektheitsbeweise? Fehler köe fatale Auswirkuge habe (Steuerugssoftware i Flugzeuge, Autos, AKWs) Fehler köe selte auftrete ( Austeste fuktioiert icht) Der teuerste algorithmische Fehler? Petium bug (> $400 Mio.) Eormer Image Schade Trat relativ selte auf
12 Algorithmeetwurf Warum Laufzeit/Speicherplatz optimiere? Riesige Datemege durch Veretzug (Iteret) Datemege wachse scheller als Recheleistug ud Speicher Physikalische Greze Schlechte Algorithme versage häufig bereits bei kleie ud mittlere Eigabegröße
13 Ziele der Vorlesug Methodisches Wisse: Selbstädige Etwicklug vo Datestrukture ud Algorithme Aalyse ud Bewertug mit Hilfe mathematischer Methode Faktewisse: Etwurfsmethode Grudlegede Datestrukture ud Algorithme Korrektheitsbeweise ud Effiziezaalyse
14 Arbeitsmaterial Bücher: Corme, Leisserso, Rivest: Itroductio to Algorithms, MIT Press Kleiberg, Tardos: Algorithm Desig, Addiso Wesley WWW: Kurs Itroductio to Algorithms am MIT. Olie Material (Folie, Video ud Audio Files!) Lik auf der Webseite der Vorlesug
15 Sortiere Problem: Sortiere Eigabe: Folge vo Zahle (a,,a ) Ausgabe: Permutatio (a,,a ), so dass a a a Beispiel: Eigabe: 15, 7, 3, 18, 8, 4 Ausgabe: 3, 4, 7, 8, 15,
16 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.)
17 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Schleife (for, while, repeat)
18 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Schleife (for, while, repeat)
19 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Zuweisuge durch
20 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Variable (z.b. i,j, key) lokal defiiert
21 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Keie Typdeklaratio, we klar aus Kotext
22 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Zugriff auf Feldelemete mit [.]
23 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Zusammegesetzte Date als Objekte Grudlegede Attribute vorhade (z.b. legth[a])
24 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Bei Objektzuweisuge wird ur die Referez auf das Objekt kopiert
25 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Blockstruktur durch Eirücke (keie Klammerug)
26 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Blockstruktur durch Eirücke (keie Klammerug)
27 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Bedigte Verzweigug (if-the-else)
28 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Parameter werde bei Prozeduraufruf kopiert (sid also ur lokal sichtbar)
29 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Rückgabe vo Parameter durch retur
30 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beschreibug des Algorithmus i Pseudocode (kei C, Java, etc.) Pseudocode: Kommetare durch
31 IsertioSort(Array A) 1. for j 2 to legth(a) do 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beispiel:
32 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key Beispiel:
33 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 Beispiel:
34 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel:
35 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key
36 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key
37 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key
38 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i j Beispiel: key
39 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel:
40 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key
41 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3
42 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3
43 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 i j Beispiel: key=3
44 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i Beispiel: j key=3
45 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i Beispiel: j key=3
46 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i Beispiel: j key=3
47 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i 1 j Beispiel: key=3
48 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key i 1 j Beispiel: key=3
49 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: key=3
50 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: Sortiert
51 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: Sortiert key
52 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 4. while i>0 ad A[i]>key do 5. A[i+1] A[i] 6. i i-1 7. A[i+1] key 1 j Beispiel: Sortiert key=14
53 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 j-1 j Beispiel: Sortiert key=14
54 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 j-1 j Beispiel: Sortiert key=14
55 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 i j-1 j Beispiel: Sortiert key=14
56 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key 1 i i+1 j Beispiel: key=14
57 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 i i+1 j Beispiel: key=14
58 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 i i+1 j Beispiel: key=14
59 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert
60 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert key=7
61 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert key=7
62 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7
63 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7
64 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=7
65 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert
66 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert key=6
67 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6
68 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6
69 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6
70 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: key=6
71 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel: Sortiert
72 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 j Beispiel:
73 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 Beispiel: Sortiert
74 IsertioSort(Array A) Eigabegröße 1. for j 2 to legth(a) do (legth(a)=) 3. i j-1 verschiebe alle 4. while i>0 ad A[i]>key do A[1,..,j-1], die größer als 5. A[i+1] A[i] key sid eie Stelle 6. i i-1 ach rechts 7. A[i+1] key Speichere key i Lücke 1 Beispiel: Sortiert
75 Korrektheit Schleife-Ivariate Eigeschaft, die am Afag ud Ede jedes Schleifedurchlaufs erfüllt ist Beispiel: Ivariate der for-schleife vo IsertioSort: Feld A[1,..,j-1] ist aufsteiged sortiert Korrektheitsbeweis: 1 j sortiert Iduktio über die Azahl der Schleifedurchläufe
76 Korrektheit Satz 1 Isertiosort sortiert eie Folge vo Zahle aufsteiged. Beweis: Wir zeige, dass die Schleifeivariate erfüllt ist Da die Schleife mit j=+1 termiiert, folgt aus der Ivariate die Korrektheit des Algorithmus Iduktiosafag (j=2): A[1] ist sortiert Iduktiosaahme(I.A.): Ivariate gilt für j=n
77 Korrektheit Iduktiosschritt (N N+1): Betrachte Durchlauf mit j=n Isertiosort merkt sich A[N] i Variable key Sei 1 k N-1 der größte Idex mit A[k]>key oder k=n, falls ei solcher icht existiert Der Algorithmus verschiebt A[k,..,N-1] ach A[k+1,..,N] Da wird A[k] auf de Wert key gesetzt Daach gilt: (1) A[1] A[2] A[k-1] ach I.A. (2) A[k-1] A[k] A[k+1] ach Ablauf des Algorithmus (3) A[k+1] A[k+2] A[N] ach I.A. Aus (1)-(3) folgt die Behauptug für N+1
78 Laufzeit Laufzeit hägt ab vo Größe der Eigabe (Parameter ) Art der Eigabe (Isertiosort ist scheller auf sortierte Eigabe) Aalyse: Parametrisiere Laufzeit als Fuktio der Eigabegröße Fide obere Schrake (Garatie) a die Laufzeit
79 Laufzeit Worst-Case Aalyse Für jedes defiiere Laufzeit T() = Maximum über alle Eigabe der Größe Garatie für jede Eigabe Stadard Average-Case Aalyse Für jedes defiiere Laufzeit T() = Durchschitt über alle Eigabe der Größe Hägt vo Defiitio des Durchschitts ab (wie sid die Eigabe verteilt)
80 Laufzeit Laufzeit hägt auch ab vo Hardware (Prozessor, Cache, Pipeliig) Software (Betriebssystem, Programmiersprache, Compiler) Aalyse: Soll uabhägig vo Hard- ud Software gelte
81 Laufzeit Maschiemodell: Eie Pseudocode-Istruktio braucht eie Zeitschritt Wird eie Istruktio r-mal aufgerufe, werde r Zeitschritte beötigt Formales Modell: Radom Access Machies (RAM Modell) Idee: Igoriere recherabhägige Kostate Betrachte Wachstum vo T() für Asymptotische Aalyse
82 Laufzeit IsertioSort(Array A) Zeit: 1. for j 2 to legth(a) do i j while i>0 ad A[i]>key do -1 + Σ t 5. A[i+1] A[i] Σ t 6. i i-1 Σ t 7. A[i+1] key Σ t t : Azahl Wiederholuge der while-schleife i Rude j j j j j j
83 Laufzeit Worst-Case Aalyse: t =j-1 für absteiged sortierte Eigabe (schlechtester Fall) Abstraktio vo multiplikative Kostate Θ-Notatio = = + = + = j j j j T ) ( ² 3 2 1) ( = + + = j
84 Θ-Notatio Zur Erierug: Θ(g(x)) = {f(x): es gibt pos. Kostate c,d ud N, so dass 0 c g() f() d g() für alle N} Idee der Θ-Notatio: Lasse Terme iedriger Ordug weg Igoriere multiplikative Kostate Beispiel: ² = Θ( )
85 Laufzeit Satz 2: IsertioSort hat eie Laufzeit vo Θ(²). Beweis: (3²+13-14) /2 = Θ(²) Ist das schell? I Ordug für kleie bis mittlere Eigabe Es gibt viel bessere Methode für große Eigabe
86 Zusammefassug Algorithmeetwurf Beschreibug Pseudocode Korrektheitsbeweis Techik: Schleifeivariate, Iduktio Laufzeitaalyse Recheruabhägig Worst-Case Aalyse Wachstum für Igoriere vo Kostate; Θ-Notatio
3. Inkrementelle Algorithmen
3. Ikremetelle Algorithme Defiitio 3.1: Bei eiem ikremetelle Algorithmus wird sukzessive die Teillösug für die erste i Objekte aus der bereits bekate Teillösug für die erste i-1 Objekte berechet, i=1,,.
Kurzvorstellung und Forschungsinteressen. Datenstrukturen, Algorithmen und Programmierung 2. Motivation. Überblick. Kapitel 1: Einführung.
Datestrukture, Algorithme ud Programmierug 2 Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Egieerig, LS11 Fakultät für Iformatik, TU Dortmud 1. VO SS 2008 8. April 2008 Kurzvorstellug ud Forschugsiteresse Algorithme
Asymptotische Notationen
Foliesatz 2 Michael Brikmeier Techische Uiversität Ilmeau Istitut für Theoretische Iformatik Sommersemester 29 TU Ilmeau Seite 1 / 42 Asymptotische Notatioe TU Ilmeau Seite 2 / 42 Zielsetzug Igoriere vo
Algorithmen und Datenstrukturen"
Lehrstuhl für Medieiformatik Uiversität Siege Fakultät IV 10 Aufwad vo Algorithme Versio: WS 14/15 Fachgruppe Medieiformatik 10.1 10 Aufwad vo Algorithme... Motivatio: I der Regel gibt es viele mögliche
Kapitel 10. Rekursion
Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 1 Kapitel 10 Rekursio Rekursio Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Ziele Das Prizip der rekursive
3 T (d 1, l 2. ) + (6 + 2) falls d > 0 7 sonst. n 2. 4T ( n 2 ) + log 2 (n), falls n > 1 1, sonst
Prof. aa Dr. Ir. Joost-Pieter Katoe Datestrukture ud Algorithme SS5 Tutoriumslösug - Übug 3 (Abgabe 3.05.05 Christia Dehert, Friedrich Gretz, Bejami Kamiski, Thomas Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge:
Dynamisches Programmieren Stand
Dyamisches Programmiere Stad Stad der Dige: Dyamische Programmierug vermeidet Mehrfachberechug vo Zwischeergebisse Bei Rekursio eisetzbar Häufig eifache bottom-up Implemetierug möglich Das Subset Sum Problem:
Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (01 Einleitung) Prof. Dr. Susanne Albers
Vorlesug Iformatik Algorithme ud Datestrukture (01 Eileitug) Prof. Dr. Susae Albers Orgaisatorisches Vorlesug: Mo 14.00 16.00 Uhr, HS 00-06, Geb.101 Do 11.00 13.00 Uhr, HS 00-06, Geb.101 Übuge: Ameldug
1 Randomisierte Bestimmung des Medians
Praktikum Diskrete Optimierug (Teil 0) 0.07.006 Radomisierte Bestimmug des Medias. Problemstellug ud Ziel I diesem Abschitt stelle wir eie radomisierte Algorithmus zur Bestimmug des Medias vor, der besser
Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Rekursionsgleichungen. Übersicht. Vorlesung 6: Mastertheorem (K4) Joost-Pieter Katoen
Übersicht Datestrukture ud Algorithme Vorlesug 6: (K) Joost-Pieter Katoe Lehrstuhl für Iformatik 2 Software Modelig ad Verificatio Group 1 Substitutiosmethode Rekursiosbäume http://moves.rwth-aache.de/teachig/ss-15/dsal/
Kapitel 11. Rekursion
Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 16/17 Kapitel 11 Rekursio Rekursio 1 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 16/17 Ziele Das Prizip der rekursive
Kapitel 11. Rekursion
Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 17/18 Kapitel 11 Rekursio Rekursio 1 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 17/18 Ziele Das Prizip der rekursive
Tutoraufgabe 1 (Rekursionsgleichungen):
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge): Gebe Sie die Rekursiosgleichuge für die Laufzeit der folgede
Frank Heitmann 2/56. Satz. 3 f (n) Θ(g(n)) lim n. 5 f (n) ω(g(n)) lim n
Algorithme ud Datestrukture Kapitel 2: ud Laufzeitaalyse rekursiver Algorithme (mittels ) Frak Heitma heitma@iformatik.ui-hamburg.de Algorithmeaalyse Um Algorithme zu bewerte beschäftige wir us isb. mit
HEUTE. Beispiele. O-Notation neue Einführung Ideen und Eigenschaften Aufgaben 47 und 52
11.02.04 1 HEUTE 11.02.04 3 Beispiele 2, 2 2, 2 +, 1 2 2 log habe asymptotisch gleiches Wachstum: O-Notatio eue Eiführug Idee ud Eigeschafte Aufgabe 47 ud 2 Aufteilugs- ud Beschleuigugssatz Idee ud Awedug
1. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Theoretische Iformatik Prof. Dr. Peter Saders Dr. Christia Schulz, Dr. Simo Gog Michael Atma. Übugsblatt zu Algorithme II im WS 06/07 http://algo.iti.kit.edu/algorithmeii
2 Asymptotische Schranken
Asymptotische Schrake Sowohl die Laufzeit T () als auch der Speicherbedarf S() werde meist durch asymptotische Schrake agegebe. Die Kostate c i, welche i der Eiführug deiert wurde, sid direkt vo der Implemetatio
Algorithmen und Datenstrukturen
Algorithme ud Datestrukture Übug c: Totale Korrektheit, Partielle Korrektheit, Hoare Kalkül, Assertios (Zusicheruge) Partielle Korrektheit Falls ei Programm termiiert ud die pezifikatio erfüllt, heißt
Info2 Übungsstunde 5. Agenda. Lösungen U4. Java... more insights. Tipps zur Übung 5
Ifo2 Übugsstude 5 Ageda Lösuge U4 Java... more isights Tipps zur Übug 5 1 L4.A1 Stack Neeswertes Zwei Members: buffer ud size capacity := buffer.legth empty := size == 0 elemet idex := size void push(it
Mathematische Rekursion. Rekursion. Rekursion in C++ Mathematische Rekursion. Definition. 1, falls n 1. n! = n (n-1)!, falls n > 1
Mathematische Rekursio Rekursio o Viele mathematische Fuktioe sid sehr atürlich rekursiv defiierbar, d.h. o die Fuktio erscheit i ihrer eigee Defiitio. Mathematische Rekursio o Viele mathematische Fuktioe
Teil VII : Zeitkomplexität von Algorithmen
Teil VII : Zeitkomplexität vo Algorithme. Algorithme ud ihr Berechugsaufwad. Aufwadsabschätzug Wachstum vo Fuktioe. Aufwad vo Suchalgorithme K. Murma, H. Neuma, Fakultät für Iformatik, Uiversität Ulm,
Kombinatorik und Polynommultiplikation
Kombiatorik ud Polyommultiplikatio 3 Vorträge für Schüler SS 2004 W Pleske RWTH Aache, Lehrstuhl B für Mathematik 3 Eiige Zählprizipie ud Ausblicke Wir habe bislag gesehe, was die Multiomialkoeffiziete
ALP I Induktion und Rekursion
ALP I Iduktio ud Rekursio Teil II WS 2009/200 Prof. Dr. Margarita Espoda Prof. Dr. Margarita Espoda Iduktio über Bäue Defiitio: a) Ei eizeler Blatt-Kote ist ei Bau o b) Falls t, t 2,,t Bäue sid, da ist
Dynamische Programmierung Matrixkettenprodukt
Dyamische Programmierug Matrixketteprodukt Das Optimalitätsprizip Typische Awedug für dyamisches Programmiere: Optimierugsprobleme Eie optimale Lösug für das Ausgagsproblem setzt sich aus optimale Lösuge
Quantensuchalgorithmen
Freie Uiversität Berli Semiar über Algorithme für Quatecomputer Sommersemester 00 Quatesuchalgorithme Reihardt Karapke karapke@if.fu-berli.de Simo Rieche rieche@if.fu-berli.de Quatesuchalgorithme Ihaltsverzeichis
Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx
Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per
Musterlösung. Testklausur Vorkurs Informatik, Testklausur Vorkurs Informatik Musterlösung. Seite 1 von 10
Musterlösug Name, Vorame, Matrikelummer Agabe sid freiwillig) Bitte ubedigt leserlich ausfülle Testklausur Vorkurs Iformatik, 27.09.20 Testklausur Vorkurs Iformatik 27.09.20 Musterlösug eite vo 0 Musterlösug
Lösungen zu Kapitel 4
Lösuge zu Kapitel 4 Lösug zu Aufgabe : Die folgede Grezwerte köe aalog zu Beispiel 4.(c bestimmt werde: (a lim + = 3 3. (b Die Folge a ist diverget. (c lim + = 0. 3 (d lim ( + 3 = 0. (e lim ( + = 0. Lösug
AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3
INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE
3 Elemente der Komplexitätstheorie Definitionen und ein Beispiel Nichtdeterminismus und das P-NP-Problem... 57
Ihaltsverzeichis 1 Berechebarkeit ud Algorithme 7 1.1 Berechebarkeit................................. 7 1.1.1 LOOP/WHILE-Berechebarkeit................... 8 1.1.2 Turig-Maschie...........................
Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt
Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:
4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Vorkurs Mathematik für Informatiker Potenzen und Polynome --
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- Poteze ud Polyome -- Thomas Huckle Stefa Zimmer (Stuttgart) 6.0.06 Vorwort Es solle Arbeitstechike vermittelt werde für das Iformatikstudium Der wesetliche Teil ist
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK WS 005/06 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik vom 9..006 Musterlösuge Aufgabe A: Gegebe sei eie Urliste
Die vollständige Induktion - Lösungen 1. Aufgabe: Sind die folgenden Aussageformen in N allgemeingültig?
Start Mathematik Lektioe i Aalysis Aufgabe zur vollstädige Iduktio Die vollstädige Iduktio - Lösuge. Aufgabe: Sid die folgede Aussageforme i N allgemeigültig? a) We ei Vielfaches vo ist, da ist eie gerade
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 0.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie l x 50
Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:
Empirische Verteilungsfunktion
KAPITEL 3 Empirische Verteilugsfuktio 3.1. Empirische Verteilugsfuktio Seie X 1,..., X uabhägige ud idetisch verteilte Zufallsvariable mit theoretischer Verteilugsfuktio F (t) = P[X i t]. Es sei (x 1,...,
Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartmann
Lösugsskizze Mathematik für Iformatiker 5. Aufl. Kapitel 3 Peter Hartma Verstädisfrage. Ka ma ei Axiom beweise? Nei!. Ka ei Beweis eier Aussage richtig sei, we im Iduktiosschluss die Iduktiosaahme icht
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann
Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Verstädisfrage 1. We Sie die Berechug des Biomialoeffiziete mit Hilfe vo Satz 4.5 i eiem Programm durchführe wolle stoße Sie schell
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes
Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1
![Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1](/thumbs/59/43554508.jpg "Aufgabe G 1.1. [Vollständige Induktion, Teleskopsumme] n k 3 = n N : k(k + 1) = 1 1")
Istitut für Aalysis ud Algebra Mathematik I für Studierede der E-Techik Prof Dr Volker Bach WiSe 06/7 M Sc Birgit Komader M Sc Christoph Brauer Theme: Groe Übug - Lösuge Vollstädige Iduktio - Teleskopsumme
Wörterbuchmethoden und Lempel-Ziv-Codierung
Kapitel 3 Wörterbuchmethode ud Lempel-Ziv-Codierug I diesem Abschitt lere wir allgemei Wörterbuchmethode zur Kompressio ud isbesodere die Lempel-Ziv (LZ))-Codierug kee. Wörterbuchmethode sid ei eifaches
Übung 1 Algorithmen II
Yaroslav Akhremtsev, Demia Hespe yaroslav.akhremtsev@kit.edu, hespe@kit.edu Mit Folie vo Michael Axtma (teilweise) http://algo2.iti.kit.edu/algorithmeii_ws17.php - 0 Akhremtsev, Hespe: KIT Uiversität des
2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
Skriptum zur ANALYSIS 1
Skriptum zur ANALYSIS 1 Güter Lettl WS 2017/2018 1. Grudbegriffe der Megelehre ud der Logik 1.1 Naive Megelehre [Sch-St 4.1] Defiitio eier Mege ach Georg Cator (1845 1918):,,Eie Mege M ist eie Zusammefassug
Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37
Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.
8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium
Algorithmen und Datenstrukturen 1
Algorithme ud Datestrukture. Vorlesug Peter F. Stadler Uiversität Leipzig Istitut für Iformatik studla@bioif.ui-leipzig.de aufbaued auf de Kurse der letzte Jahre vo E. Rahm, G. Heyer, G. Brewka,Uwe Quasthoff,
ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS
ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre
so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder auch abelschen Gruppe.
Defiitioe ud Aussage zu ruppe Michael ortma Eie ruppe ist ei geordetes Paar (, ). Dabei ist eie icht-leere Mege, ist eie Verküpfug (Abbildug), wobei ma i.a. a b oder gar ur ab statt ( a, b) schreibt. Es
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 08.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie x l x
18 2 Zeichen, Zahlen & Induktion *
18 2 Zeiche, Zahle & Idutio * Ma macht sich z.b. sofort lar, dass das abgeschlossee Itervall [ 3, 4] die Eigeschafte if[ 3, 4] 3 mi[ 3, 4] ud sup[ 3, 4]4max[ 3, 4] besitzt, währed das offee Itervall 3,
II. Grundlagen der Programmierung. Variable: Literale (Konstanten) Operatoren & Ausdrücke. Variablendeklaration:
Techische Iformatik für Igeieure (TIfI) WS 20052006, Vorlesug 2 II. Grudlage der Programmierug Ekkart Kidler Überblick Sytaxdefiitio Variable ud Ausdrücke Aweisuge Literale (Kostate) Variable Out.pritl("Das
Kapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
- 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete
Determinante und Resultante Azadeh Pasandi
Determiate ud Resultate 07.01.2009 Azadeh Pasadi Defiitio ud Grudeigeschafte: sei U, V, W ud Vektor-Raum über Körper F ud beachte eie Abbildug f ( u,v ) vo kartesische Produkt: f: U x V W Diese Abbildug
Höhere Mathematik I (Analysis) für die Fachrichtung Informatik
Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog M. Sc. Adreas Hirsch WS 204/5 24.0.204 Höhere Mathematik I (Aalysis) für die Fachrichtug Iformatik Lösugsvorschlag
Kreisabbildungen. S 1 f S 1. Beispiele: (1) f = id, F = id,
Kreisabbilduge Im Folgede sehe wir us eie gaz spezielle Klasse vo dyamische Systeme a: Abbilduge auf dem Kreis. Diese sid eifach geug, so dass wir sie och recht leicht aalysiere köe, habe aber adererseits
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet
Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im
Informatik II Dynamische Programmierung
lausthal Iformatik II Dyamische Programmierug. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Zweite Techik für de Algorithmeetwurf Zum Name: "Dyamische " hat ichts mit "Dyamik" zu tu, soder mit
Übung zur Vorlesung Einführung in die Algebra Prof. Dr. J. H. Bruinier Stephan Ehlen
Übug zur Vorlesug Eiführug i die Algebra Prof. Dr. J. H. Bruiier Stepha Ehle Sommersemester 2009 Lösugshiweise zu Übugsblatt 3 Aufgabe G3.1 Automorphisme vo Das ist im Prizip lieare Algebra: Sei f Aut(
Der Satz von Stone-Weierstraß. 1 Approximationssatz von Weierstraß
Der Satz vo Stoe-Weierstraß Vortrag zum Prosemiar Aalysis, 28.06.2010 Valetia Gerber, Sabria Kielma Aus der Vorlesug Aalysis I ud II kee wir das Kozept des Approximieres. Us wurde die Begriffe Taylor-
Übersicht. Algorithmen und Datenstrukturen. Übersicht. Organisation. gic. Organisation. Einführung. Analyse von Algorithmen.
OLC mputatioal gic Algorithme ud Datestrukture Reé Thiema Istitute of Computer Sciece Uiversity of Isbruck SS 010 Übersicht Orgaisatio Eiführug Aalyse vo Algorithme Suche ud Sortiere Hashverfahre Optimierugs-Probleme
Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I
Aufgabe ud e Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 008/009 Übug am 8..008 Übug 5 Eileitug Zuerst soll auf de aktuelle Übugsblatt ud Stoff der Vorlesug eigegage werde. Dazu werde
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015
Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie
4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
n=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.
Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,
Lektion II Grundlagen der Kryptologie
Lektio II Grudlage der Kryptologie Klassische Algorithme Ihalt Lektio II Grudbegriffe Kryptologie Kryptographische Systeme Traspositioschiffre Substitutioschiffre Kryptoaalyse Übuge Vorlesug Datesicherheit
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1)
Fachbereich Mathematik Algebra ud Zahletheorie Christia Curilla Grudlage der Mathematik (LPSI/LS-M1) Übugsklausur WiSe 2010/11 - C. Curilla/S. Koch/S. Ziegehage Liebe Studierede, im Folgede fide Sie eiige
i=0 a it i das erzeugende Polynome von (a 0,..., a j ).
4 Erzeugede Fuktioe ud Polyome Defiitio 4 Sei a = (a 0, a, eie Folge vo atürliche Zahle, da heißt die formale Potezreihe f a (t := i 0 a it i die erzeugede Fuktio vo a Gilt a i = 0 für i > j, so heißt
Sortieren DNA-Array oder DNA-Chip
Sortiere DNA-Array oder DNA-Chip Jeder Pukt des Feldes repräsetiert ei Ge g i des Mesche. Ei Ge ist der Baupla eies molekulare Bausteis useres Körpers. Mittels eies DNA-Chips ka ma gleichzeitig für viele
4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte
Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...
Seminar: Randomisierte Algorithmen Routenplanung in Netzwerken
Semiar: Radomisierte Algorithme Routeplaug i Netzwerke Marie Gotthardt 3. Oktober 008 Ihaltsverzeichis 1 Routeplaug i Netzwerke 1.1 Laufzeit eies determiistische Algorithmus'................ 1. Radomisierter
Recur : Falls Problem elementar : löse dieses mit spezieller Methode Falls Problem nicht elementar : wende Divide rekursiv an
Divide-ad-Coquer-Algorithme Fudametales Prizip des Problemlöses Divide : Zerlege das zu lösede Problem i (ei oder) mehrere kleiere Teilprobleme gleiche Typs Recur : Falls Problem elemetar : löse dieses
CampusSourceEngine HISLSF
Kopplug Hochschuliformatiossysteme ud elearig CampusSourceEgie Dipl.-Iform. Christof Veltma Uiversität Dortmud leartec, Karlsruhe, 14.02.2006 - Hochschuliformatiossysteme allgemei: Iformatiossysteme ud
186.813 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VU 6.0 1. Übungstest SS 2012 26. April 2012
Techische Uiversität Wie Istitut für Computergraphik ud Algorithme Arbeitsbereich für Algorithme ud Datestrukture 186.813 Algorithme ud Datestrukture 1 VU 6.0 1. Übugstest SS 2012 26. April 2012 Mache
Eigenschaften von Texten
Worthäufigkeite Eigeschafte vo Texte Eiige Wörter sid sehr gebräuchlich. 2 der häufigste Wörter (z.b. the, of ) köe ca. 0 % der Wortvorkomme ausmache. Die meiste Wörter sid sehr selte. Die Hälfte der Wörter
9. Primzahltests. Problemstellung: Definition: Satz: Gegeben sei n N, n 0, gilt n P?
9. Primzahltests Problemstellug: Gegebe sei N, 0, gilt P? Vergleich mit Tabelle ( 1 0 1, 1 0 1 3 uzweckmäßig Teste alle p P mit p 1 / auf p uzweckmäßig Fermat-Test : Wähle zufällig eiige a i Z ud teste:
Nennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung
Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt
Merge-Sort und Binäres Suchen
Merge-Sort ud Biäres Suche Ei Bericht vo Daiel Haeh Mediziische Iformatik, Prosemiar WS 05/06 Ihaltsverzeichis I. Eileitug 3 II. III. IV. i. Das Divide-ad-coquer -Verfahre Merge-Sort i. Eileitug ii. Fuktiosweise
Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)).
8. Untere Schranken für Sortieren Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)). Werden nun gemeinsame Eigenschaften dieser Algorithmen untersuchen. Fassen gemeinsame
5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w
Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die
Kapitel 6: Quadratisches Wachstum
Kapitel 6: Quadratisches Wachstum Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 009/10 1 Drei Beispiele Beispiel 1 Bremsweg eies PKW Bremsweg Auto.xls Ui Esse WS 009/10 Für user Modell des Bremsweges gilt a = a + d a =
Effiziente Algorithmen I: Approximationsalgorithmen Motivation und Begriffe
Michael Auerbach 291 Effiziete Algorithe I: Approxiatiosalgorithe Motivatio ud Begriffe Viele fudaetale Optiierugsproblee lasse sich für e Praxis icht schell geug exakt löse. Daher besteht der Wusch, das
5.7. Aufgaben zu Folgen
5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils
1.3 Funktionen. Seien M und N Mengen. f : M N x M : 1 y N : y = f(x) nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig.
1.3 Fuktioe Seie M ud N Mege f : M N x M : 1 y N : y fx et ma Fuktio oder Abbildug. Beachte: Zuordug ist eideutig. Bezeichuge: M : Defiitiosbereich N : Bildbereich Zielmege vo f Der Graph eier Fuktio:
Computer-Graphik II Verallgemeinerte Baryzentrische Koordinaten
4/22/10 lausthal omputer-raphik II Verallgemeierte Baryzetrische Koordiate. Zachma lausthal Uiversity, ermay zach@i.tu-clausthal.de Verallgemeieruge der baryzetr. Koord. 1. Was macht ma im 2D bei (kovexe)
mit (a 1 ) (0,0,,0). Dann ist die Menge,,a n,a 2 eine endliche Menge und besitzt ein grösstes Element ggt(a 1
Kapitel 1: Reste, Teiler, Vielfache Defiitio Es sei a 0. Die Zahl b 0 ist ei Teiler vo a, we es ei u 0 gibt, sodass ub= a. Ist b ei Teiler vo a, so ist a ei Vielfaches vo b. Bezeichug b a für b ist Teiler
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 14
Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt 4 Hausaufgabe Aufgabe 4. Sie sid 0 Miute zu spät i die Vorlesug gekomme ud stelle
Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
Kapitel 5. Ausrichten
Kapitel 5 Ausrichte Sucht ma i eier Datebak ach Zeichekette (Wörter, Name, Gesequeze), möchte ma oft aders als i de voragegagee Kapitel uterstellt icht ur exakte Treer, soder auch ähliche Vorkomme de.
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf