6 Tiefensuche in ungerichteten Graphen: Zweifache Zusammenhangskomponenten

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1 66 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN 6 Tiefenshe in ngerihteten Graphen: Zweifahe Zsammenhangskomponenten Der Algorithms ist ganz gena dersele wie im gerihteten Fall. Aildng 1 zeigt noh einmal den gerihteten Fall nd danah etrahten wir in Aildng 2 den ngerihteten Fall af dem analogen Graphen (Kanten sind amkanten, üer die entdekt wird.) y z s t 3/6 2/9 11/16 1/10 F C 4/5 7/8 12/13 14/15 C C C x w Aildng 1: Das Ergenis der Tiefenshe af einem gerihteten Graphen y T z d[s] T s t 3/ 2/ 1/ 7/ T T T 4/ 5/ 6/ 8/ x T w T Aildng 2: orhergender Graph, ngerihtete Variante Im ngerihteten Graphen gilt: eim ersten Gang drh eine Kante stößt man af einen weißen Knoten (Kante: T) af einen graen Knoten (Kante: ) niht af einen shwarzen Knoten (Kante: F oder C)

2 67 G π s z y x π[z] = s,π[y] = z, w t Im ngerihteten Fall der Tiefenshe ist festzhalten: Jede Kante wird zweimal etrahtet: {, } ei DFS-isit() nd ei DFSisit(). Maßgelih für den Kantentyp (amkante, Rükwärts-, Vorwärts-, Krezkante) ist die etrahtng: (i) {,} amkante eim ersten etrahten on {,} findet sih ein weißer Knoten. (ii) {,} Rükwärtskante eim ersten Gehen on {,} findet sih ein ereits graer Knoten (iii) eim ersten Gehen kann sih kein shwarzer Knoten finden. Deshal git es weder Krez- noh Vorwärtskanten. Der Weiße-Weg-Satz gilt hier ollkommen analog. Kreise erkennen ist ganz eenfalls analog mit Tiefenshe möglih. Der egriff der starken Zsammenhangskomponente ist niht sinnoll, da Weg (, ) im ngerihteten Fall eenso ein Weg (,) ist. Stattdessen: zweifah zsammenhängend. Untershied zwishen G 1 = nd G 2 =? a Löshen wir in G 1 einen elieigen Knoten, hängt der Rest noh zsammen. Für a,, im Graphen G 2 gilt dies niht. Für den Rest dieses Kapitels gilt nn folgende Konention: A jetzt gehen wir nr immer on zsammenhängenden, gerihteten Graphen as. Definition 6.1(zweifah zsammenhängend): G = (V, E) ist zweifah zsammenhängend G\{} ist zsammenhängend für alle V. G\{} edetet V \{},E \{{,} V}.

3 68 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN eispiel 6.1: G: G\{}: G zsammenhängend, niht zweifah zsammenhängend. G: G\{}: (eahte: ist stark zsammenhängend.) Knoten nd adjazente Kanten fehlen. G ist zweifah zsammenhängend. G: G G G ist niht zweifah zsammenhängend, da G \ {} niht zsammenhängend ist. Aer G nd G sind jeweils zweifah zsammenhängend. G: G\{}: G ist also zweifah zsammenhängend. Was ist die edetng zweifah zsammenhängend? Satz 6.1(Menger 1927): G zweifah zsammenh. Für alle, V, git es zwei disjnkte Wege zwishen nd in G. Das heißt, Wege (, 1,2,, m,), (, 1, 2,, m,) mit { 1,, m } { 1,, m} =. eweis erfolgt af üerrashende Weise später. Ein indktier eweis im h Graphentheorie on Reinhard Diestel. Die Rihtng ist einfah. eahte noh, ist, so tt es der Weg (,), mit leerer Menge on Zwishenknoten (also nr 1 Weg). Nn gilt es wiederm niht zweifah zsammenhängende Graphen in ihre zweifah zsammenhängenden estandteile z zerlegen, in die zweifahen Zsammenhangskomponenten (ah einfah zweifahe Komponenten genannt).

4 69 eispiel 6.2: Knoten in zwei zweifahen Zsammenhangskomponenten Definition 6.2(zweifahe Komponenten): Ein Teilgraph H = (W, F) on G ist eine zweifahe Komponente H ist ein maximaler zweifah zsammenhängender Teilgraph on G (maximal ezüglih Knoten nd Kanten). emerkng: (a) Jede Kante ist in gena einer zweifahen Komponente. () Sind H 1 = (W 1,F 1 ),,H k = (W k,f k ) die zweifahen Komponeten on G = (V,E), so ist F 1,,F k eine Partition (Einteilng) on E. E = F 1 F 2 F k F i F j = für i j, F 1 F k = E. eweis. (a) Wir etrahten die Teilgraphen H 1 nd H 2 sowie eine Kante {,}, die sowohl in H 1 als ah in H 2 liegt. H 1 H 2 Seien also H 1 H 2 zweifah zsammenhängend, dann ist H = H 1 H 2 zweifah zsammenhängend: Für alle w as H 1, w,w ist H \{w} zsammenhängend (wegen Maximalität). Eenso für alle w as H 2. Für w = ist, da immer noh da ist, H \ {w} zweifah zsammenhängend. Also wegen Maximalität zweifahe Komponenten H 1 H 2.

5 70 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN () F i F j = wegen (a). Da Kante (,) zweifah zsammenhängend ist, ist nah Definition jede Kante on E in einem F i. ezeihnng: Eine Kante, die eine zweifahe Komponente ist, heißt rükenkante. ei Knoten gilt (a) oen niht: gehört z 3 zweifahen Komponenten. ist ein typisher Artiklationspnkt. Definition 6.3(Artiklationspnkt): ist Artiklationspnkt on G G\{} niht zsammenhängend. emerkng 6.3: ist Artiklationspnkt gehört z 2 zweifahen Komponenten. eweis. Ist Artiklationspnkt. Dann git es Knoten,w,,w, so dass jeder Weg on nah w on der Art (,,,,w) ist. (Sonst G \ {} zsammenhängend) Also sind,w niht in einer zweifahen Komponente. Dann ist jeder Weg on der Art (,, 1,, 2,,w), so dass 1, 2 niht in einer zweifahen Komponente sind. Sonst ist in G\{} ein Weg (,, 1, 2,w) (ohne ), Widersprh. Also haen wir: 1 2 ershiedene Komponenten Die Kante { 1,} gehört z einer Komponente (eentell ist sie seler eine), eenso {, 2 }. Die Komponenten der Kanten sind ershieden, da 1, 2 in ershiedenen Komponenten liegen. Also liegt in den eiden Komponenten. Gehört also z > 2 Komponenten. Dann

6 k nd 2 Kanten on { i,} liegen in ershiedenen Komponenten. Etwa 1, 2. Aer 1 nd 2 sind in zwei ershiedenen Komponenten. Also git es w, so dass in G\{w} kein Weg 1 2 existiert. Denn wegen 1 2 mss w = sein nd ist Artiklationspnkt. Graphentheoretishe eweise sind niht ganz so leiht! Artiklationspnkte nd Tiefenshe? Artiklationspnkt (1) a d G π = a d Artiklationspnkt a (2) a d Artiklationspnkt G π = d Artiklationspnkt Rükwärtskante (3) Alternati z (2) a d Artiklationspnkt G π = d a Rükwärtskante Artiklationspnkt Was haen die Artiklationspnkte in allen genannten Fällen gemeinsam? Der Artiklationspnkt (sofern niht Wrzel on G π ) hat einen Sohn in G π, so dass es on dem Sohn oder Nahfolger keine Rükwärtskante zm ehten Vorgänger git!

7 72 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN (1) Gilt ei nd. d ist kein Artiklationspnkt nd das Kriterim gilt ah niht. (2) ist Artiklationspnkt, Sohn erfüllt das Kriterim., d erfüllen es niht, sind ah keine Artiklationspnkte. (3) Hier zeigt der Sohn a on an, dass ein Artiklationspnkt ist. Also keineswegs immer dersele Sohn! Was ist, wenn der Artiklationspnkt Wrzel on G π ist? a d a G π = d Zwei Söhne. Satz 6.2(Artiklationspnkte erkennen): Sei ein Knoten on G nd sei eine Tiefenshe gelafen. (Erinnerng: G immer zsammenhängend). a) Ist Wrzel on G π. Dann ist Ariklationspnkt in G π Söhne. hat 2 Nr is zrük. w Mindestens ein Vorgänger on existiert. (Kann ah die Wrzel sein.) Das heißt, hat einen Sohn (hier ), so dass on dem nd allen Nahfolgern in G π keine (Rükwärts-)Kanten z ehtem Vorgänger on existieren. eweis. a) G\{} niht zsammenhängend, damit Artiklationspnkt. Hat nr einen Sohn, dann G π = ) Ist niht Wrzel on G π. Dann ist Artiklationspnkt G π folgendermaßen: Rükwärtskanten w Zeige A drh A.

8 73 Dann ist G\{} zsammenhängend. (Können in G\{} üer w statt gehen.) Also ist kein Artiklationspnkt. Ist ohne Sohn, dann ist er kein Artiklationspnkt. ) In G\{} kein Weg w, also ist Artiklationspnkt. Gelte die ehaptng niht, also hat keinen Sohn wie in G π. 1. Fall hat keinen Sohn. Dann in G π w Rükwärtskanten In G \ {} fehlen die Rükwärtskanten nd {w,}. Also leit der Rest zsammenhängend. ist kein Artiklationspnkt. 2. Fall hat Söhne, aer keinen wie in der ehaptng. Dann G π = w Rükwärtskanten mindestens is w oder weiter zrük. In G\{} leien die eingetragenen Rükwärtskanten, die niht mit inzident sind, stehen. Also ist G\{} zsammenhängend. Also ist kein Artiklationspnkt. Zeige A drh A. Wie kann man Artiklationspnkte erehnen? Wir müssen für alle Söhne in G π wissen, wie weit es on dort as zrük geht. Definition 6.4(Low-Wert): Sei DFS(G) gelafen, also G π orliegend. a) Für Knoten ist die Menge on Knoten L() gegeen drh w L() w = oder w Vorgänger on nd es git eine Rükwärtskante on oder dem Nahfolger z w.

9 74 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN ) l[] = min{d[w] w L()} ist der Low-Wert on. (l[] hängt on Laf on DFS(G) a.) Folgerng 6.1: Sei DFS(G) gelafen nd niht Wrzel on G π. ist Artiklationspnkt hat Sohn in G π mit l[] d[]. eahte: l[] = d[] = Artiklationspnkt. Keine Äqialenz! l[] = d[] l[] < d[] (d/f/l) 6/7/6 1/8/1 2/5/2 3/4/3 a d Rükwärtskante 6/7/6 1/8/1 2/5/1 3/4/1 5/6/1 1/8/1 2/7/1 3/4/1 Rükwärtskante 6.1 erehnng on l[] l[] = d[] G π = w l[w] as d[w], Low-Wert der Kinder nd Rükwärtskanten on w. l[] as d[] nd Rükwärtskanten on as.

10 6.2 Algorithms (l-werte) 75 Korrektheit: Indktion üer die Tiefe des Teilames w. 6.2 Algorithms (l-werte) Wir entzen eine modifizierte Version der Prozedr DFS-isit(). Prozedr MDFS-isit() 1 ol[] = gra; 2 d[] = time; 3 l[] = d[]; 4 time = time+1; 5 foreah Adj[] do 6 if ol[] == weiß then 7 π[] = ; 8 MDFS-isit(); /* Kleineren Low-Wert des Kindes üernehmen. */ 9 l[] = min{l[],l[]}; 10 end 11 if ol[] == gra nd π[] then /* Rükwärtskante */ /* Merken, welhe am weitesten zrük reiht. */ 12 l[] = min{l[],d[]}; 13 end 14 end 15 ol[] = shwarz; 16 f[] = time; 17 time = time+1; Damit können wir Artiklationspnkte in Linearzeit erkennen. Es leien die zweifahen Komponenten z finden. Seien die l-werte gegeen. Nn zweite Tiefenshe folgendermaßen drhführen: Weiße Knoten werden or dem Afrf on DFS-isit af einem Keller gespeihert. Wir efinden ns jetzt in DFS-isit(). Der Tiefensham as der ersten Tiefenshe sieht so as: G π =

11 76 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Sei jetzt l[] d[]. Das heißt ist ein Artiklationspnkt ezüglih. Noh in DFS-isit(), direkt nahdem DFS-isit() zrükgekehrt ist sieht nser Keller so as: (Wenn nter keine weiteren Artiklationspnkte sind.) TopOfStak Alles, was nah entdekt wrde. Das gehört z einer Komponente mit nd. Alles, was nah, aer or entdekt nd noh keiner Komponente zgeordnet wrde. Das gehört zsammen mit z einer anderen Komponente ohne. ottomofstak Nahdem DFS-isit() zrükgekehrt ist, geen wir jetzt den Kellerinhalt is einshließlih as. Dann maht die zweite Tiefenshe eim nähsten Kind on weiter. Komponente wird asgegeen. TopOfStak ottomofstak eispiel 6.4: Rükwärtskante a 1/10/1 2/9/1 3/8/1 Kein Artiklationspnkt, aer Anfang einer Komponente Artiklationspnkt d 4/5/4 6/7/6 e

12 6.3 Algorithms (Zweifahe Komponenten) 77 DFS-isit(), DFS-isit(d) fertig Asgae: d, DFS-isit(), DFS-isit(e) fertig Asgae: e, DFS-isit(a), DFS-isit() fertig Asgae:,,a d (a) (a) e (a) (a) (a) (a) l[d] d[] l[e] d[] l[] d[a] 6.3 Algorithms (Zweifahe Komponenten) Algorithms 9: 2fahe Komponenten(G) Inpt : ngerihteter Graph G = (V,E) /* Modifizierte Tiefenshe für l-werte */ 1 MDFS(G); /* Alle Knoten wieder weiß. Die restliher Werte leien erhalten. Insesondere d nd l werden noh geraht. */ 2 foreah V do 3 ol[] =weiß 4 end 5 S = (); /* Keller initialisieren */ 6 foreah V do /* Diesele Reihenfolge wie ei 1. */ 7 if ol[] == weiß then 8 NDFS-isit(); /* Kann ei isolierten Knoten passieren. */ 9 if Q () then 10 Knoten in Q asgeen; 11 Q = (); 12 end 13 end 14 end

13 78 6 ZWEIFACHE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Prozedr NDFS-isit() 1 ol[] = gra; 2 foreah Adj[] do 3 if ol[] == weiß then 4 psh(q,); /* af Keller */ 5 NDFS-isit(); 6 if l[] d[] then /* ist Artiklationspnkt */ 7 Solange Knoten on Q entfernen nd Asgeen, is asgegeen; 8 Knoten ah mit asgeen; 9 end 10 end 11 end 12 ol[] = shwarz; eweis. Korrektheit indkti üer s = #Zweifahe Komponenten on G. Indktionsanfang: s = 1 Asgae nr am Ende, da kein Artiklationspnkt. Also korrekt. Indktionsshlss: Gelte ehaptng für alle(!) Graphen mit s 1 zweifahen Komponenten. Zeige dies für G mit s+1 Komponenten. Wir etrahten die 2. Tiefenshe des Algorithms. Die l-werte stimmen also ereits, wegen der Korrektheit der 1. Tiefenshe. Wir etrahten den am G π, welher der gleihe wie ei der 1. Tiefenshe nd 2. Tiefenshe ist. G π = Geht ah ei Wrzel. l[] d[] Sei NDFS-isit() der erste Afrf, nah dem die Asgae erfolgt. Dann ist l[] d[]. Ist l[] = d[], dann ist latt (sonst orher Asgae) nd, wird asgegeen. Ist l[] > d[], dann Asgae des Kellers is nd zsätzlih. Damit wird eine zweifahe Komponente asgegeen. Alles was nah entdekt wrde, fällt

14 6.3 Algorithms (Zweifahe Komponenten) 79 in G\{} a. (Mehr kann niht daz gehören, weniger niht, da isher kein Artiklationspnkt). Nah Asgae der Komponente liegt eine Sitation or, die in DFS-isit() aftritt, wenn wir den Graphen etrahten, in dem die Kante {,} nd die asgegegenen Knoten aßer gelösht sind. Af diesem ist die Indktionsorassetzng anwendar nd der Rest wird rihtig asgegeen.