Musterlösung zur 1. Übungsstunde

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1 Musterlösung zur 1. Übungsstunde 1) PISA-Aufgabe: Dreiecke Aufgabenanalyse a) Einbettungsproblem: Voraussetzungen (Lernziele vorher): - geometrische Bezeichnungskonventionen für Dreiecke, Strecken und Winkel müssen bekannt sein - Erkennen von rechten Winkeln und Unterscheidung von nicht rechten Winkeln - Zuordnung eines Winkels zu einem Punkt verstehen - Vergleich von Streckenlängen - Mittelpunkt von Strecken identifizieren - Entscheiden, ob ein Punkt im Inneren eines Dreieckes liegt Anschließende Themen (Lernziele nachher): - Besondere Linien und Punkte im Dreieck (Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Umkreis, Inkreis, ) - Winkelsumme im Dreieck - Dreiecksungleichung - Kongruenzsätze - Dreiecke konstruieren (incl. Konstruktionsbeschreibung) - Länge = Berechnung der Seiten und Winkel - Satz des Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz 1

2 b) Bedeutungsproblem: - Grundanforderung = Ausschlussverfahren, bei dem zu entscheiden ist, welche Aussagen für ein Dreieck zutreffen und welche nicht - Übertragung von Text auf Zeichnung bzw. Beschreibungen zuordnen können - Überblick über die vielen Teilaufgaben behalten / Kombination verschiedener mathematischer Angaben - Fachsprache lesen lernen, also das Gelesene verstehen und umsetzen - Beschreiben von geometrischen Figuren (hier: eines Dreiecks) - Konzentration und systematisches Arbeiten c) Reichhaltigkeitsproblem: - umfangreicher begrifflicher-technischer Anforderungskatalog (Wissensinhalte verteilt über die Sek. I), komplexe Aufgabe - einige Bedingungen treffen auf mehrere Dreiecke zu - Dreiecke ähneln sich in vielen Punkten - Probleme der Aufgabe: Bezeichnung PQR irreführend, da Leserichtung gegen den Uhrzeigersinn Die vielen einzelnen Punkte im Dreieck und das Dreieck im Dreieck kann Schüler verwirren Bessere Gliederung der Aufgabe (z.b. Stichpunkte) 2

3 d) Erkenntnis- und Findungsproblem: - Tabelle mit trifft zu / nicht zu /unklar - Ausschlussverfahren, d.h. Dreiecke abstreichen: nur ein Dreieck angucken und Aussage als gegeben ansehen: Trifft diese Aussage zu? Oder mehrfache Wiederholung dieser Frage an den einzelnen Dreiecken - raten Bei dieser Aufgabe lernen die Schüler: Entwickeln von Lösungsstrategien und erkennen, dass es verschiedene Lösungsstrategien gibt Effizientes Arbeiten durch schnellere Lösungsstrategie strukturiertes Arbeiten Eigene Strategien entwickeln Konzentration und Durchhaltevermögen Komplexe Aufgabe in Teilschritten lösen Ohne Werkzeug (z.b. Geodreieck) rechte Winkel erkennen und Längen abschätzen e) Problem der Festigung von Fähigkeiten und Fertigkeiten: - Offenheit der Aufgabe: Ausschlusspragmatik ist variierbar - Umgang mit Textaufgaben (besonders den Zusammenhang von Aspekten untereinander erkennen) - Eigene Strategien entwickeln - Schritt für Schritt Vorgehen, d.h. systematisches Vorgehen - Überprüfen der Kenntnisse der geometrischen Begriffe 3

4 f) Problem der Forderung von theoretischen Einsichten: - Es wird keine Begründung, warum welches Dreieck ausgeschlossen wird, verlangt. Es ist nur die Lösung gesucht (d.h. ein Schüler kann auch zufällig die richtige Lösung haben). Für den Unterricht sollte die Aufgabe ergänzt werden mit: Begründe deine Auswahl. - Schüler müssen verstehen, dass jede Bedingung für sich notwendig, aber nicht hinreichend ist. 4

5 2) PISA-Aufgabe: Figuren Lernziele (vorher/nachher): Vorher: - Begriffe Flächeninhalt und Umfang müssen bekannt sein (sowie Methoden, um diese bei krummlinig begrenzten Figuren zu bestimmen) - Berechnung von Flächeninhalten beim Quadrat, Rechteck, Dreieck - Flächenvergleich Nachher: - Aufgabe ist noch erweitererbar: z.b. Vergleich der Umfänge - Approximation - Körper (Volumen) - Berechnung der Kreisfläche und des Kreisumfangs Funktion der Aufgabe: - Methoden zur Bestimmung des Flächeninhaltes und des Umfangs von krummlinig begrenzten Figuren entwickeln - Zu a) Begründen was sie beim Vergleich machen - Zusammenhängende Aspekte zu Flächeninhalt und Umfang Lösungswege: zu a): - Figur B ausschneiden und über die anderen legen - Durchmesser von Figur B bestimmen und mit dem der anderen Figuren vergleichen - Figur über die anderen Figuren zeichnen und danach vergleichen 5

6 zu b): - Quadratgitter über die Figuren zeichnen und die Quadrate zählen. - Die Arme der Figur abschneiden und die Teile so anordnen, dass sie ein Quadrat ausfüllen, danach die Seitenlänge des Quadrats messen. - Anstatt eines Quadrates ein Rechteck um die Figur zeichnen und die noch auszufüllenden Fläche mit Dreiecken, Quadraten, Rechtecken ausfüllen. - Ein 3-D-Modell der Figur bauen und es mit Wasser füllen. Die Menge des dazu verwendeten Wassers und die Tiefe des Wassers im Modell messen. Den Flächeninhalt anhand dieser Information ermitteln. Unvollständige Antworten: - Flächeninhalt des Kreises finden und den Flächeninhalt der ausgeschnittenen Teile davon abziehen. Problem: keine Aussage zur Findung der Flächeninhalte der ausgeschnittenen Teile. - Den Flächeninhalt jedes einzelnen Arms der Figur addieren. Zu c): - Ein Stück Schnur auf den Umriss der Figur legen und danach die Länge der benötigten Schnur messen. - Die Schnur in kurze, beinahe gerade Stücke schneiden, diese zu einer Linie zusammensetzen und dann die Länge der Linie messen. Theoretische Einsichten: - zu a) Hier ist explizit eine Begründung des Vergleichs verlangt, d.h. nur zu sagen, dass Figur B die größte Fläche hat, reicht hier nicht aus. 6