- Verarbeitung des Vergleichsergebnisses, Abweichung bzw. Unterschied (Regeldifferenz)

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1 Kapiel. Prinzip der Regelung Was bedeue regeln bzw. regulieren? Einen besimmen Zusand bzw. Größe (unbeeinfluß von Sörungen) zu erhalen oder einzusellen Welche Größen (Regelgrößen) sind dies? Beispiele: Temperaur, Druck, elekrische Spannung, Konzenraion, Lichinensiä, Drehzahl, Füllsand, Sückzahl, Verkehr, Dicke, ec. Aus den Beispielen erkenn man, daß die Regelung ein allgemeines Grundprinzip darsell, das in vielen Bereichen (Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Ökonomie ec.) vorkomm. Beispiel: Temperaurregelung beim Duschen Man ha ein geschlossenes Sysem,einen Regelkreis. Das Beispiel zeig die in einem Regelkreis vorkommenden Funkionen: Saz: - Messung der zu regelnden Größe (Regelgröße) im Beispiel: die Temperaur ϑ - Vergleich dieser Größe, Weres (Iswer) mi einem geünschen, vorgegebenen Wer (Sollwer) - Verarbeiung des Vergleichsergebnisses, Abweichung bzw. Unerschied (Regeldifferenz) - Beinflussung des Sysems um die Abweichung zu verringern (roz aufreender Sörungen) Eine Regelung is dadurch charakerisier, daß eine gemessene Größe auf das Sysem zurückwirk (Feedback). Man ha einen geschlossenen Regelkreis

2 Kapiel 2 Geschiche der Regelungsechnik: Um 800 Drehzahlregelung einer Dampfmaschine mi Hilfe eines Fliehkrafpendels (James Wa). Sei ca. 940 ha sich die heuige Regelungsechnik aus der Krafmaschinen- und Nachrichenechnik enwickel. 942 Ziegler, Nichols, Opimum seings for auomaic conrollers 952 Chien, Hrones, Reswick, On he auomaic conrol of generalized passive sysems 960 Kalman Zusandsdarsellung 97 Takahashi, Chan, Auslander, Parameereinsellung bei linearen DDC-Algorihmen Wegen der Anwendung der Regelungsechnik in den unerschiedlichsen Wissensgebieen oder der Beschreibung von dynamischen Sysemen (z.b. in der Biologie, Ökonomie, Chaosforschung ec.) mi Hilfe der REgelungsechnik ha sich die Regelungsechnik (Sysermechnik) zu einem unabhängigen Wissenschafsgebie enwickel. Daraus ergaben sich: - Absrahierung des dynamischen Sysems (Regelvorgangs) - spezielle Darsellungsweisen (Blockschalbild) - spezielle Begriffe - spezielle Denkweisen - (spezielle Rechenweisen) Akuelle Gebiee der Regelungsechnik sind zur Zei: - Fuzzy Logik - neuronale Neze - Chaosheorie

3 Kapiel 3. Seuerung Bei einer Seuerung exisier keine Rückwirkung (Rückkopplung, Gegenkopplung, Feedback)! Der Wer der Ausgangsgröße ha keinen Einfluß auf den Eingang! Der Signalfluß exisier nur in einer Richung! Es is kein Regelkreis, es is eine Seuerkee Beispiel: Flüssigkeisfüllsand im Behäler (z.b. Wasserwerk) Frage: Wie erkenn man daß eine Seuerkee vorlieg? Funkion der Einzelgeräe besimmen (Eingangs- und Ausgangsgröße), in Blöcken skizzieren und wirkungsmäßig verknüpfen! Folge bei Seuerungen: Bei Sörungen (im Beispiel Verbrauchsschwankungen) reen sarke Schwankungen der geseueren Größe (im Beispiel Füllsand h) auf.

4 Kapiel 4.2 Regelung Verbesserung des Ergebnisses als Beispiel konsane Füllsandshöhe h durch eine Regelung (nichselbsäig) Frage: Wie sieh man, daß ein Regelkreis vorlieg? Verfahren wie bei der Seuerung: Funkion der Einzelgeräe besimmen (Eingangs- und Ausgangsgröße), in Blöcken skizzieren und wirkungsmäßig verknüpfen! (Regel-) Kreis Nacheil: personalinensiv, evenuell gesundheisgefährdend euer, ungenau Verbesserung: Mensch durch maschinellen Regler ersezen

5 Kapiel 5 geräeechnische Darsellung einer Regelung (selbsäig): Darsellung des Regelkreises in Blöcken:

6 Kapiel 6.3 Sysem, Srukur, Seuerung, Regelung allgemeine Grundbegriffe, Definiionen nach DIN 9226 Teil Sichworverveichnis deusch-englisch, Beibla zu DIN 9226 (Februar 994) Sysem: Ein Sysem is in einem beracheen Zusammenhang gegebene Anordnung von Gebilden, die mieinander in Beziehung sehen. Beispiel: Seuerung bzw. Regelung des Füllsandes im Kapiel. und.2. Srukur: Die Srukur is die Gesamhei der Beziehungen zwischen den Teilen eines Ganzen. Sysemparameer Die Sysemparameer sind Größen deren Were das Verhalen des Sysems bei gegebener Srukur kennzeichnen. Größe (variable),wer einer Größe: Eine Größe beschreib die Eigenschaf eines Vorgangs oder Körpers, die einer qualiaiven Idenifizierung und einer quaniaiven Besimmung zugänglich sind. Der Wer einer Größe is das Ergebnis ihrer quaniaiven Besimmung, das als Produk aus Zahlenwer und Einhei angegeben is (siehe auch Meßechnikvorlesung). Eingangsgröße (inpu variable), Eingangsvekor (inpu vecor): Die Eingangsgröße u is eine Größe, die auf das berachee Sysem einwirk, ohne selbs von ihm beeinfluß zu werden. Sämliche Eingangsgrößen u i, i =, 2, 3... p eines beracheen Sysems bilden den Eingangsvekor u = (u, u 2, u 3... u p ). Ausgangsgsgröße(oupu variable), Ausgangsvekor (oupu vecor): Die Ausgangsgröße v is eine erfaßbare Größe eines Sysems, die nur von ihm und seinem Eingangsgrößen beeinfluß wird; sämliche Ausgangsgrößen v k, k =, 2, 3... q eines beracheen Sysems bilden den Ausgangsvekor v = (v, v 2, v 3... v q ) Wirkungsplan (acion diagram): Der Wirkungsplan is die sinnbildliche Darsellung der Gesamhei aller Wirkungen in einem beracheen Sysem. Wirkungsrichung (direcion of acion): Die Richung in der die Wirkungen überragen werden, heiß Wirkungsrichung; sie geh ses von der verursachenden zur beeinflußen Größe und wird durch Pfeile dargesell. u ( ) u d u 2 v ( ) Wirkungslinie (acion line): Die Wirkungslinie sell einen Weg einer Größe im Wirkungsplan dar. Auf ihr wird die Wirkungsrichung durch einen Pfeil angegeben. Block (funcional block): Der Block sell ein Sysem oder ein Gebilde mi einer oder mehreren verursachenden und einer beeinflußen Größe im Wirkungsplan dar. Er ha mi Ausnahme der Addiion die Form eines Rechecks. Innerhalb des Rechecks soll die wirkungsmäßige Abhängigkei angegeben werden. u +_ v Addiion (addiion): +_ Die Addiion bilde die algebraische Summe mehrerer werkoninuierlicher Größen. Sie wird im Wirkungsplan durch einen Kreis rv3cn dargesell, der wesenlich kleiner als der Block is. Die Polariä, mi der eine werkoninuierliche Größe in eine Addiion eingeh, wird durch ein Vorzeichen angegeben. Es seh in Pfeilrichung gesehen rechs neben der Wirkungslinie. Posiive Vorzeichen können weggelassen werden.

7 Kapiel 7 Beispiele für Addiionssellen: x rv3b x 2 x 3 x = x + x 3 2 Pfeirichung beachen Vorzeichen beachen x x 3 rv3b2 _ x 2 x = x 3 x 2 x + x = x 3 2 x x 3 x = x x 2 3 x = x x 2 3 rv3b3 x 2 Verzweigung (branching poin): Die Verzweigung is eine Selle im Wirkungsplan, von der aus ein und diesselbe Größe mehreren Blöcken oder Addiionen zugeführ wird. Sie ha die Form eines Punkes. Beispiele für Verzweigungsellen: x x 2 x 3 x = x 2 = x 3 x x 2 x 3 rv3a rv3a2 x 4 x = x 2 = x 3 = x 4 Grundsrukur (basic srucure): Grundsrukuren des Wirkungsplans sind Reihen-, Parallel- und Kreissrukuren. Reihensrukur (chain srucure): In einer Reihensrukur sind innerhalb eines Sysems alle Teilsyseme in ihren Wirkungswegen aneinandergereih, sodaß innerhalb des Sysems jede Ausgangsgröße eines Teilsysems gleich der Eingangsgröße des folgenden Teilsysems is. rv3en

8 Kapiel 8 Parallelsrukur (parallel srucure): In einer Parallelsrukur sind innerhalb eines Sysems die Ausgangsgrößen von Teilsysemen mi gemeinsamer Eingangsgröße über nebeneinanderlaufende Wirkungswege zusammengeführ. rv3fn Kreissrukur (closed loop srucure): In einer Kreissrukur sind innerhalb eines Sysems die Ausgangsgröße eines Teilsysems über einen weieren Wirkungsweg als zusäzliche Eingangsgröße einem davorliegenden Teilsysem zugeführ. rv3gn Offener und geschlossener Wirkungsweg: Der Wirkungsweg zwischen verursachender und beeinflußer Größe heiß offener Wirkungsweg (open acion pah), wenn von der beinflußen Größe kein Wirkungsweg zu einer verursachenden Größe zurückführ. Is ein solcher vorhanden, so lieg ein geschlossener Wirkungsweg (closed acion pah) vor. Wirkung verursachende Größen Sysem beeinfluße Größe verursachende Größen Sysem beeinfluße Größe Sysem 2 rv3hn rv3in Rückwirkung offener Wirkungsweg (open acion pah) geschlossener Wirkungsweg (closed acion pah)

9 Kapiel 9 Definiionen nach DIN 9226 (Februar 994) Begriffe für Regelungs- und Seuerungssyseme (Teil 4) Funkionelle Begriffe (Teil 5) Typischer Wirkungsplan einer Regelung: Srecke (plan, conrolled sysem): Die Srecke (Seuersrecke, Regelsrecke) is der aufgabengemäß zu beeinflussende Teil des Sysems oder ensprechende Teil des Wirkungsplans. Meßeinrichung (measuring uni, ransmier): Die Meßeinrichung is die Gesamhei aller zum Aufnehmen, Anpassen und Ausgeben von Größen besimmen Funkionseinheien. Vergleichsglied (comparing elemen): Das Vergleichsglied is eine Funkionseinhei, die die Regeldifferenz e aus der Führungsgröße w und der Rückführgröße r bilde. Regelglied (conroller, conrolling elemen): Das Regelglied is eine Funkionseinhei, die die Regeldifferenz e als Eingangsgröße die Ausgangsgröße des Reglers so bilde, daß im Regelkreis die Regelgröße - auch beim Aufreen von Sörungen - der Führungsgröße so schnell und genau nachgeführ wird. Regler (conroller): Der Regler is eine Funkionseinhei, die aus Vergleichsglied und Regelglied beseh. Seller (acuaor): Der Seller is eine Funkionseinhei, in der aus der Reglerausgangsgröße die zur Anseuerung des Sellgliedes erforderliche Sellgröße gebilde wird. Sellglied (final conrolling elemen): Das Sellgleid is die am Eingang der Srecke angeordnee zur Regelsrecke gehörende Funkionseinhei, die in den Massensrom oder Energiefluß eingreif. Ihre Eingangsgröße is die Sellgr ße. Selleinrichung (acuaor, power amplifier, servo amplifier): Die Selleinrichung is eine aus Seller und Sellglied besehende Funkionseinhei. Regeleinrichung (conrolling means): Die Regeleinrichung is derjemige Teil des Wirkungsweges, der die aufgabengemäße Beeinflussung der Srecke über das Sellglied bewirk.

10 Kapiel 0 Regelgröße (conrolling variable, desired value): Die Regelgröße x is diejenige Größe der Regelsrecke, die zum Zwecke des Regelns erfaß und über die Meßeinrichung der Regeleinrichung zugeführ wird. Sie is die Ausgangsgröße der Regelsrecke und Eingangsgröße der Meßeinrichung. Rückführgröße (feedback variable): Die Rückführgröße r is eine aus der Messung der Regelgröße hervorgegangene Größe, die zum Vergleichsglied zurückgeführ wird. Regeldifferenz (error variable, deviaion): Die Regeldifferenz e is die Differenz zwischen der Führungsgröße w und der Rückführgröße r. Reglerausgangsgröße (conroller oupu variable): Die Reglerausgangsgröße y R is die Eingangsgröße der Selleinrichung. Sellgröße (manipulaed (correcing) variable): Die Sellgröße y is die Ausgangsgröße der Seuer- und Regeleinrichung und zugleich Eingangsgröße der Srecke. Sie überräg die seuernde Wirkung auf die Srecke. Sörgröße (disurbance variable, load): Die Sörgröße z in einer Seuerung oder Regelung is eine von außen wirkende Größe, die die beabsichige Beeinflussung in der Seuerung oder Regelung beeinrächig. Führungsgröße (reference variable, se value): Die Führungsgröße w einer Seuerung oder Regelung is eine von der Seuerung oder Regelung nich beeinfluße Größe, die der Seuerkee oder dem Regelkreis von außen zugeführ wird und die der Ausgangsgröße der Seuerung oder Regelung in vorgegebener Abhängigkei folgen soll. Enfäll die Meßeinrichung,so vereinfach sich der ypische Wirkungsplan einer einschleifigen Regelung derar: z v y S = Regelsrecke R = Regelglied mi Seller z V = Versorgungssörgröße und z L = Lassörgröße y S R z L x - e w

11 Kapiel.4 Darsellung von Regelkreisen im Blockschalbild Geräebild: Schemaische Darsellung: Der Signalfluß is nich geschlossen eine Seuerung lieg vor Überprüfung der Vorzeichen: z : bei seigender Außenemperaur nimm die Raumemperaur zu die Außenemperaur ha einen posiiven Einfluß auf die Raumemperaur z 2 : mi zunehmender Fenseröffnung wird die Raumemperaur niedriger die Fenseröffnung ha einen negaiven Einfluß auf die Raumemperaur

12 Kapiel 2 Geräebild: Raumemperaurregelung von Hand Raumemperaurregelung vom Regler Schemaische Darsellung: der Signalfluß is geschlossen eine Regelung lieg vor

13 Kapiel 2 2. Unersuchung des saischen Verhalens von Regelkreisgliedern (RKG) und Regelkreisen Um Regelkreisglieder = Elemene des Regelkreises mahemaisch beschreiben zu können, muß man für Gleichgewichszusände wissen, wie groß das Ausgangssignal v (oupu signal) bei einem besimmen Eingabesignal u (inpu signal) is. Dieser Zusammenhang wird durch eine Kennlinie (characerisic curve, Kennlinienfelder (se of characerisic curves), Wereabellen usw. v = v(u) = f(u) bzw. v = v(u, u 2,... u n ) beschrieben. Wichig is hierbei, daß die Signale sich zeilich nich mehr ändern ( ). Zu einem konsanen Eingangssignal u gehör ein konsanes Ausgangssignal v. Im allgemeinen is der Zusammenhang v = v(u) nichlinear, in manchen Fällen linear. Eingangssignal, Ausgangssignal (single inpu - single oupu = SISO) u v R.K.G. rv20a Beispiel: Transisorkennlinie: i C = i C (i B ) mi u CE = cons. Gasgleichung: p = p(t) mi V, ν = cons. mehrere Eingangssignale, Ausgangssignal (muliple inpu - single oupu = MISO) u u u u 2 3 n v R.K.G rv20b Beispiel: Transisorkennlinie: i C = i C (i B, u CE ) Gasgleichung: p = p(t, V, ν)

14 Kapiel 2 2 allgemein:- n - Eingangssignale und m - Ausgangssignale (muliple inpu - muliple oupu = MIMO) rv20c Beispiel: Venil Eingangssgrößen: p e = Eingangsdruck h = Hub Ausgangsgröße p a = Ausgangsdruck V = Volumensrom bzw. ṁ = Massensrom In dem Beispiel des Venils als Sysem ha man bei dieser Berachung: 2 Eingangs- und 2 Ausgangsgrößen. Mahemaisch werden solche Syseme durch mehrere Gleichungen beschrieben (hier durch 2 Gleichungen) und allgemein in Form einer (n x m) - Marix mi n - Eingangsgrößen und m - Ausgangsgrößen dargesell. rv20d

15 Kapiel Saisch lineare Kennlinie Beispiel 2..: Waagebalken (bei Füllsandsregelung, Übung 3.) a=2cm b=cm v u rv2an Bei einer Verschiebung von u um x mm, wird v um y mm beweg. Der Zusammenhang von u und v sei durch folgende Meßwere abellarisch gegeben: u/mm v/mm Aus der Wereabelle ergib sich folgendes Diagramm: 50 mm 40 Kennlinie v = v(u) des Waagebalkens v(u) mm rv2amf u Man erkenn im Diagramm, daß die Kennlinie durch eine Gerade darsellbar is lineare Kennlinie Lineare Kennlinie ha als charakerisische Kenngröße: = Ansieg Im allgemeinen Sprachgebrauch bedeue der Ansieg einer solchen Kennlinie eines Elemenes seine Versärkung. In der Regelungsechnik nenn man diese Versärkung: K = proporionaler Überragungsbeiwer (proporional ransfer coefficien)

16 Kapiel 2 4 Ferner erkenn man im Diagramm, daß der Ansieg der Kennlinie im dargesellen Bereich sich nich änder, sondern konsan bleib. Daraus folg für die saische Kennlinie der proporionale Überragungsbeiwer: K = dv(u) du Für das Beispiel des Waagebalkens gil: = v u = cons. bei linearer Kennlinie K = (60 40)mm (25 20)mm = 0mm 5mm =... = ( 40 ( 50))mm ( 20 ( 25))mm = (50 40)mm (25 20)mm = 0mm 5mm = 2 Der Überragungsbeiwer K kann auch rechnerisch ermiel werden. Im Beispiel besimm das Verhälnis a/b den Überragungsbeiwer K. K = a/b Das Beispiel zeig, daß der Überragungsbeiwer K sich rechnerisch und experimenell ermieln läß. Ein weieres Beispiel für eine saisch lineare Kennlinie kann an der Schalung eines elekeronischen Differenzversärkers mi ohmschen Widersänden in der Rückführung gezeig werden. Beispiel 2..2: Meßschalung Durch Messung der Ausgangsspannung U a ˆ= v bei verschiedenen Eingangsspannungen U e ˆ= u wurde folgende Wereabelle ermiel: U a /V U e /V -0,5-0,4-0,3-0,2-0, 0 +0, 0,2 0,3 0,4 0,5

17 Kapiel Kennlinie u a = u a (u e ) der Meßschalung 0 u a (u e ) V rv2cmf u e Wie im vorigen Beispiel des Waggebalkens is die Kennlinie linear. Der Überragungsbeiwer K des elekronischen Differenzversärkers is für den gesamen dargesellen Bereich: K = U a( ) U e = K = U a( ) U e = 7V 3V 0, 3V 0, V 3V ( 7V ) 0, 2V ( 0, 4V ) = = 4, 0V 0, 2V 4, 0V 0, 2V = 20 bzw. = 20 Die Versärkung V der elekronischen Schalung läß sich aus dem Widersandsverhälnis R 0 /R berechnen. Regelungsechnisch is die Versärkung V dem Überragungsbeiwer K K = R 0 R = 00 kω 5 kω = 20 In den bisherigen Beispielen waren die Überragungsbeiwere K ses ohne Einhei (dimensionslos). Dies muß nich immer so sein wie das nächse Beispiel zeig:

18 Kapiel 2 6 Beispiel 2..3: Srömungskanal In einem Kanal fließ ein Volumensrom V mi der konsanen Geschwindigkei v. Durch die Sellung s des Schiebers S wird der Volumensrom V beeinfluß. v rv2en S b s V Eingangssignal (hier): x e ˆ= Schiebersellung s Ausgangssignal (hier): x a ˆ= Volumensrom V Aus dem Experimen ergib sich folgende Wereabelle: x a /(m 3 /s) x e /m 0-0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 und das Diagramm: 0 Kennlinie x a = x a (x e ) des Srömungskanals 9 x a (x e ) m rv2emf x e

19 Kapiel 2 7 Die Kennlinie is wieder linear und der Ansieg besimm den Überragungbeiwer K: K = x a( ) = ( 0)m3 /s x e (0, 0)m = (2 )m3 /s (0, 2 0, )m =... = (0 9)m3 /s (, 0 0, 9)m K = 0 m 2 /s (aus experimenellen Daen ermiel) Mi b = m und v = 0m/s ergib sich aus den physikalischen Gleichungen: x a = V = x e b v: K = dx a(x e ) = d (x e b v) = b v = m 0 m/s = 0 m2 x e dx e s K = b v (berechne) Lösung und Darsellung miels Malab Gemessene Were (z.b. Prakikum) können dami graphisch dargesell und deren Seigung d.h der Überragungsbeiwer K uner Beachung der Einheien ermiel werden : 0000 % Beispiel 2.3: Besimmung von K vom Volumensrom im Srömungskanal % xe = [ ] ; % xe = Schiebersellung in m xa = [ ] ; % xa = Volumensroms in m^3/s pn = polyfi (xe,xa,2) % Berechnung der Funkion % xa = xa(xe)als Polynom pn 2.Grades x = 0:.0: ; % Eingangswere des Polyn. pn 0 < x < yk = polyval(pn,x) ; % Funkionswere des Polyn. pn d = polyder (pn) % Besimmung des Ansiegs des Polynoms 0000 yd = polyval(d,x) ; % Funkion des Ansiegs 000 plo(xe,xa, o,x,yk,x,yd,.- ) % plo der Meere, des Polynoms, der Seigung 0002 grid 0003 xlabel( Schiebersellung in m ) 0004 ylabel( Volumensrom in m^3/s ) 0005 ile( Volumensromfunkion ) pn = Volumensromfunkion d = V(s) Volumensrom in m 3 /s r2_3f Schiebersellung in m s Achung: Die Angabe des Ansiegs der Funkion wird mi 8.5 angegeben. Die zugehörige Einhei muß gerenn berechne werden!!

20 Kapiel Saisch nichlineare Kennlinie Beispiel: Venil (grobe Näherung) A = Venilöffnungsquerschni r = Venilradius am Venilsiz = r(h) cons. R = Venilöffnungsradius = 0 mm α = Venilkegelwinkel = 45 h = Venilhub Die Kennlinie des Venils wird durch die Funkion A = A(h) besimm: Bei einer experimenellen Besimmung (wie in Kap. 2, bzw. 2. beschrieben), ergib sich folgende Wereabelle: A/cm 0 0,6,,6 2,0 2,4 2,6 2,9 3,0 3, 3,2 h/mm Funkion der Ringspalfläche A = A(h) 3 A(h) 2.5 Fläche A rv22bmf Hub h h cm

21 Kapiel 2 9 Die Venilöffnung A läß sich mahemaisch (aus der Geomerie) besimmen: A = π (R 2 r 2 ), a = R r an α = a/h a = R r = h an α r = R h an α mi α = 45 wird an α = r = R h A = π {R 2 (R h) 2 } = π {R 2 (R 2 2 R h + h 2 )} A = A(h) = π h (2R h) = Funkion Gerade!!! Dami späer die dynamischen Vorgänge der Regelkreisglieder mahemaisch einfacher zu beschreiben sind, führ man eine Linearisierung durch (Kapiel 2.3)

22 Kapiel Linearisierung von Funkionen(Linearizaion of funcions) Das Verfahren der Linearisierung von Kennlinien von Regelkreisgliedern dien dazu, um späer (bei der dynamischen Beschreibung des Verhalens) keine schwierigen Differenialgleichungen lösen zu müssen. Eine nichlineare Funkion f(x) kann exak in einem Punk durch eine Poenzreihe ( Taylor-Reihe) dargesell werden: Poenzreihe: f(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n = k = 0 a k x k Mi den unbekannen Koeffizienen a 0, a,... a n. Man erhäl die Maclaurin Reihe: f(x) = f(0) +! df(0) dx x + 2! d2 f(0) dx 2 x um den Punk: x = x 0 = 0. Es folg für x = x 0 + h die Taylor-Reihe: f(x 0 + h) = f(x 0 ) +! df(x 0) dx h + 2! d2 f(x 0 ) dx 2 h Bei der Linearisierung wird in einem Arbeispunk (operaing poin) der Ansieg der Funkion (= Tangene) des Regelkreisgliedes RKG (= Versärkung Überragungsbeiwer K) besimm. Dieser Überragungsbeiwer K gil dann nur für diesen Arbeispunk. In der Praxis besimm man den Überragungsbeiwer K manchmal, indem man die Tangene durch die Sekane annäher. Beispiel: Linearisierung der Venilkennlinie aus Kapiel 2.2 in den Arbeispunken A und A Funkion der Ringspalfläche A = A(h) cm 2 3 Arbeispunk 2 A(h) Arbeispunk 0.5 rv23bmf Hub h cm Mahemaisch bedeue dies: Besimme im Arbeispunk den Ansieg (= Ableiung nach der Eingangsgröße) der Funkion: K = da( ) dh( )

23 Kapiel 2 Es gil im Arbeispunk (bei h = 3 mm) (K) = ( da dh ) ( A h ) = (K) 4,5 cm! Tangene im Arbeispunk (2, 0, )cm2 (4 2)mm Es gil im Arbeispunk 2 (bei h = 7 mm) (K) 2 = ( da dh ) 2 ( A h ) 2 = (K) 2 2,0 cm! Tangene im Arbeispunk 2 (3, 0 2, 6)cm2 (8 6)mm Mahemaische Besimmung des Überragungsbeiweres K im Arbeispunk Die beschreibende Funkion der Venilkennlinie A = A(h) lauee: A = A(h) = π (2Rh h 2 ) = π h (2R h) Durch Differeniaion der Funkion A = A(h) nach der unabhängigen Variablen h erhäl man den Ansieg der Funkion (Tangene). Für einen besimmen Zahlenwer (Arbeispunk h = h x = x) der unabhängigen Variablen folg dann der Wer des Überragungsbeiweres in diesem Arbeispunk x: (K) x = ( da(h) dh ) x = ( dh (π (2Rh h2 )) x = π (2R 2h) x = 2π (R h x ) Man erhäl für die beiden Arbeispunke und 2 die Überragungsbeiwere: (K) = 2 π (R h ) = 6,28 ( 0,3)cm = 4,4 cm (K) 2 = 2 π (R h 2 ) = 6,28 ( 0,7)cm =,9 cm In der Umgebung des Arbeispunkes kann, ohne einen allzugroßen Fehler zu machen, die genaue Venilgleichung vereinfach werden. Für diesen Punk gil dann die linearisiere Gleichung: [A(h)] = (K) h Für den Arbeispunk 2 gil analog: [A(h)] 2 = (K) 2 h Lösung und Darsellung miels Malab 0000 % Beispiel 22.a: Besimmung von K der Funkion A = A(h) % des Ringspales (r22 a.m) % syms h R ; % Definiion der Variablen A = pi*(2*r*h-h^2) % Fläche A des Ringspales diff(a,h) % Differenziere A nach h A2 = pi*h*(2*r-h) % andere Formeldarsellung diff(a2,h) % Differenziere A2 nach h A = pi (2 R h h 2 ) ans = pi (2 R 2 h) A2 = pi h (2 R h) ans = pi (2 R h) pi h

24 Kapiel % Beispiel 22.b: Besimmung von K der Funkion A = A(h) % des Ringspales % xe = [ ] ; % Hub h von 0 bis cm xa = [ ] ; % Fläche A in cm^ R = ; % Radius R = cm h = 0:0.: ; % Hub h von 0 bis cm A = pi*(2*r*h - h.^2) pn = polyfi (h,a,5) % Berechnung der Funkion 0000 % xa = xa(xe)als Polynom pn 2.Grades 000 x = 0:.0: ; % Eingangswere des Polyn. pn 0 < x < yk = polyval(pn,x) ; % Funkionswere des Polyn. pn 0003 d = polyder (pn) ; % Besimmung des Ansiegs des Polynoms 0004 yd = polyval(d,x) ; % Funkion des Ansiegs 0005 plo ( xe,xa, o,x,yk,x,yd) % plo der Meere, des Polynoms, der Seigung 0006 grid 0007 xlabel( Hub h in cm ) 0008 ylabel( Fläche A in cm^2 ) 0009 ile( Funkion der Ringspalfläche ) 7 Funkion der Ringspalfläche 6 5 K=dA(h)/dh Fläche A in cm A(h) r22_b Hub h in cm Man kann hier leich den Überragungsbeiwer K für die verschiedenen Arbeispunke (= Höhe h) ablesen. So is im Arbeispunk h = 0, 3 cm der Überragungsbeiwer (K) h = 4, 4 cm! Beispiel 2.3.: Drosselklappe Ein weieres Beispiel für eine nichlineare Kennlinie is die Funki- on des Öffnungsquerschnies A einer Drosselklappe (z.b. für einen Lüfungskanal) in Abhängigkei des Verdrehwinkels α: a h h = Kanalhöhe = 0 cm 2r = Kanalbreie = 0 cm α = Verdrehwinkel rv23b 2r A(α) = Öffnungsquerschni

25 Kapiel 2 3 Experimenell ergeben sich folgende Meßwere: A(α)/cm 0,5 6,0 3,4 23,4 35,7 50,0 65,8 82,6 00,0 α/ cm 2 90 Funkion des Öffnungsquerschnies A = A(α) A(α) da(α) dα A(α) rv23cmf Öffnungswinkel α Aus dem Kurvenverlauf des Diagramms erkenn man eine nichlineare Kennlinie; die Funkion is keine Gerade. Mahemaisch läß sich der Öffnungsquerschni A(α) berechnen: A = 2 a h und mi a = r r cos(α) = r [ cos(α)] folg A(α) = 2 r h [ cos(α)] Abhilfe erfolg durch die Linearisierung in den Arbeispunken und 2: Es sei Arbeispunk : α = 30 Arbeispunk 2: α = 60 Die allgemeine Definiion des Überragungsbeiweres K im Arbeispunk x lauee: (K) x = ( da(α) dα ) x = ( A(α) α ) x

26 Kapiel 2 4 Mi den Weren aus dem Diagramm erhäl man dann: (K) α = 30 A(40 ) A(20 ) = (K) α = 60 A(70 ) A(50 ) = (23, 4 6, 0)cm2 20 = 0, 87 cm2 (65, 8 35, 7)cm2 20 =, 5 cm2 Hier wurde der Überragungsbeiwer K aus Werepaaren ermiel. Wie früher bereis erwähn, kann man den Überragungsbeiwer auch graphisch durch Anlegen der Tangene im Arbeispunk besimmen. Man häe hier auch durch Differenzieren der Querschnisfunkion A(α) nach der unabhängigen Variablen α für einen Arbeispunk (= besimmer Winkel α) berechnen können. Allgemein gil: Der Überragungsbeiwer K gib an, um wieviel das Ausgangssignal sich änder pro Eingangssignaländerung (um den jeweiligen Arbeispunk) Beispiele: Arbeispunk Überragungsbeiwer Drosselklappe α = 30 K = 0, 87 cm 2 / α = 60 K =, 5 cm 2 / Venil h = 3 mm K = 0, 45 cm 2 /mm h = 7 mm K = 0, 2 cm 2 /mm Ein weieres Beispiel für nichlineare Kennlinien exisier in der Chemie als Tiraionskurven bei ph-wer- Regelungen. Ha man, wie im Kapiel 2 bereis angedeue, eine nichlineare Funkion mi mehreren Eingangssignalen u, u 2,... u n und einem Ausgangssignal v, so kann diese Funkion ebenfalls in einem Arbeispunk linearisier werden. Als klassisches Beispiel werde hier die Funkion des Venils jez genauer berache: Venilgleichung: V = a h 2 b p v ˆ= V = Volumensrom bzw. ṁ = c h 2 d p v ˆ= ṁ = Massensrom mi den Konsanen: a, b, c, d und den Eingangssignalen: u ˆ= h = Venilhub u 2 ˆ= p = Druckdifferenz zwischen Ein- und Auslaß des Venils

27 Kapiel 2 5 Dieser funkionelle Zusammenhang kann als räumliches Diagramm (= Ebene im 3-dimensionalen Raum) dargesell werden: x m 3 /s7 6 V mm 8 0 bar 6 6 h p rv23hf 0 0 Will man diese nichlineare Funkion in den beiden Variablen p und h für einen Arbeispunk A durch eine lineare Gleichung beschreiben, so ineressier lediglich der Ansieg der Funkion in diesem Punk (= Funkionszuwachs in A). Dieses Problem wird mahemaisch durch das oale Differenial lösbar: allgemein: Funkion: v = v(u, u 2,... u n ) oale Differenial δv = ( v u ) A δu + ( v u 2 ) A δu ( v u n ) A δu n linearisiere Gleichung : δv = (K ) A δu + (K 2 ) A δu (K n ) A δu n mi den Überragungsbeiweren im Arbeispunk A: (K ) A = ( v u ) A ; (K 2 ) A = ( v u 2 ) A ;... (K n ) A = ( v u n ) A Diese mahemaische Näherung werde jez auf das Beispiel des Venils angewende:

28 Kapiel 2 6 Venilgleichung: V = a h2 b p mi den Eingangsgrößen: u = h und u 2 = p folg mi den Weren im Arbeispunk: (h) A = h A und ( p) A = p A : (K ) A = ( V h ) A = (a 2 h b p) A = 2 h A b p A (K ) A = ( V p ) A = (a h 2 2 b p b) A = a h2 A b 2 p A Die nichlineare Gleichung des Venils wird für den Arbeispunk A durch die miels oalem Differenial linearisiere Gleichung genäher: δ V = (K ) A δh + (K 2 ) A δ p bzw. ohne die δ-schreibweise V = (K ) A h + (K 2 ) A p Aus dem Produk v = u u 2 der Eingangssignale u und u 2 wurde durch die Näherung im Arbeispunk A eine Summaion der Eingangssignale, muliplizier mi den ensprechenden Überragungsbeiweren. Dieser oben abgeleiee und in Formeln dargeselle Sachverhal kann graphisch durch Blöcke dargesell werden: exake Gleichung im Arbeispunk genähere Gleichung Achung: Durch die Näherung enseh nich immer eine Summaion, siehe Beispiele in den Übungen bzw. das Beispiel der Modellierung einer Laserdiode im folgenden Kapiel.

29 Kapiel Saisches Verhalen von Regelkreisen Bisher wurde das saische Verhalen der einzelnen Elemene der Regelkreises (= Regelkreisglieder = RKG) anhand von Kennlinien bzw. Kennfeld berache. Daraus kann man leich auf die Were des saischen Verhalens des geschlossenen (einschleifigen) Regelkreises folgern. Als Regler wird ein Elemen verwende, das eine lineare Kennlinie besiz deren Überragungsbeiwer K (Ansieg der Funkion) im Gegensaz zur Regelsrecke einsellbar is. Beispiel: Inensiäsregelung (Srahlleisung P) einer Laserdiode Das saionäre Verhalen der Laserdiode als Regelsrecke is durch folgende Kennlinie P = P(i) bei der Temperaur T = 0 C gegeben: 6 Srahlleisung einer Laserdiode P = P(i) bei T = 0 C mw 5 T = 0 C P(i) laserdiode0f Laserdiodensrom i i ma Man erkenn eindeuig den linearen Zusammenhang der Srahlleisung P in Abhängigkei des elekrischen Sromes i durch die Laserdiode bei einer Temperaur T = 0 C. Bei einer anderen Temperaur T der Laserdiode erhäl man für die gleichen Sromwere i unerschiedliche Srahlleisungen P. Die Temperaur beeinfluß folglich die Srahlleisung und is so eine weiere Einflußgröße auf die Srahlleisung P, d.h.: P = P(i, T) und kann als saische Gleichung beschrieben werden durch: P = a i b c T mi den konsanen Größen a, b und c. Sell man obige Gleichung graphisch dar, so erhäl man folgendes Kennfeld:

30 Kapiel mw 4 P(i,T) ma a930p2plf i C T bzw. als Kurvenschar mi der Temperaur T als Parameer: 6 Srahlleisung einer Laserdiode P = P(i,T) mw 5 T = 0 C P(i,T) 4 T = 0 C 3 T = 20 C 2 T = 30 C T = 40 C Laserdiodensrom i laserdiode0f i ma

31 Kapiel 2 9 Dieses Kennfeld (bzw. obige Gleichung) kann als Blockschalbild dargesell werden: Temperaur T c Laserdiode ld_t Srom i a Srahlleisung P ld_0 ld_i Sum Bei einem elekrischen Srom von i = 50 ma kann so bei dem Temperaurbereich 0 C < T < 40 C die Srahlleisung P schwanken 0 mw < P < 4 mw d.h. im geseueren Berieb (bzw. ohne Regelung) schwank die Srahlleisung um P ohne Regelung = P or = (4 0)mW = 4 mw Will man diese Leisungsschwankungen P verringern, so muß ein Regelkreis enwickel werden. Hierzu muß die zu regelnde Größe (hier die Srahlleisung P) erfaß werden. Man verwende einen Sensor (z.b. Phooelemen), wandel so die Srahlleisung P in ein Meßsignal Rückführgröße r um (mi dem Überragungsbeiwer K S ) und vergleich dieses mi der Führungsgröße w. Das Differenzsignal, die Regeldifferenz e, wird versärk um einen Fakor K R (Überragungsbeiwer des Reglers) und ha dann als Ausgangssignal (Ausgangssgröße) des Reglers den Srom i für die Laserdiode. Dami wird das obige Blockschalbild ergänz um den Sensor und Regler zu einem Regelkreis: curren i conrolled power of a Laserdiode, disurbed by emperaur T Temperaur T c ld_t Führungsgröße w e K_R Srom i a Srahlleisung P Sum Regler ld_i Sum K_S Rückführgröße r ld_i Sensor

32 Kapiel 2 20 Hierbei sei der Überragungsbeiwer des Sensors: K S = V/mW und des Reglers: K R = 25 ma/v Der Srom i für die Laserdiode wird dami: i = K R e = K R (w r) = K R (w K S P) = K R w K R K S P Der Sensor und dieser Regler ergeben zusammen mi der Führungsgröße w eine Geradengleichung. Lös man diese Geradengleichung auf nach der Srahlleisung P = P(i, w): K R K S P = K R w i P = K S w K R K S i erhäl man wieder eine Geradengleichung mi dem negaiven Ansieg K = /(K R K S ). Diese Gerade kann in das Kennfeld für eine vorgegebene Führungsgröße w (hier w = 3 V ) eingezeichne werden. mw 6 Srahlleisung einer geregelen Laserdiode P = P(i,T) 5 T = 0 C P(i,T) 4 T = 0 C 3 T = 20 C 2 T = 30 C T = 40 C Laserdiodensrom i laserdiode0icf i ma Die Schnipunke der Geradengleichung des Sensors und des Reglers mi der Geraden der Laserdiode bei einer Temperaur T ergeben so den Gleichgewichszusand des Regelkreises: T = 0 C i 43 ma P, 3 mw T = 0 C i 46 ma P, 2 mw T = 20 C i 47 ma P, mw T = 30 C i 50 ma P, 0 mw T = 40 C i 52 ma P 0, 9 mw

33 Kapiel 2 2 Bei einer Temperaurschwankung T = 40 C varrier die Srahlleisung der Laserdiode P jez lediglich: P = (, 3 0, 9)mW = 0, 4 mw Durch die Regelung wurde diese Leisungsschwankung verringer, d.h. die Schwankung mi Regelung beräg: P mi Regelung = P mr = 0, 4 mw Das Verhälnis der Schwankung der Regelgröße mi Regelung (hier P mr zu der Schwankung der Regelgröße im geseueren Berieb (hier P or ) wird als Regelfakor R bezeichne. In diesem Fall beräg der Regelfakor R = P mr P or = 0, 4 mw 4 mw = 0, Eine ursprüngliche Schwankung der Regelgröße ohne Regelung (= geseuer) wird in diesem Fall durch die Regelung um den Fakor R = 0,, d.h. auf 0 % reduzier. Mahemaische Lösung: Diese graphische Lösung sell mahemaisch die Lösung eines Gleichungssysems aus den Gleichungen der Regelsrecke und des Sensors mi Regler dar (s.o.): Regelsrecke: P = a i b c T Sensor + Regler: i = K R (w K S P) = K R w K R K S P P = K S w Sez man beide Gleichungen gleich, so erhäl man eine Besimmungsgleichung für den Srom i: bzw. K S w K S K R i = a i b c T [a + K R K S i ] i = w + b + c T K S K R K S i = ( a + ) ( w + b + c T) K S K S K R Mi den Daen der Regelsrecke: a = 0, 4 mw/ma b = 6 mw c = 0, mw/ C des Sensors + Reglers: K S = V/mW K R = 25 ma/v der Führungsgröße w: w = 3 V erhäl man für T = 0 C i = 43, 8 ma T = 40 C i = 52, 27 ma und dami bei T = 0 C P =, 27 mw T = 40 C P = 0, 9 mw d.h. Die Schwankung der Srahlleisung mi Regelung beräg: P mr = (, 27 0, 9) mw = 0, 36 mw Nich immer ha man so einfache lineare Regelsrecken. Im Allgemeinen is die Regelsrecke nichlinear. Dann kann das mahemaische Verfahren zur Ermilung des Regelfakors R meis nur mi großen Schwierigkeien oder nich angewende werden. Es bleib lediglich das graphische Verfahren zur Lösung des Problems wie das nächse Beispiel zeig:

34 Kapiel 2 22 Als Beispiel einer Regelung mi einem nichlinearen RKG diene dieses einfache Modell einer Druckregelung: Kolbenfläche A = 4 cm 2 Federkonsane Hebelarme c = 50 N/cm a = 2 cm b = 5 cm Das saionäre Verhalen der Regelsrecke is durch folgendes Kennlinienfeld gegeben: bar 0.9 Druckkennfeld p(y,p V ) eines schließenden Venils p V =2,0bar p(y,p V ) p V2 =,6bar p V3 =,2bar rv24c0f p V4 =0,8bar Hub y y mm Mi zunehmendem Versorgungsdruck p V ˆ= z nimm der Druck p ˆ= x als Regelgröße im Rohr zu. Wird der Hub des Sellvenils (= Sellgröße y) vergrößer, wird der Gasdurchfluß gedrossel, sodaß der Druck p

35 Kapiel 2 23 sich auf einem niedrigeren Niveau einsell. Im geseueren Beriebszusand bei einem feseingesellen Venilhub y = 2 mm (= Arbeispunk) schwank so der Druck p wegen des schwankenden Versorgungsdruckes 0, 8 bar < p V < 2, 0 bar 0, 2 bar < p < 0, 7 bar Eine Regeleinrichung, besehend aus Drucksensor (= Meßumformer) und Hebelarm (= Regler), soll diese Druckschwankungen vermindern. Der Drucksensor kann durch folgenden Gleichung beschrieben werden: Federkraf: F S = c s Druckkraf: F p = A p Im Ruhezusand sind beide Kräfe im Gleichgewich und man erhäl als saische Gleichung des Drucksensors mi dem Druck p als Eingangssignal und dem Wegsignal s als Ausgangssignal: Drucksensor: s = (A/c) p = K Sensor p Der Regler wird hier durch den Waagebalken dargesell und durch folgende Gleichung für die Wege s und y (nich Drehmomene) beschrieben: Regler: y = (b/a) s = K PR s Dieses Ausgangssignal s des Drucksensors is gleichzeiig Eingangssignal für den Regler und man erhäl so eine Gleichung für die Regeleinrichung: Regler + Sensor: y = K PR s = K PR K Sensor p = K R p Diese lineare Gleichung kann man in das Kennlinienfeld der Regelsrecke einragen indem man die Gleichung nach dem Drucksignal auflös p = (/K R ) y und diese Gerade mi dem Ansieg /K R durch den Arbeispunk leg. Die Schnipunke der Reglergeraden mi den Kennlinien der Regelsrecke ergeben so die Druckwere p ˆ= xbei den unerschiedlichen Versorgungsdrücken p V ˆ= z. Durch die Regelung schwank jez der Druck p bei gleichem p ˆ= z: 0, 6 bar < p < 0, 32 bar Im Vergleich zur Seuerung (ohne Regelung) mi ha sich bei der Regelung p or = 0, 7 bar 0, 2 bar = 0, 58 bar p mr = 0, 32 bar 0, 6 bar = 0, 6 bar die Druckschwankung um den Fakor R durch die Regelung verminder: R = ( p mr / p or = 0, 6 bar/0, 58 bar 0, 27 Die Sörung (hier die Druckschwankungen p V ) werden durch die Regelung um dem Regelfakor (conrol facor R verringer.

36 Kapiel 2 24 Druckregelung p(y,p V,K R ) eines schließenden Venils p V =2,0bar 0.9 p(y,p V ) p V2 =,6bar p V3 =,2bar /K R rv24cf p V4 =0,8bar Hub y y mm Diese geräeechnische Anordnung kann im Wirkungsplan durch folgenden Regelkreis dargesell werden: z Seller - x=p Srecke Sensor r=s rv24e y Regelglied e - w

37 Kapiel Technisch ausgeführe Regelkreise Da die Elemene der Seuerung bzw. des Regelkreises Informaionen in Form von Signalen ausauschen und die Geräe dise Signale auch richig inerpreieren haben die Geräeherseller, wegen der Kompabiliä, sich auf sogenanne Sandardsignale geeinig. In der Praxis wird der Meßwer (=ermiele Meßgröße) meis nich nur angezeig. Im allgemeinen wird er zur Seuerung bzw. zur regelung weierverwende. Hierbei ha es sich als hilfreich erwiesen, wenn der Meßwer als elekrisches oder pneumaisches Signal vorlieg. So lassen sich elekrische/pneumaische Geräe einfach mieinander z.b. zu einer Seuerung verknüpfen. Dami die Kommunikaion dieser Geräe unereinander einwandfrei funkionieren, ha man u.a. folgende Sandards fesgeleg: a) 0/4-20 ma b) 0-0 V c) RS232 C (V.24) d) IEEE 488 (IEC-Bus) e) Bibus f) Profibus g) InerBus-S h i) CAN ec. Profibus-D Mi den Sandards a) und b) wird die analoge Daenüberragung dargesell, wobei im Falle a) dem angezeigen Meßwer von % ein elekrischer Srom von 0 bzw ma ensprich. Voreilhaf is bei der ma Darsellung, daß bei einer Sromunerbrechung (z.b. durch ein Kabelbruch, ec.) dies durch den Srom i = 0 ma erkann werden kann und nich der unsinnige Wer von 0 % ausgegeben wird.

38 Kapiel 2 26 Im Falle b) bedeue 0 Meßwer 00 %, die Spannung des Ausgangssignals is eine analoge elekrische Spannung von V. Mi der forschreienden Enwicklung und Verbreiung von Digialrechnern gewinn die digiale Daenüberragung immer mehr an Bedeuung [c)... i)]: Die RS 232 C-Norm sell die serielle Daenüberragungsnorm dar. Hierbei werden die Meßwere als codiere Zahlenwere seriell über eine (mind. Zwei-) Drahleiung mi einem besimmen Prookoll überragen. Die Spannungswere liegen vor als High-Pegel im Bereich von +3 V H + 5 V und als Low-Pegel im Bereich von 5 V L 3 V. Diese serielle Daenüberragung kann nur geringe Daenraen (20kBi/s) über relaiv kurze Srecken (ma. 5 m) überragen.

39 Kapiel 2 27 Im Gegensaz zurrs 232 C-Norm sell die IEEE 488-Norm eine parallele Daenüberragungsnorm dar. In Europa wird dies Norm als IEC-Norm 66.22, IEC 624- bzw. IEC-Bus, hp-ib, GPIB bezeichne. Zur Daenüberragung werden 8 Daen und 8 Seuerleiungen zur Kommunikaion benöig. Die Leiungslänge beräg maximal 20 m insgesam und zwischen den einzelnen Meßgeräen maximal 2 m. (Siehe Schmusch, elekronische Meßechnik, S 434). Bei der analogen Daenkommunikaion wurden die Daen z.b. vom Sensor zur Anzeige und dem Regler überragen. Die digiale Kommunikaion ermögliche durch Vergabe von Adressen an (Bus-) Teilnehmer besimme Geräe geziel anzusprechen. Wegen der Daensicherhei wurde es nowendig besimme Regeln aufzusellen die den Bus verwalee (wenn alle durcheinander reden, verseh keiner ewas). Diese Busverwalung kann - zenral durch einen Busmaser - durch eine Zeifreigabe des Busses für jeden Teilnehmer - duerch die Bedeuung (Prioriä) der Nachrich erfolgen. Aus dem Prookoll der Busfreigabe bilden sich folglich unerschiedliche Srukuren (Topologien). Man unerscheide dabei zwischen Srukur. - Sern- - Linien- - Baum- - Ring-

40 Kapiel 2 28 Sernsrukur: Hier vereil ein Busmaser (Zenralrechner) den gesamen Daenransfer auf dem Bus. Die Daenkommunikaion zwischen den Buseilnehmern finde nur über den Busmaser sa. Fäll dieser aus, kann keine Daenüberragung mehr safinden. Baumsrukur:

41 Kapiel 2 29 Ringsrukur: Liniensrukur:

42 Kapiel 2 30 In den bisherigen Beispielen der (seriellen) Busopologie wurden die einzelnen Buseilnehmer über die Adresse - direk durch den Busmaser bzw. - zyklisch durch ein Zeifenser angesprochen Prinzip des CAN-Busses Im Fall des CAN-Busses (Conroller Area Nework) exisier eine Liniensrukur bei der jede Saion (Node) berechig is eine Nachrich ohne Adressaen, d.h. an alle zu senden (broadcasing). Im Beispiel sende Saion 2 eine Nachrich. Hierbei können alle am CAN-Bus angeschlossenen Saionen die Nachrich empfangen. Es kann vorkommen, daß mehrere Saionene gleichzeiig eine Nachrich auf den Bus legen möchen. So enseh ein (Bus-) Zugriffskonflik und der Bus wäre blockier. Dies wird dadurch vermieden, daß vor der eigenlichen Nachrich ein Idenifier in Form eines Bimusers gesende wird. Dieser Idenifier beinhale die Bedeuung der Nachrich Prioriä und den Absender der Nachrich (= Inhalskennzeichnung z.b. Mooremperaur)! Die angeschlossenen lesenden Saionen können so miels Idenifier enscheiden ob die folgende Nachrich für sie von bedeuung is und diese Nachrich dann akzepieren (hier Saion und 4, Saion 3 verwirf die Nachrich). Meßgrößen, die von mehreren Seuergeräen (Reglern) benöig werden, können so über den CAN-Bus vereil werden, daß nich jedes Seuergerä einen eigenen Sensor benöig. Dieses Verfahren ermöglich es den Bus um weiere Teilnehmer zu erweiern ohne den Bus neu konfigurieren zu müssen. Es werden lediglich die neuen Teilnehmer an den Bus mi deren Idenifier angeschlossen!

43 Kapiel Arbirierung beim CAN-Bus Will man die Daen in Echzei überragen, so wird ein schneller Daenbus benöig. Zusäzlich muß der Bus so verwale werden, daß die wichigen Daen vorrangig gegenüber den weniger wichigen Daen überragen werden. Arbirierungsfeld Die Prioriä der Daen wird mi dem Idenifier als ensprechendes Bimuser fesgeleg. Beim CAN-Bus ha der Idenifier mi der niedrigsen Binärzahl die höchse Prioriä! Im Beispiel wollen 3 Teilnehmer gleichzeiig eine Nachrich über den Bus überragen. Sie senden das SOF-Bi (= Sar of Frame). Anschließend sare jeder Teilnehmer das Bimuser seines Idenifiers, beginnend mi dem höchswerigen Bi (= Bi 0). Jede Saion beobache den Pegel auf dem Bus Bi für Bi und beeinfluß ihn gleichzeiig. Bis zum Bi 6 haben noch alle Teilnehmer das Rech zu senden. Das Bi 5 wird von den Teilnehmern und 3 auf 0 (= dominan) gesez, während Teilnehmer 2 das 5.Bi auf (= rezessive) beläss! Dami darf Teilnehmer 2 nich mehr senden. Das Buszugriffsrech besizen nur noch die Teilnehmer und 3. Beim Bi 2 schale Teilnehmer 3 den Buspegel auf logisch 0 (= dominan) während Teilnehmer beim Zusand (=rezessiv) bleib. Dami ha Teilnehmer das Buszugriffsrech verloren und Teilnehmer 3 darf seine Daen senden. Alle Verlierer werden auomaisch zu Empfängern der Nachrich mi der höchsen Prioriä und versuchen ers dann wieder zu senden wenn der Bus frei wird. el. Schalung CAN-Bus

44 Kapiel 2 32 Ferner beseh die Möglichkei miels folgendem RTR-Bi (Remoe Transmission Reques) anzuzeigen, ob eine Nachrich (z.b. Sensorsignal) gesende oder vom Idenifier angeforder wird! Sollen beispielsweise die Idenifier der gesendeen Nachrich und der angeforderen Nachrich idenisch sein, so is das RTR-Bi des Senders dominan (logisch =0) und das RTR-Bi der angeforderen Nachrich rezessiv (= logisch ). Hierdurch wird eine Kollision bei der Länge der Nachrich verhinder! Conrol-Feld Da der Idenifier aus Bi beseh, kann man zwischen 2 = 2047 Nachrichen unerscheiden und Prioriäen zuordnen bei maximal 2047 Teilnehmern. Wird eine größere Anzahl von Unerscheidungsmöglichkeien als 2047 benöig, verwende man sa dem CAN- Bus mi dem Sandardforma 2.0 A den CAN-Bus mi dem erweieren Forma 2.0 B und dem Idenifier mi 29 Bi, d.h Aus Gründen der Kompaibiliä muß zwischen den CAN-Bussen des Formaes a und B unerscheiden werden können. Das RTR-Bi wird beim erweieren CAN-Bus B an dieser Selle ersez durch ein rezessives SRR-Bi (Subsiue Remoe Reques Bi mi dem logischen Pegel ). Anschließend folg in beiden CAN-Bussen das IDE-Bi (Idenifier Exension Bi)! An dieser Selle enscheide sich ob ein Sandard- oder ein erweierer Bus vorlieg. Beim Sandard-Bus A wird das IDE-Bi dominan (= logisch 0) und beim erweieren Bus B rezessiv (= logisch ) überragen. Dami wird gleichzeiig die Nachrich des Sandard-Busses A mi höherer Prioriä behandel als die des erweieren Busses B. Beim CAN-Bus des Typs B folg dann der erweiere Idenifier mi 8 - Bi. Das IDE-Bi des CAN-Busses vom Typ A is gleichzeiig das reserviere Bi r der beiden reservieren Bis r0 und r. Daran schließen sich 4 Bis an, die als Binärzahl die Anzahl der überragenen Byes angeben. Im obigen Beispiel wird gezeig, daß 6 Daenbye überragen werden: Zahl der Daenbyes DLC 3 DLC 2 DLC DLC 0 6 dominan (=0) rezessiv (=) rezessiv (=) dominan (=0)

45 Kapiel Daensicherhei beim CAN-Bus Nach dem conrol field folg das Daa filed, das CRC filed und das ACK field. Das ACK field (acknowledge) zeig dem Senderan, daß die Daenüberragung fehlerfrei war. Falls ein Fehler aufgereen is, wird dies im CRC (Cyclic Redundancy Ceck) gezeig Zeiverhalen des CAN-Busses Die für eine Daenüberragung von 8 Bye benöige Zei kann aus der nachfolgenden Lise näherungsweise besimm werden: CAN 2.0 A CAN 2.0 B Sarbi Sarbi Idenifierbis + Idenifierbis + SSR-bi + IDE-bi + Idenifierbis + 8 RTR-bi + RTR-bi + Conrolbis + 6 Conrolbis + 6 Daabis + 64 Daabis + 64 CRC-bis + 5 CRC-bis + 5 CRC-Delimier + CRC-Delimier + Suff-bis (max) + 9 Suff-bis (max) + 23 ACK slo + ACK slo + ACK-Delimier + ACK-Delimier + EOF-bis + 7 EOF-bis + 7 IFS-bis + 3 IFS-bis + 3 = 30 = 54 Mi einer Daenrae von Mbi/s wird für eine 8 Bye Daenmenge 30 µs bei CAN 2.0A und 54 µs bei CAN 2.0B benöig!

46 Kapiel 3 3. Unersuchung des zeilichen Verhalens von Regelkreisgliedern, Regelsrecken, Reglern und Regelkreisen Bisher können wir nur das saische Verhalen eines Regelkreisesgliedes (RKG) ec. durch seine saische Kennlinie beschreiben. Mahemaisch haben wir dies durch die Schreibweise dargesell. v = v(u, u 2, u 3,... u n ) für Die Informaion über das Regelkreisglied is unvollsändig. Es fehl die Beschreibung des dynamischen Verhalens (dynamic ransfer behaviour). Die Dynamik eines Regelkreisgliedes kann durch sein zeiliches Verhalen dargesell werden. Bei der Darsellung des zeilichen Verhalens eines Regelkreisgliedes wird z.b. der Signalverlauf beschrieben, der zwischen zwei Gleichgewichszusänden herrsch, d.h. der Funkionsverlauf v v = v( 0 ) bis v = v( ) wenn zum Zeipunk = 0 das Eingangssignal u z.b. plözlich um einen besimmen Wer geänder wurde. Es gil die gleiche Darsellung des Blockschalbildes. Die Signale sind nich mehr saisch, sondern zeiabhängig. Eine weiere Einschränkung is, daß ab jez nur kleine Signale im jeweiligen Arbeispunk berache werden. Dadurch kann man lineares Verhalen der Regelkreisglieder (zumindes) im Arbeispunk A annnehmen. Das Blockschalbild veranschaulich die Aussage, daß das Sysem (hier RKG) auf das Eingangssignal u() mi dem Ausgangssignal v() anwore. Um eine sinnvolle Anwor (= Ausgangssignal) zu erhalen, muß man das richige Eingangssignal verwenden. Frage: Was is das richige Eingangssignal Anwor: siehe Kapiel 3.

47 Kapiel Verschiedenarige Eingangssignale zur Ermilung des Zeiverhalens.Eingangssignal in Form der Sprungfunkion u() = { u0 < 0 u 0 0 kann = 0 sein Man erhäl vom Sysem bzw. RKG die Sprunganwor (sep response) Dieses Eingangssignal dien zur Ermilung von: proporionalen Überragungsbeiweren inegralen Überragungsbeiweren Zeikonsanen Übergangsfunkion K P P-RKG K I I-RKG T h() 2.Eingangssignal in Form der Ansiegsfunkion u() = { 0 < 0 a ( 0 ) 0 Man erhäl vom Sysem bzw. RKG die Ansiegsanwor (ramp response) Dieses Eingangssignal dien zur Ermilung von: differeniellen Überragungsbeiweren Zeikonsanen (beim D-RKG) Übergangsfunkion (vom D-RKG) K D D-RKG T h()

48 Kapiel Eingangssignal in Form einer periodischen Funkion û = Eingangsampliude ˆv = Ausgangsampliude T = Schwingungsdauer periodisches Ein und Ausgangssignal eines dynamischen Sysems ω = Kreisfrequenz ω = 2 π T u(), v() u v ω = 2 π ν 0 ν = Frequenz 0.2 u() = û sin(2π T ) u() = û sin(ω ) v() = ˆv sin(ω + ϕ) φ = Phasenverschiebung (zwischen Eingangssignal u() und Ausgangssignal v() bei der Kreisfrequenz ω ) r42sf φ T s In dieser Darsellung eil das Ausgangssignal v dem Eingangssignal u nach, daher gil für die Berechnung des Phasenwinkels: ϕ = ϕ = φ T 360 mi ϕ in φ T 2 π mi ϕ im Bogenmaß Dieses Eingangssignal dien zur Ermilung von Regelkreisgliedern u() u(ω) v() v(ω) komplexe Funkion zur Informaion G(jω) = v(jω) u(jω)

49 Kapiel Die Übergangsfunkion h() von Regelkreisgliedern Die Übergangsfunkion h() (uni sep response) beschreib das zeiliche Verhalen von Regelkreisgliedern (RKG). Frage: Wie besimm man die Übergangsfunkion h()? Darsellung im Blockschalbild: mi dem Eingangssignal u = u() und dem Ausgangssignal v = v() wird die Übergangsfunkion: h() = v() u() Es exisieren folgende eingrenzende Bedingungen für das Eingangssignal:. Sprungsignal (im allgemeinen) 2. das Eingangssignal is im Arbeispunk!! (wegen der Lineariä) 3. die Eingangssignaländerung sei klein ( u = u u 0 ) (wegen der Lineariä)

50 Kapiel 3 5. Verfahren zur experimenellen Besimmung der Übergangsfunkion h() Meßschalung für das Beispiel: Ofen In der Skizze wird u = zur Einsellung des Arbeispunkes gebrauch. Im Falle einer späeren Regelung wird diese Spannung immer eingeschale und mi der Spannung u e () wird die Temperaur ϑ() im Ofen geregel. Die Spannung u = und dami der Widersand R A enfallen, wenn nur mi dem Widersand R H der Ofen geheiz wird. Das Sprungsignal u e () zur Ermilung der Übergangsfunkion h() wird im Zeipunk = 0 von u 0 (wo der Ofen die Arbeisemperaur ϑ 0 im Arbeispunk ha) um u auf u = u 0 + u erhöh. In diesem Beispiel ergib sich die Übergangsfunkion h() sreng berache für das dynamische Sysem, besehend aus Ofen, Thermoelemen, Meßversärker und Schreiber: h() = u a() u e () ϑ() u e () Nach Durchführung der Division des Ausgangssignals durch das Eingangssignal (hier im Beispiel: u a ()/u e ()) erhäl man die Übergangsfunkion h().

51 Kapiel 3 6 Aus der Übergangsfunkion h() lassen sich dann für das Regelkreisglied charakerisische Größen ermieln, die das dynamische Verhalen dieses RKG beschreiben. Diese charakerisischen Kenngrößen werden benöig, um späer den Regelkreis berechnen zu können und dami opimal einzusellen (= die Reglerparameer für opimales Regelverhalen). 2. Verfahren zur rechnerischen Ermilung der Übergangsfunkion Aus der Differenialgleichung eines Regelkreisgliedes kann man durch Lösen der Dgl. die Übergangsfunkion h() besimmen. Beispiel: T v() + v() = K u Die Lösung der Dgl. für ein sprungförmiges Eingangssignal u laue: Das Ergebnis der Übergangsfunkion h() wird dann: v() = K u ( e T ) h() = v() u = K ( e T )